北京市人民大学附属中学2017-2018学年高二下学期周末练习数学试题3.9+PDF版缺答案
北京市中国人民大学附属中学2018学年高二下学期期末考
数学（文）练习试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{0,1},{|02}A B x R x ==∈<<，则AB =A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．(0,1)2、已知命题:0,23x p x ∃>=，则命题p 的否定是A ．:0,23x p x ⌝∀<≠B ．:0,23x p x ⌝∀≥≠C ．:0,23x p x ⌝∃≥≠D ．:0,23x p x ⌝∃<≠3、如果1122log log x y <，那么A ．1y x <<B ．1x y <<C ．1x y <<D ．1y x <<4、“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也必要条件5、函数2xy =的大致图象是6、要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只要把函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7、若()x f x e =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ A ．e B ．e - C ．2e D ．2e -8、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调，(2)0(1)f f >>，则函数()f x 的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。
.9、函数()f x =的定义域为 10、幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则()f x =11、已知函数()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]9f f = 12、如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则()4f '=13、若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是14、设函数()2,1log ,1x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩， （1）如果()13f =，那么实数a =（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分12分）已知命题:p 方程210x mx -+=有实数解，命题:q 指数函数()(1)x f x m =-是增函数，若p 或q为真命题，求实数m 的取值范围。
2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)
1 / 32018北京人大附中高二（下）期末数 学(理)2018年7月6日制卷人：于金华 杨良庆 审卷人：梁丽平说明：本练习共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．10(e 2)d xx x +⎰等于（ ）（A ）1 （B ）e 1- （C ）e （D ）e 1+2．已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的 图象可能是（ ）4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为14，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为15，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ）（A ）120 （B ）1920 （C ）35 （D ）7205．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=-6．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==,(0)1i i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则（ ）（A ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< （B ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ>（C ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< （D ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>7．集合230123{|222}P x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1},0,1,2,3i a i ∈=．则集合P 中元素的个数及所有元素之和分别是（ ） （A ）16，120 （B ）8，120 （C ）16，60 （D ）8，608．设函数32,e,ln ,e x x x y a x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上存在两点,P Q ,使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在y 轴上,则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1(0,]e 1+ （B ）1(,]e 1-∞+ （C ）1[+)e 1∞+, （D ）R二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸的相应位置.)9．已知复数12i1iz +=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 10．圆12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)被x 轴截得的弦长为________．11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，则不同的带队方案有________种．（用数字作答） 12．观察下列一组等式x O2 / 31+2=3 2+3+4+5=14 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60……照此规律，第n 个等式的右端为________．13．已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．14．给定集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，映射:n n f A A →，若f 满足：① 当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；② 任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈⋅⋅⋅．则称映射f 为n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射33:f A A →是一个优映射． 表1 表2（1）已知表2表示的映射44:f A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）若映射1010:f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．三、解答题 (本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ,求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 16．（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，且12()2nn n a a n a *+=∈+N .（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．i1 2 3 ()f i231i1 2 3 4 ()f i3yxO -23 / 318．（本小题13分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 19．（本小题14分）已知函数e ()(ln )()xf x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在12(0,1),(0,1)x x ∈∈，使得12()()f x f x =，试求a 的取值范围．20．（本小题14分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,a a ,…k a 中的最大值, 称数列{}n b 为{}n a 的上界数列, 如1, 3, 2, 5的上界数列是1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的上界数列为2, 4, 4, 5, 写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的上界数列, 满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅),求证:k k b a =；（Ⅲ）若各项为正整数的数列{}n a 的项数5m =, 其上界数列{}n b 满足11b =, 510b =, 求满足条件的数列{}n a 和{}n b 的个数．频数40208 9 10 11 更换的易损零件数。
2017-2018学年第二学期7月北京人大附中高二数学期末复习试题(理科)
人大附中 2017~2018 学年度第二学期期末高二年级数学(理)练习2018年7月6日说明：本练习共三道大题20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间120 分钟。
一、选择题(本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应地点.）11． (e x 2 x)dx 等于（）（A）1（ B） e 1（C）e（ D） e 12．已知(13x)n的睁开式中含有x2项的系数是54，则n（）（A）3（B）4（C） 5（D）63．函数 y f ( x) 的导函数 y f ( x) 的图象如右图所示，则y f ( x) 的图象可能是（）4．已知从 A 口袋中摸出一个球是红球的概率为1，从 B 口袋中摸出一个球是红球的概率为41 ，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球起码有一个不是红球的概率是（）5（A）1（B）19（C）3（D）7 20205205．以下极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）O x （ A） 6 5cos （B）6 5sin（C）6 5cos （D）6 5sin6．已知随机变量i知足 P( i 1)p i , P(i 0) 1 p i , i1,2 .若 0p1 p21,则（）2（A） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（B） E( 1)E( 2)，D( 1) D( 2)（C） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)（D） E( 1)E( 2)， D( 1) D( 2)7．会合 P{ x | x a0a1 2 a222a323 } ，此中a i{0,1}, i0,1, 2,3 ．则会合 P 中元素的个数及全部元素之和分别是（）（ A） 16， 120（ B） 8， 120（C） 16， 60（D）8， 608．设函数y x3x2 , x e,的图象上存在两点 P, Q ,使得△ POQ 是以O为直角极点的直角a ln x,x e三角形 (此中 O为坐标原点 ),且斜边的中点恰幸亏 y 轴上 ,则实数 a 的取值范围是（）（ A） (0,1]（B）( ,1]（C） [1, +)（D）Re1e1e1二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．请把结果填在答题纸的相应地点.)9．已知复数z 12i ，此中i是虚数位，z的模是________．1 ix12cos( 参数 )被 x 截得的弦 ________．10．1 2siny11．有 5 名教要 3 个趣小出门学观察，要求每个趣小的教至多2人，不一样的方案有________种．（用数字作答）12．察以下一等式1+2=32+3+4+5=143+4+5+6+7+8=334+5+6+7+8+9+10+11=60⋯⋯照此律，第n 个等式的右端 ________．13．已知函数 f ( x)x2 2 x,x0,ax 恒建立， a 的取范是 ________．ln( x1),x若 | f (x)|0.14．定会合A n{1, 2, 3,, n } ，映照 f: A n A n，若 f足：①当 i , j A n , i j ， f (i ) f ( j ) ；②任取 m A n，若m 2 ，有m{ f (1), f (2), ,f (m)} ．称映照 fA A 是一个“ 映照”．比如：用表 1 表示的映照 f : A A 是一个n n33映照．表 1表 2i123i1234f (i )231 f (i )3（ 1）已知表 2 表示的映照 f : A4A4是一个映照，把表 2 充完好（只要填出一个足条件的映照）；（ 2）若映照 f : A A是“ 映照”，且方程 f (i )i 的解恰有 6 个，的“ 映照”1010的个数是 ________．三、解答(本大共 6 小，共 80 分，解答写出文字明明程或演算步.）15．（本小 13 分）甲、乙两人行射比，各射 4 局，每局射10 次，射命中目得 1 分，未命中目得 0 分．两人 4 局的得分状况以下：甲6699乙79x y（Ⅰ）若从甲的 4 局比中，随机取 2 局，求 2 局的得分恰巧相等的概率；（Ⅱ）假如 x y7 ，从甲、乙两人的 4 局比中随机各取 1 局，2 局的得分和X ,求 X 的散布列和数学希望；（Ⅲ）在 4 局比中，若甲、乙两人的均匀得分同样，且乙的更定，写出x 的全部可能取．（不要求明）16．（本小13 分）已知数列 { a n } 中， a11，且a n 12an ( n N ) .2 a n（Ⅰ）求 a2 , a3 , a4的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学概括法证明．17．（本小题 13 分）已知函数 f ( x) ax3bx24x 的极小值为8 ，其导函数 y f ( x) 的图象经过点( 2, 0)，以下图．y（Ⅰ）求 f ( x) 的分析式；（Ⅱ）若函数y f ( x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不一样的零点，务实数 k 的取值范围．-2O x 18．（本小题13 分）某企业计划购置 2 台机器，该种机器使用三年后即被裁减．机器有一易损部件，在购进机器时，能够额外购置这类部件作为备件，每个200 元，在机器使用时期，假如备件不足再购置，则每个 500 元．现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件，为此收集并整理了100台这类机器在三年使用期内改换的易损部件数，得下边柱状图：频数402011 改换的易损部件数8910以这 100 台机器改换的易损部件数的频次取代 1 台机器改换的易损部件数发生的概率，记 X 表示2台机器三年内共需改换的易损部件数，n 表示购置 2 台机器的同时购置的易损部件数．（Ⅰ）求 X 的散布列；（Ⅱ）若要求 P( X n )0.5 ，确立 n 的最小值；（Ⅲ）以购置易损部件所需花费的希望值为决议依照，在n 19与 n 20 之中选其一，应选用哪个？19．（本小题14 分）已知函数 f ( x)e x a(x ln x) (a R ) ．x（Ⅰ）当 a （Ⅱ）当 a （Ⅲ）若存在1 ， 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 的切 方程； 0 ， 求f ( x) 的 区 ；x 1 (0,1), x 2 (0,1) ，使得 f (x 1 ) f ( x 2 ) ， 求 a 的取 范 ．20．（本小14 分）于 数m 的有 数列 { a n } ,令 b kmax{ a 1 , a 2 , , a k } (k 1, 2, , m) ,即 b ka 1 , a 2 ,⋯a k 中的最大 , 称数列 {b n }{ a n } 的上界数列 , 如 1, 3, 2, 5 的上界数列是 1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各 均 正整数的数列{ a n } 的上界数列2, 4, 4, 5, 写出全部的 { a n } ；（Ⅱ） { b n } 是 { a n } 的上界数列 , 足 a kb m k 1 C ( C 常数 , k1, 2, , m ), 求 : b ka k ；（Ⅲ）若各 正整数的数列{ a n } 的 数 m 5 , 其上界数列 {b n } 足 b 1 1, b 5 10 , 求 足条件的数列 { a n } 和 { b n } 的个数．。
北京市人大附中2017-2018学年第二学期高二周末数学练习word无答案3.9
北京市人大附中2017-2018 学年第二学期高二周末数学练习word 无答案 3.9人大附·高二·周末练习二一、选择题1.已知函数y x33x c 的图象与x 恰有两个公共点，则（）A. 420B. 390C. 450D. 4802.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y (1 x) f ( x)的图象如下图，则以下结论中必定建立的是（）A.函数 f ( x)有极大值 f (2) 和极小值 f (1)B.函数 f ( x)有极大值 f ( 2) 和极小值 f (1)C.函数 f (x)有极大值 f (2) 和极小值 f ( 2)D.函数 f (x)有极大值 f ( 2) 和极小值 f (2)3.已知某函数y f (x) 的导函数 f (x ) 的图象如下图，则原函数的图象可能是（）4.函数f (x)ax3bx2cx d 的图象如下图，x1x2，则有（）A. a0,b0,c0, d0B. a0,b0,c0, d0C.a0,b0,c0,d0D. a0,b0,c0,d05.已知y f ( x) 是 R 上的可导函数，关于随意的正实数t ，都有函数 g (x) f ( x t) f ( x) 在其定义域内为减函数，则函数y f (x) 的图象可能为以下图中（）6.定义在R上的函数 f ( x) 知足 f (4) 1 ， f ( x) 为 f (x ) 的导函数，已知 y f (x ) 的图象如图所示，若两个正数 a ， b 知足 f (2a b) 1 ，则b 1的取值范围是（）a 1A. (1,1)B. ( ,1) (5,+） C. (1,5) D. ( ,3)53337.设f (x)是函数 f ( x)的导函数，将y f ( x) 和 y f (x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是（）8.函数y x2sin x 的图象大概是（）2二、填空题9.函数y x33x21在 x处获得极小值.10.若f (x)ax3bx2cx d (a 0) 在 R 上为小强数学增函数，则 a ，b ，c 的关系式为.11.已知可导函数y f ( x) 知足 f (x 2) f ( x) ，函数 y f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则 f (1)，函数y f (x) 的图象在点( 3, f ( 3)) 处的切线方程为.12.已知二次函数f (x )、一次函数g ( x)分别为f ( x)、g (x )的导函数，它们在同一坐标系下的图象如下图：①若 f (1) 1 ，则 f ( 1)；②设 h( x) h( x) g( x) ，则 h( 1) ， h(0) ， h(1) 的大小关系为.ln x, x0,D 是由 x 轴和曲线 y f ( x ) 及曲线在点(1,0) 处的切线所围成13.设函数 f ( x)2x1, x 0,的关闭地区，则 z x2y在 D 上的最大值为.14. 定义方程 f (x ) f ( x) 的实数根 x0叫做函数 f (x) 的“新驻点”，假如函数g (x) x ，h(x) ln( x 1)， (x)cos x( x (2 , )) 的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是.三、解答题15.已知向量a( x2 , x 1) ，b (1 x, t) ，若函数 f (x) a b 在区间 ( 1,1) 上是增函数，求t的取值范围 .16.已知函数 f ( x)x3ax2bx c 在 x 2与 x 1 时都获得极值. 3（I ）求a，b的值与 f (x)的单一区间；（II ）若对x [1, 2]不等式 f (x) c 2恒建立，求 c 的取值范围.17.已知函数 f ( x)1bx cx d ，此中 a ，b ，c 是以 d 为公差的等差数列，且 a0 ，d 0 . ax323设 x 为 f ( x) 的极小值点，在[12b, 0]上， f ( x) 在 x处获得最大值，在x处获得最小值，将0a12点 (x0 , f ( x0 )) ， ( x1, f ( x1 )) ， ( x2 , f(x2)) 挨次记为A，B，C.（I ）求x0的值；（II ）若ABC有一边平行于x 轴，且面积为 2 3 ，求a，d的值.。
2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上.）1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 2．（5分）设复数z＝i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．5．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数6．（5分）已知lga+lgb＝0，则lg（a+b）的最小值为（）A．lg 2B．2 C．﹣lg 2D．27．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝﹣k（+lnx），若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分.请将正确答案填在答题卡上.）9．（5分）若函数f（x）满足f（）＝log2x，则f（2）＝．10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2）；且当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则＝．11．（5分）若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为．12．（5分）若f（x）＝x sin x+cos x，则f（﹣3），f（），f（2）的大小关系为．13．（5分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）＝a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）＝0．三、解答题（共6道小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C＝{x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．16．（12分）设t∈R，已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2tx+1有零点；命题q：∀x∈[1，+∞），．（1）当t＝1时，判断命题q的真假；（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）＝，x∈R，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）（x∈（﹣2，0））的图象与直线y＝a有两个不同交点，求a的取值范围．18．（13分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）＝；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）＝a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，e x＞x2．20．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数F（x）＝x2⋅g（x）﹣f（x）﹣lnx+a，①求函数F（x）在区间[1，e]上的最大值；②求证：a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分.请将正确答案填涂在答题卡上.）1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}故选：A．2．（5分）设复数z＝i⋅（1+i）（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数Z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：若输入的a值为1，则k＝0，b＝1，a＝，不满足退出循环的条件，故k ＝1；a＝﹣2，不满足退出循环的条件，故k＝2；a＝1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y＝e x+e﹣x B．y＝ln（|x|+1）C．D．【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调递增函数．故选：D．5．（5分）命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选：C．6．（5分）已知lga+lgb＝0，则lg（a+b）的最小值为（）A．lg 2B．2 C．﹣lg 2D．2【解答】解：由lg a+lg b＝0，可知a＞0，b＞0，则lg（ab）＝0，即ab＝1．所以a+b≥2 ＝2，当且仅当a＝b＝1 时取等号，所以lg（a+b）≥lg 2．故lg（a+b）的最小值为lg 2．故选：A．7．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝﹣k（+lnx），若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．[0，e]C．（﹣∞，e）D．[0，e）【解答】解：∵函数f（x）＝﹣k（+lnx），∴函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝﹣k（﹣+）＝∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根．∴e x﹣kx＝0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）＝e x﹣kxg′（x）＝e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）＝1，g（x）＝0无解②k＞0时，g′（x）＝0有解为：x＝lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）＝k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y＝e x和y＝ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故选：A．二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分.请将正确答案填在答题卡上.）9．（5分）若函数f（x）满足f（）＝log2x，则f（2）＝0．【解答】解：∵函数f（x）满足f（）＝log2x，∴令x＝1，得：f（2）＝log21＝0．故答案为：0．10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2）；且当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则＝0．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，∴＝2×＝0．故答案为：0．11．（5分）若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为﹣1．【解答】解：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x﹣2y，由，解得A（1，1）．可知z＝x﹣2y在点A（1，1）处取得最大值﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）若f（x）＝x sin x+cos x，则f（﹣3），f（），f（2）的大小关系为f（）＞f（2）＞f（﹣3）．．【解答】解：由f（﹣x）＝f（x）知，函数f（x）为偶函数，因此f（﹣3）＝f（3）．又f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，π）时，f′（x）＜0，∴f（x）在区间（，π）上是减函数，∴f（）＞f（2）＞f（3）＝f（﹣3），故答案为：f（）＞f（2）＞f（﹣3）．13．（5分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）＝x2∈[0，4]，即f（x）min＝0x2∈[1，2]，g（x）＝∈[，]∴g（x）min＝∴0∴m故答案为：m14．（5分）设函数f（x）＝a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）＝0．【解答】解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＝a x+b x﹣c x＝，∴①正确．②令a＝2，b＝3，c＝4，则a．b．c可以构成三角形，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，∴②正确．③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a2+b2﹣c2＜0，∵f（1）＝a+b﹣c＞0，f（2）＝a2+b2﹣c2＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）＝0，∴③正确．故答案为：①②③．三、解答题（共6道小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x＞1}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）已知非空集合C＝{x|1＜x≤a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴A∩B＝{x|2＜x≤3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）A∪B＝{x|x≥1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）∵非空集合C＝{x|1＜x≤a}，∴a＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又C⊆A＝{x|1≤x≤3}，所以a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）综上得a的取值范围是1＜a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）16．（12分）设t∈R，已知命题p：函数f（x）＝x2﹣2tx+1有零点；命题q：∀x∈[1，+∞），．（1）当t＝1时，判断命题q的真假；（2）若p∨q为假命题，求t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝1时，，在[1，+∞）上恒成立，∴命题q为真命题．（2）若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，△＝（﹣2t）2﹣4＜0，解得﹣1＜t＜1；当q为真命题时，，即4t2﹣1≥0，解得t≤﹣或，由此得到，当q 为假命题时，，∴t 的取值范围是．17．（13分）已知函数f（x ）＝，x∈R，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）（x∈（﹣2，0））的图象与直线y＝a有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a＝（x+1）（x﹣a）．……………………1′由f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝a＞0．……………………2′当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：……………………3′故函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（a，+∞）；单调递减区间是（﹣1，a）．……………………6′（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣a，x∈（﹣2，0），则函数g（x）在区间（﹣2，0）内有两个不同的零点，……………………8′由（Ⅰ）知g（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减，从而……………………11′解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）……………………13′18．（13分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）＝；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）＝a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【解答】解：（1）由x＝20和x＝180时可以解得a，b∴a＝90，b＝3∴q（x）＝（2）设总利润为W（x）则W（x）＝①当x∈（0，20]时，W（x）＝1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x＝20②当x∈[20，180]时，W（x）＝90x﹣3x，（W（x））′＝90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x＝80时取得最大为2400综上所述：x＝80时，总利润最大为2400元．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，e x＞x2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝e x﹣mx（m为常数），∴f′（x）＝e x﹣m，（m∈R），∴f′（0）＝1﹣m，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为﹣1，∴f′（0）＝1﹣m＝﹣1，解得m＝2．（Ⅱ）∵f′（x）＝e x﹣m，（m∈R），函数f（x）定义域为（﹣∞，+∞），当m≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时没有极值；当m＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lnm，则随着x的变化，f′（x），f（x）变化如下表：由上表知函数f（x）在（lnm，+∞）上单调递增，在（﹣∞，lnm）上单调递减，则在x＝lnm处取得极小值f（lnm）＝e lnm﹣mlnm＝m（1﹣lnm），无极大值．证明：（Ⅲ）设函数g（x）＝e x﹣x2，则g′（x）＝e x﹣2x，由（Ⅱ）知m＝2时，g′（x）＝f（x）≥f（ln2），∵f（ln2）＝2（1﹣ln2）＞0，∴g′（x）＞0恒成立，即函数g（x）在R上递增，∵g（0）＝1，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，∴e x＞x2．20．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数F（x）＝x2⋅g（x）﹣f（x）﹣lnx+a，①求函数F（x）在区间[1，e]上的最大值；②求证：a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1﹣……………………1′∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．∴f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（0，1）．……………………3′（Ⅱ）F（x）＝xlnx﹣ax+a，①F′（x）＝lnx+1﹣a，令F′（x）＝0，得x＝e a﹣1，……………………5′所以在区间（0，e a﹣1）上，F′（x）＜0，F（x）单调递减，在区间（e a﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）单调递增．（ⅰ）当e a﹣1≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，e]上，F（x）单调递增，所以F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae；……………………6′（ⅱ）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，F（x）单调递减，所以F（x）最大值为F（1）＝0．……………………7′（ⅲ）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，F（x）的最大值为F（e）和F（1）中较大者：令F（e）﹣F（1）＝e+a﹣ae＞0，解得a＜，所以当1＜a＜时，F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae，当≤a＜2时，F（x）最大值为F（1）＝0，综上所述，当0＜a＜时，F（x）最大值为F（e）＝e+a﹣ae，当a≥时，F（x）最大值为F（1）＝0．……………………10′②“函数F（x）有两个零点”等价于“方程xlnx﹣ax+a＝0两个根”，由于x＞0，也等价于“函数G（x）＝有两个零点”．…11′则G′（x）＝，0时，令G′（x）＞0得x＞a，令G′（x）＜0得x＜a，即函数G（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a），因此，G（x）min＝G（a）＝lna﹣a+1≤0..……………………13′又G（1）＝0，当a＞1时，由于G（a）＜0，G（ea）＝＞0，故函数G（x）有两个零点所以a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．……………………14′。
2017-2018年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。
2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b| D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1 B．3 C．5 D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【分析】共轭复数的定义为：若复数为a+bi，则其共轭复数为a﹣bi．所以根据可得答案．【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握有关定义即共轭副数的定义．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【分析】知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，由列举法是集合表示法的一种，由此知正确的选项．【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．【点评】本题考查了知识结构图的应用问题，是基础题．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b| D．|a|＞|b|且|a|=|b|【分析】结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，由此得出结论．【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求，属于基础题．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①根据回归分析的定义去判断；②由独立性检验的概率意义判断；③由相关系数的大小与线性相关程度的关系判断．【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查独立性检验及线性相关关系的基本概念，是基础题．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．【点评】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，是基础题．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5【分析】选择数据较小的路线，确定到达4个村庄的最短路线即可【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．【点评】本题考查合情推理，考查学生的计算能力，找到最短路线是解决本题的关键．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1 B．3 C．5 D．6【分析】推导出数列{x n}是以6为周期的周期数列，从而x2017=x1=5．【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【分析】直接由复数得到复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【分析】利用线性回归直线方程计算x=2时的值即可．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【分析】可先由乙推出，可能答案对A或B，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．【点评】本题考查乙答对的题的判断，考查简单的合情推等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求函数S=的周期，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，然后根据归纳推理即可得到结论．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据已知条件得到数列取值的规律性是解决本题的关键．考查学生的观察能力．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【分析】（1）根据题意，由复数的运算法则，分析可得其符合集合封闭的定义，即可得答案；（2）根据题意，分析可得R符合题意的要求，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．【点评】本题考查集合的关系，关键是掌握集合封闭的定义，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【分析】把z1=2+4i，z2=a+i（a∈R）代入z1=z2•（1+i），整理后利用复数相等的条件列式求得a，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（3）由（2）可得f（x）的极小值，且为最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，同时考查不等式的解法，属于基础题．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【分析】（1）由于集合B中不含1，3等元素，不满足新定义，即可判断；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式，结合条件和新定义，求得d=1，2，分别讨论可得所求数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的运用和方程思想、分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质得答案．【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，a n a n+1=6，由递推公式可求解数列的通项公式．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．【点评】此题的思想方法要抓住给出的信息，观察数列的规律，总结出项数与项之间的关系，求出通项公式时需要分类讨论，一定清楚奇数项数与偶数项数，否则容易出错．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x（x）【分析】分别求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x），结合f（x），可得到f n+4=f n（x），于是可得到f2017（x）=f1（x），从而可得出答案．【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，（x）=f n（x），，，∴f n+4，故选：B．【点评】本题考查导数的运算，找出导数的周期性是解本题的关键，属于基础题．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【分析】由复数模的几何意义，数形结合即可求得|z﹣（1+i）|的最大值．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数模的几何意义，是基础题．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出a1=1，d=，从而能求出数列的通项公式．（2）由，能求出数列{b n}的前8项和．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查数列的前8项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，由f′（﹣1）=0，可得所求关系式；（2）求得f（x）的导数，讨论a=1，a＜1，结合二次不等式的解法，可得所求单调区间；（3）由（2）可得f（x）的单调性，求得极值，由题意可得m介于极小值和极大值之间．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。
2018北京人大附中高二(下)期末数 学(理)
2018北京人大附中高二（下）期末数 学(理)2018年7月6日说明：本练习共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．10(e 2)d xx x +⎰等于（ ）（A ）1（B ）e 1-（C ）e （D ）e 1+2．已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的 图象可能是（ ）4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为14，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为15，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ）（A ）120 （B ）1920 （C ）35 （D ）7205．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=-6．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==,(0)1i i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则（ ）（A ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< （B ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> （C ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< （D ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>7．集合230123{|222}P x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1},0,1,2,3i a i ∈=．则集合P 中元素的个数及所有元素之和分别是（ ） （A ）16，120 （B ）8，120 （C ）16，60 （D ）8，608．设函数32,e,ln ,e x x x y a x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上存在两点,P Q ,使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在y 轴上,则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1(0,]e 1+ （B ）1(,]e 1-∞+ （C ）1[+)e 1∞+, （D ）R二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸的相应位置.)9．已知复数12i1iz +=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 10．圆12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)被x 轴截得的弦长为________．11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，则不同的带队方案有________种．（用数字作答） 12．观察下列一组等式1+2=32+3+4+5=14x O3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60……照此规律，第n 个等式的右端为________．13．已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．14．给定集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，映射:n n f A A →，若f 满足：① 当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；② 任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈⋅⋅⋅．则称映射f 为n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射33:f A A →是一个优映射． 表1 表2（1）已知表2表示的映射44:f A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）若映射1010:f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．三、解答题 (本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ,求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 16．（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，且12()2nn n a a n a *+=∈+N .（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（本小题13分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买i1 2 3 ()f i231i1 2 3 4 ()f i3yx O -2这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 19．（本小题14分）已知函数e ()(ln )()xf x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在12(0,1),(0,1)x x ∈∈，使得12()()f x f x =，试求a 的取值范围．20．（本小题14分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,a a ,…k a 中的最大值, 称数列{}n b 为{}n a 的上界数列, 如1, 3, 2, 5的上界数列是1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的上界数列为2, 4, 4, 5, 写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的上界数列, 满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅),求证:k k b a =；（Ⅲ）若各项为正整数的数列{}n a 的项数5m =, 其上界数列{}n b 满足11b =, 510b =, 求满足条件的数列{}n a 和{}n b 的个数．频数40208 9 10 11 更换的易损零件数。
北京师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)
中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（）A. 假设、、都是偶数B. 假设、、都不是偶数C. 假设、、至多有一个偶数D. 假设、、至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选A.2.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：：由于复数，，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照附表，得到的正确结论（）A. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”【答案】A【解析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据，，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.5.已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.详解：随机变量满足，所以，解得，故选D.点睛：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可知，利用条件概率公式可求得的值.详解：设第一个路口遇到红灯的事件为，第二个路口遇到红灯的事件为，则，则，故选C.点睛：本题考查条件概率公式，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.8.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A. 0.3B.C. 4D.【答案】D【解析】分析：两边取对数，可化为，结合线性回归方程，即可得出结论.详解：由两边取对数，可得，令，可得，，，故选D.点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程，其中理解回归方程的求解过程与熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.9.已知随机变量的概率分布如下表，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由分布列的性质可得：，故选C.10.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先确定函数的定义域然后求出导函数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，从而可得结果.详解：定义域为，又，又，得，当时，；当时，，因为函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，所以，解得，实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查考查计算能力、转化与划归思想的应用，属于基础题.11.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果. 详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.12.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数，，所以是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．【答案】是自然数.【解析】分析：直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.详解：由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，是整数”，故答案为是自然数.点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况.14.，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________．【答案】.【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是．详解：，，，，……由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是，可猜想，.故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15.已知曲线在点处的切线为，则点的坐标为__________．【答案】.【解析】分析：设切点坐标为，求得，利用且可得结果.详解：设切点坐标为，由得，，，即，故答案为.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验．【答案】.【解析】分析：先不考虑蛇共有种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论．详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有种，再排藏红花有种，共有种，其中蛇相邻的排法共有种，，故答案为.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据：房屋面积销售价格（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。
人大附中2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试卷(选修2-2第一章)
人大附中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·承德期末]函数()f x x =从1到4的平均变化率为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．32．[2018·萧山一中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2eB ．eC ．ln22D ．ln23．[2018·滁州期末]曲线()()1e x f x x =+在点()()00f ，处的切线方程为（ ） A ．1y x =+B ．21y x =+C ．112y x =+ D ．113y x =+ 4．[2018·武威十八中]已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x +'=，则()1f '=（ ） A ．e − B ．1 C ．−1 D ．e此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．[2018·新余期末]下列求导运算正确的是（ ）A ．2331x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()3og e 33l x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=−6．[2018·咸阳期末]函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．[2018·曲周一中]计算()22042x x dx −−=⎰（ ）A ．2π4−B ．π4−C ．ln 24−D ．ln 22−8．[2018·眉山期末]直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（ ） A ．272B ．9C ．92D ．2749．[2018·曲靖一中]若函数()32f x x ax a =−+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0−∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫−∞+∞⎪⎢⎣⎭10．[2018·南昌十中]设函数()22e 1x f x x +=，()2e e x xg x =，对1x ∀，()20,x ∈+∞，不等式()()12g x kf x ≤恒成立，则正数k 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．[2018·商丘九校]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x−>'成立，则不等式()20x f x >的解集是（ ）A ．()()2,02,−+∞B ．()()2,00,2−C ．()2,+∞D ．()(),22,−∞−+∞12．[2018·成都外国语]m 使得不等式()22f m n n −≤成立，求实数n 的取值范围为（ ）A [)0,⎤+∞⎥⎦B ]1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ]1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D [)1,⎤+∞⎥⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·枣强中学]设()2lg ,03,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰≤，若()11f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a =__________．14．[2018·承德期末]20x y −=的切线，则a 的取值范围为__________．15．[2018·天水一中]已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单润的年产量为__________万件．16．[2018·曲靖一中]已知()1sin cos f x x x =+，()()21f x f x ='，()()32f x f x ='，…，()()1n n f x f x −'=，…，（*n ∈N ，2n ≥）______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．[2018·巴市一中]求下列函数的导数． （1）32log y x x =+； （2）22(2)(31)y x x =−+；（3）2ln xy x =； （4）23(21)x y x =+．18．[2018·南康中学]已知曲线31433y x =+．（1）求曲线在点()2,4P 处的切线方程； （2）求过点()2,4P 的曲线的切线方程．19．[2018·天津期末]已知曲线21:2C y x =与22:12C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ．20．[2018·钦州期末]已知函数()()223125f x x x x =−−+． （1）求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =在区间[]0,3的最大值和最小值．21．[2018·海淀期末]设函数()32f x x ax bx c =+++满足()04f '=，()20f '−=． （1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程． （2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．22．[2018·滨州期末]（1）当32a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若对任意的[)1,x ∈+∞，不等式()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】1413=−，故选A ． 2．【答案】B【解析】()ln 1f x x '=+，则0ln 12x +=，0e x =．故选B ． 3．【答案】B 【解析】()()()1e 2e x x f x x x '⎡'⎤=+=+⎣⎦，()()0002e 2f ∴=+='，()()0001e 1f =+=，曲线()()1e x f x x =+在点()()00f ，处的切线方程为()120y x −=−，即21y x =+．故选B ． 4．【答案】C【解析】因为()()121f x f x''=+，所以()()1211f f ''=+，()11f '=−，选C ． 5．【答案】B【解析】AB C ，()33ln 3x x '=⋅，故错误；D ，()22cos 2cos sin x x x x x x '=−，故错误．故选B ． 6．【答案】D【解析】由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x ='的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A 、C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，故排除B ，故选D ． 7．【答案】B【解析】[]0,2x ∈的面积，即半径为2的圆的14，B ．8．【答案】C【解析】由直线3y x =与曲线2y x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以直线3y x =与曲线2y x =的交点为()0,0O 和()3,3A ，因此，直线3y x =与曲线2y x =所围成的C ．9．【答案】D【解析】∵()32f x x ax a =−+，∴()232f x x a '=−，∵函数()32f x x ax a =−+在()0,1内无极值，∴()232f x x a '=−在()0,1内无实数根，∵01x <<，∴223232a x a a −<−<−，∴20a −≥或320a −≤，∴0a ≤或D ．10．【答案】C()g x 在()0,1单调递增，()1,+∞单调递减，所以()()max 1e g x g ==，所以()f x单调递减调递增，所以，所以()e 2e k ⋅≤，所以C ．11．【答案】A 【解析】()()()20(0)xf x f x g x x x−∴=>>''，()20g =，()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0−∞上单调递减，()()2300x f x x g x >⇒>()()()()000202x x g x g g x g ><⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨>=<=−⎪⎪⎩⎩或220x x ⇒>−<<或，选A ． 12．【答案】D【解析】1x =时，()()()1101f f f ''=+−，则()01f =，则()1e f '=，则()e 1x f x x '=+−，令()0f x '=，解得0x =，当()0f x '>，解得0x >，当()0f x '<，解得0x <，所以当0x =时，取极小值，极小值为()01f =，()f x ∴的最小值为1，由()22f m n n −≤，则()2min 21n n f x −=≥，则2210n n −−≥，解得1n ≥或n [)1,⎤+∞⎥⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由分段函数可得()1lg10f ==，当0x ≤时，，∵()11f f ⎡⎤=⎣⎦，∴()01f =，即31a =，解得1a =，故答案为1． 14．【答案】[]4,0−【解析】有解，所以有解，得222a −−−≤≤，得a 的取值范围为[]4,0−．15．【答案】9【解析】由31812343y x x =−+−得281y x '=−+，由2810x −+=得19x =−（舍去），29x =，当()0,9x ∈时，0y '>，函数31812343y x x =−+−为增函数，当()9x ∈+∞，时，0y '<，函数31812343y x x =−+−为减函数，所以当9x =时，函数有最大值为3198192342523−⨯+⨯−=（万元），∴使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 16．【答案】0【解析】()2cos sin f x x x =−，()3sin cos f x x x =−−，()4cos sin f x x x =−+，()5sin cos f x x x =+，…，()()4n n f x f x −=，所以函数()n f x 的周期是4，且，所以0． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1（2）3236902620y x x x '=−++； （3）2ln 22ln xxy x x'=⋅+；（4）24102(21)x xy x +'=+． 【解析】（1）因为32log y x x =+，所以2113ln 2y x x'=+；··········2分 （2）因为()()()2222231352y x x x x =−+=−−，所以3236902620y x x x '=−++；···5分 （3）因为2ln xy x =，所以2ln 22ln '=⋅+xxy x x；··········7分（4）因为23(21)x y x =+，所以3222642(21)3(21)222(21)(21)x x x x x xy x x +−+⨯−+'==++．····10分18．【答案】（1）440x y −−=；（2）20x y −+=或440x y −−=．【解析】（1）2y x '=，∴在点()2,4P ····2分∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x −=−，即440x y −−=．····4分 （2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅−+．点()2,4P 在切线上，2300244233x x ∴=−+，即3200340x x −+=， 322000440x x x ∴+−+=，即()()()2000014110x x x x +−+−=，解得01x =−或02x =， 故所求的切线方程为20x y −+=或440x y −−=．··········12分 19．【答案】略【解析】解：（1）22212y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，()2,2P ∴，22122x k x ='⎛⎫ ⎪⎝⎭==，∴所求切线方程为：220x y −−=；··········6分 （2）解法1：()322232200011142||2363x dx x x −=−=⎰⎰．··········12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求解． 20．【答案】（1）1240x y +−=；（2）()max 5f x =，()min 15f x =−． 【解析】（1）将1x =代入函数解析式得8y =−，由()()223125f x x x x =−−+得()26612f x x x =−−'，()112f '=−，所以函数在1x =处的切线方程为()8121y x +=−−，即1240x y +−=；····6分 （2）由（1）得()()()26612621f x x x x x =−−=−+'， 由()0f x '=，得2x =，或1x =−．因为[]0,3x ∈，()05f =，()215f =−，()34f =− 所以，()max 5f x =，()min 15f x =−．··········12分21．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵()232f x x ax b =++'，依题意()()0421240f b f a b ⎧==⎪⎨−=−+=''⎪⎩，∴4b =，4a =，··········3分()2384f x x x '=++，()3244f x x x x c =+++，∴()04k f ='=，()0f c =， ∴切点坐标为()0,c ，∴切线方程4y x c =+．··········5分（2）∵()()()232f x x x =++'且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =−，223x =−，··········7分∴()2f c −=，232327f c ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，··········10分 若()f x 有2个不同零点，则()20f c −=>，2320327f c ⎛⎫−=−+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<．··········12分 22．【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是()1,3−，单调递增区间是(),1−∞−，()3,+∞；（2）实数a 的取值范围是1e ,2−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）当32a =时，()23e x x f x −=，()()()2222e 3e 23e e x x x xx x x x f x '−−−−−==，····2分由()0f x '<，解得13x −<<，故函数()f x 在区间()1,3−上单调递减；由()0f x '>，解得1x <−或3x >，故函数()f x 在区间(),1−∞−，()3,+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是()1,3−，单调递增区间是(),1−∞−，()3,+∞；····4分（2）不等式()10f x +>[)1,x ∈+∞，不等式()10f x +>恒成立， 可转化为不等式22e x a x >−在[)1,x ∈+∞上恒成立，··········5分 令()2e x g x x =−，()()2e x h x g x x ==−'，··········6分 所以()2e x h x '=−，当[)1,x ∈+∞时，()2e 2e 0x h x −'=−<≤， 所以()()2e x h x g x x ==−'在[)1,+∞上单调递减， 所以()2e 2e 0x h x x =−−<≤，即()0g x '<， 故()2e x g x x =−在[)1,+∞上单调递减，··········9分 则()()2e 11e x g x x g =−=−≤，故不等式()10f x +>恒成立，只需()max 21e a g x >=−，即所以实数a ··········12分。
2017-2018学年北京师大附中高二(下)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（∁U A）∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，5}C．{3}D．{1，3，4} 2．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）3．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．364．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，求实数a的取值范围（）A．（﹣4，21）B．[﹣4，21]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣4，﹣3]5．（5分）甲、乙两人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2（v1＜v2）．甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，甲、乙两人从A地到B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴S表示路程），其中正确的图示分析为（）A．（1）B．（3）C．（1）或（4）D．（1）或（2）6．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点7．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g （x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g （x）C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g （a）8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）设复数z满足（1+i）z=i，则|z|=．10．（5分）设a=log32，b=log23，c=log20.3，那么实数a，b，c的大小关系是．11．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得函数解析式为．12．（5分）过点（﹣1，﹣2）的直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为．13．（5分）已知双曲线﹣=1左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”．（1）设f（x）=cosx，则f（x）在（0，π）上的“新驻点”为．（2）如果函数g（x）=x与h（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是．三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知条件p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，条件q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若￢p是q的必要条件，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，，，∠ASC=∠ACB=90°．（1）求证：OE∥平面SAB；（2）若F是线段BC上的任意一点，求证：OE⊥SF；（3）求三棱锥S﹣ABC的体积．17．（13分）已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数的单调区间．18．（13分）已知抛物线W：y=ax2经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2．（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；（Ⅱ）设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合，如图），记直线AB的斜率为正数k，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求k的值．19．（13分）已知函数，曲线y=f（x）在x=1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2=1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．2017-2018学年北京师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（∁U A）∩（∁U B）等于（）A．{2}B．{2，5}C．{3}D．{1，3，4}【分析】根据补集的定义求得（∁U A）和（∁U B），再根据两个集合的并集的定义求得（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，则（∁U A）={2，4，5}，（∁U B）={1，2，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={2，5}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，正确；命题q：函数f（x）=cos2x为偶函数，因此不正确．可知：p∧￢q正确．故选：D．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【分析】由已知中棱锥的三视图，我们可以判断出几何体的形状及长、宽、高等几何量，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的长、宽、高是解答本题的关键．4．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，求实数a的取值范围（）A．（﹣4，21）B．[﹣4，21]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣4，﹣3]【分析】由题意可得a=x2﹣4x在区间[﹣3，3]上有两个不等实根，求得函数y=x2﹣4x在[﹣3，3]的值域，即可得到所求a的范围．【解答】解：函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，可得a=x2﹣4x在区间[﹣3，3]上有两个不等实根，由y=x2﹣4x在[﹣3，2）递减，在（2，3]递增，可得y的最小值为4﹣8=﹣4，x=﹣3时，y=21；x=3时，y=﹣3，则﹣4＜a≤﹣3时，直线y=a与y=x2﹣4x有两个交点，即所求a的范围是（﹣4，﹣3]．故选：C．【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．5．（5分）甲、乙两人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2（v1＜v2）．甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，甲、乙两人从A地到B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴S表示路程），其中正确的图示分析为（）A．（1）B．（3）C．（1）或（4）D．（1）或（2）【分析】甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间大于，同时，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，在t1时间里所走的路程小于总路程是一半．【解答】解：根据题意，从A到B地，甲用的时间为t1=+=S，乙用的时间t2=，分析可得t1＞t2，即乙比甲先到B地，进而可排除图（3）、（4）；当甲前一半路程速度为V1，后一半路程为V2时，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间大于，图（2）正确，当甲前一半路程速度为V2，后一半路程为V1时，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间小于，图（1）正确，则图（1）、（2）都正确；故选：D．【点评】本题考查函数图象的变化趋势，是一道非常好的题目．6．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用．7．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g （x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g （x）C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g （a）【分析】由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）我们联想到[f（x）g（x）]′，由四个选项，我们很容易想到利用导数研究函数的单调性来解．【解答】解：令y=f（x）•g（x），则y′=f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x），由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，所以y在R上单调递减，又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．故选：C．【点评】主要考查利用导数研究函数的单调性问题．本题的突破口是把给定题目转换为我们熟悉的题目，此题比较新颖，是一道好题．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选：C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）设复数z满足（1+i）z=i，则|z|=．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵（1+i）z=i，∴z=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10．（5分）设a=log32，b=log23，c=log20.3，那么实数a，b，c的大小关系是c ＜a＜b．【分析】利用对数函数的单调性及与数0，1的大小关系即可得出答案．【解答】解：∵，∴c＜0．∵，∴0＜a＜1．∵，∴1＜b．综上可得：c＜a＜b．故答案为c＜a＜b．【点评】本题考查了对数函数值的大小比较，深刻理解对数函数的单调性及与数0，1的大小关系是解决问题的关键．11．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得函数解析式为y=﹣cos2x．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x+）的图象；再将图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣+）=sin（2x﹣）=﹣cos2x 的图象，故答案为：y=﹣cos2x．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．（5分）过点（﹣1，﹣2）的直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为1或．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，设出直线l的斜率，由直线l过（﹣1，﹣2），表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，又弦长为，∴圆心到直线l的距离d==，设直线l的斜率为k，又直线l过（﹣1，﹣2），∴直线l的方程为y+2=k（x+1），即kx﹣y+k﹣2=0，∴=，即（k﹣1）（7k﹣17）=0，解得：k=1或k=，则直线l的斜率为1或．故答案为：1或【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）已知双曲线﹣=1左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】先求出|PF2|的值，Rt△PF1F2中，由tan∠PF1F2 ==tan，求出的值，进而得到渐近线方程．【解答】解：把x=c 代入双曲线﹣=1 可得|y|=|PF2|=，Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2 ====tan=，∴=，∴渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，求的值是解题的关键．14．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”．（1）设f（x）=cosx，则f（x）在（0，π）上的“新驻点”为．（2）如果函数g（x）=x与h（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是α＞β．【分析】（1）根据题意，求出函数f（x）的导数，由“新驻点”的定义可得cosx=﹣sinx，变形可得tanx=﹣1，结合x的范围分析可x的值，即得答案；（2）根据题意，求出h（x）与g（x）的导数，由“新驻点”的定义可得α的值以及ln（β+1）=，利用函数图象的性质分析β范围，比较即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=cosx，其导数f′（x）=﹣sinx，若f（x）=f'（x），即cosx=﹣sinx，则有tanx=﹣1，又由x∈（0，π），则x=，即f（x）在（0，π）上的“新驻点”为，（2）函数g（x）=x，其导数g′（x）=1，若g（x）=g′（x），即x=1，函数g（x）=x的“新驻点”为α，则有α=1，h（x）=ln（x+1），则h′（x）=，若h（x）=h′（x），即ln（x+1）=，h（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为β，则有ln（β+1）=，分析可得：0＜β＜1，则有α＞β；故答案为：（1），（2）α＞β．【点评】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义．三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知条件p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，条件q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若￢p是q的必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据条件p：x∈A=[﹣1，3]，条件q：x∈B=[m﹣2，m+2]，A∩B=[0，3]，可得，解得m．（2）先求出￢q：∁R B={x|x＜m﹣2，或m＞m+2}，根据p⇒￢q，可得3＜m﹣2或m+2＜﹣1，即可得出．【解答】解：（1）A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，x∈R，m∈R}，∵A∩B=[0，3]，∴，∴m=2．（2）∵¬p是q的必要条件，∴p是¬q的充分条件又∵A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，¬q表示的范围用集合C表示，则C={x|x＜m﹣2或x＞m+2}，∴A⊆C，则m+2＜﹣1或m﹣2＞3，解得m＜﹣3，或m＞5．所以实数m的取值范围是{m|m＜﹣3，或m＞5}．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，，，∠ASC=∠ACB=90°．（1）求证：OE∥平面SAB；（2）若F是线段BC上的任意一点，求证：OE⊥SF；（3）求三棱锥S﹣ABC的体积．【分析】（1）根据E，O分别是SC、AC的中点，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得OE∥平面SAB；（2）由平面SAC⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ASC，可得BC⊥OE结合OE⊥SC及线面垂直的判定定理可得：OE⊥平面BSC，再由线面垂直的性质可得无论F在BC的何处，都有OE⊥SF（3）先证明SA⊥平面SBC，利用三棱锥体积公式即可求解．【解答】解：（1）∵E，O分别是SC，AC的中点，∴OE∥SA，又∵OE⊄平面SAB，∴OE∥平面SAB．（2）在△SAC中，∵OE∥AS，∠ASC=90°，∴OE⊥SC，∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°，∴BC⊥平面ASC，OE⊂平面ASC，∴BC⊥OE，∴OE⊥平面BSC，∵SF⊂平面BSC，∴OE⊥SF．（3）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∠ASC=90°，∴SC⊥SA，∵平面SAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面SAC，∵SA⊂平面SAC，∴BC⊥SA，又SA⊥SC，BC∩SC=C，∴SA⊥平面SBC=V A﹣SBC=×S△SBC×SA=（×BC×SC）×SA=×（××1）×∴V S﹣ABC=．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面垂直的判定定理，性质定理及几何特征，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．17．（13分）已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数的单调区间．【分析】（Ⅰ）根据题意，由a=0即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得f（1）与f′（1）的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出函数的导数，对a的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：（I）若a=0，f（x）=﹣x+lnx，导函数为．依题意，有f（1）=﹣1，f'（1）=0，则切线方程为y+1=0（x﹣1），即y+1=0．（II），当a＞0时，由，得，再讨论两根的大小关系；当a＞1时，，由f'（x）＞0，得或者x＞1，则函数f（x）的增区间是和（1，+∞），减区间是；当a=1时，，则函数f（x）的增区间是（0，+∞），没有减区间；当0＜a＜1时，，由f'（x）＞0，得0＜x＜1或者，则函数f（x）的增区间是（0，1）和，减区间是；综上，当a＞1时，函数f（x）的增区间是和（1，+∞），减区间是；当a=1时，函数f（x）增区间是（0，+∞），没有减区间；当0＜a＜1时，函数f（x）的增区间是（0，1）和，减区间是；【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算切线的方程，注意函数的定义域以及对a的范围进行讨论．18．（13分）已知抛物线W：y=ax2经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2．（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；（Ⅱ）设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合，如图），记直线AB的斜率为正数k，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求k的值．【分析】（I）代入A的坐标，解方程可得a，即有得到抛物线的方程和准线方程；（II）设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2）（k＞0），联立抛物线的方程，可得x 的方程，运用韦达定理可得B的坐标，将k换为﹣k，可得C的坐标，求得BC 的长和中点坐标，可得所求圆的半径和圆心，由直线和圆相切的条件，求得k．【解答】解：（I）由于A（2，1）在抛物线y=ax2上，所以1=4a，即，故所求抛物线的方程为，其准线方程为y=﹣1；（II）设直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2）（k＞0），由得x2﹣4kx+8k﹣4=0，易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k﹣2，所以点B的坐标为（4k﹣2，4k2﹣4k+1），同理可得C点坐标为（﹣4k﹣2，4k2+4k+1），所以=，线段BC的中点为（﹣2，4k2+1），因为以BC为直径的圆与准线y=﹣1相切，所以，解得．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．19．（13分）已知函数，曲线y=f（x）在x=1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求实数a的值；（Ⅱ）利用函数的导数，通过x与0以及1的底薪比较，判断函数的单调性，求解函数的极值以及端点的函数值，求解函数最值即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………（2分）所以f'（1）=1﹣a．依题意，有，即，………………（4分）解得a=1．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………（8分）因为，所以f（x）最大值为f（1）=﹣1．………………（9分）设，其中b＞1．………………（10分）则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………（11分）所以h（b）＞h（1）=0，即，………………（12分）故f（x）最小值为．………………（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及分类讨论转化思想的应用，是难题．20．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2=1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；（Ⅱ）设P（x0，y0），结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆C：中，a=2，b=1，所以，故椭圆C的焦距为，离心率．（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，故．所以，所以，．又O（0，0），，故．因此=．由，得，即x0•y0≤1，所以，当且仅当，即，时等号成立．【点评】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．。
北京民大附中2017-2018学年高二下学期3月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京民大附中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅2．已知，是非零向量，若向量是平面α的一个法向量，则“•=0”是“向量所在的直线平行于平面α”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．24．一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．60 B．84 C．96 D．1205．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．15006．已知实数x、y可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是（）A．B．C．D．7．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．98．在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m，则等于（）A．1 B．C．D．0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．=．10．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=．11．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n（n∈N*）上”为事件C n，若事件C n发生的概率最大，则n的取值为．12．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，且S n，a n，1成等差数列，则a n=．13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是．14．设函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；②在区间（﹣∞，﹣4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）．15．某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1．（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．17．已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣3（m∈R），g（x）=xlnx（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，求m的值；（Ⅱ）求函数g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；（Ⅲ）∀x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点A．B．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）若△PAB的面积为时，求直线l的方程．19．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．20．如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）=x就是N函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2，②y=2x﹣1，③y=[]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；（Ⅱ）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．（注：“[x]”表示不超过x的最大整数）2017-2018学年北京民大附中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=∅【考点】交集及其运算．【分析】据集合的表示法知两个集合一个表示直线一个表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集．【解答】解：∵M={（x，y）|x+y=0}表示的是直线x+y=0又N={（x，y）|x2+y2=0}表示点（0，0）∵（0，0）在直线x+y=0上∴M∪N=M故选项为A2．已知，是非零向量，若向量是平面α的一个法向量，则“•=0”是“向量所在的直线平行于平面α”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若向量是平面α的法向量，则⊥α，若•=0，则∥α，则向量所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量所在直线平行于平面α或在平面α内，则∥α，∵向量是平面α的法向量，∴⊥α，则⊥，即•=0，即必要性成立，则•=0是向量所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故选：B．3．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．2【考点】循环结构．【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C4．一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．60 B．84 C．96 D．120【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，可得原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．然后由正方形面积及三角形面积公式求得该几何体的表面积．【解答】解：由三视图还原原几何体，原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．∴该几何体的表面积为：S=6×6+4×=96．故选：C．5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．1500【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的性质求出a，b，c的关系，结合分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵a、b、c构成等差数列，∴a+c=2b，则第二车间生产的产品数为=1200，故选：C6．已知实数x、y可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对（x，y）满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0＜x＜2，0＜y＜2”表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，而（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1表示的区域为圆内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜2，0＜y＜2，其表示的区域为纵横坐标都在（0，2）之间的正方形区域，易得其面积为4，而（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1表示的区域为以（1，1）为圆心，1为半径的圆内部的部分，如图，=π；易得其面积为S圆则（x﹣1）2+（y﹣1）2＜1的概率是P=；故选A．7．F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，点P在双曲线上（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故选：C8．在四边形ABCD中，任意两顶点之间恰做一个向量，做出所有的向量，其中3边向量之和为零向量的三角形称为“零三角形”，设以这4个顶点确定的三角形的个数为n，设在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m，则等于（）A．1 B．C．D．0【考点】计数原理的应用．【分析】确定n，m的值，即可得出的值．【解答】解：由题意，以这4个顶点确定的三角形的个数为n==24，在所有不同情况中的“零三角形”个数的最大值为m==12，所以等于，故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．=﹣+．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：====﹣+．故答案为：．10．在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=1．【考点】三角形中的几何计算．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：111．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y=n（n∈N*）上”为事件C n，若事件C n发生的概率最大，则n的取值为3，4．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意，基本事件个数为有限个，且概率相等，故为古典概型．【解答】解：由题意，点P的所有可能情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共6种；事件C2有1种，事件C3有2种，事件C4有2种，事件C5有1种，故若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为3和4．故答案为：3，4．12．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，且S n，a n，1成等差数列，则a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】S n，a n，1成等差数列，可得S n+1=2a n．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n ﹣S n，再利用等比数列的通项公式即可得出．﹣1【解答】解：∵S n，a n，1成等差数列，∴S n+1=2a n，即S n=2a n﹣1．∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为2．∴a nz=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求出所求．【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，∴高三每一位学生被抽到的概率是．高一年级每一位学生被抽到的概率是故答案为：．14．设函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①对于任意的实数x，f（x）和g（x）的函数值至少有一个小于0；②在区间（﹣∞，﹣4）内存在实数x，使得f（x）g（x）＜0成立；则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】函数的值．【分析】由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立；由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．【解答】解：解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，则，∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0．又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）．15．某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1．（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35．故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1．（2）用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1．（3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为．【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35．故第3，4，5组的频数之和为：60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如右图．（2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：；第4组：；第5组：．（3）由（2）知共有6人（记为A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4组有2人（记为B1，B2）．有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PAD的法向量，平面BCP的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；（Ⅲ）在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时，证明平面MNC∥平面PAD，可得∥平面PAD．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC．…因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC；…（Ⅱ）解：取BC的中点O，连接PO．因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥平面ABCD．…如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y 轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P（0，0，），D（﹣1，1，0），A（1，2，0）．所以．设平面PAD的法向量．因为，所以令x=1，则y=﹣2，z=﹣．所以．…取平面BCP的一个法向量，所以cos=﹣．所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小为．…（Ⅲ）解：在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时．理由如下：…取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN=AB．因为AB=2CD，所以AN=CD．因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形．所以CN∥AD．因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC∥平面PAD因为CM⊂平面MNC，所以CM∥平面PAD．…17．已知函数f （x ）=﹣x 2+mx ﹣3（m ∈R ），g （x ）=xlnx（Ⅰ）若f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +3=0平行，求m 的值； （Ⅱ）求函数g （x ）在[a ，a +2]（a ＞0）上的最小值；（Ⅲ）∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）≤2g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m 的方程，求出m 的值即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为m ≤x +2lnx +，x ∈（0，+∞），设h （x ）=x +2lnx +，x ∈（0，+∞），根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=﹣2x +m ，因为f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +3=0平行， 所以f ′（1）=﹣2+m=3，得m=5； （Ⅱ）g ′（x ）=1+lnx ，令g ′（x ）=0，得x=，当0＜a ＜时，g （x ）在[a ，]单调递减，在[，a +2]上单调递增，所以函数g （x ）在[a ，a +2]上的最小值g （）=﹣；当a ≥时，g （x ）在[a ，a +2]上单调递增，所以函数g （x ）在[a ，a +2]上的最小值g （a ）=alna ；（Ⅲ）因为∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）≤2g （x ）恒成立， 即f （x ）﹣2g （x （=﹣x 2+mx ﹣3﹣2xlnx ≤0，即m ≤x +2lnx +，x ∈（0，+∞），设h （x ）=x +2lnx +，x ∈（0，+∞）， 只需m ≤h （x ）min ，h′（x）=，∴（）min，∴≤．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（2，0）是它一个顶点，直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点A．B．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）若△PAB的面积为时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意得a=2，=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得|AB|=．求出点P到直线l的距离d．利用△PAB的面积S=|AB|d即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得a=2，=，a2=b2+c2，联立解得b=c=．椭圆C的方程为： +=1．焦点坐标为F1（﹣，0），F2．（Ⅱ）联立，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=，x1•x2=．∴|AB|==．又∵点P到直线l的距离d=．∴△PAB的面积S=|AB|d==．解得k=±1，∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．19．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0），结合|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2，再结合隐含条件b2=a2﹣c2得到a，c的关系式，则椭圆的离心率可求；（2）由题意设出椭圆方程为．设P（x0，y0）．由F1（﹣c，0），B（0，c），求得，的坐标，利用=0得到（x0+c）c+y0c=0，从而得到x0+y0+c=0．再由点P在椭圆上，得到．两式联立得到3x20+4cx0=0．根据点P不是椭圆的顶点得到x0=﹣c．进一步得到y0=，再设圆的圆心为T（x1，y1），则x1==﹣c，y1==c，求出圆的半径r再由直线l与圆相切列式求得k的值．【解答】解：（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）．由|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，则2a2=4c2，，∴椭圆的离心率e=；（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2．故椭圆方程为．设P（x0，y0）．由F1（﹣c，0），B（0，c），得=（x0+c，y0），=（c，c）．由已知，有=0，即（x0+c）c+y0c=0．又c≠0，故有x0+y0+c=0．①又∵点P在椭圆上，∴．②由①和②可得3x20+4cx0=0．而点P不是椭圆的顶点，故x0=﹣c．代入①得y0=，即点P的坐标为（﹣，）．设圆的圆心为T（x1，y1），则x1==﹣c，y1==c，进而圆的半径r==c．设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx．由l与圆相切，可得，即，整理得k2﹣8k+1=0，解得k=4±，∴直线l的斜率为4+或4﹣．20．如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）=x就是N函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2，②y=2x﹣1，③y=[]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；（Ⅱ）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．（注：“[x]”表示不超过x的最大整数）【考点】函数的值域．【分析】（Ⅰ）由N函数得定义，结合给出的三个函数解析式，直接判断出函数y=x2，y=2x﹣1不是N函数，函数y=[]是N函数；（Ⅱ）证明对∀x∈N*，[lnx]+1∈N*．同时证明对∀[lnx]+1∈N*，总存在x∈N*，满足[lnx]+1∈N*；（Ⅲ）对a，b分类证明，当b≤0，b＞0且a≤0时举特值验证，当b＞0且0＜a≤1时由指数函数的性质证明，当b＞0且a＞1时，总能找到一个正整数k，使得b•a k到b•a k+1之间有一些正整数，从而说明函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．【解答】（Ⅰ）解：只有y=[]是N函数．（Ⅱ）函数g（x）=[lnx]+1是N函数．证明如下：显然，∀x∈N*，[lnx]+1∈N*．不妨设[lnx]+1=k，k∈N*，由[lnx]+1=k，可得k﹣1≤lnx＜k，即1≤e k﹣1≤x＜e k．∵∀k∈N*，恒有e k﹣e k﹣1=e k﹣1（e﹣1）＞1成立，∴一定存在x∈N*，满足e k﹣1≤x＜e k，∴设∀k∈N*，总存在x∈N*，满足[lnx]+1=k，∴函数g（x）=[lnx]+1是N函数；（Ⅲ）证明：（1）当b≤0时，有f（2）=[b•a2]≤0，∴函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．（2）当b＞0时，①若a≤0，有f（1）=[b•a]≤0，∴函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．②若0＜a≤1，由指数函数性质易得，b•a x≤b•a，∴∀x∈N*，都有f（x）=[b•a x]≤[b•a]．函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．③若a＞1，令b•a m+1﹣b•a m＞2，则，∴一定存在正整数k，使得b•a k+1﹣b•a k＞2，∴∃，使得，∴f（k）＜n1＜n2≤f（k+1）．又∵当x＜k时，b•a x＜b•a k，∴f（x）≤f（k）；当x＞k+1时，b•a x＞b•a k，∴f（x）≥f（k+1），∴∀x∈N*，都有n1∉{f（x）|x∈N*}，∴函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•a x]都不是N函数．2018年11月8日。
2017-2018学年北京市北大附中高二期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年北京市北大附中高二期末考试数学(理)试题一、单选题1．设，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】由已知，则由“”可以得到“”，但当“”时，可得“”或“”,故“”是“”的充分非必要条件2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A. 至少有1个黑球与都是黑球B. 至少有1个黑球与至少有1个红球C. 恰有1个黑球与恰有2个黑球D. 至少有1个黑球与都是红球【答案】C【解析】依题意，从装有个红球和个黑球的口袋中任意取个球至少有个黑球包含都是黑球，故至少有个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，至少有个黑球包含黑红，至少有个红球包含黑红，两者不是互斥事件，故错误，恰有个黑球与恰有个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故正确D至少有个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故错误，故答案为3．某学校开设类选修课门,类选修课门,一位同学从中共选门,若要求两类课程各至少选门,则不同的选法共有A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】由题意，7门课程选3门有种方法，若选择的课程均为A课程，有种方法，选择的课程均为B课程，有种方法，满足题意的选择方法有：种.本题选择A选项.4．已知命题,使;命题,都有.给出下列结论: A. 命题是真命题 B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题【答案】B【解析】，而，据此可得命题是假命题；，则命题为真命题；据此可得：命题“”是真命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题.本题选择B选项.5．在二项式的展开式中,含的项的系数是A. B. C. D.【答案】D【解析】二项式展开式的通项公式：，令可得：，则含的项的系数是.本题选择D选项.6．将五枚硬币同时抛掷在桌面上,至少出现两次正面朝上的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：，一次正面朝上的概率为：，则至少出现两次正面朝上的概率是.本题选择B选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．7．的展开式中的项的系数是A. B. C. D.【答案】D【解析】展开式的通项公式为：，当时，展开项为，当时，展开项为，则的展开式中的项的系数是.本题选择D选项.点睛：二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．8．位男生和位女生共位同学站成一排,位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是A. B. C. D.【答案】A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项.9．若的展开式中含有常数项,则最小的正整数等于A. B. C. D.【答案】D【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：，展开式中含有常数项，则：有正整数解，满足题意的最小的正整数为：.本题选择D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r 的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．10．在上随机的取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】直线与圆相交，则：，解得：，结合长度型几何概型公式可得满足题意的概率为：.本题选择C选项.11．若,则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得：，令可得：，则：.本题选择C选项.12．有下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②“若,则”的逆命题;③“若,则”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;②“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确;③“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误.综上可得：真命题为②③.本题选择B选项.13．在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：种.本题选择B选项.14．一个均匀小正方体的个面中,三个面上标有数字,两个面上标有数字,一个面上标有数字.将这个小正方体抛掷次,则向上的两个数字之积是的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零，两次数字均不为零的概率为：，则满足题意的概率值：.本题选择D选项.二、填空题15．命题“”的否定是___________.【答案】【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定是.16．在的二项式中,所有项的二项式系数之和为,则常数项等于___________.【答案】112【解析】由题意可得：，结合二项式展开式通项公式可得：，令可得：，则常数项为：.17．从中任取个数字组成没有重复数字的三位数,其中能被整除的概率为___________（用数字作答）.【答案】【解析】选出的3个数字含有0时，有种方法，选出的3个数字不含有0时，有种方法，其中能被5整除的三位数末位必为0或5.①末位为0的三位数其首次两位从1∼5的5个数中任取2个排列而成方法数为，②末位为5的三位数,首位从非0,5的4个数中选1个,有种挑法,再挑十位,还有种挑法，∴合要求的数有种。
北京市民大附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，则B∩∁U A=（）A．{3}B．{0，1}C．{﹣1}D．{﹣1，3}2．复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i3．已知命题p：∃x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．∀＜2 B．∀＜2C．∃＜2 D．∃＜24．下列函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（）A．y=x3 B．y=C．y=log2D．y=﹣tanx5．已知a=（）﹣1，b=log23，c=lne，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知集合{a，b，c}={0，1，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c的值为（）A．130 B．103 C．301 D．3108．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．抛物线C：y2=4x的准线l的方程是；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是．10．比较﹣与2﹣的大小为（用“=”，“＞”或“＜”填空）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．12．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是．13．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．14．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则：（1）复数z对应的点构成的区域的面积为（2）y≥x的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=的定义域为A，B={x|x2﹣（m+3）x+3m＜0，m∈R}．（1）若（∁R A）∩B=（1，2），求实数m的值；（2）若A∪B=A，求实数m的值．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n=，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．17．设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（1）求L的方程；（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．18．对于函数y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=，当x∈（0，2]时，f（x）=x．（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值；（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点D（﹣2，0）为椭圆C的左顶点，点D与椭圆C的短轴端点的距离为，过点M（1，0）的直线l 与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得=，并说明理由．20．已知f（x）=lg，其中a∈R，n∈N*，n≥2．（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，求实数a的取值范围；（2）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．2015-2016学年北京市民大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，则B∩∁U A=（）A．{3}B．{0，1}C．{﹣1}D．{﹣1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=Z，A={﹣1，0，1}，B={0，1，3}，∴∁U A={x∈Z|x≠﹣1，x≠0，x≠1}，则B∩∁U A={3}，故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2﹣i．故选：D．3．已知命题p：∃x＞0，x+≥2，则￢p为（）A．∀＜2 B．∀＜2C．∃＜2 D．∃＜2【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题p为全称命题，则命题的否定为：∃＜2，故选：D4．下列函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（）A．y=x3 B．y=C．y=log2D．y=﹣tanx【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据y=x3的单调性，函数的定义域，反比例函数、对数函数和复合函数的单调性，及正切函数的定义域便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=x3在定义域R上单调递增；B.在x=1处无定义，∴该函数在（0，+∞）内单调递减不成立；C.在（0，+∞）内单调递减，y=log2t单调递增；∴函数在（0，+∞）内单调递减，即该选项正确；D．y=tanx在（0，∞）内没有单调性，∴y=﹣tanx在（0，+∞）内没有单调性．故选C．5．已知a=（）﹣1，b=log23，c=lne，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数函数的性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=（）﹣1＜，b=log23＞log22=1，c=lne=1，∴a＜c＜b，故选：B．6．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线，则对应的标准方程为，则＞0，即m（m﹣2）＞0，解得m＞2或m＜0，故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的充分不必要条件，故选：A7．已知集合{a，b，c}={0，1，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c的值为（）A．130 B．103 C．301 D．310【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，3}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=3或b=3、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=3或b=3、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=3、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=3，此时满足题意；综上得，a=3、b=0、c=1，代入100a+10b+c=301，故选：C．8．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断．【解答】解：由定义的运算知，f（x）=）=（e x）*==1+e x+，①f（x）=1+e x+=3，当且仅当，即x=0时取等号，∴f（x）的最大值为3，故①正确；②∵f（﹣x）=1+=1+=f（x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③f'（x）==，当x≤0时，f′（x）=≤0，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③错误．故正确说法的个数是2，故选C．二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．抛物线C：y2=4x的准线l的方程是；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求解圆的半径，即可得到圆的方程．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），准线方程为：x=﹣1，圆的半径为：2，圆的方程为（x﹣1）2+y2=4．故答案为：x=﹣1；（x﹣1）2+y2=4．10．比较﹣与2﹣的大小为（用“=”，“＞”或“＜”填空）【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差，再平方即可比较大小．【解答】解：﹣﹣2+=（+）﹣（+2），∵（+）2=13+2（+2）=13+2，∴（+）﹣（+2）＞0，∴﹣＞2﹣．故答案为：＞11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+++…+的值，计算不满足条件S＜的最小S的值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+++…+的值，∵S=1+++=＜满足条件，S=1++++=＞不满足条件．∴输出S=．故答案为：．12．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质；函数的值．【分析】根据函数的解析式求得f（1）的值，进而求得f[f（1）]的值．再根据函数f（x）在R上是减函数，结合所给的条件，可得2a2﹣3＜5a，解此一元二次不等式求得 a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）==2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=1﹣3×2=﹣5．再由函数的解析式可得，函数f（x）在R上是减函数，故由f（2a2﹣3）＞f（5a），可得2a2﹣3＜5a，解得﹣＜a＜3，故答案为﹣5，（﹣，3）．13．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．14．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则：（1）复数z对应的点构成的区域的面积为（2）y≥x的概率为．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】（1）利用复数的模，求出轨迹方程，利用表达式的几何意义求解面积即可．（2）判断复数对应点图及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，根据几何概率的公式计算即可．【解答】解：（1）复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），|z|≤1，∴（x﹣1）2+y2≤1，∴（x，y）在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的上和圆的内部的点，复数z对应的点构成的区域的面积为：π．（2）复数对应点图及内部部分，y≥x的图形是图形中阴影部分，圆的面积为S=π，S=π﹣，阴影∴则y≥x的概率为P===，故答案为：（1）π；（2）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知函数f（x）=的定义域为A，B={x|x2﹣（m+3）x+3m＜0，m∈R}．（1）若（∁R A）∩B=（1，2），求实数m的值；（2）若A∪B=A，求实数m的值．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出f（x）的定义域确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A的补集与B的交集确定出m的范围即可；（2）根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）由函数f（x）=，得到2﹣≥0，即≥0，解得：x＜﹣2或x≥2，即A=（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），∴∁R A=[﹣2，2），由B中不等式变形得：（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＞3时，解集为3＜x＜m，不合题意；当m＜3时，解集为m＜x＜3，即B=（m，3），∵（∁R A）∩B=（1，2），∴m=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当m=3时，B=∅，满足题意；当m＞3时，解集为3＜x＜m，即B=（3，m），满足题意；当m＜3时，解集为m＜x＜3，即B=（m，3），此时m≥2，综上，m的范围为m≥2．（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S12，如果表中n=，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S22，试判断S12与S22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率，计算“在收案案件中取1件结案案件”的概率值；（Ⅱ）根据概率公式计算“在该结案案件中取1件判决案件”的概率值；（Ⅲ）＞，可以简单直观解释，也可以用具体计算说明．【解答】解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）=；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B，则P（B）=；（讲评时应告诉学生这个概率底是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作、有时法律不能解决感情问题等）（Ⅲ）＞；可以简单直观解释，也可以具体计算如下：设4类案件的均值为，则=== [+++]= [+++]= [++]＜ [++]=．17．设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（1）求L的方程；（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f′（x）=，可得切线的斜率f′（1），利用点斜式即可得出．（2）f（x）≤x﹣1在定义域（0，+∞）内恒成立⇔﹣x+1≤0，（x＞0）⇔lnx﹣x2+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx﹣x2+x，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．【解答】（1）解：f′（x）=，f′（1）==1，f（1）=0，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线L的方程为：y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．（2）证明：f（x）≤x﹣1在定义域（0，+∞）内恒成立⇔﹣x+1≤0，（x＞0）⇔lnx﹣x2+x≤0，（x＞0）．令g（x）=lnx﹣x2+x，g′（x）=﹣2x+1==，（x＞0）．可得x∈（0，1）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．∴x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=ln1﹣1+1=0，∴g（x）≤0在在定义域（0，+∞）内恒成立，即f（x）≤x﹣1在定义域内恒成立．18．对于函数y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=，当x∈（0，2]时，f（x）=x．（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；（2）若f（m）=1，求m的值；（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f先判断函数为周期函数，即可求出f（x）的解析式，（2）根据函数值，代值计算即可，（3）由于函数为周期函数，求出一个周期的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f任意x∈R，均有f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，设x∈（2，4]时，则x﹣2∈[0，2]，∵当x∈（0，2]时，f（x）=x，∴f（x﹣2+2）==f（x）∴f（x﹣2）==x﹣2，∴f（x）=；（2）∵f（m）=1，∴m=1，或=1，即m=1或m=3，（3）∵f（2）=2，f（1）=f（3）=1，f（4）=∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）=．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点D（﹣2，0）为椭圆C的左顶点，点D与椭圆C的短轴端点的距离为，过点M（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l，使得=，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意，a=2，=，可得b=1，即可求出椭圆C的标准方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），若=，则y2=﹣3y1，设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+4）y2+2my﹣3=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，a=2，=，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），若=，则y2=﹣3y1，①设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+4）y2+2my﹣3=0，∴y1+y2=﹣②，y1y2=﹣③，由①③可得3y12=，由①②可得﹣2y1=﹣，消去y1得m2=m2+4，不成立，∴不存在直线l，使得=．20．已知f（x）=lg，其中a∈R，n∈N*，n≥2．（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，求实数a的取值范围；（2）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】（1）把原不等式化为＞0，进一步转化为（x＞0）有解，利用函数单调性求出在（0，+∞）上的范围得答案；（2）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2恒成立．分离参数a，可得a＞﹣[]恒成立，利用函数单调性求得y=﹣[]在（﹣∞，1]上的最大值得答案．【解答】解：（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）化为，即＞0，∵2x﹣1＞0，∴等价于（x＞0）有解，∵y=x与y=在（0，+∞）上都是增函数，则y=x﹣在（0，+∞）上是增函数，而，∴要使n=2时不等式f（x）＞lg（x2x﹣1）有解，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2恒成立．即a＞﹣[]恒成立，∵y=﹣，k=1，2，3，…，n﹣1在（﹣∞，1]上都是增函数，∴y=﹣[]在（﹣∞，1]上都是增函数，从而当x=1时，．∴a＞﹣[]（n≥2）恒成立，只需a．故实数a的取值范围是（﹣，+∞）．2016年10月11日。
北京市2017—2018学年高二下学期期末模拟考试卷(五)
北京市2017—2018学年高二下学期期末模拟考试卷（五）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm26．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分）9．复数=______．10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n=，+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且其中k为使a n+1a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．参考答案一、单项选择题1．解：∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．解：∵=2，∴==（﹣cosx ）+（asinx ）=0﹣（﹣1）+a=2， ∴a=1， 故选B ．7．解：由f （x ）=cos 2（ωx +φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k +1）π（k ∈Z ），2ω=﹣2ϕ+（2k +1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．解：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可 ∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确 故选D二、填空题9．解：==i •（1+i ）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．14．解：由题设知，a 1=11， a 2=3×11+5=38，a 3==19，a 4=3×19+5=62，a 5==31，a 6=3×31+5=98，a 7=49，a 8=3×49+5=152，a 9==19，∴{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列， a 2016=a 6=98，若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，∴（3﹣2k ）p=﹣5，∵数列{a n }的各项均为正整数， ∴当k=2时，p=5， 当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题15．解：（I ）∵，∴，∴sin =∴cosB=1﹣2sin 2=；（II ）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c 2﹣2c ∴c 2﹣2c +1=0 ∴c=1．16．解：（I ）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH ∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．解：（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．解：（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．，x n）时，事实上，当x∈（x n﹣1f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]＜n（a1+…+a n+a n+1+…+a5）=nT．所以f（x n）=＜=x n．。
中国人民大学附属中学数学高二下期末习题(课后培优)
一、选择题1．( ) A ．sin2cos2+ B ．cos2sin2- C ．sin2cos2- D ．cos2sin2±-2．已知3sin 34x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．18-B ．12-C ．18D ．123．已知函数()()x cos x 0f x ωωω=+>最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 4．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A ．54π-B ．54πC ．－34π D ．34π 6．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π6(k ∈Z )x C ．x =kπ2−π12(k ∈Z ) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z )7．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．958．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．33B ．33-C ．539D ．69-10．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为311．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( )A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形15．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25-B ．3C ．3-D ．25二、填空题16．若34παβ+=，则()()1tan 1tan αβ--=_____________． 17．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________． 18．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.19．已知函数229sin cos ()sin x x f x x+-=，2,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()f x 的值域为____． 20．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________. 21．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________．22．已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则cos BDC ∠=__________．23．设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____． 24．函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________.25．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点(点O 为圆的圆心），若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为______. 三、解答题26．在ABC ∆ 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=， （1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围.27．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积.28．已知函数()22222f x sin xcos x x =+-. （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）图象的对称轴和对称中心； （Ⅱ）若函数()()14g x f x =+，52412x ππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的零点为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）的值．29．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．且满足sin B B =1a =.（1）求角B 的大小；（2）若2b ac =，求ABC ∆的面积．30．设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．D4．B5．B6．C7．D8．A9．C10．D11．D12．A13．A14．D15．D二、填空题16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式17．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础19．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和20．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着21．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题22．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为23．8【解析】由题意得24．【解析】即单调增区间是【点睛】函数的性质(1)(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间;25．【解析】在圆中若=(+)即=+即+的和向量是过AO的直径则以ABAC为邻边的四边形是矩形则⊥即与的夹角为90°故答案为：90°三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的二倍角公式和完全平方式结合角在各个象限中的符号化简即可得到答案. 【详解】==，∵22ππ<<，∴sin2cos20->.∴原式sin2cos2=-. 故选C. 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】 分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可 【详解】3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22231cos 2cos 212sin 1233348x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦选C 【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键3．D解析：D 【解析】分析：先化简函数f(x)=2sin()6wx π+,再根据周期求出w ，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=2sin()6wx π+，因为2,2,()2sin(2).6w f x x w πππ=∴=∴=+对于选项A,把12x π=代入函数得(=2sin()21266f πππ+=≠±），所以选项A 是错误的；对于选项B, 把512x π=代入函数得55(=2sin()021266f πππ+=≠±），所以选项B 是错误的；对于选项C,令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-无论k 取何整数，x 都取不到12π,所以选项C 是错误的. 对于选项D, 令2,,.6212k x k k z x ππππ+=∈∴=-当k=1时，512x π=，所以函数的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.4．B解析：B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-． 【详解】 因为512244πω⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以ωπ=，把1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入方程()cos y x πϕ=+，得()24k k Z ϕππ=-+∈，因为2πϕ<，所以5,44ππϕωϕ=--=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式．6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y =cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2−π12,k ∈Z ，即平移后的函数的对称轴方程为x =kπ2−π12(k ∈Z )，故选C ．7．D解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝95.本题选择D 选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．8．A解析：A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．考点：三角函数的性质. 9．C 解析：C【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．10．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．11．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题12．A解析：A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数2111()cos cos 2cos 2sin(2)22262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，11()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF 交BC 的中点于O ，则：S△ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算15．D解析：D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式 解析：2 【解析】试题分析：34παβ+=，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．考点：和差角公式．17．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程解方程即可求得实数k 的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条解析：-1 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-，2ka b -与a 垂直，则()20ka b a -⋅=，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础 解析：32【解析】 【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.将点7,12π⎛⎝7212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=.所以3(0)22f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础19．【解析】【分析】先将函数化简整理则根据函数性质即可求得值域【详解】由题得令构造函数求导得则有当时单调递减当时单调递增t=1时为的极小值故由可得又则的值域为【点睛】本题考查求三角函数的值域运用了求导和解析：2311,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先将函数化简整理1()9sin sin f x x x =++，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin (,1]2x ∈，根据函数性质即可求得值域。
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人大附·高二·周末练习二
2018.3.9一、选择题
1.已知函数33
=-+的图象与x恰有两个公共点，则（）
y x x c
A.420︒
B.390︒
C.450︒
D.480︒
2.设函数()
y x f x'
=-的图象如图所示，则下
f x在R上可导，其导函数为()
f x'，且函数(1)()
列结论中一定成立的是（）
A.函数()
f
f和极小值(1)
f x有极大值(2)
B.函数()
f
f-和极小值(1)
f x有极大值(2)
C.函数()
f和极小值(2)
f-
f x有极大值(2)
D.函数()
f
f x有极大值(2)
f-和极小值(2)
3.已知某函数()
y f x
f x'的图象如图所示，则原函数的图象可能是（）
=的导函数()
4.函数32
f x ax bx cx d
=+++的图象如图所示，12
()
<，则有（）
x x
A.0,0,0,0
a b c d
<><>
>><> B.0,0,0,0
a b c d
C.0,0,0,0
><><
a b c d
a b c d
<<>> D.0,0,0,0
小数学个微信号
5.已知()y f x =是R 上的可导函数，对于任意的正实数t ，都有函数()()()g x f x t f x =+-在其定义域内为减函数，则小强数学函数()y f x =的图象可能为下图中（）
6.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，
已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足(2)1f a b +<，则11b a ++的取值范围是（）
A.11(,)
53 B.1(,)(5,)3-∞+∞ C.1(,5)3
D.(,3)-∞7.设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
8.函数2sin 2x y x =-的图象大致是（）
二、填空题
9.函数3231y x x =-+在x =_______处取得极小值.
10.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上为小强数学增函数，
则a ，b ，c 的关系式为_______.11.已知可导函数()y f x =满足(2)()f x f x -=-，
函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x =+，则(1)f '=____，函数()y f x =的图象在点(3,(3))f --处的切线方程为_______.
12.已知二次函数()f x '、一次函数()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：
①若(1)1f =，则(1)f -=_______；②设()()()h x h x g x =-，则(1)h -，(0)h ，(1)h 的大小关系为_______.
13.设函数ln ,0,()21,0,x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为_______.
14.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos ((,))2x x x πϕπ=∈的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是_______.
三、解答题
15.已知向量2(,1)a x x =+ ，(1,)b x t =- ，若小强数学函数()f x a b =⋅ 在区间(1,1)-上是增函数，
求t 的取值范围.
16.已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-与1x =时都取得极值.（I）求a ，b 的值与()f x 的单调区间；（II）若对[1,2]x ∈-不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.17.已知函数321()3f x ax bx cx d =+++，
其中a ，b ，c 是以d 为公差的等差数列，且0a >，0d >.设0x 为()f x 的极小值点，在2[1,0]b a
-上，()f x '在1x 处取得最大值，在2x 处取得最小值，将点00(,())x f x ，11(,())x f x '，22(,())x f x '依次记为A ，B ，C.（I）求0x 的值；
（II）若ABC ∆有一边平行于x 轴，且小强数学面积为2+，求a ，d 的值.。