平行四边形单元回顾

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平行四边形的回顾与思考

。
3.从多边形的一个顶点可以画7条对角线，则这个n边形
的内角和为（）
A 1620° B 1800° C 900° D 1440°
4.一个多边形的各个内角都等于120°，它是边形。
5.小华想在2012年的元旦设计一个内角和是2012°的多边形做窗花装饰教室，他的想法实现。（填“能”与“不能”） 6. 如图4，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取 OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=___米．
解析：由三角形中位线定理可知线段EF的长在P点的运动过程中， EF一定等于AR的一半，又由于AR的长不变，所以可做出正确的判断应选C.
例4.如图3，在四边形中，点是线段上的任意一
点（与不重合），分别是的中点．请证明四边
形EGFH是平行四边形；
分析: (1)根据三角形中位线定理得 GF∥EC, GF=1/2EC=EH, 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以EGFH是平行四边形.
第六章平行四边形
回顾与思考
一、平行四边形性质、平行四边形的判定定理
边
平行四边形的性质
角对角相等
对角线对角线互相平分
对边平行，对边相等
（1）两组对边平行平行四边（2）两组对边相等形的判定（3）一组对边平行且相等
（4）两组对角 CD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，且BE∥DF。求证：BE＝DF。
例2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD 相交于O点，点E、F在AC上，连接DE、BF， _________,求证：四边形BEDF是平行四边形
二、“三角形的中位线”
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)四边形几何专题回顾(含解析)

八年级数学四边形几何专题回顾一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A．B．1C．D．22．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．2C．4D．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，若BE ＝4，CF ＝3，EF ＝1，求AB 为（）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝，∠AOB ＝60°，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +2EF 的值为（）A ．+1B ．C ．D ．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（）A ．B ．C ．D ．8．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，E 为菱形内部一点，且AE ＝2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD ＝6，CD ＝8，P 是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.410．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.411．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．213．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．517．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A．B．C．D．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．B．4C．D．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A．B．1C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．2C．4D．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF ＝3，EF＝1，求AB为（）A．3B．2.5C．3.5D．4【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得BG＝，∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD 的中点，连接PE，则线段PE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，∴EH＝6，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝2，故选：A．8．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM ⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，设CD＝x，则AC＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2，解得x＝，∴，∴，∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴，设CF＝y，则DF＝2y，在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即，解得y＝1，∴CF＝1，BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即，∴，故选：B．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（）A．B．2C．D．2【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．13．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为　﹣5　．【解答】解：如图，连接BD，AP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AD＝5，∴BD＝＝＝，∵点A与点P关于DE对称，∴DE垂直平分AP，∴PD＝AD＝5，∵BP+PD≥BD，∴BP+5≥，∴BP≥﹣5，∴BP的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为　13　．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故答案为：13．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．5【解答】解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，又∠AGE＝∠EHF＝90°，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．17．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．B．4C．D．【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是　菱　形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是　　．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF ＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH＝，由勾股定理可得，CH＝，∵，可得，AN＝，∴ME＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是　菱　形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为．【解答】解：（1）∵AB＝BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为菱．（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠CDM＝60°，∵CD＝AB＝4，∠CMD＝90°，∴sin60°＝，∴CM＝2，∵S△ADC＝S△ADP+S△CDP＝•AD•PE+•CD•PF＝•AD•CM，∴PE+PF＝CM＝2，∴PE+PF的最小值为2．故答案为2．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P ′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝3，由勾股定理可得，CH＝＝4，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得，AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH＝∠ABC＝∠BEH＝∠F＝90°，由旋转的性质得：AB＝EB，∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH＝∠EBH＝∠ABE＝30°，AH＝EH，∴AH＝AB•tan∠ABH＝×＝1，∴HD＝AD﹣AH＝﹣1．故选：A．24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝a，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝a，CH＝a，∴DH＝a﹣a，∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，故选：C．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH＝，在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，∴S△MDE＝×1×＝．故选：D．。

人教版四年级上册数学第五单元《平行四边形和梯形》全单元教材分析及归纳总结

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------人教版四年级上册数学第五单元《平行四边形和梯形》全单元教材分析及归纳总结第五单元平行四边形和梯形一、教学内容 1．平行与垂直。

2．平行四边形和梯形。

与实验教材的主要区别：三点。

细节变化在介绍中体现二、教学目标三、具体内容（一）平行与垂直 1．例 1：认识平行与垂直。

教材去掉了情境引入，直接通过学生在平面上画任意两条直线来引入，这样编排可引导学生体会在同一平面内两条直线位置关系有相交和不相交两种情况，就能比较好地回避了重合这种情况。

分别教学平行和垂直，重点更突出、线索更清楚。

教材第一次给出了平行的记法与读法，不但可以培养学生的符号意识，而且体现了数学的简洁之美，能够与第三学段的学习做好对接。

后面量一量的活动意在通过测量，引导学生发现两条直线相交的两种情况，认识到垂直是在相交的一种特殊的位置关系，从而在感知与体验中建构垂直的概念。

教材呈现了三组不同方向的垂直情况图，加深对垂直特征的理1/ 7解，帮助学生建立垂直的表象。

2．例 2：画垂线。

本套教材删去了平行线的画法，但保留了垂线的画法，因为后边画高要用到画垂线的知识。

首先呈现了用两把三角尺或量角器来画垂线，意在尊重学生已有的知识和经验，放手让学生自己来探索画法。

接下来，通过三幅连续的动态图画已知直线的垂线的方法，重点突出了画的过程。

3．例 3：点到直线的距离和平行线间的距离相等。

首先自主尝试，亲身经历画、量、比、想的过程，从而发现点到直线间垂线段最短的这一性质，培养学生的观察与发现的能力。

然后让学生在两条平行线间画垂线。

画、测量、发现平行线间的距离相等这一特点。

做一做以生活中走斑马线为素材，使学生体验数学与生活的密切联系。

苏教版四年级数学下册第7单元《三角形、平行四边形和梯形》单元复习知识点归纳总结

一、三角形1.认识三角形:(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。

生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。

(2)画三角形:(步骤)①先画一条线段。

②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。

③最后连接另两个端点,围成封闭图形。

(3)三角形的特点:①三角形有3条边、3个角和3个顶点。

②三角形的3条边都是线段。

③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。

(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

(5)三角形各部分的名称:①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。

②三角形有3个顶点、3条边和3个角。

要点提示:三角形具有稳定性。

三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。

要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。

(6)认识三角形的底和高:①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。

(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。

①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。

②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。

③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。

④最后标上直角符号。

(8)解决问题:①运用类推法解决数三角形的问题:从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。

如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。

②运用分析法解决求用时最短的路线问题:要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。

2.三角形的三边关系:(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。

第18章平行四边形(小结与复习)教案-八年级数学下册课件(人教版)

回顾与思考：本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线问距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法:利用图形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理,这些方法在今后的学习中都是很有用的.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。

1,你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理,你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗?本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？（1）本章研究内容：各种平行四边形的边、角、对角线的特征；（2）研究步骤：下定义→探性质→研判定；（3）研究方法：观察、猜想、证明；建立当前图形（平行四边形）与三角形的联系；从性质定理的逆命题的讨论中研究判定定理；类比、一般到特殊．【课堂探究案】考点讲练考点一平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG.(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，CD ＝10，求四边形AGCD 的面积.(1)证明：∵ AG ∥CD ，AD ∥BC∴ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD∵ E 、F 分别为AG 、CD 的中点∴ EG=21AG ，DF=21CD ∴ EG=DF 且EG ∥DF∴ 四边形DEGF 是平行四边形(2)解：∵ 点G 是BC 的中点，BC=12∴ BG=CG=21BC=6 ∵ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD=10在R t △ABG 中，根据勾股定理2222610-=-=BG AG AB =8∴ S 四边形AGCD =6×8=48例2如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB交于点G.(1)求证：AC∥EF；(2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC∴ AF∥CE又∵ AF=CE∴四边形AFEC是平行四边形∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴∠F=∠BEG，∠FAG=∠B∵点G是AB的中点，∴ AG=BG∴△AGF≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6∴ BC=BE+CE=12∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD=BC=12考点二三角形的中位线与R t△斜边上的中线例3如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点∴ DE、EF都是△ABC的中位线∴ DE∥AC，EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形(2)∵四边形ADEF是平行四边形∴∠DEF=∠BAC∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高∴ DH、FH分别是R t△ABH和R t△ACH斜边上的中线∴ DH=AD，FH=AF∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA∵∠DAH+∠FAH=∠BAC∠DHA+∠FHA=∠DHF∴∠DHF=∠BAC∴∠DHF=∠DEF考点三特殊平行四边形的性质与判定例4如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC，两线相交于点E.(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数.(1)证明：∵ AE ∥BD ，DE ∥AC∴ 四边形AODE 是平行四边形∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AC=BD ，OA=21AC ，OD=21BD ∴ OA=OD∴ 四边形AODE 是菱形(2)解：连接OE.由(1)得，四边形AODE 是菱形，∴ AE=AO=BO∵ AE ∥BO ，∴ 四边形AEOB 是平行四边形∵ BE ⊥DE ，DE ∥AC ，∴ BE ⊥AO∴ 四边形AEOB 是菱形∴ AE=AB=BO∴ AB=BO=AO∴ △AOB 是等边三角形∴ ∠AOB=60°∴ ∠AOD=180°-60°=120°例5 如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE.(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论.解：(1)四边形BECF 是菱形.理由如下：∵ EF 垂直平分BC ，∴ BF=CF ，BE=CE∴ ∠3=∠1∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴ ∠2=∠A ，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴ 四边形BECF 是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF 是正方形.证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°∴ ∠CBA=45°∵ 四边形BECF 是菱形∴ ∠EBF=2∠CBA=90°∴ 菱形BECF 是正方形【课堂检测案】一、分类讨论思想例6 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm 的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.解：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，。

(完整版)第六章《平行四边形》回顾与思考(第一课时)教学设计

师生用“问答”的形式带领学生将表格完成。

应用性质和判定完成例题：例1.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，点E 、F 在AC 上，且BE ∥DF 。

求证：BE ＝DF 。

教师在这里将这道题进行开放处理：由学生讲出证明思路，写出完整的证明过程，强调证明过程的规范性。

例2、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，点E 、F 在AC 上，连接DE 、BF ，_________,（添加一个条件）求证：四边形BEDF 是平行四边形。

由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。

学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。

目的：这个环节教师和学生一起回顾本章平行四边形的性质定理和判定定理，并通过对定理的分析，体会到了证明的必要性，掌握了一些常规证明方法和工具。

实际效果：教师通过开放例题给学生传递的是一种总结证明方法的信息：根据特殊四边形的性质，学生应该能够体会到，在证明命题时有了很多新的工具。

比如证明平行时，除了以前的同位角、内错角等，还可证明平行四边形；在证明边等时，除了全等，还可以分析所证线段是否为平行四边形的边等。

平行四边形的判定（1）两组对边平行（2）两组对边相等（3）一组对边平行且相等（4）两组对角相等（5）对角线互相平分二、“三角形的中位线”内容：这一章节中，除学习了平行四边形相关的性质和判定定理，还学习了三角形中位线的定义和性质定理。

所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。

例3.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关解析：由三角形中位线定理可知线段EF的长在P点的运动过程中，EF一定等于AR的一半，又由于AR的长不变，所以可做出正确的判断应选C.例4 ．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点。

第六章平行四边形回顾与思考

[方法规律]本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，理解的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分与三角形的中位线定理。
►考点七多边形的内角和与外角和
例7若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的边数． [解析] 根据多边形的外角和为360°，内角和公式为(n－
2)·180°，由题意可知内角和＝3×外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可．
及垂线段最短的性质
又∵AE∥BC.
，将原先求一线段最
∴四边形ABDE是平行四边形．小值转化线段最短是
∴ED＝AB＝3.故选B.
解题关键。
例5
如图6－7，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形EBFD是平行四边形．
图6－7
图6－8
＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的
所有▱ADCE中，DE最小的值是( B )
A．2
B．3 C．4 D．5
[解析] B
图6－6
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC.
[方法规律]
∴当OD取最小值时，线段DE最短，本题考查了平行
此时BC⊥DE.
四边形的性质与判定
∵AB⊥BC，∴AB∥DE.
师生共反思
收获：
不足之处：
巩固作业
分层实施见作业本P56页，基础在线：1、2；能力提升：3、4；拓展延伸：5、6.
证明：(1)(法一)
如图6－8①：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6，

3.1 平行四边形(1)证明(一),(二) 回顾与思考

16 回顾与思考
等边三角形的判定
A
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边
三角形.
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).
B
600
C
17 回顾与思考
等边三角形的判定
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. A

•
切记!!!
25 回顾与思考
线段垂直平分线性质
M
P
定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
A
C
B
如图, N ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
26 回顾与思考
A
300
C
20 回顾与思考
勾股定理
定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
a b
c
勾
弦股
在△ABC中 ∵∠ACB=900(已知), ∴ a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方).
这里的结论,以后可以直接运用.
8 回顾与思考
三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3. 这个结论以后可以直接运用.

特殊的平行四边形回顾与复习1教案

九年级·数学·上册·总第（）课时·授课时间：年月日
教学课题：特殊平行四边形回顾与复习（1）课型：新授课
教学目标：（1）思考回顾梳理本章的知识内容、思想方法；
（2）进一步理解掌握菱形、矩形、正方形的定义、性质、判定；
（3）明确平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。

教学重点：梳理本章知识，熟悉菱形、矩形、正方形的定义、性质、判定；
教学难点：明确平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。

教学过程：
二次备课
`
教学流程
一、检
1、在下面箭头上方添一个条件，使左边的图形变成右边的图形；
2、在下面框图中填关键字，梳理特殊平行四边形这一章的知识结构；
二、学
】
3、填表
三、讲
例1、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交 AB 和AC于点E，F，连接DE，DF。

（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；
（2）若AE=5，AD=8，求EF的长;
（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形请说明理由。

四、测
&
（一）练习检测：课本第26页复习题1、2、3
（二）归纳总结：
（1）菱形的定义、性质及其判定；（2）矩形的定义、性质及其判定；
（3）正方形的定义、性质及其判定；（4）平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系。

（三）课后作业
必做题：课本第26页复习题4、5、6、7
选择题：课本第27页复习题8、9、10、11、12、13。

人教版四年级数学上册第五单元《平行四边形和梯形》整理与复习教学设计

人教版四年级数学上册第五单元《平行四边形和梯形》整理与复习教学设计一. 教材分析人教版四年级数学上册第五单元《平行四边形和梯形》主要让学生掌握平行四边形和梯形的概念、性质和分类。

通过本单元的学习，学生能够识别和判断平行四边形和梯形，并能运用所学知识解决实际问题。

教材内容主要包括以下几个部分：1.平行四边形的定义和性质：四边形中两组对边分别平行且相等。

2.梯形的定义和性质：至少有一组对边平行的四边形。

3.平行四边形和梯形的分类：根据边的相等情况和角的性质，可以将平行四边形和梯形分为不同类型。

4.平行四边形和梯形的应用：解决实际问题，如面积计算、图形变换等。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了基本的图形知识，具备一定的观察和分析能力。

但在判断平行四边形和梯形时，学生可能会受到图形大小和位置的影响，对一些特殊情况进行判断时仍有一定难度。

此外，学生在解决实际问题时，如何将所学知识与实际情景相结合还需加强。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平行四边形和梯形的概念，掌握它们的性质和分类，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形和梯形的概念、性质和分类。

2.难点：判断平行四边形和梯形，以及运用所学知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境导入，激发学生的学习兴趣。

2.动手操作法：让学生通过实际操作，加深对平行四边形和梯形性质的理解。

3.小组合作法：培养学生合作探究的能力，提高解决问题的效率。

4.启发式教学法：引导学生思考，培养学生的分析问题和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、实物模型、平行四边形和梯形卡片等。

2.学具：学生用书、练习册、画图工具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活情境，如公园里的平行四边形和梯形图形，引导学生观察并提问：“你们能找出哪些是平行四边形，哪些是梯形吗？”学生回答后，教师总结并板书课题。

初中八年级数学下册第六章《特殊平行四边形》回顾与思考教案教学设计

初中八年级数学下册第六章《特殊平行四边形》回顾与思考教案教学设计教学目标：知识与技能：1.熟悉菱形、矩形、正方形的定义及理解它们之间的关系.2.理解和掌握菱形、矩形、正方形的性质及判定,会进行简单的计算与证明.过程与方法：1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.2.经历课前准备,总结、探索三种特殊平行四边形的关系,发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力.3.在具体问题的证明过程中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.情感态度与价值观：1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.通过“猜想—总结—证明—应用”的数学活动提升科学素养.教学重难点：【重点】1.三种特殊平行四边形的性质和判定的复习.2.三种特殊平行四边形的关系.【难点】总结菱形、矩形、正方形的判定方法的多样性和系统性.知识总结：专题讲解专题一菱形的性质与判定【专题分析】菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵活使用.判定一个四边形是否为菱形,可以结合具体条件选择合适的菱形的判定定理来判定,为利用菱形的性质解决问题提供条件.如图所示,在ΔABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证AF＝DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.〔解析〕(1)先根据条件证明ΔAFE与ΔDBE全等,然后根据全等的性质结合三角形的中线推出结论;(2)先证明四边形ADCF是平行四边形,再判定其是菱形.证明:(1)∵E是AD的中点,∴AE＝ED.∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DBE,∠FAE＝∠BDE,∴ΔAFE≌ΔDBE,∴AF＝DB.∵AD是ΔABC中BC边上的中线,∴DB＝DC,∴AF＝DC.解:(2)四边形ADCF是菱形.证明:由(1)知AF＝DC.又∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.又∵AB⊥AC,∴ΔABC是直角三角形,∵AD是其BC边上的中线,∴AD＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形.【针对训练1】(2014·南京中考)如图所示,在ΔABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E 作EF∥AB,交BC于点F.(1)求证四边形DBFE是平行四边形;(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?(2014·枣庄中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F,AE＝3,则四边形AECF的周长为()A.22B.18C.14D.11〔解析〕在菱形ABCD中,∠BAC＝∠BCA,∵AE⊥AC,∴∠BAC＋∠BAE＝∠BCA＋∠E＝90°,∴∠BAE＝∠E,∴BE＝AB＝4,∴EC＝BE＋BC＝4＋4＝8,同理,可得AF＝8,则AF＝EC,又∵AD ∥BC,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AECF的周长＝2(AE＋EC)＝2×(3＋8)＝22.故选A.[规律方法]本题主要运用菱形的性质以及平行四边形的性质求出四边形AECF的周长,注意熟练掌握并灵活运用菱形的性质是关键.【针对训练2】已知一个菱形的周长是20 cm,两条对角线的长度之比是4∶3,则这个菱形的面积是()A.12 cm2B.24 cm2C.48 cm2D.96 cm2〔解析〕设菱形的对角线的长分别为8x cm和6x cm,已知菱形的周长为20 cm,故菱形的边长为5 cm,根据菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直平分,即可知(4x)2＋(3x)2＝25,解得x＝1,故菱形的对角线的长分别为8 cm和6 cm,所以菱形的面积＝24(cm2).故选B.专题二矩形的性质与判定【专题分析】矩形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵活使用.判定一个四边形是否为矩形,可以结合具体条件选择合适的矩形的判定定理来判定,为利用矩形的性质解决问题提供条件.(2014·湘潭中考)如图所示,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F,若AD＝3,BD＝6.(1)求证ΔEDF≌ΔCBF;(2)求∠EBC.〔解析〕(1)首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE＝BC,∠E＝∠C＝90°,对顶角∠DFE＝∠BFC,利用AAS可判定ΔDEF≌ΔBCF;(2)在RtΔABD中,根据AD＝3,BD＝6,可得出∠ABD＝30°,然后利用折叠的性质可得∠DBE＝30°,继而可求得∠EBC的度数.[易错提示]此类问题具有一定的综合性,解题时要注意认真审题,恰当运用翻折变换的性质,依此提供证题所需的信息.此题容易出错的地方:①不能由折叠的性质结合矩形的性质得出三角形全等的条件;②根据AD,BD的长无法得出∠ABD的度数.【针对训练3】(2014·沈阳中考)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证OE＝OF.(2014·百色中考)如图所示,已知点E,F在四边形ABCD的对角线延长线上,AE＝CF,DE ∥BF,∠1＝∠2.(1)求证ΔAED≌ΔCFB;(2)若AD⊥CD,四边形ABCD是什么特殊的四边形?请说明理由.〔解析〕(1)由DE∥BF,可得∠E＝∠F,结合已知条件,利用AAS便可说明ΔAED≌ΔCFB;(2)由ΔAED≌ΔCFB,可得AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,利用等角的补角相等,可得∠DAC＝∠BCA,进而得到AD∥BC,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形,再利用“有一个角为直角的平行四边形是矩形”,便可得到四边形ABCD是矩形.证明:(1)∵DE∥BF,∴∠E＝∠F.又∵∠1＝∠2,AE＝CF,∴ΔAED≌ΔCFB(AAS).解:(2)四边形ABCD是矩形.理由如下:由(1)知ΔAED≌ΔCFB,∴AD＝CB,∠EAD＝∠FCB,∴180°-∠EAD＝180°-∠FCB,即∠DAC＝∠BCA,∴AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD⊥CD,∴∠ADC＝90°,∴▱ABCD为矩形.[方法归纳]矩形的判定方法:一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形.【针对训练4】如图所示,ΔABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,AE是ΔBAC的外角平分线,DE∥AB 交AE于点E,求证四边形ADCE是矩形.证明:∵在ΔABC中,AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB.又∵AD⊥BC,∴BD＝CD.∵AE是ΔBAC的外角平分线,∴∠1＝∠EAC.又∵∠1＋∠EAC＝∠ABC＋∠ACB,∴∠EAC＝∠ACB,∴AE∥BD.又∵DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE＝BD,AB＝DE,∴AE∥CD,AE＝CD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AB＝AC,AB＝DE,∴AC＝DE,∴▱ADCE是矩形.专题三正方形的性质与判定【专题分析】正方形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的性质外,还具有自身特有的性质,解决问题时可以灵活使用.判定一个四边形是否为正方形,可以结合具体条件选择合适的正方形的判定定理来判定,为利用正方形的性质解决问题提供条件.(2014·扬州中考)如图所示,已知RtΔABC中,∠ABC＝90°,先把ΔABC绕点B顺时针旋转90°后至ΔDBE,再把ΔABC沿射线AB平移至ΔFEG,DE,FG相交于点H.(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;(2)连接CG,求证四边形CBEG是正方形.〔解析〕(1)因为旋转、平移不改变图形的形状和大小,可以得到对应边和对应角相等,在判断DE⊥FG后,主要运用了“两个锐角互余的三角形是直角三角形”进行证明;(2)在已知∠GEF为直角的条件下,需要证明四边形CBEG是平行四边形,得到四边形CBEG为矩形,再加上邻边BE＝EG,即可判定矩形CBEG为正方形.解:(1)DE⊥FG.理由如下:由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE,∠ABC＝∠DBE＝90°,∴∠BDE＋∠BED＝90°,∴∠GFE＋∠BED＝90°,∴∠FHE＝90°,即DE⊥FG.(2)∵ΔABC沿射线AB平移至ΔFEG,∴CB∥GE,CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形.又∵∠GEF＝∠ABC＝90°,∴四边形CBEG是矩形.又∵EG＝BE,∴四边形CBEG是正方形.[规律方法](1)结论性探究题的解题策略是从结论出发,执果索因,直到已知条件和定理.(2)在证明一个四边形是正方形时,通常先证明其为平行四边形,再证明其为矩形(或菱形),最后得到正方形.(3)本题中涉及两个基本图形和一个基本思路:如图(1)所示的是典型的“三垂线”图形,当∠B＝∠BEG＝∠GHE＝90°时,∠BED＝∠G,反之也可以成立;如图(2)所示的也是有关正方形问题的经典图形,DE和GF若相等必垂直,反之也可以成立.【针对训练5】如图所示,点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于 ()A.75°B.60°C.45°D.30°〔解析〕过点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,则∠F＝90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝AB,∠A＝∠ABC＝90°,∴∠ADP＋∠APD＝90°,由旋转可得PD＝PE,∠DPE＝90°,∴∠APD＋∠EPF＝90°,∴∠ADP＝∠EPF.在ΔAPD和ΔFEP中,∠ADP＝∠FPE,∠A＝∠F＝90°,PD＝EP,∴ΔAPD≌ΔFEP,∴AP＝FE,AD＝FP,又∵AD＝AB,∴PF＝AB,即AP＋PB＝PB＋BF,∴AP＝BF,∴BF＝EF,又∵∠F＝90°,∴ΔBEF为等腰直角三角形,∴∠EBF＝45°,又∵∠ABC＝90°,∴∠CBE＝45°.故选C.(2014·自贡中考)如图所示,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE＝BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE＝CF.(2)若∠ABE＝55°,求∠EGC的大小.〔解析〕(1)用SAS证明ΔABE≌ΔCBF;(2)根据∠EGC＝∠EBG＋∠BEF,∠EBG＝90°-∠ABE,ΔBEF是等腰直角三角形求解.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠ABC＝90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF＝90°,∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC,∠ABE＝∠CBF,BE＝BF,∴ΔABE≌ΔCBF,∴AE＝CF.解:(2)∵BE＝BF,∠EBF＝90°,∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°,∠ABE＝55°,∴∠GBE＝35°,∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.【针对训练6】(2014·泸州中考)如图所示,正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且AE⊥BF,垂足为G,求证AE＝BF.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠ABC＝∠BCF＝90°,∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥BF,垂足为G,∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.在ΔABE与ΔBCF中,∴ΔABE≌ΔBCF(ASA),∴AE＝BF.专题四方程思想【专题分析】在探究特殊四边形的条件是什么时,常把需要满足的条件作为结论构造方程来解决问题,这不失为一种解决问题的捷径.如图所示,在RtΔABC中,∠B＝90°,AC＝60 cm,∠A＝60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t 秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(1)求证AE＝DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由.证明:(1)在ΔDFC中,∠DFC＝90°,∠C＝30°,DC＝4t,∴DF＝2t.又∵AE＝2t,∴AE＝DF.解:(2)能.理由如下:∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.由(1)知AE＝DF,∴四边形AEFD为平行四边形.若四边形AEFD为菱形,则AE＝AD.∵AD＝AC-DC＝(60-4t) cm,AE＝2t cm,∴60-4t＝2t,解得t＝10,∴当t＝10时,四边形AEFD为菱形.【针对训练7】如图所示,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD＝1∶2,则AO∶BO＝,菱形ABCD的面积S＝.〔答案〕1∶216专题五数形结合思想【专题分析】数形结合思想,就是把数、式与图形结合起来考虑,用几何图形直观地反映和描述数量关系.用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系,从而使问题巧妙、快速解决.涉及镶嵌的计算问题时,常要结合图形探索镶嵌的边角关系,构造方程,来解决边角计算问题.如图所示,用8块相同的小矩形地砖拼成一个大矩形,则每个小矩形地砖的面积是()A.200 cm2B.300 cm2C.600 cm2D.2400 cm2【针对训练8】将图(1)中的正方形作如下操作:第1次:分别连接各边中点,如图(2)所示,得到5个正方形;第2次:将图(2)中左上角的正方形按上述方法再分割,如图(3)所示,得到9个正方形,….以此类推,根据以上操作,若要得到2013个正方形,则需要操作的次数是()A.502B.503C.504D.505〔解析〕找到规律:第n次操作,得到的正方形个数为4n＋1.当4n＋1＝2013时,n＝503.故选B.。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》教学设计

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》教学设计一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第一章《特殊平行四边形回顾与思考》主要包括平行四边形的性质、判定以及特殊平行四边形的性质和判定。

本章内容是对初中阶段平行四边形知识的总结和提升，为后续几何学习打下基础。

通过本章的学习，学生需要掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平行四边形的性质和判定，对特殊平行四边形有一定的了解。

但部分学生对知识的理解和运用还不够熟练，对特殊平行四边形的性质和判定方法容易混淆。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，巩固基础知识，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用；2.过程与方法：培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行四边形的性质和判定方法，特殊平行四边形的性质和应用；2.教学难点：特殊平行四边形的性质和判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入特殊平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣；2.问题驱动法：设置问题引导学生思考，培养学生解决问题的能力；3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队协作精神；4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、练习题等；2.准备特殊平行四边形的模型或图片，以便于学生直观理解；3.安排课堂练习的时间和内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入特殊平行四边形的概念，如电梯门、蝴蝶翅膀等，引导学生回顾已学的平行四边形知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍特殊平行四边形的性质和判定方法，如矩形、菱形、正方形的性质和判定。

通过PPT展示，让学生直观地了解特殊平行四边形的特征。

人教版部编初中九年级数学(上册)第一章回顾与思考WORD

第一章特殊平行四边形回顾与思考一、学生知识状况分析“特殊的平行四边形”是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。

本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。

研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。

二、教学任务分析本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、正方形的内在关系：不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。

通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。

本节共一个课时，已总结和简单练习为主。

1．知识目标：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。

2．能力目标：（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.4. 教学重点（1）三种特殊平行四边形性质和判定的复习. （2）三种特殊平行四边形的关系.4．教学难点总结关系方法的多样性和系统性。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：交流创意,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：交流创意，导入课题内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。

北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习

二、学情分析
九年级学生在学习《特殊的平行四边形》之前，已经具备了平行四边形的基本概念和性质，以及四边形的有关知识。在此基础上，他们对特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的学习具备了一定的基础。但在实际应用中，学生可能对特殊平行四边形的判定方法、性质运用及实际问题解决等方面存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，应注意以下学情：
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如积极参与、合作交流、问题解决等，给予及时的鼓励和反馈。
（2）总结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，了解学生对特殊平行四边形性质及应用的掌握程度。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，提高每个学生的学习效果。
（2）注重情感教育，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心。
（2）对作业中的疑问及时请教同学或老师，提高问题解决能力。
（3）按时提交作业，养成良好的学习习惯。
（1）阅读教材附录中的相关阅读材料，了解特殊平行四边形在实际生活中的应用。
（2）思考并讨论：矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。
4.思考题：
（1）特殊平行四边形除了教材中提到的性质外，还有哪些性质？
（2）如何运用特殊平行四边形的性质解决一些复杂的几何问题？
5.作业要求：
（1）认真完成作业，保持字迹清晰、卷面整洁。
北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《特殊的平行四边形》回顾与复习中，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行四边形的基本性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等。
2.熟练运用特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质进行计算和解决问题。

人教版数学四年级上册-五《平行四边形和梯形》整理和复习教案

人教版数学四年级上册-五《平行四边形和梯形》整理和复习教案一. 教材分析《平行四边形和梯形》是人教版数学四年级上册第五单元的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握平行四边形和梯形的定义、性质和特征，以及它们的判定方法。

通过本节课的学习，让学生能够识别和判断平行四边形和梯形，并能够运用它们解决实际问题。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了二年级和三年级的基础数学知识，对图形的认知和理解也有一定的基础。

但是在实际操作和解决问题时，可能会遇到一些困难。

因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，理解和掌握平行四边形和梯形的性质和特征。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平行四边形和梯形的定义、性质和特征，能够识别和判断平行四边形和梯形。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形和梯形的定义、性质和特征，以及它们的判定方法。

2.难点：如何让学生理解和掌握平行四边形和梯形的性质和特征，以及如何运用它们解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境和实际问题，引发学生的兴趣和思考。

2.操作教学法：通过实际操作和动手实践，让学生理解和掌握平行四边形和梯形的性质和特征。

3.交流讨论法：通过小组讨论和全班交流，培养学生的团队合作意识和逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教具准备：平行四边形和梯形的模型、图片、卡片等。

2.学具准备：学生用书、练习本、彩色笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实物，引导学生回顾二年级和三年级学过的图形知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用模型和图片，引导学生观察和思考，揭示平行四边形和梯形的定义和特征。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，用量角器、直尺等工具，测量和判断平行四边形和梯形。

第一章特殊平行四边形章末回顾与思考课件(含素材,27张)

1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
巩固练习，深化提高
1. 一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求它的边长.【选自教材P26 复习题第1题】
2 5 cm
2. 如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 О，
证明: 如图，四边形 ABCD 中，E，F，G，H
分别为 AB，BC，CD ，AD 中点，BD ，AC 交于点 O，
则 HE
∥=
1 2
BD
∥=
FG，HG
∥=
1 2
AC ∥= EF．
AEB
又∵∠COB ＝∠1 ＝ 90°＝∠HEF， ∴四边形 EFGH 为正方形．
1
H
O
F
D
G
C
6. 如图，四边形 ABCD 是一个正方形，是 BC 延长线上
证明: 在矩形 ABCD 中，AM ＝ BP ＝CN ＝ DQ．
∴OM ＝ OQ＝ ON ＝ OP ．易证△MOQ≌△PON ．
A M
D Q
∴MQ ＝ PN ，∠MQP ＝∠NPQ，
∴MQ∥PN ，
B
∴四边形 MQNP 为矩形．
O P
N C
13. 已知: 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB = 90°， CD 是
8. 已知: 如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 分别
作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F .
求证: 四边形 AEDF 是菱形.【选自教材P27 复习题第8题】
证明: ∵AD 为∠BAC 的平分线，
A
∴∠DAC＝∠DAB．

初中数学单元整体复习的新视角——以“从图形变化的视角整体设计平行四边形”单元复习为例

教育部《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出：取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题.在此重大变革的机遇下，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）成为初中数学学业水平考试命题的根本依据.因此，遵从数学课程基本理念，实现数学课程目标，专注于发展学生的数学学科核心素养，是数学教学的根本任务.2020年4月20日，笔者有幸在“深化课堂教学改革提升数学育人水平行动研究”第一次主题教研活动中做了题为“从图形变化的视角整体设计平行四边形单元复习”的报告.笔者现将报告准备过程中的所思所想进行呈现，与大家共同探讨.一、复习教学的策略复习教学有别于新课教学，其意义不应止步于“温故”，而应积极探索如何“知新”.同时，复习教学不应否认新课教学的效果和作用，应在学生已有“四基”的基础上，寻找新的增长点.1.以课程标准为根本依据《标准》中的课程内容（第三学段）与平行四边形（包括平行四边形、矩形、菱形和正方形）有关的描述是“探索并证明平行四边形的性质定理；探索并证明平行四边形的判定定理”“探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理”“探索矩形、菱形、正多边形的轴对称性质”“探索平行四边形、正多边形的中心对称性质”.其中，对平行四边形的性质定理和判定定理的要求均为“探索并证明”，对其轴对称性质与中心对称性质的要求均为“探索”.《标准》中将描述过程目标的行为动词“探索”定义为“独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识”，将描述结果目标的行为动词“证明”定义为“综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题”.这两个行为动词体现出《标准》对平行四边形教学内容有很高的要求.因此，以平行四边形单元整体复习为例来谈复习教学的策略，可以为其他单元的复习提供借鉴与参考，具有一定的研究价值.在平行四边形单元整体复习设计中把上述目标具体分为以下四个方面.（1）能辨别平行四边形、矩形、菱形、正方形，理清它们之间的关系.（2）能运用平行四边形的性质定理与判定定理进行相关证明和计算.初中数学单元整体复习的新视角——以“从图形变化的视角整体设计平行四边形”单元复习为例李摘要：平行四边形内容是学生学习图形的变化的良好载体.在平行四边形的复习教学中，以课程标准为依据，以图形变化为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学，帮助学生建立知识之间的广泛联系.通过这些教学策略，旨在促进学生空间观念、几何直观和逻辑推理等能力的发展.关键词：课程标准；复习教学；整体教学；教学策略收稿日期：2021-01-16作者简介：李馨（1976—），男，高级教师，主要从事初中数学课堂教学与解题研究.··36（3）会利用图形的对称性对具体问题进行分析与推理.（4）经历以图形对称性的视角研究平行四边形的过程，寻求该视角下的研究思路、研究内容和研究方法.2.以图形变换为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学（1）以图形变换为主轴，开展单元整体复习教学.平行四边形单元整体复习教学设计的基本思路是以图形的对称性为主轴，串联平行四边形大单元的复习，共设置三个课时，分别为“平行四边形的中心对称性”“轴对称在矩形、菱形中的应用”“正方形的对称性”.每个课时均由具体活动引入，通过引导学生探究，感受图形对称性在平行四边形中的重要价值，并最终解释图形对称性之间的联系.图形的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称.轴对称的代表图形是等腰三角形，中心对称的代表图形是平行四边形，旋转对称的代表图形是圆.平行四边形具有中心对称性，将其特殊化后得到的矩形和菱形均为轴对称图形，再进一步特殊化后得到的正方形是旋转对称图形（正方形绕对角线的交点旋转90°后能与原正方形重合）.因此，以图形的对称性为主轴对平行四边形单元进行整体复习教学设计不但有利于用整体的视野，以平行四边形为载体，从研究思路、研究内容和研究方法上统一认识图形的对称性，而且可以实现以一个全新的视角对平行四边形进行再认识，发展学生的空间观念和几何直观.（2）以图形研究的一般观念引领单元整体教学.在新课教学中，学生已经掌握了研究几何图形的基本思路：概念—性质—判定—特例—应用.同时，在初学平行四边形时，学生已经掌握了通过对四边形的要素（边和角）特殊化（数量和位置）生成新的研究对象的方法.在本单元复习中，学生可以通过类似的研究方法，以新的视角，从相关要素（对角线）的特殊化（数量和位置）方向进行继续研究.这样的研究方法与之前的几何研究保持了内容结构的整体性和逻辑一致性，对研究其他几何图形同样具有示范性. 3.帮助学生建立知识之间的广泛联系单元整体教学设计强调学习内容的内部联系，强调活动设计的自然连贯，强调思想方法的良好承接，以帮助学生构建更全面的认知结构.本单元整体教学设计强调图形对称性与平行四边形的性质、判定之间的关系.图形的对称性是平行四边形性质的几何直观，平行四边形是图形对称性的载体，在学生的图形认知结构中，两者共同发挥着重要作用，相互依存、密不可分.二、复习教学设计核心流程教学设计不仅要围绕《标准》提出的教学目标、落实目标解析，还需要重视内容中蕴涵的数学思想和方法，实现数学教学的育人价值.本单元以深度学习理念设计复习教学活动，逐一突破难点，完成知识完整、思想一致、方法普适、思维系统和逻辑连贯的整体复习教学设计.1.分析教学内容，确定教学重点（1）分析知识内容的逻辑结构.平行四边形是中心对称图形，这是从整体上对平行四边形的认识，而平行四边形的两条对角线与一组对边所组成的两个三角形成中心对称，这是从局部看图形各部分之间的关系.在解决具体问题时，可以先对图形整体建立几何直观，再细化到局部，探索要素之间的关系.有时候也可以根据问题中对局部图形的描述，发现其具有对称性的本质，进而认识图形的整体.对称图形要素之间的关系需要从定性和定量两个方面进行研究.如何综合运用图形的对称性解决问题需要学生进行分析与推理.（2）分析思想方法和育人价值.平行四边形内容中蕴涵的基本思想是推理和图形变换思想，核心的育人价值是发展学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力.（3）确定单元教学重点.基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学重点是：通过图形的对称性，再认识平行四边形的性质和判定；以图形的对称性为主轴探究研究平行四边形的具体方法.2.诊断教学问题，明确教学难点，完善教学策略学生已经学习了图形的轴对称、中心对称和旋转··37具体课时的教学核心流程及解析如下.下面是三个课时教学的核心流程图、基本设计思路及深度学习活动设计.核心流程图主要体现复习教学组织的过程、内容之间的联系和蕴涵的思想方法等.在基本设计思路中简单介绍了各课时深度学习活动的组织方式及其意义和价值.深度学习活动设计在同一课时中是前后连贯的，在三个课时中是思路统一的，具有良好的承接性.（1）第1课时.①“平行四边形的中心对称性”一课的核心流程图如图1所示.一一一一整体→局部局部→整体过中心的直线中点→中线（1）（2）（3）图1②基本设计思路.第1课时的活动从整体到局部，根据平行四边形的中心对称性，以小见大.在探究“平行四边形与其过中心的直线组合后能获得哪些结论”的活动中，对问题进行分解，关注一边中点关于中心的对称点的位置，一边上的中线关于中心对称的线段的位置等.再从局部到整体引导学生认知，最终以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，并结合图形的相关要素对问题进行各种拓展与变化.③深度学习活动设计.活动1：让学生通过两个三角形关于一点成中心对称获得平行四边形.利用中心对称图形的性质再次理解平行四边形的性质，帮助学生从静态到动态、从整体到局部，重新认识平行四边形.接下来，让学生在平行四边形中画出一边中点关于中心的对称点，通过一系列的追问，由点到线再到角，最后到形，引导学生关注图形的要素和相关要素，让学生再次从局部到整体认识平行四边形的性质与其中心对称性之间的联系.活动2：将平行四边形一边的中点变化为三等分点、四等分点，以及更一般的n等分点，让学生在这个一般化的变化过程中，寻找不变的关系，并以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意变化.在学习过程中，多次以图形的变化为工具解决数学问题和实际问题，具备了一定的基础.也已经通过要素之间的关系研究了平行四边形的性质和判定，并清楚平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形和正方形都是轴对称图形.但是用整体视角，以图形的对称性为主轴，串联平行四边形的研究思路、研究内容和研究方法是学生没有经历过的.基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学难点是：利用图形的对称性解决与平行四边形相关问题的计算或证明.在复习教学中，教师要抓住平行四边形两条对角线之间的特殊数量关系和位置关系，引导学生建立图形对称性与平行四边形的性质及判定之间的关系，借助信息技术增强学生对平行四边形对称性的直观感受，帮助学生建立解决较为复杂问题的思路和方法，再进一步进行完整的推理和证明.3.在整体视野下设计单元教学的课时方案课时安排如下表所示.深度学习活动引入主要内容应用单元—课时第1课时平行四边形的中心对称性两个三角形成中心对称整体与局部的关系；静态到动态的视角平行四边形的中心对称性第2课时轴对称在矩形、菱形中的应用平行四边形对角线的特殊关系对角线的特殊关系；矩形、菱形的对称性平行四边形的轴对称性第3课时正方形的对称性寻找正方形中的相等线段正方形的对称性；旋转对称的根源正方形的对称性··38一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，最后再添加对角线，引导学生由整体到局部关注图形的要素与相关要素之间的关系.活动3：在前面活动获得的经验基础上，再增加一条过中心的直线，由学生判断这两条直线与平行四边形的交点顺次连接后所得四边形的形状，为下一课时研究矩形和菱形的轴对称性做铺垫.（2）第2课时.①“轴对称在矩形、菱形中的应用”一课的核心流程图如图2所示.一一一一一一整体局部整体图2②基本设计思路.第2课时延续第1课时的设计思路，从整体到局部，通过将局部小三角形两边（平行四边形对角线的一半）之间数量关系和位置关系特殊化，引导学生发现矩形和菱形既延续了平行四边形的中心对称性，又因为局部特殊化后产生的等腰三角形而拥有了轴对称性，再回到整体，因此矩形和菱形产生了一般平行四边形没有的新性质，这些性质的根源在于它们的轴对称性.最后，以轴对称结合中心对称，对矩形和菱形性质的进行应用.③深度学习活动设计.活动1：回顾新课学习中将平行四边形的要素（角）特殊化获得矩形和菱形，结合第1课时平行四边形的获得过程，从整体到局部，再将局部特殊化.分别通过局部小三角形的两边（平行四边形对角线的一半）数量的特殊化和位置的特殊化获得矩形和菱形.通过设置问题串及追问，引导学生发现矩形和菱形呈现的轴对称性与其局部中隐藏的等腰三角形的轴对称性有密切关系，从而将图形局部的轴对称性和整体的轴对称性进行了有机的统一.在此基础上，由矩形和菱形的中心对称性和轴对称性出发，整体复习矩形和菱形的性质，从而对其对称性及特殊性质形成整体认知.活动2：以矩形为背景，围绕其一条对称轴上点的不同位置展开探究，通过变式，借助图形对称性的视角解决系列问题，串联整个学习过程.（3）第3课时.①“正方形的对称性”一课的核心流程图如图3所示.一一一一一一一一一一一一图3②基本设计思路.第3课时对图形局部进一步特殊化，发现正方形不但延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是正方形有了其他四边形所没有的性质.而正方形所体现的旋转对称性，本质上正是因为它既有矩形的轴对称性，又有菱形的轴对称性.关于这两条对称轴各作一次轴对称就体现出了旋转对称性.③深度学习活动设计.活动1：延续前两个课时中对平行四边形、矩形和菱形的研究思路，继续特殊化矩形和菱形的对角线获得正方形，再次将局部的对称性和整体的对称性进行统一.从而发现正方形不仅延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是有了其他四边形所没有的性质.活动2：让学生在正方形中寻找和已知线段（连接正方形的一个顶点和与其不相邻的边上一点的线段）相等的线段，并对画出的各种图形根据与已知线段的不同位置进行分类，最终引导学生发现一切源于正方形的对称性——中心对称性、轴对称性和旋转对称性.然后通过两次轴对称解释正方形的旋转对称性，使学生构建对正方形所体现的图形对称性的统一认识.（下转第59页）··39用解直角三角形的条件，构造直角三角形；会进行图形的组合与拆解.从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学就是培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，实现它要依靠教学内容这一载体.“锐角三角函数”专题复习课不宜过度关注知识点和考点，这样会窄化教学视野，降低教育应有的内涵.必需在问题解决中培养学生的一般性观念：利用四边形、圆、相似等多个知识点综合解决问题时，等角及边的转化是解决问题的关键；解直角三角形中的确定性意识的形成等.虽然初中阶段对三角函数的要求较低，但是学生应该具有回归定义研究性质的能力.六、结束语专题复习课的功能主要是提升学生在知识、技能、思维层面上体现出来的数学素养.鉴于九年级学生现有的认知水平，专题复习课的内容必须为学生的能力发展和素养提升而设计.初中数学的核心素养虽然未作界定，但基于初中的十大核心概念和对核心素养观的理解，此专题复习中要发展的主要学科核心素养应该是数学运算、直观想象、逻辑推理.同时，专题复习课作为一种重要的课型，在教学设计时同样要进行教学背景的分析和教学目标的确定.新授课重在探究建构知识，专题复习课重在梳理、整合知识，感悟数学思想和方法；新授课关注学科知识本质、提升学生思维品质，专题复习课重在发展学生能力、提升核心素养.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.三、后续思考与展望1.复习教学建立在教师“四个理解”的基础上《标准》为复习教学指明了方向，同时也对教师本身的教学能力提出了更高要求.在进行复习教学设计前应做好“前测”工作，即充分了解学生知识和能力的起点，找准复习教学的提升点.教师要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学和评价“四个理解”上多下工夫，切勿把习题教学当成复习教学. 2.复习教学应以单元整体复习的思路进行设计在当前的教学改革形势下，加强“单元—课时”教学设计的研究是深化数学教育教学改革，提高数学教学质量的有力抓手，广大初中数学教师应给予充分重视.在复习教学中，教师应依据《标准》对单元整体学习内容进行解构、重构和建构，对复习教学整体设计的可行性进行科学论证，完成有“数学味”的单元整体复习教学设计.3.关注学生核心素养的教学才具有生命力教师通过全新的视角引导学生重新认识熟悉的数学对象，用相似的方法更系统地发现和提出问题，并进一步分析和解决问题.正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”，这在培养学生的理性精神和科学态度的过程中起着积极作用.在复习教学中，教师要帮助学生建立知识之间的联系，促进学生对数学的理解，使学生能看得更高、走得更远.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］章建跃，鲍建生.深化课程改革，提高数学教育教学质量：暨“第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结［J］.中国数学教育（初中版），2020（4）：2-20.［3］章建跃.学会用数学的方式解读内容设计教学：以“相交线”为例［J］.数学通报，2019，58（1）：8-12，15.［4］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.（上接第39页）··59。

单元视角下的概念同化教学——“平行四边形的认识”教学设计

［摘要］文章基于对学情的分析，提出了一种新颖的学习路径，即概念同化教学。

以“平行四边形的认识”教学为例，从已知概念属性出发，通过操作、对比、概括等方式，抽象出平行四边形的特性，引导学生从感性认识逐渐走向理性认识，帮助学生积累学习平面图形的经验，形成空间观念。

［关键词］平行四边形；空间观念；概念同化［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2024）05-0070-03图形的认识包括两个方面（如图1），一是对图形特征的认识，经历从辨认到初步认识再到探索证明的不同阶段；二是对图形各元素、图形与图形之间的关系的认识。

在教学“平行四边形的认识”时，教什么？怎么教？笔者基于教材内容，从真实学情和单元视角两个方面进行了整体思考。

图1图形的认识框架图一、课前思考（一）学情：从感性走向理性学生在一年级时通过直观感受和生活经验来认识平行四边形，主要是辨认图形的形状。

然而，在四年级学生对平行四边形的认识中，需要用更精确的语言描述平行四边形的特征，概括平行四边形的定义，并辨认平行四边形，了解其与其他平面图形的关系。

这时，学生的思维水平已经进入抽象阶段。

教学“平行四边形的认识”这一课前，为了精准把握学生对平行四边形的理解情况，笔者设计了如图2所示的前测题。

图2前测题“辨认平行四边形”笔者对四年级的168名学生进行了前测，从前测情况（见表1）来看，大部分学生能够正确辨认平行四边形，表明他们对平行四边形有一定的认识。

其中，有少部分学生选择了⑤号图形和⑥号图形，而大部分学生认为长方形和正方形不是平行四边形，这说明他们还没有厘清平行四边形与长方形、正方形之间的关系。

此外，还有一部分学生认为⑧号图形是平行四边形。

通过进一步了解，笔者发现大部分学生只关注到平行四边形的局部特征，他们的判断依据是整体感知和直观感觉。

表1前测情况选择准确率①94.05%③94.05%⑤20.83%⑥20.83%⑦91.07%（二）需求：从合并走向独立平行四边形在平面图形板块中具有重要的作用，与梯形有密切的联系。