2019-2020数学必修5单元卷
2019-2020年数学必修5(人教A版)练习：模块综合评价(一)
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是( )A ．a 2＞ b 2B ．ac ＞ bcC ．ac 2＞ bc 2D ．a －c ＞ b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝bsin A a ＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝45°.答案：C3．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，所以n ≥10.答案：D4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2，所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}．又3－xx ＋1＞0，得－1＜x ＜3，所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为() A ．16 B ．32 C ．48 D ．64。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第5页】(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号通项公式与递推公式 1a n与S n的关系12,19等差数列基本运算2,4,5,13,17,18等差数列的性质3,7,8,11,14,20前n项和的性质6,9,10,15,16一、选择题(每小题5分,共60分)1.数列{a n}:-,3,-3,9,…的一个通项公式是( B )(A)a n=(-1)n(n∈N*)(B)a n=(-1)n(n∈N*)(C)a n=(-1)n+1(n∈N*)(D)a n=(-1)n+1(n∈N*)解析:因为数列{a n}的奇数项为负数,偶数项为正数,所以符号为(-1)n.每一项的绝对值为,其通项公式为a n=(-1)n(n∈N*).2.(2018·南平期末)在公差为3的等差数列{a n}中,a5+a6=7,则a6+a8【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷 (三)第1页】的值为( B )(A)13 (B)16 (C)19 (D)22解析:等差数列{a n}中,公差为d=3,且a5+a6=7,所以a6+a8=a5+d+a6+2d=a5+a6+3d=7+3×3=16.故选B.3.(2018·攀枝花期中)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a2+a3= a4+a5,S5=60,则a5等于( A )(A)16 (B)20 (C)24 (D)26解析:因为a1+a2+a3=a4+a5,S5=60,所以解得a1=8,d=2,所以a5=8+4×2=16,故选A. 4.(2018·孝感期中)在等差数列{a n}中,a7a11=6,a4+a14=5,则该数列公差d等于( D )(A) (B)或-(C)- (D)或-解析:因为在等差数列{a n}中,a7a11=6,a4+a14=5,所以a7+a11=a4+a14=5,所以a7和a11是方程x2-5x+6=0的两个根,解方程得a7=2,a11=3,或a7=3,a11=2,所以d==或d==-.【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)第2页】即该数列公差d等于或-.故选D.5.(2018·张家界期末)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第九日所织尺数为( B )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:由题意可知,每日所织数量构成等差数列,且a2+a5+a8=15,S7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由S7=28,得7a4=28,所以a4=4,则d=a5-a4=1,所以a9=a5+4d=5+4×1=9.故选B.6.(2018·福州期中)已知等差数列{a n}中,S n是它的前n项和,若S16>0,且S17<0,则当S n取最大值时的n值为( B )(A)7 (B)8 (C)9 (D)16解析:由S16>0,知>0,即a1+a16>0,又a1+a16=a8+a9,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(三)第3页】。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第二章 数列 单元质量测评 Word版含解析
第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1 答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12． ∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列． ∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( )A ．45B ．50C ．75D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ①又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3． 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ， 又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n ，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n ，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81 答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝2(1－25)1－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)， ∴S 14＝7×(1－5)＝－28， a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44，S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析 令2x －1＝x (x ≤0)，易得x ＝0． 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ， 即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1． 当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ， 即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ， 故2x －2＋1＝x ，则x ＝2． 因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2， 结合各选项可知该数列的通项公式为 a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1， a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1， a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60) ＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12， 又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)． ∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)． ∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1． 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2． 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ， 则T n ＝n (2＋3n －1)2＝32n 2＋12n ．设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9．由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *， 故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，求a c ＋c a 的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ． ②由①，得4b 2·15ac ＝64． ③ 将②代入③，得1a ＋1c 2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415．18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12． 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ．又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算． 解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×q n －1＝1000×0．98n －1． ∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ． 依题意得⎩⎨⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， ∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1． (2)∵c n ＝a n b n＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1， 4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2， ∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )，∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1) ＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1， ∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·322·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1． (3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)． ∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1，∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2⎝ ⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n －1， ∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n －1<1．∴S n <1．。
2019-2020学年高中数学人教版必修5模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( ) A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0， ∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号； 对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D.6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2错误!＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4， ∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤0，－x ＋2，x>0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2， 解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2， 解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}， 即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知， 当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0， 由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ， 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0， 所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0， 所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0， 所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0， 当q ≠1时，S 2 015＝错误!，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝asin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列， 所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得 BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝23.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x2＋x ＋1x ＋2＝错误!＝错误!＝t ＋错误!－3≥2错误!－3， ∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝错误! ＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则bn ＋1bn ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝错误!(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180km/h ，飞机在A 处先看到山顶的俯角为15°，经过420s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n.(2)∵a n ＝13n， ∴b n ＝－log313n＝2n ， 从而1bnbn ＋1＝错误!＝错误!错误!，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝错误!.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ， 则a n ＝错误! 因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )， 所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)， 令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117， 解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立， 则a ≥错误!＝错误!， 又因为错误!≤错误!错误!2， 所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。
2019-2020学年高中数学模块综合检测必修5
模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若f（x）＝3x2－x＋1,g（x)＝2x2＋x－1,则f（x)与g（x）的大小关系为（）A．f(x）>g(x）B．f(x）＝g(x）C．f（x）〈g(x）D．随x值变化而变化解析：选A 因为f（x）－g(x）＝（3x2－x＋1）－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0,所以f(x)〉g（x）．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝错误!，b＝错误!,B＝60°，那么角A等于( )A．135° B．90°C．45° D．30°解析：选C 由正弦定理知错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!＝错误!.又a〈b，B＝60°,∴A〈60°，∴A＝45°。
3．若关于x的不等式x2－3ax＋2〉0的解集为(－∞,1)∪（m,＋∞），则a＋m＝( )A．－1 B．1C．2 D．3解析：选D 由题意，知1,m是方程x2－3ax＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得错误!解得错误!所以a＋m＝3，故选D。
4．已知数列{a n}为等差数列,且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( ）A．40 B．42C．43 D．45解析：选B 设等差数列{a n｝的公差为d，则2a1＋3d＝13，∴d＝3,故a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.5．在△ABC中,AC＝错误!，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（）A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析：选B 由余弦定理得AB2＋4－2·AB×2×cos 60°＝7,解得AB＝3或AB＝－1(舍去）,设BC边上的高为x，由三角形面积关系得错误!·BC·x＝错误!AB·BC·sin 60°，解得x＝错误!,故选B.6．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为（)A．16,8 B．15,9C．17,7 D．14,10解析：选A 设A工厂工作x小时,B工厂工作y小时,总工作时数为z,则目标函数为z＝x＋y，约束条件为错误!作出可行域如图所示，由图知当直线l：y＝－x＋z过Q点时，z最小，解方程组错误!得Q(16,8)，故A厂工作16小时，B厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＝错误!,3sin B＝2sin C，且△ABC的面积为2错误!,则a＝（) A．2 3 B．3。
2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷及答案
2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.√24D.√23答案:B2下列结论正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a8>b8,则a>bC.若a>b,c<0,则ac<bcD.若√a<√b,则a>b答案:C3等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13的值是() A.130 B.65C.70D.75解析:因为a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以a7=10.所以S13=13(a1+a13)2=13(a7+a7)2=13a7=130.答案:A4已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=125.∵A∈(0,π2),∴cos A=15.∵cos A=36+b2-492×6b ,∴b=5或b=−135(舍).故选D.答案:D5若在等比数列{a n}中,a4=7,a6=21,则a8等于()A.35B.63C.21√3D.±21√3 答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=4√3,A=30°,则角B 的度数等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ) A .(0,π3]B.[π3,π] C .(0,π6]D.[π6,π) 答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z ,则z=1 600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36 800.故选C .答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( )A.x+y ≥2(√2+1)B.xy ≤√2+1C.x+y ≤(√2+1)2D.xy ≥2(√2+1) 解析:∵xy=1+(x+y )≤(x+y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0, ∴x+y ≥2(√2+1),当且仅当x=y =√2+1时等号成立. 答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n -√3√3a n +1(n ∈N *),则a 20等于( )A.0B .−√3C.√3D.1解析:由a 1=0,a n+1=n √3√3a +1n ∈N *),得a 2=−√3,a 3=√3,a 4=0,…由此可知数列{a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=−√3. 答案:B11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1. 答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值. 于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1. 答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列, 所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100.所以2n ≥51,n ≥6.答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO|的最小值等于 ,最大值等于 . 答案:√2 √1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =√2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos 120°.∵c =√2a,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n. (2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2a =10n-n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C岛,经测算,A船行驶了10√7海里,求B船的速度.解如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=10√7,∠ABC=120°.由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos 120°,即700=100+BC2+10BC,得BC=20.设B船速度为v,行驶时间为8060=43(小时),路程为BC=20海里,则有v=2043=15(海里/时),即B船的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba =cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2√5,求△ABC面积的最大值.解(1)因为2c-ba =cosBcosA,所以(2c-b)cos A=a cos B.由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B, 整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B)=sin C.在△ABC中,0<C<π,所以sin C≠0.所以cos A=12.又0<A<π,故A=π3.(2)由(1)得A=π3,又a=2√5,则cos A=b 2+c2-a22bc=12,整理得b2+c2=bc+20.由基本不等式,得b2+c2≥2bc,则bc+20≥2bc,所以bc≤20,当且仅当b=c时,等号成立,故三角形的面积S=12bcsin A=12bcsinπ3=√34bc≤√34×20=5√3.所以△ABC面积的最大值为5√3.20(12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n2n-1}的前n项和.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得{a 1=1,d =-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)设数列{an2n -1}的前n 项和为S n , 即S n =a 1+a 22+⋯+a n 2n -1,则S 1=a 1=1,S n 2=a 12+a 24+⋯+a n2n . ∵当n>1时,S n 2=a 1+a 2-a 12+⋯+a n -a n -12n -1−a n 2n=1−(12+14+…+12n -1)−2-n 2n=1−(1-12n -1)−2-n 2n=n2n ,∴S n =n2n -1.当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数列{an2n -1}的前n 项和S n =n2n -1.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率? 解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可. 由{21x +11y =86,x +y =6,得M (2,4).由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万. 故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设T n 为数列{1an a n+1}的前n 项和,若Tn ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得d=1或d=0(舍去),因此a 1=2.故a n =n+1. (2)∵由(1)可知1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,∴T n =12−13+13−14+⋯+1n -1−1n+2=n2(n+2). ∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴n 2(n+2)≤λ(n+2),即λ≥n2(n+2)2对任意n ∈N *恒成立.又n 2(n +2)2=n 2(n 2+4n +4)=12(n +4n+4)≤116,当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值为116.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测卷新人教A版必修5
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.2．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B. 3．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 解析：选 A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12.故选A. 4．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38， ∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6. ∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.5．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.故选D.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1或sin A ＝0(舍去)， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．故选B.7．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14 B ．15 C.16 D ．17解析：选A根据题中所给约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m所得的可行域如图．根据y ＝－2x ＋z 可知z 的几何含义为直线在y 轴上的截距．显然y ＝－2x ＋z 在点(1,1)和(m ，m )处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m ，故3＝4·3m ，解得m ＝14. 故选A.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B ．13C ．1D ．72解析：选D ∵3a ＝2b ，∴b ＝32a ，由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72.故选D. 9．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10解析：选A ∵数列{a n }是等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，由题意知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的首项为－9，公差为1，∴S n n＝n －10，∴S 1010＝0，∴S 10＝0.故选A.10．(2019·河南信阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( )A.53 B ．32 C.43D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(二)
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(二)【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第5页】(时间:90满分120分)【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理及其应用1,4,5,6,13三角形形状判定3,7三角形的面积8,10,14,17与其他知识综合9,12,18,19 正、余弦定理的实际应用2,11,15,16,20一、选择题(每小题5分,共60分)1.在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是( C )(A)(1,3) (B)(2,3)(C)(,3) (D)(2,3)解析:在钝角△ABC中,由于最大边为c,所以角C为钝角.所以c2> a2+b2=1+4=5,即c>,又因c<a+b=1+2=3,所以<c<3.2.如图,为了测量A,B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A,B的距离为( B )(A)20 m (B)20 m(C)500 m (D)60 m【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第1页】解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=1002+1202-2×100×120×=12 400,所以AB=20(m),故选B.3.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC的形状一定是( C )(A)等腰直角三角形 (B)直角三角形(C)等腰三角形 (D)等边三角形解析:因为c=2acos B,由正弦定理得2cos Bsin A=sin C=sin(A+B),所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,又因为-π<A-B<π,所以A-B=0,所以A=B.所以△ABC是等腰三角形.4.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C的值为( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:因为sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,所以a∶b∶c=3∶2∶4,设a=3k,则b=2k,c=4k,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第2页】所以cos C==-.5.在△ABC中,b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆面积为( D )(A)(B)(C) (D)解析:a2=b2+c2-2bccos A=82+32-2×8×3×=49,所以a=7,所以2R===,所以R=,所以S=π()2=π.6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=4,为使此三角形只有一个,则a满足的条件是( C )(A)0<a<4 (B)a=6(C)a≥4或a=6 (D)0<a≤4或a=6解析:bsin A=4×sin 60°=6,只有a=6或a≥4时有一解.故选C.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2=,则△ABC是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第3页】。
2019-2020学年高二数学人教必修5(第01章 解三角形)-(考试版)
高二数学试题 第1页（共6页） 高二数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|2019-2020学年高二数学人教必修5（第01章）章末检测（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在△ABC 中，若222sin sin 1sin CB A+=，则A等于 A ．150︒B ．120︒C ．90︒D ．60︒2．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,ab c .若π3A =，a =2b =，则边c 的大小为 A ．3 B ．2C D3．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若2sin sin cos a A B b A +=，则b a= A BC ．1D ．24．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30,C a=︒=，则B 等于A ．45︒B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒5．某船在小岛A的南偏东75︒，相距20千米的B 处，该船沿东北方向行驶20千米到达C 处，则此时该船与小岛A 之间的距离为A ．千米B ．千米C ．20千米D ．6．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若22cos sin sin cos a A B b A B =，则△ABC 是 A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sin 2C =2tan (2sin cos 2)A C C +-，则下列等式成立的是A ．2b a =B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =8．如图，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得树尖P 的仰角为30,45︒︒，且,A B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为A ．30)mB ．C ．D ．9．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 4sin a C c A =，已知ABC △的面积1sin 102S bc A ==，4b =，则a 的值为A ．233B ．253 C ．263D ．28310．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是A ．10b =，45A =︒，70C =︒B ．60a =，48c =，60B =︒C ．7a =，5b =，80A =︒D ．14a =，16b =，45A =︒11．在△ABC 中，若4,5,AB AC ==△BCD 为等边三角形（,A D 两点在BC 两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC ∠= A ．π2B ．π3C ．2π3D ．5π6高二数学试题 第3页（共6页） 高二数学试题 第4页（共6页）12．已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2()a b c a =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是 A ． B ．1(,2 C ． D ．1(,1)2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABD 中，60A =︒，3AB =，2AD =，则sin B =_____________. 14．在△ABC 中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B=_____________.15．某炮兵阵地位于A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，已知△ACD 为等边三角形，且DC =，当目标出现在B 点（A ，B 两点位于CD 两侧）时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，则炮兵阵地与目标的距离为_____________km .16．在ABC △中，60,4sin 5sin ,A B C =︒=且ABC △的面积S =，则ABC △的周长为_______. 三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒，23a b =． （1）求sin B 的值；（2）若2b =，求边c 的值． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ()2,os b c C =-m ，,c (os )a A =n ，∥m n . （1）求角A 的大小；（2）若a=4，△ABC S =△ABC 的形状. 19．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，都在同一个与水平面垂直的平面内，B D ，为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，01km．AC =，试探究图中B D ，间的距离与另外哪两点间的距离相等，然后求B D ，间的距离（计算结果用根号表示）.20．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长． 21．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且sin (cos 3cos )cos (3sin sin )A B C AC B -=-.（1）求sin sin CB的值；（2）若1cos 3A=，4a =，求△ABC 的面积.22．（本小题满分12分）如图，有一位于A 处的雷达观察站发现其北偏东45︒，与A 相距B 处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A 点北偏东45θ︒+（其中cos 26θ=，且与A 相距里的C 处．（1）求该船的行驶速度；（2）在A 处的正南方向20海里E 处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）．如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由．高二数学试题第5页（共6页）高二数学试题第6页（共6页）。
【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)
2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(时间:90分钟满分:120分) 【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理及其应用6,9,12,15,16余弦定理及其应用2,3,4,7,10,11,14正、余弦定理的综合应用13,17,18,19,20三角形的形状判定1,5,8一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,若==,则△ABC是( B )(A)直角三角形(B)等边三角形(C)钝角三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理==知,tan A=tan B=tan C,所以A=B=C.2.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)4解析:bcos C+ccos B=b·+c·==a=2.【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第1页】3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于( D )(A)3 (B)(C)4 (D)解析:cos C=-cos(A+B)=-,所以c2=a2+b2-2abcos C=32+22-2×3×2×(-)=17,所以c=,故选D.4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( A )(A)(0,] (B)[,π)(C)(0,] (D)[,π)解析:由余弦定理得cos B===+≥,因为B∈(0,π),所以B∈(0,].5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则△ABC的形状为( B )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有sin(B+C)=sin2A,从而sin(B+C)=sin A=sin2A,解得sin A=1,所以A=,故选B.6.(2018·河北衡水枣强中学期中)在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于( B )(A)3 (B)2(C)-2 (D)0解析:由BC=1,B=2A,应用正弦定理得=,即==,所以=2.故选B.7.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c且tanB=,·=,则tan B等于( D )(A) (B)-1(C)2 (D)2-解析:由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,【2019-2020学年人教A版高中数学必修五测试卷(一)第3页】。
2019-2020学年人教B版数学必修5 全册综合测评章末综合测评1 解三角形
章末综合测评(一) 解三角形(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴∠A >∠C ，则∠C 为锐角，故∠C ＝π4.] 2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 B [∵sin A ＝sin C 且∠A ，∠C 是三角形内角， ∴∠A ＝∠C 或∠A ＋∠C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．]3．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3－1D ． 3B [∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12，∴c ＝2.故选B ．]4．三角形的两边之差为2，夹角的余弦为35，该三角形的面积为14，那么这两边分别为( )A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7D [设这两边分别为a ，b (a >b )，则a －b ＝2，又两边夹角的余弦为35，则两边夹角的正弦为45，∴12ab ×45＝14，∴ab ＝35，∴a ＝7，b ＝5.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，∠B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A ．53 B ．107 C ．57D ．5214C [∵cos A ＝35，∴sin A ＝45， ∵∠B ＝45°，∴sin B ＝cos B ＝22， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝7210，∴b ＝c sin B sin C ＝1×227210＝57.]6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22 C [∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]7．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) A ．(8,10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)B [当3为最大边时，a ≤3，设3所对角为α，则cos α＝a 2＋1－92a >0，∵a >0，∴a 2－8>0，解得22<a ≤3；当a 为最大边时，a >3，设a 所对角为β，则cos β＝1＋9－a 26>0∴10－a 2>0.解得3<a <10，综上，22<a <10.]8．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝60°，b ＝6，sin A －2sin C ＝0，则a ＝( )A ．3B ．2 3C ．4 3D ．12C [∵sin A －2sin C ＝0，∴由正弦定理可得c ＝12a ，∵∠B ＝60°，b ＝6，∴由余弦定理可得b 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－2a ·a 2·12＝62，整理可得a ＝4 3.]9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A ．法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0，由此得∠C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]10．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [设水柱高度是h m ，水柱底端为C (图略)，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]11．如图所示，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，∠A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，∠B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，∠A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，∠A ＝150°，有一解 D [A 中，sin B ＝168sin 30°＝1， ∴∠B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c ＞b ，∴∠C ＞∠B ，故有两解；C 中，∵∠A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解， 故A ，B ，C 都不正确．所以选D ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 1∶1∶3 [∠A ＝180°－∠B －∠C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3.]14．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ．北偏东40° 103 [在△ABC 中，∠ABC ＝110°＋10°＝120°.又AB ＝BC ，故∠CAB ＝∠ACB ＝30°， AC ＝102＋102－2×10×10cos 120°＝10 3.故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了103海里到达海岛C ．] 15．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1，则AB 的长为________．10 [易得cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，∴∠C ＝120°.由题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.]16．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且cos Ccos B＝－2a＋cb，则∠B的大小为________．23π[根据余弦定理，得cos Ccos B＝a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝a2＋b2－c2a2＋c2－b2×cb＝－2a＋c b.化简可得：a2＋c2－b2＝－ac，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝－12，∠B为△ABC的内角，所以∠B＝2π3.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2A．(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求∠B．[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A．故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以∠B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35>0，且0<∠B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4， ∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )·sin C ．(1)求∠A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bC ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°.(2)法一：由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc ，结合正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，又sin B ＋sin C ＝1，∴sin B ＝sin C ＝12.∵0°<∠B <90°，0°<∠C <90°，∴∠B ＝∠C ＝30°， ∴△ABC 是等腰钝角三角形．法二：由(1)知∠A ＝120°，已知sin B ＋sin C ＝1，所以sin B ＋sin(60°－B )＝1，整理得sin(B ＋60°)＝1，因为0°<∠B <60°，所以∠B ＋60°＝90°⇒∠B ＝30°，∠C ＝30°，故△ABC 为等腰钝角三角形．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝2π3，sin A ＝45，b ＝2 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积S .[解] (1)∵∠A ，∠B ，∠C 为△ABC 的内角，且∠B ＝2π3，sin A ＝45， ∴∠C ＝π3－∠A ，cos A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝32cos A －12sin A ＝33－410.(2)由(1)知sin C ＝33－410，又∵∠B ＝2π3，b ＝23，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝165， ∴S ＝12ab sin C ＝12×165×23×33－410＝72－32325.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解] 如图所示，连接A 1B 2. 因为A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，所以A 1A 2＝A 2B 2.又因为∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， 所以△A 1A 2B 2是等边三角形． 所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 又因为A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.所以B 1B 2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间； (2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2. 又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ， 由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ， 得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ．由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2aB ． ①由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9， 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.② 将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0， 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。
2019-2020年数学必修5(人教A版)练习：单元评估验收(一)
单元评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角或直角三角形解析：原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．答案：B2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．60°D ．30°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝a bsin B ＝ 22sin 45°＝12，又因为b ＞a ，故A ＝30°. 答案：D3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52b 可化为 sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52， 所以cos B ＝54. 答案：B4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)( )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m解析：在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin 45°sin 60°＝406. 设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin 75°≈95(m)．答案：C5．在△ABC 中，已知cos A cos B ＞sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形。
2019-2020年高中数学人教B版必修5单元提分卷：(9)不等式的实际应用 Word版含答案
单元提分卷（9）不等式的实际应用1、—服装厂生产某种风衣,日产量(单位:件)为 x 时,售价为p 元/件,每天的总成本为R 元,且1602,50030p x R x =-=+,要使获得的日利润不少于1300元,则该厂的日产量 x 的取值范围为( ) A. ()0,45 B. (]0,45 C. (]0,20 D. []20,452、如果一辆汽车每天行驶的路程(单位: km )比原来多19km ,那么在8天内,它行驶的路程S 就超过2200km ;如果它每天行驶的路程比原来少12?km ,那么它行驶同样的路程S 就得花9天多的时间,那么这辆汽车原来每天行驶的路程的取值范围为( )A.(259,260)B.(258,260)C.(257,260)D.(256,260) 3、做一个面积为21m ,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( ) A. 4.6?m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m4、设计用232m 的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为2m ,则车厢的最大容积是( )A. (338m - B. 316mC. 3D. 314m5、将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元6、在面积为S (S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为θ,半径为r 时,扇形周长最小,这时θ、r 的值分别是( )A. 1,r θ==B. 2,r θ==C. 2,r θ==D. 2,r θ==7、把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个三角形的面积之和的最小值为( )A.22B. 24cmC. 2D. 28、气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为4.910n+元(*)n N ∈,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 9、某商场2014年中秋节前30天月饼的销售总量(单位:盒) ()f t 与时间(单位: 天)(030)t t <≤的关系大致满足2()1016f t t t =++,则该商场前t 天平均售出(如前10天平均售出的月饼(10)10f )的月饼至少为( ) A.16盒 B.18盒 C.20盒 D.27盒 10、一服装厂生产某种风衣,月生产量(单位:件)为x 时,售价为p 元/件,成本为R 元,且1602p x =-,50030R x =+,要使获得的月利润不少于1300元,则该厂的月产量x 的取值范围为( )A.(0,45)B.(0,45]C.(0,20]D.[20,45]11、某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增加%x ,八月份销售额比七月份增加%x ,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x 的最小值是__________.12、光线透过一块玻璃,其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下,至少需这样的玻璃板__________块.(参考数据: 20.3010,30.4771lg lg ==)13、现有含盐7%的盐水200克,生产含盐5%以上6%以下的盐水,设需要加入含盐4%的盐水 x 克,则 x 的取值范围是__________.14、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,对烟酒销售征收了附加税.已知4种酒每瓶售价为70元, 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元要征收附加税r 元(即税率为%r ),每年的销售量将减少10r 万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r 的取值范围是__________.15、一批救灾物资随26辆汽车从某市以x 千米/小时速度匀速直达灾区,已知两地公路长400千米,为安全起见,两汽车间距不得小于220x ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,则物资全部到灾区,最少需要__________h.17、某小区内有一个矩形花坛ABCD ,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C ,如图所示.已知3AB =米, 2AD =米.1.要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内?2.当DN 的长是多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.18、某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体,房高为2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米售价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其他材料建造,每平方米的材料费为200元.每套房的材料费控制在32000元以内.1.设房前后墙的长均为 x 米,两侧墙的长均为y 米,每套房所用材料费为P 元,试用 ,x y 表示P .2.当前面墙的长度为多少时,简易房的面积最大? 并求出最大面积. 16现有含盐的食盐水200克,生产需要含盐大于且小于的食盐水,设需要加入含盐的食盐水克,则的范围是 。
2019-2020年苏教版高中数学必修5 期末模块综合检测卷(含答案)
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每小题共10个小题，每小题共5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝(D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：∵{a n }为等比数列，∴a 4a 7＝a 5a 6＝－8.又a 4＋a 7＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.2．某人投资10 000万元，如果年收益利率是5%，按复利计算，5年后能收回本利和为(B )A ．10 000×(1＋5×5%)B ．10 000×(1＋5%)5C ．10 000×1.05×（1－1.054）1－1.05 D ．10 000×1.05×（1－1.055）1－1.05解析：注意与每年投入10 000万元区别开来．3．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为(A )A.1665B.5665 C.1665或5665 D ．－1665解析：∵cos A ＝513＞0，∴sin A ＝1213＞sin B ＝35.∴B 为锐角，故cos B ＝45.从而cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝1665.4．若a <b <0，d >c >0，则不等式①ad >bc ；②c a >cb；③a 2>b 2；④a －d <b －c 中正确的个数是(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①错，②③④正确．将a <b <0转化为－a >－b >0，可得(－ad )>(－bc )，即ad <bc ，故知①错；由a <b <0⇒1a >1b，c >0，故②正确；因为函数y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故③正确；由d >c >0，得－d <－c <0，故知a －d <b －c ，故④正确．5．设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，下列结论中正确的是(A ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵1＋x ＋y ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.即x ＋y ≥2(1＋2)(当x＝y ＝1＋2时等号成立)，x ＋y 的最小值为2(1＋2)．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 015等于(D )A ．1 006B ．1 008C ．－1 006D ．－1 008 解析：由a n ＝n cosn π2可得S 2 015＝1×0－2×1＋3×0＋4×1＋…－2 014×1＋2 015×0＝－2＋4－6＋…－2 010＋2 012－2 014＝2×503－2 014＝－1 008.7．已知方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0有两个正实根，则实数m 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－4] C ．(－5，＋∞) D ．(－5，－4] 解析：方程两根为正，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－（m ＋2）>0，⇒－5<m ≤－4m ＋5>0. 8．已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是(D)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，112C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，132D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 解析：用待定系数法可得 2a ＋3b ＝52(a ＋b )－12(a －b )，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋b ＜3，2＜a －b ＜4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－52＜52（a ＋b ）＜152，－2＜－12（a －b ）＜－1. 两式相加即得－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x ，则x 的取值范围是(B ) A ．(1，3) B ．(5，13) C ．(0，5) D ．(13，5)解析：由三角形的三个角为锐角，结合余弦定理的推论可知，⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，32＋x 2－22>0，解得5＜x 2＜13，即5<x < 13.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则(A ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，a >0，又∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离．∴f (x 1)<f (x 2)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________．解析：先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解． 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝±15.∵A 是锐角，∴cos A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15.∴b ＝5或b ＝－135.又∵b ＞0，∴b ＝5. 答案：512．(2013·陕西卷)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n 个等式可为____________．解析：当n 为偶数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－（n －1）n 2＋n 2＝n （n ＋1）2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）213．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：作出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时z取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：314．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是__________________________．解析：用特殊值法或作差比较法都很容易得出答案． 答案：a b ＞a ＋nb ＋n ＞b ＋m a ＋m ＞ba三、解答题(本题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)等差数列{}a n 不是常数列，a 5＝10，且a 5，a 7，a 10是某一等比数列{}b n 的第1，3，5项．(1)求数列{}a n 的第20项； (2)求数列{}b n 的通项公式．解析：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则a 5＝10，a 7＝10＋2d ，a 10＝10＋5d . 因为等比数列{}b n 的第1、3、5项成等比数列， 所以a 27＝a 5a 10，即(10＋2d )2＝10(10＋5d )． 解得d ＝2.5，d ＝0(舍去)． 所以a 20＝47.5.(2)由(1)知{}a n 为各项非负的数列，所以q 2＝b 3b 1＝a 7a 5＝32.∴q ＝±32.又b 1＝a 5＝10， ∴b n ＝b 1q n －1＝±10·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.16．(本小题满分12分)(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解析：(1)由正弦定理得： 3sin A ＝26sin 2A ，解得cos A ＝63. (2)由cos A ＝63⇒sin A ＝33，又∠B ＝2∠A ， ∴cos B ＝2cos 2A －1＝13.∴sinB ＝223，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×13＋63×223＝539. ∴c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由韦达定理－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即－2x 2＋2x ＋12＞0亦即x 2－x －6＜0.其解集为(－2，3)．18．(本小题满分14分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析：方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出平行域如下图所示．让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．19．(本小题满分14分)如右图，某观测站C在城A南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？解析：根据题意，可得下图，其中BC ＝31千米，BD ＝20千米，CD ＝21千米，∠CAD ＝60°.设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CDB 中，由余弦定理得：cos β＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝212＋202－3122×21×20＝－17，sin β＝1－cos 2β＝437. sin α＝sin(180°－∠CAD －∠CDA ) ＝sin(180°－60°－180°＋β) ＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60° ＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD 中，由正弦定理得：AD ＝CDsin A ·sin α＝21sin 60°×5314＝15. 此人还得走15千米到达A 城．20．(本小题满分14分)数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n ； (3)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有T n ＞m32成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ⇒a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 可知{a n }成等差数列，d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝8＋(n －1)·(－2)＝10－2n (n ∈N)． (2)由a n ＝10－2n ≥0得n ≤5，∴当n ≤5时，S n ＝－n 2＋9n .当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n 2－9n ＋40.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，1≤n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥5.(3)b n ＝1n （12－a n ）＝1n （2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）＞n －12n ＝T n －1＞T n －2＞…T 1.∴要使T n ＞m 32总成立，需m 32＜T 1＝14恒成立，即m ＜8(m ∈Z)．故适合条件的m 的最大值为。