2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(52)直线与圆锥曲线的位置关系B)
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系2 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.设、为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于，两点，当
时，四边形的面积最大．
. 以双曲线－的焦点为焦点，过直线：上一点，且长轴最短的椭圆方程是．
. 已知椭圆＋
＝(＞＞)的离心率是，过椭圆上一点作直线，交椭圆于，两点，且斜率分别为，，若点，关于原点对称，则的值为．
. 设点、分别为椭圆＋
＝(＞＞)的左、右两焦点，直线为右准线．若在椭圆上存在点，使，，点到直线的距离成等比数列，则此椭圆离心率的取值范围是．
. 已知双曲线的右焦点是，右顶点是,虚轴的上端点是，·，∠°.
（）求双曲线的方程；
（）设是双曲线上的点，且过点、的直线与轴交于点，若，求直线的斜率.
. 已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦
点、，当时，有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
. 已知定点（，）及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于，两点.
（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（）在轴上是否存在点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系
1.
.
. 设(，)，(－，－)，则＋＝，再设
(，)，则＋＝，所以·＝·＝
＝－＝－＝－＋＝－＋＝－.
. 因为＝·，且＝，所以＝·.设(，)，则有
＋＝(－)，解得＝.又因为－≤≤，所以－≤＋，。
高三北师大数学理一轮复习限时规范训练 第九篇 第讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·潍坊一模)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )．A.74B ．2C.94D ．4解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C2．(2012·台州质检)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.33B.12C.22D.13解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22.答案 C3．(2012·吉安二模)抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于( )． A ．7B ．3 5C ．6D ．5解析 点A (1,2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F (1,0)，则B (4，－4)，故|F A |＋|FB |＝7. 答案 A4．(2013·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( )．A ．1＋2 2B ．4－2 2C ．5－2 2D ．3＋2 2解析 如图，设|AF 1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c2a 2＝5－22，故应选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)， ∵x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即该弦所在直线的方程为2x ＋4y －3＝0. 答案 2x ＋4y －3＝06．(2013·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝1 三、解答题(共25分)7．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． (1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB→＝－4，则直线l 必过一定点． 8．(13分)给出双曲线x 2－y22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4. 故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy，①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线， 得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0. (3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·皖南八校联考)已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是( )．A.13B.223C ．2 2D.24解析 法一 据题意画图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，BD ⊥AA 1.设直线l 的倾斜角为θ，|AF |＝2|BF |＝2r ， 则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|AD |＝2r ，所以有|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r ，k ＝tan θ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.法二 直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)，可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|F A |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k >0，故k ＝2 2. 答案 C2．(2012·沈阳二模)过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ．(5,52)解析 令b ＝5－a 2，c ＝a 2＋b 2，则双曲线的离心率为e ＝ca ，双曲线的渐近线的斜率为±ba .据题意，2<ba <3，如图所示． ∵b a ＝e 2－1， ∴2<e 2－1<3，∴5<e 2<10， ∴5<e <10. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·南昌模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63. 答案 634．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________． 解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b－2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28. (2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．6．(13分)(2012·临沂二模)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP |＝2|DM |，点P 在圆上运动． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点C (－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝x ，y 0＝2y .∵P (x 0，y 0)在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4.∴x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1.点M 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1(x ≠±2)． (2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (n,0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.∴NA →·NB →＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2) ＝(1＋k 2)x 1·x 2＋(x 1＋x 2)(k 2－n )＋n 2＋k 2＝(1＋k 2)×2k 2－41＋2k 2＋(k 2－n )×－4k 21＋2k2＋k 2＋n 2＝k 2(4n －1)－41＋2k2＋n 2 ＝12(2k 2＋1)(4n －1)－12(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2n 2＋4n －1)－2n ＋721＋2k 2.∵NA →·NB→是与k 无关的常数，∴2n ＋72＝0. ∴n ＝－74，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，此时NA →·NB→＝－1516.当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB→＝－1516.综上所述，在x 轴上存在定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，使NA →·NB→为常数．。
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系1 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。
新高考数学文科一轮总复习课时练习12.5直线与圆锥曲线的位置关系(含答案详析)
第 5 讲 直线与圆锥曲线的地点关系x 2 y 21．直线 y ＝ kx ＋1 与椭圆 9 ＋4 ＝ 1 的地点关系为 ( )A ．订交B ．相切C ．相离D ．不确立2．已知 F 1、 F 2 为双曲线 C ：x 2－ y 2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1PF 2＝ 60°，则 |PF 1| |PF · 2|为 ( )A ． 2B ．4C ．6D ． 8x2y223．(2012 年山东 )已知双曲线 C 1：a2－ b2＝ 1(a>0，b>0) 的离心率为 2.若抛物线 C 2 ：x ＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为2，则抛物线 C 2 的方程为 ()2 83 B 216 3 A ． x ＝ 3 y ． x ＝ 3 yC ． x 2＝ 8yD ． x 2＝ 16yx 2 y 24．过椭圆 5 ＋ 4 ＝ 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A ，B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为 ________．5．如图 K12- 5-1，已知以 F 为焦点的抛物线 y 2＝4x上的两点→→A ，B 知足 AF ＝3FB ，则弦 AB 的中点到准线的距离为 ________．图 K12- 5-16．若点 (3,1)是抛物线 y 2＝ 2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p ＝________.7．如图 K12- 5-2，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的焦点的直线 l 挨次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若 |BC|＝ 2|BF|，且 |AF|＝ 3，则抛物线的方程是 ______________．图 K12- 5-2的方程为 (x － 2)2＋ (y － 1)2＝20，椭圆228．已知圆 C 1 C 2的方程为 x2＋ y2＝ 1(a>b>0)， C 23ab的离心率为2，假如 C 1 与 C 2 订交于 A ，B 两点，且 AB 恰巧是圆 C 1 的一条直径，求直线2AB 的方程和椭圆 C 2 的方程．9．(2013 年陕西 )已知动点 M(x ，y)到直线 l ：x ＝ 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍． (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A ， B 两点．若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率．第 5 讲 直线与圆锥曲线的地点关系1．A 2.B 3.D54.38分析： 设 BF ＝ m ，由抛物线的定义，知：AA 1＝ 3m ， BB 1＝ m.∴在△ ABC 中， AC5.3＝ 2m ， AB ＝ 4m.∴ k AB ＝ 3.直线 AB 方程为 y ＝ 3(x － 1)． 与抛物线方程联立消 y ，得3x 2－ 10x ＋3＝ 0.因此 AB 中点到准线距离为x 1＋ x 25 8＋1＝ ＋1＝ .2 336． 2 分析： 设弦两头点 P 1(x 1， y 1)，P 2( x 2， y 2)，y 12＝ 2px 1，2p ＝2， 则 两式相减，得 y 1－ y 2＝ y 22＝ 2px 2x 1－x 2 y 1＋ y 2∵ y 1＋ y 2＝ 2，∴ p ＝ 2.7．y 2＝ 3x 分析： 方法一，过 A ，B 作准线垂线，垂足分别为 A 1，B 1，则 |AA 1 |＝3，|BB 1|＝ |BF|.∵ |BC|＝2|BF|，∴ |BC|＝ 2|BB 1|，∴ |AC|＝ 2|AA 1|＝ 2|AF|＝6，∴ |CF |＝ 3.∴ p ＝1|CF |＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝ 3x.2 2方法二，由抛物线定义，|BF |等于 B 到准线的距离，由 |BC|＝ 2|BF|，得∠ BCB 1＝ 30°.又|AF |＝ 3，p 3 323进而 A 3－ 2，2 在抛物线上，代入抛物线方程y ＝ 2px ，解得 p ＝2.8． 解： ∵ e ＝ 2＝ c ，c ＝ 2a ， c 2＝ 1a 2，2 a 2 2∴ b 2＝ a 2－c 2 ＝1a 2.2x 2 2y 2 ∴方程为 a 2＋ a 2＝ 1.设 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)，∵ AB 为直径，有 AB 的中点为 (2,1)，且 |AB |＝415，223x 12y 1＝ 1， ①a2＋a 2∵ A ， B 两点都在椭圆上，故有x 22 2y 22＝1. ②a 2＋ a 2①－②，得 (x 1－ x 2)(x 1＋ x 2)＝－ 2(y 1＋ y 2)(y 1 － y 2)，有 y 1－ y 2 x 1＋ x 2 2× 2 ＝－ ＝ k AB ＝－ ＝－ 1，x 1－ x 2 2 y 1＋ y 2 2× 2即 AB 的方程为 x ＋ y －3＝ 0.x 2 2y 2 由 a 2＋ a 2 ＝ 1， 得 3x 2－ 12x ＋ 18－ a 2＝ 0， x ＋ y －3＝ 0，由弦长公式，得 |AB|＝ 1＋ 1 × 4 a 2－ 6 4 153 ＝ 3 ，解得 a 2＝ 16.∴椭圆 C 2 的方程为x 2＋ y 2＝ 1. 16 89． 解： (1)点 M(x ， y)到直线 x ＝ 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍，则|x － 4|＝2 x － 122 x 2 y 2＋ y ?＋＝ 1.4 3x 2y 2因此，动点 M 的轨迹为椭圆，方程为 4 ＋3＝1.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，由题意知： 2x 1＝ 0＋ x 2,2y 1＝ 3＋ y 2.椭圆的上、下极点坐标分别是 (0， 3)和 (0，－ 3)，经查验直线 m 不经过这两点，即直线 m 斜率 k 存在．设直线 m 方程为： y ＝kx ＋ 3.联立椭圆和直线方程，整理，得 2 2＋ 24kx ＋ 24＝0? x ＋ x ＝ － 24k ＝ 24 (3＋2， x 2 4k )x 1 2 3＋ 4k1·x 2 3＋ 4k . x 1 ＋ x 2 1 x 1＋ x 2 2－ 2x 1·x 2 5 － 24k 2 ＝ 9 3x 2 x 1 ＝ ＋2? x 1·x 2＝ ? 2 ? k ＝ ± . 22 3＋ 4k × 24 2 2 3因此直线 m 的斜率 k ＝ ±2.。
高三数学(文科)一轮复习热身训练(52)《直线与圆锥曲线的位置关系B》人教B版选修1-1
课时作业(五十二)B [第52讲 直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( ) A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________．能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0)6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327 9．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B ．45°或135° C ．60°或120° D ．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K52－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．12．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研] 双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.15．(13分)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1,0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为32，求直线l的方程．难点突破16．(12分) [2011·天津卷] 设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．课时作业(五十二)B【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2×(62－4×1)＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 23(c 2－a 2)＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx＋b －1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为a a ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为a b ＝32.故选A.9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1，∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2.11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2，所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·y x －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎨⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝ca < 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上， ∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆F 1内切，所以MF 2＝r ， 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝ 3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S △AOF 1.因为S △ABF 1＝32，所以S △AOF 1＝34.不妨设点A (x 1，y 1)在x 则S △AOF 1＝12·OF 1·y 1＝34，所以y 1＝32，x 1＝±3，即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以直线l 的斜率为±12， 故所求直线方程为x ±2y ＝0. 【难点突破】16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
高考数学一轮复习课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知双曲线x2a2 －y2b2 ＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．( 5 ，＋∞)D ．[ 5 ，＋∞)C [因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，所以e ＝ca ＝1＋（ba）2 >1＋4 ＝ 5 .]2．(多选)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋3ACD [由于椭圆C 关于原点、x 轴、y 轴对称．对于A 选项，直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，则直线y ＝2x －3截椭圆C 所得弦长为7，A 选项合乎要求；对于B 选项，直线y ＝2x ＋1与直线l 平行，直线y ＝2x ＋1截椭圆C 所得弦长大于7，B 选项不合乎要求；对于C 选项，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，则直线y ＝－2x －3截椭圆C 所得弦长为7，C 选项合乎要求；对于D 选项，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，则直线y ＝－2x ＋3截椭圆C 所得弦长为7，D 选项合乎要求．]3．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，假设D (a ，b )，则E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12 ·|DE |·a ＝ab ＝8.又c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝2 2 时等号成立，所以c ≥4，焦距2c ≥8.则双曲线C 的焦距的最小值为8，故选B.]4．抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，从上往下交C 1于A ，D 两点，交C 2于B ，C 两点，则AB → ·CD →的值为( )A ．34B ．1C ．2D ．4B [由特殊化原则，当直线过焦点F (1，0)且垂直于x 轴时，|AD |＝2p ＝4，|BC |＝2r ＝2，所以由抛物线与圆的对称性知|AB |＝|CD |＝1，所以AB → ·CD → ＝|AB → |·|CD →|＝1.故选B.]5．(多选)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |≥4 B ．|OA |＋|OB |>8C ．若点P (2，2)，则|P A |＋|AF |的最小值是3D ．△OAB 的面积的最小值是2ACD [F (1，0)，不妨设A 在第一象限， (1)若直线l 无斜率，则A (1，2)，B (1，－2)， 则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝2 5 ， S △OAB ＝12 ×4×1＝2，显然B 错误；(2)若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，显然k ≠0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y2＝4x，消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k2＋4k2 ＝2＋4k2 ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2>4，原点O 到直线l 的距离d ＝|k|k2＋1， ∴S △OAB ＝12 ×|AB |×d ＝12 ×⎝⎛⎭⎫4＋4k2 ×|k|k2＋1 ＝2 1＋1k2>2，综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P (2，2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．]6．已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析： 由题意知抛物线开口向右，且a >0，当x ＝1时，y ＝±2 a ，所以4 a ＝4，即a ＝1，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0).答案： (1，0)7．(2020·全国高二单元测试)椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，若AB 1·AB 2＝3，△AB 1B 2的面积为2，直线y ＝x 与椭圆相交于M ，N 两点，则椭圆的方程为____________，|MN |的值为________．解析： 由题意A (－a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，因此AB 1·AB 2＝a 2－b 2＝3，由于△AB 1B 2的面积为2，所以ab ＝2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x24 ＋y 2＝1.把y ＝x 代入椭圆的方程，化简整理得5x 2＝4，解得x 1＝255 ，x 2＝－255，所以|MN |＝1＋12 |x 1－x 2|＝ 2 ×455＝4105. 答案：x24 ＋y 2＝1；41058．过抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为6 2 ，则p ＝________．解析： 如图所示，抛物线的焦点F (0，p 2 )，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋p2 ，根据⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x2＝2py 得x 2＝2p (x ＋p2)⇒x 2－2px －p 2＝0，则x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－p 2，|CD |＝|x A －x B |＝（xA ＋xB ）2－4xAxB ＝（2p ）2＋4p2 ＝2 2 p ，|AD |＋|BC |＝y A ＋y B ＝x A ＋x B ＋p ＝3p ，所以梯形ABCD 的面积为12×3p ×2 2 p ＝6 2 ⇒p ＝ 2 .答案：29．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ，若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解析： 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x . 设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x2， 消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y2＝36x ， 得A (14，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y2＝36x ，得B (94，9).所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237 .10．已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ( 3 ，32). (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1＝2F 1B ，求直线l 的斜率k 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b2＋c2，c ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x24 ＋y23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x24＋y23＝1， 整理得(3k2 ＋4)y 2－6k y－9＝0，Δ＝144k2 ＋144>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k2 ，y 1y 2＝－9k23＋4k2，又AF 1＝2F 1B ，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52 ，又k >0，所以k ＝52.11．直线l 过椭圆x22 ＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为( )A ．22 B ．±22C ．－22D ． 2B [由x22 ＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝2－1＝1，则c ＝1，则左焦点F (－1，0).由题意可知，直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋k .设l 与椭圆交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y ＝kx ＋k得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.则PQ 的中点M 的横坐标为x1＋x22 ＝－2k21＋2k2 .因为△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，所以－2k22k2＋1＝－12 ，解得k ＝±22.] 12．(2020·长沙市四校模拟考试)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为22的直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形C [四边形ABDC 为直角梯形，取CD 的中点为N ，连接MN ，则MN 为梯形ABDC 的中位线，所以|MN |＝12 (|AC |＋|BD |)，且MN ⊥CD .由抛物线的定义得|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |＝|AB |，所以|MN |＝12 |AB |.设直线AB 的倾斜角为α，则tan α＝22 ，所以sin α＝33 ，所以|CD |＝|AB |sin α＝33|AB |，则|CN |＝|DN |＝36|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|MN|2＋|CN|2 ＝33|AB |，所以|MC |＝|MD |＝|CD |，则△CDM 为等边三角形，故选C.]13．(2020·天津卷)已知椭圆x2a2 ＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC → ＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解析： (1)由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以，椭圆的方程为x218 ＋y29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x218＋y29＝1，消去y ，可得(2k 2 ＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0，或x ＝12k2k2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k2＋1，6k2－32k2＋1 .因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k2＋1，－32k2＋1 .由3OC → ＝OF →，得点C 的坐标为(1，0)，故直线CP 的斜率为－32k2＋1－06k 2k2＋1－1，即32k2－6k ＋1 .又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k2－6k ＋1 ＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12 ，或k＝1.所以，直线AB 的方程为y ＝12x －3，或y ＝x －3.14．已知椭圆C ：x24 ＋y 2＝1，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)若线段MN 的中点坐标为(1，12)，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点(4，0)，点P (x 0，0)满足k PM ＋k PN ＝0(k PM ，k PN 分别为直线PM ，PN 的斜率)，求x 0的值．解析：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 4＋y 21 ＝1，x 22 4＋y 2 ＝1，两式相减，可得（x1－x2）（x1＋x2）4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0(*)因为线段MN 的中点坐标为(1，12 )，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，代入(*)式，得（x1－x2）·24＋(y 1－y 2)＝0，所以直线l 的斜率k ＝y1－y2x1－x2＝－12 .所以直线l 的方程为y －12 ＝－12(x －1)，即x ＋2y －2＝0.(2)设直线l ：x ＝my ＋4(m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x24＋y2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)>0，解得m 2>12. 则y 1＋y 2＝－8m m2＋4 ，y 1y 2＝12m2＋4 ，所以k PM ＋k PN ＝y1x1－x0 ＋y2x2－x0＝y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）（x1－x0）（x2－x0）＝x2y1＋x1y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝（my2＋4）y1＋（my1＋4）y2－（y1＋y2）x0（x1－x0）（x2－x0）＝2my1y2＋（4－x0）（y1＋y2）（x1－x0）（x2－x0） ＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝0，所以2my 1y 2＋(4－x 0)(y 1＋y 2)＝2m ·12m2＋4 ＋(x 0－4)·8mm2＋4 ＝8m （x0－1）m2＋4 ＝0.因为m ≠0，所以x 0＝1.15．设双曲线x2a2 －y2b2 ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A ，B 两点，l 与双曲线的一个交点为P .设O 为坐标原点，若OP → ＝mOA → ＋nOB →(m ，n ∈R )，且mn ＝29，则该双曲线的离心率为( ) A ．322 B ．355 C ．324 D ．89bca )，C [如图，设双曲线的右焦点F 的坐标为(c ，0)，易知A (c ，B (c ，－bc a )，P (c ，b2a ).由OP → ＝mOA → ＋nOB →，得(c ，b2a )＝(mc ，mbc a )＋(nc ，－nbca )，所以m ＋n ＝1，mc －cn ＝b .又mn ＝29 ，解得m ＝23，n ＝13 ，c ＝3b .因为a ＝c2－b2 ＝9b2－b2 ＝2 2 b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.故选C.]16．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝2px (p >0)，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为( )A ．p22B ．p 2C ．2p 2D ．4p 2B [由题意易知过A ，B 的切线交于点Q .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，把直线AB 的方程代入y 2＝2px (p >0)，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，所以x 1x 2＝y 21 y 2 4p 2 ＝p24，则|AB |＝1＋m2 ·（y1＋y2）2－4y1y2 ＝2p (1＋m 2).由导数的知识得k AQ ＝2p 2x1 ，k BQ ＝－2p 2x2，所以k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ ，所以|AQ |2＋|BQ |2＝|AB |2.所以S △ABQ ＝12|AQ |·|BQ |≤14 (|AQ |2＋|BQ |2)＝14 |AB |2＝14 [2p (1＋m 2)]2，所以当m ＝0时，S △ABQ 取得最小值为p 2.故选B.]。
2013高三新课标理科数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系
课时提能演练(五十八)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·揭阳模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m>0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )(A)2 (B)2 2 (C)8 (D)2 32.抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个3.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P ·FP 的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)84.(2012·广州模拟)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于( ) (A)3 (B)4 (C)3 2 (D)4 25.(2012·汕头模拟)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B两点，则|AB|的最大值为( ) (A)2 (B)455(C)4105 (D)81056.(易错题)点P 在直线l ：y ＝x －1上，若存在过P 的直线交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，且|PA|＝|AB|，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是( ) (A)直线l 上的所有点都是“点” (B)直线l 上仅有有限个点是“点” (C)直线l 上的所有点都不是“点”(D)直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”二、填空题(每小题6分，共18分)7.过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝ .8.(2012·湛江模拟)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 的中点坐标是(4,2)，则直线AB 的方程是 .9.设直线l ：2x ＋y －2＝0与椭圆x 2＋y24＝1的交点为A 、B ，点P 是椭圆上的动点，则使得△PAB 的面积为13的点P 的个数为 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x ＝－2相切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足O P ·O Q＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.11.(预测题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O.椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【探究创新】(16分)如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B′；折痕与AB 交于点E ，以EB 和EB′为邻边作平行四边形EB′MB.若以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系(如图)： (1)求点M 的轨迹方程；(2)若曲线S 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形A 1B 1C 1D 1的三边A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1分别与曲线S 切于点P ，Q ，R.求梯形A 1B 1C 1D 1面积的最小值.答案解析1.【解析】选B.根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1， ∵m ＞0，∴可得m ＝2 2.2. 【解析】选C.由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此共有2个满足条件的圆.3.【解析】选C ，设P(x 0，y 0)， 则20x 4＋20y 3＝1即y 02＝3－203x 4，又∵F(－1,0)，∴O P ·FP ＝x 0·(x 0＋1)＋y 02＝14x 02＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]， ∴(O P ·FP )∈[2,6]，所以(O P ·FP)max ＝6.4.【解题指南】转化为过A ，B 两点且与x ＋y ＝0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题求解.【解析】选C.设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0 x 1＋x 2＝－1，得AB 的中点M(－12，－12＋b)又M(－12，－12＋b)在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB|＝1＋12·(－1)2－4〓(－2)＝3 2. 【方法技巧】对称问题求解技巧若A 、B 两点关于直线l 对称，则直线AB 与直线l 垂直，且线段AB 的中点在直线l 上，即直线l 是线段AB 的垂直平分线，求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l 的对称问题，常转化为过两对称点的直线与圆锥曲线的相交问题求解.5.【解析】选C.设椭圆交直线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则有Δ＝(8t)2－4〓5〓4(t 2－1)＞0，即－5＜t ＜5，且x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·(－85t)2－4〓4(t 2－1)5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB|max ＝4105.6.【解题指南】由|PA|＝|AB|可得点A 为线段PB 的中点.【解析】选A.本题用数形结合法易于求解，如图，设A(m ，n)，P(x ，x －1)，则B(2m －x,2n －x ＋1)，∵A ，B 在y ＝x 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 22n －x ＋1＝(2m －x)2消去n ，整理得x 2－(4m －1)x ＋2m 2－1＝0.(1)∵Δ＝(4m －1)2－4(2m 2－1)＝8m 2－8m ＋5＞0恒成立， ∴方程(1)恒有实数解，∴应选A.7.【解析】由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎨⎧y 2＝2pxy ＝x －p 2⇒x 2－3px ＋p 24＝0，又|AB|＝(1＋12)(3p)2－4〓p24＝8⇒p ＝2.答案：2 8.【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则211222y 4x y 4x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ①②②－①得y 22－y 12＝4(x 2－x 1) ∴y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1＝44＝1， 即直线AB 的斜率为1，则直线AB 的方程为y －2＝x －4，即x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09.【解题指南】先求出弦长|AB|，进而求出点P 到直线AB 的距离，再求出与l 平行且与椭圆相切的直线方程，最后数形结合求解. 【解析】由题知直线l 恰好经过椭圆的两个顶点(1,0)，(0,2)，故|AB|＝5，要使△PAB 的面积为13，即12·5·h ＝13，所以h ＝235.联立y＝－2x ＋m 与椭圆方程x 2＋y24＝1得8x 2－4mx ＋m 2－4＝0，令Δ＝0得m ＝〒22，即平移直线l 到y ＝－2x 〒22时与椭圆相切，它们与直线l 的距离d ＝|〒22＋2|5都大于235，所以一共有4个点符合要求.答案：410. 【解析】(1)如图，设M 为动圆圆心，F(2,0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x ＝－2为准线， 所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k(y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k(y －2)y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋16k ＝0，Δ＝(－8k)2－4〓16k ＞0，解得k ＜0或k ＞1. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由O P ·O Q＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0， 代入得16k(k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0， 即16k ＋4k 2＝0，解得k ＝－4或k ＝0(舍去)， 所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.【误区警示】本题易忽视判别式大于零，从而得出两条直线方程. 11.【解题指南】(1)中，设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解.(2)中，要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于线段OF 的长，可以转化为探求以右焦点F 为圆心，半径为4的圆(x －4)2＋y 2＝16与(1)所求的圆的交点个数. 【解析】(1)设圆心坐标为C(m ，n)(m ＜0，n ＞0)，则圆C 的方程为(x －m)2＋(y －n)2＝8，已知该圆与直线y ＝x 相切， 那么圆心到直线y ＝x 的距离等于圆的半径， 则|m －n|2＝22，即|m －n|＝4①又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入圆的方程得m 2＋n 2＝8②联立①和②组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝2，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)∵长半轴a ＝5，∴a 2＝25，则椭圆的方程为x 225＋y29＝1，其半焦距c ＝25－9＝4，右焦点为F(4,0)，那么|OF|＝4，则以F 为圆心，4为半径的圆的方程是(x －4)2＋y 2＝16.联立两圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45，y ＝125或x＝0，y ＝0.所以存在异于原点的点Q(45，125)，使得该点到右焦点F 的距离等于线段OF 的长.【变式备选】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－1,0)，离心率为22，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可知：c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a ＝22，解得：a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋1)(k ≠0)，联立，得⎩⎨⎧y ＝k(x ＋1)x22＋y 2＝1，整理得 (1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根，记A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， AB 的中点N(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0.∴点G 横坐标的取值范围为(－12，0).【探究创新】【解析】(1)如图，设M(x ，y)，B ′(x 0,2)，显然直线l 的斜率存在，故不妨设直线l 的方程 为y ＝kx ＋b ，即E(0，b)，则k BB ′＝2x 0＝－1k ⇒k ＝－x 02而BB ′的中点(x 02，1)在直线l 上，故(－x 02)·x 02＋b ＝1 b ＝1＋20x 4，①由于EM ＝EB ＋EB '⇒(x ，y －b)＝(0，－b)＋(x 0,2－b)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝2－b ⇒代入①即得y ＝－x 24＋1，又0≤x 0≤2，点M 的轨迹方程y ＝－x 24＋1(0≤x ≤2).(2)易知曲线S 的方程为y ＝－x 24＋1(－2≤x ≤2)，设梯形A 1B 1C 1D 1的面积为s ，如图，点P 的坐标为(t ，－14t 2＋1)(0＜t ≤2).由题意得，点Q 的坐标为(0,1)，直线B 1C 1的方程为y ＝1. 因y ＝－x 24＋1，∴y ′＝－x 2，∴y ′|x ＝t ＝－t 2，∴直线A 1B 1的方程为y －(－14t 2＋1)＝－t 2(x －t)， 即：y ＝－t 2x ＋14t 2＋1，令y ＝0，得，x ＝t 2＋42t ，∴A 1(t 2＋42t ，0).令y ＝1得，x ＝12t ，∴B 1(12t,1)， s ＝12〓(12＋t 2＋42t )〓1〓2＝t ＋2t ≥22，当且仅当t ＝2t ，即t ＝2时取“＝”，且2∈(0,2]， 故t=2时，s 有最小值为2 2. ∴梯形A 1B 1C 1D 1的面积的最小值为22．。
2013高考数学第一轮复习配套课时作业 9.8 直线与圆锥曲线的位置关系 新人教B版
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1.已知直线x -y -1=0与抛物线2y ax =相切,则a 等于( ) A.12B.13C.14D.4【答案】C【解析】由210x y y ax ⎧⎪⎨⎪⎩--=,= 消去y 得210ax x -+=,所以0140a a ≠,⎧⎨-=,⎩ 解得14a =. 2.已知双曲线22134y x -=,过点M (m ,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A 、B.若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点),则实数m 的取值范围是( )A.(-B.(0)(0-⋃,C.()-∞,-⋃D.(-⋃【答案】D【解析】依题意可得((3A m B m ,,,-, ∴2(21)(3m OA m OB m=,-,=,-. ∵△AOB 是锐角三角形,必有AOB ∠是锐角,即OA与OB 的夹角为锐角.由0OAOB ⋅>,得224403m m-+>,∴m -<<但根据双曲线的范围知,应有m <m >故m 的取值范围是(-⋃.3.若P 为双曲线22115y x -=右支上一点,M 、N 分别是圆2(4)x +24y +=和22(4)1x y -+=上的点,则|PM |-|PN |的最大值为 . 【答案】5【解析】已知两圆的圆心(-4,0)和(4,0)(记为1F 和2)F 恰为双曲线22115y x -=的两焦点. 当|PM |最大,|PN |最小时,|PM |-|PN |最大,|PM |最大值为P 到圆心1F 的距离|1PF |与圆1F 半径之和,同样|PN |=最小|2PF |-1,从而(|PM |-|PN |max )=|1PF |+2-(|2PF |-1)=|1PF |-|2PF |+3=2a +3=5.4.过原点的直线l 与双曲线22143y x -=有两个交点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 【答案】(【解析】设l :y =kx ,代入22143y x -=中, 得2221143k x x -=,即221()1043k x --=,由0∆>知k ,<<5.已知双曲线方程:2213y x -=,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 . 【答案】6x -y -11=0【解析】设l 与双曲线交于11()P x y ,和22()Q x y ,,则221122221313y x y x ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=.⎪⎩①② ②-①,得212121211()()()()03x x x x y y y y +--+-=,而121242x x y y +=,+=,∴212124()()03x x y y ---=.∴21216y y x x -=,-即6l k =.∵点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l 的方程为y -1=6(x -2),即6x -y -11=0.课后作业夯基 基础巩固1.AB 为过椭圆22221y x a b+=中心的弦,F (c ,0)为该椭圆的焦点,则△FAB 的最大面积为( ) A.2b B.ab C.ac D.bc【答案】D【解析】设A 、B 两点的坐标为11()x y ,、11()x y -,-,则12FABS=|OF ||12y |=c |1y |bc ≤.2.过双曲线224x y -=上任一点M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N ,O 是坐标原点,则△OMN 的面积是( ) A.1 B.2 C.3 D.不确定 【答案】A【解析】过双曲线上任一点00()M x y ,作渐近线y x =±的垂线,垂足分别为N ,N ′.|MN |⋅|MN′|==42=2,故1OMN S =. 3.双曲线221x y -=的左焦点为F ,点P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是( ) A.(0)-∞,B.(1),+∞C.(0)(1)-∞,⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞ 【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,而且被直线2x -y +1=0则抛物线的方程是( ) A.212y x =-或24y x =B.24y x =-或212y x =C.210y x =-或24y x =D.26y x =-或210y x = 【答案】B【解析】设所求抛物线为2(y ax a =∈R 且0)a ≠,由2210y ax x y ⎧=,⎨-+=,⎩得220y ay a -+=. 若弦两端点纵坐标分别为1y 和2y ,则|12y y -|2182a a =-. 于是弦长=2584a a-15=,解得a =12或a =-4.5.已知焦点为12(20)(20)F F -,,,的椭圆与直线l :x +y -9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( ) A.170 B.170C.70D.852【答案】A【解析】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0),且c =2,则224b a =-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490y x a a x y ⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y ,整理得22224(24)18850a x a x a a --+-=. 因为直线l 与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a ---≥,整理得422933400a a -+≥.解得2852a ≥,或24(a ≤舍去),∴2170a ≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P 为椭圆与直线l 的公共点,则|1PF |+|2PF |=2a ,所以问题转化为当P 在l 上运动时,求|1PF |+|2PF |的最小值. 作2F 关于l 的对称点2F ′00()x y ,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7).所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|=6.已知椭圆22143y x +=,若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y =4x +m 对称,则实数m 的取值范围是 ( )A.(B.(C.(D.( 【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y AB ,,,,的中点为M (x ,y ), 由题意知211212211224AB y y k x x x y y y x x -==-,+=,+=,-213x +21412y = ①22223412x y ,+= ②.①②两式相减得223(x -222121)4()0x y y +-=,即12123()y y x x +=+,即y =3x ,与y =4x +m 联立得x =-m ,y =-3m ,而M (x ,y )在椭圆的内部,则229143m m +<,即m <<. 7.当x >1时,直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方,则a 的取值范围是 . 【答案】(4)-∞,【解析】由题意联立 2y x y ax a ⎧=,⎨=-,⎩ 整理可得20x ax a -+=,由240a a ∆=-=,解得a =0或a =4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当(4)1a x ∈-∞,,>时直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方.8.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于 . 【答案】12-【解析】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.9.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若|1PF |=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】12()35,【解析】设它们的焦距为2c ,则|2PF |=|12F F |=2c ,双曲线的离心率121025c c e c c==,--由(12)5c c ∈,-得51023c <<. 所以椭圆的离心率2212()102535c c e c c ==∈,++.10.过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B 两点,A,B 在x 轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD 的面积为122,则p= . 【答案】2【解析】抛物线的焦点为(0)2p ,,设11()A x y ,22()B x y ,,,直线AB 的方程为2p y x -=,即y =x +2p.联立 222p y x x py ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去y ,得2220x px p --=. ∴12(12)(12)x p x p =,=.∴12122322p py y x x p p p +=+++=+=,|CD |=|1x -2x |22=.由1(2ABCD S =梯形|AD |+|BC |1)32CD p ⋅=⨯⨯22=122,解得24p =,∴2p =±.∵p>0,∴p=2.11.已知点A(0,2)和抛物线C:26y x =,求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.【解】设直线l 的方程为y =kx +2,这个方程与抛物线C 的方程联立,得方程组226y kx y x =+,⎧⎨=.⎩当k =0时,由方程组得2643x x =,=,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(2)3,.当0k ≠时,由方程组消去x ,得方程 26120ky y -+=.(*)关于y 的二次方程(*)的判别式3648k ∆=-.由∆=0,得34k =,可知此时直线l 与抛物线C 有一个公共点,即它们相切.直线l 的方程为3x -4y +8=0. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 就是y 轴,其方程为x =0. 所以,直线l 的方程为3x -4y +8=0,或x =0.12.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1.又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则RT 03()4y PQ =,,2121()x x y y =-,-,RT PQ ⋅210213()()4x x y y y =-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得 1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即RT PQ ⋅=0,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.13.已知椭圆1C :22221(y x a b a b+=>>0)的右顶点为A(1,0),过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆1C 的方程.(2)设点P 在抛物线2C :2(y x h =+h ∈R )上2C ,在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.【解】(1)由题意,得121b b a=,⎧⎪⎨⋅=,⎪⎩从而21a b =,⎧⎨=.⎩因此,所求的椭圆方程为2214y x +=. (2)设11()M x y ,,2(N x ,22)()y P t t h ,,+,则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为y ′|2x t t ==,直线MN 的方程为y =2t x -2t h +.将上式代入椭圆1C 的方程中,得2224(2)40x tx t h +-+-=, 即222224(1)4()()t x t t h x t h +--+--4=0. ① 因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点, 所以①式中的422116[2(2)4]0t h t h ∆=-++-+>. ② 设线段MN 的中点的横坐标是3x ,则21232()22(1)x x t t h x t +-==+. 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,则412t x +=.由题意,得34x x =, 即2(1)t h t +++1=0. ③由③式中的22(1)40h ∆=+-≥,得1h ≥,或3h ≤-. 当3h ≤-时,h 22040h +<,-<,则不等式②不成立,所以1h ≥. 当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为1. 拓展延伸14.(2012宜春三校联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程;(2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【解】(1)设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0), 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得 23a b =,⎧⎪⎨=,⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=.根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<,∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x x k x k +==-,+ 0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k -,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k--,,+-+- 即2286()4433k N k k,++.∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<. ∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.。
高三数学第一轮复习课时作业(51)直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(五十一) 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011²哈尔滨二模 已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．1,4)B ．1，＋∞)C ．1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．2011²西铁一中二模 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1531 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1530 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．2011²舟山七校联考 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．2011²全国卷 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分)2011²江西卷 P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．难点突破16．(12分)2011²银川一中月考 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程； (2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝λ，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C 解析 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C 解析 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B 解析 当x ≥0时，方程是y29－x24＝1，当x <0时，方程是y29＋x24＝1，作图即知．4．A 解析 联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B 解析 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .6．B 解析 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)上，所以x 21a ＋y 21b1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0x－x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223. 9．D 解析 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝＝－85³2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 解析 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)³(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 解析 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x 解析 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l 的方程是y－2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 解析 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4²16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．解答 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m， ∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p ＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p ⎝⎛⎫y 1－n y 1－y 1y 2＋y 2－n y 2－y 1y 2＝2p ²y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n y 1y 2＝2p ²n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．解答 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 2b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设＝(x 3，y 3)，＝λ＋，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．解答 (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2 2. 若x1＝22，x2＝－22，2－22＝3－22；则λ＝－22－2若x1＝－22，x2＝22，2＋22＝3＋2 2.则λ＝22－2当k＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x1＝4＋22，x2＝4－22，－2－22则λ＝＝3＋22；2－22若x1＝4－22，x2＝4＋22，－2＋22则λ＝＝3－2 2.2＋22所以λ＝3＋22或3－2 2.。
【课堂新坐标】高考数学一轮复习 课后作业(五十二)直线与圆锥曲线的位置关系 文
课后作业(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜b aC ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b a2．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．03．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值为( )A ．2B.455C.4105D.81054．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5C.52D. 55．已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43二、填空题6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．7．已知(4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．8．(2013·汕头模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ|的最小值等于________．三、解答题9．(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点P(55a ，22a)在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ 的斜率的值．10．已知过点A(－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py(p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．图8－8－311．(2013·佛山质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图8－8－3所示，斜率为k(k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D(－3，m)．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l 过定点．解析及答案一、选择题1．【解析】 由双曲线的几何意义，－b a ＜k ＜ba .【答案】 D2．【解析】 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y24＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．【答案】 B 3．【解析】 设椭圆与直线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t.消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·（－85t ）2－4×4（t 2－1）5＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB|max ＝4105.【答案】 C 4．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，ba ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b2a＝ 1＋（b a）2＝ 5.【答案】 D 5．【解析】 焦点F(1，0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，① y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③联立①②③式解得k ＝±43.【答案】 D 二、填空题6．【解析】 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，由题意知⎩⎨⎧m ＞0，m≠5，m ≥1，∴m ≥1，且m≠5.【答案】 m≥1，且m≠57．【解析】 设直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝0 8．【解析】 设直线l′平行于直线x ＋y ＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y 2＝2x得y 2＋2y －2m ＝0， 由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.则两直线距离d ＝|5－12|2＝924，即|PQ|min ＝924.【答案】924三、解答题 9．【解】 (1)因为点P(55a ，22a)在椭圆上， 故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx.设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.① 由|AQ|＝|AO|，A(－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a)2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 又x 0≠0，故x 0＝－2a1＋k2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a2b2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，得k 2＝5.所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.10．【解】 (1)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p)y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ② 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y.(2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4）消去y 得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k(x 0＋4)＝2k 2＋4k ，∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k)，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. 从而实数b 的取值范围是(2，＋∞)．11．【解】 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t(k ＞0)．由题意知t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. 由题意知Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.所以x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线的方程为y ＝－13k x.由题意知D(－3，m)在直线OE 上， 所以m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时等号成立． 此时由Δ＞0，得0＜t ＜2.因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G(－3k3k 2＋1，13k 2＋1)． 又E(－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1)，D(－3，1k )，由距离公式及t ＞0，得|OG|2＝(－3k 3k 2＋1)2＋(13k 2＋1)2＝9k 2＋13k 2＋1， |OD|＝ （－3）2＋（1k ）2＝9k 2＋1k，|OE|＝（－3kt 3k 2＋1）2＋（t 3k 2＋1）2＝t 9k 2＋13k 2＋1. 由|OG|2＝|OD|·|OE|，得t ＝k.因此直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)． 所以直线l 恒过定点(－1，0)．。
2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(52)直线与圆锥曲线的位置关系A
课时作业(五十二)A [第52讲 直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．过点P (－1,0)的直线l 与抛物线y 2＝5x 相切，则直线l 的斜率为( )A ．±22B ．±32C ．±52D ．±62 2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．03．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 64．方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________． 能力提升5．直线y ＝x ＋m 与抛物线x 2＝2y 相切，则m ＝( )A ．－12B ．－13C ．－14 D.126．“|C |A 2＋B 2≤a ”是“曲线Ax ＋By ＋C ＝0与x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有公共点”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．抛物线x 2＝16y 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是( ) A ．16 3 B ．8 3 C ．4 3 D ．2 38．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 9．[2011·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫p k 2＋p ，p k ，则弦MN 的中点坐标为________．11．若直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，则a ＝________.12．[2011·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．13．[2011·常州模拟] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若＝，则p ＝________.14．(10分)[2011·连云港调研] 已知动圆P 过点F ⎝⎛⎭⎫0，14且与直线y ＝－14相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．15．(13分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c .求双曲线的离心率e 的取值范围．难点突破16．(12分)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．课时作业(五十二)A【基础热身】1．C [解析] 显然斜率存在不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入抛物线方程消去x 得ky 2－5y＋5k ＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k 2＝0，得k ＝±52.故选C. 2．A [解析] 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.3．C [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0.又y 0＝x 20＋1，解得x 0＝±1，所以b a ＝2x 0＝2，b ＝2a ，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5.故选C. 4．m <12且m ≠0 [解析] 首先m ≠0，m ≠1，根据已知，m 2<(m －1)2，即m 2－(m 2－2m ＋1)<0， 解得m <12.所以实数m 的取值范围是m <12且m ≠0. 【能力提升】5．A [解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x 2－2x －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.故选A. 6．B [解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d ＝|C |A 2＋B 2≤a ；反之不一定成立．故选B.7．A [解析] 抛物线的准线为y ＝－4，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，这两条直线与y ＝－4的交点是A (－43，－4)，B (43，－4)，故围成三角形的面积为S ＝12|AB |×4＝12×83×4＝16 3.故选A. 8．D [解析] 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.故选D.9．B [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b ax ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝b ax 得b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.10．(k 2p ＋p ，－kp ) [解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l 2的斜率为－1k，只需将弦PQ 中点坐标中的k 替换为－1k，就可以得到弦MN 的中点坐标，于是得弦MN 的中点坐标为(k 2p ＋p ，－kp )． 11．0或－1或－45 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.当a ≠－1时，令Δ＝a 2＋4a (a ＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－45；当a ＝－1时，方程仅有一个根y ＝－1，符合要求．所以a ＝0或－1或－45. 12.x 24－y 23＝1 [解析] 椭圆方程为x 216＋y 29＝1，则c 2＝a 2－b 2＝7，即c ＝7，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e ＝72，又c ＝7，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝7－4＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.13．2 [解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，过点M 的直线方程为y ＝3(x －1)，所以交点A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.因为＝，所以点M 是线段AB 的中点，由中点公式得B ⎝⎛⎭⎫2＋p 2，3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.又点B 在抛物线上，于是3⎝⎛⎭⎫1＋p 22＝2p ×⎝⎛⎭⎫2＋p 2，即p 2＋4p －12＝0，解得p ＝－6(舍去)或p ＝2. 14．[解答] (1)由已知，点P 到点F ⎝⎛⎭⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2，故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.两式相减，得x N ＝x 1＋x 22. 又x M ＝x 1＋x 22， 所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．15．[解答] 直线l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，由点(1,0)到直线l 的距离为点(－1,0)到直线l 的距离之和为点(0,0)到直线l 的距离的2倍，∴S ＝2·ab a 2＋b 2＝2ab c . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2， 于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5. 由于e >1>0，所以e 的取值范围是52≤e ≤ 5. 【难点突破】16．[解答] 由e ＝22，得c a ＝22，得a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设椭圆C 方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由圆心为(2,1)，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1， 两式相减，得x 21－x 222b 2＋y 21－y 22b2＝0. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－1， 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.将上述方程代入x 22b 2＋y 2b2＝1， 得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0，(*)又直线AB 与椭圆C 2相交，所以Δ＝24b 2－72>0.且x 1，x 2是方程(*)的两根，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝6－2b 23. 由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×203， 得2×8b 2－243＝2×203. 解得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.。
数学(文)一轮教学案：第十章第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示 命题探究1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0) k ＝b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点 直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1．思维辨析(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案 A解析 联立椭圆方程与直线方程，得ax 2＋b (1－x )2＝1，即(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，y1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－2b a ＋b ＝2aa ＋b ，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，AB 中点与原点连线的斜率k ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.故选A.3．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________．答案 x －y －1＝0或x ＋y －1＝0解析 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8得k 2＝1，∴k ＝±1，∴l 的方程为：x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0 B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0x 1＋x 2＝4k 1－k2>0x 1x 2＝－101－k 2>0解得－153<k <－1.(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.故选A.[答案] (1)D (2)A【解题法】 直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)． 将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， ∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， 得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3， 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2， 当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号． 当m ＝±2时，满足0≤m 2<8. 故直线l 的方程为y ＝2x ±2.【解题法】 直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 【解题法】 弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S△AFO＝12|OF|×y1＝12×14y1＝18y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1－y2.由98y1－y2＝98y1＋(－y2)≥298y1×(－y2)＝298×2＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________．答案2 2解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤22，即实数c的最大值为22.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知(2m)2＋(2m2－1－1)2＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解 解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24 ＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎨⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)． 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．[错解][错因分析] 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．[正解] 设M (x M ，y M )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .设直线CD 的斜率为k ′，因为CD ⊥AB ，所以k ′＝－1k .同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＝y 22－y 21x 22－x 21， 由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e＝1＋b 2a 2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ， 代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3＝1＋t2， 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，所以h ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋1，③ 当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22. ∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上， ∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4， 即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， 即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴16(1＋k 2)k 2m 2(1＋2k 2)2－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4， 化简得m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0，又m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k 4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎨⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1. ∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9. ∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆，圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145.∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4)＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×12＝－1.所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62， 又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆．故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y 29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0， 化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－9)3. ∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－9)3－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)，∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为 y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)， 则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)， 当λ＝1时，MF →＝FN →， ∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ， 由M ，N 两点在椭圆上， ∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063， ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22， ∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan ∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63， 由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3.当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 26＋y 22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k 21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k 21＋3k 2＝3，解得k ＝±1.此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c，k ON ＝b 2a b 2＋c2，∵MF 1∥ON ， ∴b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝c a ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2，∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2. ①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意； ③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意． 综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。
高考文科数学练习测试题课时跟踪检测五十二 直线与圆锥曲线的位置关系
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．02．(2015·舟山三模)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 33．(2015·四川雅安月考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．84．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．25．(2015·丽水一模)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.81056．(2015·大连双基测试)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF ＝2FB ，则|BC |＝( )A.92 B ．6C.132 D ．8二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．8．(2015·贵州安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________________________________________________________________________．9．(2015·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈__________________________.10．(2015·北京石景山期末)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l 于点E ，若直线EF 的倾斜角为150°，则|PF |＝________.三、解答题11．(2015·山西模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM ＝2MB ，求直线l 的方程．12．(2015·广东肇庆二模)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．答 案1．选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．选B 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝⎛⎭⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.3．选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.4.选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.5．选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ， 得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.6．选A 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)，C (x 2y 2)，则点B 在x轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1，0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A.7．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 答案：(－2,4)、(1,1)9．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．解析：由抛物线方程y 2＝4x 可知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1.直线EF 的斜率为k ＝tan 150°＝－33， 所以直线EF 的方程为y ＝－33(x －1)， 与准线方程联立可得点E ⎝⎛⎭⎫－1，233，故可设P ⎝⎛⎭⎫x ，233，将其代入抛物线方程y 2＝4x ，解得x ＝13.所以|PE |＝⎪⎪⎪⎪13－(－1)＝43， 由抛物线的定义可知|PE |＝|PF |， 故|PF |＝43.答案：4311．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ＝2MB ，得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎫8k3＋4k 22＝43＋4k 2， 解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.12．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长a ＝1，焦半距c ＝2， 所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减， 得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号． 因为|GF 2|＝(1－2)2＋22＝5， 所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2. 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.。
高三人教B文科数学一轮复习课时作业两直线的位置关系与距离
课时作业(四十五) [第45讲 两直线的位置关系与距离][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知直线l 1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，且l 1∥l 2，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．4D ．32．a ＝－2是两直线l 1：(a ＋4)x ＋y ＝0与l 2：x ＋ay －3＝0互相垂直的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 与过点M (6，－5)，N (－5，6)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°4．长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)、B (1,0)、C (3,2)，则顶点D 的坐标为________．能力提升5．[2011·广东六校联考] 已知过A (－1，a )、B (a,8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．－10B ．2C ．5D ．176．[2010·安徽卷] 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝07．[2011·惠州模拟] 已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C ．8D ．2 8．入射光线沿直线x ＋2y ＋c ＝0射向直线l ：x ＋y ＝0，被直线l 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y ＋c ＝0B ．2x ＋y －c ＝0C ．2x －y ＋c ＝0D ．2x －y －c ＝09．已知点M (2,3)，N (1，－2)，直线y ＝4上一点P 使|PM |＝|PN |，则P 点的坐标是________．10．点P 在直线x ＋3y ＝0上，且它到原点与到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 的坐标为________．11．已知直线l 1的倾斜角α1＝40°，直线l 1与l 2的交点为A (2,1)，把直线l 2绕点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为70°，则直线l 2的方程是________．12．(13分)已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．难点突破13．(12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．课时作业(四十五)【基础热身】1．B [解析] 由题意知直线l 1的倾斜角为90°，而l 1∥l 2，所以直线l 2的倾斜角也为90°，又直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，所以a ＝2.故选B.2．C [解析] 一方面，a ＝－2时，两直线的斜率之积为(－2)×12＝－1，所以两直线垂直；另一方面，a ＝0时，两直线不垂直，a ≠0时，当两直线垂直时，有－(a ＋4)×－1a＝－1，解得a ＝－2.3．C [解析] 因为直线MN 的斜率为－1，而直线l 与直线MN 垂直，所以直线l 的斜率为1，故倾斜角是45°.故选C.4．(2,3) [解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC ，所以y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 【能力提升】5．B [解析] 由已知得k AB ＝8－a a ＋1＝2，解得a ＝2，故选B. 6．A [解析] 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.故选A.7．D [解析] 由题意知63＝m 4≠14－3⇒m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，则两平行线之间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D. 8．B [解析] 在入射光线上取点⎝⎛⎭⎫0，－c 2，它关于直线l 的对称点为⎝⎛⎭⎫c 2，0，可排除A 、C ；在入射光线上取点(－c,0)，它关于直线l 的对称点为(0，c )，可排除D.故选B.9.()－16，4 [解析] 设点P 的坐标为(x,4)，依题意有(x －2)2＋(4－3)2＝(x －1)2＋(4＋2)2，解得x ＝－16，所以点P 的坐标为()－16，4.10.⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15 [解析] 设点P 的坐标为(－3t ，t )，则(－3t )2＋t 2＝|－3t ＋3t －2|12＋32，解得t ＝±15，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15. 11．x ＋3y －2－3＝0 [解析] 设直线l 2的倾斜角为α2，如图可得α2＝150°，所以直线l 2的斜率为k ＝tan150°＝－33.又直线l 2经过点A (2,1)，所以直线方程为y －1＝－33(x －2)，即x ＋3y －2－3＝0.12．[解答] 正方形中心G (－1,0)到四边距离均为5|12＋32＝610 . 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y －c 1＝0，则|－1－c 1|10＝610，即|c 1＋1|＝6， 解得c 1＝5或c 1＝－7，故与已知边平行的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0，则|3×(－1)＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6， 解得c 2＝9或c 2＝－3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0，综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0、3x －y ＋9＝0、3x －y －3＝0.【难点突破】13．[解答] 过点B (0,3)与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ，即x ＋2y －6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋2y －6＝0得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135， 即直线l 与直线l ′相交于点Q ⎝⎛⎭⎫45，135，点B (0,3)关于点Q ⎝⎛⎭⎫45，135的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫85，115， 连接AB ′，依平面几何知识知，AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)， 即x －13y ＋27＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x －13y ＋27＝0得⎩⎨⎧ x ＝1425，y ＝5325， 即P ⎝⎛⎭⎫1425，5325，相应的最小值为|AB ′|＝⎝⎛⎭⎫－1－852＋⎝⎛⎭⎫2－1152＝1705.。
2013届高考文科数学一轮复习考案课件8.4直线与圆锥曲线的位置关系
【点评】(1)直线与抛物线只有一个公共点时包括直线与抛物线的
对称轴平行和直线与抛物线相切两种情况,同时要注意直线与抛物
线相交可以是一个公共点和两个公共点;(2)解答直线与椭圆的位置
关系有两种方法,即判别式与数形结合法;(3)判断直线与双曲线的位
置关系可以利用判别式时,注意对二次项系数的讨论,二次项系数等
(A)2个. (B)1个. (C)0. (D)不确定.
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
(2)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们 的横坐标之和等于2,则这样的直线 ( ) (A)有且仅有一条. (B)有且仅有两条. (C)有无穷多条. (D)不存在.
2
则直线MN的方程可设为y= 1 x+b,代入抛物线方程中,可知Δ>0,又线
k
段MN的中点在直线y=-kx+ 9 上,由根与系数之间的关系可得线段MN
2
的中点,代入y=-kx+ 9 可得b与k的关系式,再结合Δ>0求解.或根据点差
2
法,建立线段MN中点坐标方程,然后解出中点坐标后,根据中点在抛 物线内建立不等式.
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
又A、B两点在椭圆上,则 x12+4 y12=16, x22+4 y22=16, 两式相减得( x12 - x22 )+4( y12 - y22 )=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系(课件)
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
答案：A
2．[2023·合肥教学检测]直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛 物线C交于A，B两点．若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于
________．
答案：(1)B
反思感悟 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
答案：C
答案：A
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
关键能力—考点突破
关键能力—考点突破
考点一 直线与圆锥曲线的位置 [基础性]
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 ()
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
答案：Dபைடு நூலகம்
答案：D
反思感悟 1．直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组， 消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为 交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点 (1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零 的情况． (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一： 可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
(全国通用)高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系专用题组理新人教B版
（全国通用）高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系专用题组理新人教B版考点直线与圆锥曲线的位置关系9.(2013浙江,15,4分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.答案±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).10.(2012浙江,16,4分)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .答案解析曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径,即d=-=,所以曲线C1到l的距离为,而C1到l的距离为与l平行的直线l'与C1相切时两直线间的距离.设l':x-y+m=0,则=,得m=±2;当m=-2时,曲线C1与直线l相交,不合题意舍去,当m=2时,由消去y,得x2-x+a-2=0,Δ=1-4(a-2)=9-4a=0,∴a=.评析本题主要考查的知识点有:直线与圆,直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力及应用意识,体现了数形结合的思想,转化与化归思想等.11.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l 与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.12.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得由题意知·=0,因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤并整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.评析本题考查双曲线及椭圆标准方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系.考查分类讨论思想和方程思想的应用.解决第(2)问时有两个关键点:①巧设方程x=my+,使方程的化简过程简洁明了;②巧用·=0,建立方程根的关系,进而得到关于m的方程,使问题得以顺利解决.本题的易错点是对m值的求解,也是解决本题的难点.13.(2014陕西,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值;(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).评析本题考查了直线、椭圆、抛物线的方程,二次方程等知识;考查数形结合思想及运算求解能力.利用坐标法准确运算是解题的关键.14.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,则由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,所以可设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0),当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.评析本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定.15.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③1°若由②③解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.2°若或则由②③解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.3°若则由②③解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.评析本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线y=0(x<0)就会造成错解而失分.16.(2013天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.解析(1)设F(-c,0),由=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.由根与系数关系可得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=±.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.17.(2012大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+=r2(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.解析(1)设A(x0,(x0+1)2).对y=(x+1)2求导得y'=2(x+1).故l的斜率k=2(x0+1).当x0=1时,不合题意,所以x0≠1.圆心为M,MA的斜率k'=.(3分)由l⊥MA知k·k'=-1,即2(x0+1)·=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|==,即r=.(6分)(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1.若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,即=,化简得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+,t2=2-.(9分)抛物线C在点(t i,(t i+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,①y=2(t1+1)x-+1,②y=2(t2+1)x-+1,③②-③得x==2.将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距离d==.(12分)评析本题考查曲线的切线问题和点到直线的距离;考查了方程思想和运算求解能力.灵活地处理切线问题是解题的关键.18.(2012安徽,20,13分)如图,点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.解析(1)解法一:由条件知,P.故直线PF2的斜率为==-.因为PF2⊥F2Q,所以直线F2Q的方程为y=x-.故Q.由题设知,=4,2a=4,解得a=2,c=1.故椭圆方程为+=1.解法二:设直线x=与x轴交于点M.由条件知,P.因为△PF1F2∽△F2MQ,所以=,即=,解得|MQ|=2a.所以a=2,c=1.故椭圆方程为+=1.(2)证明:直线PQ的方程为=,即y=x+a.将上式代入椭圆方程得x2+2cx+c2=0,解得x=-c,y=.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.评析本题考查椭圆方程和椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能,考查推理论证能力.运用数形结合思想,利用解析法准确地运算求解是解题的关键.。
高考数学一轮总复习课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系新人教A版
课时规范练52 直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点有()A.1个B.至多一个C.2个D.0个2.椭圆C的焦点F(±2,0),长轴长6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标为()A.(2,)B.C.2,D.3.已知M,N是椭圆=1上关于原点对称的两点,P是该椭圆上不同于M,N的一点,若直线PM的斜率k1的取值范围为,1,则直线PN的斜率k2的取值范围为()A.,1B.C.1,D.4.过椭圆C:=1(a>b>0)右焦点F的直线l:xy=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为,则椭圆C的方程为()A=1 B=1C=1 D=15.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于点A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)经过D(2,1),且斜率为k的直线l交椭圆C于P,Q两点(均异于点B),求直线BP与BQ的斜率之和.综合提升组7.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A,B两点,若=3,则k的值为()A.3B.±3C.±D.±8.已知直线y=kx1与椭圆=1交于点A,B,与y轴交于点P,若=3,则实数k的值为()A B. C.± D.±9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0的直线与该抛物线相交于A,B两点,若△AOF的面积与△BOF(O为坐标原点)的面积之比是2,则|AB|=()A B C D10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,M为E上任意一点,的最大值为1,椭圆右顶点为A.(1)求椭圆E的方程;(2)若过点A的直线l交椭圆于另一点B,过B作x轴的垂线交椭圆于点C(点C异于点B),连接AC 交y轴于点P.如果时,求直线l的方程.创新应用组11.已知F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,直线l:y=k(xm)(m>0)与抛物线E交于A,B两点,与抛物线E的准线交于点N.(1)若k=1时,|AB|=4,求抛物线E的方程;(2)对于任意的正数m,都有|FA|·|FB|=|FN|2,求k的值.答案：课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系1.C因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以>3,即m2+n2<9,所以<1,即点(m,n)在椭圆=1内,所以直线与椭圆有2个交点.故选C.2.D因为a=3,c=2,所以b==1,设线段AB的中点坐标为M(x0,y0),则y0=x0+2,由结论k AB===1,得x0=,y0=x0+2=,故选D.3.B设点M(x0,y0),N(x0,y0),P(x1,y1),则k1k2=,∵点M(x0,y0),P(x1,y1)在椭圆上,=1,=1,=91,=91.∴k1k2==,∴k2=又k1∈,1,∴k2∈,故选B.4.A由直线xy=0,令y=0,可得x=,所以右焦点F(,0),由结论k AB k OP=,得1×=,所以a2=2b2,又c2=3,所以a2=6,b2=3,所以椭圆的方程为=1,故选A.5(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=1,=1,两式相减可得=0,又x1+x2=2,y1+y2=2,=,即+=0,整理得a2=2b2,c2=a2b2=b2,∴e=(方法2)由结论k AB===,得a2=2b2,c2=a2b2=b2,∴e=6.解(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,1),所以=1,=1,则a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题设知直线l的方程为y=k(x2)+1,由题意B(0,1)不在直线l上,则k≠1.直线l与椭圆联立整理得(1+3k2)x2+(6k12k2)x+12k212k=0,由Δ>0,得0<k<4,且k≠1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,k BP+k BQ===2k+2(1k)=2k+2(1k)=2k+2(1k)=1.故直线BP与BQ的斜率之和为1.7.C由抛物线的方程可得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x1),代入抛物线方程消去y,可得k2x22(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然Δ>0恒成立,则x1+x2=,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1+x22)=所以=(1x1,y1),=(x21,y2),由=3,可得则x2=+1,y2=,代入抛物线方程可得2=4+1,解得k=±,故选C.8.C设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得P(0,1),联立整理得(3+4k2)x28kx8=0,Δ>0显然成立,x1+x2=,①x1x2=,②因为=3,则(x1,1y1)=3(x2,y2+1),可得x1=3x2,将其代入①可得2x2=,可得x2=,则x1=,又x1x2=,则有,解得k2=,即k=±,故选C.9.A由题意知,所以p=1,抛物线方程为y2=2x,设直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),点A在x轴上方,则m>0,联立整理得y22my1=0,y1+y2=2m,y1y2=1,由题意=2,可得y1=2y2,解得m=,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)+1=,由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p= 10.解(1)当M为椭圆的短轴端点时,取得最大值,即S=2c×b=1,又,a2=b2+c2,解得a=,b=1,c=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)A(,0),根据题意,直线l斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x),B(x0,y0),联立得(1+2k2)x24k2x+4k22=0,+x0=x0=,即B,由题意得C,又直线AC:y=k(x),故P(0,k),=(,k)·k=, 即8k4+18k25=0,解得k2=(舍),k2=,故k=±,直线l的方程为y=或y=,即x2y=0或x+2y=0.11.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x22(k2m+p)x+k2m2=0,因为直线l与抛物线交于两点,所以k≠0.又因为m>0,p>0,所以Δ=8k2mp+4p2>0恒成立,所以当k=1时,|AB|=4,所以|AB|=|x1x2|=2=4,化简得(p+2m+2)(p2)=0.因为p>0,m>0,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线E的方程为y2=2px,焦点为F,0,准线为x=,所以N,k m+,从而|FN|2=p2+k2m+2,由抛物线的定义可得,|FA|=x1+,|FB|=x2+,所以|FA|·|FB|=x1+·x2+=x1x2+(x1+x2)+=m+2+,由|FA|·|FB|=|FN|2得m+2+=p2+k2m+2,即(k21)m+2+=0,因为m+2>0,>0,所以k21=0,解得k=±1.。
高中数学课时作业(人教B版选修第一册)课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆x2m +y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>1且m≠3 C．m>3 D．m>0且m≠32．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29+y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于() A．√15B．2√15C．√152D．154．已知双曲线x212−y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A．(－√33，√33) B．(－√3，√3)C．[−√33，√33]D．[－√3，√3]二、填空题5．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．6．已知(4，2)是直线l被椭圆x236+y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．7．设双曲线Γ的方程为x2－y24＝1.设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，则l的方程为________．三、解答题8．已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程.9.已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8.P为直线x＝6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．[尖子生题库]10．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a ＞b >0)，离心率是12，原点与C 和直线x ＝1的交点围成的三角形面积是32.若直线l 过点(27，0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是顶点)，D 是椭圆C 的右顶点，求证∠ADB 是定值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
4．y＝x[解析]由题意知，抛物线来自的方程y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，
y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝1，
l：y－2＝x－2，即y＝x.
【能力提升】
5．C[解析]因为直线l是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M到F的距离等于M到抛物线准线l的距离．所以动圆M恒过抛物线的焦点F(1,0)．故选C.
所以|MF1|＝，于是点M坐标为.所以－＝1，即－＝1，将e＝代入，化简整理，得3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝(舍去)，或e2＝3，所以e＝.故选C.
8．A[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝1－x代入椭圆方程，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，则＝，即线段AB中点的横坐标为，代入直线方程y＝1－x得纵坐标为，所以过原点与线段AB中点的直线的斜率为＝.故选A.
9．C[解析]设直线l方程为y＝kx，代入双曲线方程得(k2－1)x2＝1，∴x＝±，y＝±，
∴两交点的坐标为A，
B，
由两点间距离公式得，|AB|2＝2＋2＝(2)2，解得k＝±，
11．如图K52－1，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于________．
图K52－1
12．抛物线y2＝4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．
13．[2011·连云港调研]双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．
6．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为()
A．至多1个B．2个
C．1个D．0个
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M点，若MF1垂直于x轴，则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
6．B[解析]依题意，圆心到直线的距离大于半径，即>2，所以m2＋n2<4，该不等式表明点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．故选B.
7．C[解析]由题意知△F1MF2是直角三角形，且|F1F2|＝2c，∠MF2F1＝30°，
课时作业(五十二)B[第52讲直线与圆锥曲线的位置关系]
[时间：45分钟分值：100分]
1．双曲线－＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是()
A．2B．3C．4D．5
2．斜率为1的直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值为()
A.B.C.D.
3．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB，则AB的长度是()
A．4B．4C．8D．8
4．设抛物线C的顶点为原点，焦点F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点(2,2)，则直线l的方程为________．
5．动圆M的圆心M在抛物线y2＝4x上移动，且动圆恒与直线l：x＝－1相切，则动圆M恒过点()
A．(－1,0)B．(－2,0)
C．(1,0)D．(2,0)
14．(10分)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.
15．(13分)已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1,0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．
课时作业(五十二)B
【基础热身】
1．A[解析]双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.
2．B[解析]当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M，，于是弦长为2|OM|＝.故选B.
3．C[解析]抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB所在的直线方程为y＝－x＋1代入抛物线方程，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式，得|AB|＝＝8.故选C.
8．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()
A.B.C.D.
9．过原点的直线l被双曲线y2－x2＝1截得的弦长为2，则直线l的倾斜角为()
A．30°或150°B．45°或135°
C．60°或120°D．75°或105°
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1、A2，一个虚轴端点为B，若它的焦距为4，则△A1A2B面积的最大值为________．