福建省宁德市2019届高三5月质检数学理试题

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福建省宁德市2019届高三5月质检数学理试题

2019年宁德市普通高中毕业班质量检查理科数学A.B .C. D.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）第n卷第21题为选考题，其他题为必考题.本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.参考公式:样本数据X1, X>,…，人的标准差1 …2 … …2 s={n【(X1-x) +(X2-X)+ …+区-乂)] 锥体体积公式1V Sh3其中x为样本平均数柱体体积公式V =Sh其中S为底面面积，h为高第I卷（选择题选择题：本大题共10小题，每小题5分，共其中S为底面面积，h为高球的表面积、体积公式2 4 3S=4 二R2,V R33其中R为球的半径共50分）50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若2_i =a bi （a, b • R, i 为虚数单位），a • b 二则（）iA. 3B. 1C.—1D.—32 .如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是（)3 .某社区以“周末你最喜爱的一个活动”为题，对该社区2000个居民进行随机抽样调查（每位被调查居民必须而且只能从运动、上网、看书、聚会、其它等五项中选择一个项目）。

若抽取的样本容量为50,相应的条形统计图如图所示，据此可估计该社区最喜欢运动的居民人数为（）A. 80B. 160C. 200D. 3204 •阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（)2F 列集合：①｛( x, y) |x 2 y ｝，②｛( x, y) | 2x 2 y 2 < 1｝，③A . 127B. 64 C . 63D . 314444445 .“非零向量a,b 共线”是“非零向量 a,b 满足|a b HI a | |b|”的（）A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6 .某公司有10万元资金，计划投资甲、乙两个项目，项目甲每投资 1万元可获得0.4万元的利润，项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润•按要求每个项目的投2资不能低于2万元，且对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，则该公司规划投3资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）A . 5.6万元B . 5.2万元C . 4.4万元D . 2.6万元…、In |x| A . f (x): x5 ：：.&右图是函数y =sin （「x • 0,0）在区间［,］上的图2 6 6则m 的最小值为（2x9.已知 F 1(-C ,0),F 2(C ,0)是双曲线 Cr ab 0）的左、右焦点。

《精编》福建省宁德市高三数学质检试题理(含解析)新人教A版.doc

福建省宁德市届高三质量检查数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，那么〔〕A．N⊊M B．M∪N=N C．M=N D．M∩N=∅考点：交、并、补集的混合运算．分析：解出集合M中二次不等式，再求两集合的交集或并集，对照选项进行判断即可．解答：解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}，∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣1≤x≤2}=N，应选B．点评：此题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．〔5分〕〔•宁德模拟〕x，y∈R，那么“x=y〞是“|x|=|y|〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：此题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x=y〞成立，然后判断“|x|=|y|〞是否一定成立；然后假设“|x|=|y|〞成立，再判断“x=y〞是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：当“x=y〞成立时，“|x|=|y|〞一定成立，即“x=y〞⇒“|x|=|y|〞为真假命题；但当“|x|=|y|〞成立时，x=±y即“x=y〞不一定成立，即“|x|=|y|〞⇒“x=y〞为假命题；故“x=y〞是“|x|=|y|〞的充分不必要条件应选A点评：判断充要条件的方法是：①假设p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的充分不必要条件；②假设p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q 的必要不充分条件；③假设p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，那么命题p是命题q的充要条件；④假设p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，那么命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分〞的原那么，判断命题p与命题q的关系．3．〔5分〕〔•宁德模拟〕角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边经过点〔，〕，那么tanθ等于〔〕A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，根据三角函数的第二定义，终边过〔x，y〕的点tanθ=，代入可得答案．解答：解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点〔，〕，故tanθ==应选B点评：此题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中熟练掌握三角函数的第二定义是解答的关键．4．〔5分〕〔•宁德模拟〕一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如以以下图，那么这个三棱柱的侧视图的面积为〔〕A．4B．2C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三棱柱的俯视图，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面积，利用棱柱的体积求出棱柱的高，然后求出侧视图的面积．解答：解：由题意可知棱柱的底面面积为S，底面是等腰直角三角形，由俯视图可知斜边长为：2，斜边上的高为：1，底面面积S，所以S==1，因为棱柱的体积为4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高为：4，侧视图是矩形，底边长为：1，高为4，所以侧视图的面积为：1×4=4．应选D．点评：此题考查几何体的三视图的应用，侧视图的面积的求法，考查计算能力．5．〔5分〕〔•宁德模拟〕以下函数f〔x〕中，满足“∀x1，x2∈〔0，+∞〕且x1≠x2，〔x1﹣x2〕[f〔x1〕﹣f〔x2〕]＜0“的是〔〕A．f〔x〕=2x B．f〔x〕=|x﹣1| C．f〔x〕=﹣xD．f〔x〕=ln〔x+1〕考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：易得所求函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，逐个验证：A为增函数；B在〔1，+∞〕单调递增；C符合题意；D在〔﹣1，+∞〕上单调递增，可得答案．解答：解：由题意可得函数在区间〔0，+∞〕上为减函数，选项A为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B，f〔x〕=，故函数在〔1，+∞〕单调递增，不合题意；选项C，由f′〔x〕=＜0可知函数在〔0，+∞〕上为减函数，符合题意；选项D，函数在〔﹣1，+∞〕上单调递增，故不合题意，应选C点评：此题考查函数的单调性，借用常用函数的单调性是解决问题的捷径，属根底题．6．〔5分〕〔•宁德模拟〕曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为〔〕A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点坐标，由此可得所求面积为函数﹣x在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到此题答案．解答：解：∵曲线y2=x和曲线y=x的交点为A〔1，1〕和原点O ∴曲线y2=x和曲线y=x所围图形的面积为S=〔﹣x〕dx=〔﹣x2〕=〔〕﹣〔〕=应选：A点评：此题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题．7．〔5分〕〔•宁德模拟〕m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m⊂平面a，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m．其中正确命题为〔〕A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：结合图形演示判断①是否正确；根据面面垂直的判定定理判断②是否正确；根据线面垂直的性质判断③是否正确；根据空间直线与平面的位置关系判断④是否正确．解答：解：①如图平面α、β的关系不定，故①错误；②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m⊂α∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m⊂α，∴m⊥n，③正确；④α⊥β，n⊥β，∴n⊂α或n∥α．m⊂α，∴m、n的位置关系不确定．应选B点评：此题借助考查命题的真假判断，考查空间直线与直线、平面与平面的位置关系．8．〔5分〕〔•宁德模拟〕平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1．某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，那么他的建系方式是〔〕A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：通过曲线的轨迹方程，判断曲线的焦点坐标与对称轴的位置，然后确定选项．解答：解：因为点P的轨迹方程为x2=2y﹣1，即所求的抛物线方程：y=x2+，抛物线的对称轴为：y轴，顶点坐标为〔0，〕．所以该同学建系方式是C．应选C．点评：此题考查曲线与方程的关系，注意抛物线的性质的应用，也可以利用曲线图形变换解答．9．〔5分〕〔•宁德模拟〕在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC ，且=2，那么AC+2AB的最小值为〔〕A．4B．4C．4D．4考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由结合正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A ，再由=2，结合数量积的定义可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用根本不等式可求解答：解：∵sin2A=sin2B+sin2C ﹣sinBsinC，由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理可得，cosA==∴∵=2，由数量积的定义可知，∴bc=4∴AC+2AB=b+2c=4当且仅当b=2c=2时取等号应选D点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，及根本不等式在求解最值中的应用，熟练掌握定理是解此题的关键．10．〔5分〕〔•宁德模拟〕假设函数f〔x〕对于任意x∈[a，b]，恒有|f〔x〕﹣f〔a〕﹣〔x﹣a〕|≤T〔T为常数〕成立，那么称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞．以下函数中：①f〔x〕=2x+1；②f〔x〕=x2；③f〔x〕=；④f〔x〕=x3．那么在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞的函数的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据称函数f〔x〕在[a，b]上具有“T级线性逼近〞的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近〞的定义，从而得出结论．解答：解：f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|0|≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x2 在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|〔x﹣1〕〔x﹣2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣2〕≤，故f〔x〕=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|+﹣|=﹣〔+〕≤﹣2=﹣≤，故f〔x〕=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近〞，故满足条件．f〔x〕=x3在区间[1，2]上，由于|f〔x〕﹣f〔1〕﹣〔x﹣1〕|=|x3﹣7x+6|=|〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕|=﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕，由于﹣〔x3﹣7x+6〕的导数为﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为增函数，同理可得在[，2]上，﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕为减函数，故﹣〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔x+2〕的最大值为〔﹣1〕〔3﹣〕〔+2〕＞，故不满足“级线性逼近〞，故不满足条件．应选C．点评：此题主要考查新定义：“T级线性逼近〞的定义，不等式的性质应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设〔1+ai〕i=﹣3+i，其中a∈R，i是虚数单位，那么a= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边展开，然后利用复数相等的条件求a的值．解答：解：由〔1+ai〕i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，那么a=3．故答案为3．点评：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是根底题．12．〔4分〕〔•宁德模拟〕运行如以以下图的程序，输入3，4时，那么输出 4 ．考点：伪代码．专题：函数的性质及应用．分析：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，由a=3，b=4，易得答案．解答：解：由中的程序代码，可得该程序的功能是计算并输出分段函数m=的值，当a=3，b=4时，满足a≤b故m=b=4故答案为：4点评：此题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．13．〔4分〕〔•宁德模拟〕假设直线x﹣y+t=0与圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦长为4，那么t的值等于﹣2或6 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再在弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化为：〔x﹣1〕2+〔y﹣3〕2=16．圆心到直线的距离为d==4=2，解得t=﹣2或t=6．故答案为：﹣2或6点评：此题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于根底题．14．〔4分〕〔•重庆〕变量x，y满足约束条件．假设目标函数z=ax+y〔其中a＞0〕仅在点〔3，0〕处取得最大值，那么a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：此题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如以以下图，其中B〔3，0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，假设目标函数z=ax+y仅在点〔3，0〕取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比拟，即可得到目标函数的最优解．15．〔4分〕〔•宁德模拟〕某种平面分形如以以下图，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为．9﹣9•．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．解答：解：设n级分形图中所有线段的长度之和为a n，依题意a1=3，a2=3+2×3×=3+2，a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+，a4=3+2++，…，它们构成一个首项为3，公比为的等比的和，∴a n==9﹣9•．故答案为：9﹣9•点评：此题主要考查归纳推理，数列通项公式的求法．数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤. 16．〔13分〕〔•宁德模拟〕二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，且f〔﹣1〕=﹣1．〔I〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：〔I〕由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f〔﹣1〕=﹣1，可得a值，进而可得函数f〔x〕的解析式；〔II〕假设函数g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x在区间[﹣2，2]上单调递减，可得区间[﹣2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：〔I〕∵二次函数f〔x〕=ax2+bx+1为偶函数，故函数f〔x〕的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f〔﹣1〕=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f〔x〕=﹣2x2+1〔II〕由〔I〕得g〔x〕=f〔x〕+〔2﹣k〕x=﹣2x2+〔2﹣k〕x+1 故函数g〔x〕的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g〔x〕在[，+∞〕上单调递减，又∵函数g〔x〕在区间[﹣2，2]上单调递减，∴≤﹣2解得k≥10故实数k的取值范围为[10，+∞〕点评：此题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．〔13分〕〔•宁德模拟〕函数，f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔I 〕求函数y=f〔x〕的最值及其单调递增区间；〔II 〕函数f〔x〕的图象可以由函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象经过怎样的变换得到？考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔I〕利用降次升角公式，及和差角公式〔辅助角公式〕，可将函数y=f〔x〕的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f〔x〕的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．〔II〕根据函数图象的变换法那么，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．解答：解：〔I〕∵f〔x〕=cos〔﹣2ωx〕+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin〔2ωx ﹣〕+1又∵ω＞0，f〔x〕的最小正周期为π故ω=1故f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1∵A=2，B=1故函数y=f〔x〕的最大值为3，最小值为﹣1由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数y=f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，〔k∈Z〕〔II〕将函数y=2sin2x〔x∈R〕的图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象；再将函数y=2sin2〔x﹣〕=2sin〔2x﹣〕〔x∈R〕的图象上的所有点向上平移1个单位长度得到函数f〔x〕=2sin〔2x﹣〕+1的图象．点评：此题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．18．〔13分〕〔•宁德模拟〕椭圆E：〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=．〔I〕假设点F在直线l：x﹣y+1=0上，求椭圆E的方程；〔II〕假设0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得？假设存在，求出点P 的个数；假设不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕椭圆的左焦点F在直线l：x﹣y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=联立后可求a的值，那么椭圆E的方程可求；〔Ⅱ〕假设椭圆E上存在点P，使得，设出P点坐标，求出向量和，代入后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[﹣a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．解答：解：〔Ⅰ〕∵F〔﹣c，0〕在直线l：x﹣y+1=0上，∴﹣c+1=0，即c=1，又，∴a=2c=2，∴b=．从而椭圆E的方程为．〔Ⅱ〕由，得，∴，椭圆E的方程为，其左焦点为，右顶点为A〔a，0〕，假设椭圆E上存在点P〔x0，y0〕〔﹣a≤x0≤a〕，使得，∵点P〔x0，y0〕在椭圆上，∴，由====1．解得：x0=a±2，∵0＜a＜1，∴x0=a±2∉[﹣a，a]，故不存在点P，使得．点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为条件进行推理，得出正确的等式关系那么假设成立，肯定结论，否那么假设不成立，否认结论．此题是中档题．19．〔13分〕〔•宁德模拟〕如图〔1〕，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，如图〔2〕．〔I〕求证：EA⊥B′B；〔II〕线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；〔III〕求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：〔I〕通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；〔II〕存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；〔III〕通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD 为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，∵BB′⊂平面ABB′，∴EA⊥B′B；〔Ⅱ〕解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD 交于N，连结B′N．∵AB∥DE且AB=DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，又∵EM⊄平面DBB′，B′N⊂平面DBB′，∴EM∥平面DB′B．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E﹣xyz，如以以下图那么D〔1，0，0〕，B′0，，1〕，E〔0，0，0〕，C〔﹣1，0，0〕所以=〔﹣1，，1〕，=〔﹣2，0，0〕设面DCB′的法向量为=〔x，y，z〕，那么，⇒不妨设=〔0，1，〕…〔10分〕设面AB′B的法向量=〔0，1，0〕，所以cos==所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…〔12分〕．点评：此题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．〔14分〕〔•宁德模拟〕一学生参加市场营销调查活动，从某商场得到11月份新款家电M 的局部销售资料．资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台〔t为常数〕，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台．〔I〕假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量．〔II〕假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；综合题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：〔I〕由题意，在11月1日至15日之间该商场家电M每天的销售量组成公差为t的等差数列{a n}，结合等差数列的通项公式解出首项a1和公差t，从而由等差数列求和公式得到这15天家电M的总销售量．〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多〔1≤n≤30，n∈N*〕．根据〔I〕前15天的销售量大于414，可得n＜15；通过假设n=5算出销售量为120＜414，得n＞5．因此n为大于5而小于15的整数，因此结合题中数据列出S15关于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．解答：解：〔I〕根据题意，商家在11月1日至15日之间家电M每天的销售量组成公差为t 的等差数列{a n}，∵，∴，解之得因此，这15天家电M的总销售量为S15=15×2+=450台．…〔6分〕〔II〕设从11月1日起，第n天的销售量最多，1≤n≤30，n∈N*由〔I〕，假设商家在11月1日至15日之间未提价，那么这15天家电M的总销售量为450台，而450＞414不符合题意，故n＜15；假设n=5，那么S15=5×2++10×16+=120＜414，也不符合题意，故n＞5因此，前n天每天的销售量组成一个首项为2，公差为4的等差数列，第n+1天开始每天的销售量组成首项为4n﹣4，公差为﹣2的等差数列．…〔10分〕∴S15=[2n+]+[〔15﹣n〕〔4n﹣4〕+]=﹣3n2+93n﹣270由条件，得S15=414，即﹣3n2+93n﹣270=414解之得n=15或n=19〔舍去19〕∴n=12，出售家电M的台数为2+11×4=46台故在11月12日，该商场售出家电M的台数最多，这一天的销售量为46台．点评：此题给出商场家电的销售量成等差数列的模型，求家电M哪一天的销售量为最多．着重考查了函数、数列的根本知识及其应用能力，考查了函数方程思想和转化化归思想的应用，属于中档题．21．〔14分〕〔•宁德模拟〕函数f1〔x〕=x2，f2〔x〕=alnx〔a∈R〕•〔I〕当a＞0时，求函数．f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕的极值；〔II〕假设存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，求实数a的取值范围；〔III〕求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．〔说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…〕考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：〔I〕求出导函数，通过对导函数为0的根与区间的关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值；〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么问题转化为g〔x〕min≤0即可，再利用导数工具得出g′〔x〕，对a时行分类讨论①当a≤1时，②当1＜a＜e时，③当a≥e时，利用导数研究其单调性及最小值，求出a的范围，最后综上得到实数a的取值范围即可；〔III〕问题等价于x2lnx＞，构造函数h〔x〕=，利用导数研究其最大值，从而列出不等式f〔x〕min＞h〔x〕max，即可证得结论．解答：解：〔I〕f〔x〕=f1〔x〕•f2〔x〕=x2alnx，∴f′〔x〕=axlnx+ax=ax〔2lnx+1〕，〔x＞0，a＞0〕，由f′〔x〕＞0，得x＞e，由f′〔x〕＜0，得0＜x＜e．∴函数f〔x〕在〔0，e〕上是增函数，在〔e，+∞〕上是减函数，∴f〔x〕的极小值为f〔e〕=﹣，无极大值．〔II〕根据题意存在x0∈[1，e]，使得f1〔x0〕+f2〔x0〕≤〔a+1〕x0成立，设g〔x〕=x2+alnx﹣〔a+1〕x，那么g〔x〕min≤0即可，又g′〔x〕=x+﹣〔a+1〕=，①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，e]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔1〕=﹣〔a+1〕≤0，得﹣≤a≤1．②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，a]上是减函数，由x∈[a，e]，g′〔x〕＞0，得g〔x〕在[1，a]上是增函数，∴g〔x〕min=g〔a〕=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a〔1﹣lna〕≤0恒成立，得1＜a＜e．③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′〔x〕＜0，得g〔x〕在[1，e]上是减函数，∴g〔x〕min=g〔e〕=〕=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e．综上，实数a的取值范围a．〔III〕问题等价于x2lnx＞，由〔I〕知，f〔x〕=x2lnx的最小值为﹣，设h〔x〕=，h′〔x〕=﹣得，函数h〔x〕在〔0，2〕上增，在〔2，+∞〕减，∴h〔x〕max=h〔2〕=，因﹣＞0，∴f〔x〕min＞h〔x〕max，∴x2lnx＞，∴lnx﹣〔〕＞0，∴lnx+﹣＞0．点评：此题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．。

福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)

准考证号姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理科数学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

福建省宁德市2019届高三数学第二次(5月)质量检查考试理试题(含解析)

福建省宁德市2019届高三数学第二次（5月）质量检查考试理试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}2log (1)2A x x =-<，{}16B x x =-<<，则A B ⋂= ( ) A. {}15x x -<< B. {}16x x -<< C. {}15x x << D. {}16x x <<【答案】C 【解析】【分析】可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】A ＝{x |1＜x ＜5}； ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜5}．故选：C ．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.复数i z a b =+（,a b R ∈）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A. 35-B. 15-C.15D.35【答案】D 【解析】【分析】把z ＝a +bi （a ，b ∈R ）代入2z ＝i （1﹣z ），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．【详解】∵z ＝a +bi ，由2z ＝i （1﹣z ），得2a +2bi ＝i （1﹣a ﹣bi ）＝b +（1﹣a ）i ，∴221a b b a=⎧⎨=-⎩，解得a 15=，b 25=．∴a +b 35=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.62)x的展开式中23x 的系数为( )A. 12-B. 12C. 192-D. 192【答案】A 【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于32，求出r 的值，即可求得展开式中32x 的系数．【详解】二项式62)x的展开式的通项公式为 T r +16rC =•（﹣2）r •332rx -，令33322r -=，求得r ＝1，可得展开式中32x 的系数为﹣12，故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1k n k kk n T C a b -+=的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围(0,1,2,,k n =⋅⋅⋅)①第m 项：此时1k m +=,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A.216125B.278 C.49D.14【答案】C 【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p964 2169 ==．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. 4B. 16C. 32D. 48【答案】B【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的体积为：V ()1124441632=⋅+⋅⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.已知平面区域1Ω：220,0,20,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，2Ω：229x y +≤，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】画出两个平面区域，然后判断充要条件即可．【详解】平面区域2219x y Ω+≤：，表示圆以及内部部分；2220020x y x y y ，：，，-+≥⎧⎪Ω+≤⎨⎪+≥⎩的可行域如图三角形区域：则点P （x ，y ）∈Ω1是P （x ，y ）∈Ω2的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充要条件的应用，是基本知识的考查．7.已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a c b << B. c b a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】可以看出，f （x ）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出0.213b f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且可以得出0.20.210153log ＜＜＜，从而由f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】f （x ）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；∴b ＝f （log 0.23）＝f （﹣log 0.23）0.213f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭；∵50.2＞50＝1，0.20.2100.213log log =＜＜；∴0.20.210153log ＜＜＜； ∴()()0.20.21153f log f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜；∴b ＜c ＜a ．故选：A ．【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．8.若函数()sin 2cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 对任意的x R ∈，都有()()04f x f x π-+-=C. 函数()f x 在3(,)24ππ上是减函数 D. 函数()f x 的图象关于直线=8x π-对称【答案】B 【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】函数f （x ）＝sin2x +cos2x ，24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则：①函数的最小正周期为22T ππ==．故选项A 错误． ②令：3222242k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得：588k x k ππππ+≤≤+，（k ∈Z ），当k ＝0时，函数的单调递减区间为：[588ππ，]，故：选项C 错误． ③当x 8π=-时，f （8π-）＝0，故选项D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω;（2）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间。

(完整版)2019年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查理科答案(定稿)

2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．35- 14．32 15． 16．[e,)+∞三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解：（Ⅰ）由已知得2222(),n S n kn n k k =-=--因为*k ∈N ，当n k =时，2min ()9n S k =-=-，…………………………1分故3k =；………………………… 2分所以26n S n n =-.…………………………3分因为21(1)6(1)n S n n -=---，(2)n ≥所以221(6)[(1)6(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----，得27n a n =-(2)n ≥.…………………………5分当1n =时，114S a =-=,综上，27n a n =-.…………………………6分（Ⅱ）依题意，()()11(27)nnn n b a n =-⋅=--,…………………………7分所以()()2212+15311351(47)1[2(21)7]nn n T n n +=-++-+++--+-+-L L …………………………8分5(222)n=-+++L 1442443…………………………10分52n =-．…………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且AB //DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以BD =，……1分，又因为4,4CD BDC π=∠=,根据余弦定理得BC = …………………………2分，所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥. …………………………3分又因为BC PD ⊥, PD BD D I =,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， ………………4分又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面………………5分（2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD ,设E 为BD 的中点，连结PE，因为PB PD ==所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD I 平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .…………………………7分如图，以A 为原点分别以AD u u u r ，AB u u u r和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， …………8分假设存在M(a,b,c)满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=u u u u r u u u r ，所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =u u u r.…………………………9分设n (,,)x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB u u u r =， =(2-,4-3,2)λλλu u u u rAM由00AB AM u u u r u u u u r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)λλ=-n . …………………………10分因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. …………………………12分解法二：（1）证明：取线段CD 的中点F ，连结AF 交BD 于E 点，连结BF ，因为//AB CD , 122AB AD CD ===,2ADC π∠=,所以四边形ADFB 为正方形，故BD AF ⊥,…………………………1分，且E 为BD 中点,又F 为线段CD 的中点，所以//EF BC 且BC BD ⊥…………………………3分，又因为BC PD ⊥, PD BD D =I ,且BD ,PD ⊂平面PBD 所以BC ⊥平面PBD ， …………………………4分又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD …………………………5分（2）连结EP，因为PB PD ==，E 为中点,所以PE BD ⊥,2PE =,又因为BC ⊥平面PBD ，所以PE ,DE ,EF 三线两两互相垂直，…………………………7分分别以,,ED EF EP u u u r u u u r u u u r为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -则(0,0,0)E,(0,A,(B,(C,D ,(0,0,2)P …………………………8分假设存在M 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤,即CM CP λ=u u u u r u u u r , 易得平面PBD的一个法向量为BC =u u u r. …………………………9分设(,,)x y z =n 为平面ABM的一个法向量，(AB u u u r=，(,2)AM AC CM AC CP λλ=+=+=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r.由00AB AM u u u r u u u u r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0())20x y z λ⎧=⎪⎨++=⎪⎩不妨取,2)λ=-n . …………………………10分因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π，所以12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. …………………………12分 19. 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯62=．估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．…………………………3分（2）列联表如下：…………………………5分又22100(10302040) 4.761 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．………………7分（3）若选方案一：则需付款101210110⨯-=元；…………………………8分若选方案二：设付款X 元，则X 可能取值为84，96，108，120．…………………………9分 33311(84)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(96)228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，213113(108)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 30311(120)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()84961081201028888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………11分因为102110<，所以选择方案二更划算．…………………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解法一：（1）当点A 的坐标为⎛ ⎝⎭时，OA ==，所以AB =．.………………………………1分由对称性，2AF BF a +=，………………………………2分所以2a ==a =.………………………………3分将点⎛ ⎝⎭代入椭圆方程22218x y b +=中，解得24b =，所以椭圆方程为22184x y +=．.………………………………5分（2）当直线AB 的斜率不存在时，CD =此时122ACD S ∆=⨯=…………………………6分当直线AB 的斜率存在时，设直线CD 的方程为(2)(0)y k x k =+≠．由22(2),28,y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得：2222(12)8880k x k x k +++-=．…………………………7分显然0∆>>，设1122(,),(,)C x y D x y ，则212221228,1288,12k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………………8分故12CD x x -==)22112k k +=+．………………………………9分因为CD AB λ=u u u v u u u v()λ∈R ，所以//CD AB ，所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD的距离d =，…………………………9分所以12ACD S CD d ∆=⨯⨯)22112k k+=+=…………………………10分===，因为2121k +>，所以()2210112k<<+，所以0ACD S ∆<<综上，ACD S ∆∈．………………………………12分解法二：（1）设(,0)F c-，根据题意，可得…………………1分=2c=±．由0c>，得2c=．………………………………3分所以224a b-=，又因为221712a b+=，解得228,4a b==，所以椭圆的方程为22184x y+=．………………………………5分(2)由（1）得(2,0)F-，设直线CD的方程为：2x ty=-，联立222,1,84x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x得：22(2)440t y ty+--=，………………………………6分232(1)0t∆=+>，设1122(,),(,)C x yD x y，则1121124,24,2ty yty yt⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………………7分所以||CD==，………………………………8分因为CD ABλ=u u u v u u u v，所以//CD AB，所以O到直线CD的距离即为点A到直线CD的距离，点O到直线CD：20x ty-+=的距离d=，………………………………9分所以ACD∆的面积12ACDS∆==………………………………10分令21(1)m t m=+≥，则ACDS∆=（当且仅当0t=时取等号）. ………………………11分所以ACD∆的面积取值范围为(0,. ………………………………12分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．（1）解：当0x≤时，()e12xf x-=+≥.………………………………1分当0x >时，()0f x =>.………………………………2分∴()f x 的值域为(0,)+∞．………………………………3分令(()1)f f x m +=，Q ()11f x +>，∴(()1)2f f x +>， ∴2m >.………………………………4分又()f x 的单调减区间为(,0]-∞，增区间为(0,)+∞. 设1()1f x t +=，2()1f x t +=，且10t <，21t >．∴1()1f x t =-无解.从而2()1f x t =-要有两个不同的根，应满足212t -≥，∴23t ≥.………………………………5分∴2()(()1)f t f f x =+≥即m ≥∴m 的最小值为………………………………6分(2) (()1)y f f x m =+-有两个零点1x 、2x 且12x x <，设()f x t =，[2,)t ∈+∞，∴1e 1x t -+=，∴1ln(1)x t =--.t ，∴224t x =.∴2ln(1)14t a t --+≥对[2,)t ∈+∞恒成立. ………………………………7分设2()ln(1)14t h t a t =--+-，2'2()122(1)a t t t a h t t t ---=+=--.……………………………8分 Q [2,)t ∈+∞，∴2[2,)t t -∈+∞恒成立. ∴当22a ≤，即1a ≤时，'()0h t ≥，∴()h t 在[2,)+∞上单调递增.∴()(2)ln1110h t h a ≥=-+-=成立. ……………………………10分当1a >时，设2()2g t t t a =--.由(2)422220g a a =--=-<.∴0(2,)t ∃∈+∞，使得0()0g t =.且当0(2,)t t ∈时，()0g t <，0(,)t t ∈+∞时，()0g t >.∴当0(2,)t t ∈时，()h t 单调递减，此时()(2)0h t h <=不符合题意.综上，1a ≤.……………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）由2222(1)(2)))5x y ϕϕ-+-=+=，得曲线C 的普通方程为22(1)(2)5x y -+-=，……………………………1分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入该式化简得曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=+. ……………………………3分因为直线l：y =是过原点且倾斜角为3π的直线，所以直线l 的极坐标方程为：()3πθρ=∈R ．……………………………5分（2）把3πθ=代入2cos 4sin ρθθ=+得1ρ=+，故||1OA =+，把6πθ=代入2cos 4sin ρθθ=+得2ρ=+||2OB =+……………………………7分因为366AOB πππ∠=-=, ……………………………8分所以OAB ∆的面积为1||||sin 26S OA OB π=⋅⋅……………………………10分解法二:（1）同解法一；（2）由（1）及题知可得C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y -+-=，直线l的直角坐标方程为y =，直线m的直角坐标方程为y =.……………………………6分联立22(1)(2)5,,x y y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩得(0,0),O A .联立22(1)(2)5,,x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩得(0,0),O B .故||1OA =+||2OB =+ ……………………………8分因为366AOB πππ∠=-=, 所以OAB ∆的面积为：1||||sin 26S OA OB π=⋅⋅. ……………………………10分 23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,01(2)(1)|21|||13,0211,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由(2)(1)2f x f x -+≥得：0,12x x ≤⎧⎨-≥⎩或10,2132x x ⎧<<⎪⎨⎪-≥⎩或1,21 2.x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩ ……………………………3分解得1x ≤-或x ∈∅或3x ≥，所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-+∞U .……………………………5分（2）(3)2a b f +==，又0a >，0b >，……………………………6分成立，只需证22≤成立， ……………………………7分即证28a b +++，2成立， ……………………………8分因为0a >，0b >，所以根据基本不等式(1)(1)22a b +++=成立，故命题得证． ……………………………10分解法二：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,0,1(2)(1)|21|||13,0,211,.2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩……………………………2分作出函数()(2)(1)g x f x f x =-+的图像（如下图）因为直线2y =和函数()g x 图像的交点坐标为(1,2)A -, (3,2)B . ……………………………4分所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-+∞U ．……………………………5分（2）(3)2a b f +==，……………………………6分又0a >，0b >，32a +32b +， ……………………………8分33422a b ++≤+=，……………………………9分成立．……………………………10分。

福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学(理)

福建宁德2019高中毕业班单科质量检查-数学（理）数学〔理科〕试题本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题)两部分.本卷总分值150分，考试时间120分钟.本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准葡正号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答親示号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清晰.参考公式：第I卷〔选择题共50分〕—、选择题：本:^共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 假设集合，，那么A. B. C. M = N D.2. 假设a,b是向量，那么"a=b”是“|a|=|b|”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，假设终边通过点，那么等于A. B. C. D.4. 一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如右图所示，那么那个三棱柱的侧视图的面积为A. B. 2 C. D. 45. 以下函数f(x)中，满足"！且"的是A. B. , C. D.6. 曲线y2=x与直线y= x所围成的图形的面积为A. B. C. D.7. m，n为两条不同直线，为两个不同平面，直线平面a,直线平面，给中正确命题为A.①③B.②③C.②④D.①④8. 平面上动点P到定点F与定直线/的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y-1,那么他的建系方式是9. 在中，，且，那么AC+2AB的最小值为A. B. C.4D.10. 假设函数f(x)关于任意，恒有为常数〕成立，那么称函数f(x)在[a,b]上具有”T级线性逼近”给出以下函数：①.；②；③；④那么在区间[1,2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为A.1B.2C.3D.4第II卷〔非选择题共100分〕【二】填空题:本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11. 假设、,其中，i是虚数单位，那么a=_______12.运行右图所示的程序，输入3，4时，那么输出______.13.假设直线x-y+t=0与圆，相交所得的弦长为，那么t的值等于______.14. 变量x，y满足约束条件假设目标函数仅在点(3，0)处取得最大值，那么实数a的取值范围为______.15. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端动身再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°;......；依此规律得到n级分形图，那么n级分形图中所有线段的长度之和为.______【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.16. (本小题总分值13分〕二次函数为偶函数，且.(I)求函数f(x)的解析式；(II)假设函数在区间[-2,2]上单调递减，求实数k的取值范围.17. (本小题总分值13分〕函数，的最小正周期为.(I)求函数y=f(x)的最值及其单调递增区间；(II)函数f(x)的图象能够由函数的图象通过怎么样的变换得到？18. (本小题总分值13分〕椭圆的左焦点为F,右顶点为A，离心率.(I)假设点F在直线l:x-y+1=0上，求椭圆E的方程；(II)假设0<a<1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得假设存在，求出点P的个数；假设不存在，请说明理由.19. (本小题总分值13分〕如图〔1)，在直角梯形ABCD中，AB//CD,,CD=2AB=2,,E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形，如图〔2).(I)求证：；(II)线段上是否存在点M，使得E M//平面DB'B,假设存在，确定点M的位置；假设不存在，请说明理由；(III)求平面与平面所成的锐二面角的大小.20. (本小题总分值14分〕一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到11月份新款家电M的部分销售资料.资料显示：11月2日开始，每天的销售量比前一天多t台(t为常数)，期间某天由于商家提高了家电M的价格，从当天起，每天的销售量比前一天少2台.11月份前2天共售出8台，11月5日的销售量为18台.(I)假设商家在11月1日至15日之间未提价，试求这15天家电M的总销售量.(II)假设11月1日至15日的总销售量为414台，试求11月份的哪一天，该商场售出家电M的台数最多？并求这一天售出的台数.21. (本小题总分值14分〕函数•(I) 当a>0时，求函数.的极值；(II)假设存在，使得成立，求实数a的取值范围；(III)求证：当x>0时，.(说明：e为自然对数的底数，〕。

2019年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学含评分标准

x 2 2cos , （为参数）．以该直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建 y 2sin
立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 2 3 cos 2sin ．（Ⅰ）分别求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 l 交曲线 C1 于 O, A 两点，交曲线 C 2 于 O, B 两点，求 AB 的长．
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2 1．已知集合 A x x 1 ， B x x 2 x 3 0 ，则 A

B
D． x x 1
A． x 1 x 3
B． x x 1
(1) 2S 3an 3, 当 n 2 时， n ……………………2 分 2Sn 1 3an 1 3, (2)
(1) (2) 得： 2an 3an 3an 1 ， an 3an 1 ，即
an 3 ，……………………4 分 an 1
数列 an 是首项为 3 ，公比为 3 的等比数列，……………………5 分
an 3n ．……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a2n1 32n1 ， bn log3 32n1 2n 1 ，……………………7 分

1 1 1 1 1 ，……………………8 分 bn bn1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
1 1 1 ，……………………10 分 2 2n 1
n N*, 0
1 1 1 1 ， Tn ．………………………………12 分 2n 1 3 3 2

【宁德二检】2019年5月宁德市质检数学答案

= 2x2 4x ．
···································································· 5 分
当 x 3 时，
2
原式= 2 3 4 3
····························································· 6 分
G
∵点 F，G 分别是 AC，AB 的中点，
A
C
D
F
∴GF∥BC．
································ 4 分
∴∠BCA =∠EFD． ································5 分
E
∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF． ······························· 8 分
∴∠FEB=90°－∠ABE=60°．
D′
A
E
∴∠FBE=∠FEB=60°．·································6 分
∴∠AB G=∠FBE－∠ABE=30°．
∴AG=
1 2
AB=2．··········································
7
∴OA=OC=OB=OD，
∴点 A，B，C，D 都在以 OC 为半径的⊙O 上．······ 8 分
连接 OB，BC，作 OM⊥BC 于点 M．
则∠OMB=90°，∠BOC=2∠BDC．
∵OC=OB，
∴∠COM= 1 ∠BOC=∠BDC，CM= 1 BC=4．········ 11 分

2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷

2019年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考公式：第I 卷（选择题共50分）一、选择题：1．若集合{}0,1,2,3A =，{}0,1B=，{C x x A =∈且}x B ∉，则集合C 等于 A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,12．若各项均不为零的数列{}n a 满足*12()n n a a n N +=∈，则4321a a a a ⋅⋅的值等于 A ．4 B ．8 C ．16 D ．643．设i 为虚数单位，,a b 为实数，则“0ab <”是“复数i(i)z a b =+在复平面上对应的点在第一象限”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 4．已知三次函数()y f x =的图象如右图所示，则该函数的导函数的图象是5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若01,2,120a b C ===，则sin sin AC的值为 A B C D6．将函数()sin f x x x =-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 7．若在边长为4的等边三角形OAB 的边OB 上任取一点P ，则使得6OA OP ⋅≥的概率为A ．34B ．23C ．13D ．148．已知函数()2xf x =，若存在x ∈R ，使得不等式12()()f x k f x +≤成立，则实数k 的最小值是A ．3B ．C ．2 D9．设不等式组10,2,0x y x y --≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为1S ，若2221log S xdx =⎰，则1S 与2S 满足A ．12102S S <-<B ．12112S S <-<C ．12102S S -<-<D ．12112S S -<-<-10．将双曲线222x y -=绕原点逆时针旋转45后可得到双曲线1y x=．据此类推可求得双曲线41x y x -=-的焦距为 A ． B ． C ．4 D ．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．2019年1月9日，是中国承诺全面履行世界卫生组织《烟草控制框架公约》在公共场所实现全面禁烟的最后期限．右图为某社区100名志愿者在2019年12月参加社区控烟活动的次数统计条形图，则该100名志愿者在2019年12月参加社区控烟活动的人均次数x = ．，，(n x x ++- A B C D俯视图正视图侧视图12 为______________．13．若圆C ：22264390x y x ay a ++-++=（0a ≠的点均在第二象限内，则实数a 14．若6560156(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-++-+-，则5a =____________．15．由方程21x x y -=所确定的,x y 的函数关系记为()y f x =.给出如下结论：① ()f x 是R 上的单调递增函数；②对于任意x ∈R ，()()2f x f x +-=-恒成立；③存在0(1,0)x ∈-，使得过点(1,(1))A f ，00(,())B x f x 的直线与曲线()y f x =恰有两个公共点．其中正确的结论为 (写出所有正确结论的序号) ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin (0)f x x x ϕϕϕϕ=+⋅-<<π在2x π=处取得最值．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若数列{}n x 是首项与公差均为4π的等差数列，求122011()()()f x f x f x +++的值．17．(本小题满分13分)如图，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且120BAE ∠=，4AE AB ==，2AD =，,F G H,分别为,,BE AE BC 的中点．（Ⅰ）求证：直线DE 与平面FGH 平行；（Ⅱ）若点P 在直线GF 上，且二面角D BP A -- 的大小为4π，试确定点P 的位置．A BC DEFGH（背面还有试题）18．(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，:220l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．（Ⅰ）若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若线段．．AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，求a 的取值范围．19．(本小题满分13分)某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x ，y （x ，{1,2,3}y ∈），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．20．(本小题满分14分)已知函数2()4ln f x ax bx c x =+++的极值点为1和2．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）试讨论方程2()3f x x =根的个数；（Ⅲ）设2113()()442h x f x x x =-+，斜率为k 的直线与曲线()y h x =交于11(,),A x y 22(,)B x y 12()x x <两点，试比较1k与122x x +的大小，并给予证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵13a M d ⎛⎫= ⎪⎝⎭有特征值1λ=-及对应的一个特征向量113⎛⎫= ⎪-⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设曲线C 在矩阵M 的作用下得到的方程为2221x y +=，求曲线C 的方程．（2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221,21x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （t 为参数），若圆P 在以该直角坐标系的原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos 30ρρθ-+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和圆P 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 是曲线C 上的动点，点B 是圆P 上的动点，求AB 的最小值．（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12f x x x =++-，不等式()t f x ≤在R 上恒成立．（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）记t 的最大值为T ，若正实数,,a b c 满足222a b c T ++=，求2a b c ++的最大值．2019年宁德市高三质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1.B 2.C 3. B 4. A 5.B 6.A 7.D 8.A 9.C 10.D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分. 11.2.3 12.43π 13. (0,3) 14. 6 15. ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、诱导公式、三角函数的图象和性质、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分13分. 解：（Ⅰ）2()sin 2cos (2cos 1)sin f x x x ϕϕ=+-⋅sin 2cos cos 2sin x x ϕϕ=+sin(2)x ϕ=+. …………………3分由已知得,2k k ϕππ+=π+∈Z ，又0ϕ<<π，∴2ϕπ=. .…………………5分 ∴()f x sin(2)cos 22x x π=+=．T =π. …………………7分（Ⅱ）由已知得(1)444n n x n πππ=+-=， …………………8分 ∴1234()()()()0f x f x f x f x +++=， …………………10分又∵cos2n y π=的周期为4， ∴1220102011()()()()f x f x f x f x ++++200920102011123()()()()()()f x f x f x f x f x f x =++=++cos cos cos 122π3π=+π+=-． …………………13分17. 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. （Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，∴M ∈平面FGH ，…………………3分又//MG DE ，且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．…………………6分（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AP ，则AP ⊥平面ABCD .以A 为原点，AP 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐标系A xyz -.∴(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),,0)A B D E G F --. ∴(0,2,0)GF =，(0,4,2)BD =-，(35,0)BG =-． …………………8分设(0,2,0)GP GF λλ==，则(35,0)BP BG GP λ=+=-. 设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,BP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪⎩取3y ，得z =52x λ=-，∴1(52λ=-n ．又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ， .…………………11分∴121212cos ,⋅===⋅n n n n n n ，解得1λ=或4.故GP GF=或4GP GF =（P 或P ）. …………………13分18. 本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、探究意识，考查数形结合思想、函数与方程的思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：，故a =， …………………1分由(2,0)A ，得2a =，∴b =， …………………4分所以所求的椭圆方程为22142x y +=. …………………5分（Ⅱ）由e =，可设椭圆方程为222212x yb b+=，联立22221,2220x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22322202x x b -+-=， …………………7分已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程22322202x x b -+-=在[0,2]x ∈上有解.………………9分 ∴22223324222()2233a b x x x ==-+=-+，由[0,2]x ∈，故2443a ≤≤，故所求的a2a ≤≤. …………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由e =，设椭圆方程为222221x y a a+=，联立222221,220x ya ax y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得226840y y a -+-=， …………………7分已知线段AB 上存在点P 满足122PF PF a +=，即线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程226840y y a -+-=在[0,1]y ∈有解. …………………9分设22()684f y y y a =-+-，∴0,(0)0(1)0,f f ∆≥⎧⎨≥≥⎩或，解得2224,34020,a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥-≥⎩或 ∴2443a ≤≤，故所求的a2a ≤≤. …………………13分 19. 本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识，考查化归与转化思想、或然与必然思想．满分13分.解:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9个， …………………2分设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A ，且事件A 所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2个， ∴2()9P A =. …………………4分（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为100,900,9900-. …………………5分 999(100)1000P ξ=-=，177(900)100099000P ξ==⋅=， 122(9900)100099000P ξ==⋅=． ∴ξ的分布列为8分∴99972100900990097100090009000E ξ=-⨯+⨯+⨯=-． …………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为97-. ∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为9710000970000⨯=元=97万元， ∵9796>，∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. …………13分20. 本题考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想．满分14分.解：（Ⅰ）2424()2ax bx f x ax b x x++'=++=，(0,)x ∈+∞，……………… 1分由()y f x =的极值点为1和2， ∴2240ax bx ++=的根为1和2， ∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩……………………3分2264ln c x x x =+-，设2()264ln g x x x x =+-， (0,)x ∈+∞.242(232)2(21)(2)()46x x x x g x x x x x+--+'=+-==， ………………5分当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：由此得，函数()y g x =的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞.…6分∴min 1117()264ln 4ln 24222g x =⨯+⨯-=+，且当x 正向趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞. ………………7分 ∴当74ln 22c =+时，方程只有一解；当74ln 22c >+时，方程有两解；当74ln 22c <+时，方程无解. ………………9分（Ⅲ）1212x xk +<. ……………10分证明：由（Ⅰ）得2()64ln f x x x c x =-++，∴2121ln ln ()ln ,4x x ch x x k x x -=+=-，210x x >>.要证1212x x k +<，即证211221ln ln 2x x x x x x -+<-，只需证221121112ln x x x x x x -+<，（因为22111,ln 0x xx x >>）即证2212112(1)ln1x x x x x x ->+．只需证2212112(1)ln 01x x x x x x -->+．（*）…………………12分设2(1)()ln x x x ϕ-=-(1)x >， 2'2214(1)()0(1)(1)x x x x x x ϕ-=-=>++，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)0x ϕϕ>=，∴不等式（*）成立. ∴1212x xk +<． ………………… 14分 21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）13a d ⎛⎫⎪⎝⎭13⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=-⨯13⎛⎫ ⎪-⎝⎭=13-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴31,33 3.a d -=-⎧⎨-=⎩ 解得2,0.a d =⎧⎨=⎩∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………………4分（Ⅱ）设点(,)A x y 为曲线C 上的任一点，它在矩阵M 的作用下得到的点为(,)A x y '''，则2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩ 代入2221x y +=得()2222(3)1x y x ++⋅=，所以所求的曲线方程为222241x xy y ++=. .…………………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为210(1)x y x --=≥，圆P 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=. …………………4分（Ⅱ）求AB 的最小值可转化为求PA 的最小值.该射线的反向过圆心P 作射线210(1)x y x --=≥的垂线，垂足E 在延长线上，当点A 在射线的端点时，PA=此时EA 的长最小，故此时PA 取最小值.1. …………………7分（3）本题主要考查利用绝对值不等式的基本性质求解和证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分．解：（Ⅰ）()12(1)(2)3f x x x x x =++-≥+--=，()3f x ∴=. …………………2分不等式()t f x ≤在R 上恒成立，min ()3t f x ∴≤=， t 的取值范围为(,3]-∞. …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得max 3T t ==，由柯西不等式得：2222222(2)(121)()18a b c a b c ++≤++++=，2a b c ∴++≤ …………………5分当且仅当121a b c ==即a b c ==时，2a b c ++的最大值为 …………………7分。

《精品》福建省宁德市2019届普通高中毕业班第二次(5月)质量检查数学(理)试卷(图片版)

2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．35- 14．32 15． 16．[e,)+∞三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解：（Ⅰ）由已知得2222(),n S n kn n k k =-=--因为*k ∈N ，当n k =时，2min ()9n S k =-=-，…………………………1分故3k =；………………………… 2分所以26n S n n =-.…………………………3分因为21(1)6(1)n S n n -=---，(2)n ≥所以221(6)[(1)6(1)]n n n a S S n n n n -=-=-----，得27n a n =-(2)n ≥.…………………………5分当1n =时，114S a =-=,综上，27n a n =-.…………………………6分（Ⅱ）依题意，()()11(27)nnn n b a n =-⋅=--,…………………………7分所以()()22+53nn n T n n +=-++-+++--+-+-…………………………8分5(222)n=-+++…………………………10分52n =-．…………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且AB //DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以BD =，……1分，又因为4,4CD BDC π=∠=,根据余弦定理得BC = …………………………2分，所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥. …………………………3分又因为B C P D ⊥, PD BD D =,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， ………………4分又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面………………5分（2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD ,设E 为BD 的中点，连结PE，因为PB PD =,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD 平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .…………………………7分如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， …………8分假设存在M(a,b,c)满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=，所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.…………………………9分设n (,,)x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00AB AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)λλ=-n . …………………………10分因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. …………………………12分解法二：（1）证明：取线段CD 的中点F ，连结AF 交BD 于E 点，连结BF ，因为//AB CD , 122AB AD CD ===,2ADC π∠=, 所以四边形ADFB 为正方形，故BD AF ⊥,…………………………1分，且E 为BD 中点,又F 为线段CD 的中点，所以//EF BC 且BC BD ⊥…………………………3分，又因为BC PD ⊥, PD BD D =,且BD ,PD ⊂平面PBD 所以BC ⊥平面PBD ， …………………………4分又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD …………………………5分（2）连结EP，因为PB PD ==E 为中点,所以PE BD ⊥,2PE =, 又因为BC ⊥平面PBD ，所以PE ,DE ,EF 三线两两互相垂直，…………………………7分分别以,,ED EF EP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz - 则(0,0,0)E,(0,A,(B,(C,D ,(0,0,2)P …………………………8分假设存在M 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤,即CM CP λ=, 易得平面PBD的一个法向量为BC =. …………………………9分设(,,)x y z =n 为平面ABM的一个法向量，(AB =，(,2)AM AC CM AC CP λλ=+=+=.由00AB AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0())20x y z λ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩不妨取,2)λ=-n . …………………………10分因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π，所以12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. …………………………12分 19. 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯62=．估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．…………………………3分（2）列联表如下：………………………5分又22100(10302040) 4.761 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．………………7分（3）若选方案一：则需付款101210110⨯-=元；…………………………8分若选方案二：设付款X 元，则X 可能取值为84，96，108，120．…………………………9分33311(84)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(96)228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，213113(108)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 30311(120)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()84961081201028888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………11分因为102110<，所以选择方案二更划算．…………………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解法一：（1）当点A的坐标为⎛ ⎝⎭时，OA =，所以AB =.………………………………1分由对称性，2AF BF a +=，………………………………2分所以2a ==a =．.………………………………3分将点⎛ ⎝⎭代入椭圆方程22218x y b +=中，解得24b =，所以椭圆方程为22184x y +=．.………………………………5分（2）当直线AB的斜率不存在时，CD =此时122ACD S ∆=⨯=．…………………………6分当直线AB 的斜率存在时，设直线CD 的方程为(2)(0)y k x k =+≠．由22(2),28,y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得：2222(12)8880k x k x k +++-=．…………………………7分显然0∆>>，设1122(,),(,)C x y D x y ，则212221228,1288,12k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ ………………………………8分故12CD x x -==)22112k k +=+．………………………………9分因为CD AB λ=()λ∈R ，所以//CD AB ，所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD的距离d =…………………………9分所以12ACD S CD d ∆=⨯⨯)22112k k +=+=…………………………10分===因为2121k +>，所以()2210112k<<+，所以0ACD S∆<<综上，ACD S ∆∈．………………………………12分解法二：（1）设(,0)F c -，根据题意，可得…………………1分2c =±．由0c >，得2c =． ………………………………3分所以224a b -=，又因为221712a b +=，解得228,4a b ==，所以椭圆的方程为22184x y +=． ………………………………5分(2)由（1）得(2,0)F -，设直线CD 的方程为：2x ty =-，联立222,1,84x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(2)440t y ty +--=，………………………………6分232(1)0t ∆=+>，设1122(,),(,)C x y D x y ，则1121124,24,2t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………………7分所以||CD == ………………………………8分因为CD AB λ=，所以//CD AB ，所以O 到直线CD 的距离即为点A 到直线CD 的距离，点O 到直线CD ：20x ty -+=的距离d = ，………………………………9分所以A∆的面积12ACDS ∆== ………………………………10分令21(1)m t m =+≥，则ACD S ∆==（当且仅当0t =时取等号）. ………………………11分所以ACD ∆的面积取值范围为. ………………………………12分21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．（1）解：当0x ≤时，()e 12x f x -=+≥.………………………………1分当0x >时，()0f x =.………………………………2分∴()f x 的值域为(0,)+∞．………………………………3分令(()1)f f x m +=，()11f x +>，∴(()1)2f f x +>，∴2m >.………………………………4分又()f x 的单调减区间为(,0]-∞，增区间为(0,)+∞. 设1()1f x t +=，2()1f x t +=，且10t <，21t >．∴1()1f x t =-无解.从而2()1f x t=-要有两个不同的根，应满足212t -≥，∴23t ≥.………………………………5分∴2()(()1)f t f f x =+≥即m ≥∴m 的最小值为.………………………………6分(2) (()1)y f f x m =+-有两个零点1x 、2x 且12x x <，设()f x t =，[2,)t ∈+∞，∴1e 1x t -+=，∴1ln(1)x t =--.t ，∴224t x =.∴2ln(1)14t a t --+≥对[2,)t ∈+∞恒成立. ………………………………7分设2()ln(1)14t h t a t =--+-，2'2()122(1)a t t t ah t t t ---=+=--.……………………………8分 [2,)t ∈+∞，∴2[2,)t t -∈+∞恒成立.∴当22a ≤，即1a ≤时，'()0h t ≥， ∴()h t 在[2,)+∞上单调递增.∴()(2)ln1110h t h a ≥=-+-=成立. ……………………………10分当1a >时，设2()2g t t t a =--.由(2)422220g a a =--=-<.∴0(2,)t ∃∈+∞，使得0()0g t =.且当0(2,)t t ∈时，()0g t <，0(,)t t ∈+∞时，()0g t >.∴当0(2,)t t ∈时，()h t 单调递减，此时()(2)0h t h <=不符合题意.综上，1a ≤.……………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）由2222(1)(2)))5x y ϕϕ-+-=+=，得曲线C 的普通方程为22(1)(2)5x y -+-=，……………………………1分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入该式化简得曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=+. ……………………………3分因为直线l：y =是过原点且倾斜角为3π的直线，所以直线l 的极坐标方程为：()3πθρ=∈R ．……………………………5分（2）把3πθ=代入2cos 4sin ρθθ=+得1ρ=+||1OA =+，把6πθ=代入2c o ρθθ=+得2ρ=+，故||23OB =……………………………7分因为366AOB πππ∠=-=, ……………………………8分所以OAB ∆的面积为1||||sin 26S OA OB π=⋅⋅=. ……………………………10分解法二:（1）同解法一；（2）由（1）及题知可得C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为y ，直线m 的直角坐标方程为y =.……………………………6分联立22(1)(2)5,,x y y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩得(0,0),O A .联立22(1)(2)5,,x y y x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩得(0,0),O B .故||1OA =+，||2OB =+ ……………………………8分因为366AOB πππ∠=-=, 所以OAB ∆的面积为：1||||sin 26S OA OB π=⋅⋅= . ……………………………10分 23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,01(2)(1)|21|||13,0211,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由(2)(1)2f x f x -+≥得：0,12x x ≤⎧⎨-≥⎩或10,2132x x ⎧<<⎪⎨⎪-≥⎩或1,21 2.x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩ ……………………………3分解得1x ≤-或x ∈∅或3x ≥，所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-+∞.……………………………5分（2）(3)2a b f +==，又0a >，0b >，……………………………6分只需证22≤成立， ……………………………7分即证28a b +++，2成立， ……………………………8分因为0a >，0b >，所以根据基本不等式(1)(1)22a b +++≤=成立，故命题得证． ……………………………10分解法二：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,0,1(2)(1)|21|||13,0,211,.2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩……………………………2分作出函数()(2)(1)g x f x f x =-+的图像（如下图）因为直线2y =和函数()g x 图像的交点坐标为(1,2)A -,(3,2)B . ……………………………4分所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-+∞．……………………………5分（2）(3)2a b f +==，……………………………6分又0a >，0b >，32a +32b +， ……………………………8分33422a b +++=，……………………………9分……………………………10分。

2019年宁德市普通高中毕业班第一次质量检测理科数学答案

1 1 1 SABC bc sin A 4 3 3 ．………………………………6 分 2 2 2
法二：由余弦定理得， 2c 3b 2a
b 2 c 2 a 2 3bc ，
a 2 c 2 b2 ，………………………………1 分 2ac
cos A
an 3n ．……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a2n1 32n1 ， bn log3 32n1 2n 1 ，……………………7 分

1 1 1 1 1 ，……………………8 分 bn bn1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
（Ⅱ）由正弦定理得：
a b c 7 2 7 ，………………………………7 分 1 sin A sin B sin C 2
5 3b c 2 7 3 sin B sin B 6
3 1 2 7 B ．………………………………9 分 2 sin B 2 cos B 2 7 sin 6
B 0, ,sin B 0 ，
cos A 3 ， 2
A 0, ，∴ A 6．………………………………3 分
由余弦定理得： 7 b2 3 2 3
3 b ，………………………………4 分 2
b2 3b 4 0 ， b 4 b 1 0 ， b 4 （负值舍去），………………………………5 分
C
y
2
2
B
x
易得平面 PAC 的一个法向量为 n1 (0,1, 0) ，………………… 10 分 ∴设平面 PAB 的一个法向量为 n2 ( x, y, z ) ，又 AB (2, 2 3,0) ， AP (1,0, 3) ，

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