函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
函数与数列的极限的强化练习题答案28页word文档
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，Csin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q {}n x 收敛时，数列n x 有界（即n x M ≤），反之不成立，（如(){}11n --有界，但不收敛，选A6．当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （ ）A 12B 1C 2D -2解：Q 2211sin lim lim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++ 112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是 解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或 ∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin 1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 求()f x解：22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1） 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+-(2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+- 16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
函数极限习题及解析
函数极限习题及解析1. 极限的定义函数极限是研究函数变化趋势的重要概念，通过求取函数在某一点附近的极限值，可以推断函数在该点的行为。
函数极限的定义如下：对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时，有 |f(x)-L| < ε 成立，那么称函数 f(x) 在 x=a 处具有极限 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式在计算极限的过程中，常常会用到一些基本的极限公式，它们的证明可以依靠函数极限的定义以及一些基础的数学概念。
以下是一些常见的基本极限公式：公式1：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
公式2：lim(x→a) x = a。
lim(x→a) x = a。
公式3：lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
公式4：lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
公式5：lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
lim(x→a) (f(x) ± g(x)) =lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
3. 极限的题和解析题1：求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解析：直接代入 x = 1，得到 f(x) = 0/0，这种形式的函数是无法通过直接代入求得极限的。
我们可以对该函数进行化简，得到 f(x) = x + 1。
高一数学函数与极限分析练习题及答案
高一数学函数与极限分析练习题及答案一、选择题1. 设函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，其定义域为$[-1,1]$，关于该函数，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递增B. $f(x)$在$[-1,1]$上单调递减C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得最大值D. $f(x)$在$x=0$处取得最大值答案：D2. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：D3. 设函数$f(x)=e^x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C4. 设函数$f(x)=\sin x$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处连续B. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处可导C. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限存在D. $f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处极限不存在答案：B、C5. 设函数$f(x)=x^3$，下列说法正确的是：A. $f(x)$在$x=0$处连续B. $f(x)$在$x=0$处可导C. $f(x)$在$x=0$处极限存在D. $f(x)$在$x=0$处极限不存在答案：A、B、C二、填空题1. 函数$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{2}$处的导数为______。
答案：12. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为______。
答案：无穷大或$+\infty$3. 函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的连续性、可导性、极限存在性均为______。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题(二)一. 选择题1.设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数， "M 一 N" 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必 有( ).(A) F(x) 是偶函数 一 f (x) )是奇函数. (B) F(x) 是奇函数 一 f (x) 是偶函数. (C) F(x) 是周期函数 一 f (x) 是周期函数 . (D) F(x) 是单调函数 一 f (x) 是单调函数 2．设函数 f (x) = 1x, 则( ) e x 11(A) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第一类间断点 .(B) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第二类间断点(C) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点， x = 1 是 f (x) 的第二类间断点 . (D) x = 0 是 f (x) 的第二类间断点， x = 1是 f (x) 的第一类间断点 . 3．设 f (x ) =x 1x， x 丰 0、1，，则 f [1f(x)] = ( )11A) 1x B) 1 x C) X D) x4．下列各式正确的是 ( )1 x1xx0+x x0+x C) lim (1 1)x= e D) lim (1+ 1) x= exx xx5．已知 lim (x + a )x= 9 ，则 a = ( )。
x x aA.1；B. ；C. ln 3；D. 2 ln 3 。
6．极限： lim (x 1)x= ( )xx +1A.1；B. ；C. e 2；D. e 2 。
7 ．极限： lim x 3+ 2 = ( )x x 3A.1；B. ；C.0；D.2．A) lim (1+ ) = 1 B) lim (1+ ) = e8．极限： lim x + 1 - 1 = ( )A.0；B. w ； C 1； D.2．29. 极限：x( x 2 + x - x) = ( )A.0；B. w ；C.2；D. 1 ． 210．极限 : limtan x - sin x = ( )A.0；B. w ；C. 1 ；D.16．16二. 填空题 11．极限 x li wm x sin=； 12. x l 0im arctanxx=；13. 若 y = f (x) 在点 x 0 连续，则 lim [f (x) - f (x 0 )]= ；x)x 014. lim = ；x)0x215. lim (1 - )n = ；n)wn16. 若函数 y =，则它的间断点是17. 绝对值函数(x, x > 0;f (x) = x =〈|l0,-x, x x 00;．其定义域是， 值域是。
高三数学函数极限试题答案及解析
高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.计算：= .【答案】【解析】这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），化为一般可求极限型，即．【考点】“”型极限3.计算：=_________．【答案】3【解析】这种极限可先把待求极限式变形，然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法，．【考点】“”型极限．4.若，则．【答案】【解析】由已知可得，所以，解得．【考点】极限的计算5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
6.等差数列，的前n项和分别为，则【答案】【解析】解：7.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.8.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略9.设，求的最大值【答案】【解析】略10.___________【答案】【解析】略11.函数在点处可导，则，b=【答案】【解析】略12.极限存在是函数在点处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（）A．B．0C．D．不存在【答案】A【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17. .【答案】【解析】略18.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=19.已知，则的值为 .【答案】-8【解析】略20. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题及答案(二)1.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(。
)。
A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数。
答案：D2.设函数f(x) = 1/(ex(x-1)),则(。
)。
A）x = -1，x = 1都是f(x)的第一类间断点。
（B）x = -1，x = 1都是f(x)的第二类间断点。
（C）x = 1是f(x)的第一类间断点，x = 1是f(x)的第二类间断点。
（D）x = 1是f(x)的第二类间断点，x = 1是f(x)的第一类间断点。
答案：C3.设f(x) = [1/(x-1)]。
x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)，x ≠ 1，则f[1.x] = (。
)。
A）1-x；（B）1-x2；（C）1-x；（D）1-x2.答案：A4.下列各式正确的是(。
)。
A）limx→+∞x/(x+1) = 1；（B）limx→0xsin(1/x) = 0；（C）limx→1(x-1)/(x2-1) = 1/2；（D）limx→∞(1-1/x)e-x = 0.答案：A5.已知limx→∞[(x3+2)/(x3+1)] = a，则a = (。
)。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2ln3.答案：C6.极限：lim(x→+∞)[(x+1)/(x2+2)] = （）。
A）1；（B）∞；（C）e；（D）2.答案：A7.极限：lim(x→0)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：C8.极限：lim(x→∞)(x+1-1)/x2 = （）。
A）0；（B）∞；（C）1；（D）2.答案：A9.极限：lim(x→+∞)(x2+x-x)/x = （）。
A）0；（B）∞；（C）2；（D）1.答案：C10.极限：lim(x→π/4)(tanx-sinx)/(sin3x/2) = （）。
考点01 数列强化练习1(解析版)
考点01 数列强化训练11.（2020•漳州一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝n+3，则a n＝（）A．1+2n B．C．1+2n﹣1D．【解答】解：由a n+S n＝n+3可得当n＝1时，a1+S1＝4，∴a1＝2；当n≥2时，a n﹣1+S n﹣1＝n+2，两式相减可得，∴，则数列{a n﹣1}是首项为1，公比为的等比数列，即，当n＝1时，，满足a1＝2，∴，故选：B．【知识点】数列递推式2.（2020•马鞍山一模）已知等差数列{a n}，a n+m＝a m+n（n≠m，n，m∈N*），数列{b n}满足b n＝a2n+1+a2n﹣1，则b2020﹣b2019＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a n+m＝a m+n，得a m+（n﹣m）d+m＝a m+n，即d＝1．又b n＝a2n+1+a2n﹣1，∴b2020﹣b2019＝（a4041+a4039）﹣（a4039+a4037）＝a4041﹣a4037＝4d＝4．故选：C．【知识点】数列递推式3.（2020•茂名一模）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5＝a3+16，a1＝1，则a2+a6＝（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5＝a3+16，a1＝1，∴5+d＝1+2d+16，解得d＝．则a2+a6＝2+6×＝11．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和4.（2020•江西一模）数列{a n}，{b n}为等差数列，前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为{a n}，{b n}为等差数列，且，所以＝＝＝＝＝，故选：A．【知识点】等差数列的性质5.（2020•沈阳一模）已知正项等比数列{a n}，满足a2•a72•a2020＝16，则a1•a2…•a1017＝（）A．41017B．21017C．41018D．21018【解答】解：根据题意，正项等比数列{a n}中，若，则有，所以a7a1011＝4，则有a509＝2，所以．故选：B．【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式6.（2020•奉贤区一模）一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个【解答】解：当一个等比数列是单调数列时，值为3的项最多有一个，或者没有；当一个等比数列是摆动数列时，值为3的项可能有无数个，举例如下：﹣3，3，﹣3，3，…这个等比数列是个摆动数列，公比是﹣1，值为3的项有无穷多个；1，3，9，…这个数列是等比数列，值为3的项仅有一个；1，4，16，…这个数列是等比数列，值为3的项有0个．综上知，一个不是常数列的等比数列中，值为3的项的项数最多有无穷多个．故选：D．【知识点】等比数列的性质7.（2020•黄山一模）已知数列{a n}满足2a1+22a2+…+2n a n＝n（n∈N*），数列的前n 项和为S n，则S2019＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2a1+22a2+…+2n a n＝n，∴n＝1时，2a1＝1，解得，n≥2时，2a1+22a2+…+2n﹣1a n﹣1＝n﹣1，两式相减，得：2n a n＝1，∴，∴＝＝＝，∴数列的前n项和：S n＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝，∴S2019＝．故选：A．【知识点】数列的求和8.（2020•岳阳一模）已知{a n}为等差数列，a3＝52，S7＝343，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19B．20C．39D．40【解答】解：由S7＝7a4＝343，得a4＝49，所以d＝a4﹣a3＝49﹣52＝﹣3，a1＝a3﹣2d＝52﹣2×（﹣3）＝58，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣3n+61．由，得n＝20．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和9.（2020•许昌一模）在各项均为正数的等比数列{a n}中，S n是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4+2a7＝，则S5＝（）A．29B．30C．31D．32【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若a1a7＝4，则（a4）2＝4，则有a4＝2，又由a4+2a7＝，则a7＝，则有q3＝＝，解可得q＝，则有a1＝＝16，则有S5＝＝＝31；故选：C．【知识点】等比数列的通项公式10.（2020•宁德一模）已知等比数列{a n}满足a1＝，4a2a4＝4a3﹣1，则a2＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，＝4×﹣1，整理可得，（q2﹣4）2＝0，∴q＝±2，∴a2＝a1q＝．故选：A．【知识点】等比数列的通项公式11.（2020•武侯区校级模拟）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），则a5等于．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+ln（1+），所以a2＝a1+ln（1+1）＝2+ln2，a3＝a2+ln（1+）＝2+ln2+ln3﹣ln2＝2+ln3，a4＝a3+ln（1+）＝2+ln3+ln4﹣ln3＝2+ln4，a5＝a4+ln（1+）＝2+ln4+ln5﹣ln3＝2+ln5，故答案为：2+ln5．【知识点】数列递推式12.（2020•普陀区一模）各项都不为零的等差数列{a n}（n∈N*）满足a2﹣2a82+3a10＝0，数列{b n}是等比数列，且a8＝b8，则b4b9b11＝．【解答】解：各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10＝0，∴+3（a1+9d）＝0，化为：a1+7d＝2＝a8，∵数列{b n}是等比数列，且b8＝a8＝2，∴b4b9b11＝．故答案为：8．【知识点】等差数列与等比数列的综合13.（2020•内江模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝3，a7a8a9＝27，则a4a5a6＝．【解答】解：依题意，a1a2a3＝＝3，得a2＝，a7a8a9＝＝27，得a8＝3，∴a4a5a6＝＝＝＝＝32＝9．故答案为：9．【知识点】等比数列的性质14.（2020•宝山区一模）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n＝a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10＝﹣．【解答】解：设c n＝a n•b n＝an2+bn+c，则，解得∴c10＝﹣1×102+5×10+3＝﹣47，故答案为：﹣47．【知识点】等差数列的前n项和15.（2020•宜宾模拟）在等差数列{a n}中，若a1＝2，a2+a3＝10，则a7＝．【解答】解：依题意，a2+a3＝10＝2a1+3d＝2×2+3d，∴d＝2，∴a7＝a1+6d＝2+12＝14，故答案为：14．【知识点】等差数列的通项公式16.（2020•景德镇一模）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，c＝1，则△ABC的面积为．【解答】解：依题意，A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°，由正弦定理即，∴sin C＝，又b＞c，∴C＜B，∴C＝30°，∴A＝90°，所以△ABC的面积为＝，故答案为：．【知识点】等差数列的通项公式17.（2020•攀枝花一模）正项等比数列{a n}满足，且2a2，，a3成等差数列，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值时的n值为．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比设为q，，且2a2，，a3成等差数列，可得a1+a1q2＝，a4＝2a2+a3，即q2＝2+q，解得q＝2，a1＝，则a n＝•2n﹣1＝2n﹣3，a n a n+1＝2n﹣3•2n﹣2＝22n﹣5，则（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）＝2﹣3•2﹣1…22n﹣5＝2﹣3﹣2+…+2n﹣5＝2＝2＝2，当n＝2时，（a1a2）•（a2a3）•…•（a n a n+1）取得最小值，故答案为：2．【知识点】等差数列与等比数列的综合18.（2020•天河区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，a n＝﹣．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则a1＝1＝20，a2＝2＝21，a3＝4＝22，，…由此可得当n≥1时，．故答案为：2n﹣1．【知识点】数列递推式19.（2020•南平一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则S n＝＝﹣•q n+＝a•2n﹣1．故q＝2，＝﹣1，解得a1＝1．a＝﹣＝﹣1．∴数列{a n}的通项公式为a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，a n+1＝2n，S n＝2n﹣1．＝＝﹣．∴T n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝1﹣．【知识点】等比数列的性质、数列的求和20.（2020•吕梁一模）已知数列{a n}满足a1＝1，（n+1）a n+1＝na n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为数列的前n项和，求证：．【解答】解：（1）由（n+1）a n+1＝na n+n+1得，（n+1）a n+1﹣na n＝n+1，取n＝1，2，3，…，n﹣1得，2a2﹣a1＝23a3﹣2a2＝34a4﹣3a3＝4，……na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝n，相加得，所以．证明：（2）由（1）得，，所以S n＝＝，因S n随n的增大而增大，所以，又S n＜2，所以．【知识点】数列递推式、数列的求和21.（2020•西安一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，由S n＝a n+1，可得当n≥2时，S n﹣1＝a n，两式相减，得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即＝2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n﹣1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）由（1）知，b n＝n•2n，n∈N*．∴S n＝1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2S n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，可得﹣S n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）•2n+1+2．【知识点】数列递推式、数列的求和22.（2020•茂名一模）已知数列{a n}满足，a1+．（1）求a1，a2的值（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：∀n∈N*，＜1．【解答】解：（1）数列{a n}满足，a1+①．当n＝1时，a1＝1．当n＝2时，，解得a2＝4．解：（2）当n≥2时，②，①﹣②得：＝n，所以（首项符合通项）．故：．证明：（3）根据题意＝，所以＝1﹣＜1，当n＝1时，．且函数为增函数，故：∀n∈N*，＜1．【知识点】数列递推式、数列的求和23.（2020•咸阳一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【解答】解：（I）证明：令n＝1，则a1＝3．∵S n＝2a n﹣2n﹣1，（n∈N+）①∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，（n≥2，n∈N+）②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2，a n＝2a n﹣1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2＝5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③﹣④得：＝，∴．【知识点】数列递推式、数列的求和24.（2020•绵阳模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b l+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得，解得．∴a n＝2n﹣3，n∈N*．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由，解得或（舍去）．∴b n＝2n，n∈N*．（2）由（1），得1+b1+b2+…+b n﹣1＝1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．则T n＝1+（1+b1）+（1+b l+b2）+…+（1+b l+b2+…+b n﹣1）．＝1+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2．【知识点】等差数列与等比数列的综合、数列的求和25.（2020•闵行区一模）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝a（a＞1），|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+d，（d＞0），n∈N*．（1）当d＝a＝2时，写出a4所有可能的值；（2）当d＝1时，若a2n＞a2n﹣1且a2n＞a2n+1对任意n∈N*恒成立，求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，若{a2n}、{a2n﹣1}分别构成等差数列，求S2n．【解答】解：（1）当d＝a＝2时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+2，即{|a n+1﹣a n|}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝2n﹣1，∴a3﹣a2＝±3，a4﹣a3＝±5，∴a3＝5，﹣1，a4＝a3±5，∴a4＝10或a4＝0或a4＝4或a4＝﹣6；（2）当d＝1时，|a n+2﹣a n+1|＝|a n+1﹣a n|+1，即{|a n+1﹣a n|}是以a﹣1为首项，1为公差的等差数列，∴|a n+1﹣a n|＝a﹣1+n﹣1＝a﹣2+n，∴|a2n+1﹣a2n|＝a﹣2+2n，|a2n﹣a2n﹣1|＝a﹣3+2n，∵a2n＞a2n﹣1，a2n＞a2n+1，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣1，∴a2n﹣1＝2﹣n，a2n＝a﹣3+2n+a2n﹣4＝a﹣1+n，∴；（3）由已知得，|a n+1﹣a n|＝a﹣1+（n﹣1）d①，若{a2n}，{a2n﹣1}分别构成等差数列，则a2n﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2）②，a2n+1﹣a2n＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1）③，a2n+2﹣a2n+1＝±（a﹣1+2nd）（n≥1）④，由②+③得，a2n+1﹣a2n﹣1＝±[a﹣1+（2n﹣1）d]±[a﹣1+（2n﹣2）d]（n≥2），∵{a2n﹣1}是等差数列，a2n+1﹣a2n﹣1必为定值，∴a2n+1﹣a2n﹣1＝[a﹣1+（2n﹣1）d]﹣[a﹣1+（2n﹣2）d]或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣[a﹣1+（2n﹣1）d]+[a﹣1+（2n﹣2）d]，即a2n+1﹣a2n﹣1＝d（n≥2）或a2n+1﹣a2n﹣1＝﹣d（n≥2），而由①知，|a3﹣a2|＝a﹣1+d，即a3﹣a2＝±（a﹣1+d），∴a3﹣a1＝a﹣1±（a﹣1+d），即a3﹣a1＝﹣d或a3﹣a1＝2（a﹣1）+d（舍），故，∴a2n﹣1＝1﹣（n﹣1）d，同理③+④得：a2n+2﹣a2n＝±（a﹣1+2nd）±[a﹣1+（2n﹣1）d]（n≥1），∴a2n+2﹣a2n＝d或a2n+2﹣a2n＝﹣d，由上面的分析可知，a3﹣a2＝﹣a+1﹣d，而a4﹣a3＝±（a﹣1+2d），故a4﹣a2＝﹣a+1﹣d±（a﹣1+2d），即a4﹣a2＝d或a4﹣a2＝﹣2a+2﹣2d（舍），∴a2n+2﹣a2n＝d，∴a2n＝a+（n﹣1）d，从而，∴．【知识点】数列递推式。
高三数学数列极限与函数极限例题解析试题
高三数学数列极限与函数极限例题解析一. 本周教学内容数列极限与函数极限 二. 重点、难点1. 数列极限的几个重要公式 假设a a n n =∞→lim b b n n =∞→lim那么〔1〕)()(lim b a b a n n n ±=±∞→〔2〕b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim〔3〕)0(lim≠=∞→b b ab a nn n2. 数列极限的几个重要极限 〔1〕c c n =∞→lim〔2〕n n a c a c n n ∞→∞→⋅=⋅lim lim〔3〕01lim=∞→kn n )0(>k〔4〕0lim =∞→kq n )1(<q3. 函数极限〔1〕a x f x f a x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim〔2〕a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 000〔3〕)(x f 为型需约分，再求极限。
4. 连续)(x f y =在0x x =处连续)()(lim 00x f x f x n =⇔→〔在0x 左右有定义〕【典型例题】[例1] 求证0lim =∞→nq n )10(<<q证：任意小正数0>ε 解不等式ε<-0n q ε<nq εlg lg <q n∴ qn lg lg ε>令]lg lg [qN ε=〔[…]为取整函数〕 故当1+>N N 时总有ε<-0n q ∴ 1lim =∞→nq n 〔ε、N 证明〕[例2] 以下数列极限n a n ∞→lim〔1〕2210043++=n nn a n 〔2〕13124+⋅+⋅=n n n n n a〔3〕113)2(3)2(+++-+-=n n nn n a 〔4〕)3(2n n n a n --= 〔5〕]1[n n n a n -+⋅=〔6〕33321)1(3221n n n a n ++++++⋅+⋅=〔7〕1)23(412+-+++=n n a n〔8〕)211()411)(311(+-⋅--=n n a n 解：〔1〕0lim =∞→n a n〔2〕0)31(11)31(41)32(4limlim =⋅+⋅+⋅=∞→∞→nn n n n n a n n 〔3〕311)32(31)32(31lim lim 1=+-+-⋅=+∞→∞→n n n n n a 〔4〕231313lim33limlim 2-=+--=+--=∞→∞→∞→nnn n n a n n n n〔5〕211limlim =++=∞→∞→nn n a n n n 〔6〕0)1(412)1()12)(1(61lim limlim 2232111=+++++=+=∞→===∞→∞→∑∑∑n n n n n n n kkka n nk nk nk n n n〔7〕231)13(21lim lim 2=+⋅-=∞→∞→n nn a n n n 〔8〕222lim 214332lim lim =+=++⋅⋅=∞→∞→∞→n n n n n a n n n n[例3] 填空〔1〕2724)2(lim22=++-∞→n nn a n ，=a 。
高中数学数列与极限练习题及参考答案
高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。
参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。
参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。
参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。
参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。
参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。
极限函数习题答案
极限函数习题答案极限函数习题答案极限函数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的趋势和性质。
在学习极限函数的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题既有基础的，也有较为复杂的。
在解答这些习题时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。
下面，我将为大家提供一些极限函数习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 求函数 f(x) = (2x^2 + 3x - 2) / (x + 1) 在 x = -1 处的极限。
解答：当我们直接将 x = -1 代入函数 f(x) 中时，会发现分母为零，这样的计算是无法进行的。
因此，我们需要使用极限的定义来求解。
首先，我们可以将函数 f(x) 进行化简，得到 f(x) = 2x - 1。
然后，我们可以观察到当 x 趋近于 -1 时，2x - 1 的值也会趋近于 -3。
因此，我们可以得出结论：f(x) 在 x = -1 处的极限为 -3。
2. 求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x = 0 处的极限。
解答：当我们直接将 x = 0 代入函数 g(x) 中时，会发现分子为零，这样的计算同样是无法进行的。
因此，我们需要使用极限的定义来求解。
首先，我们可以观察到当 x 趋近于 0 时，sin(x) 的值也会趋近于 0。
另外，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算极限。
根据泰勒级数展开，我们可以得到sin(x) = x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - ...。
因此，我们可以得出结论：g(x) 在 x = 0 处的极限为 1。
3. 求函数 h(x) = (e^x - 1) / x 在 x = 0 处的极限。
解答：当我们直接将 x = 0 代入函数 h(x) 中时，会发现分母为零，这样的计算同样是无法进行的。
因此，我们需要使用极限的定义来求解。
首先，我们可以观察到当 x 趋近于 0 时，e^x 的值也会趋近于 1。
另外，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算极限。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
数列极限习题及答案
数列极限习题及答案数列极限习题及答案数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
数列的极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于的值。
对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。
当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。
但是，由于数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。
3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。
因此，该数列的极限为1。
4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。
当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。
观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的值趋向于自然对数e 的值。
因此，该数列的极限为e。
通过以上习题的讨论，我们可以看到数列的极限与数列的定义和表达式有着密切的关系。
在计算数列的极限时，我们需要观察数列的规律，并利用数学知识进行推导和计算。
数列极限的概念在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、实分析等领域中都会涉及到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解： {}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解：∵()f f x⎡⎤⎣⎦()111111f xx==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y =的反函数是解：（1）4log y =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -= 10．n =解：原式32n =有理化11．若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k =解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---==故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解： 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsinx y -=解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔ 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x =-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x 解: （1） 求22():1x g x y x +=- ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+- 互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。
解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称()(ln x x f -=-+=(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法（2）：()()f x f x +-(ln(ln x x =++-+)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()11f xg x x +=-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f x g x x -+-=-- 即有1()()1f xg x x --=+()2⋯()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故 21()1f x x =- ()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =- 18．设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭，求a 的值。
解： 3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭lim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19．求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭ 解：（1）拆项，11(1)(1)k kk k k k+-=++ 111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111n =-+ （2）原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．设()()0,1,xf x aa a =>≠求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解： 原式=()122ln 1limn n a a a n→∞⋅⋯ []2ln 2ln ln 1lim n a a n a n→∞=++⋯+ 2ln 12limn a nn →∞⋯+=⋅++2(1)ln 2limn n na n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。
解：（1）求()3f x()()2f x f x =()()32f x f x f f x ===⎡⎤⎣⎦（2）讨论()3f x的奇偶性()()33f x f x -==-()3f x ∴为奇函数（3）讨论()3f x 的有界性()3f x =<=()3f x ∴有界22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。
解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=213r h πh r R π==ϕ 2224R r h π2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅ =（2）函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ<()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数，证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。
证：(1) ()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f xg x x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕ()x ∴ϕ为奇函数（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x，证明()f x 为奇函数。
证：（1）()()1121f x f x x⎛⎫+=⋯⋯⎪⎝⎭ 令()11,2t f f t t xt ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭（2）消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==（3）()f x 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==-- ()f x ∴为奇函数＊选做题1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=，求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解: 222312n n n++⋯++2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n →∞++⋯++ ()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim 1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim6(1)3n n n n n →∞++==+∴由夹逼定理知，原式13=2 若对于任意的,x y ，函数满足：()()()fx y f x f y +=+，证明()f y 为奇函数。
解 (1)求()0f ：令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x→∞= B ． sin lim sin x x xx x →∞-+不存在C ． 1lim sin 1x x x →∞=D ． lim arctan 2x x π→∞=解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→= ∴选C注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x xx x A B x x x→∞→∞--===++2． 下列极限正确的是（ ）A ． 10lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+=D ． 1l i m (1)xx x e →∞+=解：101lim 0xx e e e--∞∞→=== ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0l i m x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ． ()()1l i mx x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞∴选D4．若()2lim2x f x x→=， 则()lim3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323lim lim 32x t tx x t f x f t →→= ()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0sin lim 1,x xx→== 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C6．当0x +→时，()1f x =是比x高阶无穷小，则 （ ）A ．1a >B ．0a >C ．a 为任意实数D ．1a <解：00112lim lim 01a x x xa a x ++→→>=∴> 故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxx x e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10．已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a = 解：()1lim 10x x →-=()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x xx x e e x x-→→≤=∴= 又00arcsin limlim 1x x x xxx →→== 故 原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n = 解：()22220ln 1limlim sin n n x x x x x x xx→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解： 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+-sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭sin 21lim0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭∴原式022033+==-- 14．求()1cos x x x →-解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim(1cos )2x x x x x →-=⋅-0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2t t t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t ttee→∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价 注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解： 原式002lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→++=18．设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。