八年级数学下册 1_4 第1课时 角平分线(小册子)习题 北师大版
北师大版八年级数学下册1.4第1课时角平分线课时同步练习题.doc
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】1.4 角平分线 第1课时 角平分线一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，AB=4，则D到BC 的距离是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（第1题） （第2题）2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ）（A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论（ ）（A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确．（第3题） （第4题）4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o． （B ）20o． （C ）30o． （D ）40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）（A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ．DCBAMF ED CB AFEDCBAAFE DCBA（C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题）（A ）70o． （B ）120o． （C ）115o． （D ）130o．二、填空题 8．到一个角的两边距离相等的点在 ．9．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．10．如下图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 .11.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = .三、解答题12．如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．13．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：D 在∠BAC 的角平分线上．ONM PC BA ABCDEC A14．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．15．如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCA的大小．16．如图，AE 平分∠BAC ，BD ＝DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ．求证：BM ＝CN ．AB C DF NPM17．已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM于M ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
北师大八年级下《1.4角平分线》课时练习含答案解析
北师大版数学八年级下册第一章第四节角平分线课时练习一、选择题（共10题）1.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A .1处B .2处C .3处D .4处l 2l 1l 3答案：D解析：解答：根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． ∵中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴货物中转站可以供选择的地址有4个．故答案选D 选项分析：本题考查了角平分线的性质2. 三角形中到三边距离相等的点是（ ）A . 三条边的中垂线交点B . 三条高交点C . 三条中线交点D . 三条角平分线的交点答案：D解析：解答：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点；故答案选D分析：考查了角平分线的性质3. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A . PD ＝PEB . OD ＝OEC . ∠DPO ＝∠EPOD . PD ＝OD 21D A PO EB答案：D解析：解答：因为∠1＝∠2，所以可以得到OP 是角平分线，根据角平分线的性质可以得到角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PD ＝PE ，根据证明三角形全等可以得到OD ＝OE ，故答案是D 选项分析：考查角平分线的定义和角平分线的性质4.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A .4cmB .6cmC .10cmD .不能确定 DCA EB 答案：B解析：解答：根据角平分线的性质可以得到DE =DC ，根据三角形的全等可以得到AC =AE ，所以△DEB 的周长可以转化为AB 的长度，故答案是B 选项分析：本题考查角平分线的性质，注意线段的转化5. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正的是（ ）A . TQ ＝PQB . ∠MQT ＝∠MQPC . ∠QTN ＝90°D . ∠NQT ＝∠MQT N T QPM答案：D解析：解答：根据已知条件我们可以证明三角形MPQ 全等于三角形MTQ ，所以通过全等可以知道A 、B 、C 三个选项是正确的，故答案为D分析：考查利用全等三角形来证明角和线段的情况6. 如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A .2cmB .3cmC .4cmD .5cmED CBA答案：B解析：解答：根据角平分线的性质可以知道DE =EC ，所以AE +DE =AE +EC =AC =3cm 分析：考查利用角平分线的性质来求相关线段的长度7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD =n ，AB =m ，则△ABD 的面积是（ ）A . mnB .21mnC .2mnD .31mn答案：B解析：解答：因为BD 是∠ABC 的平分线，所以在△ABD 中AB 边上的高h =CD =n ，所以△ABD 的面积是AB ·h =21mn ，故答案是B 选项 分析：考查角平分线的性质8. 如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A . OA =OCB . 点O 到AB 、CD 的距离相等C . ∠BDA =∠BDCD . 点O 到CB 、CD 的距离相等答案：D解析：解答：通过三角形ADC 和三角形ABC 三边相等可以证明两个三角形全等，即可以证明AC 平分一组对角，所以点O 到CB 、CD 的距离相等，故答案选D分析：经常用到通过三角形全等来证明一条线段是角平分线9. 已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为A ．60°B ．90°C ．45°D ．135°答案：D解析：解答：因为∠A 、∠C 的平分线交于点O ，∠A 与∠C 互余相加之和等于90°，所以在三角形AOC 中两个锐角之和等于90°的一半即45°，根据三角形的内角和是180°，可以得出∠AOC 的度数为135°；及答案是D 选项分析：考查角平分线的定义10．三角形中∠B 的角平分线和外角的角平分线的夹角是（ ）．A ．60°B ．90°C ．45°D ．135°答案：B解析：解答：因为内角和相邻的外角互补，所以内角的角平分线和外角的角平分线的夹角是180°的一半，即90°；答案是B 选项分析：考查角平分线的定义二、填空题（共10题）11. 角平分线上的点到_________________距离相等答案：角两边的 DC B A O解析：解答：角平分线上的点到角两边的距离相等分析：考查角平分线的性质12. 到一个角的两边距离相等的点都在_____________答案：角平分线上解析：解答：角平分线的判定是，到角两边距离相等的点都在角平分线上分析：考查角平分线的判定13. ∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为________答案：1.5 cm解析：解答：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以答案是1.5 cm分析：考查角平分线的性质14. 如图，∠AOB =60°，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD =PE ，则∠1=________ 21D A PO E B答案：30°解析：解答：因为到角两边距离相等的点在角平分线上，所以OP 为角平分线，∠1=∠2，答案为30°分析：注意利用了角平分线的判定来判定角平分线15. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等答案：三边的距离解析：解答：三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等分析：考查角平分线的性质16. 点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________答案：120°解析：解答：因为点O 到三边的距离相等，所以可以得出点O 是三条角平分线的交点；三角形的内角和是180°，所以∠B +∠C =120°，在三角形BOC 中，∠OBC +∠OCB =60°，所以∠BOC 的度数为120°分析：考查三角形内角角平分线的夹角17. 在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为答案：18解析：解答：因为BD =32×997=18，因为∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，所以D到AB 的距离等于BD 的长，即18分析：考查角平分线的性质18. △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ；若DC =7，则D 到AB 的距离是________.答案：7解析：解答：因为AD 平分∠BAC ，所以角平分线上的点到角两边的距离相等，故答案是7 分析：考查角平分线的性质19.到三角形三边距离相等的点叫做三角形的答案：内心解析：解答：到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 分析：考查三角形的内心20. 如图，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm答案：5解析：解答：因为BP 是∠ABC 的角平分线，PD ∥AB ，所以可以到三角形BDP 是等腰三角形，同理可以得到三角形CPE 是等腰三角形，即ΔPDE 的周长可以转化为BC 的长即5 cm 分析：考查角平分线的定义和平行线的性质三、解答题（共5题）21. 已知：AC =AD ,AB 是∠CAD 的角平分线，求证：BC =BD答案：证明：∵AB 是∠CAD 的角平分线，∴∠BAC =∠BAD ，在△ABC 和△ABD 中，∴△ABC ≌△ABD （SAS ）， A P B D E C∴BC=BD．解析：分析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．22.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC；求∠EDB的度数答案：解答：因为AB=BC，所以可知三角形ABC是等腰三角形，即∠ABC=∠ACB=84°，因为BD是∠ABC的平分线，所以∠DBC=84°÷2=42°；因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°解析：分析：利用了角平分线的定义和平行线的性质23. 如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数？答案：解答：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110°所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°解析：分析：注意本题中用到了角平分线的定义及三角形的内角和24.在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数．答案：解答：设∠A=x°．∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在△ABC中x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°解析：分析：注意本题利用了三角形的内角和25.已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE．答案：证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB．∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．又∵∠A=∠A（已知），∴△ADC≌△AEB．∴AD=AE．解析：分析：主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；要掌握等腰三角形的性质：两个底角相等，三角形内角和为180度。
八年级下册数学北师大版同步课时作业 1.4角平分线(有答案)
八年级下册数学北师大版同步课时作业 1.4角平分线一、单选题1.如图,已知点P 到,,AE AD BC 的距离相等,下列说法:①点P 在BAC ∠的平分线上;②点P 在CBE ∠的平分线上;③点P 在BCD ∠的平分线上;④点P 在,,BAC CBE BCD ∠∠∠的平分线的交点上.其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③2.如图所示,//,AB CD O 为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点,OE AC ⊥于,E 若2OE =,则AB 与CD 之间的距离是( )A.2B.4C.8D.无法确定3.如图，已知BG 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点,E DF BC ⊥于点,6F DE =，则DF 的长度是( )A.2B.3C.4D.64.如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S =△，则CD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，在ABC 中，3045B C AD ∠=︒∠=︒，，平分BAC ∠交BC 于点,D DE AB ⊥，垂足为E .若1DE =，则BC 的长为( )A.2 C.2+ D.37.如图, 90B C ∠=∠=︒ ,M 是BC 的中点, DM 平分ADC ∠,且110ADC ∠=︒,则MAB ∠= ( )A. 30︒B. 35︒C. 45︒D. 60︒8.如图，AD 是ABC △的角平分线，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则下列结论：①DE DF =；②BD CD =；③AE AF =；④ADE ADF ∠=∠，其中正确结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9.如图，ABC 中，46AB BC ==，，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点,E AF BC ⊥于点F.若2DE =，则AF 的长为( )A.3B.103C.72D.154二、填空题10.如图，在ABC △中，,BD CD 是内角平分线，,BD CD 交于点,,D BE CE 是外角平分线，,BE CE 交于点E ,则D ∠与E ∠的关系是 .11.已知60AOB OC ∠=︒，是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过点D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示.若2DE =，则=DF __________.12.如图，PA ON ⊥于点,A PB OM ⊥于点B ，且PA PB =，5030MON OPC ∠=︒∠=︒，，则PCA ∠=___________.三、解答题13.如图，在ABC 与AED 中，,,C E BC DE CA EA ∠=∠==，过点A 作AF DE ⊥，垂足为,F DE 交CB 的延长线于点G ，连接AG .（1）求证：GA 平分DGB ∠；（2）若 36,2DGBA S AF ==四边形，求FG 的长.参考答案1.答案：A 解析：点P 到AE AD ，的距离相等，∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；点P 到AE BC ，的距离相等，∴点P 在CBE ∠的平分线上，故②正确；点P 到AD BC ，的距离相等，∴点P 在BCD ∠的平分线上，故③正确；∴点P 在BAC CBE BCD ∠∠∠，，的平分线的交点上，故④正确。
北师大版数学八年级下册：1.4 角平分线 同步练习(附答案)
4 角平分线第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为 ． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．9．已知D，E分别是△ABC中AB边，AC边上的一点，在△ABC内有一点O，使OE ＝OD，则AO平分∠CAB吗？解：AO平分∠CAB，理由如下：因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上．所以AO平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为（）A．2＋ 2 B.2＋3C．2＋ 3 D．312．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是cm.13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．14．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点（）A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是（）A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C ．3处D ．4处9．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于点P ，AE ＝7 cm ，AP ＝4 cm ，则点P 到直线AB 的距离是 ．10．如图，在△ABC 中，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，求证：∠BPC ＝90°＋12∠BAC.11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．参考答案：第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是(D)A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于(C)A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为3．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为14． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA)． ∴OB ＝OC.7．如图，DA ⊥AC ，DE ⊥BC.若AD ＝5 cm ，DE ＝5 cm ，∠ACD ＝30°，则∠DCE ＝(A)A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)． ∴DE ＝DF.∴AD 是∠BAC 的平分线．9．已知D ，E 分别是△ABC 中AB 边，AC 边上的一点，在△ABC 内有一点O ，使OE ＝OD ，则AO 平分∠CAB 吗？解：AO 平分∠CAB ，理由如下：因为点O 到∠CAB 两边的距离相等，所以点O 在∠CAB 的平分线上．所以AO 平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．解：不正确．以上解法忽视了OD ，OE 分别垂直于AB ，AC 的条件，故产生错误．正确的结论是“AO 不一定平分∠CAB ”．10．在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(A) A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点第10题图 第11题图11．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E.若DE ＝1，则BC 的长为(A)A ．2＋ 2 B.2＋3 C ．2＋ 3D ．312．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥BA 于点E ，AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长是6cm.13．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.(1)求证：AM ⊥DM ；(2)若BC ＝8，求点M 到AD 的距离．解：(1)证明：∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠ADM ＝12∠ADC.∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴∠MAD ＋∠ADM ＝12(∠BAD ＋∠ADC)＝90°.又∵∠AMD ＋∠MAD ＋∠ADM ＝180°， ∴∠AMD ＝90°. ∴AM ⊥DM.(2)过点M 作MN ⊥AD 于点N. ∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，∴∠C ＝90°，即BM ⊥AB ，MC ⊥DC. 又∵AM ，DM 分别平分∠BAD ，∠ADC ， ∴BM ＝MN ，MN ＝MC. ∴MN ＝12BC ＝4.∴点M 到AD 的距离为4.14．已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB ＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．解：(1)证明：∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°. 又∵∠EOB ＝∠DOC ， ∴∠ABD ＝∠ACE. ∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形． (2)点O 在∠BAC 的平分线上．理由：∵∠BEO ＝∠CDO ＝90°，∠BOE ＝∠COD ，OB ＝OC ， ∴△BOE ≌△COD(AAS)． ∴OE ＝OD.又∵OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴点O在∠BAC的平分线上．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点(A)A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(B) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是90．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3.同理可得OF＝OD＝3.∴S阴影＝S△AOB＋S△AOC＝12AB·OE＋12AC·OF＝12(AB＋AC)·OE＝12×20×3＝30.5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．解：如图所示，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．1处B．2处C．3处D．4处9．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，AE＝7 cm，AP ＝4 cm，则点P到直线AB的距离是3_cm．10．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋12∠BAC.证明：∵PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，∴点P 是△ABC 三个内角平分线的交点．∴CP 平分∠ACB ，BP 平分∠ABC.∴∠PCB ＝12∠ACB ，∠PBC ＝12∠ABC. ∴∠BPC ＝180°－∠PCB －∠PBC＝180°－12∠ACB －12∠ABC ＝180°－12(∠ACB ＋∠ABC) ＝180°－12(180°－∠BAC) ＝90°＋12∠BAC. 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上；(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵BD 是△ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OE ＝OM.∵四边形OECF 是正方形，∴OE ＝OF ，OF ⊥AC.∴OM ＝OF.∴点O 在∠BAC 的平分线上．(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，∴由勾股定理，得AB ＝13.易证BE ＝BM ，AM ＝AF.∵BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，CE ＝CF ＝OE ，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，即12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2，即OE的长为2.。
北师大版八年级数学下册课时达标训练：1.4.1角平分线
1.4.1角平分线一、选择题1.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.M点B.N点C.P点D.Q点3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图,在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C 的坐标是()A.(0,2)B.(0,5)C.(0,√5)D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°.6.已知:如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm.7.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,CD=3.(1)求DE的长;(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.10.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图,某地有两个村庄M,N,和两条相交叉的公路OA,OB,现计划在∠AOB内部修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你确定该仓库的位置.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.13.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC=(用含a的代数式表示)答案1.[答案] C2.解析： A 从图上可以看出点M 在∠AOB 的平分线上,其他三点均不在∠AOB 的平分线上, 所以点M 到∠AOB 两边的距离相等.故选A .3.解析： B 如图,过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于点H.∵BD 平分∠ABC ,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =12AB ·DH+12BC ·CD=12×6×4+12×9×4=30.故选B .4.解析： D ∵AD 平分∠OAB ,DB ⊥AB ,DO ⊥OA ,∴DB=DO=√3.∵点B 的横坐标为1,∴BC=1.∵OA ⊥y 轴,BC ∥OA ,∴BC ⊥y 轴,即∠BCD=90°,∴CD=√(√3)2-12=√2,∴OC=OD+CD=√3+√2,∴点C 的坐标是(0,√3+√2).故选D .5.[答案] 55解析： ∵QC ⊥OA 于点C ,QD ⊥OB 于点D ,QC=QD ,∴OQ 是∠AOB 的平分线.∵∠AOB=70°,∴∠AOQ=12∠AOB=12×70°=35°, ∴∠CQO=90°-∠AOQ=90°-35°=55°.故答案为55. 6.[答案] 6解析： 过点P 作PM ⊥AB 于点M ,并反向延长交CD 于点N.∵AB ∥CD ,∴PN ⊥CD.∵AP 平分∠BAC ,PE ⊥AC ,PM ⊥AB ,PE=3 cm,∴PM=PE=3 cm .同理PN=PE=3 cm,∴MN=PM+PN=6 cm,∴AB 与CD 之间的距离是6 cm . 7.[答案] 2解析： 如图,过点E 作EG ⊥OA 于点G.根据角平分线的性质定理得到EG 的长,再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°,然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半解题.8.[答案] 11解析： 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,∴DF=DH.在Rt △FDE 和Rt △HDG 中,∵DF= DH ,DE=DG ,∴Rt△FDE ≌Rt △HDG (HL).同理,Rt △FDA ≌Rt △HDA (HL).设△EDF 的面积为x ,由题意,得48-x=26+x ,解得x=11,即△EDF 的面积为11.故答案为11.9.解:(1)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,CD=3,∴DE=CD=3. (2)∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,CD=3,∴BD=BC-CD=5,∴S △ADB =12BD ·AC=12×5×6=15.10.证明:∵PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中,∵PF=PG ,DF=EG , ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (HL), ∴PD=PE.∵P 是OC 上一点,PD ⊥OA ,PE ⊥OB , ∴OC 是∠AOB 的平分线.11.解:如图,点P 即为该仓库的位置.12.解:(1)证明:如图,过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵四边形OECF 是正方形,∴OE=EC=CF=OF ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC. ∵BD 平分∠ABC , ∴OM=OE , ∴OM=OF.又∵OM ⊥AB ,OF ⊥AC ,∴点O 在∠BAC 的平分线上.(2)方法一:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,∴由勾股定理得AB=13. 易证BE=BM ,AM=AF.又∵BE=BC-CE ,AF=AC-CF ,CE=CF=OE ,∴BE=12-OE ,AF=5-OE. ∵BM+AM=AB ,∴BE+AF=13,即12-OE+5-OE=13, 解得OE=2,即OE 的长为2. 方法二:利用面积法.连接OC.∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12, ∴由勾股定理得AB=13.∵S △ABC =12AC ·BC ,S △ABC =12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM , ∴12AC ·BC=12BC ·OE+12AC ·OF+12AB ·OM ,即12×5×12=12×12OE+12×5OF+12×13OM. 由(1)得,OM=OE=OF ,∴OE=2.13.解:探究:证明:如图①,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴DE=DF.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB 和△DFC 中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD ,DE=DF , ∴△DEB ≌△DFC ,∴DB=DC.应用:如图②,连接AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC ,交AC 的延长线于点F.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°, ∴∠B=∠FCD.在△DEB和△DFC中,∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD,DB=DC, ∴△DEB≌△DFC,∴DE=DF,BE=CF.在Rt△ADF和Rt△ADE中,∵AD=AD,DF=DE,∴Rt△ADF≌Rt△ADE,∴AF=AE,∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.在Rt△DEB中,∵∠DEB=90°,∠B=∠EDB=45°,BD=a,∴BE=√2a,∴AB-AC=√2a.2故答案为√2a.。
北师大版八年级下册数学1.4角平分线同步练习题(含解析)
1.角平分线同步练习2.一.选择题3.，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分(4)AE＋∠ABC，以下结论：〔1〕CD＝BD, (2)AE＝CE(3)OA＝OB＝OD＝OEBD＝AB，其中正确结论的个数是〔〕3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，15.那么AC的长是〔〕16.17.18.19.20.21.22.A．4B．3C．6D．5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，那么∠AEB＝〔〕°°° D.35°如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.假设AQ＝PQ，PR＝PS，以下结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是〔〕A.①③B.②③C.①②D.①②③5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABCC．△ABC的三条中线的交点三条高所在直线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点D．△ABC三条角平分线的交点6．ABC中，AD是BAC的平分线，且AB ACCD.假设BAC60，那么ABC 的大小为〔〕A．40B．60C．80D．100二.填空题在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E〔如图〕，折痕DE的长为.8.如图，在△ABC中， A 90,AB AC,CD平分ACB，DE BC于E，假设BC15cm，那么△DEB的周长为cm．9.如下列图，△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，那么△ABC的面积是．12.10.如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，那么△ACD的面13.积为．14.15.16.17.18.19.20.11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分21.ADC，∠CED＝35°，如图，那么∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，假设∠CBD＝20°，那么∠CED＝__________.三.解答题13．：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．15．：如图，在ABC中，AD是△ABC并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE 的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，和DF的大小关系并说明理由．（16．：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1〕求证：AM平分∠BAD；（2〕试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？3〕线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．17．如图，在ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，假设△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE 与△BCA的面积之比．：如图，ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．参考答案一.选择题1.【答案】C；【解析】〔1〕〔2〕〔4〕是正确的.2.【答案】B；【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．应选：B．3.【答案】B；【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.4.【答案】C；【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠BAP，所以②正确.5.【答案】D；【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选D．6.【答案】A；【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.二.填空题【答案】1；【解析】由题意设DE＝CE＝x，BC＝BD＝AD＝3x，AE＝2x，AC＝3x＝3，x＝1.【答案】15；【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15cm.【答案】30【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×〔AB+BC+AC〕×320×3=3010.【答案】；【解析】解：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ， AB=4，△ABD 的面积为3， ∴S △ABD = AB?DE= ×4×DE=3，解得DE=；DF=，AC=2，S △ACD =AC?DF=×2×=．故答案为： ．11.【答案】35°； 【解析】作 EF ⊥AD 于F ，证△DCE ≌△DFE 〔HL 〕，再证△AFE ≌△ABE 〔HL 〕，可得 FEB ＝180°－70°＝110°，∠AEB ＝55°，∠EAB ＝35°.12.【答案】10°；【解析】考虑△BDC 中，EC 是∠C 的平分线，EB 是∠B 的外角平分线， 所以E 是△BDC 的一个旁心，于是ED 平分∠BDA.∠CED ＝∠ADE －∠DCE ＝1∠ADB －1∠DCB ＝1∠DBC ＝1×20°＝10°.22 2 2三.解答题 13.【解析】证明：∵OD 平分∠POQ ∴∠AOD ＝∠BOD 在△AOD 与△BOD 中OA OB AOD BOD ODOD∴△AOD ≌△BOD 〔SAS 〕 ∴∠ADO ＝∠BDO又∵CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.∴CM ＝CN 〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.14.【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD15.【解析】DE＝DF.证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD是△ABC的角平分线，DM＝DN∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF＝180°又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF＝180°∴∠1＝∠4在Rt△DEM与Rt△DFN中4DMDNEMDFNDRt△DEM≌Rt△DFN〔ASA〕DE＝DF【解析】〔1〕证明：作M E⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．2〕解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣〔∠1+∠3〕=90°，即DM⊥AM．3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．17.【解析】解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E∴DE＝CD可证Rt△BCD≌Rt△BED〔HL〕设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x，△ADE的面积为8x－6x＝2x，∴△ADE与△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．【解析】证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.FM＝FP，FN＝FP〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕FM＝FN∴点F必在∠DAE的平分线上.〔到角两边的距离相等的点在角的平分线上〕。
北师大版初中数学八年级下册1.4《角平分线》习题
10．如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE= BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.
求证：BE＋CF>EF.
14．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.
(1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．
15．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，
求证：PB=PD．
故选C.
3．D
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，进而可得∠A=90°，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：∵ ，
∴∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠A=∠BED=∠CED=90°，
∵∠A+∠ABD+∠EBD+∠C=180°，
A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定
二、填空题
7．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_____.
8．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______.
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步解答题专题训练(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步解答题专题训练（附答案）1．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．2．把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．证明：（1）MC的长度等于点M到AB的距离；（2）求∠AMB的度数．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．4．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，求△ABC的面积？5．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．6．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC 的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．8．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系，并说明理由．9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．（1）求DE的长；（2）求AB的长．11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，求△BCE的面积．12．如图，已知P A⊥ON于A，PB⊥OM于B，且P A＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，求∠PCA的大小．13．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．14．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．求证：AD平分∠BAC．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．17．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，AD和BE相交于点F．（1）连接DE，求∠CDE的度数；（2）求证：AF＝2DB．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．19．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．20．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．参考答案1．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，∴×8×DE+×8×DF＝28，∴8DE＝28．∴DE＝3.5．2．（1）证明：过点M做MN⊥AB，由题意可得：∠CAD＝∠DAB＝30°，∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴MC＝MN（角平分线上的点到角的两边距离相等），则MC的长度就等于点M到AB的距离．（2）解：由题意知：∠MAB＝∠MBA＝30°，∴∠AMB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．3．（1）证明：过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD 于G，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF，∴EF＝EG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，∴＝∠DEB+∠ABC，∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．4．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝1，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝1，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×1＝×20×1＝10，5．证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．6．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM＝PN，∴PQ＝PN，∴点P在∠C的平分线．7．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，即×（16+12）×DE＝28，∴DE＝2（cm）．8．解：AE与FG之间的数量关系是相等．理由：∵CF平分∠ACB，F A⊥AC，FG⊥BC∴FG＝F A∵∠AFC+∠ACF＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，且∠ACF＝∠ECD ∴∠AFC＝∠DEC∵∠AEF＝∠DEC∴∠AFC＝∠AEF∴AE＝F A∴AE＝FG．9．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝27°．10．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵CD＝3，∴DE＝3；（2）∵BC＝8，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝5，∵△ADB的面积为S△ADB＝DB•AC＝×5×6＝15，∴S△ADB＝AB•DE＝×AB×3＝15，∴AB＝10．11．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．12．解：∵P A⊥ON，PB⊥OM∴∠P AO＝∠PBO＝90°在RT△AOP和RT△BOP中OP＝OP，P A＝PB∴RT△AOP≌△BOP（HL）∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝25°∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝25°+30°＝55°．13．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．14．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF＝CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠F AD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．15．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．16．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．17．（1）解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴DE为直角△BCE的斜边上的中线，∴DC＝DE，∴∠C＝∠DEC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠CDE＝∠BAC＝45°；（2）证明：∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE＝BE，∵∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，而BD＝CD，∴AF＝2BD．18．解：①相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠NFE＝15°，∴∠NEF＝75°＝∠MDF，在△DMF和△ENF中，，∴△DMF≌△ENF（AAS），∴FE＝FD；②成立．过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∴四边形BNFM是圆内接四边形，∵∠ABC＝60°，∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF（ASA），∴FE＝FD．19．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．20．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE△DCF是直角三角形．在Rt△BDE与Rt△DCF中，，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线；（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF．。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》精选练习(含答案)
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》精选练习一、选择题1.三角形中到三边距离相等的点是（）A.三条边的中垂线交点B.三条高交点毛C.三条中线交点D.三条角平分线的交点2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定3.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正的是（）A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT4.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.OA=OCB.点O到AB、CD的距离相等C.∠BDA=∠BDCD.点O到CB、CD的距离相等6.已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC度数为（）A.60°B.90°C.45°D.135°7.三角形中∠B的角平分线和外角的角平分线的夹角是（）.A.60°B.90°C.45°D.135°8.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP9.如图所示，D，E分别是△ABc的边AC.Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°10.如图所示.在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB=6 cm，则DEB的周长为（）A.12 cmB.8 cmC.6 cmD.4 cm11.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确12.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处B.2处C.3处D.4处二、填空题13.到一个角的两边距离相等的点都在_____________14.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_______________相等15.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC度数为_______16.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为17.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D；若DC=7，则D到AB距离是______.18.如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm三、解答题19.已知：AC=AD,AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD20.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC；求∠EDB的度数.21.如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数.22.在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数.23.已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE.24.如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题.（1）如图（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）（2）如图（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.参考答案25.答案为：D26.答案为：B27.答案为：D28.答案为：B29.答案为：D30.答案为：D31.答案为：B32.答案为：D.33.答案为：D.34.答案为：C.35.答案为：A；36.答案为：D37.答案为：角平分线上38.答案为：三边的距离39.答案为：120°40.答案为：1841.答案为：742.答案为：543.证明：∵AB是∠CAD的角平分线，∴∠BAC=∠BAD，在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD.44.解：因为AB=BC，所以可知三角形ABC是等腰三角形，即∠ABC=∠ACB=84°，因为BD是∠ABC的平分线，所以∠DBC=84°÷2=42°；因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°45.解：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110°所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°46.解：设∠A=x°.∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在△ABC中x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°47.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB.∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2.又∵∠A=∠A（已知），∴△ADC≌△AEB.∴AD=AE.48.解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD，则△OAD与△OBD全等，如图（1）所示.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD.（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立.证法：如图（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD.由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD.。
八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大
【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示． 方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝ ＝EADD， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线(角平分线判定专题) 练习(含解析)
角平分线的判定一、选择题1、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是( )A .P是∠A与∠B两角平分线的交点B .P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C .P为AC、AB两边上的高的交点D .P为AC、AB两边的垂直平分线的交点二、填空题2、如图，已知∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，过点P分别向OA、OD 做垂线，垂足是M、N．则点P __________ ∠AOD的平分线上．（填“在”或“不在”）3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=__________（度）．4、如图，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40°，则∠CED=__________．5、如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠__________的平分线上，点A在∠__________的平分线上．三、解答题6、已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P求证：点P在∠A的平分线上。
7、如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°求证：OD平分∠AOB8、如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF．求证：点F在∠BAC的平分线上．9、如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于C，且PD=PC，点E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，求∠PEC的度数．10、如图，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：AP是∠BAC的角平分线．11、如图，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，且CF，BE交于点D，BD=CD．求证：AD平分∠BAC．12、已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．13、作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．14、如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D．求证：CD平分∠ACB．15、已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．16、如图，BE=CF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC．求证：（1）Rt△BED≌Rt△CFD；（2）AD是∠BAC的平分线．角平分线的判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答。
北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 同步练习一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为 A，B。
下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA=PBB.PO 平分∠AOBC.OA=OBD.AB 垂直平分 OP )2.如图， AB∥CD,AP， CP 分别平分∠BAC 和∠ACD， PE⊥AC 于点 E， 且 PE＝3cm， 则 AB 与 CD 之间的距离为(A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定3.如图，以∠AOB 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，再分别以点 C，D 为圆 心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 E，作射线 OE，连接 CD，以下说法错误的是（ ）A. △ OCD 是等腰三角形 C. CD 垂直平分 OEB. 点 E 到 OA，OB 的距离相等 D. 证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS4.如图,在△ ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 G,过点 G 作 EF∥BC 交 AB 于 E， 交 AC 于 F， 过点 G 作 GD⊥AC 于 D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ AE+AF=n,则△∠A；③点 G 到△ ABC 各边的距离相等；④设 GD=m，=mn.其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.如图，在△ ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：① ∠AOB=90°+∠②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC 的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b， ) C. ①②④ D. ①③④则 S△ CEF=ab 其中正确的是( A. ①② 则可供选择的地点有（ ）B. ③④6.如图，直线 l1 ， l2 ， l3 表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，A.四处B.三处C.两处D.一处7.如图，△ ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO ︰S△ BCO︰S△ CAO 等于（ ）A. 1︰1︰1 则 DQ 的最小值（ ）B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰58.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，若 CD=3，点 Q 是线段 AB 上的一个动点，A. 5B. 4C. 3D. 29.∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 4，Q 是 OB 上任一点，则（ ） B. PQ＞4 D. PQ＜4A. PQ≥4C. PQ≤410.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平 分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题（共 6 题；共 8 分）11.如图，要在河流的南边，公路的左侧 M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流 与公路交叉 A 处的距离为 1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在________.12.如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于 3cm，则 CF=________cm.13.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AD 是△ ABC 的角平分线，若 CD=4，AC=12，BC=9，则 S△ ABD =________．14.如图， △ ABC 中， ∠A=100°， BI、 CI 分别平分∠ABC， ∠ACB， CM 分别平分∠ABC， 则∠BIC=________， 若 BM、 ∠ACB 的外角平分线，则∠M=________．15.如图，已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN，如果要在 MN 上找出与 AB，CD 距离相等的点，则这样的点 至少有________个，最多有________个．16.如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1 ， ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线 交于点 A2 ， 依此类推…．已知∠A=α，则∠An 的度数为________（用含 n、α 的代数式表示）．三、解答题（共 6 题；共 55 分）17.如图，直线 l 及 A、B 两点（保留作图痕迹，不写作法）。