天津大学运筹学2对偶理论与灵敏分析

3
4
x 1
0; x , 2
x 3
0
对偶模型为：
max w 5 y 4 y 6 y
1
2
3
y 1
2
y 2
2
s.t
.
y 1
3 y 1
2
y 2
y 3
y 3
3 5
y y y 4
1
2
3
y, 1
y 2
0
二、对偶性质与定理
1、对称性：（P）与（D）互为对偶。 2、弱对偶性 设X、Y 分别为（P）、（D）的任一可行解，则
3
x 1
10 x 2
30
x, 1
x 0 2
min w 36 y 20 y 30 y 30 y
1
2
3
4
9
y 1
4
y 2
3y 3
3y 4
7
s.t . 4
y 1
5y 2
10
y 3
10
y 4
12
y, 1
y, 2
y, 3
y 0 4
令 y3'＝y3- y4, ，则有：
min w 36 y 20 y 30 y '
若P的某个变量为自由，则D的相应约束为“=”型。
max z 7 x 12 x
1
2
9
x 1
4x 2
36
s.t
.
4 3
x 1
x 1
5x 20 2
10 x 30 2
x, 1
x 0 2
max z 7 x 12x
1
2
9
x 1
4x 2
36
s
.t
.
34xx11
5x 20 2
10x 30 2
(D)：
min w Yb
s.t .
YA C Y 0
这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶 模型。二者间具有十分对称的对应关系。
对偶模型的特点：
(P)：
（1）P为max型，D为min型
max z 2 x 3x
1
2
（2）P的变量个数＝D的
（3）P的约束个数＝D的变量个数 （4）P的目标函数系数＝
划模型为：
min w 3 y 5 y y
1
2
3
y 1
2y 2
y 3
2
s
.t
.
2
y 1
y 2
3y 3
3
y, 1
y 0 2
[练习] 写出下面LP的对偶模型。
min z 2x 3x 5x 4x
1
2
3
4
x 1
x 2
3x 3
x 4
5
s
.t
.
2
x 1
2x x 4
3
4
x x x 6
2
max z CX
(P) AX b
s.t
.
X
0
m in w Yb (D) YA C
s.t.Y 0
[例3] 写出下面线性规 划的对偶规划模型。
max z 2x 3x
1
2
x 1
2x 2
3
s.t
.
2
x 1
x 1
x 2
3x 2
5 1
x 0 1
解：设对偶变量为y1, y2, y3， 对偶目标为w，则其对偶规
1
2
3
4
5
s.t
.
2
x 1
x 2
3x 3
x 4
x 5
3
x
j
0,
j
1, 2,L
,5
已知其对偶问题的最优解为： y1*=4/5，y2*=3/5，z*=5 试用对偶理论找出原问题的最优解。
0
0
0 -0.5
6、松紧定理（互补松弛性）
设 X、Y分别为（P）、（D）的可行解，则有：
X
、
Y
是
最
优解
YX
＝
S
YS
X＝0
其
中
：
X
、
S
YS
为
最
优
解
中
松
弛变量
部
分
。
说明： 在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式； 另一方面，如果约束条件取严格不等式，则其对应的 对偶变量一定为零。
1
2
3
9 y 4 y 3y ' 7
1
2
3
s.t . 4
y 1
5
y 2
10
y 3
'
12
y 1
,
y 0; y '无约束
2
3
3、如何写出LP模型的对偶模型
（1）若LP为max型，则 尽量化成(P)形式。 （等式、自由变量不 用转换）
（2）若LP为min型，则 尽量化成(D)形式。 （等式、自由变量 不用转换）
s
.t
.
4
x 1
16 4 x 12
2
D的资源限制向量
x, 1
x 0 2
（5）P的资源限制向量＝
(D)：
D的目标函数系数
min w 8 y 16 y 12 y
1
2
3
（6）P的技术系数矩阵＝
y 4y
2
1
2
s
.t
.
2
y 1
4y 3 3
D的技术系数矩阵转置
y, 1
y, 2
y 0 3
（7）若P的某个约束为“=”型，则D的相应变量为自由；
CX Yb
由此可推出： 3、无界性 若（P）为无界解，则（D）无可行解； 若（D）为无界解，则（P）无可行解。
4、解的最优性
设X、Y 分别为（P）、（D）的可行解，且 CX Yb
则 X X* Y Y*
5、对偶定理
若（P）有最优解，则（D）也有最优解， 且二者最优值相等。
C
0
X
XS
CB B-1b
原问题的变量X
松弛变量Xs
对偶问题的变量Y
松弛变量Ys
x y 0；y x 0
j m j
i ni
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0。
[例5] 已知线性规划问题
min w 2x 3x 5x 2x 3x
1
2
3
4
5
x x 2x x 3x 4
B-1A
B-1
C - CB B-1A
- CB B-1
问题：
（1）由性质5可知，对偶问题最优解的表达式Y* =？
Y*= CB B-1 ；其中B为原问题的最优基。 （2）求Y*是否有必要重新求解（D）？
Y*即为（P）终表的XS的检验数的负值； 若无XS，则用Y*= CB* (B*)-1计算。
[例4] 已知求解下列LP模型的单纯形终表如下， 求其对偶模型的最优解。
2.1 线性规划的对偶理论
一、对偶问题的提出与模型
1、对偶问题的提出 [例1] 第一章中的例1。
max z 2x 3x
1
2
x 1
2x 2
8
s
.t
.
4
x 1
16 4 x 12
2
x, 1
x 0 2
[例2] 这时有另厂提出要购买A、B、 C全部资源，在原厂可接受的条件下， 单价多少可使另厂付费最低？
max z 2.5x x
1
2
s
.t
.
3 5
x 1
x 1
5x 2
2x 2
15 10
x 1
,
x 2
0
X*=（2，0）T ; z*=5 Y*=（0，0.5）; w*=5
cj→
2.5
1
00
CB XB B-1b x1
x2
x3
x4
0 x3 9 0
19/5
1 -3/5
2.5 x1 2 1
2/5
0 1/5
min w 8 y 16 y 12 y
1
2
3
y 1
4
y 2
2
s.t
.
2
y 1
4y 3 3
y, 1
y, 2
y 0 3
例1称为例2的原问题，记为(P) 例2称为例1的对偶问题，记为(D)
2、对偶模型的一般形式
以例2为例，原问题为：
max z CX
(P)： AX b
s.t
.
X
0
记 Y＝(y1, y2, y3)，则对偶问题为：