4一次方程组的应用
一次方程组的应用(含答案)-
14.一次方程组的应用
知识纵横
一次方程组是解决许多实际问题的有力工具,•它被广泛地应用于社会生活的多个领域,主要体现在:
首先,用于解代数式的化简与求值问题,一些表面与方程组无关的问题,•但经过分析,借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组为解决。
其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易。一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优特点。因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题。
例题求解
【例1】若x+2y=3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z=____________.
(2000年广东省中考题) 思路点拨三个未知数两个等式,x、y、z的值不惟一确定,•不妨视其中一个字母为常数,解关于另外两个字母的方程组.
解:5 提示:由条件得x=z,y=5-2z.
【例2】方程│x-2y-3│+│x+y+1│=1的整数解的个数是( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨把1表示成两个非负整数的和,这两个数只能是0与1,•于是一个等式可裂变为两个等式.
解:选A 提示:由条件得
|23|0
|1|1
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
,或
|23|1
|1|0
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
【例3】项王故里的门票价格规定如下表:
某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里,如果两班都以班为单位分别购票,一共需付486元.
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用
考点一 等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式，叫做方程．
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．
(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程
在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．
2．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法
1．二元一次方程组
几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元
3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题
1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．
一元二次方程及应用
考点一 一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．
考点二 一元二次方程的常用解法
一次方程组解法及应用 课件
二元一次方程组解法练习题
1．解下列方程组
（1）（2）（3）)
(6441125为已知数a a
y x a y x ⎩⎨⎧=-=+
（4）（5）（6）．
（7）2．求适合的x ，y 的值．
3．已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有
和． （1）求k ，b 的值．
（2）当x=2时，y 的值．
（3）当x 为何值时，y=3？
2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．
（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.
一元一次方程应用题归类
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系
列出方程．
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案．（注意带上单位）
二、一般行程问题（相遇与追击问题）
1.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
2.行程问题基本类型
（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公
交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。
2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小
考点04 一次方程(组)与其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点04 一次方程（组）与其应用
一元一次方程与二元一次方程组在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以常放在一起统称为“一次方程”，而在数学中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，需要考生在一轮复习中把该考点熟练掌握。
考向一·等式的基本性质
考向二·一元一次方程的解法
考向三·二元一次方程组的解法
考向四·一次方程（组）的简单应用
考向一：等式的基本性质
等式的基本性质
【易错警
示】
1．下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么a +c ＝b +c B ．如果ac ＝bc ，那么a ＝b C ．如果a ＝b ，那么ac ＝bc
D ．如果a ＝b ，那么＝（c ≠0）
2．已知3a ＝2b +5，下列等式不一定成立的是（ ）A ．3ab ＝2b 2+5b B ．3a +1＝2b +6
C ．
＝
+
D ．a ＝b +
3．若
，则x 与y 的等量关系是 （结果不含a ，b ）．
4．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝ ，
＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ．
（2）令（2，6）＝x ，（2，7）＝y ，（2，42）＝z ，试说明下列等式成立的理由：
（2
，6
）+
（2，7）＝（2，42）．
5．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n 个点阵相对应的等式： ．
课时 一次方程(组)及其应用ppt课件
第5课时 一次方程(组)及 其运用
考点精
考点特训营
讲
等式的性质
一元一次方程及其解法
一次方程(组) 及其运用
二元一次方程〔组〕及其解法
一次方程〔组〕的实践运用 解题步骤 常见类型及等量关系式
1.等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，结果仍是等式，即假设a=b，那
么a±c=b±c
设3月份B货物的运费单价为m元/吨，根据题意得： 2m-20=100, 解得m=60. 答：3月份B货物的运费单价是60元/吨；
〔2〕4月份由于工人工资上涨，A、B货物运费单价上调的百分率分别为x％和 1.25x％，且共上调了70元/吨，求4月份A、B货物的运费单价； 自主作答：
根据题意得：100·x％+60×1.25x％＝70， 解得x=40，那么1.25x=50. 100×〔1+40％〕＝140， 60×〔1+50％〕＝90， 答：4月份A货物的运费单价为140元/吨，B货物的运费单价为90元/吨.
变号
4.合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)的方式，系数相加，字母及其指数不变 5.未知数的系数化为1：在方程两边都除以未知数的⑤_____,得到方程的解为⑥
______
系数
x＝ b a
二元一次方程的定义：含有⑦___个未知数，并且两含有未知数的项的次数都是⑧__ 的方程
一次方程组的应用
解：②*2-①，得y=2k-2 则x=6-3k
四、用参数表示方程组的解类问题
【变式4.1】
已知关于x，y的方程组
2x 3y 6 x 2 y 2 k
（k是常数），满足
3x+4y=4 ,
求k
的值.
2x 3y 6
x 6 3k y 2k 2
所以，18-9k+8k-8=4 k=6
3x 4y 4
三、与自然数相关问题
例3.一个自然数减去63后是一个平方数；加上26后，也是一个平方数， 求这个自然数.
解题方法：设元引参，分解自 然数为质因数的乘积解题.
变式3.两个自然数的和与差相乘，积为84，求这两个自然数.
解题方法：设元引参，分解自然数 为质因数的乘积解题.
四、代数式非负性问题
例4 若|x+y-4|与（2x-y+7)2的值互为相反数，求x与y的值.
x 12
解得
y 10
何时可用？
所以，k=6
法一： 用字母参数表示x，y
法二： 重组方程组法
有两个方程中不含参， 且只有另一个方程中 含参时可用
五、用参数表示方程组的解类问题
【变式】
x y 2k
1、当k满足______时，方程组
x
y
4中x<1,y<1
（新安县竞赛试题2021.15）
3.4 一次方程组的应用(行程问题)
x
x
y
新数
x
10y + x
练一练： 练一练：
已知一个两位数，十位数字比个位数字大3 ，将十 已知一个两位数，十位数字比个位数字大3 位数字与个位数字对调所得的新数比原数小27， 位数字与个位数字对调所得的新数比原数小27，求 这个两位数。 这个两位数。
设这个两位数的十位数字为 十位 原数 新数 个位
6x - 6y ＝60 x y ｛2x ＋ 2y ＝60 x y
解这个方程组，得
① ②
x =20 ｛y =10
答：甲车的速度为20km/h,乙车的速度为10km/h。 km/h,乙 km/h
变式题2： 变式题 ： 两辆货车相距 货车相距36km，相向而行，若甲车出发 后， 而行， 甲、乙两辆货车相距 ，相向而行 若甲车出发2h后 乙车再出发，则乙车行2.5h后两车相遇；若乙车出发 后， 后两车相遇； 乙车再出发，则乙车行 后两车相遇 若乙车出发2h后 甲车再出发，则甲车行3h后两车相遇 后两车相遇。 甲乙两车速度？ 甲车再出发，则甲车行 后两车相遇。求甲乙两车速度？ 解：设甲车的速度为x km/h x km/h，则乙车的速度为y km/h. y 36千米 千米
1 、该题中相向而行，同向而行怎样理解？ 题中相向而行，同向而行怎样理解？ 2、哪些是已知量，哪些是未知量？各个量有什么关系？ 、哪些是已知量，哪些是未知量？各个量有什么关系？ 是已知量 3 、需要找几个等量关系？等量关系怎样表示？ 需要找几个等量关系 等量关系怎样表示？ 找几个等量关系？
四元一次方程解法
四元一次方程解法
四元一次方程是指四个未知数的一次方程。解四元一次方程的一
种常用方法是消元法，以下是具体步骤：
Step 1：对方程进行整理，将相同未知数的项放在一起，形成类
似于x1 + x2 + x3 + x4 = a的形式，其中x1、x2、x3、x4为未知数，a为常数。
Step 2：通过消元方法将方程化简为含有两个未知数的方程。可
以通过两个方向进行消元：
a) 从前往后：先将x1与后面三个未知数中的一个进行消去，得到新的方程。
b) 从后往前：先将x4与前面三个未知数中的一个进行消去，得到
新的方程。
Step 3：重复Step 2，直到方程化简为只有两个未知数的方程（如x1 + x2 = b）。
Step 4：解决这个两个未知数方程。可以使用代入法、消元法或
其他方法来求解这个方程。解得其中一个未知数的值后，可以将其代
入到Step 2中化简的方程中，求解其他未知数。
Step 5：将解得的未知数值代入原方程，验证解是否成立。
通过以上步骤，可以解得四元一次方程的解。
数学人教版七年级下册一次方程(组)及其应用
3． (2014· 无锡)某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元， 一支圆珠笔的售价为 2 元．该店在“六一”儿童节举 行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠 笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得 金额 87 元，若设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一 元一次方程为( ) A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87 B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87 C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87
2x+3y=6 的解，则 k= . x 1 12.已知 是方程3ax-2y=1的解，则a=
y 2
2 x y 2 的解是 。 x y 5 x y 5k 11.关于x,y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 x y 9 k
10.二元一次方程组
1. 解方程组
2y – 3x = 1 ① x=y-1 ②
解： 把②代入①得： 2y – 3（y – 1）= 1 2y – 3y + 3 = 1 . 2y – 3y = 1 -3 -y=-2 y= 2 把y = 2代入②，得 x=y–1=2–1=1 =1 ∴方程组的解是 x y=2
2x＋y＝4， 2．已知方程组 x＋2y＝5，
A．1 C．3 B．2 D．4 )
一次方程组的应用（精选16篇）
一次方程组的应用（精选16篇）
一次方程组的应用篇1
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理.
（二）能力训练点
培养学生分析问题、解决问题的能力.
（三）德育渗透点
1.体会代数方法的优越性.
2.向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想.
3.向学生进行理论联系实际的教育.
（四）美育渗透点
学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美.
二、学法引导
1.教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法.
2.学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解.
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点与难点
根据简单应用题的题意列出二元一次方程组.
（二）疑点
正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程.
（三）解决办法
通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键.
四、课时安排
一课时.
五、教学具学具准备
投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题.
2.师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤.
3.通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺.
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习列二元一次方程组解应用题.
第5课 一次方程(组)和分式方程的应用
第5课一次方程（组）和分式方程的应用
一、例题导引
例 1 学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？
〔点拨〕一个男生能看到多少顶白色安全帽？一个女生能看到多少顶红色安全帽？
今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人.若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？
〔点拨〕总门票费÷门票单价＝，它
是数。
例 3 金泉街道改建工程指挥部要对某路程工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书。从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2/3；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合做30天可以完成。（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元。为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由。
〔点拨〕是列方程解应用题的关键。
等量关系是：＋
＝1，对于工程问题，它具有一般性；当实际施工费用预算施工费用时，施工费用够用。
10一次方程组的应用
《数学思维与能力训练》辅导讲义
姓名辅导日期
一次方程组的应用
【知识要点】
1、一次方程组是解决许多实际问题的重要工具，它被广泛应用于社会生活的各个领域，本讲主要讨论它在解决一些数学问题时的作用。
2、在初中奥数问题中，许多数学问题初看不属于一次方程组的问题，但经过分析，我们可以通过建立一次方程组来解决问题，这就体现了重要的转化思想，学会从另一角度转化和解决问题对于初中生能力和思维品质的培养有相当重要的作用。
【夯实基础】
［例题1］已知代数式ax + b，当x = 1时，代数式的值为7，当x = – 2时，代数式的值为– 2，求当x = 2时，这个代数式的值。
〖小试牛刀〗
1、已知代数式3xa – b，当x = 0时，代数式的值为3；当x = 1时，代数式的值为9，求a、b的值
2、已知代数式ax 2 + 3x – b ，当x = 1时，代数式的值为3；当x = – 2时，代数式的值为4，求当x = 3时，这个代数式的值
［例题2］已知
237713a b a b x y +-+与103225b a b x y -+-是同类项，求a 、b 的值
〖小试牛刀〗 若
232713m n m x y --与92418
m n n x y -+-是同类项，求m 与n 的值
［例题3］若 | x + y – 4 | 与 (2x – y + 7) 2 的值互为相反数，试求x 、y 的值
1、若| 3x + 2y – 4 | + | 3y – 2x + 5 | = 0，试求x、y的值
2、若(x – 3y + 6) 2 + | 4x – 2y – 3 | = 0，试求x、y的值
沪教版六年级升七年级- 一次方程(组)的应用,带答案
主题一次方程（组）的应用
教学内容
1．能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程级方程组解应用题；
2．经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力。
（以提问的形式回顾）
1. 解一元一次方程的步骤有哪些，需要注意什么？
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项
（5）系数化为一
讲解时可以举一个具体的方程，让学生解，然后总结。
2. 一件工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要15天完成，甲、丙先合做了3天后，甲因事离去，由乙和丙继续合做，问还需几天才能完成？
工程问题，把整个工程看成“1”，甲乙丙的工作效率就是
111
,, 101215
答案：10
3
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 甲、乙两站相距240千米，客车每小时行65千米，货车每小时行35千米。货车从甲站开往乙站1小时后，客车从乙站开往甲站，货车开出后几小时两车相遇？
【答案】设货车开出后x小时后两车相遇，由题意可得：
3565(1)240
x x
+-=
解得：x=3.05
多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
分析：题中有两个未知数，即每节火车车厢平均装的吨数与每辆汽车平均装的吨数。
题中两个相等的关系：
（1）8节火车车厢装的吨数＋10辆汽车装的吨数=440吨。
（2）10节火车车厢装的吨数＋5辆汽车装的吨数=520吨。
解：设平均每节火车车厢装x 吨，平均每辆汽车装y 吨，依题意得： 810440(82)(105)520x y x y +=⎧⎨++-=⎩
专题四 一次方程(组) 课件-九年级中考数学一轮复习
注意事项 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个多项式，去分母后加上括号
知识梳理
三、一元一次方程的解法
②去括号 具体做法
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
变形依据 分配律，去括号法则
注意事项 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
知识梳理
三、一元一次方程的解法
③移项 具体做法
x 2 y 5,①
y
2x.②
把②代入①，得5x 5.解得 x 1.
把 x 1代入②，得 y 2.
原方程组的解为
x y
12,.故答案为
x y
1, 2.
7.（2022.上海）解方程组
x y x2 y2
1
3的结果为__yx___.21
【解析】 x2 y2 (x y)(x y) 3，且 x y 1，
A.
1 7
1 9
x
1
B.
1 7
1 9
x
1
C.(9 7)x 1
D.(9 7)x 1
【解析】
把南海到北海的路程看作单位“1”，野鸭的速度是 1 ，大雁的速度为 1 ，
7
9
根据相遇时间=总路程÷速度和，即可列方程.设经过 x 天相遇，根据题
意得
1 7
1 9
x
1.故选
A
典型例题
中考总复习数学第1节 一次方程(组)及其应用
5. (2020·乐山)解二元一次方程组：28xx＋＋y3＝y＝2，9.
解：原方程组的解为x＝23， y＝－1.
6. (2020·杭州)以下是圆圆解方程x＋2 1－x－3 3＝1 的 解答过程．
解：去分母，得 3(x＋1)－2(x－3)＝1. 去括号，得 3x＋1－2x＋3＝1. 移项，合并同类项，得 x＝－3. 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正 确的解答过程．
自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，则
所购商品的标价是
元．
分析：设所购商品的标价是 x 元，由题意，得
①所购商品的标价小于 90 元， x－20＋x＝150 ，
解得 x＝ 85
；②所购商品的标价大于Байду номын сангаас90 元，
x－20＋x－30＝150 ，解得 x＝ 100 ．故所购商品
的标价是 100 或 85 元．
14. (2020·宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记 载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸； 屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳 子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量 木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为( A )
A.x＋3 2＝2x－9 C.3x－2＝x＋2 9
B.3x＋2＝x－2 9 D.x－3 2＝2x＋9
3.4二元一次方程组的应用
一次方程（组）的应用
一．选择题（共2小题）
1．如图，八个大小相同的小矩形可拼成下面两个大矩形，拼成图2时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小矩形的面积是（）
A．12 B．14 C．15 D．16
2．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）
A．360 B．480 C．600 D．720
二．填空题（共2小题）
3．六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为、个．
4．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是元．
三．解答题（共2小题）
5．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．
6．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．
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一次方程组的应用
一.本讲数学内容
列方程组解应用题
二．技能要求：
熟练掌握用二元、三元一次方程组解简单的应用题。
三．重要数学思想：
通过列方程组解应用题的训练，进一步领会方程的思想。
四．主要数学能力：
1．通过列二元或三元一次方程组解决应用问题的训练，学习把实际问题抽象成数学问题的方法，进一步培养分析问题和解次实际问题的能力。
2．通过将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养运用转化思想去解决问题，发展思维能力。
五．列方程组解应用题的一般步骤是：
①审题：弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，题目中的数量关系，尤其是要弄清给出了哪些等量关系。
②设未知数：一般有两种，设直接未知数（将题目中要求的未知数设为x,y），或间接未知数（与问题中要求的未知数相关的另一些未知数用x,y表示），看哪一种便于使用已知条件列出较简单的方程就选用哪一种。
③列方程：根据已知条件中某些相等关系列出两个独立的二元一次方程而组成二元一次方程组。
④解这个方程组：根据所列方程组的特点，选择适当的方法求得方程组的解。
⑤检验并作答：根据应用题中，所设未知数的实际意义判断方程组的解是否符合题意，最后写出答案。
六. 例题解析
第一阶梯
[例1]有10分和20分的两种邮票共16枚,总计价值2.50元,问10分和20分的邮票各多少枚？
提示：
通过情景1和2,我们可以很容易地就解决了这个问题.在情景3中的共有两个等量关系有：
10分的张数＋20分的张数＝16张;
10分×10分的张数＋20分×20分的张数＝250分.
参考答案：
解：设10分的邮票有x枚,20分的邮票有y枚,根据题意,得
由②得：x+2y=25. （3）
（3）－（1）得：y=9:
把y=9代入（1）,得
所以：
答：10分的邮票有7枚,20分邮票有9枚.
说明：
通过这3个情景的探索和解决,我们可以体会到学习用二元一次方程组解决问题的某些特征.首先,我们要找出题中的等量关系；
弄清问题中的等量关系之后,再根据实际需要设出未知数,列出方程组；然后求解出这个方程组,得出方程组的解；最后再找出实际问题的答案.
通过这个问题的解决,你是否有了一些关于用二元一次方程组解决问题的印象呢？如果你认为你已经具有了这方面的能力,请思考下边的情景探索单元2.
[例2]运输一批共360吨的货物,需用6节火车皮和15辆汽车.每辆汽车和每节火车各运多少吨货物？请用二元一次方程来表达这个数量关系.
提示：
①在这一个情景中,要求我们解决汽车与火车的平均运输能力问题,涉及到两个未知数,因此,我们可以用一个未知数x来表示平均每辆火车的运输的吨数,用另外一个未知数y来表示平均每辆汽车的运输的吨数.
②15×平均每辆汽车运输量＝汽车的总共的运输量.
6×平均每辆火车运输量＝火车的总共的运输量.
③等量关系为：
6×每节火车运输量＋15×每辆汽车运输量＝360吨.
参考答案：设平均每节火车装x吨,平均每辆汽车装y吨.根据题意得：6x+15y=360
说明：
对于这样的问题情景,我们在日常的生活中是随时可以遇到的.这种问题,我们总是可以把它用二元一次方程组来表示出来.与单元一中的情景1类似,我们只要搞清了情景中的各种数量关系,那么,解决这类问题就是一件十分容易的事了.通过此问题的解决,则否你认为你自己也能解决这样的问题了呢？
[例3]快车与慢车相距150千米,两车同时出发,相向而行,快车与慢车1.5小时相遇,用二元一次方程表示出题中所反映出的数量关系.
提示：
①在这个问题中,要我们求快车与慢车的速度,一共是要解决两个问题.因此我们可以利用二元一次方程来解决.同时,这是一个同时出发,同向而行的相遇问题.
②在行程问题中有一个很重要的数量关系：路程＝速度×时间.
③这个问题中所反映的运动如下图所示：
④通过对这个图的分析,我们可以发现有如下的数量关系；
快车行走的路程＋慢车行走的路程＝150千米.
⑤如果说我们设快车速度为x千米／小时,慢车速度为y千米／小时,那么快车行走的路程是1.5x千米,
慢车行走的路程是1.5y千米.
参考答案：
设快车行走的速度是x千米／小时,慢车的速度是y千米／小时,由题意可得：
1.5x+1.5y=150.
说明：
对于这类行程问题,我们必须首先画出行程问题的行走路线图,同时,对于行程问题中的相遇问题来说,我们一般都是采用分路程之和等于总路程的长度.
第二阶梯
[例1]1997年,某省的文物馆举行文物展览,当天来参观的人非常多,在晚上清理时,发现丢失了一批珍贵的古代铜钱,公安局接到报警后,要求管理员提供丢失的铜钱的详细情况.管理员只记得丢失的铜钱总数是32枚,面值是5元和2元,原价总共是100元.请你帮助管理员推算出丢失的铜钱的各种面值的枚数的详细情况.
根据这个问题的材料,我们可以把这个实际问题转化成如下的一个数学问题：问题：
有5元和2元的两种钱币共32枚,总计价值100元,问5元和2元的钱币多少枚？
提示：
①在这个问题要求我们解决面值为5元和2元的两种铜钱的枚数,共有两个未知数,因此,我们可以考虑用二元一次方程组来解决.
②题中的铜钱的总面值,即是面值为5元铜币的总钱数加上面值为2元的铜钱的总钱数,一共是100元.
③面值为5元的铜钱的总钱数＝5元×面值为5元的铜币的个数;面值为2元的铜钱的总钱数＝2元×面值为2元的铜币的个数.
④由此我们可以看出,只要我们知道了面值为5元的铜钱的枚数与面值为2地的铜钱的枚