探索空间平面法向量的求法与方向的判定
方向向量和法向量
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
与坐标轴平行或重合的直线的 方向向量的坐标有何特征？
x,y,z中有两个为0
与坐标平面平行（与坐标轴不平行）的 直线的方向向量的坐标有何特征？
x,y,z中有一个为0
例2、已知正四面体P-ABC的棱长 为a,试建立合适的空间直角 坐标系，并确定各棱所在直 线的一个方向向量。
z P
A x
E
Cy
Da B
空间直线的方向向量 和平面的法向量
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
一、空间直线的方向向量 1、定义
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系
4种常见方法归类
1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
知识点1空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →
＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →
.
(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →
＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →
.
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
2．空间平面的向量表示式
①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →
＝xa ＋yb
.
②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法
一、法向量定义
定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法
1、内积法
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，
在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的
方程组，解此方程组即可得到。
2、
任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3
个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法
设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两
者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指
由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=
（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）
Code
public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,
ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)
法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案
教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日
学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解
难度星级★★★★
教学内容
上堂课知识回顾（教师安排）：
1.平面向量的基本性质及计算方法
2.空间向量的基本性质及计算方法
本堂课教学重点：
1.掌握空间法向量的求法及其应用
2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距
3.熟练灵活运用空间向量解决问题
得分：
平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设→
n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.|
|||arccos 2,2
→→→
→→
→⋅⋅->=
<-=
AB n AB
n AB n π
π
θ 图2-1-2:2|
|||arccos 2,π
π
θ-⋅⋅=->=<→
→→
→
→
→
AB n AB n AB n
(2)、求面面角:设向量→
m ，→
n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：
平面法向量与平面的向量表示 人教课标版精品课件
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
在立体几何中，我们学习了线面平行，线面垂直，面 面平行，面面垂直这些重要的位置关系. 今天我们就来研究 如何借助空间向量来判断直线和平面，平面和平面之间的 位置关系.
如果直线 l 与平面 平行，那么直线的方向向量和平
面的法向量是什么关系呢？
lຫໍສະໝຸດ Baidu
n
v
当l//时，由于v//l,n ,
如图所示，可知v n 成立.
思考： （3）为什么这个方程组有无数多组解？ 因为这个方程组有三个未知数，但只有两个方程. 特别要注意，x, y, z不能同时为0.
方程组法求法向量的步骤： （1）找到平面上不共线三点的坐标； （2）写出两个不共线向量的坐标； （3）设法向量 n (x, y, z) ，根据垂直关系列方程组； （4）消元求解，找到一组使得 n 0 的解.
A
l
A
B
三垂线定理及其逆定理是两个非常重要的结论，对于 我们进行立体几何证明是很有帮助的.
下面我们来看两个应用三垂线定理进行证明的例子.
平面位置的确定及法向量
方向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB
z
(x2 x1, y2 y1, z2 z1)
AB,( R, 0)
O
均是直线l的方向向量
x
l A(x1,y1,z1)
y
B (x2,y2,z2)
例1、如图所示，已知长方体AC1中，
AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直线
的一个方z 向向量。
D1 A1
C1(1) AB, AD, AA1 B1 (2) AC, AB1, AD1
4D
Cy
x
3
A
5
B
(3) AC1, BD1, A1C, DB1
三、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
2、一个平面α的法向量也是所有与 平面α平行的平面的法向量。
例 2：在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
数学33《空间直线的方向向量和平面的法向量》教案
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量
一、教学内容分析
这一节课重点介绍了空间直线的方向向量的概念和求法.例1是长方体在已经建立了空间直角坐标系得基础上求相关直线的方向向量，例2要求读者根据自己的理解，建立坐标系后求三棱锥中相关直线的方向向量；这两个例题都是简单几何体中空间直线的方向向量的基本运算，必须掌握好空间直线的方向向量求法，为后面用空间直线的方向向量求解有关度量问题打下好的基础.
二、教学目标设计
1、理解空间直线的方向向量概念；
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
三、教学重点及难点
1、理解空间直线的方向向量概念;
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
四、教学用具准备
运用多媒体展示相关例题及图形
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一）问题引入
1、
复习：平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 2、 思考：如何表示空间直线的方向？
（二）学习新课
1、空间直线的方向向量的概念
（1）怎么确定空间直线的方向向量？
对于空间任意一条直线l ,我们把与直线l 平行的非零向量d 叫做直线l 的一个方向向量.
（2）空间直线的方向向量是唯一的吗？
（3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
2、尝试解决
例1 如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点，
（1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向.
解：（略）
（三）巩固新知
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．
（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．
2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．
探索空间平面法向量的求法与方向的判定
“
量无论无论是
和具有规具有规律性。
时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定
问题，都离不开平面的
成角
”
”
距离
“
问题，还是
杨玉春
(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)
向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质
转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实
现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几
何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论
是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的
法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶
颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的
大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是
指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判
定。
一、平面法向量的求法
1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B，
则或即为平面α的一个法向量。
2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0
n ·b=0求出λ，μ即可。
（2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。
3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。
4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ）
高中数学 3-2-1空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量课件 苏教版选修2-1
答案
2
规律方法 若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则 l1与l2的方向向量平行．
【变式1】 若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)， b＝(8，2，2)，则l1与l2的位置关系是________． 解析 答案 因为a· b＝(1，－3，－1)· (8，2，2)＝8－6－2＝0， 垂直
n· a＝ 0， x、y、z 的方程组 b＝0. n·
(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．
题型一
直线 的方向向量及其应用
【例1】 设直线l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，直线l2的方向 向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. [思路探索] 两直线垂直，则两直线的方向向量也垂直． 解析 由题意，得a⊥b，所以a· b＝(1，2，－2)· (－2，3， m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.
→
→
→
2． 平面的法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角
坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： (1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
(3)根据法向量的定义建立关于
【例3】 (14 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，
平面法向量的求法
A(1,0,0)
,
A1(1,0,1)
x
D
Cy
A
故平面AC1D1的截距是 1 ,∞ ,1
B
故平面AC1D1的法向量为
r n (1,0,1)
绕轴轴为○
uuur r
故所求距离为
OA• n
uuuur
| DA1 |
( 1 , - 1 , -1)g(1,0,1) 22 2
-
2 4
2 4
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含0速算法：
n
•
CD1
（1,1,1）(0,1,1）
0
A x
D
故 n （1,1,1）是平面A1C1B的法向量
C1
B1
y C B
3.三步法： 一设二乘三特值
设 n （x, y, z）是平面α的法向量，则
n • AB 0
不妨取
n • AC 0
即 n （x0 , y0 , z0）
x x0 y y0
3
2
4 3
4
3 4 2
＝ 1(8) 27 4(2) ＝ 14
xyz
②1 2 1
2
＝ x 3
1
1
y
4
2
平面法向量的探索性学习
Ａ （ １ 曼 ： 二 １ ２
ｔ — ｙ１ ‘
解这个不定方程组得 ： Ｂ （＿ ｘ ２ ＝Ｃ ｘ ｒ ： ） ． ｚ
．
ｌｌ ｙ—
设向量二 （ Ｙ， ） ＝ Ｙ，） ＝ 。。占 （ ２： ， ｚ 是平面 内两个不共线的向
案只有 Ｂ 。
● —— ———
典型案例 ２ ． 下列关于质点 的说法 中正确的是
（
）
再 比如地球围绕 太 阳公转时 ， 地球 本身有大 小和形 状 ， 对 但
Ａ研究人 造卫星绕地球的运行 时间时 ， ． 卫星不能看成质点 Ｂ研究足球运动员踢 出的弧旋球时 ， ． 不能把足球 看成质点 ｃ欣赏芭蕾舞演员精彩 的表演时 ， 以把她看成质点 ． 可 Ｄ沿光滑 水平冰面做直线运动的箱子 ， 以看成质点 ． 可
车轮的运动就不能看成质点 ， 因为这是一个转 动问题 ， 各部分运 动情况均不相 同。
（ 即运动员的体形及 大小） （ ） ， ；２ 能 分析运动员的助跑速度时 ． 可以
忽略其姿势及动作（ 即运动 员的体形及大，）（） ， １ ； 能 理由同（ ） 、 ３ ２。
参考文献 ：
［］ １ 中学物理． 黑龙江教育 出 版社 ， 国家教 育出版社 ， １—７ ２ ０ ０． ０
［］ ２ 中学教材 全解 ・ 中物理 必修 １陕 西人 民教 育 出版社 ， 高 ．
直线的方向向量与平面的法向量 课件
量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔__a_⊥__c_且__b_⊥__c_(_或__a_·c_＝__0_且__b_·_c＝__0_).
图 3－2－1
思维突破：用向量法证明线面平行有如下方法：①证明直 线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面 内；②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面 向量且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直．证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行．
证明：如图 D14，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz.
证明：证法一：设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c. 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12(A→B＋A→D)＝c＋12(a＋bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1 ＝12(a＋b)－12c，
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
法向量求法及其空间几何题解答
法向量求法及其空间几何题解答
XX一对一个性化辅导教案教师科目数学时间2022年X月X日学生年级高二学校XX校区授课内
容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解难度星级★★★★教学内容上堂课知识回顾（教师安排）：
1.平面向量的基本性质及计算方法
2.空间向量的基本性质及计算方法本堂课教学重点：
1.掌握空间法向量的求法及其应用
2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距
3.熟练灵
活运用空间向量解决问题得分：
平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面
的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。
二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面
的一条斜线，，则AB与平面所成的角为：
图2-1-1:图2-1-2:图2-1-1αBACABα图2-1-2Cα图2-3ββα图2-2(2)、求面面角:设向量，分
别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：
（图2-2）;(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；
在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简
称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的
立体几何中平面法向量的求法
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。 此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25
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“
量无论无论是
和具有规具有规律性。
时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定
问题，都离不开平面的
成角
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”
距离
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问题，还是
杨玉春
(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)
向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质
转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实
现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几
何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论
是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的
法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶
颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的
大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是
指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判
定。
一、平面法向量的求法
1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B，
则或即为平面α的一个法向量。
2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0
n ·b=0求出λ，μ即可。
（2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。
3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。
4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ）
则a ×b= =( ,| |,|)
=(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---)
取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。
二、空间平面法向量方向的判定
1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。
2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
量a ×b 方向相同；当λ＜0时，n 方向与向量a ×b 方向相反。
3、用待定系数法或空间平面方程求出的法向量可用如下方法判定：
二面角法量方向的判定应该选定一个向量作为参照向量n 。(这个参照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角内部)。如图(2)，设平面α的法向量分别为12,n n ，在二面角α—λ—β内的一个参照向量为0n ,当10n n ∙＞0时，显然1n 与0n 的夹角为锐角，我们称法向量1n 的方向指向二面角的内部；当20n n ∙＜0时，显然2n 与0n 的夹角为钝角，我们称法向量2n 的方向指向二面角外部。再依据当二面角的两个半平面的法向量同时指向二面内部或同时指向二面角外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系；概括为：“同内同外互补，一内一外相等”。
三、举例示范空间平面法向量求法与方向的判定
例：如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90º,SA ⊥平
面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21。
Ⅰ：求SC 与平面ABCD 所成的角。
Ⅱ：求点A 到平面SCD 的距离。
Ⅲ：求平面SAB 与平面SCD 所成角的大小。
Ⅳ：求二面角A —SC —D 的大小。
解析：如图，以A 为原点，以向量
AB 、AD 、AS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系。则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D （0，2
1，0），S(0，0，1)
Ⅰ：由题意:SA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为n=AS=(0，0，1),又。
∴SC 与平面ABCD 所成的角为：
Ⅱ：(1)设平面SCD 的一个法向量为
n=(1,λ,μ)
即n=（1，-2，-1）
（2）或设平面SCD 的法向量为n=（x,y,z ）
不妨令y=-2，则平面SCD 的一个法向量为
n =(1,-2,-1)
(3)或设平面SCD 的方程为Ax+By+Cz+D=0(其中A 、B 、C 不同时为零)，则n =(A 、B 、C)是平面SCD 的一个法向量。
把S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,21,0)分别代入平面方
程，得
不妨令B=-2,则A=1，C=-1，从而
n =(1,-2,-1)为平面SCD 的一个法向量。 (4)或由SC=（1，1，-1），SD=(0,2
1,-1)，则SC ×SD =
∴平面SCD 的一个法向量可取n =-2（-21,1, 21）=
（1,-2,-1）
以上四种方法都可以轻松求出平面SCD 的一个法向量n =（1,-2,-1）
∴点A 到平面SCD 的距离为
Ⅲ:平面SAB 与平面SCD 所成的角就是法向量 AD = （0，，0）与法向量n=（1,-2,-1）所成角或其补角。
∴平面SAB 与平面SCD 所成角为arccos 36或-arccos 36
Ⅳ:由(Ⅲ)知平面SCD
的一个法向量为n =(1,-2,-1)在二面角A-SC-D 内选择一个参照向量0n =DA=(0,21,0),由DA ·n =-1＜0，∴n 方向是指向二面角外部。
同进可求得平面SAC 的一个法向量m=（1,-1,1），又AD=(0,2
1,0)，AD ·m =＞0。 ∴m 的方向指向二面角内部，由“一内一外相等”知二面角A-SC-D 的大小为＜n, m ＞，又COS ＜n, m ＞=
，
∴二面角A-SC-D 的大小为arccos 3。 值得一提的是当求两平面所成角大小时，并不须要判断法向量方向，因此当时二面角有两个其大小互补；求二面角大小时，应判断法向量方向，因为二面角的大小唯一的。