探索空间平面法向量的求法与方向的判定
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
空间向量的应用(1)直线方向向量和平面法向量PPT课件(高中数学)
学习新知 1.把直线l上的向量 e以及与 e共线的向量叫做 直线l的方向向量. 在空间中,已知直线上一点和直线的方向向量,
可以惟一确定这条直线.
例题: 1.已知直线过点M(1,2,3),且直线的一个方向向
量是 a (2, 3, 1),求这条直线的方程.
2.如果表示非零向量 n 的有向线段所在的直
P(x0,y0,z0),平面 的一个法向量e ( A, B, C)
M(x,y,z)是平面 内任意一点,求x,y,z满足的 关系式.
空间平面方程的一般形式: 关于x,y,z的一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C不全为零)
练习:
2.已知A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,-1),
(1)写出直线BC的一个方向向量是____________
(2)设平面经过点A,且BC是 的法向量,M(x,y,z)是平 面内任意一点,则x,y,z满足的关系式为__________
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的 方程是____________,平面ABC的一个法向量 可以是____________.
怎样求出平面ACD1的法向量?
z
D1
C1
A1
B1
D
O
A
x
C
y
B
练习:
1.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,O为AC,BD的交 点,E为CC1中点,求证: A1O是平面BDE的法向量.
zHale Waihona Puke D1怎样求出平面BDE的一个单位A1 法向量?
C1 B1
E
D
O xA
Cy B
例题: 3.在空间直角坐标系中,设平面 经过点
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb.②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A 和直线l 的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．【答案】1)-【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则(0,0,1)P ，C ，所以1)PC =-即为直线PC 的一个方向向量.变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y =________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴8532x y ==-，∴20,12x y =-=，故答案为：20-；12.变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线l 的一个法向量是)n =，则l 的倾斜角的大小是（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．π2【答案】A【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到y =，即可求解.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =.则0u n y ⋅=-=，即y =，则tan y xθ==又[)0,πθ∈，解得π3θ=，故选：A.变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AA B ．1C EC ．ABD ．1A A【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为111////C E AA A A ，所以1AA ，1C E ，1A A都可作为直线1AA 的方向向量.故选：ABD.变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A考点二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A ．(1,1,1)---B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】A【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】(2,2,0)AB =- ，(2,0,2)AC =- ，令法向量为(,,)m x y z = ，则220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，y z x ∴==，可取(1,1,1)m =---.故选：A.变式1．（2023春·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B．C ．111(,,)333D．(,)333-【答案】B【分析】待定系数法设平面ABC 的一个法向量为n，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,1,1,0AB BC =-=- ，由0000AB n AB n y z x y BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ ，即x y z ==，又因为单位向量的模为1，所以B 选项正确，故选：B.变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，=90BDC ∠︒，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,0【答案】B【分析】根据题意，设1BD AB CD ===，可得A 、C 、D 的坐标，由此可得向量DC 、AD的坐标，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，利用特殊值求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设1BD AB CD ===，则()0,1,0D ，()1,1,0C ，()0,0,1A ，则()1,0,0DC = ，()0,1,1AD =- ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z=，则有00DC m x AD m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得1z =，则()0,1,1m = .故选：B ．变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为a ，则(0,,0)D a ，1(0,,)D a a ，1(0,0,)DD a = ，则1DD与(0,0,1)平行，故直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)，故①正确；因为(,0,0)B a ，1(,,)C a a a ，所以1(0,,)BC a a = ，因为1BC与(0,1,1)平行，所以直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，故②正确；因为(0,0,0)A ，(0,,0)D a ，所以(0,,0)AD a = ，因为AD 是平面11ABB A 的一个法向量，且AD与(0,1,0)平行，所以平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)，故③正确；因为(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，所以(,0,0)CD a =-，因为(1,1,1)(,0,0)(1,1,1)0CD a a ⋅=-⋅=-≠ ，所以CD与(1,1,1)不垂直，所以(1,1,1)不是平面1B CD 的一个法向量，故④不正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；【答案】()（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知23CH OC DH===，则(),0,1,0,0,,333H B D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0,3HD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,1,3BH⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z=为平面BHD的一个法向量，则3n HD zn BH x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨设1x=，则()n=.故平面BHD的一个法向量为().故答案为：()（答案不唯一）变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为棱1111,A D A B的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【答案】(1)(2,2,0)=-AC(答案不唯一)(2)(2,2,1)n=--(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.【详解】（1）由题意，可得()()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,2D B A C E ,连接AC ，因为底面为正方形，所以AC BD ⊥,又因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D = ，则AC ⊥平面11BDD B ，∴(2,2,0)=-AC 为平面11BDD B 的一个法向量.(答案不唯一).（2）(2,2,0),(1,0,2).DB DE ==设平面BDEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,0220,,120,.02y x n DB x y x z z x n DE =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨+=-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩令2x =，得2, 1.y z =-=-∴(2,2,1)n =--即为平面BDEF 的一个法向量.(答案不唯一).变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD【分析】A ：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ= ；B ：与AB同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C ：由投影向量的定义可解；D ：应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ= ，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是||AB AB ==，正确；C：由cos ,11||||AB BCAB BC AB BC ⋅==-，则BC 在AB方向上的投影向量是()cos ,2,1,0AB BC AB BC AB ⎛=⨯-- ⎝⎭，正确；D ：若(,,)m x y z = 是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令=2y -，则(1,2,5)m =- ，正确.故选：BCD变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,1【答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．(1)若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；(2)若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】3(2)482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==--，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM =，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z xy x=-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，设直线CM 与平面ACD ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=n 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据每个选项中P 点的坐标，求出AP的坐标，计算AP n ⋅ ，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P 是否在平面α内.【详解】对于选项A ，()1,5,1AP =-- ，所以1351120AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，根据线面垂直的性质可知AP α⊂,故()1,1,1P -在平面α内；对于选项B ，11,9,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11391202AP n ⋅=-⨯+⨯+⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项C ，11,3,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11331202AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项D ，113,3,4AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则113331204AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭不在平面α内；故选：A变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点()01,2,3P -在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅= ∣，其中()1,1,1n =-是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A ．()2,4,8-B ．()3,8,5C ．()2,3,4-D ．()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y =x+z ，再判断选项.【详解】设(),,P x y z 是平面α内的一点，则()01,2,3P P x y z =+--，所以()()()1230x y z +--+-=，即y =x+z ，选项B 满足．故选：B考点三：用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，计算数量积，即可判断出结论．【详解】 直线的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，2570a u →→∴⋅=+-=，∴a u →→⊥，l α∴∥或l ⊂α，故选：A变式1．（2023春·高二单元测试）若平面α与β的法向量分别是()1,0,2a =-，()1,0,2b =-r，则平面α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r是平面α与β的法向量，则a b =-，所以两法向量平行，则平面α与β平行.故选：A变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面α与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面α与平面ABC 的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算AB m ⋅ ，AC m ⋅ ，可得0m AB ⋅= ，0m AC =⋅ ，从而可知m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，所以可得平面α与平面ABC 平行.【详解】平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，()220410AB m =⨯⨯=⋅++- ，()2116410AC m =⨯+-⨯+⨯=⋅，所以m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(2,1,4)m =-，又因为平面α与平面ABC 是不重合的两个平面所以平面α与平面ABC 平行.故答案为：平行.变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故答案为：2:2:1变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由,a μ的关系式即可判断B ；由12,n n 的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，所以a b =-，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-且53a μ=-，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则有212n n =-，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =- ，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=，22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =.故答案为：10变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s →=，平面α的法向量()21,,n x x x →=--，若直线l α∥，则x =___________.【答案】1【分析】结合已知条件可得s n →→⊥，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.【详解】由题意可知，s n →→⊥，因为()1,1,1s →=，()21,,n x x x →=--，从而210s n x x x →→⋅=+--=，解得1x =.故答案为：1.变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面α的一个法向量为()11,2,3n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k 的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把//αβ转化为12//n n，可得k 的值.【详解】因为平面α的一个法向量为()11,2,3n =- ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，又因为//αβ，所以12//n n，可得()()342k -⨯-=，即得6k =.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；【解析】以点A 为坐标原点，AB ､AC ､1AA 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A ，()2,0,0B ，()0,2,2M ，()1,1,0N ，()1,0,4P ．取向量()2,0,0AB = 为平面11ACC A 的一个法向量，()0,1,4PN =-，∴()0210400PN AB ⋅=⨯++-=⨯⨯，∴PN AB ⊥ ．又∵PN ⊄平面11ACC A ，∴PN ∥平面11ACC A ．变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；【解析】连接OC ，因为//,AO BC AO BC =，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ，所以OC AD ⊥，以OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则(P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C．11,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PA =-，(1,1,PB =- ，设平面PAB 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100PA n y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，则0x =，令1z =-，y =平面PAB的一个法向量()11n =-，1022CE n ⋅== ，则1CE n ⊥ ，又CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114AC =.证明：//DE 平面11ACC A ；【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，2BC =，AB =114AC =.所以114AC AC ==，则222AC AB BC =+，则AB BC ⊥，则如下图，以B 为原点，1BC BA BB ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设1BB h =，则()()()00000200A B C ,,,,,,,,()()()()()111000200010A h B h C h D E h ,,,,,,,,,,,,所以()1DE h =，()()12000AC AA h =-=，，，，，设平面11ACC A 的一个法向量为()n x y z =，，，所以1200AC n x AA n hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0x z ==，即)0n =，，所以())1000DE n h ⋅=⋅==，，得DE n ⊥，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ；变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；【解析】因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22A B C D E M N P ，所以(0,1,0),(1,0,1)DE DB ==-，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n = ，又11,1,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可得0MN n ⋅=，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；【解析】证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,4,0C ，()1,2,1M ，()2,1,0E ，()1,0,1DM =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD = ，故0DM AD ⋅=，则DM AD ⊥ ，又DM ⊂/平面PAB ，故//DM 平面PAB ．变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点.求证：MN ∥平面PAB ；【解析】（1）由题意，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD AP ==，AB AD ⊥,M ，N 分别是BC ，PD 的中点，∴11222BM CM BC AD ====，2AB CD ==，在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，AB AD ⊥，∴AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴PA AB ⊥，取AP 中点E ，连接BE ，由几何知识得BE MN ∥，∵AD MN ⊥，∴AD BE ⊥，AD AB⊥∵BE ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，AB BE B = ∴AD ⊥面PAB ，∴PA AD⊥以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如下图所示，∴()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ，∴()2,0,2MN =- ，面PAB 的一个法向量为()0,4,0AD =，∵2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴MN ∥平面PAB .变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uu ur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =- ，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.变式7．（2023·上海普陀·ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；【解析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==-，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，则（）A ．12l l ⊥B ．1l ∥2l C ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合【答案】A【分析】由题意可得0a b ⋅= ，即得a b ⊥，从而得12l l ⊥，即得答案.【详解】解：因为直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，(1,3,1)(8,2,2)8620a b ⋅=--⋅=--=所以a b ⊥ ，即12l l ⊥.故选：A.变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=-，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则直线l 和平面α位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l α⊂D ．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l 的方向向量和平面α的法向量的关系，即可判断直线l 和平面α位置关系.【详解】由题意直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,可知e 2n =-，故l α⊥,故选：A变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n αβ⇔∥∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．1v n l ⇔ α∥∥D ．1v n l ⊥⇔⊥ α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n 共线,即12n n∥,故选项A 正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n ∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)u v =-=-，则0u v =⋅，所以αβ⊥，故C 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =- ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//μα ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC ．变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有()A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN共面，可得A ，B ，M ，N 共面，故A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a ⊥ ，可得l 与m 垂直，故B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+= ，故a n ⊥，可得在α内或l ∥α，故C 错误；对于D ，()1,1,1AB =- ，易知AB n ⊥，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，故D 正确．故选：ABD ．（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面α的法向量为()1,2,0n = ，直线l 的方向向量为v，则下列选项中使得l α⊥的是（）A ．()2,1,0v =-B ．()2,1,0v =C ．()2,4,0v =D ．()1,2,0v =-【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若l α⊥，则直线l 的方向向量v垂直于平面α，所以v与平面α的法向量()1,2,0n = 平行，显然只有选项C 中2v n = 满足.故选：C变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+∈R.若l α⊥，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．4【答案】A【分析】根据题意得到//e n ，进而得到方程组12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()2,,n a b a b =--+ ，因为l α⊥，可得//e n ，所以2212a b a b--+==-，即12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13,22a b =-=-，所以193522a b +=--=-.故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+∈ 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r是平面α的法向量．若l α⊥，则ab =______．【答案】27【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得u n ∥，进而求得,a b ，即得.【详解】∵l α⊥，∴//u n ，∴3124a b a b-+==，故612a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得93a b =⎧⎨=⎩，∴27ab =．故答案为：27.变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-【答案】C【分析】由l α⊥可知l 的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】l α⊥ ，l ∴的方向向量为()2,1,m 与平面α的法向量11,,22⎛⎫⎪⎝⎭平行，∴1(2,1,)(1,,2)2m λ=．∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得4m =．故选：C ．变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =，2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A ．12B ．13-C．4D．6【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2DA DB DC ===，等边△ABC32=，在正棱锥中，以O 为原点，平行CB 为x 轴，垂直CB 为y 轴，OD 为z 轴，如上图示，则11(0,1,0),(,,0),(,,0),2222A B C D --，且)P ，所以)AP =，1,)2PB =，CB = ，若(,,)m x y z = 为面PBC的法向量，则1020PB m y z CB m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，则(0,,1)m = ，又PA ⊥平面PBC ，则AP km = 且k为实数，101k k λ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故λ=.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .。
用空间向量研究直线、平面的位置关系
图
直线的方
向向量
求
l
a
B
A
平面的法
向量
示
α
l
法
① 取两点；② 定向量.
例题小结 直线的方向向量和平面的法向量的求法
向量名称
图
直线的方
向向量
示
求
l
a
B
法
① 取两点；② 定向量.
A
l
① 找到 ⊥ ；② l 的方向向
量即为平面的法向量.
u
平面的法
向量
α
α
a
b
例题小结 直线的方向向量和平面的法向量的求法
直观想象
空
间
向
量
逻辑推理
数学运算
课堂小结
问题5：本节课主要学习了哪些知识内容？
• 用向量表示点： OP
• 用向量表示直线：OP OA ta
• 用向量表示平面：OP OA x AB y AC
P
a AP 0 , 其中a是平面的法向量.
课堂小结
问题6：本节课主要学习了哪些思想方法？
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta ,
①
OP OA t AB. ②
都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
取向量b，b与a有什么关系？
所以 P a AP 0
P b AP 0.
P a AP 0
空间平面方程的求法_论文
空间平面方程的求法1、 用参数方程题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程.①矢量式参数方程 错误!=错误! + t 1错误!+t 2错误!其中错误!=｛X 1,Y 1，Z 1｝， 错误!={X 2，Y 2，Z 2｝②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102*********Zt Z t z z Y t Y t y y X t X t x x例1、 写出下面的参数方程:通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧vu z u y vu x -+=-=++=313322例2、证明矢量},,{Z Y X v =平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX证明:不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ,把这平面的方程化为参数式:,,,v z u y v A C u A B A D x ==---=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C-,从而知},,{Z Y X v =与已知平面共面的充要条件为v与}0,1,{A B -，}1,0,{A C-共面,或 01001=--AC A BZYX ,即0=++CZ BY AX 。
如果在直角坐标系下,那么由于平面的法矢量为},,{C B A n =,所以v平行于平面的充要条件为0=⋅v n，即0=++CZ BY AX 。
2、 用点位式方程题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。
222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=03、用三点式方程题目的条件是平面上的三个已知点。
131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：由已知，得02921627=+z y x， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x 。
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
空间中点、直线和平面的向量表示课件-2024-2025学年高二上数学人教A版2019选择性必修第一册
3. 空间平面的向量表示式
思考3►►►一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量表示这
个平面？
我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定.
如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分
别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基
本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得
D1
z
A1
D
A
x
M
⑵∵AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，
∴M，C，A1的坐标分别(3,2,0)、(0,4,0)、
(3,0,2)，因此=(-3,2,0),1 =(0,-2,2),
设2 =(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
∴ቐ
2 ∙ = −3 + 2 = 0
3.列方程组：由൝ ∙ = 0列出方程组；
∙ = 0
4.解方程组：൝ ∙ = 0；
∙ = 0
5.取一组非零解，得法向量.
【例2】已知长方体ABCD-A1B1C1D1
中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB
中点.以D为原点，DA, DC, DD1所在
直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所
点
线
面
？
？
？
几何中
向量中
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是
组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先
要用向量表示空间中的点、直线和平面．
1. 点的位置向量
思考1►►►如何用向量表示空间中的一个点的位置？
如图，在空间中，取一定点O作为基点，
那么空间中任意一点P可以用向来表
平面位置的确定及法向量
方向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB
z
(x2 x1, y2 y1, z2 z1)
AB,( R, 0)
O
均是直线l的方向向量
x
l A(x1,y1,z1)
y
B (x2,y2,z2)
例1、如图所示，已知长方体AC1中，
AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直线
的一个方z 向向量。
D1 A1
C1(1) AB, AD, AA1 B1 (2) AC, AB1, AD1
4D
Cy
x
3
A
5
B
(3) AC1, BD1, A1C, DB1
三、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
3 33
33 3
1：如图所示，在棱长为2的
正方体中,E是平面ABCD的中心,
求平面EA1D1的法向量。
z
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C E
B
2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面的一个法向量：
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A1
(1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例 4：已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
120线面角确定法向量
120线面角确定法向量
确定法向量的方法取决于线面的具体情况。
如果你是在讨论三
维空间中的平面，那么我们可以使用平面的法向量来表示。
假设我
们有一个平面Ax + By + Cz + D = 0，那么这个平面的法向量可以
通过系数A、B和C来确定，即法向量为(Nx, Ny, Nz) = (A, B, C)。
这意味着法向量的分量与平面方程中x、y和z的系数是一致的。
另外，如果你是在讨论二维空间中的直线，那么我们可以使用
直线的斜率来确定法向量。
对于直线y = mx + c，其中m是斜率，
那么法向量可以表示为(Nx, Ny) = (1, -1/m)。
这意味着法向量的
x分量始终为1，而y分量则与斜率有关。
此外，如果是在讨论曲线上的某一点的法向量，我们可以使用
曲线的切线来确定。
在微积分中，我们可以通过对曲线进行微分来
找到切线，然后取切线的垂直方向作为法向量。
总之，确定法向量的方法取决于所讨论的线面的具体情况，可
以是通过平面方程的系数、直线的斜率或曲线的切线来确定。
希望
这些信息能够帮助到你。
平面法向量的求法及其应用
B
又
2 MA ( a,0,0) 2
d
| m MA |
|m|
1 a 2
四
用空间向量解决立体几何 的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直 的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综 合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问 题；（化为向量问题）
求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导(图2-4) ：
①作直线a、b的方向向量，求a、 b的法向量 n ，即此异面直线a、 b的公垂线的方向向量；
B
b
n
A B 图2-4
a
②在直线a、b上各取一点A,B,作 向量 AB ； ③求向量 AB 在 n 上的射影d，则异 面直线a、b间的距离为：
AC PB
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成 二面角的大小 解：以点A为坐标原点建立空 间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0) B(0,2,0) C(1,2,0) D(1,0,0) P(0,0,1)
z P M A By
1 M(0,1, 2)
1 (III ). CM (1,0, ) CA (1,1,0) 2
2 2 2 2 m (a , a , a ) 2 2
2
n (0, 2a 2 , 2a 2 )
m n 0
m n
又 BD1 (
2a,a, a) BA1 (0,a, a)
即平面A1MC⊥平面A1BD1.
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。 解：以点D为坐标原点建立空 间直角坐标系如图所示，则 A( 2a ,0,0 ) B( 2a,a,0)
[原创]法向量求法及应用方法
![[原创]法向量求法及应用方法](https://img.taocdn.com/s3/m/5a23764b3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8d0.png)
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z = ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥ ，得0n a ⋅= 且0n b ⋅= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y（注：1、二阶行列式:c a M = cb ad db-=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ，试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n。
人教版【高中数学】选修2-1第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 平面的法向量1.平面法向量的定义(1)定义:已知平面a 如果向量n 的基线与平面a 垂直,则向量n 叫做平面a 的法向量或说向量n 与平面a 正交.(2)平面法向量的性质:①平面a 的一个法向量垂直于与平面a 共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.2.平面的法向量的求法方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y,z 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在利用方法二求解平面的法向量时,方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n 有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.3.平面法向量的作用详解:设n 1,m 2分别是平面a,β的法向量,m 是直线l 的方向向量,则有:①l ∥a 或l ⊂a ⇔m ⊥n 1⇔m ·n 1=0；②l ⊥a ⇔m ∥n 1；③a ∥β或a 与β重合⇔n 1∥n 2；④a ⊥β⇔=n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0.知识点二 三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.①三垂线定理的符号描述如右图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥OA,则a ⊥PA.②三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥PA,则a ⊥OA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a ⊥b 的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b 便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a 垂直,从而得出a,b 垂直.典型例题分析题型1 求平面的法向量【例1】已知平面a 经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a 的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a 的法向量.答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a 的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=--=--,0342,042z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.0,2z y x 令y=1,则x=2,所以平面a 的一个法向量为n=(2,1,0 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC 的一个单位法向量 答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC 的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=+-=+-,053,043z x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,53,43x z x y ,即平面A 的法向量为n(x ，43x,53x),所以平面ABC 的单位向量为n 0=n n =(76920,76915,76912)或n 0=-n n =(-76920,-76915,-76912). 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求平面ACD 1的法向量n 和单位法向量n 0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得AC =(-1,1,0),AD =(-1,0,1).又n ⊥面ACD,得n ⊥,n ⊥,所以有⎩⎨⎧=-∙=-∙,0)1,0,1()1,,(,0)0,1,1()1,,(y x y x 得⎩⎨⎧==,1,1y x ∴n=(1,1,1), n 0=n n =111)1,1,1(++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,33,33. 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB 1⊥AD 1,DB 1⊥CD 1,从而DB 1⊥平面ACD 1,所以1DB 就是平面ACD 1的一个法向量.【变式训练2】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在BC,DD 1上是否存在点E,F,使B 1是平面ABF 的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F 满足的条件;若不存在,请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B 1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),B 1=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).∵·E B 1=0,∴AB ⊥B 1E. 若F B 1是平面ABF 的法向量,则F B 1·=m-1+1-h=m-h=0,∴h=m 即E,F 满足D 1F=CE 时,F B 1是平面ABF 的法向量.所以存在,且E,F 满足D 1F=CE.题型2 三垂线定理及其逆定理的应用【例3】 如下图,下列5个正方体图形中,线段l 是正方体的条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)① ② ③④ ⑤ 解析 本题以正方体为依托,主要考查直线与平面垂直的判定,比较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固定,截面MNP 变动,l 与面MNP 是否垂直,可以从正、反两方面进行判断,MN 、NP 、MP 三条线中,若有一条不垂直l ,则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条相交直线与l 都垂直,则可断定l ⊥ 面MNP.答案 解法一:如果记正方体对角线l 所在的对角线截面为a,各图可讨论如下:在图①中,MN 、NP 在平面a 上的射影为同一直线,且与l 垂直故l ⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是MP 的垂线,故l ⊥MP ；在左侧的射影是MN 的垂线,故l ⊥MN,从而l ⊥面MNP.在图②中,由MP ⊥面a,可证明MN 在平面a 上的射影不是l 的垂线,故l 不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.在图③中,点M在a上的射影是l的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a 上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面MNP.在图④中,平面a平分线段MN,故l⊥MN,又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥平面MNP.在图⑤中,点N在平面a上的射影是对角线l的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且l与这一直线垂直从而l⊥面MNP.至此,得①④⑤为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角线l的方向向量可取为l=(2,2,-2).对图①,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),=(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由l·MP=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图②,有MN=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1),由l·≠0知l与面MNP不垂直.对图③,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由l·MP≠0知与面MNP不垂直.对图④,有MP=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1),=(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图⑤,有MP=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),MN=(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP综合得本题答案为①④⑤.方法指导从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可.【变式训练3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1⊥平面EFG.答案如下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以EF ⊥BD.因为BD 为BD 1在平面AB 上的射影,所以BD 1⊥EF(三垂线定理).同理BD 1⊥EG,故BD 1⊥平面EFG.【例4】 如右图,P 是△ABC 所在平M 面外一点,且PA ⊥平面ABC,若O,Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心,求证:OQ ⊥平面PBC.解析 欲证线面垂直,只须证明OQ 垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA ⊥面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解答案PAE BC PE BC PBC Q AE BC ABC O 平面的垂心是的垂心是⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒∆⊥⇒∆. 因为OQ ⊂平面PAE,所以OQ ⊥BC,因为PA ⊥平面ABC,BFC 平面ABC 所以BF ⊥PA,又因为O 是△ABC 的垂心,所以BF ⊥AC,所以BF ⊥平面PAC,则FM 是BM 在平面PAC 上的射影. 因为BM ⊥PC,根据三垂线定理的逆定理,可得FM ⊥PC,从而PC ⊥平面BFM,又OQ ⊂平面BFM,所以OQ ⊥PC,又PC ∩BC=C,所以OQ ⊥平面PBC.方法指导 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具. 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,求证:A 1C ⊥BC 1.答案 如上右图,取BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1,由正三棱柱的性质知AD ⊥面BCC 1B 1,A 1D 1⊥面BCC 1B 1,所以B 1D 、CD 1分别为AB 1、A 1C 在面BCC 1B 1上的射影.因为AB 1⊥BC 1,所以B 1D ⊥BC 1(三垂线定理的逆定理)又D 、D 1分别为BC 、B 1C 1的中点,所以B 1D ∥CD 1,所以CD 1⊥BC 1,所以BC 1⊥A 1C(三垂线定理).题型3 利用法向量证明平行与垂直【例5】已知正方体OABC-O 1A 1B 1C 1的棱长为1,E 是C 1O 1上的点,且C 1E=21EO 1,F 是CC 1上的点,且C 1F=21FC. (1)求平面A 1BC 1的一个法向量；(2)证明EF ∥平面A1BC1.解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A 1BC 1的一个法向量n,然后证明EF ⊥n.答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).(1)设n=(x,y,z)是平面A 1BC 1的一个法向量,则n ⊥1,n ⊥1BC ,从而n ·1=0,n ·1BC =0 ∵1=(0,-1,1),1BC =(-1,0,1),∴⎩⎨⎧=+-=+-,0,0z x z y x=z=y.取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面A 1BC 1的一个法向量.(2) 要证明EF ∥平面A 1BC 1只要证明⊥n.∵E(0,32,1)F(0,1,32),=(0,31,-31).∵n ·EF =31-31=0,∴n ⊥EF ,∴E ∥平面A 1BC 1. 又EF 不在平面A 1BC 1内,∴EF ∥平面A 1BC 1.方法指导 由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由EF =F C 1-E C 1=31(C C 1-11O C )=31(B B 1-11A B )=31B A 1,得∥B A 1,∴∥平面A 1BC 1,又EF ⊄平面A 1BC 1,故EF ∥平面A 1BC 1.或由=(0,31,-31),B A 1=(0,1,-1)=3EF 来证明.【变式训练5】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点,求证:(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.答案 如下图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C 1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以1FC =(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量,则n 1⊥,n 1⊥AE ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙==∙,02,0211z y n x n∴⎩⎨⎧-==,2,0y z x 取y=1.则n 1=(0,1,-2).同理可求n 2=(0,1,-2).(1) ∵n1·1FC =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥1FC ,又FC 1￠平面ADE,FC 1∥平面ADE.(2) n 1∥n 2,∴平面ADE ∥平面B 1C 1F.【例6】 在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BC 的中点,试在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.解析 若要在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P 的坐标,求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量,建立方程求出点P 的坐标,确定点P 的位置.答案 如右图,以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)E(21,1,0), C 1(0,1,1)∴11B A =(0,1,0,A 1=(-1,1,a-1) ,DE =(21,1,0)1DC =(0,1,1). 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=(x,y,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011111A n B A n ⇒⎩⎨⎧=-++-=.0)1(,0z a y x y 令z=1,则得x=a-1,所以平面A1BD 的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE 的一个法向量为n2=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0122DC n n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.0,021z y y x 令y=1,则得x=-2,z=-1,所以平面CB 1D 1的一个法向量为n 2=(-2,1,-1).因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,所以n 1·n 2=0,⇒-2(a-1)-1=0,解得a=21,所以当P 为CC 1的中点时,平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.规律总结 此题是确定点P 的位置,但考查的是两个平面垂直的充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否则将得到错误答案.【变式训练6】 如下图,△ABC 是一个正三角形,EC ⊥平面ABC,BD ∥CE,且CE=CA=2BD,M 是EA 的中点.求证:平面DEA ⊥平面ECA.答案 不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),EA =(3,1,-2),CE =(0,0,2),ED =(0,2,-1),设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1=(x 1,y 1,z 1)、n 2=(x 2,y 2,z 3),所以得⎩⎨⎧==-+,02,0231111z z y x ⇒⎩⎨⎧=-=,0,3111z x y ⎩⎨⎧=-=-+,02,02322222z y z y x ⇒⎩⎨⎧==,2,32222y z y x 不妨取n 1=(1,-3,0),n 2=(3,1,2)从而计算得n 1·n 2=0,所以两个法向量相互垂直,两个平面就相互垂直.规律 方法 总结(1)求平面法向量的方法:求一个平面的法向量的坐标的方法步骤:①建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=(x,y,z)②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2).③根据法向量的定义建立关于x 、y 、x 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙.0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.(2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决.(3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时巩固检测基础训练1. 下列说法中不正确的是（）A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2. 给定下列命题:①若n1,n2分别是平面a，β的法向量,则n1∥n2⇔a∥β；②若n1,n2分别是平面a,β的法向量,则a∥β⇔n1·n2=0；③若n是平面a的法向量,且向量a与平面a 共面,则a·n=0；④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 C(点拔:①③④正确,②中a∥p=mn∥m,)3. 给定下列命题:①若a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;②若a是平面a的斜线,平面β内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;③若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面β内的射影,则a⊥b；④若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b.其中,正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.3【答案】 B(点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有④正确.)4. Rt△ABC的斜边BCC平面a,顶点A∉a,则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 ( )A.一条线段或一个直角三角形B一条线段或一个锐角三角形C.一条线段或一个锐角三角形D.一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】 C(点拨:当平面ABC ⊥平面a 时,Rt △ABC 在平面内的射影是一条线段.当平面ABC 与平面a 斜交时,如右图所示,过A 作AO ⊥a,连接BO,CO,在△BOC 中,AB 2一AO 2=BO 2,在Rt △AOC 中,AC 2-AO 2=CO 2,②在Rt △ABC 中,AB2+AC2=BC2,③在Rt △ABC 中,cos ∠BOC=COBO BC CO BQ ∙∙-+2222,④ 将①②③代入④,得cos ∠BOC=COBO AO ∙∙-22<0,所以∠BOC 是钝角,所以△BOC 是钝角三角形.)5. 设A 是空间任意一点,n 为空间任一非零向量,则适合条件·n=0的点M 的轨迹是 .【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面(点拨:AM ·n=0称为一个平面的向量表示式,这里考察的是基本概念.)能力提升6. 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的单位向量是 .【答案】 ±（31，-32，32）(点拨:设单位法向量n=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0354,022,1222z y x z y x z y x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==32,32,31z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=.32,32,31z y x ） 7. 如下图,PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影,给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.其中真命题的序号是 .【答案】①②③(点拨:利用三垂线定理及其逆定理判断即可.)8. 如右图所示,在四棱锥P一ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】 DM⊥PC(点拨:由三垂线定理可知BD⊥PC,当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面BMD.所以平面MBD⊥平面PCD.)9. 如右图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. (1)求证:BD⊥平面ADC; (2)若H为△ABC的垂心,求证:H是D在平面ABC内的射影【答案】 (1)因为AD=BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,所以△ADB≌△ADC,AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,所以AB=BC,所以△ABD≌△CBD,所以△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,所以BD⊥平面ADC.（2）如右图所示,设D在△ABC内的射影为H′,连接CH′并延长交AB于E,因为CD⊥AD,且CD⊥DB,所以CD⊥面ADB,所以CD⊥AB,由三垂线定理的逆定理得CE⊥AB.同理,连接BH′并延长交AC于F,可得BF⊥AC,所以H′为△ABC的垂心,即D在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,所以H′与H重合,即H是D在平面ABC内的射影.。
立体几何中平面法向量的求法
立体几何中平面法向量的求法
高考中理科立体几何解答题的方法大多用空间向量法，其中求平面法向量是常见的量，下面是求平面法向量的一种方法。
为了学生，许多老师在求法向量上下了很大的功夫，并用向量外积的方法给出了比较简单的求法向量的方法，公式如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a,b 不平行，a,b 确定平面法向量n ,则
n =233112233112,,a a a a a a b b b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=（a 2b 3-a 3b 2,a 3b 1-a 1b 3,a 1b 2-a 2b 1）。
此公式计算起来简单有效，但是记忆不是太方便，容易让学生记乱。
通过多次实际应用此公式，我发现其实计算过程就是一个很好的记忆公式，现总结如下：
设a =(a 1,a 2,a 3)，b =(b 1,b 2,b 3)，且a ,b 不平行，a ,b 确定平面法向量n =（x,y,z ）,
列表 如图 1231231a a a a b b b b
利用十字相乘作差得到
233231131221x a b a b y a b a b z a b a b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
由此计算出法向量。
例如：
a=(1,2,3)，b=(1,1,4)。
列表1231
1141
X=2⨯4-3⨯1=5，y=3⨯1-1⨯4=-1，z=1⨯1-2⨯1=-1
所以法向量是（5，-1，-1）。
整理：郭新毅
2013-3-25。
空间几何中的向量方法
第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量一、空间向量的坐标运算1． 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则（1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++； （2）112233(,,)a b a b a b a b -=---； （3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈； （4）112233a b a b a b a b ⋅=++； （5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ⇔===≠∈； （6）1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=； （7）a ==（8）cos ,a ba b a b ⋅<>==⋅. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=--求,,8,,a b a b a a b +-⋅的坐标.2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =---练习1:已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1，求向量MN 的坐标.二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。
例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC ==求平面ABC 的法向量。
解：设(,,)n x y z =，则由,,n AB n AC ⊥⊥得=0=0n AB n AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即220453=0x y z x y z ++=⎧⎨++⎩不妨设1z =，得12=-1x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，取1(,1,1)2n =-2.矢量积公式111111111222222222(,,),(,,),,,,yz x z x y a x y z b x y z a b y z x z x y ⎛⎫==⨯=-⎪⎝⎭其中行列式111221,22y z y z y z y z =-法向量取与向量a b ⨯共线的即可。
7.7 立体几何中的向量方法(1)——证明平行与垂直
1
一是切莫混淆向量平行与 向量垂直的坐标表示，二 是理解直线平行与直线方 向向量平行的差异，如 (2)．否则易造成解题不 严谨．
2
利用向量知识证明空间位置关系， 要注意立体几何中相关定理的活 用，如证明直线a∥b，可证向量 a＝λb，若用直线方向向量与平 面法向量垂直判定线面平行，必 需强调直线在平面外等.
→ → → (1)证明 以 A 为原点，AB，AD，AA1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系(如图)． a 设 AB＝a，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E2，1，0，B1(a,0,1)． a z → → 故AD1＝(0,1,1)，B1E＝－2，1，－1， → → a AB1＝(a,0,1)，AE＝ 2，1，0. a → → ∵AD1· B1E＝－ ×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 2 y ∴B1E⊥AD1.
利用空间向量证明平行问题
【训练 1】 (2013· 浙江卷选编)如图，在四面体 A-BCD 中，AD⊥平面 BCD， BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在 线段 AC 上，且 AQ＝3QD． 证明：PQ∥平面 BCD．
证明 如图所示，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在 射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz. 由题意知 A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0)． 设点 C 的坐标为(x0，y0,0)， 2 3 1 → → 3 因为AQ＝3QC，所以 Q x0， ＋ y0， . 4 4 2 4 因为点 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1)． 1 2 3 → 3 又点 P 为 BM 的中点，故 P0，0，2，所以PQ＝ x0， ＋ y0，0. 4 4 4 → 又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0,0,1)，故PQ· a＝0. 又 PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD．
高中数学课件-第9讲 向量法求空间距离、折叠及探索性问题
第9讲 向量法求空间距离、折叠及探索性问题1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探考试要求究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.01聚焦必备知识知识梳理3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )(3)直线l 平行于平面α，则直线l 上各点到平面α的距离相等.( )(4)直线l 上两点到平面α的距离相等，则l 平行于平面α.( )夯基诊断××√×2.回源教材(1)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝(0，，0)，则点F到平面ABC的距离为________.(3)已知棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D 之间的距离为________.02突破核心命题考 点 一利用空间向量求距离考向 1点到直线的距离例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O 到直线A1E的距离.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.反思感悟例2 如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，则点B 到平面EFG的距离为________.2点到平面的距离用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.反思感悟训练1 如图，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.考 点 二折叠问题(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P -COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值.反思感悟翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.训练2 (2024·泉州模拟)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分别为PB，BC，PD的中点，G为CF的中点(如图②).图① 图②(1)求证：GH∥平面DEF；(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.(2)因为CD⊥DB，CD⊥DP，DB∩DP＝D，所以CD⊥平面DBP.如图，过点D作直线垂直平面BDC，作空间直角坐标系，设PD＝DB＝DC＝2，例4 (2024·山东省实验中学月考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△AB 1C 为等边三角形，四边形AA 1B 1B 为菱形，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC＝3.考 点 三探索性问题图①解：(1)证明：连接A 1B 与AB 1相交于点F ，连接CF ，如图①所示.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴F 为AB 1的中点，BF ⊥AB 1.∵△AB 1C 为等边三角形，∴CF ⊥AB 1，又BF ，CF ⊂平面BFC ，BF ∩CF ＝F ，∴AB 1⊥平面BFC .又A 1C ⊂平面BFC ，∴AB 1⊥A 1C .(2)设O，G分别为AC，AB的中点，连接B1O，OG，由(1)可知AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，∴BC⊥平面AB1C.又OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C.∵△AB1C为等边三角形，∴B1O⊥AC，故OG，OC，OB1两两垂直.图②1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.反思感悟又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)假设存在Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.03限时规范训练(五十五)(1)求PD的长；(2)求点C到平面PEB的距离.解：(1)由题意知DP，DA，DC三线两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，0).。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。
1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。
(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。
例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。
求面AMC 的一个法向量。
析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。
说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。
综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。
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“
量无论无论是
和具有规具有规律性。
时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定
问题，都离不开平面的
成角
”
”
距离
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问题，还是
杨玉春
(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)
向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质
转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实
现了“数”与“形”的结合。
因此用量知识解决某些立体几
何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。
但用向量无论
是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的
法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶
颈，平面法向量的正确求出是关键。
而用向量来求二面角的
大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是
指向二面角外。
本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判
定。
一、平面法向量的求法
1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B，
则或即为平面α的一个法向量。
2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。
a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0
n ·b=0求出λ，μ即可。
（2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。
3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。
4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ）
则a ×b= =( ,| |,|)
=(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---)
取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。
二、空间平面法向量方向的判定
1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。
2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
量a ×b 方向相同；当λ＜0时，n 方向与向量a ×b 方向相反。
3、用待定系数法或空间平面方程求出的法向量可用如下方法判定：
二面角法量方向的判定应该选定一个向量作为参照向量n 。
(这个参照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角内部)。
如图(2)，设平面α的法向量分别为12,n n ，在二面角α—λ—β内的一个参照向量为0n ,当10n n ∙＞0时，显然1n 与0n 的夹角为锐角，我们称法向量1n 的方向指向二面角的内部；当20n n ∙＜0时，显然2n 与0n 的夹角为钝角，我们称法向量2n 的方向指向二面角外部。
再依据当二面角的两个半平面的法向量同时指向二面内部或同时指向二面角外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系；概括为：“同内同外互补，一内一外相等”。
三、举例示范空间平面法向量求法与方向的判定
例：如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90º,SA ⊥平
面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21。
Ⅰ：求SC 与平面ABCD 所成的角。
Ⅱ：求点A 到平面SCD 的距离。
Ⅲ：求平面SAB 与平面SCD 所成角的大小。
Ⅳ：求二面角A —SC —D 的大小。
解析：如图，以A 为原点，以向量
AB 、AD 、AS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系。
则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D （0，2
1，0），S(0，0，1)
Ⅰ：由题意:SA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为n=AS=(0，0，1),又。
∴SC 与平面ABCD 所成的角为：
Ⅱ：(1)设平面SCD 的一个法向量为
n=(1,λ,μ)
即n=（1，-2，-1）
（2）或设平面SCD 的法向量为n=（x,y,z ）
不妨令y=-2，则平面SCD 的一个法向量为
n =(1,-2,-1)
(3)或设平面SCD 的方程为Ax+By+Cz+D=0(其中A 、B 、C 不同时为零)，则n =(A 、B 、C)是平面SCD 的一个法向量。
把S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,21,0)分别代入平面方
程，得
不妨令B=-2,则A=1，C=-1，从而
n =(1,-2,-1)为平面SCD 的一个法向量。
(4)或由SC=（1，1，-1），SD=(0,2
1,-1)，则SC ×SD =
∴平面SCD 的一个法向量可取n =-2（-21,1, 21）=
（1,-2,-1）
以上四种方法都可以轻松求出平面SCD 的一个法向量n =（1,-2,-1）
∴点A 到平面SCD 的距离为
Ⅲ:平面SAB 与平面SCD 所成的角就是法向量 AD = （0，，0）与法向量n=（1,-2,-1）所成角或其补角。
∴平面SAB 与平面SCD 所成角为arccos 36或-arccos 36
Ⅳ:由(Ⅲ)知平面SCD
的一个法向量为n =(1,-2,-1)在二面角A-SC-D 内选择一个参照向量0n =DA=(0,21,0),由DA ·n =-1＜0，∴n 方向是指向二面角外部。
同进可求得平面SAC 的一个法向量m=（1,-1,1），又AD=(0,2
1,0)，AD ·m =＞0。
∴m 的方向指向二面角内部，由“一内一外相等”知二面角A-SC-D 的大小为＜n, m ＞，又COS ＜n, m ＞=
，
∴二面角A-SC-D 的大小为arccos 3。
值得一提的是当求两平面所成角大小时，并不须要判断法向量方向，因此当时二面角有两个其大小互补；求二面角大小时，应判断法向量方向，因为二面角的大小唯一的。