(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶

合集下载

四年级奥数第十一讲——数字综合题选讲(教师用)

远辉教育奥数班第十一讲——数字综合题选讲主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：数字指的是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个．数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔．在解答数字问题时，主要用到下面一些知识：① 偶数的性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数②自然数被9、11整除的特征：一个自然数若它的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个自然数必能被9整除．反之也成立．（更一般地，一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同．）一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个自然数必能被11整除．反之也成立．③自然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自然数必属于某一类而且只能属于一类．此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，…等等一些知识．二、典例剖析：例1 一个四位数，它的个位数字为2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？式为：这时，此题转为一个数字迷的问题．突破口选在个位．个位上：c+9=12，可得出c=3．十位上：b+8+1=13，可得出b=4．百位上：a+8+1=14．可得出a=5．千位上：2+2+1=5．因此，所求的四位数为5432．例2 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、…，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、…．①（A）数列中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第多少个数字？②（B）中的第100个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？③到（B）的第100个数字为止，数字3共有多少个？解：①把（A）中的1～100这100个自然数进行分类：一位数：1～9共9个数字．两位数：10～99共20×90=180（个）数字．三位数：100共3个数字．因此，（A）中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第9+180+3=192（个）数字．②（B）中的前100个数字，把所有一位数减去，还剩100-9=91（个）数字．由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由91÷2=45……1可知，（B）中的第100个数字，是（A）中的第46个两位数的十位数字．46+10-1=55，故（B）中的第100个数字为（A）中的55的十位数字，它是5．③由于55的十位数字不是3，所以可考虑1～54这54个自然数．个位为3的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有6个3．十位为3的自然数有：30～39，十位上共有10个3．因此，到（B）的第100个数字为止，数字3共出现了：6+10=16（个）．例3 从1、5、9、13、…、993中，任意找出199个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？解：在1、5、9、…、993中，共有249个自然数．由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类：一类是个位数字为5的：5、25、…、985共50个自然数．另一类是个位数字不为5的：共有249-50=199（个）自然数．任意取出的这199个自然数分成两种情况进行考虑：①若这199个自然数中，含有个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位必为5．②若这199个自然数中，不含个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位数字为：1×9×3×7的个位数字为9，则综上所述，这199个数的乘积的个位数字为3或5．说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案．对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出198或200个数，结论又是怎样？例4 把1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？分析为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母a、b、c、d、e、f来表示．因为在这六个数字中，1最小，6最大，所以先考虑1和6这两个数字．1只能填在a处，因为1若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比1还小的数填在1的左边或上面．6只能填在f处（同理）．现在考虑5.5只能填在c处或e处．因为5若放在b处或d处，则从剩下的2、3、4中找不出比5大的数填在e处．①若c=5，则b、d、e三格只能填2、3和4这三个数字，因为e＞b，且e＞d，所以e=4，共有以下两种填法：b=2，d=3，e=4和b=3，d=2，e=4．②若e=5，则b、c、d三格只能填2、3和4，因为c＞b，所以c=3或4，共有以下三种填法：b=2，c=3，d=4；b=2，c=4，d=3和b=3，c=4，d=2．综上所述，共有5种不同的填法．解：共有5种不同的填法，它们是：说明：在考虑1和6以后，也可以接着考虑2，请同学们不妨试一试．例5任取一个四位数乘以9801，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C为多少？解：任一个四位数乘以9801的积，必然小于98010000，数字和最大不超过97999999的数字和，即A ≤9×7+7=70．在小于70的两位数中，数字和最大的为69，6+9=15，因此B≤15．在小于15的自然数中，数字和最大的为9，所以C≤9．因为9801能被9整除，所以四位数与9801的积也能被9整除，所以A、B、C均能被9整除，因此C=9．例6 用1～9这九个数字组成一个没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最大是多少？解法1：先把由1～9这九个数字组成的没有重复数字的最大九位数排出来为：987654321．因为（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5，所以987654321不能被11整除．适当调换偶数位与奇数位上的数字，使调换后奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数．因为在5个奇数，4个偶数之间进行加、减法运算（每个数只用一次）所得的结果必定为奇数，因此不能使奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差变为偶数，只能为奇数．因此，应使两者的差从5变为11．11-5=6，6÷2=3，所以把1与4对换，得987651324能被11整除．为使这个九位数为最大，再次进行调换，98765 1 3 2 4，即2与1对换，3与4对换．（这次调换只能是奇数位上的数字互换，偶数位上的数字互换，这样调换后的九位数仍能被11整除．）因此，得所求的九位数为987652413．设A=a1+a3+a5+a7+a9B=a2+a4+a6+a8k是0或自然数．由于A+B=45，所以A、B必然为一个奇数一个偶数，于是A-B为奇数，故取k=1a6+a8=17-（8+6）=3，3只能等于1和2这两个自然数的和，所以合要求的九位数为987652413．模拟测试1．一个四位数，划掉它的个位数字得第二个数；划掉它的个位、十位上的数字得第三个数．已知这三个数的和为4212，求这个四位数．2．已知数87888990…153154155是由自然数87到155依次排列而成的，从左至右第88位上的数字是几？3．把44444444写成多位数时，它的各个数位上的数字和为A，A的各个数位上的数字和为B，求B 的各个数位上的数字和．4．把1～9这九个数字填入下面的九个空格中，每个空格只填一个数字，每个数字只许用一次．问能否使每相邻三个格内数字之和均小于14？若能，给出一种具体的填法；若不能，请说明道理．5．1、7、13、19、…、1003中，任意找出135个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？6．用1～9这九个数字组成没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最小是几？答案：1．所求四位数为3796．2．从左至右的第88位上的数字为120的十位数字，是2．3．B的数码和为7．4．解：设填入九个格中的数字依次为a1、a2、…、a9．设a1+a2+a3≤13 a2+a3+a4≤13 …a6+a7+a8≤13 a7+a8+a9≤13把上面七个式子相加，便得到：a1+2a2+3（a3+a4+…+a7）+2a8+a9≤91即3（a1+a2+…+a9）-2（a1+a9）-（a2+a8）≤91由于a1+a2+…+a9=1+2+…+9=45所以2（a1+a9）+（a2+a8）≥44．（1）由于a2+a8≤8+9=17，因为a1、a9是整数，所以a1+a9≥14．显然：a1=6，a9=8，a2=7或9，a8=9或7；a1=8，a9=6，a2=7或9，a8=9或7为（1）的四组解．把这四组解统一地记为：（｛a1，a9｝，｛a2，a8｝）=（｛6，8｝，｛7，9｝）．容易知道，（1）的解只有下面的13种（每一种表示四组解）：（｛6，8｝，｛7，9｝），（｛6，9｝，｛7，8｝），（｛7，8｝，｛5，9｝），（｛7，8｝，｛6，9｝），（｛7，9｝，｛4，8｝），（｛7，9｝，｛5，8｝），（｛7，9｝，｛6，8｝），（｛8，9｝，｛3，7｝），（｛8，9｝，｛4，7｝），（｛8，9｝，｛5，7｝），（｛8，9｝，｛6，7｝），（｛8，9｝，｛4，6｝），（｛8，9｝，｛5，6｝）．显然，其中任意一都不能同时满足：a1+a2≤12，a8+a9≤12．因此，不能使每相邻三个格内的数字之和都小于14．5．积的个位数字为5或9．6．符合条件的九位数为：123475869．远辉教育附加：速算与巧算（1）9+99+999 （2）479+478+477+476+481+482（3）326+289+74-189 (4)354+(146-78)(5) 735-(335-287) (6)735-487+187(7)4×13×25 (8)56×125(9)(10)(11)(12)(13)99999+9999+999+99+9 (14)9+98+997+9996+99995(15)80+81+82+83+84+85 (16)998+999+1000+1001+1002。

四年级奥数专题之整除与余数

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

小学奥数全能解法及训练精讲-数的整除

各个数位上数字的和能被3、 9整除。
精讲4
整除判断方法
能被11整除
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除。
能被7、11、 13整除
末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7、11、 13整除。
典例精析
例1 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
思路分析：
如果a能被b整除,c是整数,那么a乘c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
精讲3
整除判断方法
2、5
末位上的数字能被2、5整除
4、25
8、125
3、9
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
能被2、5整除,个位数应为0,其他数位上尽量取9。
答案揭秘：
□ 用7去除999 0, 方
框内应填6,所以, 最
大五位数是99960。
例2
1～200这200个自然数中,能
被6或8整除的数共有多少个？
思路分析
先求出1～200中能被6或8整除的数分别有几个,再找出它们的公倍数有几个。
例2
答案揭秘
能被6整除： 200÷6=33… 2 能被8整除： 200÷8=25 最小公倍数：［6,8］=24 同时整除： 200÷24=8 … 8 共有个数
举一反三
已知一个五位数A691B能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。
规
五位数A691B能被55
律
整除,五位数既能被5
总

(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶

四年级第十一讲整除问题进阶◆温故知新：1.对于每三位重复的多位数，在考虑7、11、13的整除性时，可根据三位截断法和差的整除性去掉其中形如abcabc的部分，新数对于7、11、13的整除性不变。

2.对于没有整除特性的数，可以通过列竖式的方式找到能被这个数整除的数。

◆例题展示例题1自然数6426，12589，34584，24479，124774这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些数能被11整除？练习1有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被7整除？哪些能被13整除？哪些能被11整除？例题2已知51位数55…5□99…9能被13整除，中间方格内的数字是多少？25个5 25个9练习2已知多位数11…1□33…3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？2010个1 2010个3例题3已知多位数81□258258…258能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？2010个258练习3已知多位数182182…182□189189…189能同时被7和13整除，那么方格内的数字是多少？2013个182 2014个189例题4一个多位数，它的各位数字之和为15，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？练习4（1）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？◆拓展提高拓展1用数字6、7、8各两个，可以组成能被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数。

强化1用数字2、3、4各两个，可以组成能被4、13、18整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数拓展2一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？强化2一个五位数，它的末三位为264，如果这个数能被37整除，那么这个五位数最小是多少？◆思维挑战挑战用两个0、两个1、两个2、两个3、两个4组成一个十位数，使它能同时被2、5、8、11整除，那么这样的十位数最大是多少？◆作业1.如果六位数1949□□能同时被3、5、7整除，那么这个六位数是多少？2.已知A是一个自然数，它由数字0和2组成，且能同时被3和5整除。

奥数专题：《整除》教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如整除在购物找零中的应用。
-应用整除解决实际问题：通过实际例题，学会运用整除知识简化计算过程，如求解最大公因数、最小公倍数等。
举例：讲解质数2、3、5的倍数特征时，强调它们能整除的数的末尾数字规律；在解决购物问题时，运用整除性质快速计算出总价的几种支付方式。
2.教学难点
-理解整除的推广：学生往往难以理解整除概念在分数、小数中的推广，如分数的整数倍、循环小数的整除性质。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整除的定义和整除性质这两个重点。对于难点部分，比如因数分解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整除相关的实际问题，如如何用整除性质快速找出一个数的因数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示整除的基本原理，如用纸牌游戏来模拟整除过程。
3.合作与交流：通过小组讨论、合作探究，培养学生有效沟通、协作的能力，学会在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解整除的定义：整除是数学中的基本概念，学生需要掌握能被一个整数整除的数的特征，即除数、被除数、商都是整数，且余数为零。
-掌握整除的性质：包括质数与合数的整除性质，如质数的倍数特征，合数的因数分解等。

四年级奥数专题之整除与余数

一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。

这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。

下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。

（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。

（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。

（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。

（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。

（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。

【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。

【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。

当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。

四年级奥数整除

四年级奥数整除
思维聚焦
了解整除的特征，1能整除任何整数，0能整除任意非零整数。

能被3和9整除的数的特征，各个数字的和能被3或者9整除，能被5整除的数的特征：一个数的末尾是0或5.能被2整除的数的特征是数字末尾是0,2,4,6，8。

能被7整除的数的特征是去掉个位数字，再从剩下的数中减去个位数字的2倍，差是7的倍数。

一、典型例题
判断789654能否被3或9整除
解答：
7+8+9+6+5+4=39
39能被3整除，不能被9整除，所以789654能被3整除，不能被9整除。

二、触类旁通
判断2689,12354能否被7整除
解答：
268-9×2=250
因为250不能被7整除，所以2689不能被7整除
1235-4×2=1227
122-7×2=108
因为108不能被7整除，所以12354不能被7整除。

三、熟能生巧
1、判断3022250能否被2整除
2、判断987654321能否被7整除
3、判断1020306能否被3整除
4、求一个能被5整除的最大五位数
5、判断3022250能否被5整除
6、判断123456789能否被9整除
7、已知一个自然数，它是45的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和3，这个自然数最小是多少？
8、已知一个自然数，它是36的倍数，并且每个数位上的数字只有
0和6.这个自然数最小是多少？。

四年级奥数教程

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算及巧算（一）第2讲速算及巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题及归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题及假设法第14讲盈亏问题及比较法（一）第15讲盈亏问题及比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算及巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算及巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同及同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析及解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数及80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数及80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路四年级整除特征进阶主要内容及解题思路一、判断（三个家族）1、尾系（2，4，8，5，25，125）⏹能被2，5整数，看末1位⏹能被4，25整数，看末2位⏹能被8，125整除，看末3位2、和系（3，9，99）⏹各个位数之和可以被3,9整除⏹个位开始两位两位分，把新得到的数相加，若它们的和能被99整除，这个数就可以被99整除3、差系（7，11，13）⏹一个数从末位开始，每三位一段断开，若奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11、13 的倍数，则这个数能被7、11、13 整除；如果差不是7、11、13 的倍数，那么这个差被7、11、13 除余几，这个数除以7、11、13 就余几。

如：1121876能否被7、11、13 整除？每三位一段进行分段：1-121-876，奇数段之和为：876+1=877；偶数段之和为：121；奇数段之和与偶数段之和的差为：877-121=756用这个差除以7、11、13：756÷7=108，756÷11=68....8，756÷13=58 (2)故1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。

二、组合数（先尾系，再和系）15=3×56=2×3三、试除法（末几位）1、添9试除，最后减余数2、添0试除，最后加补数===================================例题：1、判断下列书哪些能被7整除？被8整除？被9整除？被11整除？被13整除？这些数除以9的余数分别是多少？除以11的余数分别是多少？6741 5232 5868 585 7579 2992 2009解：以6741为例说明6741可以分割为6 741，则741-6=735；被7：差系判断735÷7=105 ok被8：尾系判断741÷8=92...5 no被9：和系判断6+7+4+1=18 ok被11：差系判断735÷11=66...9 no被13：差系判断735÷13=56...79 no这道题的解算最终结果：被7：6741 2009被8：5232 2992被9：6741 5868 585被11：7579 2992被13：585 7579除以9的余数：0 3 0 0 1 4 2除以11的余数：9 7 7 2 0 0 72、943口口14能被99整除，空格里的数字分别是多少？解题思路：99属于和系，因此应该从个位开始，每两位为一组，各组相加的和为99的倍数。

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。

一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

小学四年级奥数讲义

小学四年级奥数讲义第一部分：数学基础知识1.1 自然数和整数- 自然数是指从1开始的正整数，用符号$N$表示。

- 整数是自然数和其相反数的集合，用符号$Z$表示。

1.2 加法和减法- 加法是将两个数合并在一起，得到它们的总数。

- 例如：$2 + 3 = 5$。

- 减法是从一个数中减去另一个数，得到它们的差。

- 例如：$5 - 2 = 3$。

1.3 乘法和除法- 乘法是将两个数相乘，得到它们的积。

- 例如：$2 × 3 = 6$。

- 除法是将一个数分割成若干等份，得到它们的商。

- 例如：$6 ÷ 3 = 2$。

第二部分：奥数技巧和练2.1 快速计算- 利用9的乘法法则，可以快速计算一个数乘以9的结果。

- 例如：$4 × 9 = 36$。

- 利用倍数关系，可以快速计算一个数的倍数。

- 例如：$3 × 4 = 12$。

2.2 算式变换- 利用算式的性质，可以将复杂的算式转化为简单的算式。

- 例如：$(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35$。

- 利用分配律，可以将一个数拆分成两个数的和或差。

- 例如：$8 × 7 = (5 + 3) × 7 = 5 × 7 + 3 × 7 = 35 + 21 = 56$。

2.3 枚举法和猜想法- 枚举法是一种通过列举所有可能情况来解决问题的方法。

- 例如：求两个数的最大公约数，可以列举出所有可能的公约数，然后找出其中最大的一个。

- 猜想法是一种根据已有规律猜测答案的方法，然后通过严谨的推理来证明猜想是否正确。

- 例如：猜测一个数是偶数时，它一定能被2整除，然后通过证明偶数定义来证明猜想的正确性。

第三部分：练题1. 计算：$2 + 3 × 4 - 5 = ?$2. 计算：$7 - (4 × 2 + 1) = ?$3. 快速计算：$6 × 9 = ?$4. 快速计算：$5 × 7 = ?$5. 利用枚举法找出10以内的所有偶数。

现四年级：11.数的整除

四年级奥数第11讲数的整除数的整除的特征：1.能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8，那么这个整数就一定能被2整除。

2.能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数就一定能被5整除。

3.能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数就一定能被3（或9）整除。

4.能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，那么这个整数就一定能被4（或25）整除。

5.能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个整数就一定能被8（或125）整除。

6.能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的差能被11整除，那么这个整数就一定能被11整除。

7.零能被任何数整除（零除外）1.填空：9︱2□5 则□= 5︱7□65 则□=11︱9□83 则□= 11︱□458 则□=25︱63□5 则□= 3︱6□72 则□=8︱763□2 则□= 4︱76□6 则□=2.已知六位数23□58□是88的倍数，求这个六位数除以88所得的商是多少？3.一本陈年老账上面记着：72本笔记本共付□67.9□元，这里□处字迹已不清楚，请你想办法把数字补上，并求出笔记本的单价。

练习：已知六位数3□927□是88的倍数，求这个六位数除以88所得的商是多少？4.光明小学开学前购买了225套桌椅，共付人民币□7803.2□元（□处为不明数字），求每套桌椅的单价是多少元？练习：学校购买72支钢笔共付□97.1□元（□处为不明数字），求每支钢笔的单价。

1.有一个能被36整除的四位数□27□，这个数最大是多少？2.学校购进88台吊扇，由于不小心把购货发票浸湿了，单价及大写的总金额都无法辨认，但总金额的小写还可以看出是1□856.2□元（□处为不明数字）请你想办法算出每台吊扇的单价。

奥数整除知识点总结

奥数整除知识点总结整除是关于数学中的一种基本概念，是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常重要的知识点，对于学生来说，掌握整除的相关知识是非常重要的。

本文将对奥数整除知识点进行详细的总结，希望能帮助学生更好地掌握整除的相关知识。

一、整数的概念在奥数学习中，整数是一个非常基本的概念。

整数包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。

在奥数整除的相关题目中，通常涉及到正整数的整除，因此在奥数学习中，学生需要了解和掌握正整数的相关概念。

二、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常基础的概念，掌握整除的相关知识对学生来说是非常重要的。

当一个数a能够被另一个数b整除时，我们通常用"a能被b整除"表示，也可以用数学符号"a|b"表示。

对于两个整数a和b，如果存在另一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能被b整除。

三、整数的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整数的一些基本性质，学生需要了解和掌握整数的一些基本性质。

下面我们将介绍整数的一些基本性质：1. 整数的加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。

2. 整数的减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。

3. 整数的乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。

4. 整数的除法性质：对于任意两个整数a和b，当a能够被b整除时，它们的商a/b也是一个整数。

四、整除的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整除的一些基本性质，学生需要了解和掌握整除的一些基本性质。

下面我们将介绍整除的一些基本性质：1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

2. 整除的继承性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

奥数数的整除讲义

数的整除性质、特征【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。

反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。

【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3、要使84×300×365×（）的积最后五位数字都是0，求括号内最小应填何数？例4、证明：若训练题.8,8abcdef def 则1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

5、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被2，3，5整除，且使它的数值尽可能小，求这个六位数。

6、有一个四位数3AA1，它能被9整除，那么数A 代表多少？7、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

四年级数学下同步奥数第十一讲归一问题

第十一讲归一问题[知识概述]在一些实际问题中，常常要先算出一个单位的数量是多少，然后求所需求的问题。

例如:“买3支铅笔要4角8分,买同样的5支铅笔要多少钱。

”这样的问题.称为归一问题。

归一问题有:(1)直进归一:如上例便是直进归一,需先求出1支铅笔要几分，再求买5支铅笔要多少钱。

列式为:48÷3X5=80(分)。

(2)返回归一(逆归一):例如:“一辆汽车4小时行120千米，照这样计算,行180千米要用几小时。

”先求平均1小时行多少千米,再求行180千米要几小时。

列式为:180÷(120÷4)=180÷30= 6(小时)。

（3）两次归一:例如:“2台拖拉机4天耕地32公顷，照这样计算，5台拖拉机7天耕地多少公顷?”先求1台拖拉机1天耕地多少公顷，再求5台拖拉机7天耕地多少公顷。

列式为:32 ÷2÷4X5X7= 140(公顷)。

又如:“2台拖拉机4小时耕地32公顷，照这样计算5台这样的拖拉机,耕地200公顷需几小时?”先求1台拖拉机1小时耕地多少公顷，再求5台拖拉机耕200公顷需几小时。

列式为:200÷ (32÷2÷4X5)=10(小时)。

归一问题中必有一种不变的量。

如前面的例子中铅笔的单价不变，汽车的速度不变，拖拉机每小时耕地的公顷数不变。

在实际问题中，常常用“照这样计算”、“用同样....等词句来表达不变的量。

例题精学例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度，1小时爬行多少米?[思路分析]为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

还可以这样想:先求出题目中的两个同类量(如时间与时间)的倍数(即60分是6分的几倍），然后用1倍数(6分钟爬行12分米)乘倍数,使问题得解。

同步精练1.张师傅3小时完成240件产品，照这样计算，一天生产多少件产品? (一天按8小时计算)2.某人步行,3小时行15千米,7小时行多少千米?3.一辆卡车3次运货21吨。

四年级奥数：数的整除性

四年级奥数：数的整除性这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。

因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。

如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。

四年级奥数知识点

3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数 ”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲
模块一：分组凑整思想【例 1】 91.8186.789.6270.490.288.891.5
【练习3】 1.1208－569－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4.2318+625－1318+375
【练习2】 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋ 994＋99.4＋9.94＋0.994＝
【例 3】计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33 －8.96－5.67
模块二、加补凑整思想【例 5】 (1) 0.999990.99990.9990.990.9 (2)199.819.971.996 (3)999999999.799.79.7 0.7
【巩固】 199.819.971.996
第四讲体育比赛中的数学问题
一、知识点总结 1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）

四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲数阵图与数字谜竞赛篇(解析版)全国通用

第十一讲数阵图与数字谜编写说明在四年级秋季第九、十讲和春季第三讲我们对数阵图进行了讲解，在寒假第6、7讲对数字谜进行了讲解. 本讲我们将针对这两部分知识进一步巩固和提高. 此部分内容我们在一步步分析时比较占用时间，所以本讲的例题量设置较少！同时教师也可用来缓解前几讲习题的压力！你还记得吗【复习1】请你把1～7这七个自然数，分别填在右图的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析：关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如右下图.设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a＋28=3k 由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9. 得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8. 得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7. 得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5. 于是得到右下图的填法.【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。

如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排除）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.数阵图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】（1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k ，则中心方格中的数必为3k.请你说明理由！（2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a be +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a bc +=.请你说明理由！分析：（1）因为每行的三数之和都等于k ，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k ，四条虚线上的所有数之和等于4k ，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k ， 3k+中心方格中的数×3=4k ，中心方格中的数=3k （2）和=3e ，a+e+b=和=3e ，所以a+b=2e ，即得：2a be +=.（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图，那么有：c +（2d-b ）= a +（2d-c ），由此可得：2a bc +=. 值得注意的是，这个结论对于a 和b 并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法.【巩固】（必讲题目）在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：【例2】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方.分析：（法1）：易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图. 答案不唯一，仅供参考.（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.我们可以把它推广到等差数的幻方，等差数列可与序号1～9一一对应，把等差数填在相应的序号中.【前铺】将自然数1至9，分别填在右图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45，所以每行三个数的和是45÷3=15，所以E代表15÷3=5，由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.（法2）：从法1知道中心数为5，那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是10，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2），请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析：①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.【例3】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内，使每横行四数之和相等，每数列三数之和相等.分析：由和的整除性质，首先确定使用哪十二个数填图．由于每横行四数之和相等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数，因此是12的倍数，由此可知不用填图的数字是7，所选十二个数和为：[(1+13)×1 3÷2]-7=84，每横行四个数和为：84÷3=28，每竖行三个数和为：84÷4=21．由于竖行和为21，因此可知1，2，3，4在不同竖行，而5只能跟3或4在同一竖行，由此可确定竖行分组有如下两种情况：(1，8，12)，(2，9，10)，(3，5，13)，(4，6，11)或(1，9，11)，(2，6，13)，(3，8，10)，(4，5，12)．再根据横行和为28，易得如下结果：【拓展】右图是一个四阶幻方，请将其补全：分析：根据各行，各列，各对角线和相等为34，可得图（1），此时我们可以设未知数，如图（2），将一些数表示出来，进而根据和为34求得x代表9，随后得到答案，如图（3）.【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D，那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？分析：考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行，因此不是C，第三行第三个元素与C同列，因此也不是C，所以＊代表的元素必为C．【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.分析：如下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.【例4】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），填图如右下图.【例5】右图中大三角形被分成九个小三角形，大三角形的每条边都与其中五个小三角形有公共点，试将1～9九个自然数分别填入这九个小三角形内，使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个和最小值是多少？最大值是多少？分析：1～9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k，则每条边上五个数和为：（45×2-k）÷3=30-13 k.K最小时，取k=1+2+3=6，一边上的和为：30-13×6=28；K最大时，取k=7+8+9=24，一边上的和为：30-13×24=22，因此这个和最大为28，最小为22.【巩固】将自然数1～11填入右图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等.分析：左下角的数属于5条直线共有，对角线上中间的数属于4条直线共有，其余数只属于2条或3条直线，所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和.设每条直线上三数之和为k.由图（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程：5k=（1+2+…+11）+4a ，即6645ak+=；因为k是整数，所以a只能取1，6或11；再由图（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程：4k=（1+2=…+11）+a , 即664a k+ =.得到a只能取2，6或10. 综合以上讨论知a＝6，k＝18.在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有. 注意到这5条实线上的数字没有6，在剩下的十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：3＋4＋11；1＋8＋9；1＋7＋10；3＋5＋10；2＋7＋9；2＋5＋11；3＋7＋8；4＋5＋9，其中同时出现在三个算式中的数只有3和9，所以b只可能是3或9，此时c等于9或3. 由同时含有3的三个算式知，若b＝3，c＝9，则d，e只能取4，11或5，10或7， 8，由于每条直线上的三个数之和为18，且c＝9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能取7，8. 由此可得左下图中的答案.同理，若b＝9，c＝3，则可得右下图的另一答案.【巩固】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.分析：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15 .当k＝11，13，14时可得四种填法（见右下图），k＝12，15时无解.【例6】自然数1～12中已有一些填人图中的圆圈中，试填入其余各数，使得每条直线上的四数之和相等.分析：十二个数中每个数都出现在两条直线上，每条直线上四个数之和为：[（1+12）×12÷2]×2÷6=26.考虑以a、b、c标出顶点的大三角形的三条边，如图（1）：则：10264261226a bb cc a++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，可得a=4，b=12，c=10同理可得另一个大三角形三个顶点的数.结果如图（2）：【例7】自然数1～12中有一些已填入图中圆圈内，请将其余的分别填入空圆圈内，使得圆中的四个三角形周边上的数字之和相等.分析：如下图（1），我们设六条边和分别为S1～S6，则根据题目有S 1 +S 2 +S 3 = S 1 +S 5 +S 6 =S 2 +S 4 +S 6 = S 3+S 4+S 5 , 于是我们有：56233526S S S S S S S S +=+⎧⎨+=+⎩，进而可得：2536S S S S =⎧⎨=⎩因此图中六边和满足：142536,,S S S S S S ===，由14S S =及已知1和3的位置知1S 和4S ，两边圆圈中的数差2，同理，另两组对应相等边中的空圆圈中的数差为4和4.也就是说我们要把2，4，6，8，10，12分成三组差分别为2，4，4的数，这里的分法不唯一，给出答案如图（2）仅供参考.142536,,S S S S S S ===数字谜【例8】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？分析：根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l ，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例9】右面算式寓意第8届华杯赛于新世纪的第1年举办．新、世、纪、华、杯、赛代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的六个数字(不同的文字代表不同的数字)，请把这个算式恢复出来．分析：原式变形为=华杯赛新世纪8．华杯赛最大可能是987．易知新=1. 由12×8=96，13×8=104，可知世=2．若纪≥5，新世纪×8≤987＜1000，所以纪等于4或3；若纪=4，124×8=992，出现华=杯=9，世=赛=2，与题设条件不符；若纪=3，123×8=984，合乎题意．所以，题设等式恢复出来是81984123=.【例10】将0～9中的8个不同的数字分别用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 替换．在替换规则下：g×g =db ，g ×c=bd ，g ×f=ef ，ag b eh +=，如上面4个式子中，“+”、“×”、“=与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，ca e ⨯的数值等于 .分析：由g×g =db 知，g≥4．若g=4，d=1，与g ×c=bd 是偶数矛盾；若g=5，则d=2，b=5，与g ≠b 矛盾；若g=6，则d=3，b=6，与g ≠b 矛盾；若g=7，则d=4，b=9，由g×c =bd =94,得到c =4÷7=3137也不合题意；若g=8，则d=6，b=4，由g×c =bd 46，得到c=46÷8=354，仍不合题意；若g=9，则d=8，b=1，由g×c =bd =18，得到c=18÷9=2，再由g ×f=ef ,f=5，e=4，再由ag b eh +=,得a=e-1=3.所以23492ca e ⨯=⨯=.【例11】下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶

四年级奥数第十一讲——数字综合题选讲(教师用)

四年级奥数专题之整除与余数

小学奥数全能解法及训练精讲-数的整除

(冀教版)四年级下册数学奥数讲义-第十一讲整除问题进阶

奥数专题：《整除》教案

四年级奥数专题之整除与余数

四年级奥数 整除

四年级奥数教程

四年级整除特征进阶主要内容及解题思路

小学数的整除数论奥数知识讲解及习题

小学四年级奥数讲义

现四年级：11.数的整除

奥数整除知识点总结

奥数数的整除讲义

四年级数学下同步奥数 第十一讲 归一问题

四年级奥数：数的整除性

四年级奥数知识点

四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲 数阵图与数字谜 竞赛篇(解析版)全国通用

四年级奥数整除

四年级数学下同步奥数第十一讲归一问题

四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲数阵图与数字谜竞赛篇(解析版)全国通用