《高等工程数学》试卷
高等工程数学考试
e2 f (2) 2 (2) f (2) e f e2 (2) f f (2) f (2) 2 2! e2 f (2) f (2) f (2) f (2) 2! 3! 6 e 2t
k
PJ kP 1
(3)
f ( A) b0 E b1 A b2 A2 bm Am b0 E b1 PJP1 bm PJ m P 1 P b0 E b1 J b2 J 2 bm J m P 1 Pf ( J ) P 1
8、 设 A Cnn， f(λ)是 A 的任一零化多项式， m(λ)是 A 的最小多项式， 试证明： m(λ)| f(λ)。 证：用 m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为 g(λ)，余式为 r(λ)， 则 f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里 r(λ)≡0 或 r(λ)是一个次数比 m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0 反证，r(λ)是一个比 m(λ)次数低的非零多项式。 1 设 r(λ)的最高次项系数为 k(k≠0)，令 r1 ( ) r ( ) k 1 ∴r1(λ)是首一多项式，且 r1 ( A) r ( A) 0 k ∴r1(λ)是 A 的首一零化多项式，而且 r1(A)与 r(A)同次，均比 m(λ)次数低，这与 m(λ)为 A 的最小多项式矛盾！ ∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
2 9、设 x 0 C 3 ，则 3 4i
x 1 2 0 3 4i 2 0 5 7 x 2 2 2 0 2 5 2 29 x
高等工程数学考研真题试卷
高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。
中南大学高等工程数学试题及参考答案.docx
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
高等工程数学数值分析部分试题(3)
一、填空题
1. 设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有 位有效数字. 2. 数值求积公式⎰++≈10)1(6
1)21(32)0(61)(f f f dx x f 具有 次代数精度 . 3. 已知352)(4
7+++=x x x x f ，则均差=]2,,2,2[810 f .
4.取步长2.0=h ,用Euler 法求解初值问题x y y +-=',1)0(=y ,10≤≤x 的迭代格式为________.
二、计算题
1. 当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
2. 确定求积公式101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
3. 设线性方程组b X =A 的系数矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a A 232131 试求能使Jacobi 迭代收敛的a 的取值范围。
4. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解初值问题)10(<<+='x y x y ,1)0(=y 的计算公式,并计算出1y 的近似值.(精确到小数点后四位)。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
中南大学高等工程数学试卷超全整理
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
中南大学高等工程数学考试
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)考试日期:2010年 4 月 日 时间110分钟注:解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分,每小题3分)1、 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈与1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一,对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ,且有误差估计式*x x k-≤L-1ε;2、 建立最优化问题数学模型的三要素就是: 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ;3.求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”,其原因就是: 最速下降法前后两个搜索方向总就是垂直的 ;4.已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ,[,]i x a b ∈,设函数)(x S 就是()f x 的三次样条插值函数,则)(x S 满足的三个条件(1)在每个子区间[]i i x x ,1-(i=1,2,…,n)上就是不高于三次的多项式;(2)S(x),S ’(x),S ’’(x)在[]b a ,上连续;(3)满足插值条件S(x i )=y i (i=1,2,…,n);5.随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X L 为样本,X 就是样本均值,则~X N(3,0、4);6.正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表,N 表示试验次数,n 、m 表示因子水平数,p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ;7.线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU,且分解唯一 时,可对A 进行LU 解,选主元素的Gauss 消元法就是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大,按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8.取步长0.01h =,用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
高等工程数学B班试题
高等工程数学B班试题(A)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--西南科技大学研究生试题单（A 卷）年级 2014 专业 20 14 - 2015 学年第 2 学期考试科目 高等工程数学B 班 命题人 赵松泉，童蓓蕾，姚宗静 共2页 第 1 页第一部分 矩阵理论（共33分）1、（5分）写出二次型12341223(,,,)68f x x x x x x x x =+的矩阵。
2、(9分) 在4R 中，求由基（1）：1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),T T T T αααα=-=-=-=-- 到基（2）：1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),T T T T ββββ===-= 的过渡矩阵。
3、(9分) 求矩阵311020111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式()m λ。
4、（10分）求矩阵131616576687A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的Jordan 标准形。
第二部分 数值分析（共34分）5、（4分）已知101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求x ∞及1x 。
6、（101112,===（1）试用写出二次拉格朗日插值多项式，2（2）用该二次插值多项式计算4位）。
第2页7、（10分）求近似求积公式101113()2()()2()3424f x dx f f f ⎡⎤≈-+⎢⎥⎣⎦⎰ 的代数精度。
8、（10分）试用直接三角（LU ）分解法求解线性方程组：123127701451x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
第三部分 数理统计（共33分）9、（10分）：设某木材的横纹压力),(~2σμN X ，现观察10个横纹压力数据，计算得= 475=35.22x s *，，试求：σ的置信水平为的置信区间。
10、（10分）某卷烟厂生产两种香烟，要化验尼古丁含量，各抽取重量相同的6例化验，得尼古丁的含量( 单位: mg)：甲：25, 28, 23, 26, 29, 22.乙：28, 23, 30, 35， 21, 27.3 设两种香烟中尼古丁含量服从正态分布, 且方差都为3, 试问两种香烟的尼古丁含量有无显著差异（取0.05α=）11、（13分）某机器的使用时间与维修费用的统计数据如下表：试求Y 对x附查表值：220.0250.0250.950.05(9) 2.2622, 1.96,(9) 3.325,,(9)16.919====t u χχ。
南京航空航天大学-《高等工程数学》试卷
五（ 20 分）矩阵
，向量
，
1．求矩阵 的满秩分解，并计算 ；(10 分)
2．对于方程组
，用广义逆判断方程组是否相容，若相容，求其通解及极小范数解，若不相容，
求其通解及极小最小二乘解。(10 分)
，可验证
，故方程组相容
4. 令
，确定幂级数
；(6 分) 的收敛半径。令
论矩阵幂级数 的绝对收敛性（收敛圆边界上的情形除外）。(2 分)
，对上述 讨
特征多项式 特征值 不变因子 初等因子 最小多项式
时 绝对收敛
三（20 分）．1. 求矩阵
的奇异值分解. (10 分)
2. 已知矩阵 ，存在可逆矩阵
实数. (10 分)
，其中
，
，
，使得
共5页 第3页
，求 ，这里 是
共5页 第4页
四（20 分）1．当实数 满足什么条件时，
2．令 3． 令 若
为复矩阵，证明：
为复矩阵，
为
，则
. (3 分)
1. 所有主子式非负，
.
2. 根据定义证明即可.
3. 先证明
，再证明
.
半正定? (10 分)
为
半正定矩阵. (7 分)
正定矩阵，利用 2.中结论证明：
南京航空航天大学 2020 级硕士研究生
共5页 第1页
二 O 二 O～二 O 二一 学年 第 1 学期
《高等工程数学》课程 A 卷
考试日期: 2020 年 11 月 15 日
课程编号：
学院
学号
姓名
成绩
一（20 分）已知
，求 ，
，
，。
《高等工程数学》试卷
《高等工程数学》试题注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中220110P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，.则T 在基B 下的矩阵为A =.2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）． 3．设21111301021i 0A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116kk kc kc ∞=⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为A =.6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4211025()()i i i i i i X Y c X Y ==-⋅-∑∑服从F 分布．7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示若检验假设0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2ˆ χ=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则第一样本主成分1y 的贡献率为 .二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212204031A ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR 分解.解三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数. n V α∀∈定义变换T ：100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，(1) 证明T 是线性变换；(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为00x y ，，即有0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………四、(10分) 设矩阵2010201202A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)求A的最小多项式()Amλ和Jordan标准形；(2)计算方阵函数 ((,)).e At t∈-∞+∞解五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ-=-∞<<∞;，其中0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．(1) 试求σ的极大似然估计量σˆ； (2) 证明σˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含量2~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶进行检测，计算得18.8x =(毫克).(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………八、(10分) 设有线性线性回归模型20122123451(2)12345~(0).i i i iy x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪=⎨⎪⎩，，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβββ，，是否独立，为什么？。
高等工程数学I 试题(A)(2020秋第二批)
1 a b 0
二、(10 分)
设
A
=
0
1
c
0
，其中
a,b,c
ห้องสมุดไป่ตู้
是实数。
0 0 2 0
0
0
0
1
(1) 求 A 的所有可能 Jordan 标准型；
(2) 给出 A 可对角化条件。
9 i −1
三、(10
分)用盖尔圆定理证明矩阵
A
=
1
i
1
有互异特征值。
i 1 3
四、（10 分）求下列矩阵 A 的 Doolittle 分解 A=LU, 并用 LU 分解法求解方程组 Ax = b ,其中
八、(10 分) 考虑非线性优化问题
min
s.t.
(x1 −1)(x2 +1) x1 − x2 0
。
x2 0
(1) 求 KKT 点；
(2) 判断 KKT 点是否是局部最优解。
=
−1 0
2 −1
a 2
，找出实数
a
的最大范围使得
Gauss-Seidel
迭
代法和 Jacobi 迭代法求解以 A 为系数的方程组同时收敛。
七、(10 分) 用单纯形法求解问题
min 3x1 − 2x2 + x3 s.t. 2x1 − 3x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 8 x1, x2 , x3 0
2 −1 0
共 2 页第 1 页
A
=
−1
2
a
0 南−1京2理工大学博士、硕士研究生考试
高等工程数学 I 试题 时间： 120 分钟
姓名
中南大学最全高等工程数学试题集(部分含答案)(2)
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：20XX 年月日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足，和时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L =，U =，解x =；（4）已知2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞=；1A =；1x =。
（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足，，；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ=且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计。
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，， 。
二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。
高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。
（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。
综上，认为工厂生产正常。
三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。
高等工程数学题（南理工高等工程数学考题）
高等工程数学题（南理工高等工程数学考题）南京理工大学工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）（一）矩阵分析一．（6分）设,021320012-=A 求21,,A A A ∞值。
二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ??--- ?=--- ? ?---?，求矩阵.A 。
三．（10分）已知矩阵822254245--=A ，()=099t t e e t b （1）求Ate ；（2）求解微分方程()()()()()??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。
四．（10分）给定3R 的两个基()Tx 1,0,11= ()Tx 0,1,22= ()Tx 1,1,13=()Ty 1,2,11-= ()Ty 1,2,22-= ()Ty 1,1,23--=定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵；（2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵；（3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。
五．（8分）给定(){}R a a A Rij ij ∈==??2222（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘构成的线性空间）的子集 {}0221122=+∈=?a a R A V（1）证明V 是22?R的线性子空间；（2）求V 的一组基与维数。
六．（8分）设A 是实反对称矩阵，证明：A 的特征值为零或纯虚数。
（二）数值分析一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二．（10分）分析方程 ()11=-xe x存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代格式是收敛的。
高等工程数学I 试题(A)与答案(2019.11.23)
2019年高等工程数学试题答案一、（15分）设210120003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，计算()ρA 、225max =x Ax 及()2cond A 。
解：12321012001;3003λλλλλλλ---=--=⇒===-I A ()3ρ=A 2||||()3是正规矩阵ρ∴== A A A 2222515max 5max 5155==∞===x x xAx AA ()2331是正规矩阵∴== A cond A 二、（10分）讲述一下求解矩阵A 的最靠近*λ的特征值的思路、步骤。
答：**对使用逆幂法，求出其按模最小的特征值再加上。
λλ-A I 000u v =≠任取*11()max()k k k k k u A I v u v u λ--⎧=-⎪⎨=⎪⎩*1()max()k k kk k A I u v u v u λ-⎧-=⎪⎨=⎪⎩即**()A I P A I LUλλ--=对进行选列主元的三角分解有1max()k k k kk k k Ly PvUu y u v u -⎧⎪=⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩1max()max()k ik i u x v x λλ*⎧→⎪⎪⎨⎪→⎪⎩－有三、（18分）已知矩阵200226044-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求P 使得1-P AP 为A 的Jordan 标准型，同时需要求出A 的Jordan 标准型。
解：200226044λλλλ+-=-----I A ()()23+28λλ=-D 211D D ==()()23+28λλ=-d 211d d ==初等因子：()()2+2 8，λλ-Jordan 标准形：2128-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭J 1123212,[]8令--⎛⎫⎪==-= ⎪ ⎪⎝⎭P AP J P p p p 11121223332[032]512[0]228[011]∴=-∴=-=-=-==TT TAp p p Ap p p p Ap p p 15002131,2201使得-⎛⎫⎪ ⎪⎪∴=-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P AP J四、(20分)已知241111212,212211⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b ，（1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）判断Ax b =是否有解，有解时求极小范数解，无解时求极小范数最小二乘解。
《高等工程数学》12级硕士研究生
国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1． 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，， 下的坐标为________．2． 设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3． 若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4． 设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5． 将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6． 设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7． 设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8． 对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9． 已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为 ，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵； （2） 求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1） 求矩阵A 的三角分解； （2） 求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1） 求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ； （2） 证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1） 求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ； （2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。
高等工程数学试题-2020-12-校内专业硕士-A
中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷A （开卷）考试日期：2020年 12月30 日 时间100分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）算法21212(,)sin y f x x x x ==+，已知1x 和的2x 绝对误差限分别为001.0)(1<x ε和002.0)(2<x ε，则()y ε≤ ；（2）已知函数)(x f y =通过节点(-1,1),(1,2),(2,5),(3,1)，则相应三次Lagrange 插值多项式的插值基函数2()l x = ；（3）设01,,,[-1,1]n x x x ∈，数值积分公式10011-1()()()()n n f x dx A f x A f x A f x =+++⎰的代数精度不小于2，则=+++n n x A x A x A 1100 ；（4）若插值结点数为1=4n +，请写出在第一类边界条件下，用M 方法求三次样条插值函数()S x 需求解的线性方程组的系数矩阵 ；（5）设130124, 302A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则矩阵A 的Doolittle 分解 L = ,U = ； （6）解方程组123130412473025x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为G = ； （7）设总体X 服从[1,1]θ+上的均匀分布，则θ的矩法估计为 ，极大似然估计为 ；（8）如果,x y 有如下形式的一元线性回归模型20.8~(0,)Y a x N εεσ=++⎧⎨⎩，(,).1,2,,i i x y i n =为一组独立观测数据，则a 的最小二乘估计为 ， 2σ的无偏估计为 ；二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下表：用适当的多项式插值算法计算(1.2)f 的近似值，并估计截断误差。
三、（本题12分）设定积分⎰b a dx x f )(在将积分区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下表：请利用表中数据计算()ba f x dx ⎰足够高精度的近似值，并估计算法截断误差的上界。
《高等工程数学》试题+解答
《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。
高等工程数学试题.doc
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1） 对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式 【注意重根】 ，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足 ， 和 时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L = ，U = ，解x = ；（4）已知 2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞= ；1A = ；1x = 。
（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ= 且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计 。
（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。
写出三种常用的自变量的选取方法 。
（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。
二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。
三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。
高等工程数学考试试卷1
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2011年 5 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数3()30f x x x =-=, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton 迭代公式是 ；2. 若标准型线性规划的解集R 非空，则R 为n 维空间R n 中的 ； 3．写出下述线性规划问题的对偶问题：123123123121123min Z 34-5x .. 2345 2346567 0, 0,x x s t x x x x x x x x x x x R=+⎧⎪+-≤⎪⎪-++≥⎨⎪+=⎪≥≥∈⎪⎩4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n = ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件是 ； 5．在进行二因子方差分析时，如果二因子之间存在交互作用，在做试验时，需要对每一种组合进行重复试验。
当二因子都取四水平，每一种组合重复试验次数均为3次，则一共应做 次试验。
6．如果要对4个因子D C B A ,,,进行方差分析，不考虑它的交互作用， （能，不能）采用正交表)3(49L7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 时，可对A 进行TLL 分解（Cholesky 分解）； 8．设011n n a x x x x b -=<<<<= 为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()baf x dx ⎰复合梯形公式，则其复合辛普森公式n S = 。
二、（本题6分）某公司生产三种产品：A 、B 和C 。
每种产品需要的资源和销售的利润如下表。
请建立使该公司的利润最大的生产计划数学模型。
三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式3()N x ，计算(4)f 的近似值，给出误差估计式。
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《高等工程数学》试题
注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；
3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===
一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：
1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22
011
0P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，.则T 在基B 下的矩阵为
A =.
2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3
V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）
． 3．设211113
01021i 0A x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116
k
k k
c k
c ∞
=⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为
A =.
6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，
，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4
21
10
2
5()()
i i i i i i X Y c X Y ==-⋅
-∑∑服从F 分布．
7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次
记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N
=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不
超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………
9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示
若检验假设
0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关
则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2
ˆ χ
=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为
10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
则第一样本主成分1y 的贡献率为 .
二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212
204031A ⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的QR 分解.
解
三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数
. n V α∀∈定义变换T ：
100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，
(1) 证明T 是线性变换；
(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为
00x y ，，即有
0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.
解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………
四、(10分) 设矩阵
2010
201
20
2
A
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
(1)求A的最小多项式()
A
mλ和Jordan标准形；
(2)计算方阵函数 ((,)).
e At t∈-∞+∞
解
五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；
(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．
解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ
-
=-∞<<∞;，其中
0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．
(1) 试求σ的极大似然估计量σ
ˆ； (2) 证明σ
ˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解
七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含
量2
~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶
进行检测，计算得18.8x =(毫克).
(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？
(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解
学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
八、(10分) 设有线性线性回归模型
20122123451(2)12345~(0).i i i i
y x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪
=⎨⎪⎩，
，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβ
ββ，，是否独立，为什么？。