高二数学回归分析1
[高二数学]回归分析与独立性检验
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3.1回归分析的基本思想及其初步应用
例3下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.
x3456
y 2.534 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yˆ=bˆx+aˆ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
解（1）散点图如下图:
（2）x=
4
6
5
4
3+
+
+=4.5,y=
4
5.4
4
3
5.2+
+
+=3.5
∑
=
4
1
i
i
i
y
x=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.
∑
=
4
1
2
i
i
x=32+42+52+62=86
∴bˆ=
2
4
1
2
4
1
4
4
x
x
y
x
y
x
i
i
i
i
i
-
•
-
∑
∑
=
==
2
5.4
4
86
5.4
5.3
4
5.
66
⨯
-
⨯
⨯
-=0.7
aˆ=y-bˆx=3.5-0.7×4.5=0.35.
∴所求的线性回归方程为yˆ=0.7x+0.35.
（3）现在生产100吨甲产品用煤
y=0.7×100+0.35=70.35，
∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.
3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份 产量（千件）
单位成本（元）
1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6
5
68
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 解 （1）n=6，
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的观察值。
一元线性回归模型
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
模型假设检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
一元线性回归模型是回归分析中最简单的模型之一。它假设因变量与自变量 之间存在线性关系，并通过最小化残差的平方和来确定模型的参数。
Leabharlann Baidu型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
高中数学第1章统计案例1.2回归分析学案苏教版选修1_2102014
1.2 回归分析
1．线性回归模型
(1)线性回归模型y ＝a ＋bx ＋ε，其中a ＋bx 是确定性函数，ε称为随机误差． (2)随机误差产生的原因主要有以下几种： ①所用的确定性函数不恰当引起误差； ②忽略了某种因素的影响； ③存在观测误差．
(3)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^
x 中
b ^
＝
∑i ＝1
n
x i －x
－y i －y
－∑i ＝1
n
x i －x
－
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －n x －2
，
a ^
＝y －－b ^x －(其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1
n ∑i ＝1
n
y i )．
其中，a ^，b ^分别为a ，b 的估计值，a ^称为回归截距，b ^称为回归系数，y ^
称为回归值． 2．相关系数
(1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式
∑i ＝1
n
x i －x
－2
∑i ＝1
n
y i －y
－
2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1n
x 2
i －n x －2
∑i ＝1n
y 2
i －n y －
2
(2)r 具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r
|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤
(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；
(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；
(3)计算样本相关系数r；
人教版 高二数学下册下册 课件《回归分析》 课件
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系.( )
显示解题过程
1.在回归分析中，相关指数r的绝对值越接近1，说明线性相关程
度( )
A.越强 B.越弱 C.可能强也可能弱
^^
a y bx y a b x
x
1 n
(
x1
x2
…
xn
)
y
1 n
(
y1
y2
…
yn
)
根据公式求出线性回归直线方程
2由1中求出的回归直线方程，把x 1.95代入， 得到y 0.694 0.7331.95 2.12m / s.
计算结果表明，当水深为1.95m时可以预测渠水的 流速约为2.12m / s.
i 1
i 1
i 1
i 1
r具有以下性质：r ≤1,并且 r 越接近1,线性相关程度越强；
r 越接近0，线性相关程度越弱.
检验的步骤如下：
1.作统计假设：x与Y不具有线性相关关系. 2.根据小概率0.05与n - 2在附表中查出r的一个临界值r0.05. 3.根据样本相关系数计算公式算出r的值. 4.作统计推断.如果 r > r0.05,表明有95%的把握认为x与Y之间 具有线性相关关系. 如果 r r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归 直线方程是毫无意义的.
高中数学选修23《回归分析的初步应用探究非线性回归模型》教案
回归分析的初步应用（教案）
——探究非线性回归模型
一、教材分析
1. 教材的地位与作用：
“回归分析的初步应用”是人民教育出版社A版《数学选修2-3》统计案例一章的内容，是《必修3》“线性回归分析”的延伸。根据高中课程标准，这里准备安排4个课时，本次说课的内容为第3课时。
虽然线性回归分析具有广泛的应用，但是大量实际问题的两个变量不一定都呈线性相关关系，所以有必要探究如何建立非线性回归模型，进行更有效的数据处理。
2. 教学重点、难点：
教学重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。
教学难点：如何选择不同的模型建模，以及如何将非线性回归模型转化为线性回归模型。
二、学情分析
教学对象是高二的学生，通过前面的学习，具有一定的线性回归分析、相关指数和残差分析的知识，这为探究非线性模型奠定了良好的基础，但由于学生较少接触数学建模的思想，思路不够开阔，为模型间的转化带来了一定的困难。
三、教学目标
知识与技能目标：能根据散点图的特点选择回归模型，通过函数变换，借助线性回归模型研究非线性回归模型。
过程与方法目标：经历非线性回归模型的探索过程，掌握建立非线性模型的基本步骤，体会统计方法的特点。
情感、态度与价值观：以探究问题为中心，感受研究非线性回归模型的必要意义，体验数学的文化内涵，形成学习数学的积极态度。
四、教学方法
1. 教法分析
主要采用“引导发现，合作探究”的教学方法，通过组织学生观察、分析、计算、交流、归纳，让学生在探究学习的过程中经历知识形成的全过程。
利用多媒体辅助教学，优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。
8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第1课时课件高二下学期数学人教A版选择性
新知生成
残差分析：
新知生成
残差图：作图时纵坐标为残差, 横坐标可以选为样本编号，或身高数据 ，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．
从上面的残差图可以看出，残差有正有负，残差点比较均匀地分布在横轴的两边，可以 判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设。所以，通过观察残差图 可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模的假设，从而判断回归模型拟合的有效 性。
方法叫最小二乘法．
新知生成
注意： 1、经验回归必过
.
2、
都是估计值.
3 、 与 r 符号相同.
课堂探究
问题2：利用上节课的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参 数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。
追问1：当x=176时，
, 如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大
ຫໍສະໝຸດ Baidu
后身高一定能长到177cm吗？为什么？
因此，可以用 度。
来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程
课堂探究
残差平方和： 求a,b的值，使Q(a,b)最小
课堂探究
课堂探究
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为：
新知生成
我们将
称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函
数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的
一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第一课时) 高二数学课件
一般地，因为E(Y)=bx+a，是bx+a的估计值，所以是E(Y)的估计值.
新知探究：经验回归方程
新知探究：经验回归方程
新知探究：经验回归方程
英国著名统计学家高尔顿把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析.
在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示.
同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行.
上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.
先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”.
追问3 根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲身高一样？你怎么看这个判断？
通过经验回归方程 =0.839x +28.957，令 =x，则x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身高与父亲的身高一样.
典例解析
例1 某厂经过节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量 （单位：吨）与相应的生产能耗 （单位：吨标准煤）的几组对应数据如表所示.
高二数学(选修2-3人教B版)-回归分析
高二年级 数学
复习回顾 1、什么是相关关系？
两个变量之间常见的关系有两类： 一类是确定性的函数关系． 例如：正方形的边长a和面积S的关系．
复习回顾 1、什么是相关关系？
另一类是非确定性的相关关系，变量间确实存在关 系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系 是带有随机性的．
例如：人的身高并不能确定体重，但一般说来， “身高者体也重”．
1300
1100
900
700
500
x O 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
y
1500
1300
1100
900
700
500
x O 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
从而求出回归直线方程，进行了预测． 那么我们的预测是否合理？
思考1 样本点成条状分布，大致分布在一条直线附近，具有 近似的线性相关关系，但集中程度明显不同．
③根据回归直线方程进行预测 f(x) = 14.453∙x + 527.591
当 x 55 时，
y 527.591+14.453x
527.591+14.453 55
1322.506 .
y
1500
1300
1100
900
700
500
高中数学-3.1回归分析(一)
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程； 相应的直线叫做回归直线。
2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
n
n
y bˆ
(xi
i1 n
x)( yi y) (xi x)2
xi
nx y
i
i1
n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
aˆ y bˆx
最小二乘法： yˆ bˆx aˆ
3421 5379 15 12 14 9
x 0, y 0,
x y x y 10
10
2 110,
2
10
330,
110.
i
i
ii
i 1
i 1
i 1
10
x y 10x y
ii
b
i 1 10
2 10
2
110 10 0 1 110 10 0
x x i
i 1
a y bx 0 b 0 0
2021/5/13
郑平正 制作
x（0.01%） 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121
y（min）
100 200 210 185 155 135 170 205 235 125
（1）y与x是否具有线性相关关系；
高二数学线性回归
ˆ 0.3t 5.542. 回归直线方程为 y
1.6 线性回归
练习： 课后练习 课堂小结
准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析
与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a、b 的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．
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1.6 线性回归
1.6 线性回归
课题引入 1．正方形面积S与边长x之间的关系： 确定关系 正方形边长x 面积S x 2 2．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系： 气候情况 施肥量 不确定关系 水稻产量 浇水 除虫
1.6 1.5 线性回归 正态分布
新授课 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个 变量之间的关系叫做相关关系． 相关关系与函数关系的异同点： 相关关系 均是指两个变量的关系 函数
2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50
（1）画出散点图；
（2）求月总成本y与月总产量x之间的回归直线方程．
ˆ 1.215x 0.974. 回归直线方程为 y
1.6 线性回归
练习 在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y 与腐 蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y（ m） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 （1）画出散点图； （2）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程．
高二数学线性回归
1.6 线性回归
课题引入 1．正方形面积S与边长x之间的关系： 确定关系 正方形边长x 面积S x 2 2．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系： 气候情况 施肥量 不确定关系 水稻产量 浇水 除虫
1.6 1.5 线性回归 正态分布
新授课 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个 变量之间的关系叫做相关关系． 相关关系与函数关系的异同点： 相关关系 均是指两个变量的关系 函数
ˆ 0.3t 5.542. 回归直线方程为 y
1.6 线性回归
练习： 课后练习 课堂小结
准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析
与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a、b 的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．
； http://www.hbjcylj.com/ 隔膜压滤机 合理问题，八小格关心の则是来路问题。昨日壹整天の时间里，水清和玉盈两各人几乎没有下过炕。两各人以前都是养尊处优の大仆役， 突然日复壹日不停歇地服侍起娘娘和王爷，全都累得精疲力竭，几乎到咯身体能够承受の极限。因此趁着昨天难得の壹天闲暇，两各人足 足地睡咯壹天，体力总算是缓过来壹些。今天壹早，水清再次开始咯周而复始の服侍德妃娘娘の日子。好在伤口涂咯药膏，又经过昨天壹 天の休养，总算是有咯较大の好转。另外，水清の伤要比玉盈轻得多。当时她是被热菜の开水所烫，虽然是刚刚换上の，但是开水经过在 壶、锅、盆之间の几番倒腾，温度已经降低咯壹些。而玉盈则不然，她是专门等着做开の壹壶水，然后抄起新开の水壶，直接就将滚开の 热水浇到手上，自然是严重得多。而且水清也没有理由告假，本来就是瞒着王爷の事情，连请太医都以付出玉盈の手伤为代价，她怎么可 能留在自己の营帐告假呢？像往常壹样，塔娜在早膳过后才来到德妃娘娘这里请安，请过安后，开始陪娘娘闲聊。正好见水清也在壹旁， 就随口问咯壹句：“小四嫂，侍妾嫂子の伤好些咯吗？我们家爷送の药，涂咯吗？有用吗？”水清正垂首立在壹侧，突然听塔娜这么壹说， 吓咯壹跳！这各塔娜，怎么在德妃娘娘这里提这件事情？而且这各问题让她怎么回答？德妃更是诧异！这各塔娜，啥啊叫侍妾嫂子？年氏 再不入她の眼，但总归是侧福晋，塔娜怎么这么不懂规矩，实在是太无礼咯：“塔娜，这是小四嫂。”“额娘，媳妇知道这是小四嫂，媳 妇问の是四哥の侍妾嫂子。”“四哥の侍妾嫂子？”“额娘也不知道？”“额娘怎么知道？到底这是怎么回事儿！水清，你怎么不说话！ 这到底是怎么回事儿！”水清被德妃逼得走投无路，可是她又能怎么办？实话实说，王爷为咯给玉盈姐姐看病，假冒丫环是侍妾？王爷这 是假公济私の行为，假如被人知道，不但有损爷の清正廉洁の名声，人们更会怀疑，爷为啥啊要将丫环说成是侍妾？肯定是爷与这各丫环 有私情，否则哪各丫环能任由自己の名节被毁？趁现在这各消息还没有传得太开，壹定要把这各消息封锁住，否则玉盈姐姐の身份壹旦暴 露，就不是假公济私行为，更是欺君之罪。壹想到之里，水清唯有立即走到德妃面前，直直地跪咯下去：“娘娘，那各人，不是爷の侍妾， 是媳妇の丫环。”第壹卷 第274章 开导水清此言壹出，德妃先是壹愣，继而又是如释重负：这就对咯！四小格不喜欢年氏，真正喜欢の 是她の丫环！前些日子还担心水清在她这里立规矩，谁照顾四小格呢，看来自己真是白操心咯，他那么大人咯，还能亏着自己？把媳妇打 发到额娘这里，自己留着丫环。虽然当初确实是要求他不许宠着这各年
回归分析教案高中数学
回归分析教案高中数学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握回归分析的基本概念、原理和应用方法，具备运用回归分析解决实际问题的能力。
教学重点：回归分析的基本概念、原理和应用方法。
教学难点：如何运用回归分析方法解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件、教材、笔记等教学资源；
2. 学生准备纸笔、计算器等学习工具。
教学过程：
一、导入
教师通过引入生活实例，引发学生的思考，如“某家电公司想要了解销售额与广告投入的关系，该如何进行分析？”引导学生思考回归分析的重要性。
二、讲解回归分析的基本概念
1. 简要介绍回归分析的定义和应用背景；
2. 讲解简单线性回归和多元线性回归的基本原理；
3. 分析回归方程、残差、相关系数等重要概念；
4. 演示如何通过回归分析来确定自变量与因变量之间的关系。
三、案例分析
教师给出一个实际案例，让学生在小组中进行讨论和分析，探讨如何利用回归分析方法解决问题，并展示实际操作过程。
四、练习与提问
1. 给学生一些练习题，让他们独立思考并解答；
2. 提问学生对回归分析的理解和掌握程度，并解答学生提出的问题。
五、总结与展望
1. 总结本节课的重点内容和要点；
2. 展望回归分析的应用领域及未来发展。
3. 帮助学生理清知识点，回答问题，加深印象。
教学反思：本节课主要围绕回归分析的基本概念展开讲解，并通过案例分析和练习加深学生对知识的理解，但在未来的教学中，可以加强实践操作环节，提高学生的应用能力和解决问题的能力。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修1-2
反之,R2越小,说明随机误差对预报变量的效应越大.
3.两种特殊非线性回归模型的转化
(1)将幂函数型函数y=axm(a为正的常数,x,y取正值)化为线性 函数. 如果将y=axm两边同取以10为底的对数,则有lgy=mlgx+lga.令 u=lgy,v=lgx,lga=b,代入上式,得u=mv+b,其中m,b是常数.这是 u,v的线性函数.如果以u为纵坐标,v为横坐标,则u=mv+b的图象 就是一条直线.
①作出散点图,并求线性回归方程; ②求出R2; ③进行残差分析.
【解题探究】1.题(1)中回归方程一定过什么点? 2.题(2)中残差图的分布与模型的拟合效果之间有怎样的关系 ?
3.题(3)中解决的关键是什么?主要利用什么进行残差分析?
【探究提示】1.回归方程一定过样本中心( x, y ). 2.残差图分布在一个水平带状区域,区域宽度越窄数据拟合越 好. 3.关键是熟练掌握R2的公式,求 a,b 的公式,做残差分析时可利 用残差表.
i 1
n
越大,即模型的拟合效果越差. 答案:越差 (3)由回归方程知 y =0.75×11+0.7=8.95,即y的估计值为8.95. 答案:8.95
【要点探究】 知识点1 回归分析
1.对回归分析的三点说明 (1)回归分析的前提是两个变量之间具有相关关系. (2)对两个变量之间数量变化进行一般关系的测定,确定一个相 应的数学表达式,即线性回归方程,达到由一个已知量推测或控
1-1-3回归分析的基本思想及初步应用
3.1.3回归分析的基本思想及其初步应用
编辑：梁显振 校对：孙宜俊
学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步
应用.
教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模
型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.
教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指
数对不同的模型进行比较.
教学过程：
一、知识链接：
1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.
发现样本点并没有分布在某个 带状区域内，即两个变量不呈线 性相关关系，所以不能直接用线 性回归方程来建立两个变量之间 的关系.
二、新课探究：
1）. 探究非线性回归方程的确定：
① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以
来建模；如果散点图中的点分布在一个 形区域，就需选择非线性回归模型来建模.
② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线
y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用 来拟合这两个变量.
③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则
21ln z c x c =+，
分布在一条直线的附近，因此可以用线性回
归方程来拟合.
④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为
0.272 3.843z
x =- ，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 0.272 3.843x y e -=.
新人教B版高中数学(选修2-3)3.2《回归分析》(回归分析的基本思想及其初步应用)
(x, y)
2019/1/12
称为样本点的中心。
郑平正 制作
2、求回归直线方程的步骤：
1 n 1 n (1)求 x xi , y yi n i 1 n i 1
(2)求 xi 2 , xi yi .
i 1 i 1 n n
（3）代入公式
b
( x x)( y y) x y nx y
( x1, y1 ),( x2 , y2 ),...,( xn , yn ) 且回归方程是：^ y=bx+a,
其中，a,b是待定参数。当变量x取
它与实际收集到的
xi (i 1, 2,..., n) 时 yi 之间的偏差是 yi yi yi (bxi a )
( xi , yi ) yi yi
2 i 1 i 1 n n
i 1
i 1 x)] ( y x ) ( y x ) 注意到， [ yi xi2 ( y 2 [ yi xi ( y x)] n n n
2 i 1 i 1 n) 2 n ( xi x)( yi y ) ( yi y ) n( y x ) 2 ( xi x 1 )[ 1 x n( y x )] i 1 ( y ix yi i i
· · · ·
高二数学2.4 线性回归方程(1)(第9课时)教学案 新人教A版
（第9课时）§2.4 线性回归方程(1)
教学目标
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回
归方程进行预测；
（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点
回归直线方程的求解方法．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系
2．问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的
如果某天的气温是5
-C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函
数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?
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1400
1200
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800
系列1
600
400
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0
0
10
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30
40
50
60
从散点图看出，这些点在一条直线附近，可以 用线性回归方程刻画它们之间的关系.
列表 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∑
xi
yi
xi2
xiyi
0
542
0
0
5
603
25
3015
10
672
100 6720
15
选修1-2
（一）
回顾：必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
样
分布
字特征
析
问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？ 不相关
画散点图 列表
求回归方程
数学《必修３》——统计 1. 画出散点图. 2. 求出b,a的值. 3. 求回归直线方程. 4. 用线性回归方程解决应用问题.
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定 是22.6287cm吗？
4、线性回归模型
yabx
其中a+bx是确定性函数， 是随机误差
注：随机误差 产生的主要原因：
的情况.
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢？
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(Xi X )2
i 1
aˆYbˆX
例如：对一作直线运动的质点的运动过程作了 8次观测，得到下表，试估计当x=9s时质点 的位置y的值。
例题2.一个车间为了规定工时定额，需要确定 加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验， 测得数据如下：
零件数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（x）个
加工时 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 间y
(1)y与x是否具有线性相关？ (2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程 (3)预测加工200个零件需花费多少时间？
(1)所用的确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差。
对于线性回归模型 yabx
应注意以下两个问题：
I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
例1.下表给出我国从1949至1999年人口数 据资料，试根据表中数据估计我国2004年 的人口数。
年份 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99
yi
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
1220 0
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？
即建立的线性回归模型是否合理？
如何对一组数据之间的线性相关程 度作出定量分析？
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别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店 老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。 饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱 们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么 难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老 板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵 的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上， 一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听 得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听 的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送 你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一 起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安 全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿 兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计 也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们 的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那 位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还 有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服， 佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人 啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直
705
225
20
807
400
25
909
625
30
975
900
35
1035 1225
40
1107 1600
45
1177 2025
50
1246 2500
根据公式得：
• b=14.453 • a=527.591 • 线性回归方程为： • y=527.591+14.453x
• 当x=55 时，y=1322.506(百万)
函数关系 1、两个变量的关系
相关 关系
线性相关 非线性相关
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定 时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系。
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系. 相关关系是一种非确定性关系.
函数关系是一种理想的关系模型. 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般
分析：这是一个回归分析问题，应先进行 线性相关检验或作散点图来判断x与y是否 具有线性相关才可以求解后面的问题。
作散点图如下：不难看出x,y成线性相关。
150
100
系列1 50
0
0
50
100 150
解（1）列出下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10 20 30 40 50 60 70 80
90 100
时刻 x/s
1
2
3
4
5
6
7
8
位置观
测值 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06 y/cm
（2） 列表
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
1
5.54
1
5.54
Βιβλιοθήκη Baidu
2
2
7.52
4 15.04
3
3 10.02 9 30.06
4
4 11.73 16 46.92
5
5 15.69 25 78.45
6
6 16.12 36 96.72
7
7 16.98 49 118.9
8
8 21.06 64 168.5
∑
36 104.66 204 560.1
其 x 中 x i 4 ： .5 0 y y i 1.0 38
n
n
（3）求线性回归方程:
y=3.5361+2.1214x
3、 回归分析的基本步骤:
人口数 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 /百万
分析：先画图
年份 0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
人口数/ 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 百万
解：作出散点图