初中数学十大解题方法

初中数学十大解题方法
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

1、配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分
解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

例题：
用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )
A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3
【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数
不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。

【解】将方程x2+4x+1=0，
移向得： x2+4x=－ 1，
配方得： x2+4x+4=－ 1+4，
即(x+2) 2=3；
因此选D。

2、因式分解法
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为
数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分
解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：
若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（ x-1）（x+3），则m的值为（）A． -2 B． 2 C． 0 D． 1
【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）
乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），
即x2+mx-3=（x-1）（x+3），
∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，
∴ m=2；
因此选B。

3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例题：
已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2 的值为（）
A．-5 或1 B．1 C．5 D．5 或-1
【分析】解题时把x2+y2 当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单
【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得
(t+1)(t+3)=8，化简得：
(t+5)(t-1)=0，
解得：t1=-5，t2=1
又t≥0
∴t=1
∴x2+y2 的值为只能是1．
因此选B．
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

注意：①△=b2-4ac＜0，方程无实数根，即无解；②△=b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；③△=b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根。

例题：
当m 为什么值时，关于x 的方程(m2 - 4)x 2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 有实根。

【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2-4 ＝0 和m2- 4 ≠0 两种情形讨论。

【解】当m2- 4 ＝0 即m =±2 时，2(m + 1) ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；
当m2- 4 ≠0 即m ≠±2 时，方程有根的条件是：
△＝[2(m +1)]2 - 4(m2 - 4) = 8m + 20 ≥0，解得m≥-5 2
5
∴当m ≥ - 5
且m ≠ ±2 时，方程有实根。

2
综上所述：当m ≥ - 时，方程有实根。

2
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的方法之一。

例题： 例1. 已知函数 y ＝
x 2 + 1
的最大值为 7，最小值为－1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为： (y －m)x
2 －4 mx 2 + 4 3x + n
3 3
x＋(y－n)＝0，x∈R, 由已知得 y－m≠0 ∴ △＝(－4
)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y 2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7 是方程 y 2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0 的两根，⎧1 + (m +n) +mn -12 = 0
⎧m = 5
⎩ ⎧m = 1 代入两根得： ⎨
49 - 7(m + n ) + mn - 12 = 0 解得： ⎨n = 1 或⎨n = 5 ⎩ ⎩ ⎩
∴ y＝ x 2 + 1
或者 y ＝ x 2 + 1
此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即 y
2 －6y －7≤0，然后与不等式①比较系数 ⎧m + n = 6
而得： ⎨mn - 12 = -7 ，解出 m 、n 而求得函数式 y 。

6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。

运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

例题：
如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D 。

求证：AB ＋BD ＝AC
【分析】若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够找到解题途径。

【解】延长 CB 到点 F ，使 BF=AB ，连接AF ，则△BAF 为等腰三角形，且∠F=∠1.再根据三角形外角的有关性质，得出∠ABD=∠1+∠F , 即∠ABD=2∠1=2∠F ，而∠ABD=2∠C ， 所以∠C=∠1=∠F ，△AFC 为等腰三角形，即 AF=AC ，又可得△FAD 为等腰三角形,因此 ， AF=DF=DB+BF=DB+AB,即 AB ＋BD ＝AC 。

7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发， 经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小) 于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

5x 2 + 4 3x + 1 x 2 + 4 3x + 5
例题：
若P 是两条异面直线l、m 外的任意一点，则( )
A．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都平行
B．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都垂直
C．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都相交
D．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都异面
【分析】对于A，若存在直线n，使n∥l 且n∥m
则有l∥m，与l、m 异面矛盾；对于C，过点P 与l、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P 与l、m 都异面的直线不唯一．。