动量定理和定量矩定理
理论力学 12 动量矩定理
轴转动(zhuàn dòng)。已知均质杆 OA 长为 l ，质 C1 量为 m 1，均质圆盘 C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，
试求复摆对 O 轴的动量矩。
A
C2 r
解： J O 的计算(jìsuàn)：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2 m2
r2
m2
l
r
2
图 12-9
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
精品资料
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个(zhěnggè)圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为 M ，
z
底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所示。 r
h z dz
解：把圆锥体分成许多(xǔduō)厚度为 d z 的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
O
y
R
x
图 12-6
圆锥体的质量为
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
精品资料
12.1 转动惯量、平行(píngxíng) 轴定1理2.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅(bùjǐn)与作用在质点系上的力有关， 还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质 点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则 是描述质点系质量分布的另一个特征量。
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
第九章 动量定理和动量矩定理
i
i
mi aC F i
(e)
C
i
i
i
C
i
——质心运动定理： 质点系的质量与质心绝对 加速度的乘积等于作用于 质点系的外力的主矢。 质点系的内力不影响质心 的运动，只有外力才能改 变质心的运动。
i
i
C
i
该定律的投影式为： 直角坐标式
mi aCx F (e) mi aCy F iy (e) mi aCz F iz 自然坐标式
F
(e) ix
0
则：vCx＝恒代数量
四、解题步骤 分析质点系所受的全部外力，含主动力和约束反力。 为求未知力，可先计算质心绝对坐标，求出质心绝 对加速度，然后用质心运动定律求解。
在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解 法与质点动力学第二类问题相同。
如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标， 令其相等，即可求得所求质点的位移。
质点系动量的增量等于作 用于质点系的外力元冲量 的矢量和。
由dp d I i( e) F i( e ) dt
d mi v i dt mi ai F i( e )
质点系动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的 外力的矢量和（主矢）。 积分形式 由 dp F i( e ) dt
M O (F )
z
F
mv
〃Q MO(F) O y
x
直角坐标投影式为
d M x (mv ) M x (F ) dt d M y (mv ) M y (F ) dt d M z (mv ) M z (F ) dt
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
第十七章 动量定理 动量矩定理
第一节 质点运动微分方程 第二节 质心、动量和冲量的概念 第三节 动量定理 第四节 动量守恒 第五节 动量矩的概念 第六节 动量矩定理 第七节 刚体定轴转动微分方程
本章重点
一、 质心运动定理 二、 动量守恒 三、 动量矩守恒 四、 刚体定轴转动微分方程
第一节 质点运动微分方程
动荷系数
Kd
FT max FT 0
1
v02 gl
第二节 质心动量与冲量的概念
一、质点系的质心
1 2
C的矢径为
rC
miri m
取直角坐标系Oxyz
质心的坐标为xC、yC、zC
xC
mi xi m
yC
mi yi m
zC
mi zi m
xC
Wi xi W
iieiitffpdd求和注意只有外力才能改变质点系的动量eiiieitfffppddd交换求导和求和的顺序质点系动量定理的微分形式eitfd质点系动量定理的积分形式eii12ppddddexixyeiyptptff2121eixeiyxxyyppppii在平面问题中取直角坐标轴动量定理的投影式为三质心运动定理pm平面问题中将矢量形式的质心运动定理投影cmveicmtfddveicfaeiicimfaecxixecyiymamaffnceinecimamaff自然轴直角坐标轴质心运动定理常用来求力特别用来求约束反力
由n个质点组成的质点系，对其中第i个质点应用动量定理 ：
d pi dt
Fi
Fie
Fii
i = 1，2，3，…，n
Fie ：质点系以外的物体作用于质点的外力；
第04章3-动量定理及动量矩定理
33
解： （1）定常流动连续方程
v1R12 vr2 2R2 b2或Q vr2 2R2 b2
Q
vr2 2R2 b2
34
(2) 动量矩方程：
T轴
(R 2v2 R v1 0 v 2 R 2
1v
1
)m
对坐标原点的动量矩
25
dB dt
t
CV
r
v
dV
CS
r
v
v
ndA
t
CV
r
v
dV
CS
r
v
v
ndA
T
• 作为一种近似，忽略表面力和对称质量力所 产生的力矩。
T=r
F s
r Fm
T轴
T轴
• 对于定常流动， 0 ，有：
t
rv v ndA T
CS
一、角动量方程 二、角动量方程应用
叶轮机分析时往往取转轴为z轴，为 圆柱坐标系。
n)dA
F
1-3 定常动量方程
d
mv
dt
sys
t
CV
vdV
CS
v(v n)dA
F
t
CV
vdV
0
v(v n)dA F CS
定常流动时，作用在控制体上的合力等于流出控 制面的净动量流率。
直角坐标系下的定常动量方程：
Fx
u v n dA
CS
Fy
v v n dA
0＝ρQ1v1 –ρQ2v2 – ρQ0v0 cosθ Q1 –Q2 ＝ Q0 cosθ
连续方程： Q1 ＋Q2 ＝ Q0
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
第5章 动量定理和动量矩定理
px = ∑m xi = mvcx i
py = ∑mi yi = mvcy pz = ∑mi zi = m c z v
15
比较两环 p1 , p2大小 思考: 思考: 1.已知m,r, ω m
m
r
ω
c r
ω
2m
vc
解： p1 = rω m+ 2rω m = 3mrω (→) p2 = 2 rmω
oc守恒62杆细长可略去方向sin12方向如图右手法则类比63若考虑有所减小若固结点偏离质心o如图类似方法可求矩形板圆盘转动时的动约束力mgoy若不计绳与滑轮的质量则若考虑绳与滑轮的质量则显然brar已知66稳定流体的动约束力
1
研究机械运动与力的相互关系
: 离散型 松散介质 模型：受力的质点系 : 连续型 固体、流体、刚体
牛顿 力学、矢量动力学 经典动力学－ （物理中已阐述） 分析动力学－ 两个原理为基础
2
3
5.1 质点动力学
5.1.1 动力学基本定律
1.惯性定律 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动 （对惯性系）。 表明：①任何物体具有保持静止或作匀速直线运动 的性质-惯性；②力是改变物体运动的原因。
38
变质量系统的质心运动定理 5.2.4 变质量系统的质心运动定理
质点系在运动过程中，若不断发生系统外的质点 并入，或系统内的质点排出，导致系统的总质量 随时间不断改变时，称为变质量系统。
m v m t vc m m t+t
39
vc+ vc
系统动量的变化为：
p = (m + m )(v c + v c ) (mv c + mv ) = m vC m ( v vC ) + m vC
理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
例13-10 如图所示均质鼓轮，半径为R，质量为m，在半径为r处沿水平方向 作用有力F1和F2，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，试求轮心0点 的加速度以及使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力。
解 鼓轮作平面运动，其受力如图所示，建立鼓轮平面运动微分方程为
1）
2）
3）
因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动，故有如下关系
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
动量矩定理的三个公式
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
动量定理和 动量矩
动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。
刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。
描述重心运动规律的是动量定理。
描速重心转动规律的是动量矩定理。
所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。
一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。
半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。
鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。
(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。
显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。
将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。
式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。
动量和定量定理
动量定理的优点：不考虑中间过程，只考虑初末状态。
课堂练习
3、一个质量为0.01kg的弹性小球，以10m/s的速 度在光滑 水平面上运动，撞到前方的竖直墙壁后 以8m/s的速度反向弹回，设碰撞时间为0.01s，求 球受到墙壁的平均撞击力。
三、冲量
１、定义：作用在物体上的力和作用时间的乘积， 叫做该力对这个物体的冲量I，用公式表示为 I=Ft
2、单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒， 符号是N·s
3、冲量是矢量：方向由力的方向决定，若为恒 定方向的力，则冲量的方向跟这力的方向相同 4、冲量是过程量，反映了力对时间的积累效应
思考与讨论 冲量与功有什么区别？
课堂练习
4、一质量为100g的小球从0.8m高处自由下落到
一个软垫上，若从小球接触软垫到小球陷至最
低点经历了0.2s，则这段时间内软垫对小球的
冲量为多少？
0.6N.S
5、质量为m的物体，以速率v沿半径为R的圆， 在光滑水平面上做匀速圆周运动。求物体运 动半周所受的合力的冲量的大小。
-2mv
课堂练习
• 单位：在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒， 符号是 kg·m/s ；
• 动量是矢量：方向由速度方向决定，动量的方向与该 时刻速度的方向相同；
• 动量是描述物体运动状态的物理量，是状态量；
• 动量是相对的，与参考系的选择有关。
• 意义：速度从运动学角度量化了机械运动的状态, 动 量则从动力学角度量化了机械运动的状态。
v ' v p ' p F合 m t t
2、牛顿第二定律与动量定理的区别：
1）牛顿第二定律反映的是物体某一瞬时所受合外力与 加速度之间的关系，两者一一对应，是一个瞬时表达 式，仅当合外力为恒力时，加速度为恒量；
第十七章-动量定理和动量矩定理
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性
体、流体。
三.动力学分类: 质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
11
④ 列出自然形式的质点运动微方程
G dv ma G sin F , g d t 2 1
ma n Fn ,
Gv T Gcos 2 g l
⑤ 求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 2 v0 Tmax G (1 ) gl
2 可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v0 2gR 则在某一位置
2 2 gR 时，无论 x多 x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去 不返 时（ x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s)
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图 示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
m gR2 mM mg f F 2 R x2 d x2 mgR 2 建立质点运动微分方程 m 2 2 d t x d vx d vx d x vx d vx m gR2 d 2 x d vx m vx ( 2 ) 即： 2 mM F f 2 x
7、动力学-动量定理和动量矩定理概论
11
质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分 问题)。解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 ② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 ③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 ⑤ 求解未知量。
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
16
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
14
[例2] 已知质量为m的质点M在坐标平面 Oxy 内运动，如
图所示。其运动方程为 x a cost，y bsint ，其中
a、b、 是常数。求作用于质点上的力F。
解：将质点运动方程消去时间t，得
x2 y2 1
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约1 质点动力学的基本方程 14.2 动量定理 14.3 动量矩定理
ma
F ,
G d v G sin
g dt
1
动量矩定理公式
动量矩定理公式标题：动量矩定理公式作为物理学中的重要定理之一，动量矩定理公式（也被称为角动量定理）在解释运动过程中起着至关重要的作用。
它描述了物体的力矩对其角动量变化的影响。
本文将详细介绍动量矩定理的基本原理、公式的推导过程以及其在实际物理现象中的应用。
动量矩定理的基本原理源于牛顿第二定律和角动量的定义。
根据牛顿第二定律，一个物体所受的合外力等于物体的质量乘以加速度。
而角动量是描述物体旋转运动的量度，其定义为物体的质量乘以线速度与转轴之间的距离乘积。
根据动量矩定理，当一个物体所受的力矩不为零时，物体的角动量将发生变化。
推导动量矩定理的公式相对简单明了。
设一个物体的角动量为L，力矩为τ，那么根据牛顿第二定律和角动量的定义可以得到：τ = dL/dt其中，τ表示力矩，L表示角动量，dt表示时间的微元。
根据微积分的知识，可以将上式进行积分，得到：∫τdt = ∫dL即∫τdt = L2 - L1其中，L1和L2分别表示起始时刻和结束时刻的角动量。
这个就是动量矩定理的基本公式。
动量矩定理的公式可以用于解释许多物理现象。
例如，在刚体的旋转问题中，一个刚体受到的力矩将会导致角动量的变化。
通过应用动量矩定理，可以计算出刚体在旋转过程中的加速度、转动角速度等信息。
这对于分析刚体运动的特性非常有帮助。
此外，动量矩定理公式还可以应用于解释守恒定律。
根据动量矩定理，当一个物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变。
这是因为合外力矩为零意味着物体不受到外部力矩的扰动，因而物体的角动量不会发生改变。
这就是角动量守恒定律的数学表达。
在实际应用中，动量矩定理的公式常常被用于设计和分析机械系统的工作原理。
例如，在车辆制动系统中，物体的角动量变化与制动力矩直接相关。
通过对动量矩定理的应用，可以计算制动力矩对车辆速度和行驶方向的影响，从而确保车辆在制动过程中的稳定性和安全性。
此外，动量矩定理的公式还可以用于解释许多自然现象。
第十一章 动量(矩)定理1
CO L p L p r r r r ⋅=⋅∴′pr L L C O C O r r r r ×+=′′两边点积p 因为)()(=×⋅=×⋅′′p p r p r p C O C O r r r r r r 动量系第二不变量则ii r v r r r ×=ωr k r r ×=ωni i O r L r r ×=∑=1)i r r 到转轴的距离ρiCpOωm i r iρii i v m )rωz J =OCp L C才是能作为平面问题的条件之一。
对称平面PL OOr C稳态流ϕϕ2 v v r2Q Q tωxF F M2Q Q tωlxF yF思考思考：：若螺栓不固定螺栓不固定？？O30°xF Nm 1gm b 1OF yP1`P2偏心转子电动机工作时为什么会左右运动偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；；这种运动有什么规律这种运动有什么规律；；会不会上下跳动；？？台式风扇放置在光滑的台面上面上，，风扇工作时风扇工作时，，会发生什么现象？抽去隔板后将会发生什么现象不要在你的智慧中夹杂着傲慢不要使你的谦虚心缺乏智慧v i m ir C2QQtωlO30°O。
动量定理表达式
动量定理表达式动量定理是物理学中的基本定理，它表明了物体的动量的保守性。
动量定理又称为“质量动量定理”，是指物体的动量p（即质量m乘以速度v）在不受外力影响的情况下是守恒的，即动量的增加或减少只能由物体本身来完成。
这个定理也可以写成数学表达式：Δp = FΔt其中，Δp表示运动物体在时间Δt内其动量变化量，F表示作用于该物体的外力，Δt表示物体的运动时间，上式的意思是，物体的动量变化量Δp等于作用于该物体的外力F乘以时间Δt。
如果物体没有受到外部力的影响，则上式还可以简化为：Δp = 0也就是说，物体在不受外力影响的情况下，其动量是守恒的，不会增加或减少，只能够改变物体的方向，而不会改变物体的大小。
动量定律是物理学研究物体运动的基础，它可以帮助我们深入地了解物体运动的规律。
它包括动量守恒定律，动量平衡定律，动量定理，动量矩定理等。
动量守恒定律是指物体的动量在不受外力影响的情况下是守恒的，即动量的增加或减少只能由物体本身来完成。
它可以用数学表达式Δp = 0来表示。
动量平衡定律是指物体在受到外力的作用下，其动量的变化量等于外力与时间之积。
它可以用数学表达式Δp = FΔt来表示。
动量定理是指物体的机械动能的变化量等于外力作用时间与物体的动量变化量之积。
它可以用数学表达式ΔE=FΔtΔp来表示。
动量矩定理是指物体的动量矩的变化量等于外力的作用时间与物体的质心位置变化量之积。
它可以用数学表达式ΔL=rFΔt来表示。
因此，动量定理表达式是一组物理学定理，用于表达物体运动的守恒性质。
它可以帮助我们深入地了解物体运动的规律，从而更好地掌握物理学知识。
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2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。
质点对 轴的动量矩为
动量矩 的解析式为
刚体动量矩的计算
1)刚体平动（图12.17）
2)定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）
3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）
例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。
解：
1．研究轴Ⅰ（图12.29）
（1）
2．研究轴物（图12.29）
（2）
3．运动学关系
（3）
（4）
由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：
五．矩心为质心的动量矩定理
1．质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系
如图12.30所示，O为定点，C为质点系的质心，质点系对于定点O的动量矩为
对于任一质点 ，由图可见
2）附加动约束力有最大值或最小值：
时，
时，
时，
时，
3）附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。
4）利用动量定理能否求约束力偶矩 ？
本例也可以选用质心运动定理 求解。
在图12.10中，因为定子不动，故 是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式：
（2）回转半径（惯性半径）
设刚体对轴 的转动惯量为 ，质量为 ，则由式 定义的长度，称为刚体对轴 的回转半径。
例如：均质杆（图12.2）
均质圆环（图12.3）
均质薄圆板（图12.4）
若已知刚体对轴的回转半径 ，则刚体对轴 的转动惯量为：
（3）转动惯量的平行轴定理
在图12.5中， ，轴间距离为 ，刚体质量为 ，其中 轴过质心，则有
解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即故常量
时
时
由得
例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。
解：研究整体系统：因为，故常量
设轮顺时针转，绳子的速度为
右边
左边
可得质点系对固定点的动量矩定理
3．动量矩守恒
若，常矢量
若则常量
例12.10分析受有心力作用的物体的运动
解：如图12.24所示，因为
故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。
例12.11如图12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。
第十二章动量定理和动量矩定理
本章研究的两个定理
动量定理——力系主矢量的运动效应反映；
动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。
一．质点系质量的几何性质
1． 质心
质点系的质量中心，其位置有下式确定：
其投影式为
, ,
2．刚体对轴的转动惯量
定义： 为刚体对 轴的转动惯量或
影响 的因素 单位：
物理意义：描述刚体绕 轴时惯性大小的度量。
的计算方法：
（1）积分法
例12.1已知：设均质细长杆为 ，质量为 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴 的转动惯量。
解：建立如图12.2所示坐标，取微段 其质量为 ，则此杆对轴 的转动惯量为：
例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为 ，质量为 ，求其对于垂直于圆环平面且过中心 的轴的转动惯量。
解：
1．研究对象：复摆
2．分析受力：如图12.28所示
3．分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角
4．列动力学方程，求解：
由题意，复摆微摆动时，于是有
这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：
式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定
摆动周期为
5．讨论
1）若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量
2）如果要求轴承O的约束力
解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为 ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径 ，所以圆环对于中心轴 的转动惯量为：
例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为 ，质量为 ，求对于垂直于板面且过中心 的轴 的转动惯量。
解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为 ，宽度为 ，质量为 ，由上题知，此圆环对轴 的转动惯量为 ，于是，整个圆板对于轴 的转动惯量为：
于是
式中 , 质点系对于质心的绝对动量矩
图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有
式中质点系对于质心的相对动量矩
有
代入式，有
2．质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于固定点的动量矩定理
左边
右边
由于
所以
矩心为质心的动量矩定理
若
则常矢量矩心为质心的动量矩守恒
试分析跳水运动的腾空动作（图12.31）
例如：在图12.2中，细长杆对 轴的转动惯量为
（4）组合体
例12.4已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为 和 ，杆长为 ，圆盘直径为 ，求钟摆对通过悬挂点 的水平轴的转动惯量。
解：钟摆对水平轴 的转动惯量为：
其中：
所以
二．动量定理
1．动量的概念与计算
质点的动量为
质点系的动量系为
（1）积分形式
由式（Ⅰ）可得到积分形式
（2）动量守恒（质心守恒）
若 则 常矢量或 常矢量
若 则 常量或 常量
若 则 常量（质心守恒）
实例分析
实例1利用质心运动定理解释定向爆破
实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车
例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为 ，质心位于转子转轴的中心 ；转子质量为 ，
1．质点对固定点的动量矩定理图12.22
牛顿第二定律：
上式两边左叉矢径
左边
是固定点时，于是有
——质点对固定点的动量矩定理
2．质点系对固定点的动量矩定理
设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。
第个质点对固定点的动量矩定理为
将上式从到求和
由图12.23知
（1）由牛顿第二定律
将上式由 到 求和，有
，
（Ⅰ)
由 ,
质心运动定理： （Ⅱ）
质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。
在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为
（Ⅲ）
式中 、 分别是刚体系统中第 个刚体的质量和质心加速度。 是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即
三动量矩的概念及其计算
1．质点的动量矩
设质点 的质量为 ，某瞬时的速度为 ，到 点的矢径为 （图12.15）
质点对 点的动量矩为
质点对 轴的动量矩为
质点对 点和 轴（该轴通过 点）的动量矩关系为
2．质点系的动量矩
设质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，速度为 ，到 点的矢径为 ，则质点系对 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：
则
由即
得
物上升的速度为
人向上的速度为
人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。
五．刚体定轴转动微分方程
设刚体在主动力系作用下，绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理
可得
刚体的定轴转动微分方程
例12.13已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。