动量定理和定量矩定理
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第3章动量定理
例4.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端， 当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达 顶点情况是 （A）甲先到达。
（B）乙先到达。
（C）同时到达。
赵 承 均
（D）谁先到达不能确定。
以甲、乙、绳、滑轮为系统
0 m1v1 m2v2 v1 v2
第一篇
力学
思考题
重 大 数 理 学 院
例1.质量分别为 mA 和 mB 冲量作用,则： (A) (B) (C) (D) A A A A 比 比 、 、 B B B B
( mA > mB
)的两质点 A 和 B ,受到相等的
赵 承 均
的动量增量少. 的动量增量多. 的动量增量相等. 的动能增量相等.
[ C ]
重 大 数 理 学 院
3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力， 或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。
赵 承 均
4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可 以写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上 的合外力与动量变化之间的关系。
例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
例: 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面 上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程 中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。
理论力学10—动量定理
10.2
动量定理
mv mv x F （ t） d x mvx （ dt t I Ix x mv0 0 x 0 F x t） x mv mv F （ t ） d t I 0 y y mvy mv F （ t ） d t Iy y 0y y y 0 mv F （ t） d z mvzz mv mv0 （ dt t I Izz 0z z 0 F z t）
10.1
动量与冲量
对于质点系，可逐个列出各质点的动力学基本方程，但连立求 解复杂。
所以用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇 到很大困难。
在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只 需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和 表现力作用效果的量（冲量、冲量矩、功）之间的关系。 在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量 都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。
从而摩擦力为
代入(1)式，求得所需时间为
mv mv t t P cos 45 mg sin 30 f ( P sin 45 mg cos30 ) P cos 45 mg sin 30 f ( P sin 45 mg cos30 ) 0.0941s 0.0941s
刘益群老师9章动量矩定理ppt课件
定义：
z
Jz m
则 J z m z 2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘 积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。 对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
动力学
第9章 动量矩定理
3. 平行移轴定理
刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该
刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已知作用在刚体的 外力矩，求刚体的转动规律；已知刚体的转动规律，求 作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反 力，需用质心运动定理求解。
特殊情况： 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静 止； 若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。
将 Jz M（z F) 与 ma F 比较，刚体的转动惯
x
yC mi yi / m d
即： JzC Jz md 2
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
动力学
第9章 动量矩定理
4．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。
质点绕某心（轴）转动的问题。
动量定理和动量矩定理
r F
(e)
r F (i)
dt
改变求和与求导次序，则得
d
(
mvr
)
r F
(e)
r F (i)
dt
其中： pr mvr ；由于内力成r 对出现，故所有内
力的矢量和恒等于零，即 F (i) 0。于是可得
质点系动量定理的微分形式
d pr
d
mvr
r F (e)
F (e) z
质点系动量定理的积分形式
p d pv
t
r F
(e)
d
t
或
p0
0
pr
r p0
r I (e)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这
段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理的积分投影形式
px
p0x
I
(e) x
,
py
p0 y
I
(e) y
,
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
理论力学17—动量定理
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的 动量保持不变。 p＝p0 ＝恒矢量 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变。 若 ∑ Fx (e) = 0 ，则 px＝p0x ＝恒量
例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。 解：研究系统，建立坐标系。
滑块C的质量为 的质量为m＝ 在力P＝ 的作用下沿倾角为30 例5 滑块 的质量为 ＝19.6 kg ，在力 ＝866 N的作用下沿倾角为 的 的作用下沿倾角为 o 导杆AB运动 已知力P与导杆 之间的夹角为45 运动。 与导杆AB之间的夹角为 导杆 运动。已知力 与导杆 之间的夹角为 ，滑块与导杆的动摩擦 系数f＝ 初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝ 所需的时间。 系数 ＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到 ＝2 m/s 所需的时间。 以滑块C为研究对象 建立坐标系。 为研究对象， 解：以滑块 为研究对象，建立坐标系。 由动量定理得
17.2 动量定理
r r 其中： p = ∑ mv ；由于内力成对出现，故所有内 r
力的矢量和恒等于零，即 ∑ F (i) = 0。于是可得 质点系动量定理的微分形式 r r (e) r dp d = ∑ mv = ∑ F dt dt 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 r (e) r d p = ∑ F d t = ∑ d I (e) 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。
例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。 解：研究系统，建立坐标系。
滑块C的质量为 的质量为m＝ 在力P＝ 的作用下沿倾角为30 例5 滑块 的质量为 ＝19.6 kg ，在力 ＝866 N的作用下沿倾角为 的 的作用下沿倾角为 o 导杆AB运动 已知力P与导杆 之间的夹角为45 运动。 与导杆AB之间的夹角为 导杆 运动。已知力 与导杆 之间的夹角为 ，滑块与导杆的动摩擦 系数f＝ 初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝ 所需的时间。 系数 ＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到 ＝2 m/s 所需的时间。 以滑块C为研究对象 建立坐标系。 为研究对象， 解：以滑块 为研究对象，建立坐标系。 由动量定理得
17.2 动量定理
r r 其中： p = ∑ mv ；由于内力成对出现，故所有内 r
力的矢量和恒等于零，即 ∑ F (i) = 0。于是可得 质点系动量定理的微分形式 r r (e) r dp d = ∑ mv = ∑ F dt dt 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 r (e) r d p = ∑ F d t = ∑ d I (e) 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。
第九章 动量定理和动量矩定理
(e) ix
三、质心运动守恒定律 若作用于质点系的外力 主矢恒为零，即：
F
(e) i
0
则： vC＝恒矢量 若作用于质点系的外力 在某轴如x轴上的投影的 代数和恒为零，即：
d vC (e) m F it i dt 2 vC (e) mi F in (e) 0 F ib
§9-3 动量矩定理
一、动量矩的概念 质点动量矩
z
mv
MO(mv) = r×mv
动量矩是(定位于矩心的)定 位矢量，其方向由右手螺 旋定则确定。
O x
Q y (mv)xy
动量对轴之矩为代数量， 国际单位制单位中，动量 质点对点O之动量矩矢在 2 矩的单位为kg· m /s 通过该点的z轴上的投影 质点动量mv在Oxy平面内的 等于其对z轴之动量矩。 分量 (mv)xy对于点O的矩定 [ M ( m v )] = M ( m v ) O z z 义为质点动量对z轴之矩。
【例9-2】 在图示系统中，均质杆OA、AB与均质轮 的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2， 轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时， OA杆的角速度为，求整个系统的动量。 【解】OA杆作定轴 转动，C为质心 vC=0.5l1 AB杆作平动 vB=vA=l1 轮B作平面运动，B为质心
A
N
N1 ae A
三、质心运动守恒定律 若作用于质点系的外力 主矢恒为零，即：
F
(e) i
0
则： vC＝恒矢量 若作用于质点系的外力 在某轴如x轴上的投影的 代数和恒为零，即：
d vC (e) m F it i dt 2 vC (e) mi F in (e) 0 F ib
§9-3 动量矩定理
一、动量矩的概念 质点动量矩
z
mv
MO(mv) = r×mv
动量矩是(定位于矩心的)定 位矢量，其方向由右手螺 旋定则确定。
O x
Q y (mv)xy
动量对轴之矩为代数量， 国际单位制单位中，动量 质点对点O之动量矩矢在 2 矩的单位为kg· m /s 通过该点的z轴上的投影 质点动量mv在Oxy平面内的 等于其对z轴之动量矩。 分量 (mv)xy对于点O的矩定 [ M ( m v )] = M ( m v ) O z z 义为质点动量对z轴之矩。
【例9-2】 在图示系统中，均质杆OA、AB与均质轮 的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2， 轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时， OA杆的角速度为，求整个系统的动量。 【解】OA杆作定轴 转动，C为质心 vC=0.5l1 AB杆作平动 vB=vA=l1 轮B作平面运动，B为质心
A
N
N1 ae A
第二章动量定理
i i i i i c i i i i c i i i i i i c
rc
y
m
dt
i i
dt
mi ri
mi
dri dt
P mvc
m v
P mvc
质点系的动量,等于质点系的
px = ∑mivix = mvCx
py = ∑miviy = mvCy pz = ∑miviz =mvCz
dpz (e) Fz dt
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零， 质点系的动量保持不变。即
(e) 若 F 0 , p =恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上 的投影恒等于零，质点系的动量在这坐标轴上的投 影保持不变。
若 F
(e) x
0 , px = 恒量
实例分析：
i
n d ( Mvc ) Fi ( e ) dt i 1
n dvc (e) M Fi dt i 1
质点系的总质量与其质心加速
Mac Fi
i 1
n
(e)
度的乘积,等于作用在该质点系 上所有外力的矢量和（主矢）,
即质心运动定理。
质心运动定理在直角坐标轴投影式
Macx Macy Macz
dvc M dt
F
( Fne )
rc
y
m
dt
i i
dt
mi ri
mi
dri dt
P mvc
m v
P mvc
质点系的动量,等于质点系的
px = ∑mivix = mvCx
py = ∑miviy = mvCy pz = ∑miviz =mvCz
dpz (e) Fz dt
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零， 质点系的动量保持不变。即
(e) 若 F 0 , p =恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上 的投影恒等于零，质点系的动量在这坐标轴上的投 影保持不变。
若 F
(e) x
0 , px = 恒量
实例分析：
i
n d ( Mvc ) Fi ( e ) dt i 1
n dvc (e) M Fi dt i 1
质点系的总质量与其质心加速
Mac Fi
i 1
n
(e)
度的乘积,等于作用在该质点系 上所有外力的矢量和（主矢）,
即质心运动定理。
质心运动定理在直角坐标轴投影式
Macx Macy Macz
dvc M dt
F
( Fne )
动量与动量矩
K
K，=
0=K 三）动量矩定理
下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．
1．力对于轴线的力矩
图3－1
力F 对轴线AB 的力矩等于力F 在垂直于轴线的平面S 中的投影F ⊥再乘
以其与轴线AB 的垂直距离d （一般称之为力臂）．如果力F 本身就在与AB 垂直的平面内，力矩就等于 F 乘以F 与AB 的垂直距离d 。力F 对轴线AB 的力矩记为
AB M ，
AB M F =⊥ d （3．15）
通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向
2．对于轴线的动量矩和动量矩定理
（1）质点与轴连结．
如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为
（3．16）
mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，
即 AB AB M J = （3. 17） 这就是动量矩定理．
（2）转动惯量．
将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示
2AB J mR ω= （3. 18）
2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则
动量矩定理（3．17）即
AB I ωα= （3．19） 式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！
从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转
动惯量．
（3）质点并不与轴连结．
第4章 动量和动量矩定理
K 2 t2 积分形式： K 2 K1 d K Fdt K1 t1
d K Fdt
质点动量定理：质点动量得改变等于力的冲量
（3） 质点动量守恒律 若 F 0 ，则， K K1 ，常矢量
mg
x
2． 质点组的内力、外力、质心 （1） 内力和外力 定义：内力——组内质点的相互作用力 外力——组内物体所受组外物体的作用力
(内) F i( j) i
(外) Fi
(内) F j (i )
j
内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反： F i ( j ) F j (i) 因作用在不同的质点上，不能相互抵消，但对整个质点组的总效果而言，其效果能否抵 消，看问题而定——总动量、总动量矩可抵消，总动能不一定。 （2） 质心 质心概念的引入：质量分别为 mg 和 3 mg 的质点由质量可忽略的刚性杆连在一起。经 验告诉我们，当支撑点位于 Xc 处时，杆便能平衡。Xc 称为质心，可由下面方法计算 出来。
t
转动。
解：隔离 A 点外的杆 AB。 水平方向受外力——来自 A 点里的杆 OA 质心运动定理：C 作圆周运动。
F F
A C B
O
m 3 l ( )0 e t 2 4 m 3 2 2 t F M AB ac M AB OC 2 l 0 e 2 4
d K Fdt
质点动量定理：质点动量得改变等于力的冲量
（3） 质点动量守恒律 若 F 0 ，则， K K1 ，常矢量
mg
x
2． 质点组的内力、外力、质心 （1） 内力和外力 定义：内力——组内质点的相互作用力 外力——组内物体所受组外物体的作用力
(内) F i( j) i
(外) Fi
(内) F j (i )
j
内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反： F i ( j ) F j (i) 因作用在不同的质点上，不能相互抵消，但对整个质点组的总效果而言，其效果能否抵 消，看问题而定——总动量、总动量矩可抵消，总动能不一定。 （2） 质心 质心概念的引入：质量分别为 mg 和 3 mg 的质点由质量可忽略的刚性杆连在一起。经 验告诉我们，当支撑点位于 Xc 处时，杆便能平衡。Xc 称为质心，可由下面方法计算 出来。
t
转动。
解：隔离 A 点外的杆 AB。 水平方向受外力——来自 A 点里的杆 OA 质心运动定理：C 作圆周运动。
F F
A C B
O
m 3 l ( )0 e t 2 4 m 3 2 2 t F M AB ac M AB OC 2 l 0 e 2 4
10第十章动量定理
b b1
Fb vb
例 水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为v，弯管 横截面面积为A，求管壁对流体的附加动反力。
y v1
v2 x
FN qV r(vb va ) qv A1v1 A2v2 Av
解：取弯管中水流研究，受到的附加动反力如图。
FNx r qv (v2x v1x ) r qv (0 v1)
注意
冲量是矢量
冲量单位 N s 或 kg m / s
冲量在直角坐标轴上的投影 作用在物体上力系合力的冲量
Ix
t2 t1
Fxdt
I y
t2 t1
Fydt
Iz
t2 t1
Fzdt
I
t2 Fdt
t1
t2 t1
(
F1
+F2
+
+Fn )dt
Ii
在任一时段内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。
质点系的动量在直角坐标轴上的投影：
px mivix mvCx py miviy mvCy pz miviz mvCz
即：质点系的动量在某一轴上的投影等于质点系的质量与其 质心速度在该轴上投影的乘积。
例 下图中三个均质物体的质量都是m，求它们的动量。
Ow
l
w
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理
工程力学学习指导
第17章 动量定理和动量矩定理
17.1 教学要求与学习目标
1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点
17.2.1 质点系的动量
质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。即
i i
i m v p ∑=
质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即
⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎬⎫
===∑∑∑i iz i z i iy i y i
ix i x v m p v m p v m p
质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即
第四章动量和动量矩
10
3 质点组动量定理
⑴ 质点组动量定义：
质点组总动量定义为该质点组所有质点的动量的矢量和，
即：
K
Ki
mivi
i
i
利用质心的定义可得：
K (
i
M mivi ) M
M 1 M
i
mivi
Mvc
Kc
即质点组的动量为质心的动量。
11
⑵ 质点组动量定理(质心运动定理)
对第i个质点mi，有
第四章 动量和动量矩
§4.1 动量定理和动量守恒定律
1 质点动量定理和动量守恒定律
（1）
质点动量定义
K
mv
v2
特点： ①矢量 ②与参考系有关
v1
v
v3
v
质点被墙弹回，动量的改变为
mv 2mv
质点作匀速圆周运动，
动量的改变为
mv2
mv1
2mv
mv3
mv1
2mv
1
⑵牛顿质第点二动定律量F定 理ma、力F 的 m冲dv量
解：以圆心为坐标原点，如图。
该铜钱可看作两部分组成。
一部分质量为 M1 R2 质心位置为xc1=0
C2
X
C1
另一部分质量为 M2 R2
质心位置为xc2=-R/6
偏心铜钱的质心位置
xc
M1
3 质点组动量定理
⑴ 质点组动量定义：
质点组总动量定义为该质点组所有质点的动量的矢量和，
即：
K
Ki
mivi
i
i
利用质心的定义可得：
K (
i
M mivi ) M
M 1 M
i
mivi
Mvc
Kc
即质点组的动量为质心的动量。
11
⑵ 质点组动量定理(质心运动定理)
对第i个质点mi，有
第四章 动量和动量矩
§4.1 动量定理和动量守恒定律
1 质点动量定理和动量守恒定律
（1）
质点动量定义
K
mv
v2
特点： ①矢量 ②与参考系有关
v1
v
v3
v
质点被墙弹回，动量的改变为
mv 2mv
质点作匀速圆周运动，
动量的改变为
mv2
mv1
2mv
mv3
mv1
2mv
1
⑵牛顿质第点二动定律量F定 理ma、力F 的 m冲dv量
解：以圆心为坐标原点，如图。
该铜钱可看作两部分组成。
一部分质量为 M1 R2 质心位置为xc1=0
C2
X
C1
另一部分质量为 M2 R2
质心位置为xc2=-R/6
偏心铜钱的质心位置
xc
M1
7、动力学-动量定理和动量矩定理概论
11
质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分 问题)。解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 ② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 ③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 ⑤ 求解未知量。
6
§14.1 质点动力学的基本方程
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系 统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学 基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。 一、质点动力学的基本定律
第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止 或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生 变化的原因。
12
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：① 选重物(抽象为质点)为研究对象； ② 受力分析如图所示； ③ 运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。
13
④ 列出自然形式的质点运动微方程
1
目录
第17章 动量定理和动量矩定理 第18章 动能定理
2
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 二.力学模型：
动量 动量定理
动量动量定理
动量定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在运动过程中的动量变化规律。动量定理指出，当一个物体受到外力作用时，它的动量将发生变化，其变化率等于所受外力的大小与方向的乘积。本文将从动量的定义、动量定理的表达方式、动量定理的应用以及动量守恒定律等方面进行阐述。
动量的定义是物体的质量与速度的乘积，用数学式表示为p=mv，其中p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。动量是一个矢量量，它具有大小和方向。当物体的速度发生变化时，它的动量也会随之改变。
动量定理可以用数学式表示为F=Δp/Δt，其中F表示作用力，Δp 表示动量的变化量，Δt表示时间的变化量。这个公式表明，当一个物体受到外力作用时，它的动量将发生改变，其变化率等于所受外力的大小与方向的乘积。
动量定理的应用非常广泛。在运动学中，我们可以利用动量定理来研究物体在运动过程中的加速度、速度和位移等参数的变化规律。在动力学中，动量定理可以帮助我们计算物体所受的作用力以及作用力的方向。此外，在碰撞、爆炸等过程中，动量定理也起着关键的作用。通过应用动量定理，我们可以分析碰撞前后物体的速度变化、动能的转化以及碰撞力的大小等问题。
除了动量定理，还有一个重要的概念是动量守恒定律。动量守恒定律指出，在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变，即物体之间的相互作用不会改变它们的总动量。根据动量守恒定律，我们可以预测碰撞前后物体的速度和方向，并利用这个定律解决各种实际问题。
总结一下，动量定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在运动过程中的动量变化规律。通过应用动量定理，我们可以研究物体的运动状态、计算作用力、分析碰撞过程等。同时，动量守恒定律告诉我们，在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变。动量定理和动量守恒定律是我们研究物体运动和相互作用的重要工具，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
第十三章 动量定理
解，1． 取球为研究对象。
2、 受力分析 棒击球时棒的作用力F的方向 与冲量的方向相同。s方向由动量定理求得. 3． 运动分析 冲击前v。＝50(m/s )(→) 冲击后：v＝40(m/S) [方向如(a)图所示] 4． 由动量定理列方程求冲量
4． 由动量定理列 方程求冲量 K 2一K1＝S
由上式作图(b)。并取MXY坐标如图，将上式 向XY轴方向投影： Sx＝k2x- k1X＝- mv·co s(180°- 135°)-mV o
t = (2H/g)1/2
故取铅垂轴Y如图示， 则有 Sy=N＊τ – mg(t+ τ)
(4)由动量定理得
0 =N＊τ – mg(t+ τ)
N＊=mg(1+t / τ)= mg[1+(2H/g)1/2 / τ]
锻锤对锻件的平均压力与锻件的平均反力是作 用与反作用的关系，故两者大小相等，方向相 反。
由牛顿第二定律:
dt
dK F dt (瞬时表达式)
d(mv) F dt
= 即质点的动量
对时间的导数
作用于质点的合外力
2.质点动量定律积分形式:
由 dK F dt
dK F dt
K2 - K1 = S
(运动过程表达式)
2
dK
1
F
dt
= 质点动量在一段
时间内的改变量
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
投影式:
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
2020年4月20日
3
思考: 1.已知m,r, 比较两环 p1 , p2 大小
m
m
2m
vc
c
r
r
解： p 1 m r m 2 r 3 m r
p22mr 故p1p2
2020年4月20日
4
2.求均质杆合动量P，p m l ω 对吗？ 2
J O 1 ( J C 2 m 2 v 2 R 2 ) m 3 v 3 R 2
v3 v2 R22 1 2R11
LO(R J2 O 2R J2 C 2m 2m 3)R2v3
2020年4月20日
41
二、质点系对固定点的动量矩定理
1.矢量式
①矢量微分式
d L0 dt
M
e 0
几何解释（赖柴定理），类比
答：位置不对！p应在 l 处.
3 向c简化，P=mlω/2为动量的主 矢量大小，此时还有动量的主矩 Lc .
CP
l 3
2020年4月20日
5
2、冲量 力的元冲量和冲量
矢量式:
dI Fdt
I t2 F d t t1
矢量，累计量，单位：kg.m/s
投影式:
I x
t2 t1
Fx d t
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解：
1．研究对象：杆
2．分析受力：如图12.34所示
3．分析运动：剪断绳时，杆作平面运动。质心作平面曲线，轨迹未知。
4．列动力学方程，求解：
以上三个式中有个未知量，补充一个运动学关系
以上四式联立，解得：
代入数据，得：
例12.17已知：质量为半径为的均质圆轮，可以在半径为的圆弧轨道中作纯滚动（如图12.34所示），时圆轮由静止释放。求：（1）接触处的摩擦力和正压力
（1）由牛顿第二定律
将上式由 到 求和，有
，
（Ⅰ)
由 ,
质心运动定理： （Ⅱ）
质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。
在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为
（Ⅲ）
式中 、 分别是刚体系统中第 个刚体的质量和质心加速度。 是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即
则
由即
得
物上升的速度为
人向上的速度为
人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。
五．刚体定轴转动微分方程
设刚体在主动力系作用下，绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理
可得
刚体的定轴转动微分方程
例12.13已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。
解：1）研究对象：取管中 截面和 截面之间的流体为研究的质点系
2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常Байду номын сангаас动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
的计算方法：
（1）积分法
例12.1已知：设均质细长杆为 ，质量为 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴 的转动惯量。
解：建立如图12.2所示坐标，取微段 其质量为 ，则此杆对轴 的转动惯量为：
例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为 ，质量为 ，求其对于垂直于圆环平面且过中心 的轴的转动惯量。
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。
解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即故常量
时
时
由得
例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。
解：研究整体系统：因为，故常量
设轮顺时针转，绳子的速度为
质点对 轴的动量矩为
动量矩 的解析式为
刚体动量矩的计算
1)刚体平动（图12.17）
2)定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）
3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）
例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。
右边
左边
可得质点系对固定点的动量矩定理
3．动量矩守恒
若，常矢量
若则常量
例12.10分析受有心力作用的物体的运动
解：如图12.24所示，因为
故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。
例12.11如图12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。
解：
1．研究轴Ⅰ（图12.29）
（1）
2．研究轴物（图12.29）
（2）
3．运动学关系
（3）
（4）
由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：
五．矩心为质心的动量矩定理
1．质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系
如图12.30所示，O为定点，C为质点系的质心，质点系对于定点O的动量矩为
对于任一质点 ，由图可见
第十二章动量定理和动量矩定理
本章研究的两个定理
动量定理——力系主矢量的运动效应反映；
动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。
一．质点系质量的几何性质
1． 质心
质点系的质量中心，其位置有下式确定：
其投影式为
, ,
2．刚体对轴的转动惯量
定义： 为刚体对 轴的转动惯量或
影响 的因素 单位：
物理意义：描述刚体绕 轴时惯性大小的度量。
质点系的动量（动量系的主矢量）为
将质心公式 对时间 求一阶导数，有 即
于是
2．动量定理
1）质点的动量定理
设质点质量为 ，速度为 ，作用力为 ，由牛顿第二定律，有
变换为
——质点的动量定理的微分形式（ 为元冲量）
将上式对时间 积分有
冲量——质点的动量定理的积分形式
2）质点系的动量定理
设质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，速度为 ，所受外力为 ，内力为 （图12.7）
时，由图12.11
时，由图12.11
因为 解得：
说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为
2）电机未跳起时， 仍可用上例所求结果，即
令 ，求的电机的角速度为：
讨论：当 ，即 时，转子质心 在最高处，可求得使电机跳起的最小角速度为：
例12.7已知：如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。
求，积分求
求轴承的约束力
刚体定轴转动微分方程组
例12.14已知：电动机将不变转矩M加在轴上（图12.29）轴通过节圆半径为 的外啮合齿轮传动给轴Ⅱ。轴Ⅱ与提升重物的鼓轮固结为一体，鼓轮半径为R，轴Ⅰ连同其上零件对轴的转动惯量为 ，轴Ⅱ连同其上零件对轴的转动惯量为 ，且各自重心分别在转轴上。重物的质量为，不计摩擦。求：重物A的加速度。
（2）回转半径（惯性半径）
设刚体对轴 的转动惯量为 ，质量为 ，则由式 定义的长度，称为刚体对轴 的回转半径。
例如：均质杆（图12.2）
均质圆环（图12.3）
均质薄圆板（图12.4）
若已知刚体对轴的回转半径 ，则刚体对轴 的转动惯量为：
（3）转动惯量的平行轴定理
在图12.5中， ，轴间距离为 ，刚体质量为 ，其中 轴过质心，则有
1．质点对固定点的动量矩定理图12.22
牛顿第二定律：
上式两边左叉矢径
左边
是固定点时，于是有
——质点对固定点的动量矩定理
2．质点系对固定点的动量矩定理
设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。
第个质点对固定点的动量矩定理为
将上式从到求和
由图12.23知
2）附加动约束力有最大值或最小值：
时，
时，
时，
时，
3）附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。
4）利用动量定理能否求约束力偶矩 ？
本例也可以选用质心运动定理 求解。
在图12.10中，因为定子不动，故 是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式：
解：
1．研究对象：轮
2．分析受力：如图12.33所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿斜面作直线运动
4．列动力学方程求解：
轮纯滚动
联立解得：
纯滚动的条件：
5．讨论：若，由式得，常量轮平动
若，则轮沿斜面打滑，此时
由方程可求得
例12.16已知：均质细杆质量，长度，端用两条细绳悬挂，三者个夹角，如图12.34所示。求：剪断绳时，杆的角加速度及绳的拉力。
解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为 ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径 ，所以圆环对于中心轴 的转动惯量为：
例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为 ，质量为 ，求对于垂直于板面且过中心 的轴 的转动惯量。
解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为 ，宽度为 ，质量为 ，由上题知，此圆环对轴 的转动惯量为 ，于是，整个圆板对于轴 的转动惯量为：
三动量矩的概念及其计算
1．质点的动量矩
设质点 的质量为 ，某瞬时的速度为 ，到 点的矢径为 （图12.15）
质点对 点的动量矩为
质点对 轴的动量矩为
质点对 点和 轴（该轴通过 点）的动量矩关系为
2．质点系的动量矩
设质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，速度为 ，到 点的矢径为 ，则质点系对 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：
将上两式对时间求二阶导数，可得：
由质心运动定理：
可得
例12.6在上例中（例12.5），若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图12.12），初始时电动机静止。求转子以等角速度 转动时电机外壳的运动，并分析电机跳起的条件。
解：1）求电机外壳的运动
研究电机整体由图示受力分析知 又因为 故 常量
于是
式中 , 质点系对于质心的绝对动量矩
图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有
式中质点系对于质心的相对动量矩
有
代入式，有
2．质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于固定点的动量矩定理
左边
右边
由于
所以
矩心为质心的动量矩定理
若
则常矢量矩心为质心的动量矩守恒
试分析跳水运动的腾空动作（图12.31）
由于制造或安装是的偏差，转子质心 不在转轴中心上，偏心距 。转子以等角速度 转动，试求电动机机座的约束力。
解：
1．研究对象：电动机整体
2．分析受力（如图示）
3．分析运动：定子不动 ；转子作匀速圆周运动，其法线加速度
4．列动力学方程求解：
由此解出：
5．讨论
1）机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力（静反力），另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附加动约束力。
解：
1．研究对象：复摆
2．分析受力：如图12.28所示
3．分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角
4．列动力学方程，求解：
由题意，复摆微摆动时，于是有
这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：
式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定
摆动周期为
5．讨论
1）若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量
2）如果要求轴承O的约束力
例如：在图12.2中，细长杆对 轴的转动惯量为
（4）组合体
例12.4已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为 和 ，杆长为 ，圆盘直径为 ，求钟摆对通过悬挂点 的水平轴的转动惯量。
解：钟摆对水平轴 的转动惯量为：
其中：
所以
二．动量定理
1．动量的概念与计算
质点的动量为
质点系的动量系为
（1）积分形式
由式（Ⅰ）可得到积分形式
（2）动量守恒（质心守恒）
若 则 常矢量或 常矢量
若 则 常量或 常量
若 则 常量（质心守恒）
实例分析
实例1利用质心运动定理解释定向爆破
实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车
例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为 ，质心位于转子转轴的中心 ；转子质量为 ，
1．研究对象：杆
2．分析受力：如图12.34所示
3．分析运动：剪断绳时，杆作平面运动。质心作平面曲线，轨迹未知。
4．列动力学方程，求解：
以上三个式中有个未知量，补充一个运动学关系
以上四式联立，解得：
代入数据，得：
例12.17已知：质量为半径为的均质圆轮，可以在半径为的圆弧轨道中作纯滚动（如图12.34所示），时圆轮由静止释放。求：（1）接触处的摩擦力和正压力
（1）由牛顿第二定律
将上式由 到 求和，有
，
（Ⅰ)
由 ,
质心运动定理： （Ⅱ）
质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系的外力，内力改变不了质心的运动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意义。
在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为
（Ⅲ）
式中 、 分别是刚体系统中第 个刚体的质量和质心加速度。 是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即
则
由即
得
物上升的速度为
人向上的速度为
人、物向上的绝对速度大小相等，方向相同，人物同时到达顶端。
五．刚体定轴转动微分方程
设刚体在主动力系作用下，绕固定轴转动（图12.27），设刚体对轴的转动惯量为，瞬时的角速度为，刚体对转轴的动量矩为，由质点系对固定轴的动量矩定理
可得
刚体的定轴转动微分方程
例12.13已知复摆由绕水平轴转动的刚体构成，已知复摆的重量为，重心到转轴的距离为，如图12.28所示，设复摆对转轴的转动惯量为。求复摆微摆动的周期。
解：1）研究对象：取管中 截面和 截面之间的流体为研究的质点系
2）受力分析：如图所示
设流体密度为 ，流量为 ，（流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常Байду номын сангаас动时， 是常量）在 时间内，流过截面的质量为 ，其动量改变量为
即
由
得
令
其中 为管子对流体的静约束力，由下式确定
则有
为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图12.14）
的计算方法：
（1）积分法
例12.1已知：设均质细长杆为 ，质量为 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴 的转动惯量。
解：建立如图12.2所示坐标，取微段 其质量为 ，则此杆对轴 的转动惯量为：
例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为 ，质量为 ，求其对于垂直于圆环平面且过中心 的轴的转动惯量。
（2）微运动的周期与运动规律
解：
1．研究对象：圆轮
2．分析受力：如图12.35所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿作圆周运动
4．列动力学方程，求解：
5．求
6．微运动时
由式令
解得
所以
周期
解：
1．分析运动：
2．计算
例12.9图12.21所示椭圆规尺，质量为，曲柄质量为，滑块和的质量为，设曲柄和均为均质杆，且，曲柄以转动，求：此椭圆规尺机构对转轴的动量矩。
解：
1．分析运动：规尺作平面运动
2．计算
物块速度均通过转轴，对的动量矩为，杆定轴转动，对轴的动量矩为
四． 心为定点的动量矩定理
引言：求均质轮在外力偶的作用下，绕质心轴的角加速度
刚体的平面运动微分方程
设刚体具有质量对称平面，作用在刚体上的力系可以简化为在此平面内的力系，如图12.31所示。以为基点建立平动坐标系，则刚体相对于此质心的动量矩为
刚体平面运动岁质心平动相对质心转动
随质心平动
相对质心转动
刚体平面运动微分方程：
例12.15已知：质量为半径为的均质圆轮放在倾角为的斜面上，由静止开始运动。设轮沿斜面作纯滚动。求：（1）轮心的加速度，（2）轮沿斜面不打滑的条件。
解：研究整体：因重力和轴承力对于转轴的矩为零，即故常量
时
时
由得
例12.12已知：不可伸长的绳子绕过不计质量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，从静止开始沿绳子上爬，设其相对绳子的速度为，试问：物是否动？并分析绳子的速度。
解：研究整体系统：因为，故常量
设轮顺时针转，绳子的速度为
质点对 轴的动量矩为
动量矩 的解析式为
刚体动量矩的计算
1)刚体平动（图12.17）
2)定轴转动刚体对转轴的动量矩（图12.18）
3）平面运动刚体对其平面内一点的动量矩（图12.19）
例12.8已知：质量为，的两物块分别系在两柔软不可伸长的绳子上，图12.20所示，此两绳分别绕在半径为和并固结在一起的鼓轮上，设鼓轮的质量为，对转轴的回转半径为，并以转动。求系统对鼓轮转轴的动量矩。
右边
左边
可得质点系对固定点的动量矩定理
3．动量矩守恒
若，常矢量
若则常量
例12.10分析受有心力作用的物体的运动
解：如图12.24所示，因为
故常矢量，可见质点在有心力作用下运动的轨迹是平面曲线。
例12.11如图12.25所示，在调速器中，除小球外，各杆重量可不计，忽略摩擦，系统绕轴自由转动。初始时，系统的角速度为，当细绳拉断时。求各杆与铅直线成角时系统的角速度。
解：
1．研究轴Ⅰ（图12.29）
（1）
2．研究轴物（图12.29）
（2）
3．运动学关系
（3）
（4）
由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：
五．矩心为质心的动量矩定理
1．质点系对于定点”O”和质心”C”的动量矩之间的关系
如图12.30所示，O为定点，C为质点系的质心，质点系对于定点O的动量矩为
对于任一质点 ，由图可见
第十二章动量定理和动量矩定理
本章研究的两个定理
动量定理——力系主矢量的运动效应反映；
动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。
一．质点系质量的几何性质
1． 质心
质点系的质量中心，其位置有下式确定：
其投影式为
, ,
2．刚体对轴的转动惯量
定义： 为刚体对 轴的转动惯量或
影响 的因素 单位：
物理意义：描述刚体绕 轴时惯性大小的度量。
质点系的动量（动量系的主矢量）为
将质心公式 对时间 求一阶导数，有 即
于是
2．动量定理
1）质点的动量定理
设质点质量为 ，速度为 ，作用力为 ，由牛顿第二定律，有
变换为
——质点的动量定理的微分形式（ 为元冲量）
将上式对时间 积分有
冲量——质点的动量定理的积分形式
2）质点系的动量定理
设质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，速度为 ，所受外力为 ，内力为 （图12.7）
时，由图12.11
时，由图12.11
因为 解得：
说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为
2）电机未跳起时， 仍可用上例所求结果，即
令 ，求的电机的角速度为：
讨论：当 ，即 时，转子质心 在最高处，可求得使电机跳起的最小角速度为：
例12.7已知：如图12.13表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。
求，积分求
求轴承的约束力
刚体定轴转动微分方程组
例12.14已知：电动机将不变转矩M加在轴上（图12.29）轴通过节圆半径为 的外啮合齿轮传动给轴Ⅱ。轴Ⅱ与提升重物的鼓轮固结为一体，鼓轮半径为R，轴Ⅰ连同其上零件对轴的转动惯量为 ，轴Ⅱ连同其上零件对轴的转动惯量为 ，且各自重心分别在转轴上。重物的质量为，不计摩擦。求：重物A的加速度。
（2）回转半径（惯性半径）
设刚体对轴 的转动惯量为 ，质量为 ，则由式 定义的长度，称为刚体对轴 的回转半径。
例如：均质杆（图12.2）
均质圆环（图12.3）
均质薄圆板（图12.4）
若已知刚体对轴的回转半径 ，则刚体对轴 的转动惯量为：
（3）转动惯量的平行轴定理
在图12.5中， ，轴间距离为 ，刚体质量为 ，其中 轴过质心，则有
1．质点对固定点的动量矩定理图12.22
牛顿第二定律：
上式两边左叉矢径
左边
是固定点时，于是有
——质点对固定点的动量矩定理
2．质点系对固定点的动量矩定理
设质点系由个质点组成，其中第个质点的质量为，速度为，对固定点的矢径为，作用在该质点上的外力为，内力为。
第个质点对固定点的动量矩定理为
将上式从到求和
由图12.23知
2）附加动约束力有最大值或最小值：
时，
时，
时，
时，
3）附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础的振动，还会引起有关构件内的交变应力。
4）利用动量定理能否求约束力偶矩 ？
本例也可以选用质心运动定理 求解。
在图12.10中，因为定子不动，故 是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公式：
解：
1．研究对象：轮
2．分析受力：如图12.33所示
3．分析运动：轮作平面运动，轮心沿斜面作直线运动
4．列动力学方程求解：
轮纯滚动
联立解得：
纯滚动的条件：
5．讨论：若，由式得，常量轮平动
若，则轮沿斜面打滑，此时
由方程可求得
例12.16已知：均质细杆质量，长度，端用两条细绳悬挂，三者个夹角，如图12.34所示。求：剪断绳时，杆的角加速度及绳的拉力。
解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为 ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径 ，所以圆环对于中心轴 的转动惯量为：
例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为 ，质量为 ，求对于垂直于板面且过中心 的轴 的转动惯量。
解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为 ，宽度为 ，质量为 ，由上题知，此圆环对轴 的转动惯量为 ，于是，整个圆板对于轴 的转动惯量为：
三动量矩的概念及其计算
1．质点的动量矩
设质点 的质量为 ，某瞬时的速度为 ，到 点的矢径为 （图12.15）
质点对 点的动量矩为
质点对 轴的动量矩为
质点对 点和 轴（该轴通过 点）的动量矩关系为
2．质点系的动量矩
设质点系由 个质点组成，其中第 个质点的质量为 ，速度为 ，到 点的矢径为 ，则质点系对 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：
将上两式对时间求二阶导数，可得：
由质心运动定理：
可得
例12.6在上例中（例12.5），若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图12.12），初始时电动机静止。求转子以等角速度 转动时电机外壳的运动，并分析电机跳起的条件。
解：1）求电机外壳的运动
研究电机整体由图示受力分析知 又因为 故 常量
于是
式中 , 质点系对于质心的绝对动量矩
图12.30中为随质心平动的参考系，设点相对该坐标系的速度为，有
式中质点系对于质心的相对动量矩
有
代入式，有
2．质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于固定点的动量矩定理
左边
右边
由于
所以
矩心为质心的动量矩定理
若
则常矢量矩心为质心的动量矩守恒
试分析跳水运动的腾空动作（图12.31）
由于制造或安装是的偏差，转子质心 不在转轴中心上，偏心距 。转子以等角速度 转动，试求电动机机座的约束力。
解：
1．研究对象：电动机整体
2．分析受力（如图示）
3．分析运动：定子不动 ；转子作匀速圆周运动，其法线加速度
4．列动力学方程求解：
由此解出：
5．讨论
1）机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束力（静反力），另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附加动约束力。
解：
1．研究对象：复摆
2．分析受力：如图12.28所示
3．分析运动：复摆作定轴转动，用表示其转角
4．列动力学方程，求解：
由题意，复摆微摆动时，于是有
这是简谐运动的标准微分方程，此方程的解为：
式中称为角振幅，为初相位他们由初始条件确定
摆动周期为
5．讨论
1）若测出周期T，可求出刚体对转轴的转动惯量
2）如果要求轴承O的约束力
例如：在图12.2中，细长杆对 轴的转动惯量为
（4）组合体
例12.4已知：钟摆可简化为如图12.6所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为 和 ，杆长为 ，圆盘直径为 ，求钟摆对通过悬挂点 的水平轴的转动惯量。
解：钟摆对水平轴 的转动惯量为：
其中：
所以
二．动量定理
1．动量的概念与计算
质点的动量为
质点系的动量系为
（1）积分形式
由式（Ⅰ）可得到积分形式
（2）动量守恒（质心守恒）
若 则 常矢量或 常矢量
若 则 常量或 常量
若 则 常量（质心守恒）
实例分析
实例1利用质心运动定理解释定向爆破
实例2利用质心运动定理分析汽车的起动与刹车
例12.5已知：如图12.11所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为 ，质心位于转子转轴的中心 ；转子质量为 ，