《平行线专题复习课》
2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线(含详细参考答案
2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线（含详细参考答案【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段有个端点，不的度量线比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：不以用表示可以用表示线段工理：直线工理【名师提醒：一条直线上有几个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：不的用三个大写字母如∠AOB，也可用一个大写字母∠A或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠2等，注意等于选择合适，简法的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角=度=平角直角度=分1分=秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针分针转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：1、一个角内有几条射线，则一共可形成角】1、互为余角互为斜角1、互为余角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为余角2、互为补角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角同角或等角的余角【名师提醒：1、互补和互余是挡两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角：和邻补角两条直线相交所成德四个角中的角是对顶角，的角是邻补角，如图：对顶角有邻补角有对顶角性质2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线a与b被第三条直线c所截，构成八个角其中同位角有对，分别是，内错角有对，分别是内错角有对，分别是2、平行线的意义：在同意平面呢的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线到一点条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定相等性质两直线平行————→相等【名师提判定醒：平行线的应用判定方同旁内角条：1、平行于同一直线的法还有两两条直线互相2、同一直线的两条直线互相平行】一、命题公理定理和证明1、命题：的语句叫命题，一个命题由和两部分构成，可分为和两类2、公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始根据的真命题3、定理：经过证明的命题叫做定理4、互逆命题与互逆定理：⑴在两个命题中，如果一个命题的和事另一个命题的和那么这两个命题称为互逆命题⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个这两个定理称为5、证明：⑴根据题设，定义公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题这一推理过程称为证明⑵命题完整证明的一般步骤：①审题：找出命题的和②根据题意画出③写出和④分析证明的整理⑤写出每一步应有根据，要推理严密【名师提醒：1、判断一个命题是其命题的判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理有它的逆定理】【重点考点例析】考点一：线与角的概念和性质例1（2022丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）思路分析：首先根据题意可得：∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数解：如图，由题意得：∠1=30°，∠2=60°，∵AE∥BF，∴∠1=∠4=30°，∵∠2=60°，∴∠3=90°-60°=30°，∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，故选：C．点评：此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．对应训练1．（2022江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°1．思路分析：根据方向角的定义进行解答即可．解答：解：由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．故选A．点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．考点二：余角和补角例2（2022孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°思路分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．解：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β-∠γ=90°．故选C．点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．对应训练2．（2022南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A．58°B．68°C．148°D．168°2．分析：根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．解：∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°-32°=148°．故选C．点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．3．（2022扬州）一个锐角是38度，则它的余角是度．3．52分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出它的余角的度数．解：这个角的余角为：90°-38°=52°．故答案为：52．点评：此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．考点三：相交线与垂线例3（2022北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12某76°=38°，∴∠BOM=180°-∠AOC=180°-38°=142°．故选C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．对应训练4．（2022泉州）（1）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=°．4．分析：根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．解：∵∠BOC=50°，∴∠A0C=180°-50°=130°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．考点四：平行线的判定与性质例4（2022衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°思路分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选：A．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．对应训练5．（2022宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=．5．121°分析：由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．解：∵∠1=∠3，∴AB∥CD，∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，∴∠4=180°-59°=121°．故答案为：121°点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．考点五：真假命题的识别例6（2022呼和浩特）下列命题中，真命题的个数有（）①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行②函数y=某2+1某图象上的点P（某，y）一定在第二象限③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面④使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为A．3个B．1个C．4个D．2个思路分析：①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得出答案；③根据正投影的定义得出答案；④根据使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某2，故|某|-3=-某2，进而利用绝对值得性质，解方程即可得出答案．解：①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项错误；②根据二次根式的意义得出某＜0，y＞0，故函数y=某2+1某1213．图象上的点P（某，y）一定在第二象限，故此选项正确；③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；222④使得|某|-y=3和y+某=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某，故|某|-3=-某，某-|某|-3=0，当某＞0，则某-某-3=0，解得：某1=121322，某2=1132（不合题意舍去），当某＜0，则某2+某-3=0，解得：某1=1213（不合题意舍去），某2=11321，故使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为：故正确的有2个，132，-1132，故此选项错误，故选：D．点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．同时也考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．对应训练6．（2022龙岩）下列命题中，为真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．若a=b，则a=bD．若a＞b，则-2a ＞-2b6．分析：分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．解：A、对顶角相等为真命题；B、两直线平行，同位角相等，故为假命题；C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；22D、若a＞b，则-2a＜-2b，故为假命题；故选A．【聚焦山东中考】1．（2022滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°1．思路分析：先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．解：利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，故选：B．点评：此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数．2．（2022济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）A．40°B．75°C．85°D．140°2．分析：根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．解：如图：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．故选C．点评：本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．3．（2022日照）如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于（）A．35°B．55°C．65°D．125°3．分析：由DE∥AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．解：∵DE∥AB，∠ACD=55°，∴∠A=∠ACD=55°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．4．（2022临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°4．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°-∠3=90°-40°=50°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．（2022济南）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（）A．115°B．65°C．35°D．25°5．分析：由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵直线a∥b，∠1=65°，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=∠3=65°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2022济南）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．四个角是直角的四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形6．分析：根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断．解答：解：A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确．故选D．点评：本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．7．（2022菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=cm．7．5或11分析：点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．若点C在线段BC上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．故答案为5或11．点评：此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．【备考真题过关】一、选择题1．（2022永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）A．朝阳岩B．柳子庙C．迥龙塔D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置1．分析：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21；D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，故选B．点评：本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．2．（2022长沙）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（）A．B．C．D．2．分析：根据互补的两个角的和等于180°求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．解：70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．故选D．点评：本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出70°角的补角是钝角是解题的关键．3．（2022桂林）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠53．分析：根据内错角的定义找出即可．解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．故选B．点评：本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．（2022张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A．当∠1=∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b4．分析：根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．6．（2022肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°6．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°，∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．7．（2022玉林）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1=50°，则∠2=（）A．40°B．50°C．100°D．130°7．分析：根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠2的度数．解：∵a∥b，∴∠1=∠2=50°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，难度一般．1．（2022长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（）A．42°B．45°C．48°D．58°考点：平行线的性质；直角三角形的性质。
《相交线与平行线》 基础知识详解
相交线与平行线目录一、相交线，垂线二、同位角、内错角、同旁内角三、平行线及其判定四、平行线的性质及平移五、《相交线与平行线》全章复习与巩固一、相交线，垂线基础知识讲解【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.邻补角与对顶角对比：角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角；②有一个公共顶点；③没有公共边.对顶角相等.①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.的.邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边.邻补角互补.知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．《初中数学典型题思路分析》价格及说明1.全套资料共7册14本（七上—九下+综合共7册）；每册分解析版和原题版两本；有和教材同步的多个版本可选。
初中数学专题讲义-相交线、平行线
初中数学专题讲义-相交线、平行线一、课标下复习指南1．直线、射线和线段(1)表示直线AB(BA)或直线l，如图9－1．图9－1射线OA或射线l，如图9－2．图9－2线段AB(BA)或线段a，如图9－3．图9－3(2)性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简称两点确定一条直线．在所有连接两个点的线中，线段最短，简称两点之间，线段最短．(3)线段的中点把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点．2．角(1)角的概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．(2)角的度量以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．把周角分成360等份，每一份叫1°的角．1°＝60′，1′＝60″．1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°．(3)角的计算①度、分、秒的换算．②计算角度的和、差、积、商．(4)角的比较可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；也可以把它们叠合在一起比较大小．如图9－4(a)中∠AOB＜∠A′O′B′，图9－4(b)中∠AOB＝∠A′O′B′，图9－4(c)中，∠AOB＞∠A′O′B′．图9－4(a) 图9－4(b) 图9－4(c)(5)角的分类：锐角：大于0°而小于90°的角．直角：等于90°的角．钝角：大于90°而小于180°的角．(6)角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．(7)有关的角及其性质余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．邻补角：有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角．对顶角：若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角．对顶角相等．3．垂线(1)垂直的定义若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，则这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂直是相交的一种特殊情形．(2)垂线性质①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短．4．平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．(1)直线平行的条件如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．(2)平行线的性质两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．5．同一平面内两条直线的位置关系相交、平行．6．距离(1)两点的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．(2)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离．(3)两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．7．基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)按指令语言画角及角的和、差；(4)作已知角的平分线；(5)作线段的垂直平分线；(6)用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；(7)过直线外一点画这条直线的平行线．二、例题分析例1 解答下列问题：(1)过一个已知点可以画多少条直线?(2)同时过两个已知点可以画多少条直线?(3)过三个已知点可以画出直线吗?(4)经过平面上三点A，B，C中的每两个点可以画出多少条直线?(5)借鉴(4)的结论，猜想经过平面上四点A，B，C，D中的任意两点画直线会有什么样的结果?如果不能画，请简要说明理由；如果能画，画出图形．分析画图的依据是直线性质，(3)、(4)、(5)中没有明确平面上三点、四点是否在同一直线上，解答时要分各种可能情况解答，这种解答方法叫分类讨论．运用这种方法时，要考虑到可能出现的所有情形，不能丢掉一种．解(1)过一点可以画无数条直线．(2)过两点可以画唯一的一条直线．(3)过三个已知点不一定能画出直线，当三点不共线时，不能作出直线；当三点共线时，能画一条直线．(4)当A，B，C三点不共线时，过其中的每两个点可以画一条直线，所以共有3条直线；当A，B，C三点共线时，上面画的3条直线就重合了，因而只能画1条直线．即经过平面上三点A，B，C中的每两点可以画1条或3条直线．(5)经过平面内四个点中的任意两点画直线有三种情况：①当A，B，C，D四点在同一直线上时，只可以画出1条直线，如图9－5(a)所示．②当A、B、C、D四个点中有三个点在同一直线上时，可画出4条直线，如图9－5(b)所示．③当A，B，C，D四个点中任意三个点都不在同一直线上时，可画出6条直线，如图9－5(c)所示．图9－5说明这个例题用到分类思想，这种分类能力对于今后学习也是很有用的．分类要注意不重不漏．例2 把一段弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是( )．A．两点之间，线段最短B．两点确定一直线C．线段有两个端点D ．线段可以比较大小分析 此题是应用几何知识解释生活中现象的问题，由于这是两点之间距离的比较，符合“两点之间线段最短．”解 选A ．例3 如图9－6，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线．图9－6(1)如果∠AOB ＝130°，那么∠COE 是多少度?(2)若∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，求∠BOE 的度数． 解 (1)∵OC 平分∠AOD ，OE 平分∠BOD ，,21AOD COD ∠=∠∴ .21BOD DOE ∠=∠ ∴∠COE ＝∠COD ＋DOE+∠=∠+∠=AOD BOD AOD (212121.21)AOB BOD ∠=∠∵∠AOB ＝130°，.6513021οο=⨯=∠∴COE(2)∵∠COE ＝65°，∠COD ＝20°，∴∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝65°－20°＝45°． ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE ＝∠DOE ． ∴∠BOE ＝45°．说明 角的平分线的性质是进行角度计算常用的重要依据，必须熟练掌握角平分线及其相关的各种几何表达式．例4 (1)已知：如图9－7(a)，点C 在线段AB 上，线段AC ＝6，BC ＝4，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；图9－7(a)(2)根据(1)的计算过程和结果，设AC ＋BC ＝a ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗?请用一句简洁的话表述你发现的规律．(3)当点C 在线段AB 的延长线上或点C 在线段AB 所在的直线外时，(2)中的结论是否仍然成立?画出图形并说明理由．解 (1)∵AC ＝6，BC ＝4， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1 0．又∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，.21,21BC CN AC MC ==∴ BC AC CN MC MN 2121+=+=∴ .521)(21==+=AB BC AC (2)根据(1)中已知AB ＝10，求出MN ＝5．由(1)的推算过程可知，AB MN 21=，故当AB ＝a 时，a MN 21=，从而可得到：线段上任一点把线段分成的两部分中点间的距离等于原线段长度的一半．(3)答：(2)中的结论仍然成立． 理由如下：①当点C 在AB 的延长线上时，如图9－7(b)所示，图9－7(b)⋅==-=-=221)(21a AB BC AC CN CM MN ②当点C 在AB 所在的直线外时，如图9－7(c)所示，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，由三角形中位线定理可得.2121a AB MN ==图9－7(c)说明 本题向我们提示了从特殊事例中观察、猜测、发现一般规律的过程．总结出规律，以后遇到同类问题就容易解了．本题还启示我们，一般规律包含在特殊事例之中．这就要求同学们在解题时，不要停留在表面上，要运用运动变化的观点多思考，就会发现新问题，得到新收获．例5 填空：(1)已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，若∠1＝63°，则∠3＝______度；若∠1＝α，则∠3＝______度．(2)已知∠1与∠2互为余角，∠1的补角等于∠2的余角的2倍，则∠1＝______度，∠2＝______度．分析 (1)由∠1和∠2互余，∠1已知，可求出∠2的度数，再由∠2和∠3互补，即求出∠3的度数．解 (1)∵∠1和∠2互余，∠1＝63°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－63°＝27°． ∵∠2和∠3互补，∴∠3＝180°－∠2＝180°－27°＝153°．当∠1＝α时，∠3＝180°－∠2＝180°－(90°－∠1)＝90°＋α．说明 正确理解余角和补角的概念是本章的重点之一，也是一个重要的考点，它们与角的大小有关而与两角的位置无关．分析 (2)题目所给条件可以理解为关于∠1，∠2两个未知量的两个等量关系，列方程(组)是解决这类问题的有效办法．解 (2)设∠1的度数为x ，∠2的度数为y ，则⎩⎨⎧-=-=+).90(2180,90y x y x 解得⎩⎨⎧==.30,60y x答：∠1的度数为60，∠2的度数为30．说明 有关余角和补角数量关系的这类问题，通常考虑用列方程和方程组的方法来解决．例6 如图9－8，小华参加运动会的跳远比赛，他从地面的A 处起跳，落到沙坑点B 处，怎样测量他的跳远成绩?图9－8分析 这是点到直线的距离的实际应用．解 作BC ⊥l 于点C ，则线段BC 的长即为小华的跳远成绩．例7 如图9－9所示，已知∠1＝∠2，再添加什么条件可使AB ∥CD 成立?图9－9分析 解题前先回忆平行线的判定，再添条件时要用上原来题目已给条件，否则不合要求．解 可分别添加以下条件： (1)∠MBE ＝∠MDF ； (2)∠EBN ＝∠FDN ；(3)∠EBD ＋∠BDF ＝180°； (4)BE ∥DF ；(5)BE ⊥MN ，DF ⊥MN 等等． 三、课标下新题展示例8 (安徽)如图9－10，若直线l 1∥l 2，则∠α等于( )．图9－10A ．150°B ．140°C ．130°D ．120° 解 选D ．例9 (长春)如图9－11，l ∥m ，矩形AB －CD 的顶点B 在直线m 上，则α＝______°．图9－11解 25．四、课标考试达标题 (一)选择题1．如图9－12，O 是直线AB 上一点，OC ，OD ，OE 是3条射线，OC ⊥AB ，OD ⊥OE ，则图中互余的角有( )．图9－12A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 2．如图9－13所示，若OD 平分∠BOC ，则( )．图9－13A ．∠COD ＝∠AOB －∠BOC B ．)(21BOC AOB COD ∠-∠=∠ C ．AOB BOC AOD ∠-∠=∠21D ．)(21AOC AOB AOD ∠+∠=∠ 3．两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判定这两条直线平行的是( )． A ．同位角相等 B ．内错角相等 C ．同旁内角互补 D ．同旁内角互余4．如图9－14，l 1∥l 2，若∠1＝105°，∠2＝140°，则∠α等于( )．图9－14A．55°B．60°C．65°D．70°(二)填空题5．用度、分、秒表示：56.625°＝______．6．已知∠α＝31°，若∠β的两边分别与∠α的两边平行，则∠β＝______；若∠γ的两边分别与∠α的两边垂直，则∠γ＝______．7．如图9－15，已知AB∥EF，BC⊥CD于C，若∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE ＝______．图9－15(三)解答题8．一个角的补角的一半比这个角的余角的二倍小3°，求这个角．9．求证：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．10．点C，D在直线AB上，线段AC，CB，AD，DB的长满足AC∶CB＝5∶4，AD∶DB＝2∶1，且CD＝2cm，求线段AB的长．参考答案相交线、平行线1．C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．56°37′30″． 6．31°或149°，31°或149°． 7．105． 8．58°． 9．略．10．解：由AC ∶CB ＝5∶4，设AC ＝5k ，CB ＝4k ，可知点C 只能在线段AB 上或线段AB的延长线上．答图9－1(1)当点C 在线段AB 上时，D 点的位置只有两种可能性：①点D 1在线段AB 上，此时AD 1＝6k ，D 1B ＝3k ，CD 1＝k ＝2，则AB ＝9k ＝18； ②点D 2在线段AB 的延长线上，此时BD 2＝AB ＝9k ，CD 2＝13k ＝2，则132=k ，AB ＝9k 1318=； (2)当点C 在线段AB 的延长线上时，D 点的位置也只有两种可能性：答图9－2①点D 3在线段AB 上，此时33,32BD k AD =2313,33===k CD k ，则k AB k ==,136;136=②点D 4在线段AB 的延长线上，此时AD 4＝2k ，BD 4＝AB ＝k ，CD 4＝CB －BD 4＝3k ＝2，则⋅==32k AB。
《线、角、相交线与平行线》专题复习课件
变式3. 已知：如图8，AB∥CD，
A 求证：∠BED=∠B-∠D.
F
E
1
2
B
C
D
证明：过点E作EF∥AB，
则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵AB∥CD（已知），
EF∥AB（已作），
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠FED+∠D=180°（线》专题复习
直线
一、直线：直线是几何中不加定义的基本概 念，直线的两大特征是“直”和“向两方无 限延伸”。
二、直线的基本性质：
过两点有且只有一条直线。直线的这条性质 是以公理的形式给出的，可简述为：“两点 确定一条直线”。
三、直线的性质 两直线相交只有一个交点
∴∠1+∠2+∠D=180°.
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）.
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）.
即∠BED=∠B-∠D.
再见
点B叫做线段AC的中点。
角
1、角的两种定义： 一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。 要弄清定义中的两个重点 ①角是由两条射线组成的图形； ②这两条射线必须有一个公共端点。
另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线 与终止位置的射线就形成了一个角。
又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）. ∴∠BED=360°-（∠B+∠D）（等式的性质）.
/变式2. 已知：如图7，AB∥CD， A
求证：∠BED =∠D-∠B .
相交线与平行线专题复习讲解二
【题型一尺规角度问题】例1.如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若N1=20例2.如图，已知AB 〃C 。
，现将一直角三角形PMN 放入图中，其中N P =90°, PM 交AB 于点E , PN 交CD 于点F(1 )当4 PMN 所放位置如图①所示时，则N PFD 与N AEM 的数量关系为； (2)当4PMN 所放位置如图②所示时，求证：N PFD -N AEM =90°；(3)在(2)的条件下，若MN 与CD 交于点。
，且N DON =30°,N PEB =15°,求 N N 的度数.则N2的度数是()C .50°D .60°课时训练：1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.下列结论：(1)Z1 = Z2； (2)Z2+Z4 = 90°； (3)Z3=Z4； (4)Z4+Z5 = 180°； (5)Z1+Z3 = 90°.其中正确的共有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【题型二平面求角度问题】例1.如图，直线AB // CD,/ C=44°,N E为直角，则N1等于( )A.132°B.134°C. 136°D. 138°例2.如图，AB/CD,用含/1,/2, /3的式子表示/4,则/4的值为(A.Z1+Z2-Z3B./1+/3-22C. 180° +/3-/1-/2D./2+/3-21 - 180°课时训练：1.如图AB / CD,/ E=40°,/ A = 110°,则/C的度数为（）A. 60°B. 80°C. 75°D. 70°2.如图，AB/CD,有图中a, 0, Y三角之间的关系是( )A . a +B +y =180° B . a - p +y =180°C . a +0-y =180°D . a +0+y =360°3.如图，ABCD 为一长条形纸带，AB// CD ，将ABCD 沿EF 折叠，A 、D 两点分别与A ,、D /对应，若N1 = 2N2,则N AEF 的度数为（ ）例 1.如图，AB /CD , AE 平分/BAD , CD 与 AE 相交于 F , N CFE =N E .求证：AD /BC .例 2.如图，已知/AGD =N ACB ,N1 = N2.求证：CD /EF .例 3.如图，已知/1 = 60°,/2=60°,/MAE =45°,N FEG =15°, EG 平分N AEC , N NCE =75°.求证： (1) AB / EF . (2) AB /ND .A . 60°B . 65° 【题型三综合证明题】C. 72°D. 75°课时训练：1.已知：如图，N C =Z1,Z2和N D互余，BE±FD于点G.求证：AB〃CD.2.已知：如图所示，N ABD和N BDC的平分线交于E, BE交CD于点F,N1+N2 = 90°.(1)求证：AB〃CD；(2)试探究/2与N3的数量关系.3.如图，已知AD±BC, EF±BC,N3=N C,求证：N1 = N2./ 3乂B D课后习题：1.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（）A C EA.Z3=Z AC.Z D =Z DCE2.如图，卜列能判定AB/CD的条件有((1)Z B +Z BCD =180°； (2)Z1 = Z2；B.Z1 = Z2D.Z D +Z ACD =180°)个.(3)Z3=Z4； (4)Z B =Z5.4/;BCEA. 1B. 2C. 33.如图，如果AB/CD, CD/EF，那么N BCE等于(月..gA.N1+N2B.N2-N1C. 180°4.已知：如图，/A =N F,N C =N D.求证：BD//CE.A B□D.4)-N2+N1 D. 180°-N1+N25. AB ±BC ,Z1+Z2 = 90°,Z2=Z3. BE与DF平行吗？为什么？6.已知，如图，EF±AC于F, DB±AC于M, Z1 = Z2,Z3=Z C,求证：AB/MN.7.已知如图，AB//CD,试解决下列问题：(1)Z1+Z2=；(2)Z1+Z2+Z3=；(3)Z1+Z2+Z3+Z4=；(4)试探究/1+/2+/3+/4+-+/n=8.已知：如图，DG±BC, AC±BC, EF±AB,N1 = N2.求证：EF〃CD.9.已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，N1 = N2=NE,N3=N4.求证：AB〃CD.10.如图，已知/1 = /2,/3=/4,/5=/6,试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么.。
平行线的复习
《平行线的复习》（新人教版第五章复习课第一课时）夷陵区小溪塔三中杨云我将从“教材与教法分析”、“学情与学法分析”、“教学目标分析”、“教学过程设计”和“教学反思”说明人教版七下数学第五章第三节《平行线性质》第2课时教学预设与生成，以及课后的回顾与反思。
有不妥之处，请批评指正。
一、教材与教法分析1、教材地位和作用《平行线的复习应用》是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第三节《平行线性质》上完后应上的教学内容。
它是在学生学习了平行线的判定，平行线的性质的基础上，进一步研究平行线的有关内容，本节课着重点在培养学生的几何推理，让学生明白怎么去说理，为什么要这样做。
为后面几何学习奠定基础。
2、教学方法：讲练结合，培养学生的几何思维，让学生明白为什么这样做。
二、学情与学法分析：1、学情分析学习本节课之前，学生已积累了一定的线、角等图形方面的知识，但对平行线的性质与判定的运用还不熟练，几何推理还存在相当大的问题。
因此，本章的教学，除了要学习一些数学知识外，还担当着一些职能和能力的培养和训练的任务，这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的，这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础。
2、学习方法：（1）、由简单到复杂、由模仿到独立操作。
（2）、教师点拨如何分析，如何推理。
（3）、鼓励学生学会说理和推理。
三教学目标及重难点：教学目标：1、熟练运用三线八角、平行线的性质与判定解决问题。
2、通过例题分析，培养学生的几何推理思维。
3、发展学生的逻辑思维能力，培养化归思想。
教学重点：平行线性质判定的综合运用。
教学难点：平行线性质判定的灵活运用。
四教学过程设计：（一）知识导入、确认目标通过教师提问，学生回忆平行线的性质与判定, 明了本节课的教学目标。
（二）梳理知识、落实双基1、如图，推理填空。
⑴•••/ 1= ________ （已知）••• AC // ED （）（2） _____________ •••/ 2= 已知）••• AC // ED （）（3）•/ AB // FD（已知）:丄2+让学生谈谈做题思路， 的推理填空。
相交线与平行线专题复习优秀教案
《相交线与平行线专题复习》教学设计学习目标：知识目标：1、经历对作业中问题的串联，将本章内容条理化，系统化，梳理本章的知识结构。
2、通过对几个专题的疏理,进一步加强学生分析问题的能力,进一步熟悉和掌握几何语言，能用语言说明几何图形。
能力目标：初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用能力.情感目标：通过让学生经历探究过程，让学生认识到数学的变化与奇妙，培养学生对数学有好奇心与求知欲教学重点：掌握平行线的判定多种方法和平行线的性质，并能综合运用。
教学难点：通过分析、讨论、表达的学习过程，培养学生分析问题、思考问题和解决问题的数学思辨能力。
并在这一过程中，实现对学生的逻辑思维的训练，提高学生的认知水平和思维水平。
教学方法：教学设计中采用“归纳总结、练习法”组织教学．以自主学习、小组讨论为主，讲解法为次，演示法为辅的方法组合。
教学过程：一、复习回顾，导入课题（预计用时5分钟）教师：总结晚上完成卷子的情况，展示几张典型的作业，让学习观察对比，找出差距，向优秀的同学学习。
（引导）学生：有两幅作业书写整洁，字迹规范，内容完善，知识点掌握扎实；也有两幅作业字迹潦草，内容错误多，态度不认真。
教师小结：只有端正态度，认真对待每一个问题，深入思考，把握准每个知识点，我们才能解决较为复杂的问题。
【教师板书】相交线与平行线专题复习设计意图：复习引入，承上启下，让学生意识到知识的联系性，让学生的思维积极活动起来，并激发他们努力探索新问题的积极性。
多媒体运用：照片和幕布功能的有效运用。
把学生的作业拍成照片，在课堂上把不同特点的学生的作业分类，利用幕布的遮挡功能一幕幕地出现，让学生观察评价，最后把所有的照片同时呈现出来，再让学生们观察对比，发现优缺点，从而反思自己的作业的优点和不足，激励学生们端正完成作业的态度。
对作业中的最后一道证明题，也是把一位解题过程有很多错误的同学的作业以照片呈现，让全班同学共同找问题，在学生找错误的过程中逐渐就理清思路，规范解题步骤，这时再呈现一位同学的标准答案，让大家进一步规范步骤。
平行线判定与性质专题复习1
a
1 2
3
b
学以致用
2.(2010 烟台市) 将两张矩形纸片如图所示摆放， 使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另 一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2= 90°.
实际应用
学以致用
3.远望一、二号在某一时刻， 分别测得神舟六号在北偏东70° 和北偏东20°的方向。那么请你 计算从神舟六号观测远望一号和 远望二号的视角∠ABC是多少？ 50°
C D
E
G F ∠B+∠C +∠D+∠E +∠F=720°
归纳1. A
C1 C1 C1 C2 C2 C3 E D F E G F 两条平行线之间的拐点个数n=1时，形成的三个 拐角度数之和为 360°； 拐点个数n=2时，形成的四个拐角度数之和为 540° ； 拐点个数n=3时，形成的五个拐角度数之和为 720° 猜想，拐点个数为n个时，形成的 n+2 个拐角度数 之和为 （n+1）· 180°
二、基本图形Ⅲ
变式1.如图，AB∥ED,试判断∠B、∠C、 ∠D 之间的关系。
C F A B
∠C+ ∠D=∠B
E
D
平行线中添加辅助线的主要方法: 过拐点添加平行线
学以致用
1.（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130° ，∠2=90°，则∠3=（ D ） A.110° B.120° C.130° D.140°
B
神舟 六号
70°
A●
远望一号
20°
●
C
远望二号
课堂小结：
平 行 线 习 题 课
1.本节课你有何收获？ 知识上：平行线的判定和性质的应用 方法上： 过拐点做已知直线的平行线
初中数学专题复习数学相交线与平行线、平移综合专题复习课件
变式图
同位角为F型，同位角的变式图如下：
变式图
内错角为Z型，内错角变式图如下：
变式图
同旁内角为U型，同旁内角角变式图如下：
典例精解
例1：如图，下列说法错误的是（ D ）
AC√．．∠∠A2与与∠∠3B是是内同错旁角内角 √
B．√ ∠3与∠1是同旁内角
D．∠1与∠2是同位角
×
变式题
如图所示，同位角一共有____6____对，内错角有 _____4__对，同旁内角有____4___对.
典例精讲
类型二：利用方程思想求角度
例：如图，直线AB与CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD. （1）图中与∠COE互补的角是___________________；（把符合条件的角 都写出来） （2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC的度数．
典例精讲
解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF， ∴与∠COE互补的角是∠DOE、∠BOF．
A
D
E
3
2
4 1
F
B
C
知识点三：与垂线有关的角度计算
在相交线中含垂直求角的度数时，就要考虑使用对顶角 相等或邻补角互补的性质.若已知关系较复杂，比如出现比 例或倍分关系时，可列方程解决角度问题.
典例精讲
类型一：直接计算求角度
例：如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且
∠BOF=2∠BOE，则∠BOD= __7_5°____．
解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°， ∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°， ∴∠BOE=90°÷3=30°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°， 又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC= 1 ∠AOE= 1 ×150°=75°， ∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，∴2 ∠BOD=∠2 AOC=75°．
数学教学案例-寇维冬
初中数学教学案例——相交线、平行线专题复习课哈尔滨市第四十九中学校寇维冬一、实施背景本节课是2010-2011学年度第一学期，在学生学习完平行线的性质和判定之后设计的一节专题复习课，三角板问题在各地中考中大量出现，而在相交线和平行线中，也有较多的应用．二、主题分析与设计本节课主要应用平行线的性质和判定的知识解决问题，它是平行线性质和判定的进一步拓展与应用，也是学习专题复习课的基础，本节课也是“空间与图形”的重要组成部分．《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是学生学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养学生积极参与、自主学习的有效途径．本节课将以“熟悉基本图形”、“应用基本图形”、“构造基本图形”为主线开展课堂教学，以学生熟悉的一副三角板为研究素材，通过组合感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神．三、教学目标知识与技能：灵活应用相交线和平行线的知识解决问题．过程与方法：在问题探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神．情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神．四、教学重、难点重点：相交线、平行线性质和判定的掌握与应用难点：构造基本图形的探究五、教学用具教具：多媒体课件学具：三角尺、量角器六、教学过程㈠创设情境导入新课1、提问温故：日常生活中的一副三角板，你能说出它们角的度数吗？45123106987687124352、学生活动：针对已有的经验，学生思考后回答．3、教师肯定学生的回答并提出新问题：当将一副三角板如图1，图2所示摆放时，可以得出哪些有关角的信息？并说明理由．图1 图24、由两个图形问题的解决，得出两个基本图形．5、结论：∠AOC=∠BOD，∠AOD+∠BOC=180°．㈡合作探究综合运用在刚才两个基本图形的基础上，将其中一个三角板绕直角顶点旋转，进行小组合作探究活动．活动内容：如图，将三角板直角顶点重合，如图所示摆放，当AB∥DC时，你能求出哪些角的度数．活动要求：前后四人一组合作完成．友情提示：三角板的内角可以直接使用．设计意图：通过小组合作，通过构造基本型和应用基本型，可求出∠AOC、∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数，体现解决问题的多样性与策略性．方法展示：方法一类：过点O作EF∥DC，结合平行公理，及相交线平行的性质和判定解决问题．方法二类：过A作OC的平行线交CD于点G，结合平行线的性质和判定解决问题．方法三类：借助求出的其中一个角，再利用直角的旋转型求出其它各角的度数．㈢引申拓展培养创新在特殊角度的背景下，能求出某些角的大小，也就是说这些角之间有着特殊的关系，如果没有这些特殊角度，能否求出他们之间的内在关系呢？如图，AB∥CD．∠B、∠C、∠BOC之间的等量关系是什么？并说明理由．问题的设置，既熟悉构造基本图形的方法，又能揭示出图形中三个角的内在关系，使问题更深层次得以延伸．阶段小结：由问题抓住图形特征，找出基本图形，或构造出基本图形，从而找到解决问题的切入点，也是在必要的时候，让学生梳理一下知识，便于更好解决问题做好铺垫．㈣变式训练方法熟练在前面训练及方法提升的基础上，又一次将三角板旋转，设计了这样的问题．如图，将三角板直角顶点重合，如图所示摆放，当AB∥DC时，你能求出哪些角的度数？学生在前面已经学习了一定的方法和技能，所以这个问题要求学生独立解决，然后班级交流，也实现了方法和技能的进一步夯实．㈤拓展应用形成技能进一步将问题一般化处理，体现了由特殊到一般的认知规律，同时也让学生体会解决问题的实质．㈥反思提升形成体系1、学生总结2、教师补充提升㈦课后作业课外延伸㈧设计说明有的放矢数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程，不是单一注重学生对知识内容的认识，因为“研究问题的过程”不仅能让学生更好地理解知识，还能够让学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识．1．由学生熟悉的三角板引入，增强新旧知识的链接；2．让学生参与建构的过程，体现“学生是数学活动的主人”这一理念；3．增加了课堂互动，在互动中求得发展，形成了“学习的共同体”；4．深化知识，彰显个性，突出创新意识的培养；5．回顾梳理知识，使新旧知识形成体系．以上是我对本节课的设计，不当之处，敬请指教！谢谢！。
《平行线复习》课件
平行线在代数中的定义：两条直线在同一平面内，永不相交，称为平行线。 平行线的性质：平行线具有传递性、对称性、平行四边形等性质。
平行线的应用：在代数中，平行线可以用于求解方程、证明不等式、求解几何问题等。 平行线的表示方法：在代数中，平行线可以用符号“||”表示，也可以用直线方程表示。
建筑设计：平行线在建筑设计中的应用，如房屋、桥梁等 交通规划：平行线在交通规划中的应用，如道路、铁路等 服装设计：平行线在服装设计中的应用，如条纹、格子等 艺术创作：平行线在艺术创作中的应用，如绘画、摄影等
技巧
理解平行线的定 义：在同一平面 内，永不相交的 两条直线
注意平行线的性 质：平行线之间 的距离始终保持 不变
避免混淆平行线 和相交线：平行 线永不相交，相 交线相交于一点
掌握平行线的判 定方法：同位角 相等、内错角相 等、同旁内角互 补等
平行线的定义和性质 平行线的判定方法 平行线的性质和判定方法的应用
结合其他几何知 识，如三角形、 四边形等，进行 综合解题
例题1：已知两条平行线，求第三 条平行线
例题3：已知三条平行线，求第四 条平行线
添加标题
添Hale Waihona Puke 标题添加标题添加标题
例题2：已知两条平行线，求第四 条平行线
例题4：已知四条平行线，求第五 条平行线
平行线的定义： 两条直线在同一 平面内，永不相 交
平行线的性质： 平行线之间的距 离相等
平行线的判定： 同位角相等，内 错角相等，同旁 内角互补
平行线的应用： 在几何证明、计 算、作图中的应 用
平行线的性质：平行线之间 的角相等
平行线的定义：在同一平面 内，永不相交的两条直线
平行线的判定：同位角相等， 内错角相等，同旁内角互补
平行线复习课 ppt课件
1、平行线
⑴定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 ⑵平行公理 ：经过已知直线外一点，有且只有一条直 线与已知直线平行。
⑶平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直
线也互相平行。
平行于同一直线的两直线互相平行
2、平行线的判定和性质
平行线的判定
平行线的性质
条件
过点F作EG∥AB
G
1、如图，已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE. 试说明：∠BFE=∠FEC.
A
B
F？ ？E
C
D
ys l p yx
方法三：
A
B
F？
M
N
？E
C
D
ys l p yx
4、如图，已知AB∥CD∥EF，则x、y、z 三者的关系是什么？
3.如图，m∥n，问图中△ABC与△BCD的面积相等吗？
C
(1) 两直线平行，同位角相等 ； (2) 两直线平行，内错角相等 ； (3) 两直线平行，同旁内角互补。
判一判
已知,如图AB∥EF∥CD,AD∥BC,BD平分
∠ABC,则图中与∠EOD相等的角有( D )个.
A. 2
B. 3
A
B
E
F
O
D
C
C. 4
D. 5
• 3、在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF 的是 ( ) D
4. 如图, AB∥CD,EG⊥AB,若∠1=58°
则∠E的度数等于( C )
A
A.122° B.58° C.32° D.29°C 1 2
F
a b
E
3 G
B
D
问题研讨
例1：如图，已知AB// CD,AG交AB, CD于A、C，AE、CF分 别平分∠BAC, ∠DCG.你能说明AE//CF的理由吗？
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理篇一：九年级《平行线等分线段定理》第四课时平行线等分线段定理教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】1、由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？2、带学生一起学习课本上的例4（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到如下定理）定理1、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例有上面的定理可推广到一般形式：定理2、（平行线分线段成比例定理）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
ABDE=1时，有=1,即，当AB=BC时，有DE=EF,可得在定理二中，当BCEF定理3（平行线分线段定理）两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等由此，我们可以得到几个推论：推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在，由此得出推论2．中，，，则可得到推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线 AC ．②在射线上以任意长顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4C=任意长．③连结CB．④过点A1,A2,A3,A4 分别作CB的平行线交AB于点 B1,B2,B3,B4B1,B2,B3,B4就是所求的五等分点．课堂练习：课本62页练习课堂小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．布置作业篇二：平行线等分线段定理及证明平行线等分线段定理及证明附图定理内容如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
高考数学专题复习：平行、垂直、线面垂直、线面角、二面角知识点及方法总结
高考数学专题突破——空间几何课题1：平行、垂直的证法定理cc∥∥b a ba ∥⇒ ③线面垂直的性质定理：两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面； ④面面平行的性质定理：一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面； ⑤面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3.面面垂直的证明方法：①面面垂直的定义：两个平面的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直；课题2：平行与垂直常用方法归纳一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1、利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2、利用三角形中位线性质3、利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4、利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5、利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6、利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα α⊥a αab7、利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8、利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1、利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3、利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
数学中考一轮复习专题18相交线与平行线课件
典型例题
知识点2：直线、射线和线段
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1：
∵AB=4，BC=2，
∴AC=AB-BC=2，
∵D是线段AC的中点，
∴ AD 1 AC 1 2 1 ；
2
2
典型例题
知识点2：直线、射线和线段
②如图2：
∵AB=4，BC=2， ∴AC=AB+BC=6， ∵D是线段AC的中点，
【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是
得出正确答案的前提．
典型例题
知识点1：点、线、面、角
【例4】（4分）（202X•上海11/25）70°的余角是 ．
【考点】余角和补角 【分析】根据余角的定义即可求解． 【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°-70°=20°， 故答案为20°． 【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决 此题关键．
∴ AD 1 AC 1 6 3 ．
2
2
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
知识点梳理
知识点3 ：相交线
1. 相交线中的角： （1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中， 有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角． （2）邻补角互补，对顶角相等．
典型例题
【例5】（3分）（202X•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条
与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
典型例题
知识点2：直线、射线和线段
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《平行线辅助线专题复习课》课堂实录
---- 大连弘文中学 张旭 复习目标
（1）掌握平行线的判定和性质解决，能够综合运用平行线性质和判定解题
（2）经历探索通过添加平行线来解决有关角的问题，积累构造辅助线的解题经验
（3）体会转化，分类讨论的数学思想，发展学生的符号意识，提高学生的逻辑推理能力 重点难点
教学重点：添加平行线来解决有关角的问题
教学难点：如何添加平行线来解决有关角的问题
教学过程
一、展示学习目标
探索并理解通过添加平行线解决有关角的问题的方法。
二、典型例题
师：（白板展示：课题，平行线专题复习）
我们已经学习了平行线的判定和性质，这节课，我们共同研究通过添加平行线解决有关角的问题的方法。
同学们看例题，思考并完成解题过程。
（白板展示例题及过程）
例1：如图，直线
AB CD,试说明
∠APC,∠BAP,∠PCD 三个角的关系
生：（思考并在学案卷上作答）
师：找同学来讲一下这个题的思路。
生：想要求出这三个角的关系，必须添加一条平行
线，利用平行线的性质进行角的转化。
师：找同学来讲一下这个题的过程。
生：（回答）
师：（白板展示过程）
通过这个例题，我们可以总结什么样的解题经验。
生：可以通过添加平行线的方法，利用平行线的性质完成角的转化，解决有关角的问题
（学生思考，在学案卷上答题，做完回答，）
（教师评价，强调说明根据，分清性质和根据）
（学生回答填空，教师白板展示结果）
师：思考在填写两个依据时要注意什么问题？
生：注意是用性质还是判定
师：你有其他方法证明这个问题吗？你说出思路。
（学生独立思考，再小组讨论，回答问题）
（教师评价）
设计意图：学生从来没有接触过添加辅助线解决角的问题，所以通过学生的思考讨论展示，向学生呈现利用辅助线解决问题的方法和过程，再进行总结和应用。
三、巩固练习 师：（白板展示练习）
同学们做练习
生
如图，直线AB CD,试说明
∠APC,∠BAP,∠PCD 三个角的关系
：（独立思考，在学案卷上作答）
师：（巡视，批改）
生：（用实物投影展示，讲解思路，展示过程）
师：评价
设计意图：学生通过练习将例题中提炼出的添加平行线解决问题的方法进一步应用和熟悉。
三、探究应用
师：现在我们进行探究应用
（边读题，边用课件展示） 如图AB,CD 是两根钉在木板上的平行木条，
将一根橡皮筋固定在A,C 两点，点P 是橡皮筋
上一点，拽动P 点，将橡皮筋拉紧后， 请探索∠A,∠C,∠APC 之间具有怎样的关系？并说明理由
师：现在以小组为单位进行探究，听清要求
1、根据操作画出图形，有几种情况，就在学案卷上画几种图形，一会以小组
为单位进行展示。
2、将图形的各种情况展示完了之后，我们在求出角的关系。
生：（学生小组合作，探究画图）
师：（巡视，帮助，规范，调控时间）
哪个小组进行展示。
生：（小组代表利用白板进行展示）
师：（将学生展示的情况保存，评价）
前两种情况我们已经求解了，现在求解以下四种情况的角的关系，按照小组分
工，自己小组的情况求解完成后，可以做别的情况。
要求，先独立思考2分钟，小组讨论出思路，书写求解过程。
生：（独立思考，小组讨论，书写过程）
师：小组代表展示
生：（实物投影仪上展示，讲解思路，展示过程）
师：评价
设计意图：通过实际操作问题，让学生经历操作过程，通过抽象得到数学图形，培养学生的几何直观，通过多种情况的探讨，培养学生的分类的数学思想，用添加平行线的过程让学生体会辅助线完成角的转化。
四、学习小结
师：通过本节课内容，大家有什么收获。
生：添加平行线解决角的问题，运用了分类，转化的数学思想。
B B。