数据结构课程设计报告Dijkstra算法求最短路径

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dijkstra算法步骤例题表格

Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。

一、算法步骤

1. 初始化

- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。

- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。

2. 更新

- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。

- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。

3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。

二、算法实例

为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。

假设有以下带权重的图，起始顶点为A：

顶点 A B C D E

A 0 3 4 ∞ ∞

B ∞ 0 ∞ 1 7

C ∞ 4 0 2 ∞

D ∞ ∞ ∞ 0 5

E ∞ ∞ ∞ ∞ 0

表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。

我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。

1. 初始化

起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的

最短路径长度为∞。将A加入已访问的顶点集合。

2. 更新

选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。更新A到C和A到D的最短路径长度。

最短路径dijkstra算法过程

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法，其过

程如下：

1. 创建一个距离表，记录从起始节点到每个节点的距离。初始时，除了起始节点，其他节点的距离被设置为无穷大，起始节点的距离被设置为0。

2. 创建一个集合Q，用于存放还未被访问的节点。

3. 在集合Q中找到距离最小的节点v并将其从集合Q中移除。如果没有找到，则说明所有节点已被访问完毕，算法结束。

4. 遍历节点v的所有邻居节点u，对于每个邻居节点u，更新

其距离表中的距离。如果通过节点v可以获得比原先距离更短的路径，则更新距离。

5. 重复步骤3和步骤4，直到集合Q为空。

6. 返回距离表，其中记录了从起始节点到其他节点的最短距离。

需要注意的是，在实现过程中，需要使用一个优先队列来快速找到集合Q中距离最小的节点v，以提高算法的效率。

以上就是Dijkstra算法的基本过程。通过不断更新距离表，算

法可以找到从起始节点到其他节点的最短路径。

最短路径问题dijkstra求解过程

Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的常用算法，适用于带权有向图。以下是Dijkstra 算法的求解过程：

初始化：将起始节点标记为当前节点，并将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无穷大（表示暂时未知）。

将起始节点到自身的距离设置为0，表示起始节点到自身的最短路径长度为0。

遍历所有节点：

选择当前节点的邻接节点中，距离最小且尚未被访问的节点。

更新该邻接节点的最短路径长度。如果经过当前节点到达该邻接节点的路径比当前记录的最短路径更短，则更新最短路径长度。

继续遍历未访问的节点，直到所有节点都被访问。

重复步骤3，直到所有节点都被访问或者没有可达节点。

最终得到起始节点到其他节点的最短路径长度。

在Dijkstra算法的求解过程中，使用一个距离表（distances）来记录起始节点到各个节点的当前最短路径长度，一个访问表（visited）来标记节点是否已被访问。同时，使用优先队列（例如最小堆）来选取下一个距离最小且尚未被访问的节点。

具体的实现可以使用迭代或递归的方式，根据实际情况来选择合适的数据结构和算法实现。在实际编程中，可能还需要考虑处理边的权重、处理节点的邻接关系和路径记录等细节。

Dijkstra算法要求图中的边权重非负，且无法处理负权边的情况。对于含有负权边的图，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法或SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）等。

最短路径算法dijkstra算法python

最短路径算法dijkstra算法python Dijkstra算法是一种用于求解图中两点之间最短路径的经典算法。该算法由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra于1956年提出，至今仍然被广泛运用于各个领域，例如路由算法、网络优化、地图导航等。本文将以Python 语言为基础，详细介绍Dijkstra算法的原理和实现过程。

一、Dijkstra算法的原理

Dijkstra算法的核心思想是利用贪心策略逐步构建最短路径树。该算法首先将起始节点的距离设置为0，将其他节点的距离设置为无穷大。然后在每一轮选择距离起始节点最近的节点，并更新其周围节点的距离。通过不断选择距离最近的节点，并更新距离，直到找到终点节点或所有节点都被访问完毕，即可得到起始节点到终点节点的最短路径。

二、算法的实现步骤

下面将详细介绍Dijkstra算法的实现步骤。

1. 创建一个空的顶点集合visited和距离集合distance，并初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

2. 选择起始节点，并将其加入visited集合。

3. 遍历起始节点的邻居节点，计算起始节点到每个邻居节点的距离，并更

新distance集合。

4. 在distance集合中选择距离起始节点最短的节点，将其加入visited 集合。

5. 重复步骤3和步骤4，直到终点节点被加入visited集合或所有节点都被访问完毕。

6. 根据visited集合和distance集合，可以得到起始节点到终点节点的最短路径。

三、Dijkstra算法的Python实现

最短路径实验报告

引言：

最短路径算法是计算机科学中的一个经典问题，它在许多领域中都有广泛的应用，如交通规划、电路设计、网络通信等。本实验旨在通过实践探索最短路径

算法的实际应用，并对其性能进行评估。

一、问题描述：

我们将研究一个城市的交通网络，其中包含多个节点和连接这些节点的道路。

每条道路都有一个权重，表示通过该道路所需的时间或距离。我们的目标是找

到两个节点之间的最短路径，即使得路径上各个道路权重之和最小的路径。

二、算法选择：

为了解决这个问题，我们选择了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法作为比较

对象。Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，它通过不断选择当前最短路径的

节点来逐步扩展最短路径树。Floyd-Warshall算法则是一种多源最短路径算法，它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径。

三、实验设计：

我们首先构建了一个包含10个节点和15条道路的交通网络，每条道路的权重

随机生成。然后，我们分别使用Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法计算两个

节点之间的最短路径，并记录计算时间。

四、实验结果：

经过实验，我们发现Dijkstra算法在计算单源最短路径时表现出色，但是在计

算多源最短路径时效率较低。而Floyd-Warshall算法在计算多源最短路径时表

现出色，但是对于大型网络的单源最短路径计算则需要较长的时间。

五、性能评估：

为了评估算法的性能，我们对不同规模的交通网络进行了测试，并记录了算法

的计算时间。实验结果显示，随着交通网络规模的增大，Dijkstra算法的计算时间呈指数级增长，而Floyd-Warshall算法的计算时间则呈多项式级增长。因此，在处理大型网络时，Floyd-Warshall算法具有一定的优势。

matlab dijkstra算法求解最短路径例题

摘要：

一、Dijkstra 算法简介

1.Dijkstra 算法背景

2.Dijkstra 算法原理

二、MATLAB 实现Dijkstra 算法求解最短路径

1.创建图对象

2.计算最短路径

3.可视化结果

三、Dijkstra 算法应用示例

1.例题描述

2.解题步骤

3.结果分析

正文：

一、Dijkstra 算法简介

Dijkstra 算法是一种经典的图论算法，用于计算图中两个节点之间的最短路径。它是由荷兰计算机科学家Edsger W.Dijkstra 于1956 年提出的，其基本思想是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。可以用堆优化来提高效率。

二、MATLAB 实现Dijkstra 算法求解最短路径

1.创建图对象

首先，我们需要使用MATLAB 的graph 函数创建一个图对象，指定节点和边的信息。例如，我们创建一个简单的图，包含4 个节点和3 条边：```matlab

G = graph(4, 3);

```

其中，4 表示图中有4 个节点，3 表示图中有3 条边。

2.计算最短路径

接下来，我们可以使用MATLAB 的shortestpath 函数计算两个节点之间的最短路径。例如，我们计算节点1 到节点3 的最短路径：```matlab

SP = shortestpath(G, 1, 3);

```

3.可视化结果

最后，我们可以使用MATLAB 的plot 函数将最短路径可视化。例如，我们绘制节点和边以及最短路径：

dijkstra最短路径算法详解

Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最

短路径。以下是详细的算法步骤：

1. 初始化

一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。

2. 确定最短路径

从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其

为已访问。之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。更新

后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。

3. 重复第2步

重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。

4. 算法结束

算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。

Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。其优

势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值

必须非负，否则会导致算法不准确。

总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。

dijkstra算法最短路径

《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》

一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。

它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。

Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。

举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。如

果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选

择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，

路径长度为3。

Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解

决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。

二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势

Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。

最短路径dijkstra算法例题

最短路径问题是图论中的一个重要问题，它的解决方法有很多种，其中最著名的算法之一就是Dijkstra算法。本文将介绍Dijkstra算法的基本思想和实现过程，并通过一个例题来展示其具体应用。

一、Dijkstra算法的基本思想

Dijkstra算法是一种贪心算法，它以起点为中心向外扩展，每次选择当前距离起点最短的点作为下一个扩展点，并更新其周围节点到起点的距离。这个过程不断重复直至所有节点都被扩展完毕。

具体实现时，可以使用一个数组dist来存储每个节点到起点的距离，初始时所有节点到起点的距离都设为无穷大（表示不可达），起点到自己的距离设为0。同时还需要使用一个visited数组来记录每个节点是否已经被扩展过。

在每次扩展时，从未被扩展过且与当前扩展节点相邻的节点中选择距离起点最短的节点作为下一个扩展节点，并更新其周围节点到起点的距离。这个过程可以使用优先队列来实现。

二、Dijkstra算法实现例题

下面我们通过一个例题来演示Dijkstra算法的具体实现过程。

例题描述：

给定一个有向带权图，求从起点s到终点t的最短路径。

解题思路：

根据Dijkstra算法的基本思想，我们可以使用一个优先队列来实现。具体实现步骤如下：

1. 初始化dist数组和visited数组。

2. 将起点s加入优先队列，并将其距离起点的距离设为0。

3. 重复以下步骤直至优先队列为空：

（1）取出优先队列中距离起点最近的节点u。

（2）如果该节点已经被扩展过，则跳过此节点，否则将其标记为已扩展。

（3）如果该节点就是终点t，则返回其到起点的距离。

《数据结构课程设计》最短路径问题实验报告

一、概述 (1)

二、系统分析 (1)

三、概要设计 (2)

四、详细设计 (4)

4.1建立图的存储结构 (4)

4.2单源最短路径 (5)

4.3任意一对顶点之间的最短路径 (6)

五、运行与测试 (7)

参考文献 (11)

附录 (12)

交通咨询系统设计（最短路径问题）一、概述

在交通网络日益发达的今天，针对人们关心的各种问题，利用计算机建立一个交通咨询系统。在系统中采用图来构造各个城市之间的联系，图中顶点表示城市，边表示各个城市之间的交通关系，所带权值为两个城市间的耗费。这个交通咨询系统可以回答旅客提出的各种问题，例如：如何选择一条路径使得从A城到B城途中中转次数最少；如何选择一条路径使得从A城到B城里程最短；如何选择一条路径使得从A城到B城花费最低等等的一系列问题。

二、系统分析

设计一个交通咨询系统，能咨询从任何一个城市顶点到另一城市顶点之间的最短路径(里程)、最低花费或是最少时间等问题。对于不同的咨询要求，可输入城市间的路程、所需时间或是所需费用等信息。

针对最短路径问题，在本系统中采用图的相关知识，以解决在实际情况中的最短路径问题，本系统中包括了建立图的存储结构、单源最短问题、对任意一对顶点间最短路径问题三个问题，这对以上几个问题采用了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。并未本系统设置一人性化的系统提示菜单，方便使用者的使用。

三、概要设计

可以将该系统大致分为三个部分：

①建立交通网络图的存储结构；

②解决单源最短路径问题；

③实现两个城市顶点之间的最短路径问题。

迪杰斯特拉算法流图：

弗洛伊德算法流图：

Dijkstra算法求解单源最短路径问题

一、单源最短路径问题描述

给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。给定V中的一个

顶点，称为源。计算从源到所有其他定点的最短路径长度。这里的路径长度就是

指各边权之和。该问题称为单源最短路径问题（Single-Source Shortest Paths）。

二、Dijkstra算法思想

将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v, T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。直到T集合为空为止。

三、算法描述（步骤）

1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径：

①记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v

到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。

②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[]，path中存放路径上

第i个顶点的前驱顶点。

2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即）k加入

到集合s中。

3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可

能要比源点v到j原来的最短的还要短。调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。

4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。

matlab dijkstra算法求解最短路径例题

matlab dijkstra算法求解最短路径例题Dijkstra算法是一种用于在带有非负权值的图中找到单源最短路径的算法。以下是一个用MATLAB实现Dijkstra算法求解最短路径的简单例子：

function [shortestDistances, predecessors] = dijkstra(graph, startNode)

% 输入参数：

% - graph: 表示图的邻接矩阵，graph(i, j) 表示节点i 到节点 j 的权值，如果没有直接连接则为 inf。

% - startNode: 起始节点的索引。

numNodes = size(graph, 1);

% 初始化距离数组，表示从起始节点到每个节点的最短距离 shortestDistances = inf(1, numNodes);

shortestDistances(startNode) = 0;

% 初始化前驱节点数组

predecessors = zeros(1, numNodes);

% 未访问的节点集合

unvisitedNodes = 1:numNodes;

while ~isempty(unvisitedNodes)

% 选择当前最短距离的节点

[~, currentNodeIndex] = min(shortestDistances(unvisitedNodes));

currentNode = unvisitedNodes(currentNodeIndex);

% 从未访问节点集合中移除当前节点

unvisitedNodes(currentNodeIndex) = [];

最短路问题dijkstra算法例题

假设有一个图，其中有6个节点，节点之间的距离如下所示：```

(1)---(2)

| - |

3| 1 |4

| - |

(3)---(4)

```

节点1到所有其他节点的最短路径距离如下所示：

- 1到2的距离为2

- 1到3的距离为3

- 1到4的距离为7

利用Dijkstra算法来找出从节点1到所有其他节点的最短路径。算法步骤如下：

1. 创建两个集合：一个用于存储已确认最短距离的节点，一个用于存储尚未确认最短距离的节点。初始化时，已确认最短距离节点集合为空，尚未确认最短距离节点集合包含所有节点。

2. 初始化距离列表，列表中存储从节点1到每个节点的当前最短距离，初始时，节点1的最短距离为0，其他节点的最短距

离设为无穷大（表示尚未找到最短路径）。

3. 选择尚未确认最短距离节点集合中距离节点1最近的节点（此节点为2），并将其移至已确认最短距离节点集合中。

4. 更新距离列表：通过比较当前节点的最短距离和经过已确认最短距离节点的距离，更新最短距离。

- 节点2的当前最短距离为2，节点2的邻居节点3的距离为3，经过节点2到节点3的距离为5，所以更新节点3的最短距离为5。

- 节点2的当前最短距离为2，节点2的邻居节点4的距离为4，经过节点2到节点4的距离为6，所以更新节点4的最短距离为6。

5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点的最短距离都被确认。

6. 最终得到节点1到所有其他节点的最短路径：

- 节点1到节点2的最短距离为2

- 节点1到节点3的最短距离为3

- 节点1到节点4的最短距离为6

数据结构课程设计报告Dijkstra算法求最短路径

2..3Dijkstra算法思想
设cost[i,j]=0，S为已经求得最短路径的顶点集合，distance[i]数组的每个元素表示当前状态下源点V0到Vi的最短路径。算法如下：
1) 初始化：S={V0}, distance[i]=cost[0,i]。
2) 选择一个终点Vj，满足distance[j]=MIN{ distance[i]|Vi∈V-S}。
第3章详细设计与编码-----------------------------------------------------------------------------6
3.1框架的建立---------------------------------------------------------------------------------6
第3章详细设计和编码
3.1框架的建立
typedef char VertexType;//定义图的顶点为字符型
typedef int VRType; //顶点关系类型
typedef int InfoType;//该弧相关信息
typedef struct ArcCell{
VRType adj;//权值
InfoType *info;//弧相关信息的指针
} //LocateVex
3.3创立带权值有向图
首先输入该有向图的顶点数n,然后依次输入各个顶点及边长（输入的顶点的序号应该小于顶点的数目）。

dijkstra算法最短路径算法

Dijkstra算法是一种用于求解带权图中单源最短路径的算法。该算法基于贪心策略，在每一步选择当前距离源点最近的节点，并更新其他节点的距离值。

具体步骤如下：

1. 创建两个集合：一个是已确定最短路径的节点集合S，一个是未确定最短路径的节点集合V-S。开始时，S只包含源点，V-S包含其他所有节点。

2. 初始化源点到所有其他节点的距离为无穷大，源点到自身的距离为0。

3. 在V-S中选择距离源点最近的节点u，并将其加入到集合S中。

4. 对于u的每个邻接节点v，更新距离值。如果通过u到达v的距离比当前记录的距离小，则更新距离值。

5. 重复步骤3和4，直到集合V-S为空。

最后得到的最短路径就是从源点到其他每个节点的最短距离。Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的数量。当图较大时，可以使用优先队列来优化算法，使时间复杂度降低到O((V+E)logV)，其中E是边的数量。

数据结构实验报告-最短路径

最短路径

--《数据结构实验报告》

1.基本思想

最短路径，顾名思义，就是两个点之间的最短距离。本实验采用Dijkstra算法和Floyd算法。Dijkstra算法和Prim算法思想很像，都是一种贪心的算法。Dijkstra算法只能算出一个点到其他点的最短距离，而Floyd算法一次可以算出各点之间的最短距离。

2.用到的数据结构

邻接矩阵G表示图。

Dijkstra：

数组D[n]表示源点到其他点的最短距离，数组P[n]表示最后经过的上一个顶点。

Floyd：

A[n][n]存放迭代过程中的最短路径长度。

3.基本操作实现

Dijkstra：将V分为两个集合S和V-S，初始D[i]=C[1][i],P[i]=1。从S外选取一个顶点w，是D[w]最小，于是从源点到达w中通过S中的顶点，且是一条最短路径，w加入S，从原来的D[v]和D[w]+C[w][v]中选择最小值作为D[v]新值，且P[v]=w，重复以上步骤。

Floyd：将每一个顶点都尝试着插入到两个顶点之间，若插入之后得到的路径长度小于插入之前，则保留插入点，将每一个点都尝试插入，得到最终的最短路径。

4.测试数据及测试结果

Dijkstra:

测试数据：

测试结果：

(输入节点，下面输出这个节点到源点0的最短路径)

Floyd：

测试数据：

生成的距离矩阵