数字信号处理第九讲

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N点DFT的第二次时域抽取分解图（N=8） 点 的第二次时域抽取分解图（ 的第二次时域抽取分解图 ）
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
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N点DFT的第二次时域抽取分解图（N=8） 点 的第二次时域抽取分解图（ 的第二次时域抽取分解图 ）
N 点 4 X 3(1) DFT N 点 2 X 4(1) WN 4 DFT N 点 X 5(1) 4 DFT N 点 2 4 X 6(1) WN DFT
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
重写DFT 重写
X ( k ) = X 1 ( k ) + W X 2 ( k ) k = 0,1, ⋅⋅⋅N / 2 − 1
k N
X 1 ( k ) = ∑ x1 ( r )WNrk/ 2 = ∑ x (2r )WNrk/ 2
r =0 r =0
N −1 2
N −1 2
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
4.1 引 言
DFT实现了时域序列的频域离散化 因此在数字信 实现了时域序列的频域离散化, 实现了时域序列的频域离散化 号处理中用途很广。 号处理中用途很广。 但是DFT的计算量太大 ， 不适于实时处理， 所以 但是 的计算量太大， 不适于实时处理 ， 的计算量太大 没有得到真正的运用。 没有得到真正的运用。 快速傅里叶变换(FFT)就是为了缩短 就是为了缩短DFT运算时间 快速傅里叶变换 就是为了缩短 运算时间 而产生的, 运算时间一般可缩短一二个数量级。 而产生的 运算时间一般可缩短一二个数量级。 FFT并不是一种新的变换 而是 并不是一种新的变换,而是 并不是一种新的变换 而是DFT的一种快速算 的一种快速算 法。
nk (WN )* = ( e • 对称性 −j 2π nk * N
) = WN− nk
利用系数W 利用系数 Ｎnk的特性
•周期性 •可约性 •其它
nk ( n WN = WNn + N ) k = WN ( k + N )
nk WN = e −j 2π mnk mN nmk = WmN
( k WNN / 2 = −1,WN k + N / 2) = −WN
X (k ) = X 1 (k ) + W X 2 (k )
k N
N k X k + = X 1 (k ) − WN X 2 ( k ) 2
k
N k = 0,1,L , − 1 2 N k = 0,1,L , − 1 2
上式将N点DFT分解为两个 点的 分解为两个N/2点的 点的DFT运算，运算过程如下图示 运算， 上式将 点 分解为两个 运算
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
x(2r ) = x1 (r ) x(2r + 1) = x2 (r )
X X ( k ) = X 1 ( k ) + W Nk X 2 ( k ) N k k+ = X 1 (k ) − W N X 2 (k ) 2
x (2r ) = x1 ( r ) x (2r + 1) = x2 ( r )
N r = 0,1,L, − 1 2
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
分解为DFT[x1(r)] 与DFT[x2(r)]的线性组合 将DFT [x (n)]分解为 分解为 的线性组合
nk 2 (2 X ( k ) = DFT [ x ( n )] = ∑ x ( n )WN = ∑ x (2r )WN rk + ∑ x (2r + 1)WN r +1) k n =0 N −1
0 X 6(0) WN 0 X 4(0) WN
x 3(0)＝x 1(0)＝x(0) x 3(1)＝x 1(2)＝x(4) x 4(0)＝x 1(1)＝x(2) x 4(1)＝x 1(3)＝x(6) x 5(0)＝x 2(0)＝x(1) x 5(1)＝x 2(2)＝x(5) x 6(0)＝x 2(1)＝x(3) x 6(1)＝x 2(3)＝x(7)
N −1 2 r =0
N −1 2 r =0
x (2r ) = x1 ( r ) 代入 x (2r + 1) = x2 ( r )
N / 2 −1 DFT [ x1 (r )] = ∑ x1 (r )WNrk/ 2 r =0 N / 2 −1 DFT [ x (r )] = x2 (r )WNrk/ 2 ∑ 2 r =0
k X 2 ( k ) = X 5 ( k ) + WN / 2 X 6 ( k ) N r , k = 0,1,L , − 1 4 N k X 2 + k = X 5 ( k ) − WN / 2 X 6 ( k ) 4
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
N X 1 ( k ) = X 3 ( k ) + W Nk / 2 X 4 ( k ) r , k = 0,1,L , − 1 4 N X 1 + k = X 3 ( k ) − W Nk / 2 X 4 ( k ) 4
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
k=0, 1, …, N-1
通常x(n)和WNnk都是复数，因此一个 和 都是复数，因此一个X(k)需要 次复数乘法和 需要N次复数乘法和 通常 需要 N-1次复数加法 次复数加法 完成整个DFT运算则需要 2次复数乘法及 运算则需要N 次复数乘法及N(N-1)次复数加法 完成整个 运算则需要 次复数加法 由于DFT的运算次数与 2成正比 N较大时 运算量非常可观 的运算次数与N 成正比, 较大时 较大时, 由于 的运算次数与
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X1(k)分解图示 分解图示
N X 1 ( k ) = X 3 ( k ) + W Nk / 2 X 4 ( k ) r , k = 0,1,L , − 1 4 N k 点 分解 X 1 4 + k = X 3 ( k ) − W N / 2 X 4 ( k ) N/2点DFT分解
四个N/4点DFT的计算 点 四个 的计算
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X3(k)的分解 的分解
2 k 2 = ∑ x1 (r )WN rk + WN ∑ x2 (r )WN rk r =0 r =0
N −1 2
N −1 2
= ∑ x1 (r )WNrk/ 2 + WNk ∑ x2 (r )WNrk/ 2
r =0 r =0
N −1 2
N −1 2
k = X 1 ( k ) + WN X 2 ( k )
X 3(0)
X 1(0) X 1(1) X 1(2)
X(0) X(1)
－1 X (3) 1 －1
0 X 2(0) WN 1 X 2(1) WN
X(2) X(3)
X 5(0)
－1 －1
X(4) X(5)
2 X 2(2) W N
－1 －1
3 X 2(3) WN
－1 －1
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X(6) X(7)
第9讲 快速傅里叶变换 讲
N r , k = 0,1,L , − 1 2
两个N/2点DFT的分解 点 两个 的分解
N点DFT分解 点 分解
由于N=2M仍是偶数，可以把每个 仍是偶数，可以把每个N/2点子序列再进行分解 由于 点子序列再进行分解
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X1(kl ) x1 (2l + 1) = x4 (l )
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
4.2 直接计算 直接计算DFT的问题及改进的途径 的问题及改进的途径
4.2.1 直接计算 直接计算DFT的运算量问题 的运算量问题 点有限长序列， 设x(n)为N点有限长序列，其DFT为 为 点有限长序列 为
X (k ) = ∑ x ( n )W
n =0
N −1
nk N
=W
W =e
k N
−j
2π N N 2
W
k N
k = −WN
N k 得到 X ( k + ) = X 1 ( k ) − WN X 2 ( k ) k = 0,1, ⋅⋅⋅ N / 2 − 1 2
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
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表达式为前后两部分,重写如下 将X(k)表达式为前后两部分 重写如下 表达式为前后两部分
(X1(k)与X2(k)分别是x1(r) 及x2(r)的N/2点DFT )
X 2 ( k ) = ∑ x2 ( r )WNrk/ 2 = ∑ x (2r + 1)WNrk/ 2
r =0 r =0
N −1 2
N −1 2
上式为X(k)的前一半值 而后一半值可表示为 的前一半值,而后一半值可表示为 上式为 的前一半值
N N X ( k + ) = X 1 (k + ) + WN 2 2
k+ N 2
N X 2 ( k + ) k = 0,1, ⋅⋅⋅N / 2 − 1 2
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第9讲 快速傅里叶变换 讲
化简 X ( k +
N N ) = X 1 ( k + ) + WN 2 2
N −1 2
k+
N 2
N X 2 ( k + ) k = 0,1, ⋅⋅⋅N / 2 − 1 2
x1 (2l ) = x3 (l ) x1 (2l + 1) = x4 (l )
WNk / 2 = e
−j
2π ×k N /2
=e
−j
2π ×2 k N
2 = WN k
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X2(k)的分解图示 的分解图示
x2 (2l ) = x5 (l ) x2 (2l + 1) = x6 (l )