(整理)平面向量的内积
7.3.1平面向量的内积
7.3.1 平面向量的内积
一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。
二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。
三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四、教学目标：
1、知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.
2、能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力
五、教学重、难点：
重点：平面向量数量积的概念及计算公式.
难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
六、教学策略：
教学方法：探究法和讲练结合法；
学习方法：自主、合作、探究法
七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件
八、教学过程：
（一）导入新课
师：
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？
生：思考、自我分析
平面向量的内积
平面向量的内积
平面向量的内积
概念解释
内积是向量的一种运算，也叫点积。对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
性质
1. 内积具有交换律：a·b=b·a
2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b
3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)
4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。
5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。
6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。
应用
1. 向量投影
通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。这在计算机图形学中非常常见。
2. 判断两条直线是否垂直
如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。
3. 计算向量的模长
通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。
4. 计算两个向量之间的夹角
通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。
5. 判断两条直线是否平行
如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。
6. 判断三角形是否直角三角形
如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。
总结
平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。
平面向量的内积-7页word资料
课题：平面向量的内积
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b
的夹
角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b
|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b
|cos θ，
（０≤θ≤π）.并规定0
与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a
的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e
是与b 同向的单位向量
1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b
= 0
3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |
特别的a ⋅a = |a |2或a a a
⋅=
||
4︒cos θ =|
|||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b
|
5． 平面向量数量积的运算律
交换律：a ⋅ b = b ⋅ a
数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a
⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c
《平面向量的内积》教案
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
例3 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →
变式：三角形ABC 中，若CA BC •＞,判断三角形ABC 的形状
()BC AD DAB AD AB ABCD ⋅=∠==︒.1:,60,3,4,.4求已知中在平行四边形例
()DA AB ⋅.2
六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的内积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
1.若m =4，n =6，m 与n 的夹角为0150，则=•n m .
2.若b a •<0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ）
A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
① 22a a = ② 2a b
a •=a
b ③ ()222b a b a •=• ④()2b a +=2
22b b a a +•+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知5=a ，8=b ，20-=•b a ，则a 与b 的夹角为 。
5.已知单位向量1e 和2e 的夹角为060，则()()
=+•-2121232e e e e 。
八．作业：教材40页
7.4平面向量的内积(1)
认真记忆
(3)当‹a，b›＝90时，a 与 b 垂直，记做 a⊥b；
(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
2、向量的内积
已知非零向量 a 与 b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量|a|| b| cos‹a， 掌握向量內积公式
b›叫做 a 与 b 的内积．记作 a·b＝|a||b| cos‹a，b›．
规定：0 向量与任何向量的内积为 0．
说明：（1）两个向量的内积是一个实数，符号由 cos‹a，b›决定； 牢记说明
（2）两个向量的内积符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，
也不能用“×”代替.
3、向量內积的重要性质
认真记忆內积的性质
设 a，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则：
（1）当 a 与 b 同向时，
教学设备 触摸式一体机
教学过程
教学活动内容及时间
学Байду номын сангаас活动内容及时间
组织教学：清点人数
探究导入：
如图，一个物体在力 F 的作用下产生了位移 s，力与物体位移方向的
夹角 θ，那么力 F 所做的功是多少？功是一个数量还是一个向量？
F
s
回顾力与功和距离之 间的公式
力做的功为 W＝∣s∣∣F∣cos θ，其中 是 F 与 s 的夹角． ∣F∣cos θ 是 F 在物体前进方向上分量的大小．
2.3向量的内积(中职)
（)|| =
∙
() < , >=
∙
||||
思考 :
两个非零向量的数量积可以是正数、负数和零么？
从定义可知，数量积的符号是由 < , > 决定的，
即由 < , > 决定.
如右图：
(1) °<< , > <
∙
||||
−
=
×
=−
练习. 已知|| = , || = , ∙ = ，求 与的夹角.
例3 设|| = , || = , < , >= °,当为何值时,向量 + 与向量互相垂直？
解：
∙ = |||| < , >
< , >=
∙
||||
−
=
×
=−
6. 已知|| = , ∙ = ,当为何值时,向量 + 与向量互相垂直？
解：
பைடு நூலகம்
( + ) ∙ = + ∙
= || + ∙
= +
向量 + 与向量互相垂直,则( + ) ∙ =
第二章 平面向量
2.3 向量的内积
一、两向量的夹角
7.4平面向量的内积
O
A
B
B
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
O
B
b O a A
r r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的 r r 夹角为 θ，我们把数量| a || b |cosθ叫做 r r r r b a与 b 的数量积（或内积），记作a · r r r r 注意：向量的数 a· b =| a | | b | cosθ
例5．判断下列各组向量是否互相垂直
(1) a＝(−2, 3), (2) a＝(0, −1), b＝(6, 4)； b＝(1, −2)．
练习:P58 /1-4
小 1、内积的定义 结 2、内积的性质
r r r2 (1) a a | a |
r r r r (2)a b a b 0
r r a b (4) cos r r | a || b |
特别地
例1 已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角 θ=60°，求a·b。
解：a· b = |a| |b|cosθ
= 3×2×cos60° =3×2×（1/2） = 3
例2 已知|a|=|b|= 2 ，a· b=- 2 ，
求θ
(5) a ( x1 , y2 ),b ( x2, y2 ),则 a b x1 x2 y1 y2
(6)
3、内积的运算律
§741平面向量的内积
14．
2. 已知a· a＝9,求|a|.
3．
3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30°，求(2a＋b)· b．
6 3 +9．
向量的内积 (数量积)的概念 向量的内积的运算律
向量内积满足以下运算律
把 a b cos 这个乘积叫做 a与 b的内积(或数量积)．
⑴ a b b a
（2）当 a、b 反向时， a b a b （3）当 a b时， a b 0 命题 a b 0, a 0 b 0 （4） a b a b 正确吗？
向量的内积(数量积)的概念 已知非零向量 a 与b ， = 为两向量的夹角， 〈a , b〉
向量的坐标
一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．
用向量的坐标表示向量平行的条件
若向量 a ( x1，y1 )，b ( x2，y2 )， 则 a b x1 y2 x2 y1 0．
一个物体在力 F的作用下发生的位移 s 的夹角为 . ① 力 F在位移方向上的分量是多少？ ② 力 F 所做的功W是多少？
⑶ (a b ) c a c b c
注意： 向量的数量积运算不满足结合律.
一般地，向量的 内积不满足结合律， 即 a· (b· c)≠(a· b)· c.
平面向量的内积教案
学科：数学上课日期：2014年12月29—1月8日
班级或专业：13秋数学模块D
本课主题：平面向量的内积（一）
一、条件分析
学情分析
学情分析
向量的内积是从物理的具体问题中抽象出来的数学模式——两
个向量的模与它们夹角的余弦的乘积，定义为向量内积的。由于它不是以前学过的乘法概念的延续与扩充，而是由一种“规定”得到的另类乘法，所以初学时，学生接受起来有些困难，使得内积的教学成为本单元的难点。
教材分析
为了克服向量概念的抽象性，教材一开始就借助于物理学中的位移、力、速度等概念与温度、质量、时间等概念的不同引入了向量概念。如果抛开这些物理概念，直接讨论向量，必然会使学生感到抽象，不好理解。教材随后给出了向量的几何表示，即用有向线段表示向量。这就大大地增强了向量教学的直观性，为变抽象为形象，帮助学生建立向量的空间概念创造了条件。同时，教材在编写过程中还注意多用图示说明的方法，帮助学生理解概念，培养学生对向量的空间想象力。
二、教学结构化
三维目标
知识与能力目标
1．了解向量的内积及其运算法则；
2．能初步利用向量的内积解题。
过程与方法目标
通过实例引出向量内积的定义，培养学生的观察和归纳能力。情感态度与价值观
培养学生理解一切事物都会相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
三、教学过程
a ·
b 表示向量与b 的内积．要注意：都是非零向量； ·b 的结果是一个实数． (4) 想一想：如果a ，b 是两个非零向量，那么在什么条件下：提示：取决于cos (5)练一练：|＝1，＝________解：∵a ·b ＝|a |＝6， ∴ cos ＜a ，b ＞＝1
向量的内积和外积
向量的内积和外积
1）内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).
2）外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).
内积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数减少了，或曰缩小了。形象地看，是向“内”收缩了。
外积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数增加了，或曰扩大了。形象地看，是向“外”扩张了。
内积是一个向量在另一向量所在方向上的积，所以叫内积。
外积是一个向量在另一向量的无关方向上的积，所以才叫外积。
所以，两个相同向量的积在内积上达到最大，把外积方向给挤没了，所以外积中如果两个向量相同则为0。
因为向量相同外积为0，所以才有交换变号，即反对称性。
平面向量的内积教案
平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.
能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．
【教学重点】
平面向量数量积的概念及计算公式.
【教学难点】
数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.
教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |公式的基础；
（3）cos<a ,b >＝
||||
⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；
（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(80分钟)
【教学过程】
*揭示课题
7.3 平面向量的内积
*创设情境 兴趣导入
平面向量内积的坐标表示
学习 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。
目标
2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及 夹角公式，掌握平面两点间距离公式；
重点 通过推导和题组训练，理解并掌握向量 长度、垂直、夹角及距离公式。
难点 能准确运用向量内积的坐标表示长度、
垂直、夹角及距离公式等结论，解决有
AC (2 1)2 (5 2)2 18 BC (2 2)2 (5 3)2 20
AB 2 AC 2 BC 2
三角形ABC 是直角三角形.
法二：
证明: AB的坐标是
y
(2 1,3 2) (1,1)
C(-2,5)
AC的坐标是
(2 1,5 2) (3,3)
关问题。
课型
新课
学法
启发式、练习法
达标过程
一、复习导入
注：1.0 a,b
2.内积的结果是个实数。
1. (1)a b a b cos a, b
(2) a
a a(或a a
a
2
)
a b
(3) cos a, b
a b
(4)a b a b 0 23.在.在直直角角坐坐标标[系O;[eO1,;ee21],中e2，]中若，a向量5ea1(2,73e)2, ,
平面向量的内积教案
平面向量的内积
【教学目标】
知识目标：
（1）了解平面向量内积的概念与其几何意义.
（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：
通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．
【教学重点】
平面向量数量积的概念与计算公式.
【教学难点】
数量积的概念与利用数量积来计算两个非零向量的夹角．
【教学设计】
教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．
在讲述向量内积时要注意：
（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；
（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.
教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：
（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．
（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；
（3）cos<a ,b >＝
||||
⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；
（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(80分钟)
数学课本_平面向量的内积
平面向量的内积
本节将介绍向量的另一种运算—内积。内积的应用非常广泛，它可以用来求两向量的夹角、求两直线的交角、求三角形的面积及求某些函数的极值等，是向量用来处理几何问题的主要工具。
1向量的夹角与内积
向量的夹角
对于非零向量a与b，若此两向量始点不在同一点，我们可以将其中一个向量平移，使两个向量的始点重合，如图30 所示，此时的夹角θ（0°≦θ≦180°），称为向量a与b的夹角。当a与b方向相同时，夹角为0°；方向相反时，夹角为180°。
图30
注意在求两向量夹角时，必须将两向量的始点重合后再行判断。例如图31 所示，设△ABC为正三角形，则AB与AC的夹角为60°，但AB与BC的夹角为120°。
图31
向量的内积
图32
向量的内积源于一力对物体所作的“功”。如图32 所示，设对一物体施力f时，此物体的位移为s，其中f与s的夹角为θ。那么，在物理学中，我们知道施力f对该物体所作的功为
W＝（沿位移方向的分力）‧（位移）
＝∣f∣cos θ‧∣s∣
＝∣f∣∣s∣cos θ。
在数学上，我们称功（W）为力（f）与位移（s）这两个向量的内积。注意到功是一个纯量（只有大小，没有方向）。
底下我们以数学的方式介绍内积。设a，b为平面
上两个非零向量，其夹角为θ，如图33 所示，则a和b
的内积a‧b定义为
a‧b＝∣a∣∣b∣cos θ，
即两向量的长度与其夹角余弦值的乘积。
例题1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
平面向量的内积PPT课件
(a
b
)
(a
b
)
aa ab b a b b
a
2
b
2
2
⑵ 因为 a b (a b ) (a b )
a
2
2a b
2 b
2
a b
(aa2b2)a (abbb)
2
所以
a
b
2
a
b
2
2( a
2
b
2
)
第7页/共17页
1.已知
a
,
b,
a, b
7.4.1平面向量的内积
一个物体在力
的作f用下产生的位移
，那么力
s所
f
做的功应当怎样计算？
f
θ
s
力做的功：W
s
f cos
其中f是 s与 的夹角,
f s
cfocso是sf称在做物位体移前s进与方力向f上的的内分积量．．
第1页/共17页
1．两个非零向量夹角的概念
已知a做非零b与向的量夹a角与．记b，作〈 作Oa,Ab〉． a，OB
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
b，则 b
a
∠AOB
B
A
叫
说明：
（1）当〈a, （2）当〈a,
b〉 b 〉
《平面向量的内积》教案
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题7.3.1平面向量的内积主备
人
赵志慧课时 2 时间6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量a的积是__________，记作_____，它的长度和方向规定如下：
（1）λa＝__________
（2）当λ>0时,a的方向与a方向________，
当λ<0时,a的方向与a方向_________.
特别地，当0或0
a时，λa＝__________
向量的数乘运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa)=__________②(λ+μ)a=__________ ③λ(a+b)=__________ 二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功为多少？
W可由下式计算：W＝｜F｜·｜S｜cosθ，其中θ是F与S的夹角.
若把功W看成是两向量F和S的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我
们引入向量的内积（数量积）的概念.
力F与位移S都是向量，功W叫做向量F与向量S的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
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课题：平面向量的内积
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b
的夹
角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b
|cos 叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b
|cos ，
（０≤θ≤π）.并规定0
与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a b 等于a
的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e
是与b 同向的单位向量
1 e a = a e =|a |cos ；
2 a b a b = 0
3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |
特别的a a = |a |2或a a a
||
4 cos =|
|||b a b a ；5 |a b | ≤ |a ||b
|
5． 平面向量数量积的运算律
交换律：a b
= b a
数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b
)
分配律：(a + b ) c = a c
+ b c
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a
设i
是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么
j y i x a
11 ，j y i x b 22
所以))((2211j y i x j y i x b a
2211221221j y y j i y x j i y x i x x
又1 i i
，1 j j ，0 i j j i
所以b a
2121y y x x
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即b a
2121y y x x
2.平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a ，则2
22||y x a
或22||y x a
（2）如果表示向量a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么
221221)()(||y y x x a
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a
02121 y y x x
4.两向量夹角的余弦（ 0）
co s =|
|||b a b
a
2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x
三、讲解范例：
例1 设a = (5, 7)，b = ( 6, 4)，求a b
解：b a
= 5×( 6) + ( 7)×( 4) = 30 + 28 = 2
例2 已知a
(1, 2)，b (2, 3)，c ( 2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形
证明：∵AB =(2 1, 3 2) = (1, 1), AC = ( 2 1, 5 2) = ( 3, 3)
∴AB AC =1×( 3) + 1×3 = 0 ∴AB AC ∴△ABC 是直角三角形
例3 已知a
= (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x
解：设x
= (t , s )，
由
429349s t s t b x a x 3
2s t ∴x = (2, 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b
的夹角是多少?
分析：为求a 与b 夹角，需先求b a 及｜a
｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a
＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）
有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a
｜＝２，｜b ｜＝２2．
-------------
记a
与b 的夹角为θ，则cos θ＝22 b
a b a
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使 b = 90 ，求点b
和向量AB 的坐标。
解：设b
点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，AB = (x 5, y 2)
∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29
由
272323272941002522112
2
y x y x y x y x y x 或
∴b 点坐标)23,27( 或)2
7,23(；AB =)27,23( 或)23
,27(
例6 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值
解：当a
= 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3
当b
= 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3)
∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =
3
11 当C= 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2
13
3 四、课堂练习：
1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２
－４b a ＝（ ）
A.23
B.57
C.63
D.83