数列求和错位相减法与列项相消法
新人教版高中数学选择性必修第二册错位相减法、裂项相消法求和
习题课
错位相减法、裂项相消法求和
学习目标
1.熟练掌握等差和等比数列前n 项和的结构特点以及各个符号的意义.
2.掌握错位
相减和裂项相消求和的一般过程和思路．一、错位相减法例1求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解
当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
；
当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋
1，
∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，
∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2
－nx n ＋
1
1－x
.
综上可得，S n x ＝1，－nx n ＋1
1－x ，x ≠1且x ≠0.
反思感悟
(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项
和时，可采用错位相减法．(2)用错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．跟踪训练1
已知数列{a n }的前n 项和为S n
1的等差数列，且a 2＝3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解
(1)
1的等差数列，
∴S
n n
错位相减与裂项相消
(1)裂项相消求和
把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的拆项公式:
1
n×(n＋1) ＝1
n －
1
n＋1
1
n＋k＋n ＝
1
k(n＋k －n )
2n
(2n－1)(2n＋1－1) ＝
1
2n－1－
1
2n＋1－1
特别提醒：
(1)裂项相消法就是把数列的每一项分裂成一正一负的两项，使得相加后，前后的项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消．在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点．
(2)一般地，若{a n}为等差数列，则求数列{
1
a n a n＋1}的前n项和可尝试此方法，
事实上，1
a n a n＋1＝d
da n a n＋1＝a n＋1－a n
da n a n＋1＝
1
d·(
1
a n－
1
a n＋1)．
如求
1
2×4 ＋
1
3×5 ＋
1
4×6 ＋…＋
1
(n＋1)×(n＋3) ＝？
解：
∵
1
(n＋1)×(n＋3) ＝
1
2(
1
n＋1 －
1
n＋3 )
∴
1
2×4 ＋
1
3×5 ＋
1
4×6 ＋…＋
1
(n＋1)×(n＋3)
＝
1
2[(
1
2 －
1
4 )＋(
1
3 －
1
5 )＋(
1
4 －
1
6 )＋…＋(
1
n －
1
n＋2 )＋(
1
n＋1 －
1
n＋3 )]
＝1
2(
1
2 ＋
1
3 －
1
n＋2 －
1
n＋3 )
＝5
12－
2 n＋5
2(n＋2)×(n＋3)
1
2[例1]
(2011课标Ⅰ)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩
数列的常见求和方法
数列的常见求和方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
1、倒序相加法
倒序相乘法如果一个数列{an}满足用户与首末两项等“距离”的两项的和成正比(或等同于同一常数)，那么谋这个数列的前n项和，需用倒序相乘法。
2、分组求和法
分组议和法一个数列的通项公式就是由几个等差或等比或可以议和的数列的通项公式共同组成，议和时需用分组议和法，分别议和而后相乘。
3、错位相减法
错位二者加法如果一个数列的各项就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积形成的，那么这个数列的前n项和需用此法xi，例如等比数列的前n项和公式就是用此法推论的。
4、裂项相消法
裂项二者消法把数列的通项切割成两项之差，在议和时中间的一些项可以相互抵销，从而求出其和。
5、乘公比错项相减（等差×等比）
这种方法就是在推论等比数列的'前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用作谋数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别就是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和sn可以轻易用等差、等比数列的前n项和公式展开解。运用公式解的注意事项：首先必须特别注意公式的应用领域范围，确认公式适用于于这个数列之后，再排序。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足用户an+1=an+f(n)，其中f(n)就是等差数列或等比数列的条件下，可以把这个式子变为an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把所有的式子提至一起，经过整理，纡出来an，从而算出sn。
错位相减法和裂项相消法
错位相减法和裂项相消法
错位相减法和裂项相消法是初中数学中常见的两种解题方法。这两种
方法都是通过将原式子变形，使得原本难以计算的式子简化、易于计算。下面将详细介绍这两种方法。
一、错位相减法
1.1 定义
错位相减法又称交错相减法，是一种用于解决一些复杂的多项式运算
的方法。它的核心思想是将一个多项式拆分成两个部分，然后交错地
进行相减运算，从而达到简化计算的目的。
1.2 原理
假设有一个多项式a(x)，它可以被拆分成两个部分：奇数项和偶数项。
a(x) = a(奇)(x) + a(偶)(x)
那么我们可以利用下面这个公式来计算a(x)：
a(x) = a(奇)(x) - a(偶)(x)
这个公式就是错位相减法的核心公式。通过使用这个公式，我们可以将一个复杂的多项式简化为两个较为简单的多项式之差。在实际应用中，我们通常会选择拆分出来奇数项或者偶数项较少的那个部分作为a(奇)(x)或者a(偶)(x)，以达到简化计算的目的。
1.3 例子
下面我们来看一个例子，假设有一个多项式：
a(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1
我们可以将它拆分成两个部分：
a(奇)(x) = x^4 - 2x^2 + 1
a(偶)(x) = 3x^3 - x
然后，我们可以利用错位相减法的公式来计算a(x)：
a(x) = a(奇)(x) - a(偶)(x)
= (x^4 - 2x^2 + 1) - (3x^3 - x)
= x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1
通过使用错位相减法，我们将原本较为复杂的多项式简化为了两个较为简单的多项式之差，从而达到了简化计算的目的。
求和的4种基本方法
= b b n 1 1 1 1 1 ⎨ n n ⎩ 类型 1：分开求和法： a n = b n + c n
b n ,
c n 分别为等差和等比数列，求 a n 的前 n 项和。
典型求和题型：
4、求和的 4 种基本方法
1、 分开求和法： a n = b n + c n
2、 错位相减法： a n = b n c n
b n ,
c n b n , c n 分别为等差和等比数列，求a n
分别为等差和等比数列，求a n 的前 n 项和。
的前 n 项和。 1 3、 裂项相消法： a n
n n +1
b n 为公差为 d 的等差数列，求a n 的前 n 项和。
4、 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
例 1：已知a n = 2n + 3n
-1 求 S n ?
分析： a n = 2n + 3n -1 可以分解成2n -1 和3n
两个部分，我们分别求和就可以了
解析： S = (1+
3 + 5 + ... + 2 n -1) + (3 + 32 + ... + 3n
)
(1+ n) n + 3(3n -1) = n 2 + n + 3n +1 -
3 =
2 3 -1 2 2 2 2
检验：根据题目， a 1 = 2 + 3 -1 = 4, a 2 = 4 + 9 -1 = 12, S 2 = a 1 + a 2 = 4 +12 = 16
4 2 27 3
把 n=2 代入到自己求的答案中有 S 2 = + + - = 16 2 2 2 2
验证完成。
原型：等比数列求和。 推导： a = a q n -1
错位相减-裂项相消-分组求和
一、错位相减法
差比数列：错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积，设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。
练习：2,n n n a n S =•求 练习：求数列}21{n n ⨯前n 项和 练习：(21)2n n a n =-⋅
1、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 2、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
3、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 4、（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值；
（2）当b=2时，记 1()4n n
n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 二、裂项求和法
最新数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案
数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案
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一、解答题
1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3,S6=36．(Ⅰ）求数列{a n}的通项公式;
（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n⋅a n，n∈N∗,求数列{b n}的前n项和T n．
【详解】
(Ⅰ）a 2=3，∴a1+d=3
S6=36，∴6a1+15d=36
则a1=1，d=2
a n=2n−1.
（Ⅱ）由（Ⅰ)可知,b n=2n(2n−1)
T n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n,
2T n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−3)×2n+(2n−1)×2n+1－T n=2+2×22+2×23+2×24.....+2×2n−（2n−1)×2n+1
=2+2×4（1−2n−1）
−（2n−1）⋅2n+1
1−2
=−6+2n+2−(2n−1)⋅2n+1
＝−6+2n+1(3−2n)
∴T n=6+(2n−3)⋅2n+1
２．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2,a n+1=S n+2,n∈N∗
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=n⋅a n,求数列{a n}的前n项和T n．
【答案】(1)a n=2n（2)2+(n−1)×2n+1
【详解】
(1)∵a n+1=S n+2,n∈N∗,∴S n=a n+1−2，
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
(2)bn＝nan＝n·2n＋n， 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)． 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1， 两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝211－－22n－n·2n＋1， ∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋n2＋2n＋4.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
1．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若 a2，a4，a8 成等
比数列，则{an}的前n项和Sn ＝
()
A．n(n＋1)
B． n(n－1)
(2017·银川质检)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：S2n－(n2＋n－1) Sn－(n2＋n)＝0.
(2)令 bn＝n＋n＋212a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的
n∈N*，都有
5 Tn<64.
证明：由于 an＝2n，
则 bn＝n＋n＋212a2n＝4n2nn＋＋122＝116n12－n＋1 22.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
专题一 数列求和(2)裂项相消法+错位相减法
专题一（2）裂项相消法求数列前n 项和
学习目标 1裂项相消法求和的步骤和注意事项 2使学生能用裂项相消法来解决分式数列的求和
探究（一）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
例1、
说明：（1）裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和． 适合于分式型数列的求和。
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
（3）一般地若{a n }是等差数列，
则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，1a n ·a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2
)．（4）此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．
变式练习:项和的前)
2(1，，531，421，311求数列n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯.
变式与拓展：1、项和的前)
13)(23(1
，，,741，411求数列n n n +-⋅⋅⋅⨯⨯
例2、设{a n }是等差数列，且a n ≠0.求证1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1＝n
a 1a n ＋1.
证明：设{a n }的公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1
a n a n ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2·1a 2－a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3·1a 3－a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1·1a n ＋1－a n
变号数列求和的一种方法
变号数列求和的一种方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
1、倒序相加法
倒序相乘法如果一个数列{an}满足用户与首末两项等“距离”的两项的和成正比(或等同于同一常数)，那么谋这个数列的前n项和，需用倒序相乘法。
2、分组求和法
分组议和法一个数列的通项公式就是由几个等差或等比或可以议和的数列的通项公式共同组成，议和时需用分组议和法，分别议和而后相乘。
3、错位相减法
错位二者加法如果一个数列的各项就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积形成的，那么这个数列的前n项和需用此法xi，例如等比数列的前n项和公式就是用此法推论的。
4、裂项相消法
裂项二者消法把数列的通项切割成两项之差，在议和时中间的一些项可以相互抵销，从而求出其和。
5、乘公比错项相减（等差×等比）
这种方法就是在推论等比数列的'前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用作谋数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别就是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和sn可以轻易用等差、等比数列的前n项和公式展开解。运用公式解的注意事项：首先必须特别注意公式的应用领域范围，确认公式适用于于这个数列之后，再排序。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足用户an+1=an+f(n)，其中f(n)就是等差数列或等比数列的条件下，可以把这个式子变为an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把所有的式子提至一起，经过整理，纡出来an，从而算出sn。
裂项相消和错位相减的区别
裂项相消和错位相减的区别
裂项相消和错位相减有什么区别呢？下面我就来讲一下它们之间的区别吧。
1、从结构特点上看：(1)相同点(2)不同点①求两数差的步骤相同，都是先将前项与后项同时乘以它们的最大公约数，然后将所得的积相减，即可求出差。②所得的商相等。
2、从性质的角度分析，裂项相消：先把多项式中每个单项式的系数和次数都看成整数，由于每个单项式都是整数，所以各单项式的系数和次数不会改变，这样一来，只要先把各单项式的系数和次数写在草稿纸上，然后将几个单项式的系数和次数相加，再用最简单的方法相消，便可得到多项式的次数。错位相减：把分母相同，且分子大于等于2的多项式叫做同分母多项式。根据这些概念进行运算，结果肯定是同分母。
3、从法则运用上看，裂项相消和错位相减的区别主要表现在以下几个方面：(1)差的符号相反。(2)被减数不变。(3)合并同类项。
(4)先转化为分数。(5)再按照同分母的意义去解答。(6)相差的项数是同类项，且每项的系数相等。(7)最后的得数不一定是零。(8)有可能是0。(9)不能够同时约分。(10)最后的结果可能相等，也可能不相等。(11)相差的项数可能相等。(12)结果可能是0，也可能是其他的数。(13)最后的得数必须相等。(14)若不同时约分，则相差的项数可能不相等，结果可能是0。(15)若不同时约分，最后的结果不一定相等。 4、从性质和结论上看，裂项相消是依据差的符号和结果判断
的，而错位相减是依据题设条件判断的，裂项相消对于求异或同多项式没有影响，而错位相减对异或同多项式均有影响。裂项相消与错位相减的应用范围有一些不同，错位相减主要用于比较复杂的情况，裂项相消一般用于比较简单的情况，特别是遇到相差的项数是同类项，但因为次数不同而没有关系时，裂项相消和错位相减才能取得较好的效果。例如：(1)多项式2+3=5，把+、-视为同类项，可以直接计算出5；但如果是5-3=1，那么+与-就不能认为是同类项了，不能进行计算，只能用错位相减法了。(2)多项式11+5=16，可以直接求出结果。但如果是12-5=-5，那么这两个多项式就不能再相减了。(3)多项式x+4-x-2=0，这种多项式无法用错位相减法进行运算，因为根本不存在0的多项式，所以不可能是同类项。
错位相减变成裂项相消的公式
错位相减变成裂项相消的公式
我们要找出错位相减如何变成裂项相消的公式。
首先，我们需要理解错位相减和裂项相消的概念。
错位相减是一种求和的方法，通常用于求等差数列或等比数列的和。
裂项相消则是将一个序列的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时某些项会相互抵消。
假设我们有一个等差数列或等比数列，其通项公式为a_n = a × r^(n-1)，其中 a 是首项，r 是公比。
错位相减的公式是：
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n
= a × (r^n - 1) / (r - 1)
裂项相消的公式是：
S_n = 1/a + 2/a^2 + ... + n/a^n
= (a^n - 1) / (a - 1)^2
现在我们要找出如何从错位相减的公式得到裂项相消的公式。
通过错位相减，我们可以得到裂项相消的公式。
具体来说，对于等差数列或等比数列，我们可以使用错位相减法来得到裂项相消的公式。
具体步骤如下：
1. 首先写出错位相减的公式。
2. 然后将错位相减的公式进行变形，得到一个新的公式。
3. 最后将新公式进行整理，即可得到裂项相消的公式。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法
一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++=
=+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，(
)111n n a q S q
-=
-，特别要注意对公比的讨论；
3.可转化为等差、等比数列的数列；
4.常用公式: （1）1
n
k k ==∑1
2
123(1)n n n +++
+=+；
（2）21n k k ==∑222211
631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；
（3）31n k k ==∑33332(1)2
123[
]n n n ++++
+=；
（4）1
(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=. 例1 已知3
log 1
log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和.
解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++
＝x
x x n --1)1(＝2
11)21
1(2
1--n ＝1－n 2
1
例2 设123n S n =+++
+，*n N ∈,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
最新数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案
数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案
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一、解答题
1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3,S6=36．(Ⅰ）求数列{a n}的通项公式;
（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n⋅a n，n∈N∗,求数列{b n}的前n项和T n．
【详解】
(Ⅰ）a 2=3，∴a1+d=3
S6=36，∴6a1+15d=36
则a1=1，d=2
a n=2n−1.
（Ⅱ）由（Ⅰ)可知,b n=2n(2n−1)
T n=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n,
2T n=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−3)×2n+(2n−1)×2n+1－T n=2+2×22+2×23+2×24.....+2×2n−（2n−1)×2n+1
=2+2×4（1−2n−1）
−（2n−1）⋅2n+1
1−2
=−6+2n+2−(2n−1)⋅2n+1
＝−6+2n+1(3−2n)
∴T n=6+(2n−3)⋅2n+1
２．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2,a n+1=S n+2,n∈N∗
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=n⋅a n,求数列{a n}的前n项和T n．
【答案】(1)a n=2n（2)2+(n−1)×2n+1
【详解】
(1)∵a n+1=S n+2,n∈N∗,∴S n=a n+1−2，
裂项相消和错位相减的区别
裂项相消和错位相减的区别
【知识点一：裂项相消和错位相减的联系】
裂项相消就是先把所有的项都乘以不同的数，然后再消项。错位相减就是在减法里面的错位相减法：减数+差=被减数。【知识点二：裂项相消和错位相减的区别】（ 1）裂项相消是不改变加法的运算顺序，而错位相减要改变加法的运算顺序；（ 2）裂项相消的结果是正确的，错位相减的结果可能是正确的也可能是错误的。【知识点三：常见的错误类型】第一种是不管三七二十一，不看清算式就列式计算；第二种是不管用什么方法做加减法，结果都混淆了；第三种是没有搞清楚运算顺序就列式，结果运算出错。二、课堂训练第1小题是将10、 30、 45写成数字加上括号，通过减法消项，再求得结果是多少。（ 1）、答案： 10×30=450(2)、答案： 0×45=0×10=0【知识点四：易错点分析】
【例题】。 4名儿童去公园游玩，共付门票30元，他们一共付门票多少元？解：设其中x人参加游玩。(x+4)30= 4(x+4) 30=4×4×2=8×2=16(x+4)6=4(x+4) 12=16×4=32(x+4)15=16(x+4)25=4×
25=1008×(20-4)=100 8×20=800设其中x人参加游玩，则(10+x)×(30+x)=800x=8x=16参加游玩的人数是8人，故全班人数是16人，应有学生人数是8×16= 64人。设其中x人参加游玩，则有(10-4)
×(30-4)=80x=80-60=40答：全班人数是16人。解：设其中x人参加游玩。
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当n 1时，an a1 , Tn a1 a2 a3 ... an
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第七部分
数列
考点一 错位相减法求和
例如 1、已知数列{ an }满足： an ＝ 求数列{ an }的前 n 项和 Tn. 2n－1 * ， n ∈ N 2n
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由①-②式，得 ① ②
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数列
(1 q )Tn q 2 q 2 2 q 3 ...... 2 q n (2n 1) q n 1 2(1 q n ) 2 q (2n 1) q n 1 1 q q 4(1 q n ) (2n 1)q n 1 q 1 (1 q ) 2 1 q 当n 1时，an 2n 1 n(a1 an ) n(1 2n 1) n2 2 2 q 4(1 q n ) (2n 1)q n 1 ,q 1 2 1 q Tn q 1 (1 q ) n 2 ,q 1 Tn
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数列
n a ( 2 n 1 ) q ( q 0) ， a 变式 2、已知数列{ n }满足： n ＝
n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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解：当q 1时，Tn a1 a2 a3 ...... an 1 q 3 q 2 5 q 3 ...... (2n 1) q n qTn 1 q 2 3 q 3 5 q 4 ...... (2n 1) q n 1
④
n＋1－ n ＝________________. n＋ n＋1
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第七部分
数列
例 2 、已知数列{ an }满足：an＝2n , n ∈N* . 且数列{bn}满足 bn＝log2an，求 Tn＝ 数式表示) 1 1 1 ＋ ＋…＋ 的表达式(用含 n 的代 b1b2 b2b3 bnbn＋1
由①-②式，得 ①
2Tn 1 2 2 3 23 5 2 4 ...... (2n 1) 2 n 1 ②
Tn 2 2 2 2 2 23 ...... 2 2 n (2n 1) 2 n 1 2(1 2 n ) 2 2 (2n 1) 2 n 1 6 (2n 3) 2 n 1 1 2 Tn 6 (2n 3) 2 n 1
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数列
1 变式1、若数列 an 满足 : an (n N ), n(n 2) 求数列an 的前n项和Tn .
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第七部分
数列
n a ( 2 n 1 ) 2 a 变式 1、已知数列{ n }满足： n ＝ ，n∈N*
求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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解 an (2n 1) 2 n
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数列
Tn a1 a2 a3 ...... an 1 2 3 2 2 5 23 ...... (2n 1) 2 n
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【解】∵an＝2n，∴bn＝log2an＝n.
1 1 1 1 bnbn 1 n(n 1) n n 1
(n 1,2,..., n),
1 1 1 1 1 1 1 Tn (1 ) ( ) ( ) ...... ( ) 2 2 3 3 4 n n 1 1 n 1 . n 1 n 1
解 an 2n 1 2n ，
第七部分
数列
2n－1 1 3 5 Tn＝ a1 a2 a3 ...... an = ＋ 2＋ 3＋…＋ n ，① 2 2 2 2
2n－3 2n－1 1 1 3 Tn＝ 2＋ 3＋…＋ n ＋ n＋1 . 2 2 2 2 2 由①-②式，得
②
2 2 2 2n－1 3 2n－1 ＋ ＋ … ＋ 1 1 1 2 3 n Tn＝ ＋ 2 2 2 － n＋1 ＝ － n－1－ n＋1 ， 2 2 2 2 2 2 2n＋3 所以 Tn＝3－ n . 2
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第七部分
数列
[考情展望] 错位相减法求和、裂项相消法求和是历年高考的重点， 命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用错位相减与裂 项相消的基本思想，变换数列 an 的通项公式， 达到求解目的.
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数列
问题：等比数列的前 n项和公式是怎么推导的 ？
解：设等比数列的通项 公式为an a1q n 1 (q 1), 则Tn a1 a2 a3 ... an a1 a1q1 a3 q 2 ... an q n 1 ① qTn a1q1 a3 q 2 a3 q 3 ... an q n ② 由① - ②得 (1 q )Tn a1 an q n a1 a1 a1 ... a1 na1 ,q 1 na1 Tn a1 an q n ,q 1 1 q a1 an q n Tn 1 q
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第七部分
数列
考点二 裂项相消法求和
常用的裂项公式有： 1 ① ＝_____________ ； n－n＋1 n n＋1
1
1
1 1 － 1 1 2n－1 2n＋1 ； ② ＝________________ 2 2n－1 2n＋1
(k N ) 1 ③ n(n k ) ＝__________________； 1 1 1 ( ) k n nk