届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案

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2019届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题练习含答案

初中根与系数的关系复习题附答案

10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．（1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根；（2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0．（1）判定方程根的情况；（2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值：（1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19．已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%，试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问题：（1）求这种电热器的进价；（2）求经过两次降价后的售价；（3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)

中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。

中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)

中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______．答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______．答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______．答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______．答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6．故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a．根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______．答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．答案：（1）a 的取值范围是a ＜3．（2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根．（1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值．答案：（1）k ≤3．（2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1，由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4，代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4，解得：k 1=-3，k 2=5（舍去），经检验，k =-3是原方程的根，故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩，由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1，解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．答案：（1）a 的取值范围是a ＜3．（2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）k ≤-1．（2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2，又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0．（1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题3(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题3（附答案详解）1．一元二次方程x 2＋3x ＝0的解是( )A ．x ＝3B ．x 1＝0，x 2＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x ＝－32．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0的判别式为（）A ．1﹣b 2B ．b 2﹣4C ．b 2+4D ．b 2+13．下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3=0B ．x 2﹣2x+3=0C ．2x 2﹣2x ﹣3=0D ．3x 2﹣6x+1=0 4．关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（）A ．k ＜B ．k ＞C ．k≤D ．k≥5．方程x 2﹣3x +4=0和2x 2﹣4x ﹣3=0所有实数根的和是（）A ．3B ．5C ．1D ．26．方程2270x ax -+=，有一根是12，则另一根为（） A ．7 B ．7.5C ．-7D ．15 7．已知关于x 的方程()2a 1x 2x 10--+=有实数根，则a 的取值范围是()n nA ．a 2≤B ．a 2>C ．a 2≤且a 1≠D ．a 2<-8．x=1是关于x 的一元二次方程2x 2+mx−1=0的一个根，则此方程的两根之和为A ．−1B ．1C ．12D ．−129．关于x 的方程220x x k +-=有两个相等的实数根，则k 的值为（）A ．12 B ．12- C ．1? D ． 1-10．甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是....（）A ．x 2+4x ﹣15=0B ．x 2﹣4x ﹣15=0C ．x 2+4x+15=0D ．x 2﹣4x+15=011．若x=3是一元二次方程x 2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 12．设x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)=_______．13．已知关于x 的方程230x x k ++=的一个根是1-，则k =________；另一根为________．14．若关于x 的一元二次方程2430kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围15．若关于x 的一元二次方程()()21220m x mx m --++=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是________．16．方程x 2－2x －3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程________________________．17．方程（2x +1）（x +2）=6化为一般形式是______，b 2—4ac ____，用求根公式求得x 1=______，x 2=______，x 1+x 2=______，12x x =______，18．关于x 的一元二次方程2310kx x --=有实数根，则k 的取值范围是________． 19．如果关于x 的方程2420x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是_______________．20．已知实数a 、b 满足a b ¹，且222018a a b b -=-=-，则11a b+的值为_______. 21．（1）不解方程，求方程5x 2﹣1=2x 的两个根x 1、x 2的和与积；（2）求证：无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．22．如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根，那么有x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：x 1，x 2是方程x 2+6x-3=0的两根，求x 12+x 22的值.解法可以这样：因为x 1+x 2=-6，x 1x 2=-3，所以x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-6)2-2×(-3)=42. 请你根据以上解法解答下题：设x 1，x 2是方程2x 2-x-15=0的两根，求： (1)11x +21x 的值； (2)(x 1-x 2)2的值.23．关于x 的方程3x 2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m 的值．24．关于x 的一元二次方程()21210k x x +++=的实数解是1x 和2x ． ()1求k 的取值范围；()2如果12121x x x x k +-=-，求k 的值．25．已知2x 2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根和c 的值．26．已知：关于x 的方程x 2+2ax+a 2﹣1=0（1）不解方程，判列方程根的情况；（2）若方程有一个根为2，求a 的值．27．已知关于x 的一元二次方程2220x x k -+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1x ，2x 满足211212325x x x x x ---<，且k 为整数，求k 的值．28．阅读材料：①韦达定理:设一元二次方程ax 2+bx+c=0（且a≠0）中，两根12x x 、有如下关系: 12b x x a +=-,12c x x a⋅=. ②已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq≠1，求1pq q+ 的值．解：由p 2﹣p ﹣1=0及1﹣q ﹣q 2=0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴1p q≠ ； ∴1﹣q ﹣q 2=0可变形为21110q q⎛⎫--= ⎪⎝⎭的特征．所以p 与1q是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个不相等的实数根．则p+1q=1， ∴1pq q+=1. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m 2﹣5m ﹣1=0，21520n n +-=，且m≠n ．求：11m n+ 的值．29．已知关于x 的方程：2244(3)x m x m --=（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．（2）若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足211x x -=，求m 的值及相应的1x 、2x ．30．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x 1，x 2，就能快速求出11x ＋21x ，x 12＋x 22，…的值了．比如设x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3，得11x ＋21x ＝1212x x x x +＝23.” (1)小亮的说法对吗？简要说明理由；参考答案1．C【解析】分析：分解因式得到x （x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．详解：x 2+3x=0，x(x+3)=0，x=0，x+3=0，x 1=0，x 2=−3，故选：C.点睛：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，用因式分解法解方程的一般步骤是：移项、化积、转化、求解.2．C【解析】【分析】将一元二次方程的各项系数代入根的判别式24b ac ∆=-中，即可得出答案.【详解】在一元二次方程x 2+bx ﹣1=0中，∵a =1，b =b ，c =-1，∴222441(1)4b ac b b ∆=-=-⨯⨯-=+.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式.找出一元二次方程中各项的系数并准确进行计算是解题的关键.3．D【解析】【分析】先根据根的判别式,判断有无实数根的情况,再根据根与系数的关系,逐一判断即可.【详解】A. x 2+2x ﹣3=0,∴△=b²-4ac=-8<0,∴此方程没有实数根,故此选项错误;B. ∵x 2﹣2x+3=0 ,∴△=b²-4ac=-8<0,∴此方程没有实数根,故此选项错误;C. ∵2x 2﹣2x ﹣3=0,∴△=b²-4ac=32>0,∴此方程有实数根, 根据根与系数的关系可求12212b x x a -+=-=-= , 故此选项错误;D. ∵3x 2﹣6x+1=0,∴△=b²-4ac=24>0,∴此方程有实数根, 根据根与系数的关系可求12623b x x a -+=-=-=, 故此选项正确.故选D.【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若1x ,2x 是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根时12b x x a +=-,12c x x a=. 4．C【解析】【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b 2-4ac≥0．【详解】因为关于x 的一元二次方程有实根，所以解得故选:C.【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.5．D【解析】解：在方程x2﹣3x+4=0中，△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4=0无实数根；在方程2x2﹣4x﹣3=0中，△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）=40＞0，∴方程2x2﹣4x﹣3=0有两个不等的实数根．设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的实数根，∴x1+x2=2．故选D．6．A【解析】【分析】由韦达定理即可求解.【详解】解：令另一根为x，由韦达定理可知1722x ，解得x=7，故选择A.【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理.7．A【解析】【分析】分两种情况进行讨论，即一元一次方程和一元二次方程，从而得出答案．【详解】当方程为一元一次方程时，a=1，方程有实数根；当方程为一元二次方程时，a≠1且4－4(a－1)≥0，解得：a≤2且a≠1；综上所述，a≤2.故选A．【点睛】考查的是方程的解得情况以及分类讨论的思想，属于中等题型．解决这个问题的关键就是分类讨论，很多同学会把这个方程当做一元二次方程来解．8．C【解析】设方程的另一根为x1，∵x=1是关于x的一元二次方程2x2+mx−1=0的一个根，根据根与系数的关系可得：x1·1=−12，∴x1=−12，∴x1+1=12．故选C．9．D【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，代入公式求出即可．【详解】∵关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，∴△=b2+4ac=4+4k=0，解得；k=-1，故选：D．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式24b ac∆=-有如下关系：①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆<0时，方程无实数根．10．B【解析】甲的常数项是对的，所以常数项为：-3×5 = -15，乙的一次项系数是对的，所以是一次项系数为：-（2+2）= -4，原方程是x2 - 4 x -15 = 0，故选D.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键．【解析】【分析】由根与系数的关系，设另一个根为x ，再根据两根之和为b a -，代入计算即可．【详解】由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x =2，解得：x =−1.故答案为：x =−1.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式1212,,b c x x x x a a +=-= 是解决本题的关键.12．52-；【解析】【分析】根据(x 1+1)(x 2+1)=1212()1x x x x +++,依据一元二次方程的根与系数的关系,可得两根之积或两根之和,代入数值计算即可.【详解】∵x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根, ∴121232,2x x x x +=-=-, 又∵(x 1+1)(x 2+1)=121235()12122x x x x +++=--+=-, 故填空答案:52-. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是将根与系数的关系与代数式变形.13．2 -2【解析】把x=-1代入已知方程列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值；然后利用根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】依题意，得(−1)2+3×(−1)+k =0，解得，k =2.设方程的另一根为t ，则−1×t =2，解得t =−2.故答案是：2；−2.【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键. 14．43k <且0k ≠ 【解析】由题意可得：016430k k ≠⎧⎨∆=-⋅⋅>⎩， ∴43k <且0k ≠．点睛:本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的定义和根的判别式∆=b 2﹣4ac ：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.15．2m <且1m ≠【解析】【详解】根据题意得：△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4()()1?2m m -+＞0，解得m ＜2，∵方程为一元二次方程，∴m ﹣1≠0，即m≠1，则m 的取值范围是2m <且1m ≠. 故答案为2m <且1m ≠. 16．x 2－x －6＝0(答案不唯一) 【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0，利用一元二次方程根与系数的关系可以求出该方程．【详解】设该方程为ax 2+bx+c=0， x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a，方程的两根为-2和3，则-ba=-（-2+3）=-1， ca=（-2）×3=-6，如果a=1，则b=-1，c=-6，则该方程为x 2-x-6=0．答案不唯一．故可以填x 2-x-6=0．故答案为：x 2－x －6＝0(答案不唯一) 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，先设出一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系可求出方程．17．2x 2+5x —4=0， 57， 154x -±=, 254x -=， 52-， —2【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），据此可得出方程（2x+1）（x+2）=6的一般形式；把一般形式中a ，b ，c 的值代入计算，即可求出b 2-4ac 的值；将a ，b ，c 的值代入求根公式x =中进行计算，即可得出x 1，x 2的值；根据一元二次方程根与系数的关系即可得出x 1+x 2，x 1•x 2的值．【详解】方程(2x +1)(x +2)=6化为一般形式是22540x x +-=；在方程22540x x +-=中，∵a =2，b =5，c =−4，∴()2245424253257b ac -=-⨯⨯-=+=，∴x ==∴1x =,2x =，∵12x x 、是方程22540x x +-=的两根，∴121252.2x x x x +=-⋅=-，故答案为：25254057 2.2x x +-=--；，【点睛】考查了一元二次方程的一般形式，求根公式以及根与系数的关系，属于基础题，比较简单. 18．94k ≥-且0k ≠ 【解析】【分析】先求出∆的值，然后根据∆的值与一元二次方程根的关系列式求解即可. 【详解】由题意得，∆=（-3）2-4×k×（-1）≥0，且k≠0，∴94k ≥-且0k ≠ 故答案为：94k ≥-且0k ≠.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 19．2m ≤ 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16-8m≥0,解之即可得出m 的取值范围. 详解：∵关于x 的方程2420x x m -+=有实数根, ∴△=(-4)²-4×2m=16-8m≥0, 解得:m≤2 故答案为:m≤2点睛：本题考查了根的判别式,根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式小于0,方程没有实数根. 20．12018-【解析】【分析】由于实数a≠b ，且a ，b 满足a-a 2=b-b 2=-2018，则a ，b 可看着方程x 2-x-2018=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=1，ab=-2018，然后把11a b+通分后变形，再利用整体代入的方法计算．【详解】∵a ,b 满足222018a a b b -=-=-， ∴a ,b 可看着方程x 2−x −2018=0的两根， ∴a +b =1，ab =−2018，∴111.2018a b a b ab ++==- 故答案为：1.2018-【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系式是解题的关键.21．（1）x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出∆的值即可判断. 【详解】（1）方程可化为5x 2﹣2x ﹣1=0， ∴x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15；（2）方程可化为x 2﹣3x+2﹣p 2=0， ∴△=（﹣3）2﹣4（2﹣p 2）=4p 2+1＞0，∴无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 22．(1)115；(2)1214【解析】分析：(1)根据根与系数的关系得出12x x + 和12x x ⋅的值,再把要求的式子进行通分,然后代值计算即可;(2)把要求从的式子变形为21212()4x x x x +-,再把12x x +=12,12152x x =-代入进行计算即可.详解：x 1+x 2=12，x 1x 2=-152. (1)1211x x +=2112x x x x +=12152-=- 115；(2)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=（12）2-4×（-152）=1214. 点睛：此题主要考查了根与系数的关系,根据题意得出12=bx x a +-和12c x x a=的值是解决问题的关键.23．-5，53【解析】试题分析：把x =−1代入方程2320x x m -+=得关于m 的方程，可求出m =−5，然后利用根与系数的关系求方程的另一根．试题解析：把x =−1代入方程2320x x m -+=得3+2+m =0，解得m =−5，设方程的另一个根为t ,则13m t -⋅=-，所以5.3t =即方程的另一个根为5.324．：()1k 的取值范围是0k ≤，且1k ≠-；()2 k 的值为2-．【解析】【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程有两个实数根，故△≥0，且方程为一元二次方程，可知二次项系数不为0，据此解答即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣21k -+，x 1x 2=11k +，根据x 1+x 2﹣x 1x 2=1﹣k 列出等式，解答即可．【详解】（1）△=22﹣4×（k ﹣1）×1=﹣4k ． ∵方程有实数根，∴△≥0且k +1≠0，解得：k ≤0且k ≠﹣1，k 的取值范围是k ≤0且k ≠﹣1；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得：x 1+x 2=﹣21k -+，x 1x 2=11k +．由x 1+x 2﹣x 1x 2=1﹣k ，得：21k -+﹣11k +=1﹣k ，解得：k 1=2，k 2=﹣2．经检验，k 1、k 2是原方程的解．又由（1）k ≤0且k ≠﹣1，故k 的值为﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 25．,c=-1 【解析】试题分析：设出方程另一根，利用根与系数的关系建立方程求解即可得出结论．试题解析：解：设方程的另一根为m ，由题意得：24(2m m c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，解得：21m c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 答：方程的另一根为：xc 的值为﹣1．点睛：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答本题的关键是求出方程的另一根．26．（1）证明见解析；（2）-1或-3.【解析】分析: （1）根据根的判别式可得△=4a 2-4（a 2-1）=4即可判断根的情况；（2）由题意可知把x=2代入原方程求得a 的值，然后再把a 的值代入原方程求得方程的另外一个根即可.详解: ：（1）∵关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0， ∴△=4a 2-4（a 2-1）=4＞0，即△＞0， ∴方程有两不相等的实数根；（2）∵x=2是方程的一个根，∴把x=2代入原方程中得：4-4a+a 2-1=0， ∴a=-1或a=-3，点睛: 本题主要考查了根的判别式的知识和一元二次方程的解的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根 27．（1）k ＜3（2）0，1，2 【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-2）＞0，然后解不等式即可；（2）由根的定义知: 211220x x k -+-= ，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=2，x 1x 2=k-2，再代入不等式211212325x x x x x ---<，即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值．试题解析：（1）依题意可知:()()22420k --->，解得3k <；（2）由根的定义知: 211220x x k -+-= ，∴ 21122x x k -=-，由根与系数的关系知:122x x +=, 122x x k =- ，若1x ，2x 满足211212325x x x x x ---<，则 2111212225x x x x x x ----<，∴ ()2111212225x x x x x x --+-<， ∴ ()22225k k ----<，∴ 13k >- ，又由（1）知3k <，∴ 133k -<< ，Q k 为整数，∴ k 的值为 0，1， 2．28．-5. 【解析】【分析】类比材料中所给的方法解答即可. 【详解】由21520n n+-=得2n 2﹣5n ﹣1=0，根据2m 2﹣5m ﹣1=0与2n 2﹣5n ﹣1=0的特征，且m≠n ， ∴m 与n 是方程2x 2﹣5x ﹣1=0的两个不相等的实数根 ∴m+n=52，mn=12- ，∴11m n +=5212m nmn +=-=-5. ．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的解题方法解决问题是解决本题的关键.29．（1）证明见解析（2）①112x -=，212x --=②1x =，2x =【解析】试题分析：（1）求出b 2-4ac>0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求得123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，即可得1x 、2x 异号或有1个为0．再根据211x x -=，分①10x ≥，20x <和②10x ≤，2>0x 两种情况求m 的值及相应的1x 、2x ．试题解析：（1）()2216316m m ∆=-+23296144m m =-+2332722m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭72≥．∴无论m 取何值，方程有两个异根．（2）()224430x m x m ---=．∵4a =，124b m =-，2c m =-． ∴123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，∴1x 、2x 异号或有1个为0．211x x -=，①10x ≥，20x <，211x x --=即121x x +=-，31m -=-，∴2m =．24440x x +-=．115x -+=，215x --=．②10x ≤，2>0x ．211x x +=，4m =． 244160x x --=． 240x x --=．11172x +=，21172x -=． 30．(1) 小亮的说法不对,理由见解析；（2）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】根据：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca. 注意分式的分母不能等于0. 【详解】(1)小亮的说法不对．若有一根为零时，就无法计算＋的值了，因为零作除数无意义 (2)答案不唯一，如：一元二次方程x 2－5x －6＝0.设方程的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6. 又∵x 12＋x 22＋2x 1x 2－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，将x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6代入，得x 12＋x 22＝52－2×(－6)＝37 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.。

2019届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题练习含答案

北京市朝阳区普通中学2019届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－12．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( )A．－4 B．3 C．－43D.433．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝04. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，35．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( ) A．－3 B．3 C．－6 D．66. 已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A．－1 B．9 C．23 D．277. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝08. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )A．－10 B．4 C．－4 D．109. 菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或310. 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．11. 一元二次方程2x2＋7x＝8的两根之积为________．12. 设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.13. 已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．14. 已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m＝______．15. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根(1) 求m的取值范围；(2) 当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．18. 关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋k4＝0有两个不相等的实数根．(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．(1) x2＋2x＋1＝0;(2) 3x2－2x－1＝0；(3) 2x2＋3＝7x2＋x;(4) 5x－5＝6x2－4.20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1) 求k的取值范围；(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．答案：1---9 DDDAA DCCA 10. －a/b c/a 11. －4 12. 2019 13. 1014. 10 －4 0 0 15. m>1/216. x 2－10x ＋9＝017. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝32.∵m ＝32＜2，∴m 的值为32 18. 解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×k 4＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵1x 1＋1x 2＝0，∴x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－k ＋2k ＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于019. 解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－13(3)x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－35(4)x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝1620. 解：(1)由Δ≥0得k≤12 (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝aa －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－2a a －6＋4＝aa －6的解．∴a＝24 (2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a 为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，122019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A.120°B.135°C.150°D.165°2．下列计算正确的是（）3．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A.6B.8C.14D.164．如图，已知////AB CD EF，那么下列结论正确的是（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD 交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（）A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小6．如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（）724a =5===；④= ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图所示物体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．9．如图是二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①当13x -<<时，0y >；②0ab <；③20a b +=；④3a+c>0，其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝A ．112.5°B ．105°C ．90°D ．82.5°11．如图，半径为3的⊙A 的ED 与▱ABCD 的边BC 相切于点C ，交AB 于点E ，则ED 的长为（）A．94πB．98πC．274πD．278π12．已知,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,，连接BE与DG，则BEDG＝（）A B．1 C D．二、填空题13．如图，将矩形ABCD绕点C沿逆时针方向旋转，使点B的对应点刚好落在DC延长线上，形成矩形A'B'CD'，AB＝4，AD＝8，则阴影部分的面积为____．14．若关于x的一元二次方程240x x a++=有两个相等的实数根，则a的值是______．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点E，点G是BC上一点，E为线段BG的中点，DG⊥BC于点G，交AC于点F，则FG的长为_____.16．计算：30＝_____；＝_____．17．分解因式：2a2b-8b=______．18．扬州2月份某日的最高气温是6℃，最低气温是－3℃，则该日扬州的温差（最高气温－最低气温）是______℃．三、解答题19．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，BD＝CB，DO的延长线交20．某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的学生共有人,扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所占的百分比为；（2）请补全条形统计图（图2），并估计全校500名学生中最喜欢“足球”项目的有多少人？（3）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．21．已知直线y1＝﹣x+2和抛物线222y kx kx=-相交于点A，B．(1)当k＝32时，求两函数图象的交点坐标；(2)二次函数y2的顶点为P，PA或PB与直线y1＝﹣x+2垂直时，求k的值．(3)当﹣4＜x＜2时，y1＞y2，试直接写出k的取值范围．22．端午节是我国的传统节日，益民食品厂为了解市民对去年销量较好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、红枣粽子(分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅统计图补充完整；(3)小明喜欢吃花生粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，请用“列表法”或“画树形图”的方法，求出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率．23﹣2019024．如图，已知在平面直角坐标系内，点A（1，﹣4），点B（3，3），点C（5，1）（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）求四边形ABB1A1的面积．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题14．1516．17．2b(a+2)(a-2)18．9三、解答题19．(1)证明见解析；(2)AB＝.【解析】【分析】（1）连接OB，只要证明OD⊥BD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OCE中，根据OE2＝EC2＋OC2，可得（8−r）2＝r2＋42，推出r＝3，由tan∠E＝OC BDCE DE=，可得BD＝BC＝6，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：(1)连接OB．∵CB＝BD，BO＝BO，OC＝OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)，∴∠OCB＝∠ODB，∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，又∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．(2)设⊙O的半径为r．在Rt△OCE中，∵OE2＝EC2+OC2，∴(8﹣r)2＝r2+42，∴r＝3，∴AC＝6，∵∠ODB＝∠OCE＝90°，∴tan∠E＝OC BD CE DE=，∴348BD =，∴BD＝6，∴BC＝6，在Rt△ABC中，AB==【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．20．（1）50，28%；（2）见解析，全校500名学生中最喜欢“足球”项目的约有80人；（3）见解析，16.【解析】【分析】（1）利用参加篮球活动的人数÷所占百分比，可得被调查的学生总数；先计算出其他所占的百分比，然后用总体减去除乒乓球外所有活动的百分比即可得出答案；（2）根据乒乓球所占的百分比求出人数即可补全条形统计图；用360°乘以喜欢足球项目人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）学生总数=2040%=50，∵其他所占的百分比=2=450%，∴乒乓球所占的百分比=1-4%-12%-16%-40%=28%；（2）补全条形统计图如下：乒乓球项目人数=50×28%=14（人），500×16%=80，答：全校500名学生中最喜欢“足球”项目的约有80人. （3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率=21126=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图． 21．(1)A(2，0)，B(﹣23，83)；(2)1或-133；(3) 1-2＜k ＜14且k≠0. 【解析】【分析】（1）联立方程组22332y x y x x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩即可求交点；（2）当PA 与y 1=-x+2垂直时，k=1；当PB 与y 1=-x+2垂直时，k=-133；（3）当x=-4时，y 1＞y 2，6＞24k ；只有开口向上时成立，所以k ＞0；【详解】 (1)当k ＝32时，22332y x x =-，联立方程组22332y x y x x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴20x y =⎧⎨=⎩或2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A(2，0)，B(﹣23，83)； (2)222y kx kx =-的顶点P(1，﹣k)，当PA 与y 1＝﹣x+2垂直时，k ＝1；当PB 与y 1＝﹣x+2垂直时，k ＝﹣133； (3)当x ＝2时，y 1＝y 2＝0，当x ＝﹣4时，y 1＞y 2，当k ＞0时， ∴6＞24k ，∴k ＜14， ∴0＜k ＜14；当k ＜0时，直线与抛物线有一个交点时：-x+2=kx 2-2kx ， ∵△=（1+2k ）2=0，∴k=1 -2，∴1-2＜k＜0；综上所述；1-2＜k＜14且k≠0；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握函数交点的求法，数形结合解不等式是解题的关键．22．(1)本次参加抽样调查的居民有600人；(2)见解析；(3)16.【解析】【分析】（1）用喜欢B类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢C类的人数，再计算出喜欢A类的人数的百分比和喜欢C类的人数的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】(1)60÷10%＝600，所以本次参加抽样调查的居民有600人；(2)喜欢C类的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120(人)，喜欢A类的人数的百分比为180600×100%＝30%；喜欢C类的人数的百分比为120600×100%＝20%；两幅统计图补充为：(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数为2，所以小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率＝212＝16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．23．【解析】【分析】按顺序先分别代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，进行0次幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】20190＝2×12+﹣1＝．【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，涉及了特殊角的三角函数值，二次根式的化简，0次幂，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.24．（1）见解析；（2）见解析；（3）28. 【解析】【分析】（1）根据A ，B ，C 三点坐标画出三角形即可．（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（3）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）△ABC 如图所示．（2）△A 1B 1C 1如图所示．（3）1112ABB A S =四边形×（2+6）×7＝28．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）2 3【解析】【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解；（2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A.5B.﹣5C.3D.﹣32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，AE平分∠CAB交BC于D，BE⊥AE于E，给出下列结论：①BD＝2CD；②AE＝3DE；③AB＝AC+BE；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．下列命题是真命题的是（）A．一元二次方程一定有两个实数根B．对于反比例函数y＝2x，y随x的增大而减小C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A. B.13 C. D.185．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2＝42B．10+10（1+x）2＝42C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝426．如图1，一辆汽车从点M处进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系.根据图2，这辆车的行车路线最有可能是（）A. B.C. D.7④）A．①②B．③④C．①③D．①④8．如图，AB∥CD，直线MN与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，EG⊥FG于点G，若∠CFN＝110°，则∠BEG＝( )A．20°B．25°C．35°D．40°9．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为()A．22.4m B．23.2m C．24.8m D．27.2m10．菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．1411．一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63︒的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27︒方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（）A.63︒B.27︒C.90︒D.50︒12．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形 B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形二、填空题13．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______.14．在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则点A到对角线BD的距离为___________15．已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，若往原纸箱中再放入x个白球，然后从箱中随机取出一个白球的概率是，则x的值为_____16．4与9的比例中项是_____．17在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．18．﹣95的绝对值是_____．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B(0，t)作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)(x1＜x2)．(1)求抛物线顶点C的坐标；(2)当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；(3)若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．20．解方程：1112x xx x-+-=．21．如图，A、B两点在反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．（1）若△AOC的面积为4，求k值；（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．22．先化简，再求值：(a+22ab ba+)÷222a ba ab--，其中a＝﹣2，b＝3．23．如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF．AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；（2）求证：△ABF≌△DCE．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E在AB上，连接DE并延长交CA的延长线于点F，且∠AEF＝2∠C．（1）判断直线FD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝2，EF＝4，求⊙O的半径．25．某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：请根据图表中所给的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中共随机抽取了名学生，图表中的m＝，n ；（2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．125cm15．16．±6 17．x≥﹣118．9 5三、解答题19．(1)(a，2)；(2)EF＝；(3)2＜t≤11．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C 的坐标；（2）由抛物线的开口方向及点C 到直线l 的距离为2，可得出直线l 的解析式为直线y=4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E ，F 的坐标，进而可得出线段EF 的长；（3）代入y=t 可求出点E ，F 的坐标，进而可得出线段EF 的长，结合存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m+5成立，可得出关于t 的不等式组，解之即可得出t 的取值范围．【详解】(1)∵y ＝x 2﹣2ax+a 2+2＝(x ﹣a)2+2，∴抛物线顶点C 的坐标为(a ，2)；(2)如图：∵1＞0，∴抛物线开口向上，又∵点C(a ，2)到直线l 的距离为2，直线l 垂直于y 轴，且与抛物线有交点，∴直线l 的解析式为y ＝4．当y ＝4时，x 2﹣2ax+a 2+2＝4，解得：x 1＝a，x 2＝，∴点E 的坐标为(a，4)，点F 的坐标为，4)，∴EF ＝﹣(a)＝；(3)当y ＝t 时，x 2﹣2ax+a 2+2＝t ，解得：x 1＝ax 2＝∴EF ＝又∵存在实数m ，使得x 1≥m﹣1且x 2≤m+5成立，∴206t ->⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2＜t≤11．【点睛】本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E ，F 的坐标；（3）由线段EF 长度的范围，找出关于t 的不等式组．20．x ＝﹣3【解析】【分析】两边都乘以2x 化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，最后代入最简公分母检验即可得；【详解】解：方程两边都乘以2x ，得2（x ﹣1）﹣（x+1）＝2x2x ﹣2﹣x ﹣1＝2x﹣x ＝3x ＝﹣3检验：把x ＝﹣3代入2x ＝﹣6≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣3．【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．21．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析【解析】【分析】（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，结合已知条件OA ＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2222()()kka b a b +=+，整理得到：2222()()k k a b b a -=- ，2222222(k a b a b a b --=），易得k b a =，故OC ＝OD ．【详解】解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4， ∴12|k|＝4， ∴k ＝8；（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1），∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1，∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∴△ACO ≌△BDO （SAS ）．∴AO ＝BO ．又AO ＝AB ，∴AO ＝BO ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，∵OA ＝OB ，∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，即有：2222()()kka b a b +=+， ∴2222()()k k a b b a -=-，2222222(k a b a b a b --=），因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0， ∴2221=k a b， ∴1k ab =±，负值舍去，得：1k ab=， ∴k b a =， ∴OC ＝OD ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．22．a+b ，1.【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝2222()()()()()()()a ab b a a b a b a a b a a b a b a a b a b ++-+-⋅=⋅+-+-＝a+b ，当a ＝﹣2，b ＝3时，原式＝1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1）△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可以证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形对应角相等可得∠A ＝∠D ，∠DEC ＝∠AFB ，所以△EOF 是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A ＝∠AMO ，∠D ＝∠DNO ，从而得到△AOM 与△DON 也都是等腰三角形；（2）由BE ＝CF ，可以证明EC ＝BF ，然后根据方法“边角边”即可证明△ABF 与△DCE 全等．【详解】（1）解：△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明：∵AB ⊥EF 于点B ，DC ⊥EF 于点C ，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∵CF ＝BE ，∴CF+BC ＝BE+BC ，即BF ＝CE…在△ABF 和△DCE 中，AB DC DCB BF CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠ABC=∠， ∴△ABF ≌△DCE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，常用的方法有“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，本题证明得到BF ＝CE 是解题的关键．24．（1）直线FD 与⊙O 相切，理由详见解析；（2）⊙O 的半径为【解析】【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠AEF ＝∠AOD ，等量代换得到∠AOD ＋∠AED ＝180°，求得∠ODF ＝90°，于是得到结论；（2）解直角三角形得到∠F ＝30°，AF=OF ＝2OD ，于是得到OD ＝FA ，即可得到结论．【详解】解：（1）直线FD 与⊙O 相切；理由：连接OD ，∵∠AEF ＝2∠C ，∠AOD ＝2∠C ，∴∠AEF ＝∠AOD ，∵∠AEF+∠AED ＝180°，∴∠AOD+∠AED ＝180°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线FD与⊙O相切；（2）∵∠BAC＝90°，AE＝2，EF＝4，∴∠F＝30°，AF=，∵∠ODF＝90°，∴OF＝2OD，∴OD＝FA，∴⊙O的半径为【点睛】本题利用了切线的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（1）40、12、＝0.40；（2）90；（3）13．【解析】【分析】（1）由第一组的频数及其频率可得总人数，再根据频率＝频数÷总数可得m、n的值；（2）用总人数乘以样本中第一、二组频率之和即可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，然后根据概率公式计算即可得解．【详解】（1）本次调查的学生总人数为4÷0.1＝40人，m＝40×0.3＝12、n＝16÷40＝0.40，故答案为：40、12、＝0.40；（2）600×（0.10+0.05）＝600×0.15＝90（人），答：估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数为90；（3）画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中恰好抽到A，B两名女生的结果数为2，所以恰好抽到A、B两名女生的概率21 ()63P A==；【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．也考查了列表法与树状图法求概率．。

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)

中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。

完整版一元二次方程根与系数关系附答案

一元二次方程根与系数的关系（附答案）分评卷人得小题）6一．选择题（共2），下列说法正确的是（ +4x﹣．已知关于1x的一元二次方程3x5=0．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根A．无法确定C．没有实数根D2）的取值范围是（的一元二次方程xm=0+2x﹣有实数根，则m2．关于x1＜﹣．m1 C．m≤﹣1 D＞﹣A．m≥﹣1 B．m2）x +3x﹣1=0的根的情况是（的一元二次方程3．关于x．有两个相等的实数根BA．有两个不相等的实数根．不能确定DC．没有实数根222）+x的值是是一元二次方程、x2x（﹣4x﹣1=0的两实数根，则x4．设x22116．4 C．5DA．2B．2）的值为（的两个实数根，则α+β．若α、β是一元二次方程x﹣﹣5x2=05．D5．C．﹣2 A．﹣5 B2）c的值为（4x﹣+c+1=0有两个相等的实数根，6．已知关于x的方程x则常数3．1DC1 A．﹣B．0 ．分评卷人得小题）1二．填空题（共2，q的两个不等实数根分别为）p，3x﹣+a=0（a≠的一元二次方程7．若关于xx022．的值为，则且p﹣pq+q=18分评卷人得1第页（共10页）三．解答题（共8小题）22+1=0+k．2k+1）的方程8．已知关于xxx﹣（（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．2+ax+a的方程x﹣2=0．x9．已知关于（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．2﹣2（x﹣m）=0mx的一元二次方程（x﹣）（m为常数）．10．已知关于（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．2﹣x+a﹣1=0．x11．已知关于的一元二次方程x（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x，x，求a的取值范围；21（3）若方程两个实数根x，x满足[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，求a的211122值．2﹣4kx+k+是关于x的一元二次方程4kx1=0的两个实数根．12．已知x，x21﹣成立？若存在，求出k﹣2x）=的值；使是否存在实数k，（2x﹣x）（x（1）2112若不存在，说明理由；+﹣2的值为整数的实数）求使k的整数值；（2λ=，试求λ﹣2，的值．（3）若k=2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x）13．已知关于x的方程（k+1x，x．21（1）求k的取值范围；（2）若x+x=xx+2，求k的值．221122﹣3=0+m．1﹣2（m+）的方程14．已知关于xxx（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？22=22+xxx+x，求实数m的值．是方程的两根，且x、）设（2x212121第2页（共10页）2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x、x．x15．已知关于x的一元二次方程21（1）求m的取值范围；22=6xx，求m）若（2x+x的值．2112第3页（共10页）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（的一元二次方程1．已知关于x3x）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2﹣4×3×（﹣5）【解答】解：∵△=4=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2+2x﹣m=0有实数根，则m的一元二次方程x的取值范围是（）2．关于x1m＜﹣．m≤﹣1 D．mA．≥﹣1 B．m＞﹣1 C2有实数根，﹣的一元二次方程xm=0+2x【解答】解：∵关于x2，0）=4+4m=2∴△≥﹣4×1×（﹣m．1解得：m≥﹣．A故选：2）1=0的根的情况是（x3．关于x的一元二次方程 +3x﹣．有两个相等的实数根A．有两个不相等的实数根B．不能确定．没有实数根DC，c=﹣1【解答】解：∵a=1，b=3，22，0＞1×（﹣1）∴△=b=13﹣4ac=3﹣4×∴方程有两个不相等的实数根．．A故选：222）x+x的值是（则是一元二次方程、4．设xx2x4x﹣﹣1=0的两实数根，21216．C2 A．B．4．5D2的两实数根，1=04x是一元二次方程x、解：∵【解答】x2x﹣﹣21页（共4第10页），﹣=2，xx=x∴x+22112222．）﹣2=5x+x）x﹣2x=2∴x+x×（﹣=（212112．故选：C 2） +β的值为（是一元二次方程xα﹣5x﹣2=0的两个实数根，则5．若α、β．C．﹣2 DA．﹣5 B．52的两个实数根，2=0﹣5x﹣【解答】解：∵α、β是一元二次方程x．β=5∴α+．B故选：2）（的值为c+1=0有两个相等的实数根，则常数．6已知关于x的方程xc﹣4x+ 31D．1 B．0C．A．﹣2有两个相等的实数根，c+x1=0﹣4x+【解答】解：∵关于x的方程2，﹣4c=0c+1）=（﹣4）=12﹣4×1×（∴△．解得：c=3．故选：D小题）二．填空题（共12，q的两个不等实数根分别为p，03x+a=0（a≠）7．若关于x的一元二次方程x ﹣22的值为﹣q5=18，则p且．﹣pq+2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分解：∵关于【解答】x的一元二次方程x 别为p、q，∴p+q=3，pq=a，222﹣3pq=18，即9q）﹣3a=18，+∵p﹣pq+q=（p∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．第5页（共10页）故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）22+1=0．）1x+．已知关于x的方程xk﹣（2k+8（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．22+1=0有两个不相等的实数根，x+k）∵方程x+﹣（2k1）【解答】解：（122+1）=4k﹣31×（k＞0+∴△=[﹣（2k1）]，﹣4×＞．∴k2﹣5x+5=0，（2）当k=2时，原方程为x设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，==．∴2．2=0ax9．已知关于x的方程﹣+ax+的值；a1，求（1）若该方程的一个根为取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．）求证：不论a（2，2=0ax=1代入原方程，得：1++a﹣【解答】（1）解：将．解得：a=22．+2）4=）证明：△=a﹣4（a﹣2）（a﹣（22，）0≥∵（a﹣22，，即△＞2a﹣）0+4＞0∴（取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．a∴不论2．m为常数）））x﹣m（﹣2x﹣m=0（的一元二次方程（．已知关于10x为何值，该方程总有两个不相等的实数根；1（）求证：不论m的值．，求m32（）若该方程一个根为第106页（共页）22+2m=0+m，﹣（2m+2）【解答】（1）证明：原方程可化为xx2+2m，c=m，﹣（2m+2）∵a=1，b=222+2m）=4（m＞0，4ac=[﹣（2m+2）]4∴△=b﹣﹣∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．2﹣2（3﹣m）=0，2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）（解得：m=3，m=1．21∴m的值为3或1．2﹣x+ax﹣1=0．11．已知关于x的一元二次方程（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x，x，求a的取值范围；21（3）若方程两个实数根x，x满足[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，求a的212112值．2﹣x﹣12=0，）把a=﹣11代入方程，得x【解答】解：（1（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x=﹣3，x=4；21）∵方程有两个实数根，∴△≥0，（22，解得0﹣1）≥a﹣4×1×（1 即（﹣）；）∵是方程的两个实数根，（3，∴．∵[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，2112∴，把2=9，a1+）=9a1+a﹣][2+﹣1]，即（2代入，得：[解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4第7页（共10页）2﹣4kx+k4kx+1=0的两个实数根．．已知12x，x是关于x的一元二次方程21﹣成立？若存在，求出）=k的值；）（2x﹣x（x﹣2x（1）是否存在实数k，使2112若不存在，说明理由；+﹣2）求使的值为整数的实数k（2的整数值；λ=，试求λ2，的值．k=（3）若﹣2﹣4kx+k+1=0）∵x、x是一元二次方程4kx的两个实数根，【解答】解：（121=，，xxx∴+x=122112222=2（x++2xx）2x）=2x4x﹣x﹣xx﹣=2﹣9xx=2×1﹣9﹣×∴（2xx）（x12121112212122﹣，﹣﹣=成立，若2k=解上述方程得，，2﹣4×4k（k+1）=﹣16k∵△=16k＞0，k=，＜0，∵∴k∴矛盾，∴不存在这样k的值；2=﹣4=2=﹣﹣（2）原式﹣=，44，或﹣，或，或+∴k1=1或﹣12，或﹣2．2解得k=0或﹣，1，﹣5，3，﹣3．0k∵＜；32k=∴﹣，﹣或﹣5第8页（共10页）λ=，x+x﹣2，=1，（3）∵k=21==，，x+x=1，x∴λx1222，=x∵x=21，∴=．3∴λ=3±2﹣2（k﹣1）x）x+k=0有两个实数根x，x．13．已知关于x的方程（k+121（1）求k的取值范围；（2）若x+x=xx+2，求k的值．22112﹣2（k﹣1）x）x+k=0有两个实数根，）∵关于【解答】解：（1x的方程（k+1∴，．1且k解得：k≠﹣≤2．x，x）x+k=0有两个实数根的方程（k+1）x﹣﹣2（k1（2）∵关于x21．==，xx+∴xx2211，即2++x+=2，=xx∵x2112解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．22﹣3=0+m．（m+1）x14．已知关于x的方程x2﹣（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？22=22+xx，求实数m的值．、（2）设xx是方程的两根，且x+x211212【解答】解：22﹣3）=8m+16，）（[﹣2m+1]4﹣（m=1（）△当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；第9页（共10页）（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，2﹣3，，xx=mxx+=2（m+1）得2211222﹣2xxx），==22+xx（∵xx+x+2111222122﹣3m），3﹣）=6+（∴[2（m+1）]﹣2（m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去）化简，得m，∴实数m的值为1．2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x、15．已知关于x的一元二次方程xx．21（1）求m的取值范围；22=6xx，求+xm）若（2x的值．2211【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，2﹣4（m﹣1，即（﹣2））≥0，0∴△≥解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x+x=2，xx=m﹣1，212122=6xxx，+x∵221122=8xx，x，即（+x）x）+∴（xxx﹣2x=6x2221112211∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．第10页（共10页）。

2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 根与系数的基本关系：若21x x ，是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，则这两个根与系数的关系为：ac x x a b x x =⋅−=+2121，。

同时存在：00222121=++=++c bx ax c bx ax ，。

2. 常考推广公式：①()2122122212x x x x x x −+=+。

②()1221221221x x x x x x x x +=+。

③21212112122111x x x x x x x x x x x x +=+=+。

④()21212212122212121212221122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −+=+=+=+。

⑤()()()2212121p x x p x x p x p x +++=++。

⑥()()212212214x x x x x x −+=−。

专项练习题1、（2022•益阳）若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x 2+x +m ＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．2、（2022•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故选：B．3、（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为a，∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴4﹣4+m＝0，解得m＝0，则﹣2a＝0，解得a＝0．故选：B．4、（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．5、（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（）A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a，∵x1＝﹣1，∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a，∴a＝3，∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32＝3﹣1﹣9＝﹣7．故选：B ．6、（2022•宜宾）已知m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，则m 2+m n +2m 的值为（）A ．0B ．﹣10C ．3D ．10【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m +n ＝﹣2，mn ＝﹣5，而m 是方程的一个根，可得m 2+2m ﹣5＝0，即m 2+2m ＝5，那么m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ，再把m 2+2m 、mn 的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，∴mn ＝﹣5，∵m 是x 2+2x ﹣5＝0的一个根，∴m 2+2m ﹣5＝0，∴m 2+2m ＝5，∴m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ＝5﹣5＝0．故选：A ．7、（2022•乐山）关于x 的一元二次方程3x 2﹣2x +m ＝0有两根，其中一根为x ＝1，则这两根之积为（）A ．31B ．32C ．1D ．﹣31 【分析】直接把x ＝1代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解：∵方程的其中一个根是1，∴3﹣2+m ＝0，解得m ＝﹣1，∵两根的积为，∴两根的积为﹣，故选：D ．8、（2022•巴中）α、β是关于x 的方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k 的值为．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k 的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k ﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k +1﹣1＝﹣k ＝4，∴k ＝﹣4，故答案是：﹣4．9、（2022•日照）关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m ＝0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22＝163，则m ＝．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，再由x 12+x 22＝变形得到（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，即可得到4m 2﹣m ＝，然后解此方程即可．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，∵x 12+x 22＝，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，∴4m 2﹣m ＝，∴m 1＝﹣，m 2＝，∵Δ＝16m 2﹣8m ＞0，∴m ＞或m ＜0，∴m ＝不合题意，故答案为：﹣．10、（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．【分析】根据x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，可得x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，把+＝x 12+2x 2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k ，解出k 的值，并检验即可得k ＝2．【解答】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1，∵+＝x 12+2x 2﹣1，∴＝2（x 1+x 2）﹣k ，∴＝4﹣k ，解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k ＝2，故答案为：2．10、（2022•绥化）设x 1与x 2为一元二次方程21x 2+3x +2＝0的两根，则（x 1﹣x 2）2的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，故答案为：20．11、（2022•鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则a 1+b1的值为．【分析】由实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，知a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a +b ＝4，ab ＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．【解答】解：∵实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，∴a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，则a +b ＝4，ab ＝3，则原式＝＝，故答案为：．12、（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（） A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＞1D ．k ＜03．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（） A ．a 18<B ．a= 18-C ．a 18>-且a≠0 D ．a 18> 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=05．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（） A ．-1B ．1C ．-2D ．26．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（）A ．无实数根B ．两根之和为2C ．两根之积为-1D ．有一个根为21+7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1B ．0C ．﹣5D ．58．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8B ．－7C ．6D ．59．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－110．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（） A ．3B ．1C ．3-D ．1-11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则11m n+的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则22________a a b--=；14．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=____．15．若关于x的方程的两根互为倒数，则= .16．如果一元二次方程2x2﹣5x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围为_____．17．写出一个二次项系数为2，一个根比1大，另一个根比1小的一元二次方程__________．18．若－2是一元二次方程x2―2x―a＝0的一个根，则a的值为____．19．若关于的方程有两个相等的实数根，则k的值为▲ . 20．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是___________________．21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足11αβ+＝﹣1，求m的值．23．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求n mm n+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn ＝﹣1，所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3．根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝，x 1x 2＝．（2）类比探究：已知实数m ，n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ，求m 2n +mn 2的值：（3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0，t 2+99t +19＝0，且st ≠1．求41st s t++的值．24．已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+(2k+1)x+k ＝0. (1)依据k 的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x ＝﹣2，求k 的值及方程的另一根.25．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．26．已知关于的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若=－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？请说明理由．27．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． ()1若m 为正整数，求此方程的根．()2设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．28．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ． (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1、x 2，且满足12111+?=2x x ，求m 的值．29．关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．30．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4k>0，解得：k<1.故选：A.3．C【解析】【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，解得：a＞-18且a≠0，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b 2-4ac ，当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根． 4．D ．【解析】试题分析：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x 2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x 2+5x+6=0．故选D ．考点：根与系数的关系． 5．C 【解析】【分析】设该一元二次方程的另一根为t ，则根据根与系数的关系得到36t =-，由此易求t 的值．【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则36t =-，解得2t =-．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 6．C ．【解析】试题解析：A 、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误； B 、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=-2．即两根之和为2，故本选项错误； C 、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=-1．即两根之积为-1，故本选项正确；D 、根据求根公式1=-±1-+1-．故本选项错误；故选C ．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．【解析】【分析】利用根与系数的关系，即可求出. 【详解】设该方程的另一根为m ，利用根与系数的关系：12b x x a+=- 得：m ﹣1＝4，解得：m ＝5．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．D 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】由韦达定理，即，x 1·x 2＝.而x ＋x ＝24＝（）2－2 x 1·x 2＝36－2（k ＋1），解出k ＝5.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 9．D 【解析】试题分析：设,αβ是方程022=+-a ax x 的两个根，则,2a a αβαβ+==，又225αβ+=，所以22()245a a αβαβ+-=-=，解得a =－1或5，当a=-1时，9=V ＞0，当a=5时，16=-V ＜0，所以a=5不合题意舍去，所以选：D ．考点：根与系数的关系．【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，即可得出答案．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2−3x+1=0的两个根， ∴x 1+x 2=3，故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a. 11．32-【解析】【分析】因为方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，所以32,55m n mn +==-，而11m n +=m nnm +，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，∴32,55m n mn +==-， ∴11m n +=m n n m +=3525-=32-.故答案为32-.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 12． 2 5【解析】∵方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，∴由一元二次方程“根与系数的关系”可得：2+（﹣5）=﹣（m+1），2×（﹣5）=﹣2n，解得：m=2，n=5．故答案为2，5．13．2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018，所以a2-2a-b化简为-（a+b）+2018，再利用根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a为方程x2-x-2018=0的根，∴a2-a-2018=0，即a2=a+2018，∴a2-2a-b=a+2018-2a-b=-（a+b）+2018，∵a、b是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，∴a+b=1，所以原式=-1+2018=2017．故答案是：2017．【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程解的定义．14．﹣2 【解析】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4-=-2 2.15．-1．【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到，解得：，又mn=，∴=1，解得：=1（舍去）或=-1，则=-1．故应填为：-1.考点：根与系数的关系．点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac≥0时，方程有解，然后利用韦达定理得出，．16．m≤258【解析】【分析】此题根据方程有实数根,可得25420,m -⨯≥解这个不等式即可得出答案. 【详解】解:关于x 的一元二次方程2250x x m -+=有两个实数根,由一元二次方程根的判别式,得25420,m -⨯≥解得：25.8m ≤ 故答案为：25.8m ≤ 【点睛】一元二次方程根的判别式:△＞0时,一元二次方程有两个不等实根; △=0时,一元二次方程有两个相等实根; △＜0时,一元二次方程没有实根; △≥0时,方程有实数根.17．2240x x -=（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意可设一根为2，另一根为0，再计算出2+0=2，2×0=0，然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可．【详解】解：设一根为2，另一根为0， ∵2+0=2，2×0=0，∴以2和0为根的一元二次方程可为x 2-2x=0，当二次项系数为2时，方程变形为2x 2-4x=0．故答案为2240x x -=．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根时，12bx x a +=-，12c x x a=. 18．8【解析】解析：把x=-2代入方程得：4+4-a=0，解得：a=8.考点：一元二次方程的解． 19．8 【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac=0，建立关于k 的等式，求出k 的值．解：由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b 2-4ac=36-4k-4=0，解得k=8． 20．34＜m≤1．【解析】【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m 的取值范围，最后综合所有情况得出结论．【详解】∵方程x 2-2x+m=0的两实根为a ，b ， ∴有△=4-4m≥0，解得：m≤1，由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m ，若a ，b ，1可以作为一个三角形的三边之长，则必有a+b ＞1与|a-b|＜1同时成立，故只需（a-b ）2＜1即可，化简得：（a+b ）2-4ab ＜1，把a+b=2，a•b=m 代入得：4-4m ＜1，解得：m ＞34， ∴34＜m≤1，故本题答案为：34＜m≤1．【点睛】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系． 21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3， ∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）m ＞﹣34；（2）m ＝3．【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△＝（2m +3）2﹣4m 2＞0，解得m ＞﹣34；（2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m +3），αβ＝m 2． ∵211(23)1m mαβαβαβ+-++===-， ∴﹣（2m +3）＝﹣m 2，解得m 1＝3，m 2＝﹣1（舍弃）． ∴m ＝3．【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝ca是解答此题的关键． 23．（1）-2，-15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m +n ＝1，mn ＝﹣17，再利用因式分解的方法得到m 2n +mn 2＝mn （m +n ），然后利用整体的方法计算；（3）先把t 2+99t +19＝0变形为19•（1t ）2+99•1t +1＝0，则把实数s 和1t可看作方程19x 2+99x +1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s +1t ＝﹣9919，s •1t ＝119，然后41st s t ++变形为s +4•s t +1t，再利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1）x 1+x 2＝﹣105＝﹣2，x 1x 2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ， ∴m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0， ∴m +n ＝1，mn ＝﹣17，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0，实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，∴s+1t＝﹣9919，s•1t＝119，∴41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．24．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【解析】【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba-及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x ＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k 值． 25．0. 【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 26．（1）k=" -6" ，方程的另一根是5．（2）不存在．理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把已知的根代入原方程，求出k ，然后根据根与系数的关系，求得另一根；（2）根据一元二次方程的跟的判别式求出k 的范围，然后再根据根与系数的关系表示出x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，根据已知的不等式求出k 的范围，从判断是否存在. 试题解析：（1）k="-6" ，方程的另一根是5．（ 2 ）不存在．理由：由题意得Δ＝16－4（k ＋1）≥0，解得k≤3． ∵x 1，x 2是一元二次方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1，由x 1x 2＞x 1＋x 2得k ＋1＞4， ∴k ＞3，∴不存在实数k 使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 27．()11m =，1212x x ==．()724y ≤．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出114m 1m 04=-⨯=-≥V ，由此吉可求得m 的取值范围，根据m 为正整数，可得出m 的值，将m 代入原方程求出x 的值即可；（2）根据根与系数的关系以及一元二次方程根的定义可得1ab m 4=，21b b m 04-+=，由此可得3y m 14=+，根据m 的取值范围进行求解即可. 【详解】()1∵一元二次方程21x x m 04-+=有两个实数根，∴114m 1m 04=-⨯=-≥V ， ∴m 1≤．∵m 为正整数， ∴m 1=，当m 1=时，此方程为21x x 04-+=， ∴此方程的根为121x x 2==； ()2∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴1ab m 4=，21b b m 04-+=， ∴()22113y ab 2b 2b 1ab 2b b 1m 2m 1m 1444⎛⎫=-++=--+=--+=+ ⎪⎝⎭， ∵()4m y 13=-，又∵m 1≤， ∴()4m y 113=-≤， ∴y 的取值范围为7y 4≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键. 28．（1）相交线；（2）m=110-．【解析】【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可; （2）首先利用根与系数的关系可以得到x 1+x 2，x 1x 2，接着利用根与系数的关系得到关于m 的方程，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：因为一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式 △=(4m+1)2－4（2m-1）=16m 2+8m+1-8m+4=16m 2+5．因为不论m 取何值时，m 2≥0，所以16m 2+5总大于0，即不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程两根为x 1、x 2，所以x 1+x 2=－（4m+1），x 1x 2=2m －1，因为12111+=,2x x 所以121212x x x x +=，所以()411212m m -+=-，所以m=110-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握(1) △>0,方程有两个不相等的实数根；(2) △=0，方程有两个相等的实数根；(3) △<0,方程没有实数根,是解答本题的关键. 29．（1）证明见解析；（2）2或3．【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；（2）由求根公式，得x=， ∴x 1==，x 2==1；∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1==1+，必为正整数，∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 30．k≥-13且k≠0．【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题1(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题1（附答案详解）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．下列方程中，两个实数根的和为4的是（）A．x2－4x＋5=0 B．x2＋4x－l=0 C．x2－8x＋4=0 D．x2－4x－1=0 3．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为( ) A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或34．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870-+=x x的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A．3B．3 C．6 D．95．已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,m≠n,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A．6 B．3 C．-3 D．06．一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（）A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．17．若关于x的一元二次方程（x–2）（x–3）=m有实数根x1、x2，且x1<x2，则下列结论中错误的是A．当m=0时，x1=2，x2=3B．m>–1 4C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y=（x–x1）（x–x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）8．关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，。

则方程（）.A．必有一根为1 B．必有两相等实根C．必有一根为－1 D．没有实数根。

9．若是方程的两个根，且，则的值为（）A ．或2 B．1或C．D．110．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).有下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．其中真命题的个数是()11．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是、，那么=，=，则若关于x 的方程的两个实数根满足关系式，则k 的值为_____________________12．已知关于x 的方程x 2+3x+a ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则1211+x x =__． 14．若是一元二次方程的两个根，则的值是．15．已知方程x 2﹣4x ﹣1=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1•x 2=__________；16．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －12=0的一个根为-2，则另一个根是______________． 17．直线与双曲线交于和两点，则的值为．18．x 1、x 2为方程x 2-3x-2=0的两根，则以x 1+1、x 2+1为两根的一元二次方程为________19．若x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣4=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为________. 20．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则x 1+x 2=_____． 21．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x+m 2+1=0。

中考数学考前训练：《一元二次方程根与系数的关系》测试及答案

一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系，的方程和未知的系数值。

精典例题：【例 1】对于 x 的方程 2 x 2kxk ＝。

并会依据条件和根与系数的关系不解方程确立有关4 10 的一个根是－ 2，则方程的另一根是；剖析：设另一根为 x 1，由根与系数的关系可成立对于 x 1 和 k 的方程组，解之即得。

答案： 5，－12【例 2】 x 1、 x 2 是方程 2 x 2 3x 5 0 的两个根，不解方程，求以下代数式的值：（ 1） x 1 2 x 2 2（ 2） xx（ 3） x 1 2 3x 2 2 3x 21222略解：（ 1） x 1x 2 ＝ (x 1（ 2） x 1 x 2 ＝ (x 1（ 3）原式＝ (x 12x 2 2)x 2 ) 2 2x 1x 2 ＝ 7 1421x 2 )4x 1 x 2 ＝ 3(2x 2 23x 2 ) ＝ 715＝1214 43 x22( m 2)xm2 5 0 有两个实数根，而且这两个根【例】已知对于 x 的方程的平方和比这两个根的积大16，求 m 的值。

剖析：有实数根，则△≥ 0，且 x2 x2 x x2 16 ，联立解得m 的值。

121略解：依题意有：x 1 x 2 2(m 2)x 1x 2m 25x 12 x 2 2 x 1 x 2 164(m 2) 24(m 25) 0由①②③解得： m1 或 m15 ，又由④可知 m ≥94∴ m15 舍去，故 m1探究与创新：【问题一】已知 x 1 、x 2 是对于 x 的一元二次方程 4x 24(m 1) x m 2 0 的两个非零实数根，问： x 1与 x 2 可否同号？若能同号恳求出相应的 m 的取值范围；若不可以同号，请说明原因。

略解：由32m 16 ≥ 0 得 m ≤ 1。

x 1 x 2m 1 ， x 1 x 21m 2 ≥ 024∴ x 1与 x 2 可能同号，分两种状况议论：（ 1）若 x 1 x 1 x 2＞ 0， x 2 ＞ 0，则，解得 m ＜ 1 且 m ≠ 0x 1 x 2∴m ≤ 1且 m ≠0 2（ 2）若 x 1 ＜ 0， x 2 ＜ 0，则x 1 x 20 ，解得 m ＞1 与 m ≤ 1相矛盾x 1 x 22综上所述：当m ≤ 1且 m ≠0 时，方程的两根同号。

一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)

同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3．故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6，故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（）A.54 B.94C.114D.7【解答】解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0，解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________．【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12，故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0，故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2，故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1，所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。

届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案

届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－D.3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )A ．－3B ．3C ．－6D ．66.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．277.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2＋3x ＋2＝0C ．x 2－3x －2＝0D ．x 2－3x ＋2＝08.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )A ．－10B ．4C ．－4D ．109.菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )A ．－3B ．5C ．5或－3D ．－5或310.如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．11.一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．12.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.13.已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．14.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．15.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．16.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．18.关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋2x ＋1＝0;(2)3x 2－2x －1＝0；(3)2x 2＋3＝7x 2＋x;(4)5x －5＝6x 2－4.20.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．答案： 1---9DDDAADCCA 10.－a/bc/a 11.－4 12.2016 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x 2－10x ＋9＝017.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝.∵m ＝＜2，∴m 的值为18.解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵＋＝0，∴＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19.解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝－ (3)x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－ (4)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝20.解：(1)由Δ≥0得k≤ (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321.解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－＋4＝，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－＋4＝的解．∴a＝24(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－＋＋1＝为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。

2020届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题练习含答案

北京市朝阳区普通中学2020届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－12．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( )A．－4 B．3 C．－43D.433．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( ) A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝04. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，35．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( )A．－3 B．3 C．－6 D．66. 已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A．－1 B．9 C．23 D．277. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝08. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )A．－10 B．4 C．－4 D．109. 菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或310. 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x 1x2＝________．11. 一元二次方程2x2＋7x＝8的两根之积为________．12. 设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.13. 已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．14. 已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m＝______．15. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.(1) 求m的取值范围；(2) 当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．18. 关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋k4＝0有两个不相等的实数根．(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．(1) x2＋2x＋1＝0;(2) 3x2－2x－1＝0；(3) 2x2＋3＝7x2＋x;(4) 5x－5＝6x2－4.20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1) 求k的取值范围；(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．答案：1---9 DDDAA DCCA10. －a/b c/a11. －412. 201613. 1014. 10 －4 0 015. m>1/216. x2－10x＋9＝017. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4≥0，解得：m≤2(2)∵x1＋x2＝2，x1·x2＝m－1，x12＋x22＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝6x1·x2，即4＝8(m－1)，解得：m＝32.∵m＝32＜2，∴m的值为3218. 解：(1)由题意可得Δ＝(k＋2)2－4k×k4＞0，∴4k＋4＞0，∴k＞－1且k≠0(2)∵1x 1＋1x2＝0，∴x1＋x2x1x2＝0，∴x1＋x2＝0，∴－k＋2k＝0，∴k＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k使两个实数根的倒数和等于019. 解：(1)x1＋x2＝－2，x1·x2＝1(2)x1＋x2＝23，x1·x2＝－13(3)x1＋x2＝－15，x1·x2＝－35(4)x1＋x2＝56，x1·x2＝1620. 解：(1)由Δ≥0得k≤12(2)当x1＋x2≥0时，2(k－1)＝k2－1，∴k1＝k2＝1(舍去)；当x1＋x2＜0时，2(k－1)＝－(k2－1)，∴k1＝1(舍去)，k2＝－3，∴k＝－321. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a－6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数的关系得x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.∵－x1＋x1x2＝4＋x2.∴x1＋x2＋4＝x1x2.即－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验，a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．∴a＝24(2)∵原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数．∴6－a＝－1，－2，－3，－6，解得a＝7，8，9，12。

九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)

、单项选择题: 一元二次方程根与系数的关系习题1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根.2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 215 (B) 12 方程两根为 X 23, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是((A)2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可)2 X 1 2 X 22 X 2的值是( (X i 32B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2+2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为X1, X2,那么: x 1 x 2 2, x 1x 23为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数,且满足 (A) 2(B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y解：X ：22x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x2x 二、填空题: 1、如果二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2有两个相等的实数根2X 1 2x 12X2(D)的两根X 1X22)( 3) 02x 2 1,那么X i ? X 2等于0有两个相等的实数根,那么 k= 2.16 4k 22、如果关于x的方程2x2(4 k 1)x 2k20有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是k 9.解：方程2x2 (4 k 1)x 2k2 1 0 8k有两个不相等的实数根[(4k 1)]2 8(2k21)3、x1,x2是方程2x27x 4 0的两根,那么x17 2 x2 = 一 , x〔x? = 2 , (x1 x2)= 2(x1 x2)2 4x1 x2274、假设关于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0的两个根互为倒数,那么m = d3.解：设方程两根为x1, x2,那么: ,32[(m 2)]2 24(m2 2) 0 方程两根互为倒数 2[(m 2)]2 24(m2 2) 014x2 - ------- 1m 2m = 4时,方程mx 4 0有两个相等的实数根;解: 方程x2mx 4 0有两个相等的实数根解:m216m 4且m 0时,方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根; 方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根16 4m 0 且m 04且m 0时,原方程有两个不相等的实数根.6、关于x的方程10x2 (m 3)x m 7 0,假设有一个根为0,那么m=7,这时方程的另一个根是1；假设…,3 … 八、,、………8 ■两根之和为一工,那么m = 9,这时方程的两个本!!为X 1x 2 1.5—— 5解乂1)设方程 10x 2 (m 3)x m 7 0m 7 y---------- ②10由②,得:(5x 8)( x 1) 0m 7, x 1 1时,方程一根为0 x8或x 157、如果x 2 2(m 1)x m 2 5是一个完全平方式,那么方程x 2 2( m 1)x m 2 5 0W 两个相等实根m 2[2(m 1)]2 4(m 2 5) 08、方程2x(mx 4) x 2 6没有实数根,那么最小的整数 m = 2；解：将方程 2x( mx 4) x 2 648 m 88 0化简,得：(2m 1)x 2 8x 6 0原方程没有实数根64 24 (2m 1) 0另一根为 X i,那么:10m 7100 X i m 3 —— a 10 、一一 3原方程两根之和为 -5将m 7代入①,得:原方程可化为：5x 2 3x 8 09、方程2(x 1)(x 3m) x(m 4)两根的和与两根的积相等,那么m =2;(2)设原方程两根为a 、b,那么:0?X i10 5m =2 ；解：令 x 2 2( m 1)x m 2 5 0 4(m 2 2m 1) 4m 2 20 0x 2 2(m 1)x m 2 5是完全平方式8m 16 0x 1 1 11 m -6最小整数m 为2解：将方程 2(x 1)(x 3m) x(m 4)化简,得：2x 2 (7m 2)x 6m 0 设方程两根为x1,x 2,那么：7m 2x 1 x 2 ---, x 1x 2 3m方程两根的和与两根的积相等m 2当 m 2时,[(7m 2)]2 48m 0将m 8代入①,得：n 2将m 8, n2代入③,得: k 8 ( 2)16k 16解：原方程有实数根3 m -4 3 .当m -时,原万程有两个实数根.4解：方程两根为2、；3和2 73,(2 .3)- (2 、3) p , (2 .,3)(2 .3) q解之,得:10、设关于x 的方程x 2 6x k0的两根是m 和n ,且3m 2n20,那么k 值为16;①X 2-③,得:当 k16时, 36 4k 011、假设方程 x 2 (2m 1)x m 2 1 0有实数根,那么 m 的取值范围是 m12、一元二次方程 x 2px q 0两个根分别是273 和 2 13,那么 p= 4 ,q= 1;7m 2 23m解：m 、n 是方程的两根r m n 6①* mn k ②I 3m 2n 20 ③4m 3[(2m 1)]2 4(m 2 1) 01,24m 4m 14m4 0p 4'' q 1 p4, q 113、方程3x219x m 0的一个根是1,那么它的另一个根是16X — , m=16;3解：设方程的另一根为X i,那么:m 16mX1 3当a 16时, 19212a 0由①,得：X116方程另一根为16m 1&方16 , _ 口将X 一代入②,得:314、假设方程x2mx 1 0的两个实数根互为相反数,那么m的值是0;解：设方程两根为X1,X2,那么:x1 x2m 0时,m2 4 0 方程两根互为相反数0时,原方程两根互为相反数.X1x2m 015、m、n是关于x的方程x2(2m 1)X m2 1 0的两个实数根,那么代数式m n =1o解: m、n是方程的两根将①代入②,得:m n 2m 1 m(m 1)2mn m化简,得: 1代入①,得:2mn m (1)216、方程X23x 1 0 的两个根为a ,3,那么a +3=3, "3=1;17、如果关于x的方程x24x m 0与x2x 2m 0有一个根相同,那么m的值为0或3 ;解：方程有一个相同的根将x m代入x24x m 0,得:2 , 2 cx 4x m x x 2m 2m 4m m 0(4 1)x 2m m m(m 3) 0这个相同的根为:18、方程2x23x 0的两根之差为22 ,那么k= 2;解：设方程两根为x1, x2, 那么:2k254x i x2 21 22时,9 8k 0(x i x2)2254关于x的方程2x23x k 0两根19、解:20、解: x1 x2)24x1 x2254、,,1 ,差为2—时,k 22假设方程x2(a22)x 3 0的两根是1和一3,那么a= 2; 方程两根1和(3) (a2 2)D、假设关于x的方程设方程两根为义, x2, x2 2(m 1), x1x2方程两根互为倒数2x1 x2 4m 12(m那么:4m21)x 4m20有两个实数根,且这两个根互为倒数,②、关于x的一元二次方程(a2 1)x2F 1那么m的值为一；2[2(m 1)]2[2(m 1)]216m216m2(a 1)x 1 0两根互为倒数,那么a=J2.a 1 x 1 x 22——,x 1 x 2a 1方程两根互为倒数1 a2 1当 a.2时, (a 1)2 4(a 2 1) 0 当 a..2时,(a 1)24(a 2 1) 0a .. 2a 2 1 1解：设方程的另一根为 x v 那么:a . 2 1当 a 2 1时,2 4a 0方程另一根为x 1, a .2 1将x 1 1代入②,得:36 4k 4k 8k 8寸,36 4k 0 (2)关于x 的方程x 6x k 0的两根23、方程2x 2 mx 40两根的绝对值相等,那么 m=0ox 〔 x 2差为2时,k 8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:a 、,221、如果关于x 的一元二次方程x 2 J2x a 0的一个根是1— &,那么另一个根是 x 1,a 的值为J2 1.解：设方程两根为x1, x 2,那么: 当 x 〔 x 2时,x 〔 x 2 0x 1 x 2x 1x 2 x 1 x 21 a2 1( 1 V2 x 1 <2①1(1 &)x 〔 a ②由①,得：x 1 22、如果关于x 的方程x 2 6x k0的两根差为2,那么k=8.解：设方程两根为x1, x 2,那么:x 1 x 2 6, x 1x 2 k x 1 x 2 2(x 〔 x 2)242(x 1 x 2) 4x 1 x 24x1 X2M£X1x2当x i x2 时,m2 32 0 m232 0当m 0时, m232 0 2x2mx 4 0两根绝对值相等时,m 0.x i x2qx r 0( p 0)的两根为0和一1,贝U q ： p=1:1.解: 设方程两根为x2, 那么:方程两根为0和x i X29p(1)25、方程3x2x 1 0 ,要使方程两根的平方和为13—,9那么常数项应改为2.解: 设方程两根为xi, x2, (¥2m3139并设方程的常数项为i 6m 13x i x2 1 3,x/22x i 2 x2 1392时,i 12m 0x2)22X1X2139常数项应改为2.26、方程x24x 2m 0的一个根a比另一个根3小4,那么a = 4 ;=0 ；m=0 .解：据题意,得：「 4 ①< 2m ②1 4③①+③,得：4将4代入①,得：0将4, 0代入②,得：m 0当m 0时, 16 8m 04, 0, m 02 1 13 1 27、关于x的万程x 3mx 2(m 1) 0的两根为x1,x2,且———一,那么m= 一.24、一元二次方程px2解：设方程2x 2 3x两根为x1,x 2,那么:9-0 m -时,方程有两个正根8m 0当m 0时,方程有一根为0.(2)、方程有一个正根,一个负根三、解答以下各题：1、3-也是方程x 2 mx 7 0的一个根,求另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一根为刈,那么:(3 j2)x1 7②答：方程另一根为3 <2 ,由②,得：x 13 22m 6.解：方程两根为x 1, x 2,那么:X i X 2 3 x 1 x 2 4 3m 3 x 1 x 2 3m, x 1x 2 2(m 1) 一2(m 1)41 1 3 一— — 12m 6( m 1)x 1 x 2 4 m 1时, (3m)2 8(m 1) 0328、关于x 的方程2x 2 3x m _ _ 9 .................................. 0,当0 m 一时,万程有两个正数根；当8m 0时,方程有一个正根,个负根；当m 0时,方程有一个根为 0.x 1 x 2 (1)、方程有两个正数根方程有一个正根,一个负根9 8m 0x 1, x 2 m 0又方程有两个正数根 9 8m 09 m8m 0当m 0时,方程有一正一负两个根(3)、方程有一根为0x 1, x 23 2将x1 3 代入①,得：2、m取什么值时,方程2x2 (4m 1)x 2m2 1 0(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根；解：(4 m 1)2 8(2m2 1)16m28m 1 16m288m 9(1)有两个不相等的实数根8m 9 09 m -8, 9-当m -时,原方程有两个8不相等的实数根.(2)有两个相等的实数根3、求证：方程(m2 1)x2 2mx (m2 4)证实：(2m)2 4(m2 1)(m2 4)4m2 4(m4 5m2 4)4m416m2164(m4 4m2 4)2 24(m2 2)24、求证：不管k为何实数,关于x的式子(x解：令(x 1)(x 2) k2 0即:8m 9 09 m8, 9-当m -时,原方程有两个8相等的实数根.(3)没有实数根8m 9 09 m8当m 9时,原方程无实根.80没有实数根.m22 04(m2 2)2 0即：0方程(m2 1)x2 2mx (m2 4) 0没有实数根.21)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.x2 33x 2 k209 4(2 k2)4k214k2024k 1 0方程(x 1)(x 2) k2 0有两个不相等的实数根不管k为何实数,关于x的式子 2 .... (x 1)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.解：令2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 8k 9 0a是实数,且方程x22ax 10有两个不相等的实根,试判别方程x2 2ax 1 1(a2x2 a2 1)2解：x2 2ax 1 1(a2x2 a2 2 0有无实根？1) 0 4a24 00 a214a44,20 a2204a4 20a2 24 0即：04a420a224 2 12 2 2万程x 2ax 1 -(ax a 1) 07、关于x的方程mx2nx 2 0两根相等,方程x24mx 3n 0的一个根是另一个根的3倍.求证: 方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.2 2 2 2 」2x 4ax 2 a x a 1 (2 a2)x2 4ax a23 016a2 4(2 a2)(a2 3)16a2 4(2 a2)(a2 3)5、当k取什么实数时,二次三项式2x2 2 ,(4k 1)x 2k 1可因式分解当2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 有两个实根时,原二次项式可因式分解2 2(4k 1)2 8( 2k2 1) 0 2x29 , 一,-时,二次三项式8(4 k 1)x 2k2 1可因式分解.方程x22ax 1 0有两个不等实根有两个不相等的实数根.m 2 n 4将m 2, n 4代入方程x 5 (k n)x (k m) 0得： x 2 (k 4)x (k 2) 0#： (k 4)2 4(k 2)k 2 8k 16 4k 8 k 2 4k 242(k 2)2202(k 2)2 0 (k 2)2 20 0方程 x 2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.25mx 3n 0的两根之比为 2 : 3,方程x 2nx 8m 0的两根相等(mnw0).求证：对的两根比为2:3设此方程两根为2a 和3a,那么:i52a 3a mI23 2a?3a -n2n m 2①mx 2 (n k 1)x k 1 0#： 2x 2 (4 k 1)x k 1 02(3 k)28( k 1) _ _2 一一9 6k k 8k 8 k 2 2k 152证实：方程2x 5mx 3n 0 将m 2, n 4代入方程证实：方程mx nx 2 0 两根相等m 0 2n 8m 0①方程 x 2 4mx 3n 0 一根是另一根的设方程一根为x 1 3x 1 x 1 ?3x 12n m将②代入①,得：4m 8m 0m(m 3 8) 0m 0 或 m 2 m 03倍x 1,另一根为3x 1,那么: 4m 3n2)8、方程2x 2方程x22nx 8m 0两根相等 2(k 1)2 4n232m 0 (k 1)2 08m8m 对于任意实数k,方程m(m3 8) 2mX (n k 1)x k 1 0m mn 0或m24恒有实数根.9、设X i, X2是方程2x24X0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值:⑴、(X i 1)(X21) 1 ⑵、一X1X2X2X1(31 —X1 X2,八 2 .(4)、x1 x1x2 2x1解: X1, X2是一元二次方程x2(3) >— X1X1X22X24X 3 0的两根2X1 2 X2 X1X2X 1 X2 2, X1X2(x1 x2)2 2x1x2X1X2⑴、〔X11)(X2 1)2 3(2)2 2 ( 2)3X1 X2x1 x214 3~~3227 (3)21 143(4)、X1 X1X2 2X11 1⑵、X1 x2X1(X1 X2 2)2 2⑴ X i X2 (2) X i X2 解：X1, X2是一元二次方程4X27X 3 0的两根7 3X i X2 — X X i X24 42 2⑴ X i X22(x i x2) 2x i x2(7)2 2 34 425i6(2)X i X2..(X i X2)2(X i X2)2 4X i X2 (3)1r x i 匹(4) X i X2(3) ,X i X2X i X27.3.3i 一2(4 ) X i X2(xix2 )(X i X2)2 4X i X20的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值: 第i4页共26页2~~3243x1?010、设方程4x27x 3 0的两根为X1, X2,不解方程,求以下各式的值ii、x1,x2是方程2x23x i解:Xi, X 2是一元二次方程 2 ( 9) 9 1612、解: 19 2x 23x 1 0的两根16X i X 2⑴(2 X i4x i x 24x i x 2实数s 、 19s 231 一,X iX 2一2 23)(2X 2 3) 6X 1 6(X 1 6X 2 9X 2)3 (2) Xi X 2X i X 2(Xi3X 1X 2X i X 2[(X iI)2X 22) X 2)2 2X 1X 2](1) 13t 分别满足方程 99s 1 0 99t t 2 0 1s 、1可看作是方程 t 19x 2 99x 1 0的两根 19s 2 99s1 0和且19st 4s t 4s s 一 t(SI)99 19 99t t 2cst 4s 10求代数式——t —— 的值.4?s4 19 99 19, s?1t 1995 1913、设: 3a 2 6a 11 3b 2 6b 11 0 且aw b,求a 4b 4的值.解: _ 2_3a 6a 11 0 3b 2 6b 11 0 2 2X 2(a b )2a 2b 2a、b 可看作是方程2_2_22[(a b) 2ab] 2a b3x 26x 11 0的两根[22 2 ( ?)]2 2 ( 4) 3 311 a b 2, ab31156 242 914 "Q - "-9"14、 a 2 1 a, b 2 1b ,且 awb,求(a — 1)(b —1)的值.2原方程可化为：x 2x 1 01 ( 1) 1 1, o1115、 m 2 m 4 0,-- n n解：m 2m 4 0x 2 x 4 0的两根1 1m, m —1, m ?一 —4nn n1 一代数式m —的值为 1.n3st 2s 3(2)———s-^. tst 1⑴、—p s1C 「3(s -) 2?s?- t t解：a 2 1 aa b 1, ab 1 b 2 1 b (a 1)(b 1) a 、b 可看作是方程 ab a b 1 x 2 1 x 的两根ab (a b) 116、 2s 2 4s 74t 2 0 , s, t 为实数,且stw1.求以下各式的值:27t 2 4t 2 03st 2s 3 ⑵ c 2s3s —— t2x 2 4x 7 0的两根3 ( 2) 2 ( |)0 , m, n 为实数,且m 1 ,求代数式m n的值m 、1可看作是方程 nst 1 ⑴一p;解：2s 2 4s 71 1 7s 2, s? 6 ( 7) 1t t 217、关于x的方程x2—(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;解：设方程两根为x「x2,那么k 3x1 x2k 1, x1x2k 22乂22(x1 x2) 2x1 x2 6 (k 1)2 2(k 2) 62(k 1)2 4(k 2)当k 3寸, 0,不符合题意,应舍去当k 3时, 0,符合题意k的值为3.k2918、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1) 一个根比另一个根大2; (2) 一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17解：设方程两根为％、x2,那么9 / 3、27一(一)一4 4 16x〔x2 3, x〔x2 m , 27当m 27时,160,符合题意9 4m⑴、当x〔x2 2时,1 5x1 2,x2 21,55m —(一)一2 2 4当m 5时, 0,符合题意4 m 一时,方程一根是另一根的笳. 16 (3)、当(X x2)2 17时,2(x1 x2) 4x1 x2 179 4m 17m 25时,方程一根比另一根4 2时, 0大2. 2时,方程两根差的平方是17.⑵、当x1 3x2时,9 3X i-, X 2 —4419、a,b,c 是三角形的三边长,且方程 (a 2+b?+c2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形证实：方程有两个相等实根[2(a b c)]2 12(a 2 b 2 c 2) 02222(a b c)23(a 2 b 2c 2)0 -2-2-2---2a2b2c2ab2ac 2bc22_22_22_(a 2b 22ab) (a 2c 22ac) (b 2c 22bc) 0 22 2(a b)2(a c)2 (b c)2ab0, ac0, b c 0求这个直角三角形的面积. 解：设方程两根为x 、x 2,那么x 〔 x 2 2a 1, x 〔x 2 4(a 1) x 1、x 2是斜边长为5的直角三角形的两直角边2 2x 1 x 225(x 1 x 2)2 2x 1x 2 25 (2a 1)2 8(a 1) 25a 2 3a 4 0x 1、x 2是三角形的两边 x 1 x 2 2a 1 0 且 x 1x 2 4(a 1) 0a ]且a 12a 1只能取a 41 1 S^1x 2 2 4(4 1)(a 4)(a 1) 0解：设方程两根为x 1、x 2,那么4m 2 1 0 或 m 2 2m 3 021、关于x 的一元二次方程3x 2(4 m 2 1)x m(m 2) 0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值.这个三角形是正三角形20、关于x 的方程x 2(2a 1)x 4(a 1) 0的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长,X1 X24 m23 一,X〔X21m1 m2p m33, m4 1X1 X24m2134m213 m(4m2[(4m21)]2 12m(m 2) X iX iX2X2X1X24m213m(m 2)34m21m(m 2)1)(m 2) 3(4m 1)(4m2 1)(m22m 3) 0, 1-当m1 一时,2当m i0,不符合题意,应舍去0,符合题意当m1当m i 1时,答：m的值为0,符合题意0,不符合题意,应舍去22、是否存在实数k ,使关于X的方程9X2 (4k 7)X 6k2 0的两个实根X1,X2,满足上-,如果存X2 2 在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由.解：假设存在.据题意 ,得:4k 7X1 X2 9 , X1 X2 2k2 3X1 3X2 2上3或x1 3X2 2 X2 2 少X1 3 3 当一一时,X1 -X2 X2 2 2 当上3时,X1 3X2 X2 2 24k 7 2(4k 7) x1x294k 7 2(4k 7) 2 2------- ? - k3 ------ 9 3(4k 7)2 9k20(4k 7 3k)(4k 7 3k) 0X 1 3(4 k 7) 2(4k 7)453(4k 7)02(4k 7)45 45 [(4k 2 27)]2 4 9?( 6k2)(4k 7)2 225k2当k 1时, 0,符合题意241k256k 49 当k 7时, 0,符合题意5624 241 49 存在k值,当此方程无实根; 方程两根满足X1 X223、关于x的方程2x2(m 1)x 0的两根满足关系式X1 X2 1,求m的值及两个根.解: 设方程两根为X1、x2,那么1或m 11X i X2 m 1——,X1X22m 1""2"2(m 1)]2 8(m 1)X 1 X2 1 1时,4 0, 此时方程两根为: X10, X2 1X 111时,4 0, 此时方程两根为: X12, X2 31?m 3. 4答：m 1时, 方程两根为: X10, X2 1；(m 1)(m 3) 8(m 1) m 11时,方程两根为: X1 2, X2 3. (m 1)(m 3 8) 024、3是关于X的方程4X2 4mxm24m 0的两个实根,并且满足( 1)(1) 2,求m的值.解: 是方程的两根m, m2 4m416m2一, 2、16(m 4m)1) ( 1)2时,0,不符合题意,应舍去2时,0,符合题意4m4m的值为2.m 0,根据以下条件,分别求出m 的值：1⑶有一根为零；(4)有一本为1; (5)两根的平万和为 ——.64(4)、方程有一根为18 (2m 1) m 0 m 7当m 7时, 0m 7时,方程有一根为11(5)、万程两根的平万和为一642 21x 〔 x 26421(x 1 x 2) 2x 1x 2 一64即 3 1)6 m A644 64625、一元二次方程 8x 2 (2m 1)x(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；解：设方程两根为x 1、x 2,那么2m 1 m x i x 2, x 〔 x 2882[(2m 1)]232 m(1)、两根互为倒数m 1 8m 8当m 8时,m 8寸,方程两根互为倒数(2)、两根互为相反数Q 0 81 m -2 1当m1时,21m 1时,万程两根互为相反数2(3)、方程有一根为0 m 0当m 0时, 0m 3m 0m(m 3) 0m 0或m 3当m 0 寸, 0当m 3时, 0,不符合题意,应舍去1 m 0时,万程两根的平万和为——6413 , ___ _ ______ _13时,两方程相同的根为：3a 1或 a 3_― 22[2(a 2)]4(a5)16a 36当a 1时,0,符合题意当a 3寸, 0,不符合题意,应舍去答：a 的值为1.28、方程x 2 bx c 0有两个不相等的正实根,两根之差等于解：设方程两根为x 1、x 2,那么x 〔 x 2 b, x#2 cx 2 3m 0时,方程有一根为026、方程x 2 mx 4 0和x 2 (m 2)x 16 0有一个相同的根,求 m 的值及这个相同的根.解：方程有一个相同的根2, 2 /x mx 4 x (m2)x 16(3m 13)(m 4) 0(m m 2)x 20这个相同的根为:10将x 工-代入x 21 mmx0,4时,两方程相同的根为(10 )2 10m1 m 1 m13 , ___ ______13时,两方程相同的根为：33；23m m 52当m 4时,两方程相同的根为：x27、关于x 的二次方程2(a 2)x a 2 5 0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值.解：设方程两根为x 1、x 2,那么2 Lx 〔 x 2 2(a 2), x 1x 2 a 52(x 1 x 2) x 〔x 224(a 2) a 2 52a 24a 3 0 (a 1)(a 3) 03,两根的平方和等于 29,求b 、c 的值.b22c 29②①-②得：c 10将c 10代入①,得: b 7b 3cb 3------ ?—— c2 2b24c 9 ①2 2x1 x229(x1 x2)2 2x1x229方程有两个不相等正实根x1 x2b 0, x1x2c 0b 7答：b 7, c 1029、一元二次方程(2k 3)x2 4kx 2k 5 0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当取何整数时,方程有两个整数根.解：方程有两个实根即:(4k)2 4(2k 3)(2k 5) 04k 1是腰长为7的等腰三角形的底边长4k 1 144k134当k 1时,原方程可化为：x24x 3 0其解为1和3,满足条件当k 2时,原方程可化为：x28x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去当k 3寸,原方程可化为：3x212x 1 0其解不是整数,不满足条件,应舍去答：当k 1时,原方程两根为整数.15 , 13—k -16 4整数k可能为1、2、330、x1,x2是关于x的方程x2px q 20的两根,x1 1, x2 1是关于x的方程x qx p 0的两根,求常数p、q的值.解：据题意,得:, x〔x2 px〔x2 q将p 1代入⑥,得：q 3答：p 1 , q 320的两个实数根；y b y 2是关于y 的万程y 5my 7 0的两个实数根,且x 1 y 1 2, x 2 解：据题意,得：2x 〔 x 2m )网 ny 〔 y 25m, y 〔 y 2 7x 1 y 1 2, X2 y 2 2 X y 〔 x 2 y 24m 7( 5m) 4m 25m 4 02 ,求m n 的值.(m 1)(m 4) 0 m 1或 m 4当m 1时,方程y 2m 4当m 4时,方程x 216 4n 0答：m 4, n 41 1 n?h2 21K.m 21n 22 24712x 1 1 x 2 1 q ③ p (2p 1) 2(X i 1)(x 2 1) p ④0,其中m n 分别是个等腰三角形的腰长和底边长Om 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边在等腰三角形中,h . m 2将①代入③,得：p q 2⑤将①、②代入④,得：31、x 1, x 2是关于x 的方程x 1 2 * 4 m 2x n5my 7 0无实根2m x n 0有两个实根42m n 0,2m n 012这个方程有两个不相等实根. n.'m2 - n2 48②\ 4(2)、设方程两根为x「X2,并设三角形的高为h 将①代入②,得：n 12x1 x282x1 x2642(x1 x2) 4x1x2 64 m 2 A(舍负)该三角形的周长为2m n 4.13 12px q 0时,小张看错了p,解得方程的根为1与一3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2.这个方程的根应该是什么将p 2, q 3代入原方程,得:x22x 3 0(x 3)( x 1) 0x1 3, x2 1答：这个方程的根是3和1.34、方程x2ax b 0的两根为x1,x2,且4x1 x? 0 ,又知根的判别式二25,求a, b的值. 解：据题意得x x1 x2 a ①4 4x1 x2 0 ②、x1x2b ③②-①,得：a _x1 —④3将④代入①,得：4a …x2—⑤4a29b 0 ⑥25a24b 25 ⑦⑥-⑦X 4,得：b 4将b 4代入⑥,得: a 3x1 x22m, x1x21 2-n4将n 12代入①,得:33、在解方程x2解：小张看错了pq 1 ( 3) 3小王看错了qP 4 ( 2)任息头数k,万程mx (n k 1)x k 1 0恒有实数根. 1 一,,一、一 s 、1可看作是方程 t1 o32、关于x 的万程x 2mx -n 4(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)假设方程两实根之差的绝对值是 8,等腰三角形的面积是 12,求这个三角形的周长.(1)、证实： 4m 2 n 24m 2 n 2 64(2m n)(2m n)m - n 16①4将④、⑤代入③,得: 答：a 3, b 435 x1,x 2 2次万程 x4 mx n 0 的两个实数根,2 x 1 2 x 2 (x 1 x 2)2 3 士 x 1 2-2 X2解: x1, x 2 是元二次方程 2m 4n5n 2mx n 0的两根, 将①代入②, 得:x i x 2 m, x 1x 2 5n 2 2n 2 x 1 2 x 2(x 1 x 2)2 (5n3)(n 1)2( x 2)22-2x 12?32x 1x 2 (x 1x 2)2 32n2-2x 2乂2〕2 〔泅〕2x 1x 2 2 1时,4n21 1021 10'3. 一 ...........3不符合题意,应舍去52(-m) 2n2 ? --------- 2 ------ 5n。

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题含答案

九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》测试题复习巩固1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0 D．x2＋2x＋3＝02．设一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是() A．x1＋x2＝2 B．x1＋x2＝－4C．x1x2＝－2 D．x1x2＝43．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b 的值分别是()A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1C．3=2a-，b＝－1 D．3=2a-，b＝14．若一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则该方程的另一个根是() A．3 B．－1C．－3 D．－25．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为()A．－7 B．－3 C．7 D．36．(2013山东莱芜)已知m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，则代数式223m n mn++的值为()A．9 B．±3 C．3 D．57．已知方程x2－4x－7＝0的根是x1和x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.8．若方程x2－2x＋a＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a＝__________.9．若x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x21＋3x1x2＋x22的值为__________．10．已知方程x2＋3x－1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2；(2)α3β＋αβ3；(3)βααβ+.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是()A．1 B．12 C．13 D．2512．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m 2－9)x ＋m －1＝0的两个实数根互为相反数，则m 的值是__________．13．设a ，b 是方程x 2＋x －2 015＝0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为__________．14．在解方程x 2＋px ＋q ＝0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2.这个方程正确的根应该是什么？15．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．16．阅读材料：已知p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，且pq ≠1，求1pq q +的值．解：由p 2－p －1＝0,1－q －q 2＝0，可知p ≠0，q ≠0.又因为pq ≠1，所以p ≠1q .所以1－q －q 2＝0可变形为2111=0q q ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以p 与1q 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根．故p ＋1q ＝1，即1pq q+＝1. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知2m 2－5m －1＝0，2152=0n n +-，且m ≠n ，求11m n+的值．参考答案复习巩固1．C 选项B 中的方程无实数根．本题易误选为B.2．A3．D 由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝b .因此－2a ＝3，b ＝1，即32a =-，b ＝1.故选D. 4．C 设方程的另一个根为x 1，由x 1·1＝－3，得x 1＝－3.5．D 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝2.故x 1＋x 2－x 1x 2＝5－2＝3. 6．C 根据一元二次方程的根与系数的关系，得m ＋n ＝22-，mn ＝1.故222232213m n mn m n mn ++=(+)+=(-)+=.7．4 －78．－1 －3 设方程的另一个根是x 1，则113=23=x x a +⎧⎨⎩，，解得x 1＝－1，a ＝－3. 9．7 x 12＋3x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝32＋(－2)＝7. 10．解：因为α，β是方程x 2＋3x －1＝0的两个实数根，所以α＋β＝－3，αβ＝－1.(1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)α3β＋αβ3＝αβ(α2＋β2)＝(－1)×11＝－11.(3)2211111βααβαβαβ++===--. 能力提升11．C 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m －1，则(x 1－x 2)2＝2212x x +－2x 1x 2＝7－2(2m －1)＝9－4m ；又因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2－4(2m－1)，所以9－4m＝m2－8m＋4，解得m1＝5，m2＝－1.当m＝5时，Δ＜0，故m＝－1.此时(x1－x2)2＝9－4×(－1)＝13.12．－3由根与系数的关系，得－(m2－9)＝0，解得m＝±3.但当m＝3时，原方程无实根，故m＝－3.13．2 014因为a，b是方程x2＋x－2 015＝0的两个不相等的实数根，故由根与系数的关系可得a＋b＝－1①，由根的定义，得a2＋a－2 015＝0，即a2＋a＝2 015②.再由①＋②得a2＋2a＋b＝2 014.14．解：由题意，得1×(－3)＝q,4＋(－2)＝－p.从而可得p＝－2，q＝－3.因此原方程为x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1.故这个方程正确的根为3与－1.15．解：(1)依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得12 k≤.(2)依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为12k≤，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.因为12k≤，所以k＝－3.综合①②可得k＝－3.16．解：由2m 2－5m －1＝0知m ≠0. 因为m ≠n ，所以11m n ≠. 所以21520m m +-=. 根据21520m m +-=与21520n n +-=的特征，可知1m 与1n 是方程x 2＋5x －2＝0的两个不相等的实数根．所以根据根与系数的关系，得115m n+=-.。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4（附答案详解）1．若一元二次方程x 2+2x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≤12B ．m ＞1C ．m≤1D ．m ＜12．下列关于一元二次方程x 2+bx +c ＝0的四个命题①当c ＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；②当c≠0时，若p 是方程x 2+bx +c ＝0的一个根，则1p是方程cx 2+bx +1＝0的一个根； ③若c ＜0，则一定存在两个实数m ＜n ，使得m 2+mb +c ＜0＜n 2+nb +c ；④若p ，q 是方程的两个实数根，则p ﹣q其中是假命题的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④3．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab 的值为（）A ．2018B ．-2018C ．2020D ．-20204．若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则()()12111x x x ++-的值是（）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2 5．已知关于x 的一元二次方程2304x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( )A ．-1B ．0C ．2D ．16．已知α，β是一元二次方程2x 4x 30--=的两实数根，则代数式()()α3β3--的值是（）A ．7B ．1C ．5D ．6-7．已知一元二次方程2()0a x m n ++=（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程2(2)0a x m n +-+=（a≠0）的两根分别为（）A ．1,5B ．-1,3C ．-3,1D ．-1,58．若关于x 的方程x 2+（a 2﹣1）x +a ＝0的两根互为相反数，则a 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．±19．若x 1、x 2是方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1+x 2＝（）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣1D ．210．已知一元二次方程22410x x +-=的两个根为1x ，2x ，且12x x <，下列结论正确的是（）A ．122x x +=B ．121x x =-C ．12x x <D ．211122x x += 11．关于x 的方程x 2﹣5x+p 2﹣2p+5＝0的一个根为1，则实数p 的值是_____，另一根为_____12．已知一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1x 2的值为_____． 13．关于x 的方程kx 2+3x -1=0有实数根，则k 的取值范围是__________.14．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是______.15．若x 1=﹣3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根，则x 1+x 2=________ ． 16．方程2230x ax -+=有一个根是1，则另一根为______，a 的值是______.17．阅读材料：如果a ，b 分别是一元二次方程210x x +-=的两个实数根，则有210a a +-=，210b b +-=；创新应用：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222008n mn m -++的值是_______ ．18．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2a ＝0的一个根是3，则它的另一根是_____． 19．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）的值_____．20．关于x 的一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____． 21．已知关于x 的一元二次方程2x 2x m 10-+-=()1当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？()2若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；()3设1x ，2x 是这个方程的两个实数根，且2212121x x x x -=+，求m 的值．22．己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.23．已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若123x x +=，求k 的值及方程的根．24．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x . （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值；25．已知x 1，x 2是一元二次方程kx 2﹣2kx +k +1＝0的两个实数根．（1）若x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2，求出此时k 的值；（2）是否存在k 的整数值，使得1221x x x x +的值为整数，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．26．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值27．已知关于x 的方程x 2+ax +a -2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．28．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2 ＋ 1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足221215x x +=，求实数m 的值．29．已知关于的一元二次方程: 2(5)40x k x k +-+-=;(1)求证:无论k 为何值，方程总有实数根;(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值.30．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.参考答案1．B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4-4m ＜0，解之即可得出结论．【详解】∵方程x 2+2x+m=0没有实数根，∴△=22-4m=4-4m ＜0，解得：m ＞1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．【详解】当c ＝0，b≠0时，△＝b 2＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，①是真命题；∵p 是方程x 2+bx+c ＝0的一个根，∴p 2+bp+c ＝0，∴1+b p +2c p＝0， ∴1p是方程cx 2+bx+1＝0的一个根，②是真命题；当c ＜0时，抛物线y ＝x 2+bx+c 开口向上，与y 轴交于负半轴，则当﹣2b ＜m ＜0＜n 时，m 2+mb+c ＜0＜n 2+nb+c ，③是真命题； p+q ＝﹣b ，pq ＝c ，（p ﹣q ）2＝（p+q ）2﹣4pq ＝b 2﹣4c ，则|p ﹣q|④是假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【解析】【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-1，ab=-2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019，所以a+b+ab=-1-2019=-2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=. 4．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得121x x =+，122x x =-，所以()()12111x x x ++-=12121x x x x ++-11(2)4=+--=．故选：A ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.5．D【分析】根据根的判别式即可求出a 的范围．【详解】由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a +34）＞0，解得：a ＞12故满足条件的最小整数a 的值是1，故选D ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.6．D【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝4，αβ＝﹣3，再把α﹣3）（β﹣3）展开，变形为αβ﹣3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：α+β＝4，αβ＝﹣3，所以α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3（α+β）+9＝﹣3﹣3×4+9＝﹣6．故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 7．B【解析】【分析】利用换元法令2y x =-，可得到y 的值，即可算出x 的值，即方程()220a x m n +-+=（a≠0）的两根.记2y x =-，则()220a x m n +-+=即()20a y m n ++=的两根为-3，1故2x y =+=-1，3.故选B.【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程.8．B【解析】【分析】利用根与系数的关系得到−（a 2−1）＝0，解方程得到a ＝1或a ＝−1，然后利用方程有无实数解确定a 的值．【详解】解：根据题意得﹣（a 2﹣1）＝0，解得a ＝1或a ＝﹣1，而a ＝1时，原方程化为x 2+1＝0，方程没有实数解，所以a 的值为﹣1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ． 9．D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系得出，x 1+x 2=-b a，代入数值即可. 【详解】∵x 1,x 2是方程2x 2−4x−1=0的两个根，x 1+x 2=2,故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系.【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．【详解】根据题意得x1+x2=-42=-2，x1x2=-12，所以A、B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+4x-1=0的根，∴2x12+4x1-1=0，∴x12+2x1=12，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．11．1 4【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】解：∵x＝1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得1﹣5+p2﹣2p+5＝0，解此方程得到p＝1．设方程的另一根为α，∴1+α＝5，∴α＝4，∴另一根为4，故答案为1，4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程．12．﹣1．【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，∴x1•x2＝11-＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的一元二次方程根与系数的关系，比较简单，需要熟练掌握韦达定理.13．k≥9 4 -【解析】【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k ＝0；当方程是一元二次方程时，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②△＝b2−4ac≥0．【详解】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根；当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0，解得：k≥94 -，综上可知，当k≥94-时，方程有实数根；故答案为：k≥9 4 -.【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．14．9m>【解析】【分析】因二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，所以26x x m -+=0无实数根，据此求解即可. 【详解】∵二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式， ∴26x x m -+=0无实数根， ∴∆=36-4m<0, ∴9m >. 故答案为：9m >. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0. 15．﹣2 【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x 1• x 2 = -3，再解一次方程求出x 2，进而求出x 1+x 2的值．【详解】解：∵x 1=-3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根， ∴x 1•x 2=-3， ∴x 2=1，∴x 1+ x 2=-3+1=-2，故本题答案为-2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根与系数的关系，此题难度不大． 16．3， 2. 【解析】【分析】设方程的另一根为x 2，根据根与系数的关系得到−1•x 2＝3，求出x 2，再根据1＋x 2＝2a ，得出1＋3＝2a ，再解方程即可．【详解】解：设方程的另一根为x 2，根据题意得1•x 2＝3，则x 2＝3； ∵1＋x 2＝2a ， ∴1＋3＝2a ， ∴a ＝2；故答案为3，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−ba，x 1x 2＝c a． 17．2019 【解析】【分析】由题意，m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，则可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，然后可利用根与系数的关系求出代数式的值. 【详解】由题意，可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，则1m n +=，3=-mn ，所以原式=()2322008+-++n mn m =2622008+-++n mn m =()22014+-+m n mn =()2132014⨯--+ =2019 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根是本题的关键.18．6．【解析】【分析】把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得出9+3a﹣2a＝0，求出a＝﹣9，方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，得出b+3＝9，求出即可．【详解】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得：9+3a﹣2a＝0，解得：a＝﹣9，即方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，则b+3＝9，解得：b＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出a的值和得出b+3＝9．19．1．【解析】【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2017α＝﹣1、β2+2017β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）转化为αβ代入数据即可得出结论．【详解】∵α、β是方程x2+2017x+1＝0的两根，∴α2+2017α＝﹣1，β2+2017β＝﹣1，αβ＝1，∴（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）＝αβ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得到两根之积的值.20．﹣5．【分析】根据根与系数的关系求解即可. 【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣5；故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 21．（1）m ＜2；（2）m ＞1；（3）m=4．【解析】【分析】（1）令∆>0列式求解即可；（2）令x 1x 2＞0，结合（1）的结论求解即可；（3）用含m 的式子表示出x 1x 2与x 12+x 22的值，把所给代数式变形为1+x 1x 2=(x 1+x 2)2，代入x 1x 2与x 12+x 22的值即可求出m 的值. 【详解】解：（1）∵△=（-2）2-4（m-1）=-4m+8＞0， ∴m ＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是这个方程的两个实根，则x 1＞0，x 2＞0， ∴x 1x 2=m-1＞0， ∴m ＞1，∴方程的两根都是正数，m 的取值范围是：1＜m≤2；（3）∵x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1， ∴1-x 1x 2=x 12+x 22， ∴1+x 1x 2=(x 1+x 2)2， ∴1+m-1=22， ∴m=4．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.22．有两个不相等的实数根. 【解析】【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=-，即可判断该方程根的情况.【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根 ∴240b ac ∆=-< ∴2241(1)0a -⨯⨯-+< 解得：0a <关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=- ∵0a < ∴(4)0a a ->∴关于x 的方程20x ax a ++=有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键. 23．（1）34k >；（2）11x =，22x = 【解析】【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k 的不等式，解不等式即可求(2)由根与系数的关系结合已知可求得k 的值，进而可求得原方程的根. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根， ∴△>0，即[]()22(21)4110k k -+-⨯⨯+>，整理得，430k ->，解得：34k >，故实数k 的取值范围为34k >； (2)∵方程的两个根分别为12x x 、， ∴12213x x k +=+=，解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=， ∴11x =，22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 24．（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)；【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1 解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1) 解得k 1＝1，k 2＝－3 ∵12k ≤∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3 【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式. 25．（1）k ＝﹣3；（2）存在，k ＝0，﹣2. 【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+，代入代数式解方程即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k +，求得1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝11k k -+于是得到结论．【详解】（1）根据题意得k ≠0且△＝（﹣2k ）2﹣4k （k +1）≥0，解得k ≤0； ∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∵x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2， ∴2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝8﹣9(1)k k+＝2，∴k ＝﹣3；（2）存在，理由：∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∴1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝2×11k k -+的为整数， ∴k ＝0，﹣2时，1221x x x x +的值为整数．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 26．a=-335. 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=-(3a-1)，x 1•x 2=2a 2-1，根据(3x 1- x 2)(x 1-3 x 2)=-80，可得关于a 的方程，即可求出a 的值，利用判别式检验即可得答案. 【详解】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=ca=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80， ∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80， ∴5a 2+18a-99=0， ∴a=3或-335，当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a=-335【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法27．（1）a＝12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将x=1带入方程中即可求出a的值（2）两个不相等的实根，用判别式求出a的值即可. 【详解】解：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，得1＋a＋a－2＝0.解得a＝1 2(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．【点睛】此题重点考察学生对一元二次方程的解的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.28．（1）m≥34；（2）m=2.【解析】【分析】（1）令△≥0即可求出m的取值范围；（2）将x12+x22=15转化为（x1+x2）2-2x1x2=15，再代入计算即可解答．【详解】解：（1）由题意有△=（2m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥34．即实数m的取值范围是m≥34．（2）由x 12+x 22=15得（x 1+x 2）2-2x 1x 2=15， ∵x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m 2+1， ∴[-（2m+1）]2-2（m 2+1）=15，即m 2+2m-8=0，解得m=-4或m=2． ∵m≥34， ∴m=2．故实数m 的值为2．【点睛】本题考查根的判别式与根与系数的关系，熟悉完全平方公式是解题的关键． 29．（1）详见解析；（2）2k =，21x = 【解析】【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（k ﹣3）2≥0，从而证出无论k 取任何值，方程总有实数根．（2）先把x ＝2代入原方程，求出k 的值，再解这个方程求出方程的另一个根．【详解】(1)证明:(方法一)222(5)4(4)69(3)0k k k k k ∆=---=-+=-Q …. ∴无论k 为何值时，方程总有实数根.(方法二)将1x =代人方程，等式成立，即1x =是原方程的解，因此，无论k 为何值时，方程总有实数根， (2)把2x =代人方程解得2k =，解方程2320x x -+=得21x = 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解.. 【解析】【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m >又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.。

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精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习
一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题
1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2B．1C．－2D．－1
2
3
4.p，q 5．)
6.2的值为(
A．－1B．9C．23D．27
7.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )
A．x2＋3x－2＝0B．x2＋3x＋2＝0
C．x2－3x－2＝0D．x2－3x＋2＝0
8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－
6，则a的值为( )
A．－10B．4C．－4D．10
9.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )
A．－3B．5C．5或－3D．－5或3
10.2
x1x2
11.
12.＋n＝
13.
14.
15.
16.
17.
(1)求m的取值范围；
(2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．
18.关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若
不存在，说明理由．
19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1)x2＋2x＋1＝0;
(2)3x2－2x－1＝0；
(3)2x2＋3＝7x2＋x;
2
20.
(1)
(2)
21.
(1)
(2)
10.
11.
13.10
14.10－400
15.m>1/2
16.x2－10x＋9＝0
17.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4
≥0，解得：m≤2(2)∵x1＋x2＝2，x1·x2＝m－1，x12＋x22＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝6x1·x2，即4＝8(m－1)，解得：m＝.∵m＝＜2，∴m的值为
18.解：(1)由题意可得Δ＝(k＋2)2－4k×＞0，∴4k＋4＞0，∴k＞－1且k≠0(2)∵＋＝0，∴＝0，∴x1＋x2＝0，∴－＝0，∴k＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k使两个实数根的倒数和等于0
19.
(2)x
(3)x
(4)x
20.)；当x1
21.a≥0，∵a4＋x2.∴x1
＝
3，－6。

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