数值分析1误差及有效数字

次： ， sin x x x3 x5 x7
cos x 1 x2 x4
3! 5! 7!
2! 4!
(4). 舍入误差（计算结果中存在数据无限位，
如Pi，无理数→有理数，）
整个误差来源可做图表示:
总结：误差是不可避免的，应尽量减少误差， 提高精度（如选择好的计算方法）
1.2.2绝对误差和绝对误差限
❖ 真实值与观察、测量或计算的值之间存在差 异，其差称为误差。
❖ 结合实际问题求解，误差来源可分为： (1). 模型误差（实际问题→数学问题），
如抽象化、忽略次要因素等. (2). 观测误差（数学问题中的数据初始值观察
测量时产生）
(3). 截断误差（计算过程中存在的一些无限计
算），如无穷级数求和（无限次→有限
ex1 x2 ex1 ex2
ex1 x2 x2 ex1 x1 ex2 （避免绝对值很大的数为乘数）
e
x1 x2
1 x2
ex1
x1 x2 2
ex2 （避免
x2
为很小的数为除数）
er x1
x2
x1
x1 x2
er x1
x2 x1 x2
er x2
er x1
x2
第一章 绪论 1.1数值分析(计算方法)介绍：
数值分析：(Numerical Analysis) 研究各类数学问题求解的数值计算及相
关理论分析。 随着计算机的产生和发展，数值分析越
来越多地研究如何借助于计算机求解相关问 题。 计算方法：(Computational Method)
随着计算机产生和发展而建立的一个重 要数学分支，是研究建立计算机解决各种数 学问题的数值计算及相关理论分析。
1.2.3相对误差和相对误差限
为什么引入？
因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的 物体，其绝对误差限都为0.5㎝，但测量精度 分别为1/100和1/1000，所以为了较好反应测 量精确度，引入相对误差。
定义：x* 为准确值，x 为近似值，则
er
x* x x*
e x*
分析：
(1). er 可正可负
(2).
er
1
x x*
1
(3). er 无法知道，因为 x* 不知道，
也可表示为 er
er
x* x
x
e x
er
和
er
之间关系为：er
er
er 2 1 er
er 2 1 er
（可作为习题）
因为 er 无法求出，所以通常考虑相对误差限
若 | er | r 或 | er | r , 则称 r 为相对误差限。
主要内容：
（1）数值计算：非线性方程求根，（非）线 性方程组求解，插值，逼近（最小二乘拟 合），数值微分（积分），常微分方程，矩 阵特征值求解，偏微分方程数值解,……
（2）理论分析：误差分析，计算过程的收敛 性、稳定性（数学角度上），算法的计算时 间复杂度，存储容量大小（计算机角度上）
特点 :
❖ 具有数学的抽象性和逻辑严密性 ❖ 又具有广泛的应用性和高度的技术性（与计
x2
x2* x2
f
x1,
x1
x2
e x1
f
x1, , x2 x2
e x2
再考虑相对误差：
er y
ey
y
f x1, x2
x1
x1 y
e1 x1
f x1, x2
x2x2Βιβλιοθήκη ye2 x2fx1,
x1
x2
x1 y
er
x1
f
x1, x2
x2
x2 y
er
x2
根据以上两公式，可得到两数相加、减、乘、除 的误差传播：
算机结合密切的一门课程） ❖ 使用计算机进行数值问题求解是主要研究对
象。
如何学习这门课？
❖ 这门课的学习意义，数值计算的重要性; ❖ 如何上这门课（教材）, 学习方法; ❖ 上课形式（授课、上机、大型实验）; ❖ 成绩评定（平时、实验、期中、期末）.
1.2误差基本概念 1.2.1误差定义及来源 (Error)
限为末位的
1 2
个单位，则有效数字为n。
例：数0.00234711，取五位有效数字， 为0.0023471，误差限为 1 107
2
例： =1.732050808
若 x =1.7321， 则有5位有效数字，因为误差限＜ 1 104
2
但若 x =1.7320，
则只有4位有效数字，因为误差限＞
1 104 2
令 x1* x1 h, x2* x2 k 利用二元函数一阶泰勒展开公式
f x1*, x2* f x1 h, x2 k f x1, x2 h fx1 x1, x2 k fx2 x1, x2
所以：
e y f x1, x2 x1
x1* x1
f x1, x2
定义：设x*为准确值，x 是近似值 , e x*x 为绝对误差 分析：
①e可正可负（并不因为是绝对误差，就以为是正值) ②e值实际上无法知道, x* 不知道，
但能知道误差的某个范围（即误差限）
例：毫米刻度的尺子，正常情况下误差不超过
0.5mm.
定义：若
，则 e x *x
称为绝对误差限，
为正数，有: x*x , x
x1
x1 x2
er x1
x2 x1 x2
er x2
（避免两相近数相减运算)
er x1 x2 er x1 er x2
er
x1 x2
er
x1
er
x2
1.3 机器数系.
(略.主要防止计算机处理过程中的数字溢出和含入误差)
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p 其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分； β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.2.5误差传播影响
计算过程中（如四则运算）的初始数据误差会导致函 数值误差.
采用二元函数 y f x1, x2 泰勒级数展开分析误差传播.
设 x1* , x2* 为准确值，y 准确值为 y* f x1*, x2*
x1, x2 为近似值，y 近似值为 y f x1, x2
先考虑绝对误差： ey y* y f x1*, x2* f x1, x2
1.2.4 有效数字
当 x* 有很多位数表示时，可按四舍五入取前几位。
有效数字的位数确定.
定义：如果近似值 x 的误差限是其末位上的半个单位， 且该位直到 的第x 一个非零数字共有n位，则 有nx 位 有效数字。
具体计算：对 x a1a2L at ，从左往右数，从第一个非
零数字开始，直到最右面的数共有n个，且其误差