2010年数学建模B题(储油罐问题)

无变位出油：观察无变位进油与无变位出油的实验采样时间，不难发现它是先进油，进油完成后，过了一个很短的时间（约1小时），又立马开始出油，我们认为这之间的时间间隔内，油面高度，与罐内油的体积不变，仍保持在无变位进油结束时的状态。但理论公式还是上面推导出来的那个 函数。
为了直观看出此模型与实际的吻合情况，我们利用Matlab的强大的数据可视化功能，分别绘制了如下体积-液高（进油/出油）关系图
关键词：祖暅原理;截面转化;等效变换;虚拟体积;体积网格化
一问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
4因为油浮子，进出口管都是有一定体积的，我们利用积分法求油的体积的时候是没有考虑的，如果考虑比较复杂，我们将其忽略不计，最后进行修正。
5由于油罐可看作是一刚体，所以其形状不发生改变。
四 符号说明
在没有标明情况下，长度单位默认为（ ），体积单位默认为立方米（ ），角度单位默认为弧度（rad）
………………油面高度测量值
利用祖暅原理计算无变位进油,
描绘出油罐的侧面如右图所示:
为了方便表示，不妨假定油面处在如图所示的高度。
在图中作出一个半径为 的圆，它的圆心与椭圆的中心重合。这样无论油面在哪儿，由祖暅原理，油面在圆上所截的长度与在椭圆上所截的长度都等于 ，即油面在圆形里截得的面积 与在椭圆里截得的面积 之比例也是 。由这一比例关系，就可用计算相对简单的油面与圆形截出的面积来表出油面与椭圆面截得的面积（图中蓝色区域）。
问题二
由于地基的变化从而引起油罐倾斜而使原来的“油位计量管理系统”对倾斜后的油体积的测量不在适合。因而，我们利用已知形状的储油罐对倾斜后测量标油计所测的实际数据测量储油罐变位即纵向倾斜角度 和横向倾斜角度 同时变化情况同油标记的计量h与油罐体积 的函数关系，并求出求出间隔为10cm罐容表标定体积值。
. 区域Ⅱ（即 ），由图像 段与前一分段 在拐点 处不相交，只与其延长线相交，交点为 ，且不经过圆点。还应强调的是，点 的纵坐标不等于 ，通过验证，点 的纵坐标 。通过计算直线 的方程的可以把 表出为：
（这里 ）
同上，再把 带入到1中导出的无位变卧式椭圆罐部分体积函数 中。从而即可得到现在我们需要的纵向位变卧式椭圆罐部分体积函数 。然后把本实例中已知的参数 带入上式可得出 。
2纵向位变卧式椭圆罐部分体积
a)曲线拟合，整体把握曲线规律
考虑到变位后体积公式不容易导出，我们先应用统计方法，进行实验数据点的多项式曲线拟合。然后类似于前面的做，利用Matlab绘制成的曲线图
拟合曲线近似为
b)近似计算
参考本实例中的纵位变角很小，满足《中华人民共和国国家计量检定规程JJG 266-1996》中规定的相关技术要求，可以采用近似计算的方法来定量得出 函数关系式。运用到的核心思想是利用近似计算公式，结合相应容积斜率表，将有位变卧式椭圆罐部分容积的计算转化成水平状态下其部分的容积计算，即可用无位变卧式椭圆罐部分容积的计算公式进行计算。
带入上式可得
在本实例中已知了 ，再代入上式，即得
从上式看出还有一个待定系数 ，我们拟通过实验实测的 数据，反解出一系列的 值，再利用统计学的方法，从而能很轻松地确定系数 。
但是通过对实测数据的分析，发现实测数据都是分布于区域Ⅱ内的（当然，这也是合情合理的，因为太低和太高的油位不易测量，也不符合相关安全规范）。所以在这里暂时没法求出函数关系式。我们将在区域Ⅱ内展开详细讨论，从区域Ⅱ的分析，能求出 。再回带到这里的表达式，即可表出这里的函数表达式。
（3）利用以上所得方程，带入 且 即可求出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
问题二
在实际生活中，由于土壤自然物理沉降，经加油站常会出现储油罐变位情况所以油罐的体积计算就显得尤为重要，因此如果能够建立油罐准确的罐容表，将大大方便生产生活。（如图）由于油所形成的形状不规则的几何体，因此我们可以采用体积积分分割油罐行成不规则体元，这样就可以通过解析几何与体积积分的方法计算不规则体积体积。但是，在实际计算中发现其积分过程过于复杂，通过重新假设寻找方法，发现如果对油罐一端进行有限延长，然后使用减去虚拟体积，就可以通过数学软件求的近似结果。（如图）对于球缺部分，我们在将其切割，切割一小块利用微元，利用Matlab符号运算工具箱，推导出变位油罐液面高 与体积 之间的关系，与实际测量数据拟合公式减差，求的体积微小差异量，进行误差分析，通过合理猜想判断误差来源，进而找到最优结果。
………………油面与圆形截得的面积（图2）
………………油面与椭圆里截得的面积（图2）
……体积-油高函数
………………纵变位后油液面的高端液高
………………纵变位后的低…………纵变位后的低端液高
五模型的建立与求解
1无位变卧式椭圆罐部分体积
设椭圆柱形储油罐的长为 米，油液面距离油罐的最低点距离为 米，侧截面椭圆的长半轴为 米，短半轴为 米。以椭圆的中心为坐标原点，长、短半轴所在的直线为 轴、 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系
我们拟通过实验实测的 数据，来确定系数 。
找 的算法是先求出 ，然后求得 对应的 是多少，这个 对应的 具体步骤为：
Step1把实测的 数据带入 函数内，解得若干个 值；
Step2把上面求得的第 个 值与第 个实测的液面高度 带入 的函数内，求得第 个测量的油的体积 ；
Step3先对 取绝对值，再对 求和，得到 ；
二问题分析
问题一
（1）由题意可知对于小椭圆型储油罐无变位情况我们只需要找出油标记的计量 与油与小椭圆型储油罐相交形成的油面的关系，再利用规则椭圆柱体的体积公式即可求出罐容与小椭圆型储油罐无变位的油标记的计量 的关系。
（2）对于小椭圆型储油罐变位情况即倾斜角 纵向变位（如图3），由于油面的高度不同，油面与油罐所形成的切面具有很大差别，同时油所形成的几何体并不规则，这就需要我们对其进行分割，利用积分求解，得出理论方程。同时利用Matlab对实测数据拟合得出拟合方程，再进行比较和修正。
对该函数求一阶导数
并描绘出体积函数 与其导函数的关系图（如右图所示）
从图中看出该曲线是挺符合实际的
首先曲线满足实际的增函数要求，其次从一阶导数看，通过它反映出来的体积函数的增长情况正好也符合实际的：先曾得快，到半短轴（即0.6m）时，
出现一个拐点，在此之后就虽然在增长但是会增长得越来越慢。
另外，从函数图像上还能看到一个跟实际情况吻合得最好的，就是对称性。由于实际的油罐有着优良的对称性，我们的在函数图像上也体现得十分显著，而且无论是原函数还是导函数，都能看到对称性。
计算油面与圆形截得的面积
扇形面积（注 是弧度制）： ；
三角形面积：
利用比例关系，计算油面与椭圆面截得的面积
综上，体积便很容易得到：
带入本实例中已知的数据，即把 , , 带入上式，并化简可得
此式即为理论上最简单，最理想化的无位变卧式椭圆罐部分体积函数
从这一函数表达式出发，可以进一步讨论
油罐总体积，即最大储油量
此时做出椭圆直油罐轴向切面的示意图如右边所示（已在图上标注出关键尺寸和相关假设的长度）由图3可知， 即为倾斜直油罐，纵变位角为 ，图中蓝色区域即为纵变位后，油的情况。
令纵变位后油液面的高端液高为 。实测出来的显示高度即为图上的 。等效成水平状态下后的油高为
用图3中所示的两条水平虚线把油罐划分为三个区域，对这三个区域展开讨论
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
问题一
考虑一种典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为平头的小椭圆型储油罐水平放置而无变位和倾斜（倾斜角 = ）时的情况进行分析得出小椭圆型储油罐的罐容与标油计的计量h同罐容 的函数关系，并作出它们的罐容表进行比较，同时求出间隔为1cm罐容表标定体积值。
三模型假设
1由于温度的变化影响油的体积变化较小，我们将其忽略不计。
2由于油对罐面具有一定的粘度，但是在实际情况中罐壁上的粘度与底座是不同的，并且它还受温度的影响，在这里我们将其忽略，进行简化。
3油罐倾斜时，在倾斜脚出有一定的体积用油标记是无法测到的，我们也将其简化，求出最大限度的体积看作该处的体积。
容易想到，罐内油的体积不会因为罐体的位变而发生变化，所以只要有一个高端液高 值就一定存在一个与之对应的等效无位变液高 值。以 为纵坐标，以 为横坐标描点[2]，发现：
当 时 与 的关系近似一条经过坐标原点 的直线；
当 时 与 的关系也是近似一条直线，如上图中的 线段；
当 时 与 的关系还是近似一条直线，而且由对称性可知这条直线与 段斜率一样。
Step4换一个 值，重复上面步骤，直到隶遍及所有的 ；
Step4找求和后的最小值所对应的 值；
Step5此时的 即为我们所求。
这样最终得到
. 区域Ⅲ（即 ），由前面分析的图像规律，即实际情况的对称性此时仍采用关系式 来求等效无位变液高。但此时应用下面的关系式变换：
低端液高 ；低端液面空高 ，再用 代替 ，则 ，然后仍然带入到1中导出的无位变卧式椭圆罐部分体积函数 中。从而即可得到现在我们需要的纵向位变卧式椭圆罐部分体积函数 ，然后再带入本实例中已知的参数 ,以及 中求得的参数 即能得到此时的纵位变卧式椭圆罐部分体积函数 。这里需要说明一点：以上的这些抽象函数由于表达式异常繁杂，不方便写在文章里赘述，我们直接运用Matlab的符号运算器进行求解。详情，请参考附录。至此，即可由两种方法来表出 函数：其一为多项式曲线拟合出来的；其二为近似计算得到的（分为三段的函数），同时把这两个方法计算得出的体积作图表示如下：