线性规划模型及其举例
线性规划基本模型
在多目标规划中，通常没有单一的最优解，而是有一组最优解的集合，称为帕累托最优解。多目标规划广泛应用 于资源分配、项目选择、投资决策等领域。求解多目标规划问题通常需要使用权重法、层次分析法、目标规划法 等特殊方法。
非线性规划
总结词
非线性规划是线性规划的一种扩展，它允许目标函数和约束条件是非线性的。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
运输问题求解
货物运输
线性规划可以用于解决货物运输问题，通过优化运输路线和车辆调度，降低运输成本并 提高运输效率。
车辆调度
线性规划可以用于车辆调度问题，合理安排车辆的运行路线和时间，以达到降低油耗、 减少车辆维护成本和提高运输可靠性的目标。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
线性规划问题具有明确的目标函数、 约束条件和决策变量，且这些变量之 间的关系是线性的。
线性规划的应用领域
生产计划
在制造业中，线性规划可以用于优化 生产计划，提高生产效率和降低成本。
物流优化
在物流和运输行业中，线性规划可以 用于优化运输路线和配载方案，降低 运输成本和提高运输效率。
金融投资
在金融领域，线性规划可以用于优化 投资组合，实现风险和收益的平衡。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
线性规划应用案例
线性规划应用案例
线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题
运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。运输成本如下表所示：
\begin{array}{ c c c c c c }
&X&Y&Z&供应量\\
A&10&12&8&100\\
B&6&8&7&200\\
C&9&10&11&300\\
需求量&150&175&125&\\
\end{array}
求解此问题的线性规划模型如下：
目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}
约束条件：
x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100
x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200
x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300
x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例
线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题
某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。每吨饲料的生产成本和含量如下：
| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） |
| -------- | ------------- | -------------- | -------------- |
| 大豆粉 | 200 | 45 | 10 |
| 面粉 | 100 | 10 | 2 |
| 玉米 | 150 | 8 | 5 |
| 鱼粉 | 300 | 60 | 0 |
| 鸡粉 | 280 | 50 | 2 |
| 牛粉 | 320 | 70 | 5 |
问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：
1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型
一、问题旳提出
在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1
该工厂每生产一件产
品I可获利2元，每生
产一件产品II可获利3
元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：
x1+2x2≤8
同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式
4x1≤16
4x2≤12
该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：
目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤8
4x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0
例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？
解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：
线性规划模型的四种示例
Ｂ
１ Ｏ
３
５ ０４
如 果 设 每 天 从 该 公 司 调 出 Ａ 型 卡 车 辆 ， Ｂ型 卡 车 Ｙ辆 ， 完 成 这 次 任 务 公 司 花 费 元 ，那 么 根 据 题 设 可 以 列 出成 本 的 目标
函 数 为 ＝３ ０ ４５ ４ ． ２ ｘ－ ０ ｙ －
０ ≤ ≤ ８．
２ ｘ ＋ ３ Ｆ≥ １ ４ ０＇ ８０
ｆ ＋１，≤ ３ ０ ９ ３ ｐ， ０ ，ｘ＋４ ｙ≤ ３ ０ ６，
【 ＋５ ≤ ２ ０ 乱 ｙ ０
．
这样 就把一 实 际 问题 转 化为 简单 的线 形 规划 问题 了．
≥ ０． ≥ ０． Ｙ
二 、 局 问 题 布 各种 作 物 在 不 同土 壤 上 单 位 面积 产 量 不 一 样 ， 如 何 合 理 安 排 各 种 作 物 在 各 种 土 壤 上 的 种 植 面 积 ， 达 到 因地 制 宜 ， 完 成 种 植 计 划 的前 提 下 ， 总 产 量 最 多 ？ 在 使 这 是作 物布 局 问题 ， 有类 似 的工 厂布 局 问题 ． 还
例 如 ： 生 产 队 要 在 Ｂ ， ， ， 这 ｎ块 地 上 ， 植 ＡＩ 某 曰： … 种 ，
一
，
ｍ ） ，
束 条 件
∑６ ６ １ ． ） ＝ ２．ｎ， ＝ ，
≥ ０ ｉ １ ２， ， ＝ ， … ｍ ： １， … ， ． ２， ｎ
线性规划应用举例
船只种类 拖轮 A型驳船 B型驳船
船只数 30 34 52
航线号 1 2
合同货运量 200 400
解：设 xj 为第 j 号类型船队的队数( j = 1,2,3,4 ), z 为总货运 成本, 则：
min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
x1 + x2 + 2x3 + x4≤ 30
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、 时间等），研究如何充分合理地使用它们，才能 使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统 筹安排，才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同 的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。
2. 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约 束；
3. 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确 是max 还是 min。
三、建模案例
例1 某工厂生产A、B两种产品，有关资料如下表所示：
工序
产品
A
工序1
2
工序2
3
单位利润
（百元）
4
B
C
销售
报废
工时限制
3
—
—
12
4
线性规划中的最优解问题
线性规划中的最优解问题
教案：线性规划中的最优解问题
引言：
线性规划是一种优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优决策问题。通过数学模型的构建和数学方法的运用，可以找到问题的最佳解。本教案将介绍线性规划中的最优解问题，并帮助学生理解和应用这一概念。
一、最优解问题的定义与举例
在线性规划中，最优解是指在满足一组约束条件下使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量取值。最优解问题的一般形式为：Maximize（或Minimize）目标函数
Subject to 约束条件
例如：假设一个公司生产两种产品A和产品B，在资源有限的情况下，公司想要最大化利润。产品A的利润为3万元/单位，产品B的利润为4万元/单位。产品A每单位需要消耗2小时的人工时间和1千克的原材料，产品B每单位需要消耗1小时的人工时间和2千克的原材料。公司每天的人工时间和原材料都有限，分别为8小时和10千克。现在我们要决定生产多少单位的产品A和产品B，以实现最大利润。
二、线性规划模型的建立
1.确定决策变量：
设产品A的产量为x单位，产品B的产量为y单位。
2.目标函数的建立：最大化利润
Maximize Z = 3x + 4y
3.约束条件的建立：
2x + y ≤ 8
x + 2y ≤ 10
（x，y ≥ 0）
三、图像表示与解的求解
我们可以将约束条件绘制在坐标系中，形成一个可行域。然后，通过目标函数的等高线绘制，找到该函数在可行域上的最大（或最小）值。
四、解的分析与最优解求解
经过分析，我们可以发现：
当x=2，y=3时，目标函数取得最大值 Z = 18 万元。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划问题及其数学模型
▪1.1 线性规划问题及其数学模型
例1、某工厂生产A 、B 两种产品，都需使用铜和铝两种金属材料，有关资料如下表所示。问如何确定A,B 产品的产量，使工厂获取的总利润最大？
原料A 产品单耗
（吨）B 产品单耗
（吨）原料可用量（吨）
铜2140铝
1330
单位产品的利润（万元）
34
x
1
x
2
利润Z=3x 1+ 4x 2
≤≤
解：设A 、B 两种产品的产量分别为x 1
、x 2
，
决策变量
则使工厂获取的总利润最大的数学模型如下：
数学模型
Max Z =3x 1
+ 4x
2
目标函数
2x 1
＋
x 2
≤ 40（铜）x 1
＋3x 2
≤ 30（铝）x 1
, x 2
≥ 0
约束条件
非负约束
例2 运输问题：甲乙两地分别有货物80t 和100t ，要运送到a ，b ，c 三个地方，数量分别是70，60和50t ，它们之间的单位运价（元/t ·km ）如下表，现在要制订出最佳运输方案，使总的运输费用达到最小。
收点
发点
a b c 发货量（t ）
甲(i=1)乙(i=2) 5 4 88 6 280100
收货量(t)
70 60 50
解：设由发点i 到收点j 的货运量为x ij ，i =1,2; j =1,2,3
Min Z = 5x 11+ 4x 12+ 8x 13+ 8 x 21+ 6x 22+2x 23
==‖‖‖
模型
解：设由发点i到收点j的货运量为x ij，i=1,2; j=1,2,3 Min Z= 5x11+ 4x12+ 8x13+ 8 x21+ 6x22+2x23
x11+ x12+ x13= 80
x21+ x22+x23= 100
线性规划建模举例
(五）分派问题
解：设 xij 为Bj分派给人Ai情况： Bj分派给Ai时，X i j 1 ； X 不分派给Ai时， ij 0i, j 1,2,, n 。 那末这一问题的数学模型为： 求一组变量 xij i, j 1,2,, n 的值， 使目标函数 s
n m
c x
最 多 截 取根数 n 2 =3 用料 6.3 余料 1.1 n 2=2 用料 4.2 余料 3.2 n 2=1 用料 2.1 余料 5.3
最 多 截 取根数 n 3=4 用料 6.0 余料 1.4
余料 N 够截规格 2 吗? (2.1 米 ) Y N
余料 够截规格 3 吗? (1.5 米) Y
n 2=2 用料 4.2 余料 0.3
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(一) 运输问题
(Ⅰ)产销平衡
即
(Ⅰ)产销平衡
(Ⅱ)产销不平衡
n
a
i 1
m
i
b
j 1
j
设xij表示由产地Ai运往销地Bj的物资 数(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)。 那么，上述运输问题的数学模型为： 求一组变量xij(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n) 的值, 使它满足
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(Ⅰ)产销平衡的模型
产地Ai发到各销地的发量 总和应等于ai的产量 约束条件
各产地发到销地Bj的发量 总和应等于bj的销量
线性规划模型及其举例
线性规划模型及其举例
摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。
关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解
在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍
如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式：
1()n
i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1)
若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为：
OPT. 1()n
j j j f x c x ==∑
ST. 1
n
ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2)
0,j x ≥ 1,2,,j n =…
（2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。
线性规划模型举例
如果这样表示会出现什么问题？（S1 不好处理，下面可以看到）
• 雇佣和解雇量之间的约束
– 当月零时工人人数=上月临时工人人数+变动量 – Si=xi-xi-1
• 关键在于变动量即前面的Si表示雇佣或解 雇数量是可正可负的，为了建立线性规划 模型，还需进一步处理 • 令Si=Si--Si+
– Si-是临时(增加)雇佣工人的数量，Si->=0 – Si+是临时解雇(减少)工人的数量, Si+>=0
模型 max Z c j x j aij x j bi xj 0
单件 产 消耗 品 资源
B1
B
资源 n 限制
A1 Am
单件利润
a11 a1n a m 1 a mn
C1 C n
b1 bm
2
（二）、生产组织与计划问题
一般描述：某工厂用机床A1,A2, … Am 加工B1,B2, … Bn 种零件。在一个周期内，各机床可能工作的机时（台时）， 工厂必须完成各种零件的数量、各机床加工每个零件的时间 （机时/个）和加工每个零件的成本（元/个）如表所示，问 如何安排各机床的生产任务，才能完成加工任务，又使总成 本最低？
6
例题1：
现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛 坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又 能使总的用料最少？ 下料 下料 需要 一 二 三 四 毛 件数 方式 根数 设变量为 x j 坯型号 第 j 种方法的所有 原料件数
二、线性规划模型实例
分析三个附加问题： （1）若用35元可买到1桶牛奶，是否要购买？若购买，每天应购买多少桶牛奶？ （2）若聘用临时工人可以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ （3）如果市场需求增加，A产品获利增加到30元/kg，问是否应改变生产计划？ （1）牛奶的影子价格为48元（>35元），应该购买。 （2）劳动时间的影子价格为2元，可以聘用工人，但工资不能超过2元/时。 （3）目标函数系数改变，此时 z 90x1 64x2 对目标函数系数变化的影响的讨论，称为对目标函数系数的敏感性分析。 Ranges in which the basis is unchanged: 系数在如下范围内变动时， 最优解保持不变 Objective Coefficient Ranges 目标函数系数的变化范围 Allowable Increase 24.00000 8.000000 Allowable Decrease 8.000000 16.00000
某种物质从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小或 利润最大的一类问题一般称为运输问题。
二、线性规划模型实例
例1. 奶制品厂用牛奶加工生产两种奶制品，甲车间生产A种奶制品，乙车间生产B种 奶制品，两车间的加工能力和产量以及两产品的获利情况见下表。假设工厂每天 只能得到50桶牛奶供应，每天正式工人总的劳动时间为480h.试制定生产计划， 使每天获利最大。
线性规划应用举例
5x23
x11 x12 x13
x21 x22 x23
10x33
20x43 y 0 100 150
x31 x32 x33
80
x41 x42 x43
200
xij
0
i 1,2,3,4 j 1,2,3
y0
例：某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。 农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如 劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元/人日， 秋冬季收入为1.8元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉
4
则计划期内生产的三种零件数为 cij xij ，j=1，2，3。 i 1
配套而成的产品数量y是三者的最小值，即
4
cij xij y ，j=1，2，3。
i 1
max z y
10 x11
15 x12
15x21 10x22
20x31 5x32
10x41 15x42
y0 y0
5 x13
运筹学
线性规划应用举例
建立LP模型步骤： （1）深入分析问题特点，适当选择决策变量； （2）确定优化对象——目标函数，它必须表 达为决策变量的线性函数； （3）分析制约变量的各种因素，用线性等 式或不等式把这些条件反映出来。 例18 利用长度为7.4米的角钢，要做成三边长 为2.9米，2.1米，1.5米的三角架100套。如何 下料，才能使消耗的原料最少？
线性规划应用举例
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 1 2 0 1 0 0 0 2 2 1 3 1 2 0 3 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 0 0.1 0.2 0.3 0.8
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们 建立如下的数学模型。 目标函数： Min 约束条件： s.t.
所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息 的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
运筹学线性规划案例
运筹学线性规划案例
线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？
首先，我们可以将该问题建立成数学模型。假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：
Max Z=2000x1+3000x2。
约束条件为：
2x1+3x2≤80。
3x1+2x2≤60。
x1≥0，x2≥0。
接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。
3x1+2x2+s2=60。
x1≥0，x2≥0。
然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。
通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。
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线性规划模型及其举例
摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。
关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解
在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍
如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式：
1()n
i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1)
若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为：
OPT. 1()n
j j j f x c x ==∑
ST. 1
n
ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2)
0,j x ≥ 1,2,,j n =…
（2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。
1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。
2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
应考虑是否符合实际，有没有可行性，因而要构造基于科学预测的综合性约束（或限定）条件。
3．目标函数（Objective Function,OF ）人们有目的活动，总是希望获得最满意的目标值，该目标值可以表达成决策变量的一个函数，即目标函数。根据需要，目标函数可以取极大化，极小化两种类型，即求最优解。
4．影子价格（Shadow Price ），用线性规划方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为资源的经济评价，表现为影子价格。 二．建模的基本步骤
1. 确定目标函数（按照模型所需要解决的问题，用数学函数来描述目标）
2. 确定决策变量（目标的实现与那些变量有关，这里有主要变量和次要变量，在建模的初期可以进考虑主要变量对目标的影响，随后可以逐步增加变量的个数）
3. 确定约束条件（这是优化模型建模过程中最重要，也是最难的，在很多情况下，是否能够得到最优解，最优解是否合理，都是取决于约束条件的建立）
4. 模型求解（使用数学工具或数学软件求解）
5. 结果分析（分析结果的合理性、稳定性、敏感程度等） 三．线性规划的一般模型
一般地，假设线性规划数学模型，有m 个约束，有n 个决策变量
j x （1,2,,j n =…），目标函数的变量系数用j c 表示，j c 称为价值系数。约束条件的变量系数用ij a 表
示，ij a 称为工艺系数。约束条件右端的常数用i b 表示，i b 称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成：
1
max(min)n
j j j z c x ==∑
S ．T. 1
(,)n
ij j i j a x b =≤≥=∑, 1,2,,i m =…
0j x ≥, 1,2,,j n =… 四．线性规划模型处理
1. 图解法
就是在平面直角坐标系上画出各个约束条件所容许变化的范围，通过图上作业法求到最优解和
目标函数极值。图解法只适用于求解两个决策变量的Lp （线性规划）问题。
2. 单纯形法
01 给定一般的Lp 问题：{min |,0}z cx Ax b x =≤≥。
02 建立Lp 问题的典式： {min |0;,0}N N B B N B N B z c c c x Nx Bx b x x =++=≥≥。
03 计算检验数：1N N B c c B N σ-=-。利用N σ进行基可行解B x 的最优性检验（i ）0N σ≤，
人工变量0R =，判定0B x ≥，0N x =为最优解，输出最优解*[,]T B N X x x =，*z 。 （ii ）N σ>0 (至少有一个k σ>0，且
k p >0)转下步。
04 选择进基变量:max{,k N N x σσ>0}=k σ，k 列的k x 为进基变量。
05 选择退基变量:min{,i
l i i ik
b x a θθ=
>0}=l θ,l 行的l B x x ≤退基。 06 确定主元lk a >0，根据主元进行行换基：01B B ∇
−−
→（∇意为初等变换）。 07利用新基B 对N ，b ，z 进行基变换：1N B N -=；1B b B b x -==，B B z c x =再转第三步。
3. 对偶单纯形法（为求影子价格作准备）
01 确定0B 为Lp 问题的一个初始基，其对应的变量为0x 。
02 判断
0x 的可行性：若0
10B
x B b -=≥，0N σ≤，则0x 是Lp 问题的最优解，这时计算停止，输出最优解。否则进行第03步。
03 若存在(1,2,
,)r r i m ∈=，使得1()r B b -<0，且在单纯形表中与1()r B b -对应行的非基变量
的系数'
rj a 全部非负，则Lp 问题无可行解；否则进行第04步。
04 确定基变量：令111()max{|()|,()l r r B b B b B b ---=<0}，对应的基变量为l x 为出基变量。
05 确定进基变量：计算'
'
min{
|j
k lj
lj
a a σθ=<0}='k
lk
a σ 。选择k θ对应的非基变量k x 为进基变量。l 行k 列交叉的元素'
lk
a 为主元。 06以'
lk a 为主元，按单纯形法换基迭代运算，得到一个新的基可行解，仍记为0x ，返回到02