2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数与推理证明 第3讲 合情推理与演绎推理创新教学案(含解析)新人
第3讲合情推理与演绎推理[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点)2．掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．3．弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．[考向预测]从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查．预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用．题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.1.推理(1)定义：根据一个或几个□01的判断来确定一个新的判断的□02思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为□03合情推理和□04演绎推理．2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行□01归纳、类比，然后提出□02猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有□03归纳推理和□04类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征名称归纳推理类比推理定义由某类事物的□05部分对象具有某些特征，推出该类事物的□06全部由两类对象具有□07某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理特征由□08部分到□09整体、由□10个别到□11一般的推理由□12特殊到□13特殊的推理3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到□01特殊的推理．(2)“三段论〞是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，那么有sin(x＋y)＝sin x＋sin y，此推理是正确的．()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)①a是三角形一边的长，h是该边上的高，那么三角形的面积是12ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，那么①②两个推理过程分别属于()A．类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理答案 A解析①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B.大前提不正确C．小前提不正确 D.全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．(3)数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B.a n＝4n－3C．a n＝n2 D.a n＝3n－1答案 C解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.(4)在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为1∶2，那么它们的体积比为________．答案1∶8解析V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.题型 一 类比推理1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，假设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，那么等比数列{nT n }的公比为( )A.q 2B.q 2C.qD.n q答案 C解析 ∵在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且可写成S n n ＝a 1＋(n －1)×d2.所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 次方的形式．类比可得nT n ＝b 1(q )n －1，其公比为q .2．(2019·揭阳模拟)结论：“在△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C 〞，假设把该结论推广到空间，那么有结论：“在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 与平面ACD ，平面BCD 所成的角为α，β〞，那么有( )A.BC sin α＝AD sin βB.AD sin α＝BC sin βC.S △BCD sin α＝S △ACD sin βD.S △ACD sin α＝S △BCD sin β 答案 C解析 分别过B ，A 作平面ACD 、平面BCD 的垂线，垂足分别为E ，F ，那么∠BAE ＝α，∠ABF ＝β，V B －ACD ＝13S △ACD ·BE ＝13S △ACD ·AB ·sin α，V A －BCD ＝13S △BCD ·AF ＝13S △BCD ·AB ·sin β，又13S △ACD ·AB ·sin α＝13S △BCD ·AB ·sin β，即S △BCD sin α＝S △ACD sin β.1．类比推理的四个角度和四个原那么 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1； ②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质； ③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式； ④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球． (2)四个原那么 ①长度类比面积； ②面积类比体积；③平面类比空间见举例说明2； ④和类比积，差类比商． 2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(2019·某某一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．答案x＋2y－z－4＝0解析将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点B(2,3,4)且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0.题型二归纳推理角度1与数字有关的归纳推理1．(2019·某某模拟)观察以下各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，那么1199×248的十位数是() A．2 B.4C．6 D.8答案 C解析 记11n ×248的十位数为a n ，经观察易得：a 0＝4，a 1＝2，a 2＝0，a 3＝8，a 4＝6，a 5＝4，a 6＝2，…，那么可归纳出{a n }的周期为5，那么a 99＝a 4＝6.角度2 与式子有关的归纳推理2．(2019·某某模拟)有以下一组不等式：13＋14>12，14＋15＋16>12，15＋16＋17＋18>12，16＋17＋18＋19＋110>12，…，根据这一规律，假设第19个不等式为1m ＋1m ＋1＋1m ＋2＋…＋1n >12，那么m ＋n ＝________.答案 61解析 因为由13＋14>12，14＋15＋16>12，15＋16＋17＋18>12，16＋17＋18＋19＋110>12，…，根据这一规律，那么第k 个不等式为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2>12，假设第19个不等式为1m ＋1m ＋1＋1m ＋2＋…＋1n >12，即m ＝k ＋2＝21，n ＝2k ＋2＝40，所以m ＝21，n ＝40，即m ＋n ＝61.角度3 与图形有关的归纳推理3．(2019·马某某模拟)毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如下图：其中三棱锥数依次为1,4,10，…，那么第20个三棱锥数为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫附：∑k ＝1nk 2＝12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)答案 1540解析 由棱锥数依次为1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15， 那么S 1＝1，S 2＝3，S 3＝6，S 4＝10，S 5＝15， S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝12(n 2＋n )， 那么T n ＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n＝12×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n 2＋n )， ＝12×[(12＋22＋32＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝112n (n ＋1)(2n ＋1)＋14n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)，∴T 20＝16×20×21×22＝1540.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．见举例说明2.②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．(2019·某某一模)对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂〞．仿此，52的“分裂〞中最大的数是________，假设m 3的“分裂〞中最小的数是211，那么m 的值为________．答案 9 15解析 根据所给的数据，不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n －1；在n 3中，所分解的最小数是n 2－n ＋1. 根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2－1＝9；假设m 3的“分裂〞中最小数是211，那么n 2－n ＋1＝211，解得n ＝15或－14(舍去)．2．(2019·某某省实验中学模拟)观察以下式子，ln 2>13，ln 3>13＋15，ln 4>13＋15＋17，….根据上述规律，第n 个不等式应为________．答案 ln (n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *) 解析 由ln 2>13，ln 3>13＋15，ln 4>13＋15＋17，…，归纳得到ln (n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．假设记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，那么a 2020＝________.答案32019－12解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标〞为(14,13)，同理可得第5行的“坐标〞为(41,40)，第6行的“坐标〞为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2020＝32019－12.题型 三 演绎推理1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B.乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案 A 解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．假设甲预测正确，那么乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；假设甲预测错误，那么甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，那么乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；假设甲、丙预测错误，那么可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．应选A.2．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的条件)1．推理案例问题比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索〞，找准突破点，从而使问题得到解决．见举例说明1.2．三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．见举例说明2.提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.1．(2019·某某平罗中学模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规那么：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________． 答案 丁解析 假设冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不符合题意；假设冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；假设冠军是丙，三个人判断都不正确，不符合题意；假设冠军是丁，只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期．证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝ －f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．组 基础关1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的选项是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B解析 对于A ，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B ，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C ，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D ，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．2．13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，假设13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，那么n ＝( )A ．8B.9 C ．10D.11答案 C解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22，因此，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝3025，那么n (n ＋1)2＝55，n ＝10或n ＝－11(舍去)．3．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B.5C.5217D.3 5 答案 B解析 利用类比的方法，在空间中，点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ′＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C2，所以点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝2＋8＋2＋31＋4＋4＝153＝5. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，那么r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，那么R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，那么球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，那么四面体的体积为V ＝V四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.应选C. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，试归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B.S n ＝2n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋1 D.S n ＝2n n ＋2答案 A解析 ∵S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1·S n －1，又S 1＝a 1＝1，那么S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2n n ＋1，应选A. 6．假设数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，那么数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，假设数列{}是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，那么d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．答案 n c 1c 2·…·解析 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n }是等差数列，那么当b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：假设数列{}是各项均为正数的等比数列，那么当d n ＝n c 1c 2·…·时，数列{d n }也是等比数列．7．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．〞乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．〞根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．答案 丙解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．8．点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，假设点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，那么类似地有______________成立．答案 sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22解析 由题意知，点A ，B 是函数y ＝a x 的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))，其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.组 能力关1．f (x )＝2x 2－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝ f n －1[f n －1(x )](n >1，n ∈N *)，假设f m (x )＝x 1－256x (m ∈N *)，那么m ＝( ) A ．9B.10 C ．11D.126答案 B 解析 由题意可得f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x ＝2×2x 2－x 2－2x 2－x＝x 1－x，同理可得，f 3(x )＝x 1－2x ，f 4(x )＝x 1－4x ，f 5(x )＝x 1－8x ，…，f n (x )＝x 1－2n －2x ，由f m (x )＝x 1－256x (m ∈N *)恒成立，可得2m －2＝256＝28，即有m －2＝8，即m ＝10.2．如图，平面上，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，那么有S △P AB S △PCD＝P A ·PB PC ·PD (其中S △P AB ，S △PCD 分别为△P AB ，△PCD 的面积)；空间中，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，点E ，F 为射线PL 上的两点，那么有V P －ABE V P －CDF＝________(其中V P －ABE ，V P －CDF 分别为四面体P －ABE ，P －CDF 的体积)．答案 P A ·PB ·PE PC ·PD ·PF 解析 设PM 与平面PDF 所成的角为α，那么A 到平面PDF 的距离h 1＝P A sin α，C 到平面PDF 的距离h 2＝PC sin α，∴V P －ABE ＝V A －PBE ＝13S △PBE ·h 1，V P －CDF ＝V C －PDF ＝13S △PDF ·h 2， ∴V P －ABE V P －CDF ＝13S △PBE ·h 113S △PDF ·h 2＝13PB ·PE ·P A sin α13PD ·PF ·PC sin α＝P A ·PB ·PE PC ·PD ·PF . 3．(2019·某某三模)在《九章算术》方田章“圆田术〞(X 徽注)中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞，注述中所用的剖圆术所表达的是一种无限与有限转化的思想比如在2＋ 2＋2＋…中“…〞即代表无限次重复，但原数却是个定数x ，这可以通过2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地可得到1＋132＋134＋…＋132n －2＋…＝________. 答案 98解析类比算式，1＋132＋134＋…＋132n－2＋…＝1＋132×⎩⎨⎧⎦⎥⎤1＋132×1＋132×(…).可令1＋132＋134＋…＋132n－2＋ (x)那么1＋132x＝x，解得x＝98.。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理课后作业理(2021年
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3 合情推理与演绎推理课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11。
3 合情推理与演绎推理[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名;观众乙猜测：3号选手不可能得第一名;观众丙猜测：1,2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案D解析若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确,与题意不符,故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名,故3号是第1名，则乙猜测错误,丁猜测正确．故选D。
2．已知a1＝3，a2＝6,且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2016＝( ）A．3 B．－3 C．6 D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3,a4＝－3,a5＝－6，a6＝－3，a7＝3,…，∴｛a n｝是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.故选B。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理
sin=2 2nn×1 n2×43(n+1)= .
4n(n 1) 3
命题角度二 与不等式有关的推理
典例3 (1)设n为正整数, f(n)=1+ 1 + 1 +…+ 1 ,计算得f(2)= 3 , f(4)>2, f(8)>
23
n
2
5 , f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为
根据三角形面积公式,可得
S= 1 (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
2
= 1 (kh1+2kh2+3kh3+4kh4)
2
= k (h1+2h2+3h3+4h4).
2
所以h1+2h2+3h3+4h4= 2S .
k
类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有
V=
1 3
(A )
A.47,48 B.47,49 C.49,50 D.50,49
答案 A 由图A知,5不与6、4相对, 由图B知,5不与1、3相对, 故5与2相对. 同理,6与1相对,3与4相对. 故柱体A和B的表面(不含地面)上的数字之和分别为47,48.
4.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4, 类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为
1∶8 .
答案 1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相似比的平 方.类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立 方,∴所求体积比为1∶8.
5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题 1分,每道题在A,B,C三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙 三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:
高考数学一轮复习 必考部分 第十一篇 复数 算法 推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理应用能力提升
第3节合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法题号归纳推理3,7,8,10,11,15类比推理2,4,6,9,13,14演绎推理1,5,121.(2016烟台模拟)命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但大前提错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b错误!未找到引用源。
=c+d错误!未找到引用源。
⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2016长沙校级二模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,以此类推,第5个等式为( D )(A)24×1×3×5×7=5×6×7×8(B)25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9(C)24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10(D)25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10解析:因为21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,所以第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10.故选D.4.(2016济南一模)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论( D )①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确.②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确.③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确.④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,a i∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01 111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C ) (A)11 010 (B)01 100 (C)10 111 (D)00 011解析:对于选项C,传输信息是10 111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10 110.故选C.6.已知等差数列{a n}中,有错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理课件文
解析：在四面体 A-BCD 中，任取一点 O， 连接 AO，DO，BO，CO 并延长分别交四 个面于点 E，F，G，H． 则OAEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH＝1． 证明如下：在四面体 O-BCD 与 ABCD 中， OAEE＝hhOA--BBCCDD＝1313SS△△BBCCDD··hhOA--BBCCDD＝VVOA--BBCCDD．
9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又
是正方形数的是( )
A．289
B．1 024
C．1 225
D．1 378
(2)已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)，经计算得 f(2)＝32，f(4)
＞2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞72．据此猜想一个一般性的结
2．(选修 1-2 P35A 组 T5 改编)在△ABC 中，不等式A1＋B1＋C1≥π9 成立；在凸四边形 ABCD 中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ≥21π6成立； 在凸五边形 ABCDE 中，不等式A1＋B1＋C1＋D1 ＋E1≥32π5成立，…， 依此类推，在凸 n 边形 A1A2…An 中，不等式A11＋A12＋…＋A1n ≥________成立．
【对点通关】 1．观察三角数阵，记第 n 行的第 m 个数为 a(n，m)，则下列关 系正确的是( )
1 11 121 1331 14641
… 1 10 45 … 45 10 1
A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1) B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m) C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m) D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1) 解析：选 A．观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩 上”两个数之和． 所以 a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．
高考数学(理)一轮复习文档 第十一章 复数、算法、推理与证明 第3讲 合情推理与演绎推理 Word版含答案
第3讲 合情推理与演绎推理)1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据． 2．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27B 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①和②B 由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．3.教材习题改编已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C 由a1＝1，a n＝a n－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16；所以a n＝n2.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．V1 V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.1∶8归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)与数字(数列)有关的等式的推理；(2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．(1)(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．(2)(2017·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．【解析】 (1)根据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n－3(n ∈N *)．【答案】 (1)43n (n ＋1) (2)3×2n －3(n ∈N *)归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．角度一 与数字(数列)有关的等式的推理 1．有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.1 051角度二 与不等式(式子)有关的推理2．(2017·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，…，依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥________成立．因为1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…，所以1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2（n －2）π(n ∈N *，n ≥3)．n 2（n －2）π(n ∈N *，n ≥3)角度三 与图形变化有关的推理3．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1D 我们考虑f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.类比推理如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 【解】 如题图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2. 类似地，在四面体P DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2A ＋cos 2B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(2017·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，b n＝na 1a 2…a n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)，则数列{b n }也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n （n －1）d 2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．演绎推理数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， 所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)．(大前提)又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 所以x 1＋x 2>0， (x 2－x 1)>0，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．)——例析归纳推理中的创新问题设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】 在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1， 所以b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，所以c 1<b 2<a 1<c 2<b 1. 在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，所以a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1， 所以c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时△A n B n C n 的面积最大．【答案】B(1)解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．(2)本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合，体现了新课标下的交汇创新思想．解决本题的关键有以下几点：①由条件a n ＋1＝a n ，确定三角形的一边为固定值；②由条件可推出b 1＋c 1＝b 2＋c 2＝b 3＋c 3＝2a 1，进而得出△A n B n C n 的周长为定值； ③利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3B 利用图形进行求解． 因为反弹时反射角等于入射角， 所以∠1＝∠2.又因为tan ∠1＝1－1313＝2，所以tan ∠2＝2.又tan ∠2＝HC CF ，所以HC ＝43，所以DG ＝16.从此以后，点P 的反射线必与EF 或FG 平行，由图可知，P 与正方形的边碰撞的次数为6.1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B (a ＋b )n≠a n＋b n(n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．3．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724 B ．76 C.1115D ．715A 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 017(x )＝( )A ．sin x ＋cos xB ．－sin x －cos xC ．sin x －cos xD ．－sin x ＋cos xA f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝sin x ＋cos x ，f 6(x )＝f ′5(x )＝cos x －sin x ，…，可知f n (x )是以4为周期的函数，因为2 017＝504×4＋1，所以f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ．故选A.5．(2017·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B ．5－12C.1＋52D ．1－52C 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378C 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225.7．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD. AE EB ＝S △ACD S △BCD8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________．因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22. f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0y b 2＝1. x 0x a 2－y 0y b 2＝1 10．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________．①今天是周六 ②今天是周四③A 车周三限行 ④C 车周五限行因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四．②11．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数y ＝f (x )(x ∈D )，对任意x ，y ，x ＋y 2∈D 均满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12，当且仅当x ＝y 时等号成立． (1)若定义在(0，＋∞)上的函数f (x )∈M ，试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2，求证：g (x )∈M .(1)对于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12，令x ＝3，y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4)． (2)证明：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－12＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12， 所以g (x )∈M .。
高考数学一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理课件 理
的推理，或者由个别事实概 另一类对象也具有这些特征的推理 括出__一_般__结__论____的推理
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由__部__分_(_b到ùfe_n)_整__体__(_zh、ěng由tǐ)
特点 _个__别____到_一__般____的推理
由__特__殊___到__特___殊___的推理
解：等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 bn 和 am，等差 数列中的 bn－am 可以类比等比数列中的abmn，等差数列中的bnn－ －amm可以
n－m 类比等比数列中的
abmn ，故
n－m bm＋n＝
bn am.
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考点三 演绎推理
在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝(－1)n·2an－2(n≥3，n ∈N*)，其前 n 项和为 Sn.
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3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5 ＋b5＝11，…，则 a10＋b10 等于( )
(A)28
(B)76
(C)123
(D)199
答案：C
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4．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对 角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径 r＝ a22＋b2(其 中 a，b 为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为 a， b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R＝________.
(1)求 a2n＋1 关于 n 的表达式； (2)观察 S1，S2，S3，S4，…Sn 在数列{Sn}的前 100 项中相等的项有 多少对．
一轮复习理科数学第十一篇 复数、算法、推理与证明(必修3、选修1-2) 第3节 合情推理与演绎推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 共性 联想,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出猜想的推理,它们得到的结论
不一定成立需要进一步证明
2.演绎推理 从 一般性的原理 出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称 为演绎推理,简言之,演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.“三段论”
平面几何与立体几何、等 差数列与等比数列
化过程是求解的关键.
【跟踪训练2】 若{an}是等差数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有(m-n)ap+
(n-p)am+(p-m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},m,n,p是互不相等
的正整数,有
.
解析:等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积,等差数列中(m-n)ap 类比等比数列
(A)大前提错误
(B)小前提错误
(C)推理形式错误
(D)结论正确
解析:(1)对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0 不一定是函数f(x) 的极值点,大前提错误,故选A.
(2)(2018·吉林百校联盟九月联考)甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只
有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被
OA1 + OB1 + OC1 =1,类比猜想:点 O 是空间四面体 V-BCD 内的任意一点,如图(2)所示, AA1 BB1 CC1
连接 VO,BO,CO,DO 并延长分别交面 BCD,VCD,VBD,VBC 于点 V1,B1,C1,D1,则有
.
解析:(2)利用类比推理,猜想应有 OV1 + OB1 + OC1 + OD1 =1. VV1 BB1 CC1 DD1 用“体积法”证明如下: OV1 + OB1 + OC1 + OD1 = VO BCD + VO VCD + VO VBD + VO VBC = VV BCD =1. VV1 BB1 CC1 DD1 VV BCD VB VCD VC VBD VD VBC VV BCD 答案:(2) OV1 + OB1 + OC1 + OD1 =1
2019年高考数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理夯基提能作业
2019年高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文1.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……,则52 017的末四位数字为( )A.3 125B.5 625C.0 625D.8 1252.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=( )A.28B.76C.123D.1994.给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij,如a43=(3,2),则a nm=( )A.(m,n-m+1)B.(m-1,n-m)C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m)5.(xx北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,下图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,……,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.则f(4)= , f(n)= .7.(xx北京朝阳一模)甲乙两人做游戏,游戏的规则如下:两人轮流从1(1必须报)开始连续报数,每人一次最少要报一个数,最多可以连续报7个数(如,一个人先报数“1,2”,则下一个人可以有“3”,“3,4”,…,“3,4,5,6,7,8,9”等七种报数方法),谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始,则甲要想获胜,第一次报的数应该是.8.(xx北京东城一模)已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30千米,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人,然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠千米.B组提升题组9.(xx北京朝阳期中)5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( )A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个10.(xx北京海淀一模)如图,在公路MN(图中粗线)两侧分别有A1,A2,…,A7七个工厂,各工厂与公路MN之间有小公路连接.现在需要在公路MN上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”,则下面结论中正确的是( )①车站的位置设在C点好于B点;②车站的位置设在B点与C点之间任意一点效果一样;③车站位置的设置与各段小公路的长短无关.A.①B.②C.①③D.②③11.(xx北京海淀一模)某生产基地有五台机器设备,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列描述正确的是( )工作机器效益值一二三四五甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D.获得的效益值总和为7812.(xx北京丰台一模)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是( )A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙13.(xx北京朝阳二模)“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”,规定每一项运动的前三名得分分别为a,b,c(a>b>c且a,b,c∈N*),选手最终得分为各项得分之和.已知甲最终得22分,乙和丙最终各得9分,且乙获得了马术比赛的第一名,则游泳比赛的第三名是( )A.甲B.乙C.丙D.乙和丙都有可能14.(xx北京朝阳一模)如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯,开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是( )A.只需要按开关A,C可以将四盏灯全部熄灭B.只需要按开关B,C可以将四盏灯全部熄灭C.按开关A,B,C可以将四盏灯全部熄灭D.按开关A,B,C无法将四盏灯全部熄灭15.(xx北京西城二模)在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影,则称A电影不亚于B电影.已知共有5部微电影参展,如果某部电影不亚于其他4部,那么就称此部电影为优秀影片.那么在这5部微电影中,最多可能有部优秀影片.答案精解精析A组基础题组1.A 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,……,可得59与55,510与56的末四位数字相同,……,由此可归纳出5m+4k与5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的末四位数字相同,又xx=4×503+5,所以52 017与55的末四位数字相同,故52 017的末四位数字为3 125,故选A.2.D 由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).选D.3.C 解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C.解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,……,得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.4.A 由前4行的特点,归纳可得:若a nm=(x,y),则x=m,y=n-m+1,∴a nm=(m,n-m+1).5.B 因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了.又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则1~8号学生中必有2人被淘汰,因为a-1<a,其余数字最小的为60,故有以下几种情况:①若a-1≥63,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能;②若a-1<a<60,此时被淘汰的为2号和8号;③若60≤a-1<a≤63,此时被淘汰的为4号和8号.综上,8,9,10号学生一定会被淘汰,2号有可能会被淘汰,故选B.6.答案37;3n2-3n+1解析因为f(1)=1, f(2)=7=1+6, f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.7.答案1,2,3,4解析甲先报1,2,3,4,然后不管乙报几个数,甲只需要每次报数的个数与乙报数的个数和为8即可,因为100-4=96=8×12,故12轮过后,甲获胜.8.答案810解析设x天后,第一次有人返程,不妨设丙,则丙已经消耗了x天的水和食物,丙安全返程仍需x天的水和食物,所以丙剩余(36-2x)天的水和食物给甲和乙,甲乙二人各得(18-x)天的水和食物.若要甲能深入沙漠最远,则(18-x)+(36-x)=36,解得x=9.设又过了y天,乙也返程,乙安全返程需要(9+y)天的水和食物,所以乙能够留给甲[36-y-(9+y)]天的水和食物,要使甲能够深入沙漠最远,则[36-y-(9+y)]+(36-y)=36,解得y=9.设再过z天,甲返程,此时9+9+z=36-z,解得z=9.综上,甲最远能深入沙漠30×(9+9+9)=810千米.B组提升题组9.A 5为奇数,4为偶数,且5>4,故总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多,故选A.10.C 如图.∵A、D、E点各有一个工厂相连,B,C点各有两个工厂相连,把工厂看作“人”,可简化为“A、B、C、D、E处分别站着1,2,2,1,1个人,求一点,使所有人走到这一点的距离和最小”.把人尽量靠拢,显然把人聚到B,C最合适,靠拢完的结果变成B点有3人,C点有4人,显然移动3个人比移动4个人的路程少.所以车站设在C点好于B点,且与各段小公路的长度无关.故选C.11.B 甲与戊均可承担第二、四项工作,乙承担第一项工作,丙承担第三项工作,丁承担第五项工作,获得的效益值总和为79.12.B 由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误.若乙与丁的说法同时正确,根据乙的说法:“2班没有获奖,3班获奖了”知中奖情况有两种:1班和3班获奖或者4班和3班获奖,两种情况都说明丙同学的说法正确,这样就有丙,乙,丁三位同学的说法正确,所以不符合题意,故只能乙、丁两位同学的说法同时错误,从而知甲、丙两位同学的说法正确,故选B. 13.D 由题意可知,五项运动前三名得分总和为22+9×2=40分,故每项运动前三名得分总和为a+b+c=40÷5=8分(a>b>c且a,b,c∈N*).(1)当c≥2时,乙、丙的最低得分大于或等于2×5=10分,不符合题意,故c=1,b>1;(2)当b≥3时,a≤4,甲最高得分小于或等于4×5=20分,不符合题意,故b=2,于是可得a=5,b=2,c=1.由乙获得了马术比赛的第一名可知乙在该项运动得分为5分,又乙最终得分为9分,所以乙在其余四项运动中得分均为1分,即均为第三名.因为甲最终得22分,所以甲必须得四个第一名,一个第二名,此时,丙获得三个第二名,一个第三名.故游泳比赛的第三名可能是乙或丙.14.D 由题意易排除A,B.假设按a次A开关,b次B开关,c次C开关后四盏灯全部熄灭,则1号灯变化了(b+c)次,2号灯变化了(a+c)次,3号灯变化了(a+b)次,4号灯变化了(a+b+c)次.要想让4盏灯全部熄灭,每个灯都应变化奇数次,即b+c,a+c,a+b,a+b+c均为奇数,所以(a+b)+(b+c)+(a+c)+(a+b+c)=3(a+b+c)应为偶数,这与a+b+c为奇数矛盾,故选D.15.答案 5解析将这5部电影分别记为A、B、C、D、E.若点播量和专家评分(5分制)如下表,则优秀影片最多.A B C D E点播量 1 2 3 4 5专家评5 4 3 2 1分对于A电影,专家评分高于B、C、D、E,则A为优秀影片.对于B电影,点播量高于A,则B不亚于A;专家评分高于C、D、E,则B不亚于C、D、E,故B为优秀影片. 同理,C、D、E均为优秀影片. bh28929 7101 焁27505 6B71 歱 27143 6A07 樇833394 8272 色!25357 630D 挍P23933 5D7D 嵽35457 8A81 誁。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第十一篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理(含答案)
第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。
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第3讲 合情推理与演绎推理一、选择题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B ．法一：令a n ＝a n＋b n，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123．法二：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123．2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55．3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，2)解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋n B ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋n C ．S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD ．S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n解析：选C ．在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n，故选C ．5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：选B ．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．6．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A ．3724B ．76C ．1115D ．715解析：选A ．通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69．故a 99＋a 100＝3724．二、填空题7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A ．答案：A8．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案：甲9．设A 和B 是抛物线上的两个动点，且在A 和B 处的抛物线的切线相互垂直，已知由A 、B 及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L 1，对L 1重复以上过程，又得一抛物线L 2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L 1，L 2，L 3，L 4，…，L n ，若抛物线的方程为y 2＝6x ，经专家计算得，L 1：y 2＝2(x －1)，L 2：y 2＝23(x －1－13)＝23(x －43)，L 3：y 2＝29(x －1－13－19)＝29(x －139)，L 4：y 2＝227(x －1－13－19－127)＝227(x －4027)，…，L n ：y 2＝2S n (x －T nS n)，则2T n －3S n ＝________．解析：由题意知T 1＝1，T 2＝4，T 3＝13，T 4＝40，…，分析得1，4，13，40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，即T n －T n －1＝3n －1，…T 3－T 2＝32， T 2－T 1＝3，把上述式子相加得到T n －1＝3＋32＋…＋3n －1，所以T n ＝3n－12，由题意知S 1＝1，S 2＝3，S 3＝9，S 4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列{S n }的通项是S n ＝3n －1，所以2T n －3S n ＝2×3n－12－3×3n －1＝－1．答案：－110．如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．解析：观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211．答案：211三、解答题11．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a＝－a x a x ＋a，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， 所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1．所以f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1．故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α· (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34．。