第五章 分析力学3
合集下载
分析力学教案5章
k st
A
2
( M m) g
st
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
O
st
x x
O
A
(M+m)g
习题5-3 图示物体A的质量为M=20kg，可视为均 质圆盘的滑轮的质量为m=2kg，半径为r =600mm， 弹簧的刚度系数k=0.5N/mm。求物体A振动时的 固有频率。 k ( M m ) g 2k st 1 3 1 2 2 st mx ( 2 M 3m ) x 2 T Mx 2 4 4 O k x 2 2 V ( M m ) gx [( 2 x st ) st ] 2 k 2 2 x ( M m ) gx (4 x 4 st x ) 2kx A 2 1 2 2kx 2 E T V E ( 2 M 3m ) x 4
1 3 2 2 T m1 x m2 x 2 4 2
2 1 m2 R x ( ) 2 2 R 1 2 ( m1 2m2 ) x 2
k’
A
B
C
1 2 T ( m1 2m2 ) x 2
x k’ A B
k st m1 g
k 2 2 V m1 gx [( x st ) st ] 2 k 2 k 2 x m1 gx ( x 2 x st ) 2 2 广义惯性系数 a m1 2m2 kq 0 广义弹性系数 k k aq
V (q ) V0 (
1 2 系统的势能： T a0 q 2 dV 1 d 2V
)0 q (
2
d r i ) v i (q, q vi r q i dq
)0 q
第5章 分析力学
n
2、广义力 n个质点,i=1,2,…n, s个自由度, q1,q2,…,q,…qs, =1,2,…s n ri Q Fi 广义力 q i 1
二、约束的分类
1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束） 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束. f ( xi , yi, zi , t ) 0 约束方程形式为 如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对
时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之
转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束, 其约束方程形式为
c 0 积分 y c R 0 x
yc R x c R 0
完整约束 定常约束 双侧约束 c x cot dxc cotdyc
c y
非完整约束 定常约束 双侧约束
三、自由度
对于完整系, 确定系统位置所需要的独立坐标的数目, 称为该系统的自由度, 用s表示. 一个自由质点
•对于一个给定的系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
xA , y A , z A , xB xA , y A , xB , yB xA , y A , ,
? ?
不可以
可以 最佳
?
广义坐标一般用符号q表示, 如果系统有s个自由度, 就 需要s个广义坐标q1,q2,…,qs.也可缩写成q, =1,2,…,s.
i 1,2,, n
或写成矢量形式 ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
i 1,2,...n
如果选择xA , y A , ,为广义坐标，
则坐标变换方程为
x x A A
yA yA zA 0 xB xA l sin cos yB y A l sin sin z l cos
2、广义力 n个质点,i=1,2,…n, s个自由度, q1,q2,…,q,…qs, =1,2,…s n ri Q Fi 广义力 q i 1
二、约束的分类
1. 完整约束（几何约束）和非完整约束（微分约束） 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束. f ( xi , yi, zi , t ) 0 约束方程形式为 如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对
时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之
转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束, 其约束方程形式为
c 0 积分 y c R 0 x
yc R x c R 0
完整约束 定常约束 双侧约束 c x cot dxc cotdyc
c y
非完整约束 定常约束 双侧约束
三、自由度
对于完整系, 确定系统位置所需要的独立坐标的数目, 称为该系统的自由度, 用s表示. 一个自由质点
•对于一个给定的系统, 广义坐标的数目是一定的, 而广义坐标的选择不是唯一的.
xA , y A , z A , xB xA , y A , xB , yB xA , y A , ,
? ?
不可以
可以 最佳
?
广义坐标一般用符号q表示, 如果系统有s个自由度, 就 需要s个广义坐标q1,q2,…,qs.也可缩写成q, =1,2,…,s.
i 1,2,, n
或写成矢量形式 ri ri (q1 , q2 ,...,qs , t )
i 1,2,...n
如果选择xA , y A , ,为广义坐标，
则坐标变换方程为
x x A A
yA yA zA 0 xB xA l sin cos yB y A l sin sin z l cos
第五章分析力学
0
如 : x a 0
y
m
o a C
x
x
6
2）稳定约束和不稳定约束
稳定约束：限制体系位置的约束不是时间的函数 f (x, y, z) 0
不稳定约束：限制体系位置的约束是时间的函数 f (x, y, z, t) 0
o
o点固定不动
o
v0
l
x2 y2 l2
l (x v0t)2 y2 l 2
nm
xi xi (q1, q2,L qs ,t)
yi
yi (q1, q2,L
qs ,t)
zi zi (q1, q2,L qs ,t)
或 rvi rvi (q1, q2 L qs ,t)
称q1, q2…qs为广义坐标
i 1, 2,3,L n s 3n
注：21））确qqαα定可不体自一系由定的选是位取线置，量，不选一择定不是止3n一中种的。s个，但必须方便 3）几何约束下，独立坐标数=自由度=广义坐标数=3n-k 10
§5.2虚功原理
s
一、实位移和虚位移
z
x
dr
dfx1i(t),dyyjfd2 z(tk),z(f1if3(tf)2 j
f3k)dt
P(x,y,z)
dt 0,则dr 0
o
dr为实位移
x
虚位移：在约束许可下，某一时刻质点可能发生的微小位移
r
y
说明：
(1). 虚位移的产生不需要时间dt=0, 而实位移必须有时间间隔；
例: 冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以刚性轻
杆相连的两个质点,并设两质点质量相等, 杆长为l, 当冰刀在冰面
上运动时, 质心(杆的中点)的速度
第五章 分析力学3
(R r)&&
5 7
g sin
A’
r
A
O’
θD R
O
22
上页 下页
1, 2， ，s
若pi为循环坐标，则
若qi为循环坐标，则
得相应的循环积分
10
上页 下页
11
上页 下页
12
上页 下页
13
上页 下页
14
上页 下页
15
上页 下页
16
上页 下页
17
上页 下页
q&
H p
p&
H q
18
Hale Waihona Puke 上页 下页q&
H p
p&
H q
19
上页 下页
20
上页 下页
5.24 半径为r的均质圆球，自半径为R的固定圆球的顶端无初速的滚 下，试用哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度
（广义动量）
1
上页 下页
2
上页 下页
3
上页 下页
又 故
4
上页 下页
q&
H p
p&
H q
1, 2， ，s
H L
t
t 5
上页 下页
q&
p&
H p H
q
1, 2， ，s
H L t t
6
上页 下页
7
上页 下页
8
上页 下页
9
上页 下页
循环积分：
q&
H p
p&
H q
10
Q
&
5 7
p m(R
第五章分析力学
12.哈密顿正则方程的泊松括号形式为：
。
α = [p α , H ] α = [q α , H ] ； p 12. q
13. [J y , J z ] = 。
5
13. J x 14.雅可比恒等式为： 14. [f , [g, h ]] + [g, [h , f ]] + [h , [f , g ]] = 0 15.已知行星的质量为 m；太阳的质量为 M ；高斯常数为 k 2 = GM ，则行星运动的拉格朗日函 数为 。 。
K 1 1 K mv 2 + qϕ ； B. H = (p − qA) 2 + qϕ ； 2 2m K 1 1 C. H = (p − qA) 2 + qϕ ； D. H = (p − qA) 2 + qϕ 。 2m 2m
13.B
K K K K 14.如果 ϕ 坐标和动量的任意标量函数， 即 ϕ = a r 2 + b r ⋅ p + cp 2 ， 其中 a , b, c 为常数， 则： [
1 2 + v 2 ) − V(r ) ，其中 r ， θ 为广义坐标； v 为体 2 + rθ m( r 0 0 2
系质心初始运动时的速度大小（为非零常数） ； V(r ) 为体系的势能，则力学体系的雅可比积 分是什么？ 2.答：由 L =
于是利用约束条件即理想约束11此即为所求力学体系的虚功原理即一个受完整的理想的稳定的约束的力学体系处于平衡状态的充要条件是作用在该力系上的诸主动力在任意虚位移中所作的元虚功之和等于零由伯努力于1717年首先发现距今已近三个世纪
第五章 分析力学
自学辅导习题（2012 年使用）
一、选择题.
K K 1.关于质点实位移 d r 和虚位移 δ r ，下列说法正确的是：[ ] K K K A. δ r 有许多个， d r 一定是许多 δ r 中的一个； K K B. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是设想的可能发生的无限小位移； K K C. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是想象发生的无限小位移； K K D. d r 是真实发生的位移，而 δ r 是设想的经历了 dt 时间而发生的位移。
5分析力学
( 1.2s)
例1： 均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直 平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连 另一重P2，长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加 以水平力F，求平衡时此二杆与水平线所成的角 度 及 ，如图所示。 解：自由度s = 2， 选 和 为两个广义坐 标。 由虚功原理得：
a a
i 1 i j 1
n
n
j
b) 指标不同的求和号，前后秩序可交换。
a a
i i j
j
ai a j
j i
c) 与求和指标无关的因子，可放到求和号里
面，也可放到求和号外面。
c) 与求和指标无关的因子，可放到求和号里
面，也可放到求和号外面。
a bi abi
i i
xi xi (q1 .q 2 q s .t ) y i y i (q1 .q 2 q s .t ) (i 1.2n, s 3n) z i z i (q1 .q 2 q s .t )
或写成矢量式：
ri ri (q1.q2 qs .t ) (i 1.2n, s 3n)
W P1y1 P2y2 Fx3 0
（1）
l1 y1 2 sin l2 y2 l1 sin sin 2 x3 l1 cos l2 cos l1 y1 2 cos l2 y 2 l1 cos cos 2 x3 l1 sin l 2 sin
s 2 ri 2 ri ri d ri s ri ) ( ) q ( q dt q q t q 1 q t 1 q q
本章重点：
虚功原理和拉格朗日方程及其应用。
分析力学
M
v0
drt dr′
dr
M′
为 dr ，则
drt
dr = drt + dr′
δ r1
M
δ r2
• 物块 M的虚位移可以是沿斜
面向上的 δ r1 ，也可以是沿斜 面向下的 δ r2，因为 δ r1 和 δ r2 都是约束所允许的 .
可见，不稳定约束下，质点系无限小的实位移并不是 其虚位移之一 .
青岛科技大学数理学院
∂x ∂y ∂z
∵ δ r = δ xi + δ yj + δ zk
∂f i + ∂f j + ∂f k = n ∂x ∂y ∂z
∴ n⋅δr = 0
非自由质点的虚位移垂直于曲面上该点处的法线，即虚 位移必在通过该点的曲面的切平面上 .
青岛科技大学数理学院
19
¾ 质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之 间的关系：
面向上的 δ r1 ，也可以是沿斜 面向下的 δ r2，因为 δ r1 和 δ r2 都是约束所允许的 .
可见，稳定约束下，质点系无限小的实位移是其虚位 移之一 .
青岛科技大学数理学院
17
物块 M置于以速度 v0 移动的斜面上，则斜面对物块M 的
约束为不稳定约束 .
• dt 时间内，斜面位移为 drt dt 时间内，物块的实位移
为 s = 3n − k .
¾ 选广义坐标 q1, q2,……, qs ，则各质点的坐标
⎧ ⎪ ⎨
xi yi
= =
xi (q1, q2,……, qs ) yi (q1, q2,……, qs )
⎪⎩zi = zi (q1, q2,……, qs )
i = (1, 2,……, n)
理论力学 5分析力学
这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下， 广义坐标的数目和自由度的数目相等。
5.2虚功原理
5.2.1实位移与虚位移
质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以dr 表示。
在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发 生的无限小位移，称为虚位移，用r表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束 条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移
f ( x, y, z, t ) 0
（2）可解约束与不可解约束
质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。
f ( x, y, z ) 0
那种约束就叫可解约束。
或
f ( x, y, z, t ) 0
如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，
f ( x, y, z ) c
（3）几何约束与运动约束
ri ri qi qi
再将①式 ri ri (t , q1 , q2 ,qs ),
i 1,2,n 对任一广义坐标
q 求偏导数，得：
另一方面，将位矢 r 直接对 q 求偏导数后，再对时间求导数， i 得：
ri d dt q s 2 ri 2 ri q q t q q ③ 1
状态，则其平衡条件是
W Fi ri 0
n i 1
或
W ( Fixxi Fiyyi F iz z i ) 0
i 1
n
由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力
学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这 个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。
5.2.4广义力
第五章分析力学
i 1
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
三、虚功原理
设有n个质点组成的体系处于平衡状态(即每个质点 均处于平衡状态)，取质点i，受主动力Fi，约束力Ri。 有n个平衡方程： Fi Ri 0 i 1,2 n （对质点求和）
§5.1 约束与广义坐标 一、几个概念
1、力学体系—即第二章所介绍的质点组。 2、位形—力学体系的位臵状态。 3、约束：约束物体对力学体系的束缚(或限制)。 4、力学体系的自由度:确定力学体系位臵的独立 坐标数目。设力学体系有n个质点，受k个约 束，则力学体系的自由度为3n k。
二﹑约束的分类
由于圆盘作纯滚动，A点的速度应为零，则约束方程为： 不可积 Cx r cos r 0
Cy 0 r 0 Cz
②可积微分约束(为几何约束):约束方程中的每个微分是 可积的。 如:圆盘竖直地沿着直线作纯滚动
e i , 0, 2, 0 C C C
f（x, y, z; x, y, z） 0
①不可积微分约束(不完整约束):约束方程中，微分不可 积，如：圆盘沿曲线作纯滚动。 e i e k y A点的速度为： oxy平面不绕oz轴转动 o A C rA Cx i Cy j Cz k i e k r j
3、按约束可脱离和不可脱离分类
（1）不可解约束
x2 y 2 R2
如小圆圈套在大圆圈上
约束方程为： f（x, y, z） 0
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
三、虚功原理
设有n个质点组成的体系处于平衡状态(即每个质点 均处于平衡状态)，取质点i，受主动力Fi，约束力Ri。 有n个平衡方程： Fi Ri 0 i 1,2 n （对质点求和）
§5.1 约束与广义坐标 一、几个概念
1、力学体系—即第二章所介绍的质点组。 2、位形—力学体系的位臵状态。 3、约束：约束物体对力学体系的束缚(或限制)。 4、力学体系的自由度:确定力学体系位臵的独立 坐标数目。设力学体系有n个质点，受k个约 束，则力学体系的自由度为3n k。
二﹑约束的分类
由于圆盘作纯滚动，A点的速度应为零，则约束方程为： 不可积 Cx r cos r 0
Cy 0 r 0 Cz
②可积微分约束(为几何约束):约束方程中的每个微分是 可积的。 如:圆盘竖直地沿着直线作纯滚动
e i , 0, 2, 0 C C C
f（x, y, z; x, y, z） 0
①不可积微分约束(不完整约束):约束方程中，微分不可 积，如：圆盘沿曲线作纯滚动。 e i e k y A点的速度为： oxy平面不绕oz轴转动 o A C rA Cx i Cy j Cz k i e k r j
3、按约束可脱离和不可脱离分类
（1）不可解约束
x2 y 2 R2
如小圆圈套在大圆圈上
约束方程为： f（x, y, z） 0
周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学
第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。
按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。
二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。
例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。
第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。
例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。
二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。
光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。
即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。
2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。
分析力学
x2 y 2 R2
如小圆圈套在大圆圈上
x2 y 2 l 2
②质点沿球面向下滑并离开球面
x2 y 2 z 2 R2
以等式表示的为不可解，以不等式表示的为可解。
9
3)几何约束与运动约束
2016/8/31
几何约束（完整约束）
约束方程： f（x, y, z） 0 ①单摆：
运动约束（微分约束） , y , z ） 0 约束方程：f（x, y, z; x
2016/8/31
约束方程：f xi , yi , zi 0
z
O
f ri 0
y
约束方程： f xi , yi , zi , t 0
不稳定约束（含t）
长春大学应用物理系
z
O
f ri , t 0
y
x
l
M x, y, z
x
2
v
l0
M x, y, z
n
16
f f f f i i i y z 0 全导数的形式 x x yi z i t i 1 i 表明：
n
1）几何约束不仅对质点的位形有限制，同时对各质点的速 度有相应的限制； 2）几何约束的导数形式是一种特殊的运动约束，即线性的 运动约束； 3）几何约束的全微分形式是可积分的运动约束。
22
广义坐标定义
xi xi q1 , q 2 , , q k , t y i y i q1 , q 2 , , q k , t i 1,2,, n z i z i q1 , q 2 , , q k , t
或
2016/8/31
长春大学应用物理系
分析力学基础-3
弹簧的变形为 st
这一位置为平衡位置 称为静变形
st P / k
取重物的平衡位置点O为坐标原点
取x 轴的正向铅直向下 则
F k k (st x)
其运动微分方程为
d2 x m 2 P k ( st x) dt
st P / k
d2 x m 2 kx dt
上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
2 0
k m
d2 x m 2 kx dt
d x 2 0 x 0 dt 2
－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式
2
其解具有如下形式
其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点
0.5kg 9.8m/s2 sin 30 x0 0 3.06 103 m 0.8N/m 1000
v0 2 gh 2 9.8m/s 2 0.1m 1.4m/s
A x
2 0
2 v0 2 0
系统的势能为
V mg ( R r )(1 cos ) 2mg ( R r ) sin
2
2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin
2
பைடு நூலகம்
2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0t )
3m 2 (R r ) 2 0 A2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2
这一位置为平衡位置 称为静变形
st P / k
取重物的平衡位置点O为坐标原点
取x 轴的正向铅直向下 则
F k k (st x)
其运动微分方程为
d2 x m 2 P k ( st x) dt
st P / k
d2 x m 2 kx dt
上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动
2 0
k m
d2 x m 2 kx dt
d x 2 0 x 0 dt 2
－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式
2
其解具有如下形式
其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点
0.5kg 9.8m/s2 sin 30 x0 0 3.06 103 m 0.8N/m 1000
v0 2 gh 2 9.8m/s 2 0.1m 1.4m/s
A x
2 0
2 v0 2 0
系统的势能为
V mg ( R r )(1 cos ) 2mg ( R r ) sin
2
2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin
2
பைடு நூலகம்
2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0t )
3m 2 (R r ) 2 0 A2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2
分析力学基础
p mi ri ri i 1 qk ql
qk ql
第5章 分析力学基础
或：
5.3 动能和势能
1 n n V ＝ mk l qk ql 2 k 1 l 1 p k 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ mi ri ri 。 m 其中，q qk ql i 1
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 t来表示，即：r ＝r ( q ， ， ， ， ) q q t
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p n
ri d ri ＝ d qk k 1 q k
n
ri d W ＝ Fi d qk i 1 k 1 q k
第5章 分析力学基础
对换求和的次序，得：
5.2 虚位移原理
p ri d W ＝ Fi i 1 q k 1 k p ri 其中， Qk ＝ Fi q i 1 k 义力。
n
d qk
(k 1, 2, , n) 为与广义坐标qk 对应的广
势力场和势力
质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路 径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、 万有引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
这样，虚功方程可以写成：
d W ＝ Q d q ＝ 0
n k k k 1
分析力学第五章
4. 功与能 功等于力乘以质点在力的方向上的位移 力的空间积累效果， 力的空间积累效果，能量变化的量度 v v 恒力，直线： 恒力，直线： W = F ⋅ ∆ ri 3 B v v 变力，曲线： 变力，曲线： W = ∫ F ⋅ dr = ∑
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：
理论力学-第五章分析力学1-wcx
n i 1
（1）使用范围：理想约束 （2）范围的扩展：对于有摩檫的约束，可将其视为主动力 （3）优点：去掉约束力，仅得到主动力平衡方程
局限性：无法求约束力
F Fx i Fy j Fz k 【例1】自由质点受外力作用保持平衡，所受外力为：
试由虚功原理求其平衡方程。
2、广义坐标形式的虚功原理
约束力不出现在方程中
方程形式与坐标系的选择无关
方程形式与研究对象无关
完全用数学分析的方法来处理力学问题
第一节 约束与广义坐标
一、约束 1、约束的概念：限制质点自由运动的条件 2、约束与自由度的关系：s 3n k 3、约束的分类 （1）稳定约束和非稳定约束
f ( x, y, z ) 0 稳定约束（定常约束） 约束方程 束） f ( x, y, z; t ) 0 非稳定约束（非定常约 v
a 2 sin cos l 2 a 2 sin 2
1
Q M Fa sin F
a 2 sin cos l a 何约束 f ( x, y, z; t ) 0 微分约束
, y , z ; t ) 0 f ( x, y, z; x
可以积分 不可积分
完整约束 非完整约束
可解约束
（2）完整系：只受完整约束的力学体系；
不完整系：受到不完整约束的力学体系
x
s
y
F
虚位移的大小： s l
x s cos l cos 分量形式： y s sin l sin
（2）变分运算法
先写出质点的笛卡尔坐标，找到其与广义坐标之间的关系，再 利用变分计算出对应的虚位移
（1）使用范围：理想约束 （2）范围的扩展：对于有摩檫的约束，可将其视为主动力 （3）优点：去掉约束力，仅得到主动力平衡方程
局限性：无法求约束力
F Fx i Fy j Fz k 【例1】自由质点受外力作用保持平衡，所受外力为：
试由虚功原理求其平衡方程。
2、广义坐标形式的虚功原理
约束力不出现在方程中
方程形式与坐标系的选择无关
方程形式与研究对象无关
完全用数学分析的方法来处理力学问题
第一节 约束与广义坐标
一、约束 1、约束的概念：限制质点自由运动的条件 2、约束与自由度的关系：s 3n k 3、约束的分类 （1）稳定约束和非稳定约束
f ( x, y, z ) 0 稳定约束（定常约束） 约束方程 束） f ( x, y, z; t ) 0 非稳定约束（非定常约 v
a 2 sin cos l 2 a 2 sin 2
1
Q M Fa sin F
a 2 sin cos l a 何约束 f ( x, y, z; t ) 0 微分约束
, y , z ; t ) 0 f ( x, y, z; x
可以积分 不可积分
完整约束 非完整约束
可解约束
（2）完整系：只受完整约束的力学体系；
不完整系：受到不完整约束的力学体系
x
s
y
F
虚位移的大小： s l
x s cos l cos 分量形式： y s sin l sin
（2）变分运算法
先写出质点的笛卡尔坐标，找到其与广义坐标之间的关系，再 利用变分计算出对应的虚位移
23、第五章分析力学
• 1834年，哈密顿推得用广义坐标和广义动量联 1834年 合表示的动力学方程，称为正则方程。 1843年 合表示的动力学方程，称为正则方程。 1843年 引入变分原理,既哈密顿体系在多维空间中， 引入变分原理,既哈密顿体系在多维空间中，可 用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究 完整系统的力学问题。 完整系统的力学问题。
复 习
一、平面转动参照系 r r r r r r r & × r + mω 2 r − 2mω × v′ ma′ = F − mω 二、 空间转动参照系
r r r r r r r r r r & × r − mω (ω ⋅ r ) + mω2r − 2mω × v′ ma ' = F − mω
三、相对平衡
r r F − mat = 0
四、 地球自转所产生的影响
1、惯性离心力
r r r r r 2r 2 F离心 = −mω (ω ⋅ r ) + mω r = mω R
• 惯性离心力的作用使重力常小于引力。 惯性离心力的作用使重力常小于引力。重力 随着纬度发生变化, 在纬度越低的地方重力越小。 随着纬度发生变化, 在纬度越低的地方重力越小。 只有在两极的地方, 重力和引力才相等。 另外, 只有在两极的地方 , 重力和引力才相等 。 另外 , 重力的方向也不与引力的方向一致， 重力的方向也不与引力的方向一致，引力的作用 线通过地球的球心， 线通过地球的球心，而重力的作用线一股并不通 过地球的球心。 过地球的球心。
哈密顿在数学上的成就， 哈密顿在数学上的成就，以微分方程和泛函分析两个 领域最为突出，如哈密顿算符、哈密顿－ 领域最为突出，如哈密顿算符、哈密顿－雅可比方程 等；此外，他对波形曲面的研究，对伽罗瓦理论的补 此外，他对波形曲面的研究， 充以及在数学中引入结合律等也都是他的功绩。 充以及在数学中引入结合律等也都是他的功绩。哈密 顿提出变分原理和正则方程的两篇长论文的题名是 《论动力学中的一个普遍方法》 (On a General 论动力学中的一个普遍方法》 Method in Dynamics,1834)和《再论动力学中的普遍方 和 法》(Second Essay on a General Methodin Dynamics， ， 1835)， 均收入他的《数学论文集》 （Mathematical ， 均收入他的《数学论文集》 Papers,1940)第二卷。 第二卷。 第二卷
理论力学第五章分析力学
1 x1 l1 sin 2 1 x2 l1 sin l2 sin 2 y3 l1 cos l2 cos
P x1 , y1 1 P2 x2 , y2 B x3 , y3
1 1 Pl1 cos P2l1 cos Fl1 sin P2l2 cos Fl2 sin 0 1 2 2
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
s n
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
xi xi q1 , q2 ,...qs , t
i i
1
2
s
i 1, 2,..., n, s 3n
i
i
1
2
s
或
ri ri q1 , q2 ,...qs , t
i 1, 2,..., n, s 3n
这s个独立参数就叫广义坐标
§5.2 虚功原理
1.实位移和虚位移
第五章 分析力学
分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。
若拉氏函数不显含
P x1 , y1 1 P2 x2 , y2 B x3 , y3
1 1 Pl1 cos P2l1 cos Fl1 sin P2l2 cos Fl2 sin 0 1 2 2
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
s n
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
xi xi q1 , q2 ,...qs , t
i i
1
2
s
i 1, 2,..., n, s 3n
i
i
1
2
s
或
ri ri q1 , q2 ,...qs , t
i 1, 2,..., n, s 3n
这s个独立参数就叫广义坐标
§5.2 虚功原理
1.实位移和虚位移
第五章 分析力学
分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。
若拉氏函数不显含
第五章分析力学
2
x
2
取坐标原点为零势面
v mgy mg x2 4a
（2）
L
T
V
1 2
m
x2
1
x2 4a 2
2
x
2
mg
x2 4a 2
（3）
L x
mx2 4a 2
m 2
x
mg
x 2a
L x&
mx&1
x2 4a2
代入保守系拉格朗日方程
d dt
Lx
L x
0
得
mx1
x2 4a 2
mx2
x 4a 2
④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系 统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为 力学体系的特征函数；
⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有 关。约束越多，方程数就越少，所以与牛 顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏 方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏 方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是 它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题 时一般方法是：
达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程， 它考虑的是运动而不是静力学问题。
由“运动”学
mi ri Fi Ri
（ Fi 主动力； Ri 约束反力）
变为平衡类型
Fi
Ri
mri
0
这样把动力学的问题转变为静力学问题处
理，这就是著名的“动静法”。由于变为平 衡
方程，所以完全可按上述虚功原理方法解决
能表达式中所需要的。在保守系力场中， 确定体系势能时应先确定零势面。
3. 求出的速度一定要采用绝对速度。这是动 能表达式中所需要的。在保守系力场中， 确定体系势能时应先确定零势面。
4. 按广义坐标建立 S 个方程后，马上检查是
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 对于稳定约束, 即
xi = xi(q)
不含t,
T = T2(q,q) 1 s T = aαβ(q,t)qαqβ 2 αβ xi xi aαβ = m i qα qβ i
第五章 分析力学
30
刚才证明过,
q q
α
T2
α
= 2T2
P27
{有势系,V不显含 q } L = T-V L T ∴ qα = qα = 2T α qα α qα
第五章 分析力学
1
同理讨论AB上的质点。
（3）广义坐标 先q，后f，
O
∴
s=d=2.
（4）虚功 dW A = Fi A d xi ＝
y q C a mg A f D b B F mg
虽然每一个质点都受到重力， 但其总效果与总重力作用在重心相同 。 所以，求和只需要对C、D、B 3处的进行。 ＝mgd xC + mgd xD + Fd yB ＝ 0。
第五章 分析力学
18
解题思路： 1 确定自由度 2 广义坐标 3 求动能，势能，拉氏量 4 列出Lagrange 方程 5 解方程，分析
19
广义力：
1.定义
Qa = Fi A
xi qa
2.虚功
dw Q= dq
dV Qa = d qa
3. 有势系统
20
6.广义动量积分
第五章 分析力学
(1) 可遗坐标（循环坐标）：如果在L函数中，只含有 某一广义坐标的微商，而不显含该广义坐标本身，则 此广义坐标称为可遗坐标。
d L L L q [dt( q qα)- q α - q qα]= 0 α
dL L L L α + = q qα + dt t α q α q
第五章 分析力学
29
d L dL L ( qα)+ =0 dt q dt t
理想约束：
δr Ni i = 0
∴
= 0 Fi - mi ri n (a) )δr = 0 (Fi - mi ri i
i=1 3n
虚功原 理
(a) x (Fi - mi i )δx i = 0
i=1
倒转有效力
第五章 分析力学
6
② 达朗贝尔原理： (对非完整约束也成立)
令d x ≠ 0 ， dq 、 df 、d y都为0。
∴ RX ＝－2mg，
类似的， RY ＝－F。 同样方法还可以算A点处的约束力。
第五章 分析力学
5
§5.3、拉格朗日方程（lembert ） ① 牛顿第二定律：
, F i = mi ri (i = 1, 2,...,n)
有势力系的拉格朗日方程
第五章 分析力学
13
4. 拉格朗日方程与牛顿运动方程等价
1 L = T - V = mi qi2 - V 2 i
取笛卡儿坐标系: x i = qi
∂L ∂L ∂V = == Fi ∂qα ∂x i ∂x i ∂L = mi x i ∂x i
(a) = 0, (i = 1,2, .,n) F i + Ri - mi ri ..
理想约束：
(a) ) d r = 0, ( Fi mi ri i
n i =1
达朗贝尔－拉格朗日方程
第五章 分析力学
7
2. 拉格朗日方程的基本形式（Lagrange方程）
L =0 qα
(2) 广义动量：体系的拉氏量或动能对广义坐标微商
的偏导数。
L T P = = α qa qa
21
第五章 分析力学
(3) 广义动量积分：系统对于可遗坐标的广义动量为
常数。
d L L ( )-( )= 0 dt qa qa
L =0 qα
dpa d L ( )= =0 dt qa dt
∴ T = T2 =
P25
1 a αβ (q, t)q α qβ 2 αβ
T2是 q的二次齐次函数，可有关系
α
∂T2 q α = 2T2 ∂q α
第五章 分析力学
27
※欧勒齐次函数定理 如果函数
= ( x, y, z,...)
，则这个函数对每一个
自变量偏导与函数积之和，等于这个函数乘 以多少次幂n。（n为u函数中含有对x，y…求 导的最高幂次）
第五章 分析力学
10
3. 有势力系的拉氏方程
(a) Fi = -∇ iV, (i = 1,2,...,n)
(i = 1, 2,...,3n)
或者
F
(a) i
∂V =, ∂x i
有势力的广义力形式：
Qα ∂x i = Fi ∂q α i = -
i=1
3n
∂V ∂x i ∂x i ∂q α
∂V(q, t) = ∂q α
代入拉氏方程
得：mx i = F, i
(i = 1,2,...,3n)
第五章 分析力学
14
拉氏方程的优越性：
① L＝T－V 为系统量，V为系统势能，
不必具体区分受力质点
②
1 T = mi v i2 i 2
为标量,vi为速率
③ 避免了约束力
第五章 分析力学
15
5.有关Lagrange方程的说明
例：右图，两个相同的
均匀刚性杆OA=AB=l， O、A为光滑的铰链。 质量都是m， F为外力；运动和外力都在 xy平面。 求平衡位置。 （1）理想约束？ 解： O、A光滑，杆刚性。 （2）稳定、完整约束？ 对所有质点，z＝0。
O
y q C a mg A f D b B F mg
x
对第a个质点， x 2 y 2 = Oa 2 , xa / xA = ya / yA , a a 由此可见，OA上的质点受到的约束都是稳定、完整的。
拉氏函数中有没有循环坐标及有多少个，都跟广 义坐标的选择有关。
22
第五章 分析力学
23
7.能量积分
(1)完整系统动能函数的表达式
xi =
3n
∂x i ∂x i qα + , (i = 1,2,...,3n) ∂t α=1 ∂qα
s
1 T = mi x i2 i=1 2 3n s ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( qα + ) ∂t i=1 2 α=1 ∂q α
s s ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( q α qβ + 2 qα + 2 ) ∂t i=1 2 α,β=1 ∂q α ∂qβ α=1 ∂q α ∂t 3n
第五章 分析力学
24
3n s 3n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi 1 s = ( mi )qα qβ + ( m i )α q 2 α , =1 i=1 ∂qα ∂qβ ∂qα ∂t β α =1 i=1
xi Qa = Fi . qa
A
势形式的拉氏方程中只含有拉氏量和广义坐标， 因此便于推广到其它领域。从这个意义上讲， 势形式的拉氏方程是更具有普遍性的形式。
（3） Lagrange量和初始条件已知，一个力学体系 的运动就完全清楚了。
第五章 分析力学
17
（4）在自然界，最基本的拉氏量只有很少几个， 如电磁、引力、强、弱作用等。
x xi = n i i
第五章 分析力学
28
(3)能量积分
L(q, t)= T(q, t)- V(q, q, q, t)
d L L ( )-( )= 0 dt q q
用qa 乘上式,得
α =1
qα[
s
d L L ( )-( )]= 0 dt qα qα
（5）拉氏量不是一个可观测量，我们只要求它 能给出正确的运动方程。 象势能V，L＝T－V 的形式不是唯一的，L’＝ T－V＋V0 一定能给出相同的运动方程。 事实上，把 L’＝ L＋du(q,t)/dt 代入拉氏方程， 给出的运动方程一定与L 的相同。u(q,t)是广义坐标和时 间的可2次微商的任意函数。
第五章 分析力学
25
T = T2 + T1 + T0 1 T2 = aα β(q,t)qα qβ 2α β T1 = bα qα
α
1 T0 = c 2
26
第五章 分析力学
(2) 稳定系统（变换方程不显含t）
若为稳定约束，即 x i = x i (q1,q2 ,...,qs ) 不 显含t，则：b = 0, c = 0 α
第五章 分析力学
2
x
（5）变换方程（只需要3个） xC ＝(l/2)sinq , xD ＝ lsinq (l/2) sinf , yB ＝ l ( cosq cosf) , （6）用虚功原理（第二种表述） d W A = Qq dq Qf df .
l Qq = mg cos q mgl cos q Fl sin q = 0, 2 l Qf = mg cos f Fl sin f = 0, 2
由达朗伯原理： (Fi(a) - mi i )δx i x
i=1 3n
=0
d ∂T ∂T [Q α - dt ( ∂q ) + ∂q ]δqα = 0 α α α
又因为 qα 都是独立的
d ∂T ∂T Qα ( )+ =0 dt ∂qα ∂qα
第五章 分析力学
8
第五章 分析力学
V(q,t)=V(x(q, t),t),即V(q,t) 不含广义速度
∴
第五章 分析力学
xi = xi(q)
不含t,
T = T2(q,q) 1 s T = aαβ(q,t)qαqβ 2 αβ xi xi aαβ = m i qα qβ i
第五章 分析力学
30
刚才证明过,
q q
α
T2
α
= 2T2
P27
{有势系,V不显含 q } L = T-V L T ∴ qα = qα = 2T α qα α qα
第五章 分析力学
1
同理讨论AB上的质点。
（3）广义坐标 先q，后f，
O
∴
s=d=2.
（4）虚功 dW A = Fi A d xi ＝
y q C a mg A f D b B F mg
虽然每一个质点都受到重力， 但其总效果与总重力作用在重心相同 。 所以，求和只需要对C、D、B 3处的进行。 ＝mgd xC + mgd xD + Fd yB ＝ 0。
第五章 分析力学
18
解题思路： 1 确定自由度 2 广义坐标 3 求动能，势能，拉氏量 4 列出Lagrange 方程 5 解方程，分析
19
广义力：
1.定义
Qa = Fi A
xi qa
2.虚功
dw Q= dq
dV Qa = d qa
3. 有势系统
20
6.广义动量积分
第五章 分析力学
(1) 可遗坐标（循环坐标）：如果在L函数中，只含有 某一广义坐标的微商，而不显含该广义坐标本身，则 此广义坐标称为可遗坐标。
d L L L q [dt( q qα)- q α - q qα]= 0 α
dL L L L α + = q qα + dt t α q α q
第五章 分析力学
29
d L dL L ( qα)+ =0 dt q dt t
理想约束：
δr Ni i = 0
∴
= 0 Fi - mi ri n (a) )δr = 0 (Fi - mi ri i
i=1 3n
虚功原 理
(a) x (Fi - mi i )δx i = 0
i=1
倒转有效力
第五章 分析力学
6
② 达朗贝尔原理： (对非完整约束也成立)
令d x ≠ 0 ， dq 、 df 、d y都为0。
∴ RX ＝－2mg，
类似的， RY ＝－F。 同样方法还可以算A点处的约束力。
第五章 分析力学
5
§5.3、拉格朗日方程（lembert ） ① 牛顿第二定律：
, F i = mi ri (i = 1, 2,...,n)
有势力系的拉格朗日方程
第五章 分析力学
13
4. 拉格朗日方程与牛顿运动方程等价
1 L = T - V = mi qi2 - V 2 i
取笛卡儿坐标系: x i = qi
∂L ∂L ∂V = == Fi ∂qα ∂x i ∂x i ∂L = mi x i ∂x i
(a) = 0, (i = 1,2, .,n) F i + Ri - mi ri ..
理想约束：
(a) ) d r = 0, ( Fi mi ri i
n i =1
达朗贝尔－拉格朗日方程
第五章 分析力学
7
2. 拉格朗日方程的基本形式（Lagrange方程）
L =0 qα
(2) 广义动量：体系的拉氏量或动能对广义坐标微商
的偏导数。
L T P = = α qa qa
21
第五章 分析力学
(3) 广义动量积分：系统对于可遗坐标的广义动量为
常数。
d L L ( )-( )= 0 dt qa qa
L =0 qα
dpa d L ( )= =0 dt qa dt
∴ T = T2 =
P25
1 a αβ (q, t)q α qβ 2 αβ
T2是 q的二次齐次函数，可有关系
α
∂T2 q α = 2T2 ∂q α
第五章 分析力学
27
※欧勒齐次函数定理 如果函数
= ( x, y, z,...)
，则这个函数对每一个
自变量偏导与函数积之和，等于这个函数乘 以多少次幂n。（n为u函数中含有对x，y…求 导的最高幂次）
第五章 分析力学
10
3. 有势力系的拉氏方程
(a) Fi = -∇ iV, (i = 1,2,...,n)
(i = 1, 2,...,3n)
或者
F
(a) i
∂V =, ∂x i
有势力的广义力形式：
Qα ∂x i = Fi ∂q α i = -
i=1
3n
∂V ∂x i ∂x i ∂q α
∂V(q, t) = ∂q α
代入拉氏方程
得：mx i = F, i
(i = 1,2,...,3n)
第五章 分析力学
14
拉氏方程的优越性：
① L＝T－V 为系统量，V为系统势能，
不必具体区分受力质点
②
1 T = mi v i2 i 2
为标量,vi为速率
③ 避免了约束力
第五章 分析力学
15
5.有关Lagrange方程的说明
例：右图，两个相同的
均匀刚性杆OA=AB=l， O、A为光滑的铰链。 质量都是m， F为外力；运动和外力都在 xy平面。 求平衡位置。 （1）理想约束？ 解： O、A光滑，杆刚性。 （2）稳定、完整约束？ 对所有质点，z＝0。
O
y q C a mg A f D b B F mg
x
对第a个质点， x 2 y 2 = Oa 2 , xa / xA = ya / yA , a a 由此可见，OA上的质点受到的约束都是稳定、完整的。
拉氏函数中有没有循环坐标及有多少个，都跟广 义坐标的选择有关。
22
第五章 分析力学
23
7.能量积分
(1)完整系统动能函数的表达式
xi =
3n
∂x i ∂x i qα + , (i = 1,2,...,3n) ∂t α=1 ∂qα
s
1 T = mi x i2 i=1 2 3n s ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( qα + ) ∂t i=1 2 α=1 ∂q α
s s ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x i 2 1 = mi ( q α qβ + 2 qα + 2 ) ∂t i=1 2 α,β=1 ∂q α ∂qβ α=1 ∂q α ∂t 3n
第五章 分析力学
24
3n s 3n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi 1 s = ( mi )qα qβ + ( m i )α q 2 α , =1 i=1 ∂qα ∂qβ ∂qα ∂t β α =1 i=1
xi Qa = Fi . qa
A
势形式的拉氏方程中只含有拉氏量和广义坐标， 因此便于推广到其它领域。从这个意义上讲， 势形式的拉氏方程是更具有普遍性的形式。
（3） Lagrange量和初始条件已知，一个力学体系 的运动就完全清楚了。
第五章 分析力学
17
（4）在自然界，最基本的拉氏量只有很少几个， 如电磁、引力、强、弱作用等。
x xi = n i i
第五章 分析力学
28
(3)能量积分
L(q, t)= T(q, t)- V(q, q, q, t)
d L L ( )-( )= 0 dt q q
用qa 乘上式,得
α =1
qα[
s
d L L ( )-( )]= 0 dt qα qα
（5）拉氏量不是一个可观测量，我们只要求它 能给出正确的运动方程。 象势能V，L＝T－V 的形式不是唯一的，L’＝ T－V＋V0 一定能给出相同的运动方程。 事实上，把 L’＝ L＋du(q,t)/dt 代入拉氏方程， 给出的运动方程一定与L 的相同。u(q,t)是广义坐标和时 间的可2次微商的任意函数。
第五章 分析力学
25
T = T2 + T1 + T0 1 T2 = aα β(q,t)qα qβ 2α β T1 = bα qα
α
1 T0 = c 2
26
第五章 分析力学
(2) 稳定系统（变换方程不显含t）
若为稳定约束，即 x i = x i (q1,q2 ,...,qs ) 不 显含t，则：b = 0, c = 0 α
第五章 分析力学
2
x
（5）变换方程（只需要3个） xC ＝(l/2)sinq , xD ＝ lsinq (l/2) sinf , yB ＝ l ( cosq cosf) , （6）用虚功原理（第二种表述） d W A = Qq dq Qf df .
l Qq = mg cos q mgl cos q Fl sin q = 0, 2 l Qf = mg cos f Fl sin f = 0, 2
由达朗伯原理： (Fi(a) - mi i )δx i x
i=1 3n
=0
d ∂T ∂T [Q α - dt ( ∂q ) + ∂q ]δqα = 0 α α α
又因为 qα 都是独立的
d ∂T ∂T Qα ( )+ =0 dt ∂qα ∂qα
第五章 分析力学
8
第五章 分析力学
V(q,t)=V(x(q, t),t),即V(q,t) 不含广义速度
∴
第五章 分析力学