线性变换练习题
线性变换习题
第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx
线性变换习题
第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8） 在P n
n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx
线性变换练习题参考答案
第七章线性变换练习题参考答案
一、填空题
1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l
下的矩阵B= 「001、
T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'
Ax 2.
2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.
n 3
.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.
4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.
5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.
6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).
7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.
摩2)⑺
0 -1相似，则k =』2 1」
9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)
10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.
f 1
8.右A =—1
<0 01)<0
11 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),
矩阵练习题线性变换和行列式
矩阵练习题线性变换和行列式线性变换和行列式是线性代数中的重要概念，也是矩阵练习题中经
常涉及到的内容。本文将针对线性变换和行列式进行详细的讲解和练
习题的解答，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、线性变换
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间，并且保持向
量之间的线性运算。它可以用矩阵表示，通过矩阵与向量的乘法来实
现线性变换。
在矩阵练习题中，常见的线性变换包括平移、旋转、缩放等。对于
线性变换的练习题，首先需要确定线性变换的矩阵表示形式，然后通
过给定的向量或矩阵进行计算。
例如，给定线性变换T:R^2->R^2，将向量(2,3)映射到新的向量。首先，我们需要确定线性变换的矩阵表示形式，假设矩阵表示形式为A。然后，将向量(2,3)与矩阵A相乘，即可得到映射后的向量。
二、行列式
行列式是一个与矩阵相关的数值，它只存在于方阵中。行列式可以
用来判断一个矩阵的性质，比如矩阵是否可逆、是否为奇异矩阵等。
在矩阵练习题中，常见的行列式计算包括求矩阵的行列式、求逆矩
阵等。对于行列式的计算，可以利用定义公式或者直接应用性质来进
行求解。
例如，给定一个3阶矩阵A，求其行列式的值。首先，可以利用定
义公式进行计算，按照对角线元素乘积之和减去反对角线元素乘积之
和的方式求得行列式的值。
三、线性变换和行列式的关系
线性变换和行列式之间存在着密切的关系。对于一个线性变换T，
其矩阵表示形式的行列式即为这个线性变换的缩放因子。
具体来说，如果一个矩阵A表示一个线性变换T，那么A的行列式|A|表示了T对向量的缩放比例。当|A|=0时，说明线性变换T将向量映
线性变换习题
线性变换习题(总22页)
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第四章 线性变换
习题精解
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；
2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3）在P 3中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β
第七章-线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案
一、填空题
1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝
1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为
123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .
2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .
3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1n
ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于
||A .
4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .
5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.
6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,
,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
第七章线性变换练习题
线性变换练习题
一、填空题
1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝_________，而可逆矩阵T ＝_________满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为_________ .
2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,则1(0)σ-＝_______，()1dim (0)σ-＝______，()dim ()n P σ＝_____ .
3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .
4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 .
5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.
6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,
,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()
f A 的全体特征值为________ .
7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001011A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1010101k k B 相似，则k = ．
9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A ．
高代 线性变换练习题 2-李可峰
线性变换练习题
一、（浙江大学2006）设矩阵322232223A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，010101001P ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*2B P A P E -=+，求B 的特征值与
特征向量.
二、（东南大学2002）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
1、求值域V A ，核1
(0)-A 的基。 2、问1
(0)V V -=A +A 吗？为什么？
三、（复旦大学1998）设矩阵21000a b A c ωω⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭，c b a ,,为实数,231-+-=ω.求100A .
四、（华东师大2007）设200201A a b c ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
是复矩阵. 1、求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2、给
出A 可对角化的一个充要条件.
五、（苏州大学2006）设5[]V x =F 是数域F 上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间，
()f x V ∀∈，定义映射(())()f x r x δ=，其中2()(1)()()f x x q x r x =-+，()r x =0或deg(())2r x <.
1、证明映射δ是V 的一个线性变换；
2、求δ在基2
3
4
{1,,,,}x x x x 下的矩阵。
六、1、（清华大学2001）设方阵A 满足2
A A =(幂等方阵)，则存在可逆方阵P 使1
000R
E P AP -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
； 2、（清华大学2001）设方阵A 满足2A E = (对合方阵)，则可取可逆方阵P 使1
线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
1. 设σ是3
P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=
2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为
_______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。
2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n
P 的线性变换σ：()A σξξ=，
n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。
3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220
1121-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。
4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。
5. 设A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡21
1
12
1112
，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。
6. 若n n
A P
⨯∈，且2
A E =，则A 的特征值为 。
7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,
,n x x x -下的矩阵
为 。 8. 在22
P
⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→
⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫
= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。
9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题
§1 线性空间
1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量
T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，
T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，
求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =
（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；
（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数
（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为
T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，
和
T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；
（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；
线性变换
自然数 m 使 σ
m
= 0.证明：
(i) σ 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零； (ii) 如果一个幂零变换 σ 可以对角化，那么 σ 一定是零变换．
8．设 φ 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， Im φ 与 ker φ 分别表示 φ 的值域与核，证明 下列条件等价： （1） V = Im φ ⊕ ker φ ； （2） Im φ ∩ ker φ = 0 ； （3）若 α1 , α 2 ,L , α r 是 Im φ 的一组基，则 φ (α1 ), φ (α 2 ),L , φ (α r ) 是 Im φ 的一组基；
a1 + a2 + L + an 生成的线性子空间，令 V2 = {∑ ki ai
i =1
n
i =1
∑ ki = 0, ki ∈ P}
n
（1） 证明 V2 是 V 的子空间
3
（2） 证明 V = V1 ⊕ V2 ， （3） 设 V 上线性变换 A 在基 a1, a2 ,L , an 下的矩阵 A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每 一列都只有一个元素为 1，其余元素全为 0） ，证明 V1 与 V2 都是 A 的不变子空间。 12．P 为数域,A 为 V = p 2×2 的线性变换,A =
三、计算与证明 1．判断矩阵 A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵 T，使成对角形. 1 3 3 A= 3 1 3 3 3 1
线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
3
1. 设 是 P 3
的线性变换， (a,b,c) (2b c,a 4b,3a)， a,b,c P ， 1 (1,0,0),
2
(0,1,0), 3 (0,0,1) 是 P 3
的 一 组 基 ， 则 在 基 1, 2, 3 下 的 矩 阵 为
3
__________________ ，又 1 2 3 P , 则 ( ) ___________________________________ 。
2. 设A 为数域P 上秩为 r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间 P n
的线性变换 ： ( ) A ， P n
，则 dim
1
(0) ＝ ， dim (P n
) ＝ 。
1 1 2
3. 设 P 上三维列向量空间 V 的线性变换 在基 1, 2, 3下的矩阵是 2 0 1 ，则
1 2 1
在基 2, 1, 3下的矩阵是 。
4. 如果矩阵 A 的特征值等于 1，则行列式 |A E |= 。
211 5. 设A= 1 2 1 ， (X) AX 是P 3
上的线性变换，那么
的零度= 。
1 1 2
6. 若 A P n n ，且 A
2
E ，则 A 的特征值为
。
7. 在 P[x]n 中，线性变换 D(f(x) ) f '(x) ，则 D 在基1,x,x 2
,L ,x n1
下的矩阵 为。
1 0
A 在基 E1 1 0 ,E2 0 1
2 0 1
0 0 2
0 0
下的矩阵是
10. 数域 P 上n 维线性空间 V 的全体线性变换所成的线性空间 L(V)为 维线性空间，
3 2 1
9. 设 A 5
0 2 的 三个 特 征值 为 1 ， 1 1 4
线性变换练习
线性变换练习题
一、填空题
1.设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,则ker σ＝_______，()dim ker σ＝______，()dim )Im σ＝_____ . 2．设矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的
特征值为________ .
3.已知三阶方阵A 的特征值为1，2，3，则1-A 的特征值为 ，
I
A A 322++的特征值为
4.设λ＝2
是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
231-⎪
⎭
⎫
⎝⎛A 的一个特
征值等于
5.设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2231
A ，则向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量 6.A 相似于单位矩阵，则A =_____. 7.矩阵⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=3100430000800007
A 的特征
值是_______
8. 0322=-+I A A ，则A 有特征值_______9.n 阶矩阵A 的元素全为
1，则A 的n 个特征值是
10. 一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）
11. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 .
12．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.
13.设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-1101
，那么A+B 在基21,εε下的矩阵
线性变换练习习题
第四章线性变换
习题精解
1．鉴别下边所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间 V 中，A, 此中V 是一固定的向量；
2）在线性空间 V 中，A此中V 是一固定的向量；
3）在P3中，A ( x
1
, x
2
, x
3
)
( x12 , x2x3 , x32 ) ；
4）在P3中，A( x1 , x2 , x3 )(2x1x2 , x2x 3 , x1 ) ；5）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x 1)
6）在 P[ x ] 中，A f (x) f (x
),
此中
x
0P 是一固定的数；
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A
8）在 P n n中，A X=BXC此中 B,C P
n n是两个固定的矩阵 .
解 1)当0时,是;当0时,不是.
2) 当0时,是;当0时,不是.
3) 不是 . 比如当(1,0,0) ,k 2 时, k A()( 2,0,0) , A (k ) (4,0,0) , A(k)k A() .
4) 是 . 因取( x1 , x2 , x3 ),( y1 , y2 , y3 ) ,有
A() = A ( x1y1 , x2y2 , x3 y3 )
=( 2x1 2 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )
=( 2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2 y3 , y1 )
= A+ A
A(k) A ( kx1, kx2,kx3)
(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )
(2kx1kx2 , kx2kx3 , kx1 )
=k A( )
高等代数习题线性变换
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
1 ξ , 所以结论成立。 λ
例 4. 设 λ 1, λ2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同的特征根， X 1 , X 2 是分别属于 λ 1, λ2 的特 征向量。证明 X 1 + X 2 不是 A 的特征向量。 证：由已知条件 AX 1 = λ1 X 1 , AX 2 = λ 2 X 2 ，如果 X 1 + X 2 是 A 的一个特征向量， 那么
k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L ＋ k mσ (α m ) = 0 . 两 端 用 σ −1
作 用 得 :
k1α 1 + L ＋ k mα m = 0 . 由已知 α1 ,α 2 , L , α m 线性无关 , 所以 : k1 = k2 = L = k m = 0 . 故 σ (α1 ), σ (α 2 ),L , σ (α m ) 线性无关。
同理可证 στ 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。
σ ( E11 ) = E11 + E12 , σ ( E12 ) = E11 − E12 , σ ( E21) = 0 E11 + 0 E12 + E21 + E22 , σ ( E22 ) = 0 E11 + 0 E12 + E21 − E22 。所以 σ 在此基下的矩阵为：
第七章-线性变换-综合练习
第七章 线性变换综合练习
一．判断题
1.数域上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ F ）
2．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )).
3R 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-σ3R 3．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )
[]n R x 2(())()f x f x σ=σ[]n R x 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )
σ1-σ5．取定, 对任意的阶矩阵, 定义,
n n A F ⨯∈n n n X F ⨯∈()X AX XA σ=-则是的一个线性变换.
σn n F ⨯6．向量空间的可逆线性变换的核是空集.( )
V σ)(σKer 7．在向量空间中, 已知线性变换 3R 1231223312313(,,)(,,),
(,,)(,0,).
x x x x x x x x x x x x x στ=++=则. ( )
12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-8．设为维向量空间上的线性变换，则．（ ）
σn V Im()ker()V σσ+=9．向量空间的两个线性变换,为；2R στ12121(,)(,)x x x x x σ=-12122(,)(,)x x x x x τ=-则（ ）
212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+10．在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （
）V 11．数域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （
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线性变换习题
一、填空题
1. 设σ是3P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ∀∈，1(1,0,0),ε=
2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为
_______________，又3
123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。
2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=，
n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。
3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220
1121-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。
4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。
5. 设A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡211121112，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。
6. 若n n
A P
⨯∈，且2
A E =，则A 的特征值为 。
7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基2
11,,,
,n x x x -下的矩阵
为 。 8. 在22
P
⨯中，线性变换10:20A A σ⎛⎫→
⎪⎝⎭在基121001,,0000E E ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
300,10E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 40001E ⎛⎫
= ⎪⎝⎭下的矩阵是 。
9. 设321502114A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ，
1λ2λ3λ= 。
10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，
它与 同构。
11. 已知n 阶方阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。 12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则=||A 。
13. 设σ为数域P 上的线性空间V 的线性变换,若σ是单射,则1
(0)σ-= 。
14. 设三阶方阵A 的特征值为1,2,-2,则|2|A = 。
15. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基2
11,2,3,
,n x x nx -下的矩阵
为 。
16. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为11121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则σ在基231,,εεε下的矩阵为 。
17. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220
1121-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
，则σ 在基213,,ααα下的矩阵是 。
18. 设线性变换σ在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1011，线性变换τ在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1101，那么στ+在基21,εε下的矩阵为 . 19. 已知n 阶方阵A 满足2
A A =，则A 的特征值为 。
20. 已知线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为11
121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则σ在基321,,εεε下的 矩阵为 。
21. 在3
R 中，若向量组1(1,1,0)t α=+，2(1,2,0)α=，23(0,0,1)t α=+线性相关，则
t = 。
22. 若线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为211011121-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则σ在基321,,εεε下的矩阵为
矩阵为 。
23. 若n n A P ⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 。
二、选择题
1. 下列哪种变换一定是向量空间[]n F x 的线性变换（ ）。
A ．()()()x x f x f +=δ
B ．()()()dx x f x f ⎰=
δ
C ．()()()x f x f '=δ
D ．()()()()x f x f x f +=2
δ
2. 当n 阶矩阵A 适合条件（ ）时，它必相似于对角阵。
A ．A 有n 个不同的特征向量
B ．A 是三角矩阵
C ．A 有n 个不同的特征值
D ．A 是可逆矩阵 3. 设δ是向量空间V 上的线性变换，且
δδ22=，则δ的所有特征值为（ ）
。 A ．2 B ．0，2 C ．0 D ．0，2，1 4. 设σ是3维向量空间上的变换，下列σ中是线性变换的是（ ）。
A ．σ()321,,x x x =()
333
123
,,x x x B ．σ()321,,x x x =()33221,,2x x x x x -- C ．σ()321,,x x x =()0,sin ,cos 21x x D ．()123,,x x x σ=()
21,0,0x
5. 设12,,
,r ααα是向量空间V 的线性相关的向量组，σ是V 的一个线性变换，
则向量组12,,
,r ααα在σ下的像12(),(),,()r σασασα（ ）。
A ．线性无关
B ．线性相关
C ．线性相关性不确定
D ．全是零向量 6. n 阶方阵A 有 n 个不同的特征值是A 可以对角化的（ ）。
A ．充要条件
B ． 充分而非必要条件
C ．必要而非充分条件
D ． 既非充分也非必要条件 7.
设σ是向量空间V 的线性变换且
2σσ=，则σ的特征值（ ）。
A ．只有1
B ．只有1-
C ．有1和1-
D ．有0和1
8. 如果方阵A 与对角阵111D ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
相似，则10
A =（ ）。 A . E
B . A
C . E -
D . 10E
9. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n
阶单位矩阵，则（ ）。
A ．E A E
B λλ-=- B ．A 与B 有相同的特征向量和特征值
C ．A 与B 相似于同一个对角矩阵
D ．B A =
10. 设4级矩阵A 与B 相似，B 的特征值是1，2，3，4，则A 的行列式是（ ）。
A ．-24
B ．10
C ．24
D ．不能确定