数列基本量运算

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数列基本量的计算

证明：【解】 (1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，两边同除证明， 1 1 1 1 以 Sn·Sn－1，得－S ＋2＝0， S －＝，即＝2(n≥2)， ≥ ， Sn－1 Sn－1 n n 1 1 1 为首项，为公差的等差数列． ∴{S }是以＝＝2 为首项，2 为公差的等差数列．是以 S1 a1 n 1 1 (2)由(1)知S ＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，由知－＝＋－ × ＝， S1 n 1 ∴Sn＝ . 2n
2．等差数列的性质． (1)若公差＞ 0，则此数列为递增数列；若 d 若公差d＞，则此数列为递增数列；若公差＜0，则此数列为递减数列；若d＝0，则此数，则此数列为递减数列；＝，列为常数列．列为常数列． (2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的有穷等差数列中，有穷等差数列中两项和相等，并且等于首末两项之和；两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即若项数为奇数，还等于中间项的倍 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝2a中．－－
为零的等差数列，项和，为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a2＋a2＝a2＋a2，S7＝7. 2 3 4 5 (1)求数列 n}的通项公式及前 n 项和 Sn；求数列{a 的通项公式及前求数列 amam＋1 (2)试求所有的正整数 m，试求所有的正整数，使得为数列 am＋2 {an}中的项．中的项．中的项

等差数列基本量计算

＋45d＝20＋135＝155.故选 C.
21．(2019·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
解析(1)设{an}的公差为 d.由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.
D ).
D.10
9, 则
9．(2020·课标全国Ⅱ，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋a6
25
＝2，则 S10＝________．
解析
方法一：设等差数列{an}的公差为 d，则由 a2＋a6＝2，得 a1＋d＋a1
10×9
＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得 d＝1，所以 S10＝10×(－2)＋
等差数列基本量计算
一．等差数列的基本概念
当n≥2时an－an－1＝d(d为常数)
(1)定义：数列{an}满足____________________________，
则称数列{an}为等
差数列．
a1＋(n－1)d
(n－m)d
(2)通项公式：an＝__________＝a
(m，n∈N*)．
m＋________
+ 2 = 5 ,
所以
1 + 7 1 + 21 = 10

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练

【题型归纳】

等差数列、等比数列的基本运算

题组一等差数列基本量的计算

例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

【答案】D

【解析】解法一：由题知()21(1)

1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.

解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。题组二等比数列基本量的计算

例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4

【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42

20q q --=，解得q 2=2，

∴4

624a a q ==.

【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】

等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：

(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．

等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算

知识点：

一．等差数列 1．等差数列基本概念

⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．

⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即

x y

A +=

． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)

n n n a a n n S na d An Bn +-=

=+=+． 1．等差数列通项公式的推导：

2132121n n n n a a d a a d

a a d a a d

----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：

1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．

由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：

1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++

++-，

把项的顺序反过来，可将n S 写成：

()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+

+--，

将这两式相加得：

11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++

++=+，

从而得到等差数列的前n 项和公式1()

n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)

第36讲等差数列的概念及基本运算

1．理解等差数列的概念．

2．掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质．

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个

常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作a1，公差记作d.符号表示为a n＋1－a n＝d (n∈N*，d为常数)．

(2)通项公式：如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.

(3)等差中项：如果三数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项．即A

＝a＋b

2．等差数列{a n}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*)

(1)a n＝a m＋(n－m)d.

(2)若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.

特例：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.

(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减

数列；若d＝0，则数列为常数列．3．等差数列的前n项和公式

(1)前n项和公式：设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝n(a1＋a n)

＝na1＋

n(n－1)

2d.

(2)等差数列前n项和的性质：

S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．

1．等差数列的常用判断方法

(1)定义：a n＋1－a n＝d(d为常数)⇔{a n}是等差数列．

(2)等差中项：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．

(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数) ⇔{a n }是等差数列．

高三数学数列的基本运算及性质

1 .(2011 全国大纲卷)设Sn为等差数列an 的
Sn
na1
nn 1 2
d或Sn
na1 2
an
(n N* )．
3．等比数列
1定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
就叫等比数列，这个常数叫做这个数列的公比．
2 等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
a与b的等比中项，记为G ab.
3通项公式：an a1qn1(n N* )．
备选例题：已知an为等差数列，a1 a3 a5
105，a2 a4 a6 99，Sn表示an的前n项和，
则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21
B．20
C．19
D．18
分析：首先利用等差数列的通项公式将等式转
化为关于首项a1与公差d的等式，从而可得数列
an
通项公式，然后利用aann
0 1
专题七
数列与不等式
1．数列概念
1定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
2 Sn与an的关系是：an
Sn Sn
Sn1
n 1 .
n 2
3 递推公式：如果已知数列an 的首项(或前几
项)，且任一项an与它的前一项an 1 (或前几项)间
的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

第一讲小题考法——数列中的基本量计算

(5)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2m－1＝(2m－ 1)am，S 奇＝mam，S 偶＝(m－1)am，S 奇－S 偶＝am，SS奇偶＝mm－1.
[针对练] 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27，则该数列的公差 d＝ ________.
能力要求较高.
第一讲
小题考法
—— 数列中的基本量计算
考点(一)
等差、等比数列的基本运算
主要考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及有关的五个基本量间的“知三求二”运算.
[题组练透] 1．(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{an}
中，若 a2＝1，a8＝a6＋6a4，则 a3 的值为________．
必备知能·自主补缺
(一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列
等差数列
等比数列
通项公式 an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n 项和公式
Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d
(1)q≠1，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq； (2)q＝1，Sn＝na1
2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

6.等比数列的基本运算

等比数列的基本运算

教学目标:

理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式/掌握等比数列的前n 项和公式知识点归纳:

1. 等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠. （注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）表示为

1n n

a q

a +=()n N

∈ 或

n n a q

a -=(),2n N

n *

∈≥

2. 等比数列的通项公式:

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11n n a a q -=⋅ 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则

m n

a q

a -=

3. 等比数列的前n 项和:

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，q

q a S n

n --=

1)1(1 或11n n a a q S q

-；当q =1时，1na S n =

即:()

11(1)

1(1)

1n n na q S a q q q

=⎧⎪

=-⎨≠⎪

-⎩

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q ,不要混淆；（3）特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解.

§6[1].3等差数列、等比数列的基本量运算

20.等差数列、等比数列的基本量运算

【复习目标】

1.熟练运用等差与等比的通项公式，求和公式进行相关运算（知三求二）

2.利用等差与等比的通项与和的特征解决相关问题。

【复习过程】

活动一（考点梳理和基础训练）

（一）考点梳理

1.等差数列的通项公式：

2.等差数列的前n 和的求和公式：

3.等比数列通项公式为：

4.等比数列前n 项和公式：

（二）基础训练（利用方程（组）求等差、等比数列的基本量）

1.如果五个角依次成等差数列，最小的角为025，最大角为0105，则该等差数列的公差为______________.

2.在等比数列{}n a 中，已知10,542==a a ，则公比q 为___________.

3．在等差数列{}n a 中，31,10125==a a ，则n a =__________.

4.在等比数列{}n a 中，已知8,1842==a a ，则=1a _________,=q __________. 5．在等比数列{}n a 中，2

1,18,367463=

=+=+n a a a a a ，则n=_________. 6.在等差数列{}n a 中，若公差,23,21==n a d 前n 项的和2

15-=n S ，则1_______.a = 项数______.n = 小结：

活动二（等差、等比数列基本量运算）

1. 在等比数列{}n a 中，已知,64,245346==-a a a a 求8S

2. 设{}n a 为等差数列,前n 项的和为n S ,已知,75,7157==S S n T 为数列⎭

等比数列基本量运算

等⽐数列基本量运算

2018年7⽉29⽇⾼中数学作业

1.已知等⽐数列：满⾜ ''：'：,贝U （）

A. 243

B. 128

C. 81

D. 64

2 .已知数列是公⽐为正数的等⽐数列，若，"，则数列■的前7项和为

A. 63

B. 64

C. 127

D. 128 10

a5 +?

3 .正项等⽐数列叩中，S,3

= 64

3., + ia∣ηi,, λ> 0 I ?

E,则1丄的值是(

A.4

B.8

C. 16

D.64

4.已知等⽐数列?的前项和为?，若1忌=玛则=( )

A. 2

C. 4

D.1

{a } t a c=1 a n=16 A ⼆

5.已知等⽐数列中，9,则7

A. 4

B. —4

a, = 3a-l+ a c

+ j

a, = 21a∏≡

6.在等⽐数列中，已知3 3 S7,则()

A. B.' C. I- D. 1

9-,=3 a. = -6a c

7 .数列为等⽐数列，若■则为（)

A. -24

B. 12

C. 18

D. 24

fa } t a1=? 4，

a ⼆⼆54a n

8.已知等⽐数列和中?,

则

=()

A. 54

B. -81

C. -729

D. 729

——= 9.已知等⽐数列'的公⽐q = -2其前项的和为，则(

A. 7

B. 32

C. D.4

fg I 5 5=15=9 5

11 .等⽐数列的前项和为■,已知■,则■等于（）

A. 81

B. 17

C. 24

D. 73

12.等⽐数列{an}中 a = 3, a4= 24,贝U a3+ a4+ a5=( )

10 .已知各项均为正数的等⽐数列的前项和为，若，则公⽐为（

用基本量灵活解高考数列题

…
，
( I ) 求 {％ } 的通项公式；
} { (手 ) ( Ⅱ) 证明：对任意的 x > O，％ ≥ T
一
可万
z 一，
1 2 11, =
…
，
，
；
7 ．1 ( ) 111 明证
吼啦：
wenku.baidu.com
4-
-
+…
+ ％>
．
解 c— v 一
舟
击 } 击 √ ．
=
+
，
者．
．
一
l=
1
引
1
i
—
1
( Ⅱ ) 求 {％ I 前 7／, 项和
S 。
的最大值．
解 ( I ) 设 {％ } 的公差为 d ，由已知条件得，
个等差数
∞裂：解龇 = 3 小 - 2 | 5 ．
( 1 ) d 2 5 an 。
．．
= nl +
n一
：
-
n+
．
( Ⅱ ) S 2 ÷ ( ) 旦玉 = ／2 0 , l 4 -
如果有
没
，
关系
，看过这篇文章后
，
你就会消除疑虑，掌握最直接的有、效的解题方法 — — 基

等差数列基本量的运算

若844S S =，则10a =（）

（A ）

172 （B ）192

（C ）10 （D ）12

3．（2013·广东卷）在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．

4．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13

(n ∈N *)，则a 10＝________. 5．（2014·北京卷）若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．

6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11 7．（2014·安徽卷）数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.

8.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.

9.【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

等差与等比数列的基本量的计算

【典例1】【2021·云南昆明市·高三二模】

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3132a a =-，且5324S S a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和n T ．【思路引导】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3132a a =-，且5324S S a -=，利用“1,a d ”求解．（2）由（1）易得(1)

32(2)2

n n n S n n n -=+⨯=+，从而11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求解.

【典例2】【2021·江苏苏州市·高三月考】

已知数列{a n }为等比数列，且各项均为正数，12a =，23a a +是3a 与4a 的等差中项．记正项数列{b n }前n 项

之积为T n ，b 1=1，2

(1)(2)n n n T a n -=≥．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：1111

()(2)(21)2

i i i i a n N b i b i +=+-∈---∑

≥．

【思路引导】（1）由等比数列的基本量法求得通项公式n a ，由已知先求得2b ，3n ≥时，利用

2(1)21(1)(2)

2n n

n n n n n b a T T a ----==求得n b ，验证12,b b 也适用；

（2）把项11(2)(21)i i i a b i b i +----拆成两项的差，用裂项相消法求得和111

等比数列典型题

题型一等比数列的基本量的计算

例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．

(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .

探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝32

，且公比q ∈(0,1)．

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．

题型二等比数列的性质及应用

例2等比数列{a n }中(1)若已知a 2＝4，a 5＝－1

，求a n ；(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．

(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6

等于

( )

A ．5 2

B ．7

C ．6

D ．4 2

(2)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________.

题型三等比数列的判定

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n

等比数列基本量计算

4
+
5 6
5 6
7
=
= −8 ，则
= 2,
4 7
= −8,
或ቊ
=
1,
10
1
= −8,
1
+
5(
+
1+
2
+
4
7
10
−7
= _________.
= 4,
或ቊ
= −2,
= 1,
所以 1 +
=
−8,
10
1
11. [2020年全国新高考Ⅰ卷]设 { } 是等比数列，且
3 + 4 = 2 ，则 6 + 7 + 8 = ( D ).
3
2
+
12.已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,则公比 q 的
值为( C ).
1
A.-2
1
B.-2
1
C.1 或-2
D.-1 或2
1
解析由题意可得 2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1+a1q,∴2q2=1+q,解得 q=1 或 q=-2.
13. 已知等比数列{ }为递增数列，且
(2)若
an=(-2)n-1,则
1-(-2)
Sn=

等差数列中基本量的计算

等差数列前n项和公式的应用
• 累加法求an • 例1：已知数列{an},a1=-3, • an+1-an=2n+1,求an
• 例2：已知数列{an}中，a1=0,ห้องสมุดไป่ตู้• an=an-1+3n-1(n>=2),则an=
等差数列前n项和的最值问题
• 例1：等差数列{an}中，设sn为其前 n项和，且a1>0,s3=s5,则当n为多少时，sn最大？
• 例2：设等差数列{an}中， a3=5,a10=-9,则数列的通项公式为an=（）,当n=（）时，sn取得最大值
• 例3：已知等差数列 5，4+2/7 ，3+4/7，· · · 的前n项和为sn，求使得sn最大的序号n的值
等差数列中基本量的计算
例1：已知数列{an}为等差数列（1）若a1=1,an=-512,sn=-1022,求公差d (2)若a1+a5=19,s5=40,求a10 (3)若s =84,s =460,求a
• 例2：已知数列的前n项和为 2 sn=n +n/2,求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？