Z变换的主要性质

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信号的Z变换与逆变换

信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及

应用。

一、Z变换的概念

Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：

给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。

X(z)的定义如下：

X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)

Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。

二、Z变换的性质

Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。以下是一些常见的性质：

1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有

X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。

2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。

3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变

换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。

4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在

z=1处的极限值。

通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。

三、Z逆变换的概念

Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。

拉氏变换的定义如下：

对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：

F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt

其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。

拉氏变换的基本公式：

1.映射常数

L{1}=1/s

2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$

3.时间平移

L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)

4.频域平移

L{e^(as)f(t)} = F(s-a)

5.合并函数

L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)

6.乘法

L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)

7.单位冲激函数

L{δ(t-a)} = e^(-as)

拉氏变换的性质：

1.线性性质

L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)

2.积分性质

L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)

3.拉氏变换的导数性质

L{f'(t)}=sF(s)-f(0)

4.初始值定理

f(0+) = lim(s->∞) sF(s)

5.最终值定理

lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)

Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。Z变换的定义如下：

对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：

§8.5 Z变换的基本性质

n=0 ∞
15 页
则x(0) = lim X(z)
z→∞
第
六．终值定理
若则 x(n)为果列已 X ( z) = Z x( n) = ∑ x( n)z−n 因序，知 lim x(n) = lim[ (z −1) X (z)] n→∞ z→ 1
n=0 ∞
16 页
注意： n 收敛，注意：当 → ∞, x(n)收敛，才可用终值定理。
−1O 1
n
−1O 1
n
−1O 1
n
第
(1)左移位性质
8 页
若 Z[x(n)u(n)] = X(z)
m−1 m −k 则 Z[ x(n + m)u(n)] = z X(z) − ∑x(k)z k=0 m 其中为正整数
Z[ x(n + 1)] = zX(z) − zx(0)
第
七．时域卷积定理
已知则 X(z) = Z[ x(n)] H(z) = Z[h(n)] Z[ x(n)* h(n)] = X(z)H(z)
17 页
(R (R
x1 h1
< z < Rx2 )
< z < Rh2 )
收敛域：一般情况下，收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
ax( in( 即 m Rx1 , Rh1 ) < z < m Rx2 , Rh2 )

K2.04 z变换性质—z域尺度特性、微分

z变换性质－ z域尺度特性、微分
知识点K2.04
z变换性质－ z域尺度特性、微分
主要内容：
z变换的z域尺度特性、微分的性质
基本要求：
熟练运用z变换的性质
1
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z变换性质－ z域尺度特性、微分 K2.04 z变换的性质-z域尺度特性、微分 1、z域尺度变换：序列乘 ak , a 0
za za
a k 1 (k
1)

1 z1 a
,
| z | 1 a
利用齐次性，k域和z域同时乘以 a 得：
ak (k
1)

a z1 a
,
| z | 1 a
5
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z变换性质－ z域尺度特性、微分例4：求 f(k)= kε(k) 的z变换F(z)。
m次
wk.baidu.com
3
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
例1： ak (k) ?
解:
(k) z
z 1
z
ak (k) a z
z 1 z a a

一些常见的Z变换

在信号处理和控制系统领域，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。它可以将离散时间域的序列转换到复平面上的Z域，从而使我们能够分析信号的频率响应、稳定性和系统的性能。本文将介绍一些常见的Z变换及其在实际应用中的作用。

一、Z变换的定义

Z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（DTFT）的离散时间版本。它将离散时间序列$x[n]$转化为复变量$X(z)$，其中$z$是复平面上的变量。

Z变换的定义如下：

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$

其中，$x[n]$为离散时间序列，$z$为复变量。通过对序列$x[n]$进行Z变换，我们可以得到频域上的表示$X(z)$。

二、常见的Z变换性质

Z变换具有许多有用的性质，使得它在信号处理和系统分析中得到广泛的应用。下面介绍几个常见的Z变换性质。

1. 线性性质

Z变换具有线性性质，即对于常数$a$和$b$，以及序列$x[n]$和

$y[n]$，有以下关系：

$$\mathcal{Z}(ax[n] + by[n]) = aX(z) + bY(z)$$

这一性质使得我们可以方便地对信号进行分解和求解。

2. 移位性质

对于频域上的序列$X(z)$和时间域上的序列$x[n]$，移位性质可以表达为：

$$\mathcal{Z}(x[n-m]) = z^{-m}X(z)$$

其中，$m$为正整数。移位性质允许我们对时域序列进行时间偏移操作，从而分析不同时刻的信号。

3. 初值定理与终值定理

初值定理和终值定理是两个重要的Z变换性质。初值定理表示了序列$x[n]$在$n=0$时的初值和$X(z)$在$z=1$处的值之间的关系：$$x[0] = \lim_{z\to1}X(z)$$

z变换的几个基本性质

DN0403: z 变换的几个基本性质：

通信与信息系统专业：张书义（031120512）

1、线性证明

+-∞

-∞=-<<=

∑x x n n

R z R z

n x z X ,)()(

+-∞

-∞

=-<<=

∑y y n n

R z R z

n y z Y ,)()(

[]∑∑∑∞

-∞

=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-+=

+=+∴n n

n n

n by n ax z

n y b z

n x a z bY z aX )()()()()()(

)()()()(z bY z aX n by n ax +⇔+∴

2、序列移位证明

+-∞

-∞

=-<<=

∑x x n n

R z R z

n x z X ,)()(

+-∞

-∞

=-∞

-∞

=--∞

-∞

=-<<===

+∴∑∑∑x x k

n n k

n k n n n

R z R z X z z n x z

n x z

k n x ),()()()()

( +-<<⇔+∴x x k R z R z X z k n x ),()(

3、指数加权证明

+-∞

-∞

=-<<=

∑x x n n

R z R z

n x z X ,)()(

-∞

=-∞

-∞

=-<<==

∴∑∑x x n n n n

R a z R z a X a z n x z

n x a ),())(()(1

+--<<⇔∴x x n R a z R a z a X n x a ),()(1

4、线性加权证明

+-∞

-∞

=-<<=

∑x x n n

R z R z

z变换通俗理解

摘要：

1.Z 变换的定义与背景

2.Z 变换的性质

3.Z 变换的应用领域

4.Z 变换与其他变换的关系

5.Z 变换的局限性及发展前景

正文：

Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。

1.Z 变换的定义与背景

Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。

2.Z 变换的性质

Z 变换具有以下几个重要性质：

（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；

（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；

（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；

（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。

3.Z 变换的应用领域

Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。

4.Z 变换与其他变换的关系

Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。

5.Z 变换的局限性及发展前景

尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。

z变换的基本性质

z 变换的基本性质主要内容线性位移性序列线性加权序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理

z 域卷积定理（自阅）

一．线性(表现为叠加性和均匀性）

a ,

b 为任意常数。

ROC ：一般情况下，取二者的重叠部分

某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。例8-5-1 解：

已知

[]()

[](

)

[]()

212121

)()()()( )()( )

()( R z R z bY z aX n by n ax Z R z R z Y n y Z R z R

z X n x Z y y x x <<+=+<<=<<=则若),min(),max( 2211y x y x R R z R R <<即()变换。

的求z n u n )(cosh 0ω()n

Z a u n z a

⎡⎤=

⎣⎦-()()

0e e 2

1cosh 0n ωn ωn ω-+=

并且

同理

例8-5-2

零极点相消，收敛域扩大为整个z 平面。

二．位移性 1.双边z 变换 2.单边z 变换 (1) 左移位性质 (2) 右移位性质

1．双边z 变换的位移性质

原序列不变，只影响在时间轴上的位置。

()[][][]

)

(e 21)(e

21)(cosh 000n u Z n u Z n u n ωZ n ωn ω-+=

所以0

0e 21e 21ωωz z z z -++-=()[]

()1

cosh 2cosh (02

0+--=ωz z ωz z ()

00e ,e max :ROC n ωn ωz ->()

z变换知识点总结

一、引言

在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散

时间信号。与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用

于处理离散时间信号。z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更

容易地进行信号分析和处理。本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z

变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。

二、z变换的基本概念

1. 离散时间信号的z变换

对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：

X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)

其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。

2. z变换的双边z变换和单边z变换

双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。而单边z变换定义在

0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。

3. z域表示

z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。

三、z变换的性质

1. 线性性质

类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，

有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。

2. 移位性质

类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其

Z变换的主要性质.

用对比系数法或求导法确定b1, b2
6
f (kT ) Z 1[Y (z)] b1ak1 b2kak1 k 1
0
k0
例3：求
Y
(z)

z3
3z3 z2 4z2 5z

2
的Z反变换
解：Y (z) 3 11z2 15z 6
z3 4z2 5z 2
K1，K2
K1

(2
1
lim 1)! z1
d dz
(
z
1)2
(z
zk 1)2 (z
2)

lim
z1
d dz

z
zk
2

lzim1 k
z k 1 (z 2)

zk (z
1 2)2

k

1
K2

lzim2 ( z
单元小结
12
1.采样定理与采样周期
（1）采样定理
s 2max
T max
（2）采样周期的选取
Y ( jmax ) Y ( j0)
13
2.零阶保持器的传递函数和频率特性
(1)零阶保持器的传递函数
Gh0
(s)

1

Z变换定义与性质

信号与系统
第 26 讲
Z变换的定义与性质
本讲主要内容
• z变换的定义 • z变换的收敛域 • 常用序列的z 变换 • z变换的性质及应用
Z变换的定义
对于序列f(n)，定义其 z 变换 F(z)为：
F (z)
f (n)zn
n
当序列f(n)为因果信号，上式可写为：
象函数
F ( z) f (n)z n
解：利用z 变换定义求：
1,0 n N -1
f (n) RN (n)
0，
其他
3
F (z) f (n)zn 1 zn
n0
n0
z3 z2 z1 1
z0 z1 z2 z3
z3
f (n) 1
01 2 34 n
R (n) 1z( N 1)
N
1z1
1 z1 z2
z( N 1)
f (n 2) (n) 4
f (n) (n )
4
1 0 1
左移
n
右移
4
f (n 2)(n)
10 1
n
10 1
n
时移性质
双边序列左移和右移后，序列的单边z变换。
如果： f (n) F (z) m 0
则：
f
(n
m)
zm
F
(
z)
m1 k 0

6.3.3 z变换的性质

6.3.3 z变换的性质
1Baidu Nhomakorabea线性定理
Z[a1 x1 (t ) ...... an xn (t )] a1 X1 ( z) ....... an X n ( z)
其中a1, a2……an为常数。证明：
Z [a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )]
k [ a f ( kT ) a f ( kT )] z 1 1 2 2 k 0
向前差分定理
Z x(t mT) z m X ( z)
向后差分定理
注向后差分定理仅在k<0时，X(kT)=0的情况下才成立。
证明：由Z变换定义式有：
k 0 m
Z x(t m T) x(kT m T) z k z m z m z [ x(kT ) z

Z[x(nT)*y(nT)]=X(z)Y(z)
8.乘以指数序列性质若 Z[ x(nT )] X( z ) a为整数，则
k 0
Z[a n x (nT )] X(a 1 z )
9.比例尺变换性质若 Z[ x(nT )] X( z ) 则 Z[ x (anT )] X( z1/ a )
k m m k
x(kT ) z
k 0
m 1
k
x(kT ) z k ]
k 0
m 1

z变换的性质

时移性证明：
• 根据z变换定义可得：Z[x(n n0 )] x(n n0 )zn
n
•
令 m n n0
代入上式得 Z[x(n n0 )] zn0
x(m)z m z n0 X (z)
m
• 几个简单的例子：
Z[ (n)] 1, ROC : 0 | z | Z[ (n 1)] z1, ROC :| z | 0
Z[ (n 1)] z, ROC :| z |
例2.有信号 x(n) (1)nu(n)和 y(n) x(n 3)
利用Z变换的性质求2y(n)的Z变换Y(z).
（已知
Z
[a
nu(n)]
1
1 az
1
,
|
z
||
a
|）
解：根据题目条件可得 Z[x(n)]
1
1 1
z
1
，百度文库
又由时移定理得
2
z3
1
Z[x(n 3)]
例1. 求下列线性组合序列的z变换
x(n) anu(n) anu(n 1)
• 解：令 x(n) x1(n) x2 (n)， • x1(n) anu(n) 且x2 (n) anu(n 1) ，
•则
X1
X2
(z)
(z)
Z[anu(n)]
Z[anu(n
z ,R

2.2 Z变换的性质和定理

Z f (t)eat F(z eaT )
证明：

Z f (t)eat
f (kT )eakT zk
k 0

f (kT )(eaT z)k
k 0
F (zeaT )
9．微分定理
设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Ztf (t) Tz d[F (z)]
k 0
i0

f [(k i)T ]z(ki) g(iT )zi
k i0
i0
F (z)G(z)
7．求和定理
设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的Z变换分别为F(z) 及G(z)，若有
k
g(kT) f (iT ) i0
则
F(z) G(z) 1 z 1
f ()
6．卷积和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为
F(z)及G(z)，若定义
k
k
g(iT ) f (kT iT ) g(kT iT ) f (iT ) @g(kT ) * f (kT )
i0
i0
则
Zg(kT)* f (kT) G(z)F(z)
dz
证明：
d[F (z)]
dz

d dz
k 0
f
(kT )zk

Z变换的基本性质

求序列 y ( k ) if (i )的单边 z变换 Y ( z ) i0
X
23
六.除k+m定理(z域积分定理)
第
页
若 x(k) X(z) z
则 x(k)zm X()d
km
z m1
z
m为整,数且k m0
m 0 x k( k z ) X ()d z
例题
求序列 ak (k)的z变换
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
7
1．双边z变换的移序性质
第页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若序 xk的列双 z变:边换
x(k) X (z)
z
x (k m ) z m X (z) z
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时因 x， k果 0，序则列
zRx1
Zx2(k)X2(z)