2018届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理

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2018年高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第11章计数原理 11.2 二项式定理

高考数学
(浙江专用)
第十一章计数原理
§11.2 二项式定理
五年高考
考点二项式定理及应用
1.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( A.-80 B.-40 C.40 D.80 )
答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数.
r 3 r r 3 2 C5 (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= · (2x)5-r· (-y)r=(-1)r· 25-C x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3· 22C · 5 · 5 =-40,x y 2 C5 项的系数为(-1)2· 23· =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.
2 2 Cn C3 C6 C1 C1 C C3 · 4 .从而f(3,0)= 6 =20, f(2,1)= 4 =60, f(1,2)= 6· 4 =36, f(0,3)= 4 =4,故选C.
4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
1 C 依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1· 5 =30,a=-6,故选D.
8.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( A.4 答案 -5舍). B.5 C.6 D.7
)
2 2 2 C2 Cn Cn C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 n =15,亦即n -n=30,解得n=6(n= n ,所以 n =15,即
k
C3 的系数为(-1)3· 22×3-5 5 =-20,故选A.

2018年浙江高考一轮第9章第3节二项式定理

第三节二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2．二项式系数的性质取得最大值3.(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4B [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28B [由题意知n 2＋1＝5，解得n ＝8，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k 2k －8C k 8.令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.] 4．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，则x 2的系数为60.]5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________.【导学号：51062334】－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.](1)(A ．10B ．20C ．30D ．60(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(1)C (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)(2017·浙江五校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) (1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n，若T r ＋1是常数项，则6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N *，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29(2)(2017·诸暨质检)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________.(1)D (2)0 [(1)∵(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.(2)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1－2)4＝1. 又令x ＝0，得a 0＝(1－0)4＝1. 因此a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.][迁移探究1] 若本例(2)中条件不变，问题变为“求a 0＋a 2＋a 4的值”，则结果如何？[解] 在(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1. ①4分令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝34. ②8分由①＋②，可得a 0＋a 2＋a 4＝12(34＋1)＝41.14分[迁移探究2] 若将本例(2)变为“若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2016(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．”【导学号：51062335】－1[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，∴a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为C4n＝C8n”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.](1)(2017·浙江名校模拟)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝()A．i B．－iC．－1＋i D．－1－i(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12(1)C (2)D [(1)x ＝2i1－i＝－1＋i ， C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋ C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除．因此a 可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．3．运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图9-3-1所示，则a ＝________.图9-3-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )．故C1na＝3，C2na2＝4，解得a＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0,1，…，n )．课时分层训练(五十四) 二项式定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·杭州3月测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54 C ．－1516 D.1516D[T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4，所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.]2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4A [T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.]3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10C [(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.]4．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含的项的系数为30，则a ＝( )【导学号：51062336】A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6D[T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.]5．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )A ．－2B ．－3C ．125D ．－131C [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2.又a 0＝C 07(－1)020＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.]6．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A [逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.]二、填空题7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) －56 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.]8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________. 【导学号：51062337】150x [由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝ (－1)r 54－r C r 4，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .]9．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) －20 [x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.]10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．7x 5 [由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不符合题意，舍去)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5.] B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖州模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， ∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.]2．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]3．(2017·宁波调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________. 【导学号：51062338】11 2 [⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3.由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.] 4．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为________.【导学号：51062339】4 [∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.]。

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第十章10.3二项式定理

1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1.C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n(－1)m －1. 2．(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 (3x ＋1x x)n 的展开式中的第k ＋1项为C k n ()323k n kx x -－＝C k n 3n －k·52k xn -.若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，k ∈N ，使n －52k ＝0.故最小的n 值为5.4．在(x2－)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x2－)8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k()k ＝(－1)k 2k －8C k 848-3k x，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C68＝7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60答案(1)10(2)C解析(1)(2x＋x)5展开式的通项公式T k＋1＝C k5(2x)5－k·(x)k＝C k525－k52kx，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3，解得k＝4，得T5＝C4525－445-2x＝10x3，∴x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x －，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.(2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)(2016·北京海淀区模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.题型三二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.14．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)(2017·河北邯郸一中调研)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.错解展示解析 (1)(x ＋3x )n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x )n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x -，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212答案 A解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3 ＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x－1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x－1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9.8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)答案 60解析展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 答案－56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．(2016·嘉兴市高三上学期基础测试)在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答)答案 20 －160解析 (2－x )6展开式的通项T k ＋1＝C k 626－k (－x )k ，令k ＝3，∴含x 3的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36×23×(－1)3＝－160.11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k)k ＝(12)k C k 81634kx -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 0816304x -⨯＝x 4， T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ， T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ， T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。

二项式定理(1)

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数；由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28，故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析：在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ，所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ．选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项．的展开式的通项=．由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为．故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160．故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121．故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出．解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式，令可得，据此可得：项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6．故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ．－8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令得；令得.展开式为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式的系数，的展开式的系数，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ．故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

2018年高考数学考点一遍过专题49 二项式定理理

专题49 二项式定理（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 注意：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ， b 的值有关．如()n a bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n rr n a b -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)nx +，各项的系数与二项式系数是相等的．二、二项式系数的性质（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n-=得到.（2）增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.（3）各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k kn nn n n n n x x xx x +=++++++L L.令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n.（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即02131C C C C 2n n n n n -++=++=L L .三、必记结论（1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.考向一二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.典例1 的展开式中,的系数为A ．60B ．-60C ．240D ．-240【答案】C 【解析】的展开式中第项为66C (2)r rrx y --,令r =4，可得的系数为典例2 若a =d x (e 为自然对数的底数),则二项式(x-)6的展开式中的常数项为A ．-160B ．160C ．20D ．-20【答案】A【解析】由题意得a =d x =ln x=2,则二项式(x-)6的展开式中的常数项为第4项,所以其常数项为(-2)3=-160.典例3 已知关于x 的二项式(ax-)n展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a 的值为A ．1B ．±1C ．2D ．±2【答案】D1．在二项式(x-1x)n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x 2项的系数是 A ．-56 B ．-35 C ．35 D ．562．若(x 2-a )(x+1x)10的展开式中x 6的系数为30,则a 等于 A ．13 B ．12C ．1D ．23．已知在n的展开式中,第6项为常数项.(1)求;(2)求展开式中所有的有理项.考向二求二项式系数和或各项的系数和二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,1-或0”,有时也取其他值.（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--.典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+…+a11的值为A．0 B．-5C．5 D．255【答案】C典例5 已知(1-2x)n的展开式中的二项式系数的和是64,则n=;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=.【答案】6729【解析】由于二项式系数的和2n=64,所以n=6,所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=36=729.典例6在二项式n的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项．(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.∴n =8,在8中，令x =1，得各项系数和为1.2564．若(x +)9的展开式的常数项为-672,则其所有项的系数和为 .5．若(2x-1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 1+a 3+a 5= .(用数字作答)考向三整除问题利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.典例7 利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.n＝1时，2n+2·3n＋5n－4＝25.所以，当n*∈N时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.6．被49除所得的余数是A．-14 B．0 C．14 D．351．(1+x)7的展开式中x2的系数是A．42 B．35 C．28 D．212．二项式62xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式的第二项是A．6x4B．﹣6x4C ．12x 4D ．﹣12x 43．若实数a =2-,则a 10-2a 9+22a 8- (210)A ．32B ．-32C ． 1024D ．5124．设二项式(6的展开式的常数项为m ,则π20sin ⎰5mx d x 的值为A ．53B ．53-C ．13D ．13- 5．已知x (x-)5的展开式中含x 4项的系数为30,则a =A ．B ．-C ．-6D ．66．若(1-2x )5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则|a 0 |-|a 1|+|a 2|-|a 3|+|a 4|-|a 5|= A ．243 B ．27 C ．1D ．-17．在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为A ．135B ．105C ．30D ．158．已知(+)5的展开式的第三项为10,则y 关于x 的函数图象的大致形状为A BC D9．在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中,若2a2+a n-5=0,则自然数n的值是A．10 B．9C．8 D．710．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于A．27B．28C．7 D．811．若(1x-x)n的展开式的各个二项式系数的和为256,则(1x-x)n的展开式中的常数项为__________.12．的展开式中的系数与的系数之和等于__________.13．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=__________.14．的二项式中不含的项的系数为__________.15．已知(+)n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128,则n的值为__________. 16．(x2+2x-3y)5的展开式中,x5y的系数为__________.17．设(5x-)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.18．求8912除以11的余数.19．在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)各项系数绝对值之和.20．在二项式的展开式中,(1)写出其中含的项;(2)如果第项和第项的二项式系数相等,求的值.21．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二项式(ax m+bx n)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n=0,求a b的取值范围.1．（2016四川理科）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 42．（2017新课标全国Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．353．（2017新课标全国Ⅲ理科）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．80- B ．40- C ．40D ．804．（2017浙江理科）已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =________，5a =________．5．（2017山东理科）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 6．（2016新课标全国Ⅰ理科）5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）1．【答案】A2．【答案】D【解析】依题意,注意到(x+1x )10的展开式的通项公式是T r+1=·x 10-r ·(1x )r =·x10-2r,(x+1x )10的展开式中含x 4(当r =3时),x 6(当r =2时)项的系数分别为,,因此由题意得310C -a =120-45a =30,由此解得a =2,故选D ． 3．【解析】(1)()()33111C 11C 22r rrn r rn rrr r r r nn T x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()2311C 2rn r rr nx-⎛⎫-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.由第6项为常数项得5r =时,2503n -⨯=,即得10n =. (2)由已知得1023010r r r -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩Z N ,则有2,5,8r =.252210103216515C C 4563,4428T T x x T T ++==⋅===-=-,822109818C 452256T T x x --+==⋅=，即得展开式中的有理项为22456345,,48256x x --. 4．【答案】-1【解析】(x+)9的展开式的通项T r+1=·x 9-r ·()r =·x 9-3r ·a r ,令9-3r =0,得r =3,故·a 3=-672,得a=- 2.令x =1,则(x+)9=(1-2)9=-1,故(x+)9的所有项的系数和为-1. 5．【答案】3646．【答案】B 【解析】由题可得，=++，所以被49整除，所以余数为0.故选B ．1．【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=x r , 令r =2,得x 2的系数为=21. 2．【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr r r T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．3．【答案】A【解析】因为(a-2)10=a 10-2a 9+22a 8-…+210,a =2-,所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32. 4．【答案】C【解析】二项式(6的展开式的常数项为m=26C x2()4=15,所以π2sin⎰5mxd x=π2sin⎰3x d x=13-cos 3xπ2|=13-cos3π2-(13-cos 0)=13,故选C．5．【答案】C6．【答案】D【解析】由题意得|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a 5=(1-2)5=-1. 7．【答案】A【解析】因为在的展开式中，各二项式系数之和为64，即2n=64，所以n=6，二项展开式的通项63216C3rr rrT x-+=，令，则展开式中的常数项为8．【答案】D【解析】由题意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故选D．9．【答案】C10．【答案】C【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,将所得两式作差得2(a1+a3+…+a11)=28,所以a1+a3+…+a11=27,所以log2(a1+a3+…+a11)=7.11．【答案】70【解析】依题意得 2n=256,解得n=8,所以T r+1=(1x)8-r·(-x)r=(-1)r x2r-8,令2r-8=0,则r=4, 所以T5=(-1)4=70,所以(1x-x)n的展开式中的常数项为70.12．【答案】【解析】的展开式的通项为的系数与的系数之和等于.故填.13．【答案】114．【答案】【解析】展开式的通项为,令,的二项式中不含的项的系数为.15．【答案】7【解析】令x =1,得(+)n 的展开式中的各项系数的和为(1+3)n =4n,又(+)n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n , 所以42n n =128,所以2n=128,解得n =7.16．【答案】-480【解析】方法一：,其展开式的通项T r+1=(-3y )r，r =0,1,2,3,4,5,欲求的展开式中x 5y 的系数,只需令r =1,则(-3y )1展开式中,x 5y 的系数为-323=-480.方法二：要得到x 5y 的系数,第一步,从5个小括号(x 2+2x-3y )中取一个二次项x 2；第二步,从余下四个小括号(x 2+2x-3y )中取三个一次项2x ；第三步,从余下一个小括号(x 2+2x-3y )中取一个一次项-3y，即×23×(-3)=-480.17．【解析】依题意得,M =4n =(2n )2,N =2n ,于是有(2n )2-2n =240,(2n +15)(2n-16)=0,∴2n =16=24,解得n =4.要使二项式系数最大,则k =2,故展开式中二项式系数最大的项为T 3=(5x )2·(-)2=150x 3.18．【解析】8912＝(1＋88)12.由于上式除第一项外，各项都能被88整除，也就都能被11整除，故8912除以11的余数是1.20．【解析】(1)展开式的通项1k T +=()41031012C kkkk x--,令10-43k =2得k =6. ∴含2x 的项是()410666631012C x-⨯-=662102C x =213440x .(2)∵3110C r -=110C r +，∴3r -1=r +1或 3r -1+r +1=10, ∴r =1或r =52（舍去）. ∴r =1.又a >0,b >0,则9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以.1．【答案】A【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +可以写为6(i )x +，则其通项为66C i r rr x -，则含4x 的项为464446C i 15x x -=-． 2．【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，所以6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C ．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 4．【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m mr m x x x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 5．【答案】4【解析】()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.【解析】5(2x +的展开式的通项为555255C (2)2C r r rr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.。

专题10-3 二项式定理测-2018年高考数学一轮复习讲练测

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第十章计数原理，概率，随机变量及其分布第三节二项式定理班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017届 “超级全能生”浙江省高三3月联考】在二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A. -240B. 240C. -160D. 160 【答案】C2．【2017届四川巴中市高中高三10月零诊】设i 为虚数单位，则6)(i x -的展开式中含4x 的项为（） A ．415x - B ．415x C ．420ix - D ．420ix 【答案】A.【解析】由二项展开的通项公式616(1)r r r r r T C i x -+=-，令2r =，故4x 的系数是2226(1)15C i -=-，故选A.3.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】二项式51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A. 10B. 10-C. 5D. 5- 【答案】B【解析】展开式的通项为()()11552151r rrr T C x-+=-，令()115502r -=得3r =，所以展开式中的常数项为3510C -=-，故选B.4．【2017届江西南昌市高三上学期摸底】4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为（）A ．6B ．-6C ．24D ．-24 【答案】A【解析】第3项的二项式系数为246C =,选A.5．【2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点】若二次项8()ax x-的展开式中常数项为280，则实数a =（）A ．2B ．2±C ．D 【答案】C6．【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】在nx⎛+ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（） A ．15 B ．45 C ．135 D ．405 【答案】C【解析】由题意4642n n =，6n =，36621663rr r r r rr T C x C x --+==，令3632r -=，2r =，2263135C =．故选C ．7．【2017届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上入学摸底数学理试卷】二项式1022)x 展开式中的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45 【答案】B【解析】551021101022()(2)r rrr r rr T C C x x--+=-=-，令5502r -=，则2r =．所以常数项为22310(2)180T C =-=．故选B ．8．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】二项式()72x +的展开式中含5x 项的系数是( )A. 21B. 35C. 84D. 280 【答案】C【解析】5x 的系数为： 5757284C -⨯=，故选C ．9．【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下联考】62x x⎛- ⎝的展开式中，6x 的系数为（）A. 240B. 241C. -239D. －240 【答案】C10．【2018届云南省名校月考（一）】()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（）A. 4B. -4C. 6D. -6 【答案】B【解析】()()()()4512233441223344554444455555511x x C C x C x C x C xCC x C x C x C x C x -+=-+-++++++()()234234514641510105x xx x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.11．【2017届江西新余一中高三上开学】已知函数()()()log 110,1a f x x a a =-+>≠且的图象过定点()(),b f b ,则()523xx b -+的展开式中,x 的系数是（）A ．240-B ．120-C ．0D ．120【答案】A【解析】法一：log (1)1a 0a 1a x -+≠（＞，且）的图象过定点（2,1）,故b=2, 所以2525(3+b)(32)x x x x -=-+ 55(2)(1)x x =--0514445505144555555555(222)()C x C x C x C C x C x C x C =-++--++-∴展开式中x 的系数为44555455552()(2)240C C C C ⋅⋅-+-⋅⋅=-.法二：()log (1)1(0,1)a a a f x x =-+>≠且的图象过定点（2,1）,故b=2, 所以2525(3b)(32)b x x x x -+=-+ ，展开式中含x 的项可采取以下办法获得：2522222(3b)(32)b(32)(32)(32)(32)x x x x x x x x x x x x -+=-+-+-+-+-+,从上述5个因式中取一个－3x ，其他4个因式中均取常数项，于是得x 的系数为14454(3)2240.C C -⋅=- 12.【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知()92901292x a a x a x a x +=++++，则()()2213579246835792468a a a a a a a a a ++++-+++的值为（）A. 93B. 103C. 113D. 123 【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】展开式的通项为，所以展开式中的系数为。

浙江省基于高考试题的复习资料新二项式定理

九、计数原理与古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？[考试说明]3．了解二项式定理，二项式系数的性质。

[知识梳理]1．二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ，其中组合数rn C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==⋅⋅⋅ ），会求常数项、某项的系数等2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时, C r n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n 为偶数时，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数2n nC 取得最大值。

当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和32n +项）的二项式系数1122n n nnCC-+=相等并同时取最大值。

（3）二项式系数的和：01rn n n C C C +++L 2n n n C ++=L ； 0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅ 12n -=。

3.展开式系数的性质：若()01n n n a a a a bx x x =++++L ；令()()nf x a bx =+ 则：（1）展开式的各项系数和为()1f（2）展开式的奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f --（3）展开式的偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f +-二、高考怎么考？[全面解读]从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。

命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。

掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。

2018届高考数学二轮考点53二项式定理(理)专题卷(全国通用)

考点五十三二项式定理(理)知识梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫做二项式展开式的第r ＋1项(通项)，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项；T r ＋1＝C r n a n －r b r ． 2. 二项展开式形式上的特点(1) 项数为n ＋1．(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3) 字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4) 二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n ． 3.二项式系数的性质(1)对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)增减性与最大值先增后减中间最大当r ＜n ＋12时，二项式系数是递增的；当r ＞n ＋12时，二项式系数是递减的；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第n 2＋1项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大． (3)二项式系数和：二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 典例剖析题型一二项展开式指定项的系数例1 (1)(2015福建理)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)．(2)(2015重庆理)⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．答案 (1)80 (2)52解析 (1)(x ＋2)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r 2r ，令5－r ＝2，得r ＝3，∴x 2的系数为C 35×23＝80.(2) 二项展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 5x 15－7k 2，令15－7k 2＝8，解得k ＝2，因此x 8的系数为⎝⎛⎭⎫122C 25＝52.变式训练 (1)(2015四川理)在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________(用数字填写答案)．答案－40解析 (2x －1)5＝－(1－2x )5，∴x 2的系数为－C 25(－2)2＝－40.(2)(2015广东理)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．答案 6解析由题意可知T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝C r 4(－1)r x 4－r 2，令4－r 2＝1解得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24(－1)2＝6.解题要点解决指定项系数问题，均可以借助通项公式求解：(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．题型二三项或乘积形式的展开式问题例2 (2015新课标Ⅰ理)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________．答案 30解析方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.方法二利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 13＝30.故选C.变式训练 (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．答案 168解析 ∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C k 4x k y t ，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.解题要点对于这类乘积形式或三项式的展开式，关键是弄清展开式的特征，将问题转化为二项式进行处理，解题时可以利用乘法原理进行求解．题型三二项式系数的性质例3若(x＋2x2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是________．答案180解析展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为T r＋1＝C r10(x)10－r(2x2)r＝C r102r x5－52r，所以r＝2时，常数项为180.变式训练(2015湖北理)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．答案29解析由题意，C3n＝C7n，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.解题要点抓住二项式系数的性质是解题的关键，解题时需要注意：1.区分二项式系数与展开式中项的系数，在T r＋1＝C r n a n－r b r中，C r n是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．2. 牢记通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．题型四赋值法与二项式系数和问题例4如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于________．答案0解析令x＝0，有1＝a0；令x＝1，有1＝a0＋a1＋…＋a6，∴a1＋a2＋…＋a6＝0.变式训练(2015新课标II理)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.答案 3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.解题要点 1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2. 当堂练习1．(2015湖南理)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含的项的系数为30，则a ＝________．答案－6解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5 (－1)r a r ·＝(－1)r a r C r 5，令52－r ＝32，则r ＝1， ∴T 2＝－a C 15，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6.2．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________．答案－40解析因为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 525－k (－1)k x 10－3k ，令10－3k ＝1得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 3. 若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为________．答案 32,80解析由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32.4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋a x)7的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．(2015新课标II 理)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝_____. 答案 3解析设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.课后作业一、填空题1．(2015陕西理)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n 等于________．答案 6解析由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n (n －1)2＝15，解得n ＝6. 2．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．答案 15解析因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.3．(2014·湖南)(12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是________．答案－20解析 (12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12)5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r . 当r ＝3时，C 35(12)2·(－2)3＝－20. 4．在⎝⎛⎭⎫x －13x 6的展开式中，常数项为________．答案 53解析根据二项式定理可得⎝⎛⎭⎫x －13x 6的第n ＋1项展开式为C n 6(x )n ⎝⎛⎭⎫－13x 6－n ＝C n 6⎝⎛⎭⎫－136－n 362n x -，则当3n 2－6＝0，即n ＝4时，则常数项为C 46⎝⎛⎭⎫－136－4＝53. 5．在(x 2－1x)5的二项展开式中，第二项的系数为________．答案－5解析展开式中的第二项为T 2＝C 15(x 2)5－1(－1x)1，所以其系数为－C 15＝－5. 6．已知(x －a x)8展开式中常数项为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是_____．答案 1或38解析由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.7．在(x 2－13x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析由题意有n ＝8，T r ＋1＝C r 8(12)8－r (－1)r x 8－43r ，r ＝6时为常数项，常数项为7. 8．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．答案 40解析令x ＝1，即可得到⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1＋a ＝2，所以a ＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，要找其展开式中的常数项，需要找⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的x 和1x，由通项公式得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝±1，得到r ＝2或r ＝3，所以有80x 和－40x 项，分别与1x和x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40. 9．(2015安徽理)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________(用数字填写答案)．答案 35解析 ⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7·x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5.10． (2015天津理)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．答案 1516解析 ⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 11． (2015北京理)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．答案 40解析展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 二、解答题12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；解析令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. 13．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1) 求n ；(2) 求含x 2的项的系数；解析通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3. (1) ∵ 第6项为常数项，∴ r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10. (2) 令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴ x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.。

【推荐】专题44 二项式定理-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

专题44 二项式定理2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等2．命题形式多种多样，主要以选择题、填空题的形式出现，有时涉及函数与方程的思想方法热点题型一求展开式中的指定项或特定项例1、已知在(3x －123x)n 的展开式中，第6项为常数项。

(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项。

【热点题型】【高频考点解读】(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z0≤r ≤10r ∈Z 。

令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数。

∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8。

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2。

【提分秘籍】解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。

【举一反三】⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2解析：由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝C r 5·x 5－2r·a r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，由C 15·a＝10，解得a ＝2。

答案：D热点题型二二项式系数或项系数的和问题例2、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|。

2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点8-二项式定理(Word版,含解析)

显然，上式中只有第四项中含
x 的项，所以展开式中含
x 的项的系数是
C
3 4
3
43
768.
法 2： ( x2 3x 4) 4 [( x 1)(x 4)] 4 (x 1)4 ( x 4) 4
上式展开式的通项为
T C4r ( x)r C4k x4 k 4k ( 1)r 4k C4r C4k x4 k r , k 0 , 1 , 2 , 3, 4; r 0 , 1 , 2 , 3, 4.
热门题型
题型 1 求展开式中的特定项题型 2 用系数配对法解决多项式乘法问题题型 3 三项式问题
题型 1 求展开式中的特定项
例 1 求二项式 (x 2
1 )10 的展开式中的常数项 .
2x
【解题技巧】二项式展开式的通项是展
开式中的第 r 1 项 Cnr an r br ，先求出第 r 1 项的通项
A． 80 C． 40
B． 40 D． 80
1
6
1
变式 2.（2017 全国 1 卷理科 6）
x2
1x
展开式中 x2 的系数为（
）.
A.15
B. 20
C.30
D. 35
解析
1+ 1 x2
6
6
1 x 11 x
1 x2
1
x 6 ，对 1
x 6 二项式展开中 x2 项的系数为
C26
65 2
2 r 4 ，则展开式中的 x 2 项的系数为
1
4
C
4 6
15 ，
6
故所求 x2 2 x 1 的展开式中常数项为 2 x
20 15 25 ，应填 25 。

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章第3讲二项式定理含解析

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )－或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1n C.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n 2＋1＝6，n ＝10.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案40考点一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).(3)(2014·全国Ⅰ卷)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答). 解析(1)法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为C25C23C11＝30.(2)由(2x＋x)5得T r＋1＝C r5(2x)5－r(x)r＝25－r C r5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10.(3)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，∵x(x＋y)8中含x2y7的项为x·C78xy7，y(x＋y)8中含x2y7的项为y·C68x2y6.故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝C18－C28＝－20.答案(1)C(2)10(3)－20考点二二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 9D.9C 9(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式. (3)由于(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数. 解 S ＝C 1＋C 2＋…＋C 27＝227－1＝89－1＝(9－1)－1＝C 9×9－C 9×9＋…＋C 9×9－C 9－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [易错防范]1.通项T k ＋1＝C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项，这里k ＝0，1，…，n .2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值A.53B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案－211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案－64能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12. 答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8解析由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.16.在(1＋x )(1＋y )的展开式中，记x y 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120. 答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 的值为________.解析 (1)由f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，可得2n ＝512，∴n ＝9.∵(2x －3)9＝[－1＋2(x －1)]9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，∴a 2＝C 29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x －3)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9中，令x ＝1，可得a 0＝－1.再令x ＝2，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2.答案 (1)－144 (2)2。

完整版二项式定理高考题带答案

31.2018年全国卷川理】’_ 的展开式中「的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80 【答案】C=40故选C.(歩+》2. 【2018年浙江卷】二项式 ____________ 肚的展开式的常数项是 :【答案】7【解析】分析：先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1项，再根据项的次数为零解得r ,代入即得结果.详解：二项式 -的展开式的通项公式为—1二乐陶一4丁 =匚；诗•角1令- 得，故所求的常数项为-(x_y^)sW3. _______________________________________________________________ 【2018年理数天津卷】在川的展开式中，的系数为 ____________________________________【解析】分析：写出=CZ 2T 'X 10_3r然后可得结果详解:由题可得'，令—【答案】详解：’ 厂的展开式为:"吹旷当™时,%W",当―…时,【解析】分析；由题意结合二项式定理展开式的通顷公式得到F 的值，然后求解h 的系数即可详網结合二项式定理的通项公式有；粘厂常疋叫一点）'（一91討弓，令5-駛=2可得：r =2,则八的系数九：（一了曙二汁10 = 2 决问题的关键. 4.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式"'中所有项的系b£十上数之和为八，所有项的系数的绝对值之和为’，贝旷一的最小值为（）5139A. 2B. -C. :D.- 【答案】B【解析】分析：由题益通过给二映式的％赋直求出舟和b 的解析式，可得）脚最小值. 祥解：令可得二项式（3-x ） n （u€NO 中所有I 页的系数之和为a=2%令可得＜3-x ）啲所有项的系数的纯对值之和为‘则三+ j=^ + = 2" +負故当wl 时、+諏得最小值圭故选B.{/ _ — 2x + 1 ］百 J5.【安徽省宿州市2018届三模】… 的展开式中"项的系数为【答案】-132【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.【答案】C 【解析】试題分折:(北+ y){2x-y)5= x(2x-y^ +y{2x-yf 、由(玄-卅展开式的通项公式：匚严©(2力"(一汀可得：当r = 3时，展幵式中//的系数为=-40 , 当厂=2时，y(2x-y)5展开式中的系数为x(-l)a = 80 、则迅讨的系数対80—40 = 40・故选G8.【2017 浙江，13】已知多项式 X 1 3 X 2 2= x 5 a 1x 4 a 2x 3 a 3x 2 a 4x 1 a 5，贝Ua4 = _______ ， a5 = _______【答案计数•几+i = 2&-3C^_:L = 192r 5，据此可得：展开式中项的系数为60-192=- 1326.【2017课标1，理6】(1 12 )(1 X )展开式中XX 2的系数为A . 15B . 20C. 30D . 35【答案】C 【解析】试题分析: 1 C62X 2-4)(1 X 2115X ， 2(1 X因为(1 X ) 1 (1X )6(1 6 X)，则(16X)展开式中含2x 的项为15 15 30，选 C.X)6展开式中含X的项为丄 C ；x 4X2 215X ，故 X 前系数为情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同•7.【2017课标3,理4】X y 2X 5y 的展开式中X 3y 3的系数为A .80 B .40C. 40D . 80_ n 29. 【2017山东，理11】已知1 3x的展开式中含有x项的系数是54，则n ______________________ 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式r 1C n 3x r C n 3r x r，令r 2得：2 2C n 3 54，解得n 4.【考点】二项式定理10. 【2015高考陕西，理4】二项式(x 1)n(n N )的展开式中x2的系数为15,则n ()A. 4B. 5D. 7【答案】C【解析】二项式x 1 n的展开式的通项是因为x2的系数为15,所以C2 15，即n2为n ，所以n 6，故选C.C. 6r 1 C：x r，令r 2得x2的系数是C；，n 30 0，解得：n 6或n 5，因【考点定位】二项式定理.【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“n”否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式a b n的展开式的通项是k 1 c n a n k b k.11. 【2015高考新课标1,理10】(x2 x y)5的展开式中，x5y2的系数为()(A) 10 ( B) 20 (C) 30 ( D) 60【答案】C12. 【2015高考湖北，理3】已知(1 x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式16解得n 10 ,字作答）. 【答案】二项展开式通项为 I. C5k （x3）5k （24x ）k （1）kC 5k/^k ，令 15 了； 8，【答案】6.4 r4r x 2，令 4 r 1 解得 r 2，2【解析】由题可知T r 1 C 4 xC ； 1 所以展开式中x 的系数为C ；1 故应填入【名师点睛】涉及二项式定理的题, 般利用其通项公式求解15.【2015高考天津，理12】在x — 4x61的展开式中，x 2的系数为系数和为（A. 212B . 211C . 210D . 29【答案】D【解析】因为（1x ）n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以c n3 C 7，所以二项式（1 x ）10中奇数项的二项式系数和为1 21025113.【2015高考重庆，理12】x 3的展开式中 2Jx29.x 8的系数是（用数【解析】解得k2，因此x 8的系数为（2）2C 214.【2015高考广东，理9】在（x1）4的展开式中，x 的系数为6126 2r 2得r 2，所以T 31Cfx 2 15x 2，所以该项系数为15. 34 6 161616.【2015高考新课标2,理15】(a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幕项的系数之和为32，则a __________ : 【答案】3【解析】由已知得(1 x)4 1 4x 6x 2 4x 3 x 4，故(a x)(1 x)4的展开式中x的奇数次幕项分别为4ax ，4ax 3，x , 6x 3，x 5，其系数之和为4a 4a 1+6+仁32, 解得a 3 •【考点定位】二项式定理.(结果用数值表示). 【答案】45字作答)【解析】 x —— 4x展开式的通项为T r !C 6x 6r1 4x17.【2015高考湖南，理 6】已知x a x3的展开式中含x 2的项的系数为30,A. 3B. 3C.6 D-6【答案】D. 18.【2015高考上海，理 11】在12015x10的展开式中，x 2项的系数为【解析】因为1 x12015x10(1 x)12015x10(1 x)10C ；(1x)9 1L2015x所以x 2项只能在(1 x)10展开式中, 即为C 18o x 2，系数为C 180 45.19. (2016年北京高考)6 2在(1 2x)的展开式中，x 的系数为,由【答案】60.120. （2016年山东高考）若（ax2+「= ）5的展开式中x5的系数是一80,则实数a= ______________ .Vx【答案】-2n221. （2016年上海高考）在3x 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常x数项等于____________【答案】11222. （2016年四川高考）设i为虚数单位，则（x i）6的展开式中含x4的项为（A）—15x4（B）15x4（C）—20i x4（D）20i x4【答案】A2 1 823. （2016年天津高考）（X —）的展开式中x2的系数为 _______________ .（用数字作答）x【答案】5624. （2016年全国I高考）（2x x）5的展开式中，x3的系数是 ____________ .（用数字填写答案）【答案】10。

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理课件

k 2 5－k ∵Tk－ k 1 k 2 5－k k x ＝ a C5 x
，
5 ∴10－2k＝5，解得 k＝2，∴a3C2 5＝－80，解得 a＝－2.
思维升华
求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
012 2 012 ∴C2 · ( － 1) ＋a＝1＋a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12. 2 012
1.172 精确到小数点后三位) (2)1.028的近似值是________.(
答案
解析
1 2 2 3 3 1.028＝(1＋0.02)8≈C0 ＋ C · 0.02 ＋ C · 0.02 ＋ C · 0.02 ≈1.172. 8 8 8 8
题型三二项式定理的应用例4 (1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于 A.0 B.1
012
C.11
012 2 ＋a＝C0 · 52 2 012 012
D.12
2 －C1 · 52 2 012
答案
011
解析
512
＋ a ＝ (52 － 1)2
2 011
011 ＋„＋C2 2 012
1 10 10 二项式系数的和为 C0 ＋ C ＋ „ ＋ C ＝ 2 . 10 10 10
(2)各项系数的和；解答
令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
2 10 9 奇数项的二项式系数和为 C0 ＋ C ＋ „ ＋ C ＝ 2 ， 10 10 10
跟踪训练 2

2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第十一章第二节二项式定理Word版含解析

第二节二项式定理突破点(一) 二项式的通项公式及应用1．二项式定理(1)二项展开式：公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)叫做二项式定理．(2)二项式的通项：T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C r n (r ∈{0，1，…，n })叫做第r ＋1项的二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a ＋bx )n 的展开式中，第r ＋1项的系数是C r n an －r b r.[例1] (1)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．10 B ．－10 C ．－5D ．20(2)(2017·武汉模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40(3)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6(4)⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．(5)二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． [解析] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为C r 5·(－1)r x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以含x 4项的系数为C 25(－1)2＝10，故选A.(2)∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝(－2)r C r 5·x 10－5r ，由10－5r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝(－2)2C 25＝40.(3)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r 2，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项．(5)二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n－3rx－2r＝C r n x3n－5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.[答案] (1)A (2)C (3)D (4)3 (5)5 [方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量[例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3D ．4(2)已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1[解析 (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. 法三：在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可分为以下三种情况：①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 26C 04＝15；②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 16(－1)1C 14＝－24；③(1－x )6中选0个(－x )，(1＋x )4中选2个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 06C 24＝6.故x 项的系数为15－24＋6＝－3.(2)展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1.[答案 (1)B (2)D [方法技巧]求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2；(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．求解形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量[例3] (1)(2017·湖北枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60(2)(2016·安徽安庆二模)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[答案] (1)C (2)－160 [方法技巧]求形如(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的步骤第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看作(a ＋b )与c 两项的和；第二步，根据二项式定理求出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n－r的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一](2017·杭州模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516解析：选D T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516.故选D. 2．[考点一]在⎝⎛⎭⎫ax 6＋bx 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( ) A ．20 B ．15 C ．10D ．5解析：选D T r ＋1＝C r 4(ax 6)4－r ·⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 4a 4－r ·b r x 24－7r ，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，所以ab 3＝5.3．[考点三](2016·厦门联考)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120解析：选C 因为⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.4．[考点二](1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.5．[考点二](x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22×22×C 05＝4，x 7的系数为C 02×C 55(－1)5＝－1，因此x 7的系数与常数项之差的绝对值为5.6．[考点三]⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322突破点(二) 二项式系数的性质及应用二项式系数的性质(1)对称性：当0≤k ≤n 时，C kn ＝C n －kn .(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n 为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[例1] 二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．[解] 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1 ①，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 ②，①＋②2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和． (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，此即为各项系数绝对值之和．[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．二项式系数或系数的最值问题第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．[例2] (1)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212(2)在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11[解析] (1)由C 3n ＝C 7n ，得n ＝10，故奇数项的二项式系数和为29.(2)二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.[答案 (1)A (2)C能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2017·福建漳州调研)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20解析：选D 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.2．[考点二](2017·广东肇庆三模)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7 B ．112x 3y 4 C ．672x 2y 5 D ．1 344x 2y 5 解析：选C 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！(7－r )！·2r ≥7！(r －1)！(7－r ＋1)！·2r －1，7！r ！(7－r )！·2r≥7！(r ＋1)！(7－r －1)！·2r ＋1，即⎩⎨⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎨⎧r ≤163，r ≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5.∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C. 3．[考点二]⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 2n(n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．210C ．252D ．45解析：选B 由已知得，二项式展开式中各项的系数与二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x 5－12rx －r 3＝C r 10x 5－56r ，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时常数项为T 7＝C 610＝210.4．[考点一]设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．解析：由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2，令4－3r2＝1，得r ＝2，则展开式中含x 的项为T 3＝150x . 答案：150x[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6 C．7 D．8解析：选B根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C m2m＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13C m2m＝7C m2m＋1，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.2．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)解析：(2x＋x)5展开式的通项为T r＋1＝C r5(2x)5－r(x)r＝25－r·C r5·x5－r2.令5－r2＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C45＝2C45＝10.答案：103．(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以a＝3.答案：34．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x＋y)8中，T r＋1＝C r8x8－r y r，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.答案：－205．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r＋1＝C r10x10－r a r，当10－r＝7时，r＝3，所以T4＝C310a3x7，则C310a3＝15，故a＝1 2.答案：1 2[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是()A．28 B．56 C．112 D．224解析：选C 通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r 2r ＝2r C r 8x 8－r ，令8－r ＝6，得r ＝2，即T 3＝22C 28x 6＝112x 6，所以x 6的系数是112.2．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝⎛⎭⎫－2x 4＝16C 4n x n 2－6是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数是( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 由题意可知x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数即为(1＋x )6的展开式中的x 2项的系数，(1＋x )6的展开式中的x 2项为C 26x 2，所以含x 3项的系数为C 26＝15.4．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为( ) A ．1 B ．129 C ．128D ．127解析：选B 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝27＝128；令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129.5．(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210B ．210C ．30D ．－30解析：选A (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210，故选A.[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：选A ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝⎛⎭⎫2x 2k ＝2k C k10x 5－52k ，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180. 2.⎝⎛⎭⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝⎛⎭⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝⎛⎭⎫2x ＋x 中的2x两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.3．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.4．(2017·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 5．(2017·银川质检)若(2x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 11(x ＋1)11，则a 0＋a 12＋a 23＋…＋a 1112＝( ) A ．0 B ．1 C.124D ．12解析：选A 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，从而(2t －1)11＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 11t 11，而⎣⎡⎦⎤(2t －1)1224′＝a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ′，即(2t －1)1224＝a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ，令t ＝0，得c ＝124，令t ＝1，得a 0＋a 12＋a 23＋…＋a 1112＝0. 6．在(1＋x )6(2＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (4,0)＋f (3,1)＋f (2,2)＋f (1,3)＋f (0,4)＝( )A ．1 240B ．1 289C ．600D ．880解析：选B (1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，(2＋y )4的展开式中，y n的系数为C n 424－n ，则f (m ，n )＝C m 6·C n 4·24－n，从而f (4,0)＋f (3,1)＋f (2,2)＋f (1,3)＋f (0,4)＝C 46·C 04·24＋C 36·C 14·23＋C 26·C 24·22＋C 16· C 34·21＋C 06·C 44·20＝1 289. 二、填空题 7.⎝⎛⎭⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛a －2x 2d x 的值为________．解析：该二项展开式的第二项的系数为36C 16a 5，由36C 16a 5＝－3，解得a ＝－1，因此⎠⎛a －2x 2d x ＝⎠⎛－2－1x 2d x ＝x 33|－1－2＝－13＋83＝73. 答案：738．若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x 的一次项的系数为________．解析：T r ＋1＝C r n (x)n －r ⎝⎛⎭⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n x n －3r 2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C n n |＝1 024，所以(1＋3)n ＝1 024，解得n ＝5，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15.答案：－159．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x 3的项的系数是________．解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：－12110．若将函数f(x)＝x 5表示为f(x)＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 5(1＋x)5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10.答案：10三、解答题11．已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)∵(1－2x)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.12．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n x n －k 3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3 ＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2.。

专题13二项式定理-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

专题十三二项式定理
【母题原题 1】【 2018 浙江， 14】二项式
的展开式的常数项是 ___________．
【答案】 7 【解析】分析 :先根据二项式展开式的通项公式写出第
r +1 项，再根据项的次数为零解得 r ，代入即得结果 .
详解：二项式
的展开式的通项公式为
,Hale Waihona Puke 令得，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
：
(1) 求展开式中的特定项 .可依据条件写出第
项，再由特定项的特点求出值即可 .
(2) 已知展开式的某项，求特定项的系数 .可由某项得出参数的值，再由通项写出第
项，由特定项得出值，
最后求出特定项的系数 .
【母题原题 2】【 2017 浙江， 13】已知多项式
从以下几个方面命题：（ 1）考查二项展开式的通项公式
Tr 1
C
r n
a
n
r br
；（可以考查某一项，也可考查某一
项的系数）（ 2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．近两年，浙江紧紧围绕
二项展开式的通项公式 Tr 1 Cnr an r br 命题，考查某一项或考查某一项的系数 .
，故展开式中 x 2 的系数为
x
C43 2C42 8，选 C
6．【 2018 届浙江省台州中学模拟】二项式
____ ______．
【答案】
32
的展开式中常数项为 __________．所有项的系数和为
1．【 2018 届浙江省杭州市第二次检测】二项式
A. 80 B. 48 C. 【答案】 D
－ 40 D. － 80