常微分方程的初等解法与求解技巧
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况
1.1.定义：
自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
常微分方程
概念
学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、 高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之 间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的 运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不 是以已知函数来计算特定的未知数。
常微分方程
数学概念
01 概念
03 特点
目录
02 定义 04 应用
05 发展
07 实例
目录
06 分支学科 08 解法
常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程， 比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的 问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取 求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
常微分方程第二章第一讲
du du tan u ux u tan u即 (*) dx dx x 分离变量，并两边积分 ，得 du dx tan u x 即 ln | sin u | ln | x | C1
y 代回原来的变量得所求方程的通解为sin cx 16 x
dy 例6.求解方程x 2 xy y ( x 0). dx
2 2 ~ C
代回原来的变量，得所 求方程的通解为
y 2 2xy x 2 6 y 2x C(C C1 7为任意常数） 24
2.1.3 应用例题选讲 例8. 探照灯反射镜 面的形状
问题：在制造探照灯 的反射镜面时，总是 要求将点光源射出的 光线平行的反射出去 ，以保证探照灯有良 好的方向性，试求反 射镜面的几何形状。
25
分析：取光源所在处为坐标原
点，而 x 轴平行于光的反射方
向，如图（2.3）所示,设所求
y f ( x ), 曲面由曲线 绕 x 轴旋 z 0
转而成，则求反射镜面的问题
归结为求平面上的曲线 y f (x)
的问题。
假设 过曲线 y f (x) 上任一点 M ( x, y) 作切线 NT ， 则由光的反射定律：入射角等于反射角。 26
令X x 1, Y y 2, 代入所给方程，得
dY X Y dX X Y
Y dY du 令u , 则Y Xu , u X , 代入上述方程，得 X dX dX
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
郑燕，王俊霞
太原师范学院数学系，山西晋中，030619
摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.
1。预备知识
（1.1）
其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了
（1.2）
我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法
线性常微分方程（Linear Ordinary Differential Equation, 简称LODE）是微积分中重要的基础概念之一，它在多个领域中具有广泛的应用。
本文将介绍线性常微分方程的解法，并探讨其中的一些基本原理和方法。
一、一阶线性常微分方程的解法
一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:
\[\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\]
其中P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这个方程，我们可以借助于积分因子的方法。假设积分因
子是μ(x)，则两边同时乘以μ(x)后，上述方程可以变形为:
\[\mu(x)\frac{{dy}}{{dx}} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)\]
左边的第一项可以通过乘积法则进行展开得到:
\[\frac{{d}}{{dx}}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x)\]
再对上式两边同时积分，得到:
\[\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx\]
最后将上式两边除以μ(x)，即可得到y的解:
\[y = \frac{{1}}{{\mu(x)}}\int \mu(x)Q(x)dx\]
二、二阶线性常微分方程的解法
二阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:
\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)\]
其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。
通常情况下，我们可以先找到该方程的齐次线性方程的解，即P(x)、Q(x)和R(x)都等于零的情况。这个方程可以表示为:
\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\]
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程？
常数变易法、积分因子法，函数变换法。
大致与微积分同时产生。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
常微分方程的常见解法
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
1、 逐次迭代法
对初始值问题
构造迭代序列
（ 1x） =y0 ＋ xx 0f(s,0(s))ds
该序列一致收敛到解，故迭代一定次 数后就可以作为一个近似
例 求初值问题的近似解 d y y , y(0)1 dx
解：该初值问题近似解的迭代序列 {yn(如x)下}
y0(x) 1,
y 1(x) 1 0 xy 0 ( s ) d s 1 x,
dy f (x)dx g(y) 这样对上式两边积分得到
gd(yy)f(x)dxC
齐次方程
齐次函数: 函数 f (x, y) 称为m次齐次函数, 如果
f(t,x t)y tm f(x ,y )t, 0 .
齐次方程: 形如 dy F( y) 的方程称为齐次方程。
dx x
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
考虑 [t,tt] 内湖泊中盐酸的变化。
常微分方程常见形式及解法
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
常微分方程常见形式及解法
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程，其解是常数值。
常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是 一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是：
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
[串Байду номын сангаас成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究
1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
常微分方程初等解法及其求解技巧
目 录
摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ............................................................. I Key words ........................................................... I 1.前 言 ............................................................ 1 2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1 2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1 2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2 2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2 2.2常数变易法 ..................................................... 7 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8 2.3积分因子法 .................................................... 13 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14 3.1几个重要的变换技巧及实例 .. (15)
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程？
常数变易法、积分因子法，函数变换法。
大致与微积分同时产生。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
dc(x) Q(x)e p(x)dx dx
积分得
c(x)
Q(
x)e
p
(
x )dx
dx
~
c
30 故(1)的通解为
y e p(x)dx (
Q(
x)e
p
(
x
) dx
dx
~
c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
(x 1) dy ny ex (x 1)n1 dx
通解,这里为n常数
解: 将方程改写为 dy n y ex (x 1)n dx x 1
首先,求齐次方程 dy n y的通解 dx x 1
从
dy dx
ny x 1
分离变量得
dy y
n dx x 1
两边积分得 ln y nln x 1 c1
x)e
p
(
x
) dx
dx
~
c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
~
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
~
c)
x3(4 ln
微分方程求解方法总结
微分方程求解方法总结
在数学中，有许多重要的方法，但每种方法都有自己的特点。下面我就从几个方面来讲一下微分方程求解的方法。
根据某一具体问题的需要，可以使用变量替换法、分离常数法、方程组求解法等。
如果方程有两个未知数，则将二者同时代入，消去一个未知数，求出另一个未知数；或者设出一个变量，使得原方程能够表示为：
y=x+e(k)，或者将它化成含参数为y=x(k)(t)dt的标准形式。在初等微分方程中，一般先设解析函数(y=f(x))，然后用变量替换法或者分离常数法即可求得。
在建立方程时，如果没有足够的条件，可以假设某些因素来达到目的，常用的方法有整理变量法、降次法、分离参数法等。假设有两个或两个以上的方程不能同时给出解析解，则可以降低方程的次数(系数)来得到解析解。这时应该注意的是，所建立的方程必须有实数解，否则就不可能用于实际问题。
求解微分方程的基本思想就是把方程化为标准形式，并利用标准形式的解。对于一个含有复杂变量的方程来说，利用微分方程理论可以分析解的性质和结构，找出一些重要关系式，进而推导出通解公式或者近似公式。当把方程降次后，可以利用解的叠加性，将解的集合逐步地“叠加”起来，直至叠加出所需要的解。对于简单的方程，有时还可以利用初等函数方法，使方程化为线性方程，再求解即可。而对于含有非线性方程的方程组来说，可以考虑适当地选择一些辅助未
知函数，建立辅助方程，求得未知函数的近似值，再利用微分方程的性质进行迭代求解，从而得到原方程组的解。对于具有多个方程的方程组来说，除了可以使用上述方法外，还可以利用差分的思想进行处理。求解方程的主要方法包括了最小二乘法、数值解法等。最小二乘法是指在建立数学模型的基础上，尽量使用近似解。它首先把各方程组解进行比较，选出误差最小的一个，然后用此方程组的解进行拟合，得到满足精度要求的预测值。数值解法则主要是通过近似方法来求得方程的解，其解决思路是寻找误差最小的一个，然后采用微分方程的性质，通过计算，将方程化为简单方程，再利用标准形式进行计算。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程 毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程 毕文彬
5
01一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程 毕文彬
6
02二阶常系数齐次常微分方程
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
一阶常微分方程的初等解法
一阶常微分方程的初等解法
作者：袭静
来源：《教育周报·教研版》2018年第43期
摘要：常微分方程属于数学分析的一部分，是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要。因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析，同+时结合例题，演示了初等解法在解题过程中的应用。
一、一阶常微分方程的几种常见解法
（1）分离变量法。形如，的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数。
因式不适合情形.但是如果存在使，则直接验证知也是的解.因此，还必须寻求的解，当不包括在方程的通解中时，必须补上特解
齐次方程是可分离的变量，分离变量后得，两边积分得;，
（2）齐次微分方程。形如，的方程，称为奇次微分方程，这里是的连续函数.作变量变换，即于是。代入原方程可得，整理后，得到。因是一个变量分离方程.则可依照变量分离方法求解，然后代回原来的变量，即可获到原方程的解。
（3）常数变易法。①一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数，如果，方程变为称其为一阶齐次线性微分方程，如果称其为一阶非齐次线性微分方程。变易分离方程，易求得它的通解为这里是任意常数。②非齐次线性方程的通解
不难看出，是它的特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别，现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解，显然，如果方程中恒保持为常数，它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数，使它满足方程，从而求出为此，令两边同时微分，得到代入原方程，得到即
常微分方程考研讲义第二章一阶微分方程的初等解法
常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法
第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法
[教学⽬标]
1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。
2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。
3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。
4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。
[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。
[教学⽅法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时
[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。 [考核⽬标]
1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。
2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。
§1 变量分离⽅程与变量变换
1、变量分离⽅程
1) 变量分离⽅程形如
()()dy
f x
g y dx
= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）
的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法
如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，
()()
dy
f x dx
g y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到
()()dy
f x dx c
g y =+??
（2.2）把
,()()dy f x dx g y ??分别理解为1
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师大学本科毕业论文（设计）
常微分方程的初等解法与求解技巧
姓名娟
院系数学与计算机科学学院
专业信息与计算科学
班级12510201
学号1251020126
指导教师王晓锋
答辩日期
成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧
容摘要
常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.
【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary
Differential Equation
Abstract
Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.
【Key Words】the separation of variables the first order implicit
differential equation integrating factor solution techniques
目录
1.引论 ............................... 1 2.变量分离方程与变量变换 . (1)
2.1变量分离方程的解法 ....................... 1 2.2变量分离方程的举例 ....................... 2 2.3变量分离方程的几种类型 (2)
3.线性微分方程和常数变易法 (6)
3.1线性微分方程与常数变易法 .................... 6 3.2伯努利微分方程 . (8)
4.恰当微分方程与积分因子 (9)
4.1恰当微分方程 .......................... 9 4.2积分因子 (11)
5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)
5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)
6.常微分方程的若干求解技巧 (18)
6.1将一阶微分方程
dx
dy
变为dy dx 的形式 (18)
6.2分项组合 (19)
6.3积分因子的选择 (20)
7.总结 .............................. 21 参考文献 ..................... 错误!未定义书签。 致 .. (22)
常微分方程的初等解法与求解技巧
学生：娟 指导教师：王晓锋 1.引论
常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].
常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].
常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.
2.变量分离方程与变量变换
2.1变量分离方程的解法
对于变量分离方程
)()(y x f dx
dy
ϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：
dx x f y dy
)()
(=ϕ， 两边积分，得到:
c dx x f y dy
+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.
如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy
+=⎰)()
(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.
2.2变量分离方程的举例
（1）
xy dx
dy
2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx y
dy
2=， 两边积分，得到：
12⎰⎰+=c xdx y dy
，1c 为任意实数．
故 2
x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2
x ce y =中， 故方程的通解为：
2
x ce y =，c 为任意实数．
2.3变量分离方程的几种类型 2.
3.1齐次微分方程
对于齐次微分方程
)(x
y
g dx dy =， 解法：令x
y
u =
则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：
u dx du
x dx dy +=，
（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x y
g dx dy =中可得：
)(u g u dx
du x =+， 即 x
u
u g dx du -=
)(， 从而可以求得其解．
举例：求解方程)0(2<=+x y xy dx
dy
x .
解：原方程可化解为：
x
y x y dx dy +=2()0