高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
[例 1]
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 Βιβλιοθήκη Baidu且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
1 1 [(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]2－a ＋2－a ＋ 1 2
1 „＋ ≥n2， 2－an 而(2－a1)＋(2－a2)＋„＋(2－an)＝2n－1，
1 n2 n 所以，S≥n× ＝ ， 2n－1 2n－1 1 当且仅当 a1＝a2＝„＝an＝n时， 上面几个不等式的等号 n 成立，于是 S 的最小值为 . 2n－1
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
+
1 ������2
+
���1���2.
专题一
专题二
变式训练1 已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 求证 -23 ≤c≤1. 证明：因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,
所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2.
由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2,
1234
4.(2015陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a,b的值; (2)求 ������������ + 12 + ������������的最大值. 解：(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则 -���������-���-������������==42,,解得 a=-3,b=1. (2) -3������ + 12 + ������ = 3 4-������ + ������
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高
第三讲 柯西不等式与排序不等式
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设M ＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤N
D ．M ＜N
解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
)(b 2
＋c 2
＋d 2
＋a 2
)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2
， 即(a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2)2
≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2
， ∵a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
≥0，
∴a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .
2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋ac b
的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6
D ．12
解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋ac
a
＋
bc
c
＝a ＋c ＋b ＝6. 3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 2
1＋2x 2
2＋5x 2
3＋x 2
4的最小值是() A.
78215 B.15782 C ．3 D.253
解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2
人教A版选修4-5 第3讲 3 排序不等式 课件(18张)
2．排序原理或排序不等式
设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…， cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则__a_1_b_n＋__a_2_b_n_－_1＋__…__＋__a_n_b_1___ ≤__a_1_c1_＋__a_2_c_2＋__…__＋__a_n_c_n__≤___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__…__＋__a_n_b_n____.
解：设 a1，a2，a3 按从小到大排成一列为 b1，b2，b3， 即 b1<b2<b3. 又 a1，a2，a3 为正整数，且各不相同， ∴b1≥1，b2≥2，b3≥3. 又∵312<212<112，
由排序不等式知，乱序和≥反序和，得 a1＋a222＋a233>b332＋b222＋b112≥13＋12＋1＝161. ∵a1，a2，a3 互不相等， ∴a1＋a222＋a233的取值范围是161，＋∞.
知识点二 用排序不等式证明不等式
4．(2019·江西南昌二中月考)已知 a，b，c∈R＋，则 a2(a2－
bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c>0，所以 a3≥b3≥c3，根据排序不等式， 得 a3×a ＋ b3×b ＋ c3×c≥a3b ＋ b3c ＋ c3a ， 又 ab≥ac≥bc ， a2≥b2≥c2，所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以 a4＋b4 ＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ca)＋c2(c2－ ab)≥0，故选 B.
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式学案 新人教A版选修45
三 排序不等式
1．掌握排序不等式的推导和证明过程．
2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．
1．基本概念
设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n 是两组实数，c 1，c 2，c 3，…，c n 是数组b 1，b 2，…，b n 的任何一个排列，则S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的____和．
2．排序原理或排序不等式
设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则__________________≤______________________≤____________________.
当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．
分析题目时要找到原始的两组实数．
【做一做1－1】 设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 不小于________．
数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.3排序不等式
当且仅当 பைடு நூலகம்1＝x2＝…＝xn 时，等号成立． 答案：A
4．顺序和、反序和、乱序和的大小关系是________． 解析：由排序不等式易知反序和≤乱序和≤顺序和． 答案：反序和≤乱序和≤顺序和
5．有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个 人的水桶分别需要 5 s，4 s，3 s，7 s，每个人接完水后就 离开，则他们总的等候时间最短为________s.
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、
反序和分别是( )
A．100，85
B．100，80
C．95，80
D．95，85
由排序不等式得 x2 ＋ y2 ＋ z2 ≥z· x ＋x· y y＋z z＋x x＋y y＋z z＋x
＋y· z ， x2 ＋ y2 ＋ z2 ≥y· x ＋z· y ＋x· z . x＋y y＋z z＋x x＋y y＋z z＋x x＋y 两式相加并化简，得 2y＋x2 z＋z＋y2x＋x＋z2 y≥x＋y＋z.
解：由顺序和最大知 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值 为 a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9 ×10＋12×11＝304.
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第3讲柯西不等式与排序不等式课件理新人教A版选修4_
因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|. 如果向量 α 和 β 中有零向量，则 ad－bc＝0，不等式取等号．如 果向量 α 和 β 都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量 α 和 β 共线时，不等式取等号．
柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法， 柯西三角不等式还可利用几何法证明． 如下：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则
已知 a，b 为正数，求证：1a＋4b≥a＋9 b. 证明：因为 a>0，b>0，
所以由柯西不等式，
得(a＋b)1a＋4b
＝[( a)2＋( b)2]·
1a2＋
4b2
≥ a·
1a＋ b· 4b2＝9，当且仅当 a＝12b 时取等号，所以1a
（x1－x3）2＋（y1－y3）2 ＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2 ≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2. 证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)． 由 |CA| ＋ |CB|≥|BA| 与 两 点 间 的 距 离 公 式 得 （x1－x3）2＋（y1－y3）2 ＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2 ≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2. 当且仅当点 C 位于线段 BA 上时取等号．
(5)( 三 角 变 式 ) 设 x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 ∈ R ， 则 （x1－x3）2＋（y1－y3）2 ＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2 ≥
【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习
为 4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产 1 min 损失 5 元，经合
理安排损失最少为( ) A．420 元 C．450 元
B．400 元 D．570 元
解析：损失最少为 5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和
最小．
答案：A 3．设 a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则 M 与 N 的
3.3 排序不等式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设正实数 a1，a2，a3 的任一排列为 a1′，a2′，a3′，则aa1′1 ＋aa2′2 ＋aa3′3
的最小值为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：a1≥a2≥a3＞0，则a13≥a12≥a11＞0， 由乱序和不小于反序和知，
所以aa1′1 ＋aa2′2 ＋aa3′3 ≥aa11＋aa22＋aa33＝3， 所以aa1′1 ＋aa2′2 ＋aa3′3 的最小值为 3，故选 A. 答案：A 2．车间里有 5 台机床同时出了故障，从第 1 台到第 5 台的修复时间依次
12＋22· （ x－5）2＋（ 6－x）2＝ 5. 答案：B 2．已知 a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的最大值为( )
A．4
B．2 13
C．8
(部编本人教版)最新版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式试题 新人教A版选修4-5【必
三排序不等式
课后篇巩固探究
A组
1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()
A.S≤S'≤S″
B.S≥S'≥S″
C.S≥S″≥S'
D.S≤S″≤S'
.
2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
D.P<Q
x≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.
3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
a<b<c,x<y<z,
由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,
得顺序和ax+by+cz最大.故选D.
4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()
A.a1b1+a2b2
B.a1a2+b1b2
C.a1b2+a2b1
D.
a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,
∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.
又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.
∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,
∴a1a2+b1b2<.
∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义含解析新人教A版选修4_50417122.doc
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，
c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c
. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1
2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
三排序不等式
基础巩固
1有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为() A.A≥B≥C B.A≥C≥B
C.A≤B≤C
D.A≤C≤B
,顺序和≥乱序和≥反序和,故A≥C≥B.
2已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中
a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将b i(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别是()
A.132,6
B.304,212
C.22,6
D.21,36
3设a,b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是()
A.P>Q
B.P≥Q
C.P<Q
D.P≤Q
4已知a,b,c>0,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()
A.大于零
B.大于或等于零
C.小于零
D.小于或等于零
a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,
所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.
所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
5设a1,a2,a3为正数,E则的大小关系是
A.E<F
B.E≥F
C.E=F
D.E≤F
a1≥a2≥a3>0,于是≤a3a1≤a1a2.
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不
3.3排序不等式同步检测
一、选择题 1. 已知两组数
，，其中
，
，
，，
，
，，
，
，
，将
重新排列记为
则
的最大值和最小值分别是( )
A.132，6
B.304，212
C.22，6
D.21，36 答案：B 解析：
解答：因为112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-，所以
的最大值为2374869101211304⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，最小值为
2117108694123212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.
2. 若
，
，其中
，
都是正数，则A 与B 的大小关系为( ) A.A ＞B B.A ＜B C. D.
答案：C
解析：解答：依序列
的各项都是正数，不妨设，则
，为
序
列
的
一
个
排
列
.
依
排
序
不
等
式
，
得
，即
.
分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.
3. 已知a ，b ，c ＞0，则
的正负情况是( )
A.大于零
B.大于或等于零
C.小于零
D.小于或等于 答案：B 解析：解答：设，所以
，
根据排序不等式，得.
又知，
，
所以.
所以，
即
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
若 n 是不小于 2 的正整数，求证：
4 1 1 1 1 1 2 ＜1－ ＋ － ＋„＋ － ＜ . 7 2 3 4 2n－1 2n 2 1 1 1 1 1 [证明] 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n
1 1 1 ＝ 1＋2＋3＋„＋2n － 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＝ 2 2 4 2n n＋1 ＋
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
1 1 [(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]2－a ＋2－a ＋ 1 2
1 „＋ ≥n2， 2－an 而(2－a1)＋(2－a2)＋„＋(2－an)＝2n－1，
1 n2 n 所以，S≥n× ＝ ， 2n－1 2n－1 1 当且仅当 a1＝a2＝„＝an＝n时， 上面几个不等式的等号 n 成立，于是 S 的最小值为 . 2n－1
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
[例5]
已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
由柯西不等式：
2 2 2
且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[解]
2
12 12 [x ＋(2y) ＋(3z) ][1 ＋( ) ＋( ) ] 2 3 1 1 ≥(x＋ ×2y＋ ×3z)2. 2 3 因为 x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2
1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2
1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
1 1 ＋„＋ ， 2n n＋2 所以求证式等价于 4 1 1 1 2 ＜ ＋ ＋„＋ ＜ . 7 n＋1 n＋2 2n 2
由柯西不等式，有
1 1 1 ＋ ＋„＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2， n＋1 n＋2 2n
1 1 1 n2 于是 ＋ ＋„＋ ≥ 2n n＋1＋n＋2＋„＋2n n＋1 n＋2 2n 2 2 4 ＝ ＝ ≥ ＝ ， 1 1 7 3n＋1 3＋n 3＋ 2
答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2 ＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解 ： ∵ 4(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋d2)＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即 4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即 5e2－16e≤0， 16 ∴e(5e－16)≤0，故 0≤e≤ . 5
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
解析：构造两组数：x， 2y， 3z 和 1， 2， 3， 由柯西不等式得[x2＋( 2y)2 ＋( 3z)2][12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x ＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤18， ∴－3 2≤S≤3 2. 答案：A
若 n 是不小于 2 的正整数，求证：
4 1 1 1 1 1 2 ＜1－ ＋ － ＋„＋ － ＜ . 7 2 3 4 2n－1 2n 2 1 1 1 1 1 [证明] 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n
1 1 1 ＝ 1＋2＋3＋„＋2n － 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＝ 2 2 4 2n n＋1 ＋
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
构造两组数 1 1 1 s－d， s－a， s－b， s－c； ， ， ， s－d s－a s－b 1 ，由柯西不等式得 s－c
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3.3 排序不等式
自主广场
我夯基我达标
1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3 D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a 思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a2,b2,c2,不妨设a≥b≥c,所以a2≥b2≥c2.所以a2×a+b2×b+c2×c≥a2b+b2c+c2a. 答案：B 2.设a1,a2,…,a n都是正数，b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任一排列，则a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1的最小值是( ) A.1 B.n C.n2 D.无法确定 思路解析：设a1≥a2≥…≥a n>0.可知a n-1≥a n-1-1≥…≥a1-1，由排序原理，得a1b1-1+a2b2-1+…+a n b n-1≥a1-1+a2a2-1+…+a n a n-1≥n. 答案：B 3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 思路解析：设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3,根据排序原理，得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a. 又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab. 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 答案：B 4.已知a,b,c都是正数，则≥__________. 思路解析：设a≥b≥c≥0，所以,由排序原理,知 ,① ,② ①+②，得. 答案： 5.设a,b,c都是正数，求证：a+b+c≤. 证明：由题意不妨设a≥b≥c>0. 由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc. 根据排序原理，得 a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.① 又由不等式的性质，知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c. 再根据排序原理，得 a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.② 由①②及不等式的传递性，得 a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4. 两边同除以abc得证不等式成立. 6.设a,b,c∈R+,求证：++≤. 证明：设a≥b≥c>0. 由不等式的单调性，知≥≥,而. 由不等式的性质，知a5≥b5≥c5. 根据排序原理，知 . 又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,. 由排序原理，得. 由不等式的传递性，知 ++≤. ∴原不等式成立. 我综合我发展 7.设a,b,c为某三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c). 根据排序原理，得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤a×b(c+a-b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc. 8.设x1≥x2≥…≥x n,y1≥y2≥…≥y n.求证：≤. 其中z1,z2,…,z n是y1,y2,…,y n的任意一个排列. 证明：要证 只需证.