怎样推导压杆的临界力和临界应力公式

1

* 问题的提出及其对策 ........................................................................................................... 1 1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2

压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 5 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 7 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 13 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (17)

1

* 问题的提出及其对策

1.1 问题的提出及其对策

试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa 。 解：1、按轴向拉压强度计计算

[]2/160160120mm N MPa mm

mm F A F N

N ==≤⨯==

σσ

2、按压杆稳定临界力公式计算

()43

33

5120121121mm mm mm bh I Z =⨯⨯==

()()N mm mm MPa l EI F CR

28.123

4002102000002

4

222=⨯⨯⨯⨯==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。这是一

个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502=⨯==，即该钢板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。

2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力N s m kg mg W 5/105.02

=⨯==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。

结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。

kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==⨯⨯≤

1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比

在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。

压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。

在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力

扭转的剪

轴向

工作量。

而在强度条件许用应力工作应力≤和刚度条件许用应变工作应变≤表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如

[]σ、[]τ和[]l ∆、[]ϕ、[]y 、[]θ等，

其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。

然而，在稳定性分析中，

位于不等号大于端≤的许用值

[]cr σ中的压杆临界应力cr σ。

杆在失稳之前是轴向受压杆。

式中的压杆临界应力与材料无关，它是实

际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。

因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力F cr 计算公式，分析计算出临界压力F cr

后，按临界压力F cr 代替轴力F N ，即可得到压杆的临界

2

压杆临界压力F cr 的计算公式

2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡

生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。

使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。

如：一根长300mm ，宽20mm ，厚1mm 的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ，则按轴向拉压杆强度公式计算，[]σσ≤=

A

F

，[]N A F 3200160120=⨯⨯=≤σ，即该钢板尺可以安全地承受3200N 的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。

如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为()

N mm mm MPa l

EI

F cr 7.3630067.12000002

4

22

2=⨯⨯=

=ππ，此值接近于钢板尺变弯

的实际值。

式中的惯性矩()43

367.112

12012mm mm mm bh I z =⨯==。得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N ，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。

以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。

究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。

下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。