怎样推导压杆的临界力和临界应力公式

1* 问题的提出及其对策 ........................................................................................................... 1 1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 5 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 7 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 13 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (17)1* 问题的提出及其对策1.1 问题的提出及其对策试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。

材料的许用应力为160MPa 。

解：1、按轴向拉压强度计计算[]2/160160120mm N MPa mmmm F A F NN ==≤⨯==σσ2、按压杆稳定临界力公式计算()43335120121121mm mm mm bh I Z =⨯⨯==()()N mm mm MPa l EI F CR28.12340021020000024222=⨯⨯⨯⨯==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。

这是一个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502=⨯==，即该钢板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。

2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。

这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力N s m kg mg W 5/105.02=⨯==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。

这与实际情况差不多。

结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。

需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。

kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==⨯⨯≤1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。

压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。

在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力扭转的剪轴向工作量。

而在强度条件许用应力工作应力≤和刚度条件许用应变工作应变≤表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如[]σ、[]τ和[]l ∆、[]ϕ、[]y 、[]θ等，其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。

然而，在稳定性分析中，位于不等号大于端≤的许用值[]cr σ中的压杆临界应力cr σ。

杆在失稳之前是轴向受压杆。

式中的压杆临界应力与材料无关，它是实际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。

因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力F cr 计算公式，分析计算出临界压力F cr后，按临界压力F cr 代替轴力F N ，即可得到压杆的临界2压杆临界压力F cr 的计算公式2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。

使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。

计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。

如：一根长300mm ，宽20mm ，厚1mm 的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ，则按轴向拉压杆强度公式计算，[]σσ≤=AF，[]N A F 3200160120=⨯⨯=≤σ，即该钢板尺可以安全地承受3200N 的压力。

然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。

这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。

如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为()N mm mm MPa lEIF cr 7.3630067.120000024222=⨯⨯==ππ，此值接近于钢板尺变弯的实际值。

式中的惯性矩()43367.11212012mm mm mm bh I z =⨯==。

得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N ，仅是按强度计算的安全压力的1/87。

差异如此之巨，我们得高度重视。

以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。

事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。

究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。

下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。

2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。

可一目了然。

分析是从梁的dx在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。

4-1稳定平衡4-2临界平衡4-3丧失稳定模型4两端固定的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.5l3-1稳定平衡3-2临界平衡3-3丧失稳定模型3一端固定一端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.7l1-1稳定平衡1-2临界平衡1-3丧失稳定模型1两端铰支的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=l图2-2-2 四种典型压杆的力学模型及其三种状态2-1稳定平衡2-2临界平衡 2-3丧失稳定模型2一端固定一端自由的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=2ll=2l图2-2-1梁的挠曲微分方程dx 梁段弯曲及挠曲线M注1：正弯矩箭头指向y 负。

()[]()EIx M y y ='+''2/321()[]y y y ''±≈'+''平坦曲线2/321按左图得：()EIx M y -=''梁的挠曲微分方程注2：正曲率曲线凸向y 负。

图示为负曲率。

图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。

上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。

请读者好好加深理解。

2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力为了确定长l 、两端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-3-1。

设作用在杆上端的压力恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。

临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。

在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。

），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。

2.3.1 截面弯矩表达式模型1两端铰支模型3一端固定一端铰支图2-2-3 四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向模型4两端固定模型2一端固定一端自由注1：模型1、2为静定结构注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。

如下图所示：FM 悬臂梁挠曲线与支反力方向关系图2-3-1两端铰支压杆临界力分析临界微弯平衡yF N =F cr x 截面内力分析 ()()13.2-= y F x M cr两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（F NA 、F QA ），上端链杆支座有1个约束反力（F QB ），共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。

故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。

如图2-3-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为()()13.2-= y F x M cr2.3.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以在如图2-3-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为令 a ）可写为 这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是 ()d kx B kx A y cos sin += 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。