二次函数中考平行四边形含答案

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九年级中考数学平行四边形解答题压轴题提高专题练习含答案

一、平行四边形

1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）S的最大值为，此时x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；

②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．

（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．

（3）本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．

2023年九年级中考数学专题练习——二次函数与特殊的四边形(附答案)

中考专题练习——二次函数与特殊的四边形

1．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．

2．如图，已知直线y=﹣1

2x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣2

x+bx+c过点B、

C，且与x轴交于另一个点A．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；

（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．

3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；

②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．

（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；

（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；

二次函数与平行四边形存在型问题(六道中考真题+12道综合练习题)

4
4
F (n, n2 13 n 3) ， G(n, 3 n 3) ，根据平行四边形周长公式可得：DEGF 周长
4
4
= 2(m 3)2 89 ，由此可求得点 G 的坐标． 48
解（1）在
y
3 4
x
3
中，令
x
0
，得
y
3
，令
y
0
，得
x
4
，
A(4, 0) ， B(0,3) ，
将 A(4, 0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y x2 bx c 中，
5
5
55 5
函数的对称轴为： x＝3；
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二次函数与平行四边形存在型问题
（2）连接 B、C 交对称轴于点 P ，此时 PA PC 的值为最小，设 BC 的解析式为： y＝kx b ，
将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式： y＝kx b
得：
0 b
5k 4
b
,
解得：
k b
4
4 5
,
直线 BC 的表达式为： y 4 x 4 ， 5
当 x＝3时， y＝8 ， 5
故点 P（3，8）； 5
（3）存在，理由：
四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12 的平行四边形，
则 S四边形OEBF＝OB y E ＝5 y E ＝12 ，

2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C，连接 BC．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．

【解析】解：

（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，

可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,

∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，

（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，

由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），

尚老师数学

【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！

【对点法求坐标】

Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）

①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，

∴ x＝﹣2，

∴ M（-2，-3/10）；

②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，

∴ x＝2，

∴ M（2，2）；

③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，

中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性

问题》专题训练-附答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数3

34y x =-+的图象与y 轴、

x 轴的交点，点B 在二次函数2

y x bx c =

++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．

(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；

(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？

②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？

2．如图，二次函数()2

4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，二次函数()2

4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．

(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；

(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，

二次函数中考(平行四边形)含答案

二次函数（平行四边形）

1。如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时,求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x,y），求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线，与第(3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2)2+1，

把x=0代入y=（x﹣2)2+1，得：y=2，

∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，

∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵点A(m，﹣m2+m）,点B（0，m)，

∴AF=AE=|m｜,BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,

∴△ABF∽△DAE，

∴=，即:=,

∴DE=4．

（3）①∵点A的坐标为（m,﹣m2+m），

∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）,

∴x=2m，y=﹣m2+m+4，

∴y=﹣•++4，

∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

(Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），

点P的横坐标为3m，

点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，

把P（3m,﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得:

中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案

（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；
（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.
∵AE=3ED，
∴S△CDE= ,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10
∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.
4．△ABC为等边三角形，．．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若是的角平分线，连接，找出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．
∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
∴△PAB的周长最大值=2 +4．
6．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣ ）两点，与x轴交于另一点B．

2020年中考数学压轴题--二次函数与平行四边形存在问题含答案

2020年中考数学压轴题--二次函数与平行四边形存在问题含答案1、已知边平行，构造相等

例题1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2x+c与直线y=kx+b都经过

A（0，-3）、B（3,0）两点，该抛物线的顶点为C．

（1）求此抛物线和直线AB的解析式；

（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

【课堂练习】

1、如图，抛物线y=ax²+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点

B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边

形是平行四边形，求点P的横坐标．

2、三定一动

例题1如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（-1,0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标

1、两定两动

例题1如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（3,0），B（-1,0），C（0，-3）．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【课堂练习】

二次函数与平行四边形结合专题练习

1.题目描述：给定抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴的交点$A,B$，其中$B$的坐标为$(3,0)$，直线$AD$经过点$A$，与

抛物线交于点$D(2,3)$。求抛物线和直线$AD$的解析式，以

及是否存在实数$a$，使得过点$(a,0)$且平行于$AD$的直线$EF$与抛物线交于点$F$，使得四边形$ADEF$为平行四边形，若存在，求出$a$。

2.题目描述：给定抛物线的顶点坐标$M(1,4)$，经过点

$N(2,3)$，与$x$轴交于$A,B$，与$y$轴交于点$C$。求抛物线的解析式，以及证明四边形$CDAN$是平行四边形，其中直线$y=kx+t$经过点$C,M$，与$x$轴交于点$D$。

3.题目描述：给定抛物线经过$A(-1,0),B(5,0),C(x,-

\frac{5}{2})$三点。求抛物线的解析式，以及在抛物线的对称

轴上有一点$P$，使得$PA+PC$的值最小，求点$P$的坐标。

另外，给定$x$轴上的一动点$M$，判断是否存在抛物线上的

一点$N$，使得四边形$ACMN$为平行四边形，若存在，求点$N$的坐标。

4.题目描述：给定抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-

2,0),B(4,0),D(2,4)$，与$y$轴交于点$C$，作直线$BC$，连接

$AC,CD$。求抛物线的函数表达式，以及点$E$满足$\angle ECD=\angle ACO$的坐标，点$M$在$y$轴上且位于点$C$上方，点$N$在直线$BC$上，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．

例如：张老师给小聪提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？

小聪的计算思路是：

根据题意得：S△ABC=1

BC•AD=

AB•CE．

从而得2AD=CE，∴

2 AD CE

请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：

（1）（类比探究）

如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，

求证：BO平分角AOC．

（2）（探究延伸）

如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．

（3）（迁移应用）

如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，

AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求

△DEM与△CEN的周长之和．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34

【解析】

分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于

G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出

∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出

中考复习专题6二次函数与平行四边形存在性问题(含解析)

专题6二次函数与平行四边形存在性问题

解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.

1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22

x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，

则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.

3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：

【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝

x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．

（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．

（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；

，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题含详细答案

一、平行四边形

1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；

（2）存在，理由见解析;

（3）不成立．理由如下见解析.

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

中考压轴题因动点产生的平行四边形问题含答案

因动点产生的平行四边形问题

例1(2011年上海市中考第24题)已知平面直角坐标系xO(如图1),一次函数y 2x 3

的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数y ?x的图像上，且M3 MA二次函数

y = x2+ bx+ c的图像经过点A、M

(1) 求线段AM的长;

(2) 求这个二次函数的解析式;

(3) 如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y 3x 3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标.

图1

满分解答

(1) 当x= 0时，y 3x 3 3，所以点A的坐标为(0，3)，0心3.

如图2,因为MQ MA所以点M在0A的垂直平分线上，点M的纵坐标为•将3代

2 2

入3x，得x二1.所以点M的坐标为(岸).因此AM丄3.

2 2 2

2 c 3,

(2) 因为抛物线y = x

+ bx + c经过A(0，3)、Mth?)，所以3解得b -，

1 b c .

c 3 .所以二次函数的解析式为y x2 5x 3 .

(3) 如图3,设四边形ABCE为菱形，过点A作AE±CD垂足为E.

在Rt△ ADE中，设AE= 4m DE= 3m,那么AD= 5m

因此点C的坐标可以表示为（4 m 3- 2m •将点C（4m 3-2n）代入y （ -x 3，得

3 2m 16m210m 3 .解得m -或者0 （舍去）.因此点C的坐标为（2, 2）.

图2 图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A B、C D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

二次函数中动点问题——平行四边形

2018年04月28日187****6232 的初中数学组卷

一•解答题(共5小题)

1 •如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (- 1, 0),点B (3, 0)和点C (0, 3).

(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；

(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R

2•如图，已知抛物线y=af+bx+c过点A (- 3, 0)，B (-2, 3)，C (0, 3)，其顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求m的值；

(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；

(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点E 作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.

3•如图，抛物线y=X2 - 2x- 3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线I与抛物线交于A, C两点，其中点C的横坐标为2 .

（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点丘，求厶ACE H积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M ,N的坐标；若不存在，请说明理由.

中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）S的最大值为，此时x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；

（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．

（3）本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．

二次函数压轴题：平行四边形

二次函数与平行四边形存在问题

【知识要点】

1、平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

C x

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

例1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.

练习.已知抛物线2

2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

y x a =

-分别与x 轴，

y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，；

(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；