高中数学开放题专项练习
新高考数学新定义 开放性和探究专题(解析版)
新高考新定义开放性和探究专题题型一：数列新题型1(2023·河北张家口·统考二模)欧拉函数φn n ∈N * 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：φ1 =1,φ3 =2.数列a n 满足a n =φ2n ，其前n 项和为S n ，则S 10=()A.1024B.2048C.1023D.2047【答案】C【分析】根据欧拉函数的定义可求出a n =φ2n =2n -1，再由等比数列的前n 项和公式即可求出答案.【详解】根据欧拉函数的定义可得a 1=φ2 =1,a 2=φ22 =2,a 3=φ23 =4,a 4=φ24 =8，一般地，a n =φ2n =2n -1.事实上，φ2n 表示从1到2n 的正整数中，与2n 互质的正整数的个数，相当于去掉从1到2n 的正整数中所有2的倍数的个数(共2n -1个数)，因此，a n =φ2n =2n -2n -1=2n -1.所以，S 10=1+2+4+⋯+29=1023.故选：C .2(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a n 本身不是等差数列，但从a n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n (则称数列a n 为一阶等差数列)，或者b n 仍旧不是等差数列，但从b n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n (则称数列a n 为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项是( )．A.28 B.215C.221D.228【答案】C 【分析】设b n -1=a na n -1，得到b n 为等比数列，求得b n =2n -1，结合a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1，进而求得a 8的值．【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，⋯为a n ，且为一阶等比数列，设b n -1=a na n -1，所以b n 为等比数列，其中b 1=1，b 2=2，公比为q =b 2b 1=2，所以b n =2n -1，则a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1=21+2+3+⋯+n -2=2n -1 n -22,n ≥2，所以第8项为a 8=221．故选：C .3(2023·上海黄浦·统考二模)设数列a n 的前n 项的和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n <a n +1，则称数列a n 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列a n ，使得它是“K 数列”；②若a n 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则q ∈[2,+∞)是a n 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是()A.①和②都为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②都为假命题【答案】C【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.【详解】令等差数列a n的公差为d，当d≤0时，S1=a1≥a1+d=a2，不符合题意，当d>0时，S n-a n+1=na1+n(n-1)2d-(a1+nd)=d2n2-32d-a1n-a1，函数f(x)=d2x2-32d-a1x-a1的图象是开口向上的抛物线，对称轴x=32-a1d，存在x0>32-a1d，使得f(x0)>0，取不小于x0的正整数n，则有f(n)>0，即S n>a n+1，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列a n首项a1>0，因为数列a n为“K数列”，则有a1=S1<a2=a1q，即q>1，S n=a1(1-q n)1-q,a n+1=a1q n，于是a1(1-q n)1-q<a1q n⇔q n+1-2q n+1>0⇔2-q<1q n，依题意，任意的n∈N*，2-q<1q n，函数y=1qx,x≥1在[1,+∞)单调递减，值域是0,1q ，因此2-q≤0⇔q≥2，所以q∈[2,+∞)是a n为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.题型二：立体几何新定义4(2023·辽宁沈阳·统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为6×2π-8π=4π.故选：B.5(2021·全国·统考模拟预测)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为()A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为3×π3×20=20π，故其侧面积为200π．故选：C.6(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R-13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()A.32πB.24πC.18πD.16π【答案】D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h0≤h≤3时，小圆锥底面半径为r，则h3=r2，∴r=23h，故截面面积为：4π-49πh2，把y=h代入x24+y29=1，即x24+h29=1，解得：x=±239-h2，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-49πh2，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：V=2V圆柱-V圆锥 =2×4π×3-13×4π×3=16π.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.题型三：函数新定义7(2023·陕西商洛·统考二模)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有()①函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”；②函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”；③函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”；④若函数y =f x 是“优美函数”，则y =f x 的图象一定是中心对称图形．A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④.【详解】对于①，f x =x 2x+2-x -1≤x ≤1满足f -x =-x2-x +2x =-f (x )，故为奇函数，则f x 图象原点对称，且连续，所以f x 可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．对于②，令2x -π6=π2+k πk ∈Z ，得x =π3+k π2k ∈Z ，所以f x =4cos 2x -π6+3图象的对称中心为π3+k π2,3 k ∈Z ，故以π3+k π2,3k ∈Z 为中心的正方形都能被函数f x =4cos 2x -π6+3的图象平分，即f x =4cos 2x -π6+3可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．对于③，令g x =ln 4x 2+1-2x ，x ∈R ,则g -x =ln 4x 2+1+2x =-ln 4x 2+1-2x =-f (x )，故g x 为奇函数．又因为f x 的图象是由g x 的图象向下平移一个单位长度得到的，所以f x 图象的对称中心为0,-1 ，故以0,-1 为中心的正方形都能被f x =ln 4x 2+1-2x -1的图象平分，故③正确．对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数y =f x 是“优美函数”，但其图象不是中心对称图形，可知④错误，故选：B8(2021·陕西渭南·统考三模)已知符号函数sgn x =1,x >0,0,x =0,-1,x <0,偶函数f x 满足f x +2 =f x ,当x ∈0,1 时,f x =x ,则下列结论正确的是()A.sgn f x >0 B.f 40412=1C.sgn f 2k =0k ∈Z D.sgn f k =sgn k k ∈Z【答案】C【分析】利用偶函数以及函数周期为2,作出函数f x 的大致图象,数形结合即可逐个分析答案.【详解】根据题意得函数f x 是周期为2的函数,作出函数f x 的大致图象,如下图所示.数形结合易知f x ∈0,1 ,则sgn f x =0或sgn f x =1,故A 错误;f 40412=f 202012 =12,故B 错误;f 2k =0k ∈Z ,则sgn f 2k =0k ∈Z ,故C 正确;sgn k =1,k >00,k =0,-1,k <0(k ∈Z ),所以sgn k =1,k ≠00,k =0 (k ∈Z ),所以sgn f k ≠sgn k k ∈Z ,故D 错误.故选:C .9(2023·陕西安康·统考二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④ C.①③ D.②③【答案】A【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项4个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．题型四：向量新定义10(2022·浙江·高三专题练习)定义d a ,b =a -b 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b满足下列条件：(ⅰ)b =1；(ⅱ)a ≠b ；(ⅲ)对于任意的t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b，现给出下面结论的编号，①.a ⊥b ②.b ⊥a -b ③.a ⊥a -b ④.a ≥1⑤.a +b ⊥a -b 则以上正确的编号为()A.①③B.②④C.③④D.①⑤【答案】B【分析】根据题意可得a -tb 2≥a -b 2，转化为t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b -1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，即Δ≤0，整理得a ⋅b -1 2≤0，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于d a ,b =a -b ，又对于t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b ，显然有a -tb ≥a -b ，即a -tb 2≥a -b 2，则t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b-1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，显然有Δ=-2a ⋅b 2-42a ⋅b-1 ≤0成立，即a ⋅b -1 2≤0，则a ⋅b=1，故序号①错误，进而a ⋅b =a ⋅bcos θ=1，∵b =1，于是cos θ=1a ≤1，得a ≥1，即序号④正确.再由a ⋅b -1=0得a ⋅b -b 2=0，得b a -b =0，∴b ⊥a -b ，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a ≠b ，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B .【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.11(2023·全国·高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P a ,b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是()A.当θ=60°时A 1,2 与B 3,4 距离为23B.点A 1,2 关于原点的对称点为A -1,-2C.向量a=x 1,y 1 与b =x 2,y 2 平行的充要条件是y 1x 2=y 2x 1D.点A 1,2 到直线x +y -1=0的距离为2【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设x 轴正方向的单位向量为e 1 ，y 轴正方向的单位向量为e 2，对于A 选项：由已知得e 1 ,e 2 =60°，所以e 1 ⋅e 2 =1×1×12=12.由A 1,2 ,B 3,4 及斜坐标的定义可知OA =e 1 +2e 2 ,OB =3e 1 +4e 2，AB =OB -OA =2e 1 +e 2 =2e 1 +e 2 2=2e 1 2+2e 1 ⋅e 2 +e 2 2=21+1+1=23，故A 选项正确；对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点A 1,2 ，则OA =e 1 +2e 2 ，设A 1,2 关于原点的对称点为Ax ,y ，则OA ' =-OA =-e 1 -2e 2 =x e 1 +y e 2 ，由于e 1 ,e 2 不共线，所以x =-1y =-2 ，故B 选项正确；对于C 选项：a =x 1e 1 +y 1e 2 ,b =x 2e 1 +y 2e 2 ，若a 是零向量，则a ⎳b 成立，同时x 1=y 1=0，所以x 1y 2=x 2y 1成立，此时a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1；若a 是非零向量，则a ⎳b ⇔存在非零常数λ，使b =λa⇔x 2e 1 +y 2e 2 =λx 1e 1 +λy 1e 2 ⇔x 2=λx 1λy 1=y 2 ⇔λx 2y 1=λx 1y 2⇔y 1x 2=y 2x 1，所以a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1.故C 选项正确；对于D 选项：设直线x +y -1=0上的动点为P x ,y ,OP =x e 1 +y e 2 ，因为x +y -1=0，所以x +y =1，设OC =e 1 ,OD =e 2 ，则点P x ,y 在直线CD 上，所以直线x +y -1=0过点C 1,0 ,D 0,1 ，因为OA =e 1 +2e 2 ，则AC =OC -OA =2e 2 =2，AD =OD -OA =e 1 +e 2 =e 1 +e 2 2=3，由于OC =OD =1,OC ,OD =60°，所以CD =1.所以AD 2+CD 2=AC 2，所以AD ⊥CD ，所以点A 到直线x +y -1=0的距离为AD=3，故D 选项错误.故选：D12(2023·全国·高三专题练习)向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，a ×b 规定：①a ×b 为同时与a ，b垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手系(如图1)；③a ×b =a b sin a ,b ；④若a=x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 ，则a ×b=+y 1,z 1y 2,z 2 ,-x 1,z 1x 2,z 2 ,+x 1,y 1x 2,y 2 ，其中a ,b c ,d=ad -bc ．如图2，在长方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =AD =2，AA 1=3，则下列结论正确的是()A.AB ×AD =AA 1B.AB ×AD =AD ×ABC.AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1D.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ×AD ⋅C 1C【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：AA 1 同时与AB ，AD 垂直；AA 1 ，AB ，AD三个向量构成右手系，且AB ×AD =AB AD sin AB ,AD =2×2×sin90°=4≠AA 1=3，所以选项A 错误；根据右手系知：AB ×AD 与AD ×AB 反向，所以AB ×AD ≠AD ×AB，故选项B 错误；因为AB -AD ×AA 1 =DB ×BB 1=22×3×sin90°=62，且DB ×BB 1 =-BD ×BB 1 与CA同向共线；又因为AB ×AA 1 =2×3×sin90°=6，且AB ×AA 1 与DA同向共线，AD ×AA 1 =2×3×sin90°=6，AD ×AA 1与DC 同向共线，所以AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =62，且AB ×AA 1 -AD ×AA 1 与CA 同向共线，AB -AD ×AA 1 =AB ×AA -AD ×AA 1，故选项C 正确；因为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为2×2×3=12．又因为由右手系知向量AB ×AD 方向垂直底面向上，与C 1C 反向，所以AB ×AD ⋅C 1C<0，故选项D 错误；故选：C ．解法二：如图建立空间直角坐标系：AB =0,2,0 ，AD =-2,0,0 ，AA 1 =0,0,3 ，则AB ×AD=0,0,4 ，所以选项A 错误；C 1C =0,0,-3 ，则AB ×AD ⋅C 1C =-12，故选项D 错误；AD ×AB=0,0,-4 ，故选项B 错误；AB -AD =DB =2,2,0 ，则AB -AD ×AA 1 =6,-6,0 ，AB ×AA 1 =6,0,0 ，AD ×AA 1 =0,6,0 ，则AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =6,-6,0 ．所以AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1 ，故选项C 正确；故选：C ．题型五：开放性题型13(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知P 是平行四边形ABCD 对角线上的一点，且AP =λAB +μAD，其中λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，写出满足条件的λ与μ的一组λ,μ 的值．【答案】13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)【分析】若P 在AC 上可得λ=μ，若P 在BD 上，根据共线定理的推论得到λ+μ=1，填写符合题意的答案即可.【详解】因为AC =AB +AD ，若P 在AC 上，则AC ⎳AP ，又AP =λAB +μAD ，所以λ=μ，若P 在BD 上，即P 、B 、D 三点共线，又AP =λAB +μAD，则λ+μ=1．故答案为：13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)14(2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测)已知⊙O :x 2+y 2=4，⊙C 与一条坐标轴相切，圆心在直线x -y +7=0上.若⊙C 与⊙O 相切，则⊙C 的一个方程为.【答案】x +4 2+y -3 2=9(答案不唯一)【分析】先根据已知得出⊙C 的圆心在⊙O 的外面.然后分⊙C 与x 轴相切以及⊙C 与y 轴相切，结合已知可得出两圆外切.列出方程，化简整理求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，⊙O :x 2+y 2=4的圆心为O 0,0 ，半径R =2，所以点O 0,0 到直线x -y +7=0的距离d =72=722>2，所以，直线与圆相离，所以⊙C 的圆心在⊙O 的外面.当⊙C 与x 轴相切时，设⊙C 的圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 1=a +7 .因为⊙C 与⊙O 相切，且C 在⊙O 的外面，所以两圆外切.所以OC =R +r 1，即a 2+a +7 2=2+a +7 ，整理可得，a 2=4+4a +7 .若a ≤-7，整理可得a 2+4a +24=0无解，所以a >-7，所以a 2-4a -32=0，解得a =-4或a =8，所以⊙C 方程为x +4 2+y -3 2=9或x -8 2+y -15 2=225；当⊙C 与y 轴相切时，设圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 2=a .由两圆外切可得，OC =R +r 2，即a 2+a +7 2=2+a ，整理可得a 2+14a +49=4+4a ，则a <0，所以有a 2+18a +45=0，解得a =-3或a =-15，所以⊙C 方程为x +3 2+y -4 2=9或x +15 2+y +8 2=225.故答案为：x +4 2+y -3 2=9.15(2023·新疆·校联考二模)已知函数f x 满足下列条件：①f x 是y =sin x 经过图象变换得到的；②对于∀x ∈R ，均满足-3=f -π6 ≤f x ≤f π3=1成立；③y =f x 的函数图象过点0,-2 ．请写出符合上述条件的一个函数解析式．【答案】f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一)【分析】由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，根据②，设A >0，求得A =2,B =-1，且ω=2，再由③求得φ的一个值为φ=-π6，即可求解.【详解】解：由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，又由②可知，不妨设A >0，由-3=f -π6 ≤f x ≤f π3 =1，可得A =1-(-3)2=2,B =1+(-3)2=-1，且T =2π3--π6=π，所以ω=2πT=2，所以f x =2sin 2x +φ -1，由③，可得2sin φ-1=-2，即sin φ=-12，所以φ的一个值为φ=-π6，因此函数f x 的一个解析式为f x =2sin 2x -π6-1.故答案为：f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一).16(2023·江西南昌·校联考模拟预测)正割(Secant )及余割(Co sec ant )这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知函数f x =1sec x +1csc x，给出下列说法：①f x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z ；②f x 的最小正周期为2π；③f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ；④f x 图象的对称轴为直线x =-π4+k πk ∈Z .其中所有正确说法的序号为()A.②③B.①④C.③D.②③④【答案】A【分析】首先化简函数f x =2sin x +π4，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】f x =1sec x +1csc x =cos x +sin x =2sin x +π4 ，由cos x ≠0，sin x ≠0，得x ≠k π2k ∈Z ，即f x 的定义域为x x ≠k π2,k ∈Z ，①错误；f x 的定义域关于原点对称，故f x 的最小正周期与函数y =2sin x +π4的最小正周期一致，均为2π，②正确；当x =0，π2，π，3π2时，y =2sin x +π4的值分别为1，1，-1，-1，考虑周期性可知，f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ，③正确；令x +π4=π2+k πk ∈Z ，得x =π4+k πk ∈Z ，即f x 图象的对称轴为直线x =π4+k πk ∈Z ，④错误，故选：A .17(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于()A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2πr =3.14，r =0.5m =50cm ，从内向外数：a 5=0.4，a n -4=0.2，S n =r =50=a 5+a n -4 ⋅n2=0.3n ，∴n =5003≈167年，所以为三级.故选:C18(2023春·江西·高三校联考阶段练习)若存在实数k 和m 使得函数f x 和g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：g x ≤kx +m ≤f x 恒成立，则称此直线y =kx +m 为f x 和g x 的“分离直线”.有下列命题：①f x =x 2和g x =a ln x 之间存在唯一的“分离直线”y =2ex -e 时a =2e ；②f x =x 2和g x =1x(x <0)之间存在“分离直线”，且m 的最小值为-4，则()A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题【答案】A【分析】命题①，f(x)=x2和g(x)=2e ln x有公共点e,e，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；命题②，设隔离直线为y=kx+b，则x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；【详解】对于命题①，函数f(x)=x2和g(x)=2e ln x的图像在x=e处有公共点，若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点e,e，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y-e=k x-e，即y=kx-k e+e 由f(x)≥kx-k e+e x>0恒成立，即x2-kx+k e-e≥0x>0恒成立，(i)当k=0时，则x2≥e x>0不恒成立，不符合题意；(ii)当k<0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2<0，u x 在0,e上单调递增，且u e=0，故k<0不恒成立，不符合题意；(iii)当k>0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2>0，则u x min=uk2=-k24+k e-e=-k-2e24≥0，只有k=2e，即直线y=2e x-e下面证明g(x)=2e ln x≤2e x-e，令G(x)=2e x-e-2e ln x,求导G (x)=2e x-ex，令G(x)=0，得x=e，当x∈0,e时，G (x)<0，函数G(x)在区间0,e上单调递减；当x∈e,+∞时，G (x)>0，函数G(x)在区间e,+∞单调递增；故当x=e时，函数G(x)取得极小值，也是最小值，故G(x)≥0，即g(x)≤2e x-e 所以f(x)=x2和g(x)=2e ln x之间存在唯一的隔离直线y=2e x-e.所以命题①是真命题；对于命题②，设f(x)=x2和g(x)=1x(x<0)的隔离直线为y=kx+m，则x2≥kx+m1x≤kx+m对任意x<0恒成立，即x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，由kx2+mx-1≤0恒成立，得k≤0(i)当k=0时，则m=0符合题意；(ii)当k<0时，则x2-kx-m≥0对任意x<0恒成立，令h x =x2-kx-m x<0，对称轴x=k2<0，需Δ=k2+4m≤0，即k2≤-4m，故m≤0令d x =kx2+mx-1x<0，对称轴x=-m2k≤0，需Δ=m2+4k≤0，即m2≤-4k，所以k4≤16m2≤-64k，故-4≤k<0同理可得m4≤16k2≤-64m，即-4≤m<0，故m 的最小值为-4故命题①正确，命题②正确；故选：A专题强化一、单选题19(2023·山东潍坊·统考模拟预测)阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点A 1-1,0 ，A 20,-2 ，A 33,0 ，A 40,4 ，A 5-5,0 ，A 60,-6 ，A 77,0 ，A 80,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积为760，则n 的值为()A.18B.19C.21D.22【答案】A【分析】根据四边形的特点，将四边形的面积转化为四个直角三角形的面积，即可求解.【详解】如图，四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积由四个直角三角形构成，得12n n +1 +12n +1 n +2 +12n +2 n +3 +12n n +3 =760，n n +1+n +3 +n +2 n +1+n +3 =1520，2n +4 2n +2 =1520，即n +2 n +1 =380，n ∈N *，解得：n =18故选：A20(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)高斯(Gauss )被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行1+2+3+⋯+100的求和运算时，他这样算的：1+100=101，2+99=101，⋯，50+51=101，共有50组，所以50×101=5050，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列a n是公比不等于1的等比数列，且a1a2023=1，试根据以上提示探求：若f(x)=41+x2，则f a1+f a2+⋯+f a2023=()A.2023B.4046C.2022D.4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的下标性质由a1⋅a2023=1⇒a n⋅a2024-n=1，∵函数f(x)=41+x2，∴f(x)+f1x=41+x2+41+1x2=4+4x21+x2=4，令T=f a1+f a2+⋯+f a2023，则T=f a2023+f a2023+⋯+f a1 ，∴2T=f a1 +f a2023+f a2+f a2022+⋯+f a2023+f a1 =4×2023，∴T=4046．故选：B21(2022秋·山东青岛·高三统考期末)已知定义域为0,1的“类康托尔函数”f x 满足：①∀0≤x1<x2≤1，f x1≤f x2；②f x =2fx3；③f x +f1-x=1.则f12023=()A.132B.164C.1128D.1256【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到f(1)=1,f12=12，然后再利用f x =2f x3 得到f(x)=2n⋅f x3n，再次赋值，利用∀0≤x1<x2≤1，f x1 ≤f x2 即可求解.【详解】因为∀0≤x1<x2≤1，f x =2fx3，令x=0可得：f(0)=0，又因为f x +f1-x=1，令x=0可得：f(1)=1，令x=12可得：f12=12，由f x =2fx3可得：f(x)=2f x3 =22⋅f x32=⋯=2n⋅f x3n ，令x=1,n=7，则有f(1)=27f137=128f12187，所以f12187=1128，令x=12，n=6，则有f12=26f1236=64f11458=12，所以f11458=1128，因为12187<12023<11458，所以f12187≤f12023≤f11458，也即1128≤f12023≤1128，所以f12023=1128，故选：C.22(2023·全国·高三专题练习)设定点F1,0，动点M满足以MF为直径的圆与y轴相切，设动点M的轨迹为C ，则下列说法正确的是()A.轨迹C 的方程为y 2=4xB.动点M 到直线l 1：4x -3y +6=0和l 2：x =-2的距离之和的最小值为2C.长度为8的线段两端点在轨迹C 上滑动，中点到y 轴距离的最小值为4D.轨迹C 上一点P 处的切线与x 轴交于Q ，若PQ =FQ ，则切线斜率为3【答案】A【分析】先用直接法求出动点M 的轨迹方程，然后根据轨迹方程为抛物线找出焦点和准线，将BC 两选项中的问题用抛物线的定义进行转化可判断BC 的真假；D 答案需要联立方程设而不求的思想可判断.【详解】设M x ,y ，MF 中点Q x +12,y2，∵以MF 为直径的圆与y 轴相切∴x +12 =12x -12+y 2⇒y 2=4x ，A 正确.对于B ，MM +MM =MM +MP +1=MM +MF +1，MM +MF ≥F 到l 1的距离=2，∴MM +MM ≥3，B 错.对于C ，设AB 中点M ，AB =8，分别过A ，B 作l 2的垂线，垂足为A ,B ，∴MM=AA +BB 2=AF -1+BF -12=AF +BF -22≥AB -22=3∴中点到y 轴距离的最小值为3，C 错.对于D ，切线：x =my +n ，x =my +ny 2=4x消y 可得y 2-4my -4n =0，Δ=0，∴n =-m 2，y =2mx =m2 ，∴Q -m 2,0 ，P m 2,2m ，PQ =FQ ，∴4m 4+4m 2=1+m 2，∴m 2=13，m =±33，斜率±3，D 错.故选：A23(2022·重庆江北·校考一模)已知斐波那契数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n ，若a s ，a t 是数列a n 中的任意两项，a s -a t =m ，当m ≤2时，称数组a s ,a t 为数列a n 的“平缓数组”(a s ,a t 与a t ,a s 为相同的“平缓数组”)，m 为数组a s ,a t 的组差.现从a n 的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为()A.24B.26C.29D.35【答案】B【分析】先根据“平缓数组”的定义，找出所有的“平缓数组”，然后再计算随机抽取三个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数即可.【详解】由题意得a n +1≥a n ，a n +2-a n +1≥a n +1-a n ，a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，又a 6-a 5=3，所以当n ≥5时，a n +1-a i ≥3i =1,2,⋅⋅⋅,n ，所以a n 的所有“平缓数组”有a 1,a 2 ，a 1,a 3 ，a 1,a 4 ，a 2,a 3 ，a 2,a 4 ，a 3,a 4 ，a 4,a 5 ，共7个，其中组差为0的有1个为a 1,a 2 ，组差为1的有3个为a 1,a 3 ，a 2,a 3 ，a 3,a 4 ，组差为2的有3个为a 1,a 4 ，a 2,a 4 ，a 4,a 5 ，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2C 23C 14+2C 33=26，故选：B24(2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为()(1)存在至少一组正整数组x ,y ,z 是关于x ，y ，z 的方程x 3+y 3=z 3的解；(2)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1有正有理数解；(3)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1没有正有理数解；(4)当整数n >3时关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 有正实数解A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】当整数n >2时方程没有正整数解，(1)错误，x z 3+y z3=1，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确，当x =y =1，z =21n满足条件，(4)正确，得到答案.【详解】当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解，故方程x 3+y 3=z 3没有正整数解，(1)错误；x 3+y 3=z 3没有正整数解.即x z3+y z3=1，z ≠0 ，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确；方程x n+y n=z n，当x =y =1，z =21n满足条件，故有正实数解，(4)正确.故选：C25(2022秋·北京·高三北京铁路二中校考期中)德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷(1805年2月13日~1859年5月5日)，对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D x =1,x 为有理数,0,x 为无理数, 则下列关于狄利克雷函数D(x )的判断错误的是()A.对任意有理数t ，D (x +t )=D (x )B.对任意实数x ，D (D (x ))=1C.D (x )既不是奇函数也不是偶函数D.存在实数x ，y ，D (x +y )=D (x )+D (y )【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD ，结合奇偶性的定义判断C ．【详解】对于A ，对任意有理数t ，当x 为有理数时，x +t 为有理数，则D (x +t )=1=D (x )；当x 为无理数时，x +t 为无理数，则D (x +t )=0=D (x )，故A 正确；对于B ，若x 为有理数，则D (D (x ))=D (1)=1；若x 为无理数，则D (D (x ))=D (0)=1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则-x 为有理数，则D (-x )=1=D (x )；当x 为无理数时，则-x 为无理数，则D (-x )=0=D (x )，于是对任意实数x ，都有D (-x )=D (x )，即狄利克雷函数为偶函数，故C 错误；对于D ，取x =2，y =3，因为2+3为无理数，所以D (2+3)=0=D (2)+D (3)，故D 正确.故选：C .二、多选题26(2023春·吉林白山·高三统考期中)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有()A.函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”B.函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”C.函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”。
高中数学开放题赏析 试题
高中数学开放题赏析题目1：假如一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。
请说出你认为正确的那些序号。
解：分三种情形第一种情形从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，∴ AB，BC，AC的长分别为在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC===＞0∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角∴△ABC是锐角三形。
②正确。
当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情形如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900∵ AD⊥BD，AD⊥DC ，∴ AD⊥面DBC∴ BD是AB在平面DBC上的射影。
由三垂线定理知，BC⊥AB∴第四个面△ABC是直角三角形。
①正确。
第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，那么AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，∴ AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB=＜0∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。
故答案是①②③④⑤⑥。
注：此题是一道高考模拟试题，是一道考察学生空间想象才能、探究才能的好试题。
其中第三种情形容易被无视，HY答案中也没有“钝角三角形〞。
〔注：第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。
以AB为直径作一球，那么D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，那么∠ACB是直角，图3的四面体存在〕。
题目2：设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和。
〔I〕证明：＜lgS n+1；〔II〕假设存在常数C＞0，使得成立？并证明〔1995年全国高考题〕。
专练2开放题专练2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教A版2019)
解答：利用积分公式∫(f(x))dx = x^3/3，将区间[0, 1]代入得到∫(f(x))dx = (1^3 - 0^3)/3 = 1/3。
4. 概率与统计题
题型描述：要求学生运用概率与统计的知识，解决实际问题，如求概率、计算期望值等。
（二）存在主要问题
1. 教学管理：课堂纪律管理有待加强，部分学生在课堂上注意力不集中，影响教学效果。
2. 教学方法：教学方法较为单一，过于侧重理论知识的讲授，缺乏实践操作和案例分析，影响学生的学习兴趣和参与度。
3. 教学评价：评价方式较为传统，过多侧重于考试成绩，忽视了学生的学习过程和实际能力的培养。
- 逻辑推理能力的培养：学生在解答开放题时，往往会出现思路不清晰、理由不充分的情况。难点在于如何引导学生有条理地思考和表达，如何培养学生的逻辑推理能力，使其能够准确、清晰地表达自己的思路和观点。
举例说明：
- 教学重点举例：在学习开放题的解题思路和方法时，可以以教材中的一个典型开放题为例，引导学生分析问题、构建数学模型，并运用已知知识解决未知问题。通过这个过程，学生能够理解和掌握开放题的解题思路和方法。
1. 引入更多实际案例：在教学中引入更多与学生生活实际相关的案例，使学生能够更好地理解和运用所学知识，提高学习的兴趣和动力。
2. 加强互动讨论：在课堂上增加学生之间的互动讨论，鼓励学生提问、发表观点，促进学生之间的思想碰撞和知识共享，提高学生的思维能力和创新意识。
3. 利用多媒体教学：充分利用多媒体课件、视频、动画等教学资源，增强课堂的趣味性和直观性，帮助学生更好地理解和掌握知识。
举例：解线性方程组：
2x + 3y = 8
x - y = 1
解答：可以使用消元法，将第二个方程乘以2，得到2x - 2y = 2，然后将第一个方程减去这个新方程，得到5y = 6，解得y = 6/5。将y的值代入第二个方程得到x = 11/5。因此，方程组的解为x = 11/5, y = 6/5。
2020年高考数学多选一开放型综合解答题(详解答案)
已知 为虚数单位，复数 满足______，设 ， ， 在复平面上的对应点分别为 ， ， ，求 的面积．
10．在锐角△ABC中， ，________，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周长l的范围．
注：在① ，且 ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．
平面PBD的一个法向量为 ；
二面角 为钝角：二面角 的余弦值为 ．
选择③：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）
平面ABCD的法向量 ；
平面PBC的法向量 ；
二面角 为锐角；二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）假设棱BC上存在点F， ．设 ．
依题意，可知 ， ，
， ，
， ，设 ，
则 ，而此方程组无解，
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且，求 的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
7．在锐角△ABC中，a＝2 ，_______，求△ABC的周长l的范围．
在① (﹣cos ，sin )， (cos ，sin )，且 • ，②cosA(2b﹣c)＝acosC，③f(x)＝cosxcos(x ) ，f(A)
3．△ABC的内角 的对边分别为 .已知 △ABC的面② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4．在△ABC中，a ，c ，________.（补充条件）
（1）求△ABC的面积；
如图，以D为原点， 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ．
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
而 ， ，
设平面 的一个法向量为
则由 ，得 ，
高考数学开放与探索水平测试
DC 1A 1 C开放与探索水平测试一． 选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,那么ϕ可以是〔 〕A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 2．〔理〕满足条件|z －i|=|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 〔 〕A ． 一条直线B ． 两条直线C ． 圆D ． 椭圆 〔文〕直线x =k(k>0)和圆(x －1)2+y 2=4相切,那么k 的值是 〔 〕 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．设m 、n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出以下四个命题： ①假设m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n ②假设α∥β,β∥γ,m ⊥α,那么m ⊥γ ③假设m ∥α,n ∥α,那么m ∥n ④假设α⊥γ,β⊥γ,那么α∥β 其中正确命题的序号是〔 〕 A ．①和② B ．②和③ C ． ③和④ D ．①和④ 4．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,假设P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,那么动点P 的轨迹所在的曲线是〔 〕 A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 5．函数f(x)=x 2－2ax －3在区间［1,2］上存在反函数的充分必要条件是 〔 〕 A ．a ∈-∞(,]1 B ． a ∈+∞[,)2 C ． a ∈[,]12 D ． a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 6．a 、b 、c 满足c<b<a,且ac<0,那么以下选项中一定成立的是 〔 〕 A ．ab>ac B ．c(b －a)<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac(a －c)>07．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条线段为边可组成钝角△的概率为〔 〕 A ．110B ．15 C ． 310D ． 258．函数f x x x Px x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集,又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈,f M y y f x x M (){|(),}==∈,给出以下四个判断：①假设P M ⋂=∅,那么f P f M ()()⋂=∅ ②假设P M ⋂≠∅,那么f P f M ()()⋂≠∅③假设P M R ⋃=,那么f P f M R ()()⋃= ④假设P M R ⋃≠,那么f P f M R ()()⋃≠其中正确判断有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．假设函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转90°得到,那么f(x)=( )A ．10-x -1B ．10x -1C ．1-10-xD ．1-10x 10．数列}{n a 的通项公式*)(21log 2N n n n a n ∈++=,设其前n 项和S n ,那么使S n <－5 成立的自然数n〔 〕 A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值3111．假设不等式]21,0(0log 2∈≤-x x x a 在内恒成立,那么a 的取值范围是 〔 〕A ．161≤a <1 B ．161<a <1 C ．0<a ≤161 D ．0<a <161 12．有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不．左右相邻,那么不同排法的种数是〔 〕A ．234B ．346C ．350D ．363 二． 填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13．下面是关于四棱柱的四个命题：①假设有两个侧面垂直于底面,那么该四棱柱为直四棱柱②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,那么该四棱柱为直四棱柱 ③假设四个侧面两两全等,那么该四棱柱为直四棱柱④假设四棱柱的四条对角线两两相等,那么该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是 〔写出所有正确结论的编号〕14．假设干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“根本量〞．设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,以下{a n }的四组量中,一定能成为该数列“根本量〞的是第 组．(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n .其中n 为正整数, S n 为{a n }的前n 项和． 15．教材中“直线与圆的方程〞与“圆锥曲线方程〞两章内容表达出解析几何的本质是 ．16．定义“等和数列〞：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.数列{a n }是等和数列,且a 1＝2,公和为5,那么a 18的值为______________,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________三． 解做题：本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17．〔本小题总分值12分〕设P(x ,y )、Q(x ′,y ′),且将关系式⎪⎩⎪⎨⎧-=+=yx y yx x 33''看作坐标平面内的一个变换,它将平面内的点Ｐ变换到这一平面上的Ｑ点.是否存在这样的直线它上面的任何一点经过上述变换后得到的点仍旧在该直线上.假设存在,求出所有这样的直线；假设不存在,说明理由.18．〔本小题总分值12分〕f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1,1]上是增函数．⑴求实数a 的值组成的集合A ； ⑵设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m,使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立？假设存在,求m 的取值范围；假设不存在,请说明理由． 19．〔本小题总分值12分〕常数a >0,向量c =(0,a ),i =(1,0),经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,a )以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E 、F,使得|PE|+|PF|为定值．假设存在,求出E 、F 的坐标；假设不存在,说明理由． 20．〔本小题总分值12分〕给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275.现将这些数按以下要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的,r 1称为第一组余差；然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r 2；如此继续构成第三组〔余差为r 3〕、第四组〔余差为r 4〕、…,直至第N 组〔余差为r N 〕把这些数全局部完为止.⑴判断r r r N 12,,, 的大小关系,并指出除第N 组外的每组至少含有几个数 ⑵当构成第n 〔n<N 〕组后,指出余下的每个数与r n 的大小关系,并证实r n Ln n ->--11501⑶对任何满足条件T 的有限个正数,证实：N ≤11 21．〔本小题总分值13分〕设P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2),…,P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=|OP 1|2, a 2=|OP 2|2, …, a n =|OP n |2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点． 记S n =a 1+a 2+…+a n ．⑴假设C 的方程为2510022y x +=1,n=3． 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标；(只需写出一个)⑵假设C 的方程为12222=+by a x (a>b>0)． 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时,求S n 的最小值；⑶请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由． 22．〔本小题总分值13分〕⑴给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明； ⑵试比拟你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； ⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明．图1 图2 图3开放与探索水平测试参考答案一． 选择题：本大题主要考查根本知识和根本运算.每题5分,总分值60分.1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．A 10．A 11．C 12．B 二． 填空题：本大题主要考查根本知识和根本运算.每题4分,总分值16分.13．②④ 14．①④ 15．用代数的方法研究图形的几何性质．16．3 当n 为偶数时,S n n =52；当n 为奇数时,S n n =-5212三． 解做题：本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17．思路点拨：解答时首先应该读懂题意,不必深究这到底是一个什么变换,是否存在这样的直线其实质就是(x ,y )与()3,3y x y x -+两点是否均在同一直线上,从而转换为讨论方程组的解的问题.详细解答：假设存在这样的直线,∵平行于坐标轴的直线显然不符合条件,故可设所求的直线方程为y ＝kx ＋b (k ≠０)该直线上任何一点(x ,y )经过变换后得到点()3,3y x y x -+仍旧在该直线上.∴y x -3＝k ()3y x +＋b ,也就是b x k y k +-=+-)3()13(,∵⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-≠kk k b 31)13(,0方程组时无解,故不存在这样的直线.当b =0时由k k k 3113-=+-,解得k =33或k =3-,所以满足条件的所有直线为y =33x 或y =3-x . 18．解：⑴f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x , ∵f(x)在[－1,1]上是增函数,∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1,1]恒成立,即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立． ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2, 方法一：①⇔(1)120(1)120a a ϕϕ=--≤⎧⎨-=+-≤⎩⇔－1≤a ≤1,∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a =1时,f ′(－1)=0以及当a =－1时,f ′(1)=0∴A={a |－1≤a ≤1}．方法二：①⇔02(1)120a a ϕ⎧≥⎪⎨⎪-=+-≤⎩或02(1)120a a ϕ⎧<⎪⎨⎪=--≤⎩⇔0≤a ≤1或－1≤a <0⇔－1≤a ≤1．∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a =1时,f ＇(－1)=0以及当a =-1时,f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}． ⑵由222+-x a x =x1,得x 2－ax －2=0, ∵△=a 2+8>0 ∴x 1,x 2是方程x 2－ax －2=0的两实根,∴ 12122x x ax x +=⎧⎨=-⎩从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1,∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1,1]恒成立,即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1,1]恒成立． ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2),方法一：②⇔22(1)20(1)20g m m g m m ⎧=+-≥⎪⎨-=--≥⎪⎩⇔m ≥2或m ≤－2． 所以,存在实数m,使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}．方法二： 当m=0时,②显然不成立； 当m ≠0时, ②⇔2(1)20m g m m >⎧⎨-=--≥⎩或2(1)20m g m m <⎧⎨=+-≥⎩⇔ m ≥2或m ≤－2．所以,存在实数m,使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}．19．解：根据题设条件,首先求出点P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P 到两定点距离的和为定值．∵i=(1,0),c=(0,a ), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+ 因此,直线OP 和A P 的方程分别为 λy =ax 和y －a =－2λax ． 消去参数λ,得点P(x ,y )的坐标满足方程y (y －a )=－2a 2x 2 ,整理得,1)2()2(81222=-+aa y x ① 由于a >0,所以得： (i)当a =22时,方程①是圆方程,故不存在符合题意的定点E 和F ； (ii)当0<a <22时,方程①表示椭圆,焦点E )2,2121(2a a -和)2,2121(2a a F --为符合题意的两个定点； (iii)当a >22时,方程①表示椭圆,焦点E ())2121,0(2-+a a 和F (2121,0(2--a a ))为符合题意的两个定点．20．解：⑴r r r N 12≤≤≤ .除第N 组外的每组至少含有150503=个数 ⑵当第n 组形成后,由于n N <,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差r n ,余下数之和也大于第n 组的余差r n ,即L r r r r n n --+-++->[()()()]150******** 由此可得r r r n L n 121150+++>-- 由于()n r r r r n n -≥+++--11121 ,所以r n Ln n ->--11501⑶用反证法证实结论,假设N >11,即第11组形成后,还有数没分完,由〔I 〕和〔II 〕可知,余下的每个数都大于第11组的余差r 11,且r r 1110≥故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015011127510375. 〔*〕由于第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37531125..⨯=此时第11组的余差r 11150150112537511=-<-=第组数之和..这与〔*〕式中r 11375>.矛盾,所以N ≤1121．(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3=70． 由2233223311002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得23236010x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴点P 3的坐标可以为(215, 10)．(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a ．∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0． ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +．【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由2222222(1)1k k k k x y a k d x y ab ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩解得y 2k =222)1(b a d k b ---∵0< y 2k≤b 2,得122--k a b ≤d<0∴122--n a b ≤d<0以下与解法一相同．(3) 【解法一】假设双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a,0),那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0．∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[|a |,+∞),且|OP 1|=a 2,∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0．【解法二】假设抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0),那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0．理由同上 【解法三】假设圆C:(x －a)+y 2=a 2(a≠0), P 1(0,0),那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a ．∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2|a |,且|OP 1|=0, ∴d>0且|OP n |2=(n －1)d≤4a 2．即0<d≤142-n a．22．解：⑴如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥． 如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的41,有一组对角为直角．余下局部按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底． ⑵依上面剪拼的方法,有V 柱>V 锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为.43现在计算它们的高：.633021,36)2332(12===⋅-= tg h h 柱锥,02432243)6396(43)31(<-=⋅-=⋅-=-∴柱锥柱锥h h V V所以,V 柱>V 锥．⑶如图3,分别连结三角形的内心与各顶点,得到三条线段,再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面,过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,可以拼接成直三棱柱的上底,余下局部按虚线折起,成为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直三棱柱模型． 注：如有其他的剪拼方法,也可.。
2020年高中数学开放题专项练习(1)(附答案详解)
2020年高中数学开放题专项练习（1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.3−i 2+i=( )A. 1−iB. 2−2iC. 1+iD. 2+2i2. 用反证法证明命题“设实数a ，b ，c 满足a +b +c =1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于13”时假设的内容是( )A. a ，b ，c 都不小于13 B. a ，b ，c 都小于13C. a ，b ，c 至多有一个小于13D. a ，b ，c 至多有两个小于133. 极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为( )A. (x +12)2+y 2=14 B. x 2+(y +12)2=14 C. x 2+(y −12)2=14D. (x −12)2+y 2=144. 已知直线l 的参数方程是{x =1−√22ty =2+√22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为( ) A. √22B. −√22C. 1D. −15. 参数方程{x =1−2ty =2+t(t 为参数)所表示的图形是( ) A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线6. 菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是( )．A. 大前提B. 小前提C. 推理形式D. 大小前提及推理形式7. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A. 5B. 7C. 9D. 118.下列说法错误的是()A. 回归直线过样本点的中心(x−,y−)B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程ŷ=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均增加0.2个单位D. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小9.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖．”乙说：“是丙或丁获奖，”丙说：“乙、丁都未获奖．“”丁说：“我获奖了，”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如表年龄华为苹果合计手机品牌30岁以上40206030岁以下(含30岁)152540合计5545100P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828根据表格计算得K2的观测值k≈8.249，据此判断下列结论正确的是()A. 没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”B. 可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”D. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”11. 将曲线y =sin2x 按照伸缩变换{x′=2xy′=3y后得到的曲线方程为( )A. y =3sinxB. y =3sin 2xC. y =3sin 12xD. y =13sin 2x12. 已知a ∈(0,+∞)，不等式x +1x ≥2，x +4x 2≥3，x +27x 3≥4，…，可推广为x +ax n ≥n +1，则a 的值为( )A. 2nB. n 2C. 22(n−1)D. n n二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂必过点______． 14. 点M 的直角坐标是(−1,√3)，则点M 的极坐标为______．15. 对于函数f(x)，若f(1)=0，f(2)=3，f(3)=8，f(4)=15.运用归纳推理的方法可猜测f(n)=______．16. 已知(1−i)z =1+i(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 三、解答题（本大题共18小题，共214.0分）17. z =(m 2−5m +6)+(m 2−8m +15)i ，i 为虚数单位，m 为实数．(1)当z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z −8i 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 的取值范围．18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ̂=∑x i ni−1y i −nxy ∑x i 2n i−1−n(x)2，a ̂=y −b ̂x)19. 《朗读者》是一档文化情感类节目，以个人成长、情感体验、背景故事与传世佳作相结合的方式，选用精美的文字，用最平实的情感读出文字背后的价值，深受人们的喜爱．为了了解人们对该节目的喜爱程度，某调查机构随机调查了A ，B 两个城市各100名观众，得到下面的列联表．非常喜爱 喜爱 合计 A 城市 60100B 城市30合计200完成上表，并根据以上数据，判断是否有90%的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关？附参考公式和数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n =a +b +c +d)．20. 已知曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1.把C 1的参数方程式化为普通方程，C 2的极坐标方程式化为直角坐标方程．21. 在极坐标系下，已知圆C ：ρ=cosθ+sinθ和直线l ：x −y +2=0，(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程； (Ⅱ)求圆C 上的点到直线l 的最短距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =−12t y =3+√32t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴娃立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p =4sin(θ+π3). (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ))设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|+|MB|的值．23. 在①S n =2b n −1，②−4b n =b n−1(n ≥2)，③b n =b n−1+2(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{a n }为等比数列，a 1=23，a 3=a 1a 2，数列{b n }的首项b 1=1，其前n 项和为S n ，______，是否存在k ，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立？24. 已知函数f(x)=log k x(k 为常数，k >0且k ≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n }是等比数列，说明理由； ①数列{f(a n )}是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n )}是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列． (2)在(1)的条件下，当k =√2时，设a n b n =2n+14n 2−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．25.现给出两个条件：①2c−√3b=2acosB，②(2b−√3c)cosA=√3acosC.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，______，(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√3−1，求△ABC面积的最大值．26.在①△ABC面积S△ABC=2，②∠ADC=π这两个条件中任选一个，补充在下面问6题中，求AC.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=3π，∠BAC=∠DAC，______，4CD=2AB=4，求AC．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．27.在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=−25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，______，b1=a5，b2=3，b5=−81，是否存在k，使得S k>S k+1且S k+1<S k+2？28.在①a3=5，a2+a5=6b2；②b2=2，a3+a4=3b3；③S3=9，a4+a5=8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差为d(d>1)，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，且a1=b1，d=q，______．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式．(2)记c n=a n，求数列{c n}的前n项和T n．b n)，29.在条件①(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，②asinB=bcos(A+π6③bsin B+C=asinB中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=6，a=2√6，求△ABC的面积．30. 在①√3(bcosC −a)=csinB ；②2a +c =2bcosC ；③bsinA =√3asinA+C 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足______，b =2√3，a +c =4，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．31. 在①离心率e =12，②椭圆C 过点(1,32)，③△PF 1F 2面积的最大值为√3，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为2√3，______． (1)求椭圆C 的方程；(2)若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：|PQ||NF 1|为定值．32.在①a4=b4，②a2+b2=8，③S6=−24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．设S n为等差数列{a n}的前n项和，{b n}是等比数列，______，b1=a5，b3=−9，b6= 243.是否存在k，使得S k>S k−1且S k+1<S k？33.在①3c2=16S+3(b2−a2)；②5bcosC+4c=5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．(1)求tanB的值；(2)若S=42，a=10，求b的值．)，f(x)图象上两相邻对称轴之间34.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2的距离为π；______；2(Ⅰ)在①f(x)的一条对称轴x=−π；3,1)；②f(x)的一个对称中心(5π12,0)．③f(x)的图象经过点(5π6这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；(Ⅱ)若动直线x=t(t∈[0,π])与f(x)和g(x)=2√3sinxcosx的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：3−i2+i =(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=5−5i 5=1−i ．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：用反证法证明命题“设实数a ，b ，c 满足a +b +c =1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于13”时的假设是“a ，b ，c 都小于13”. 故选：B ．：反证法证明命题时，要假设结论不成立．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于基础题．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题． 利用{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出．【解答】解：极坐标方程ρ=cosθ化为ρ2=ρcosθ，∴直角坐标方程为x 2+y 2=x ，配方为(x −12)2+y 2=14． 故选：D ．4.【答案】D【解析】解：根据题意，直线l 的参数方程是{x =1−√22ty =2+√22t(t 为参数)，其普通方程为(y −2)+(x −1)=0， 即y =−x +3， 直线l 的斜率为−1； 故选：D ．根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得答案．本题考查直线的参数方程，注意将直线的参数方程变形为普通方程，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意，消去t ，将参数方程化为直角坐标方程为：1−x 2=y −2，整理，得：x +2y −4=0． ∴该参数方程所表示的图形是直线． 故选：A ．本题可先将参数方程化为直角坐标方程即可得出结果． 本题主要考查将参数方程化为直角坐标方程，本题属基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．这个三段论推理是错误的，主要根据“菱形的对角线相等”是错误的，即大前提是错误的． 【解答】解：大前提，“菱形的对角线相等”， 小前提，正方形是菱形， 结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分．以上三段论推理中错误的是：大前提， 故选A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟执行程序的运行过程，即可得出循环终止时输出的n 值． 【解答】解：执行如图所示的程序框图如下， n =1时，0<49，S =11×3=13，n =3， n =3时，13<49，S =11×3+13×5=25，n =5， n =5时，25<49，S =11×3+13×5+15×7=37，n =7 n =7时，37<49，S =11×3+13×5+15×7+17×9=49，n =9， n =9时，49=49，满足循环终止条件，此时n =9， 则输出的n 值是9． 故选：C ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题． 利用线性回归的有关知识即可判断出． 【解答】解：A.由回归方程中a ̂=y −b ̂x 可知回归直线过样本点的中心(x −,y −)，正确；B .两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越大，越接近于1，因此正确；C .在线性回归方程y ̂=0.2x +0.8中，当x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；D .对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，X 与Y 的相关性越强，“X 与Y有关系”的把握性越大，因此不正确． 综上可知：只有D 不正确． 故选D ．9.【答案】D【解析】解：①若甲获奖，则甲乙丁说的是错的，丙说的是对的，不符合题意． ②若乙获奖，则甲乙丙丁这四个人说的全是错的，不符合题意． ③若丙获奖，则甲乙丙三人说的是对的，丁说的是错的，不符合题意． ④若丁获奖，则甲丙说的是错的，丁说的是对的，符合题意． 故选：D ．直接利用推理的应用和假设法的应用求出结果．本题考查的知识要点：推理的应用，主要考查学生的逻辑思维能力和推理能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：根据题意知，K 2的观测值k ≈8.249，且8.249>6.635，据此判断：在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”． 故选：C ．根据K 2的观测值，对照临界值即可得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：∵伸缩变换{x′=2xy′=3y ，∴x =12x′，y =13y′，代入曲线y =sin2x 可得y′=3sin x′，即y =3sin x ． 故选A ．利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．本题考查代入法求曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．12.【答案】D【解析】解：第一个不等式的a =1，第二个不等式的a =4=22，第三个不等式的a =27=32，则由归纳推理可知，第n 个不等式的a =n n ． 故选：D ．分别分析各个不等式的特点，归纳出a 的值．本题考查了归纳推理、分析能力，认真观察各式，根据所给式子的结构特点的变化情况总结规律是解题的关键．13.【答案】(6,4)【解析】解：由数据可知：x −=14(2+5+7+10)=6；y −=14(1+3+5+7)=4， 故线性回归方程必过点(6,4)． 故答案为：(6,4)．计算样本中心点(x −,y −)，即可求得结果． 本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题．14.【答案】(2,2π3)【解析】解：极径ρ=√(−1)2+(√3)2=2， 由cosθ=−12得极角为2π3， 所以点M 的极坐标为(2,2π3)，故答案为：(2,2π3).根据点的极坐标与直角坐标的互化公式可得答案．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，熟记相关公式是解决问题的关键．15.【答案】n2−1【解析】【分析】本题考查合情推理，考查了分析问题和解决问题的能力，解题的关键是找出函数值随自变量变化所呈现的规律，属于基础题．已知中的函数值可转化为：f(1)=12−1，f(2)=22−1，f(3)=32−1，f(4)=42−1…，进而可归纳出f(n)的解析式．【解答】解：∵f(1)=0，f(2)=3，f(3)=8，f(4)=15，可化为：f(1)=12−1，f(2)=22−1，f(3)=32−1，f(4)=42−1，…，∴可归纳出：f(n)=n2−1，故答案为：n2−1．16.【答案】1【解析】解：由(1−i)z=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴|z|=1．故答案为：1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．17.【答案】解：(1)由z为纯虚数得{m2−5m+6=0m2−8m+15≠0，解得m=2；(2)复数z−8i=(m2−5m+6)+(m2−8m+7)i，∵复数z−8i位于第四象限，∴{m2−5m+6>0m2−8m+7<0，解得1<m<2或3<m<7．故m 的取值范围为(1,2)∪(3,7)．【解析】(1)由实部为0且虚部不为0列式求解m 值；(2)化简z −8i ，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.【答案】解(1)散点图如图所示．(2)由表中数据得：∑x i 4i=1y i =52.5，x =3.5，y =3.5，∑x i 24i=1=54，∴b =0.7，a =1.05．∴回归直线方程为y =0.7x +1.05．(3)将x =10代入回归直线方程，得y =0.7×10+1.05=8.05(小时)， ∴预测加工10个零件需要8.05小时．【解析】(1)由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图；(2)利用最小二乘法求得回归直线方程的系数b ，再求系数a ，得回归直线方程； (3)把x =10代入回归直线方程，求得预报变量y 的值．本题考查了线性回归方程的求法及应用，熟练掌握最小二乘法求回归直线方程的系数是关键．19.【答案】解：完成2×2列联表如下：非常喜爱 喜爱 合计 A 城市 60 40 100B 城市70 30合计13070200K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(40×70−30×60)2100×100×130×70=20091≈2.198<2.706，所以没有90%的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关．【解析】由题意填写2×2列联表，由公式求得K 2的观测值，再与临界值表比较得结论． 本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题．20.【答案】解：曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，消去参数θ，得C 1的普通方程是： (x −1)2+(y −1)2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρ=1， 化为直角坐标方程是√x 2+y 2=1， 即x 2+y 2=1．【解析】消去参数θ，把C 1的参数方程化为普通方程；利用极坐标公式，把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程．本题考查了参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程的应用问题，是基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)圆C ：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，圆C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x +y ， 即x 2+y 2−x −y =0； 直线l ：x −y +2=0，则直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ+2=0． (Ⅱ)由圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−x −y =0， 即(x −12)2+(y −12)2=12，可知圆心C 坐标为(12,12)，半径r =√22，圆心C 到直线l 的距离d =|12−12+2|√12+(−1)2=√2，因此圆C 上的点到直线l 的最短距离为d −r =√22．【解析】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． (Ⅰ)直接利用转换关系求出结果．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．22.【答案】1解：(Ⅰ)已知直线l ：{x =−12ty =3+√32t(t 为参数)． 转换为直角坐标方程为：√3x −y −3=0． (Ⅱ)曲线C 的极坐标方程为p =4sin(θ+π3). 整理得：ρ2=4ρsinθ⋅12+4ρcosθ⋅√32，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−2y −2√3x =0， 把直线的参数方程{x =−12ty =3+√32t(t 为参数) 代入圆的直角坐标方程x 2+y 2−2y −2√3x =0， 得到：t 2+3√3t −6=0(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)， 所以：t 1+t 2=−3√3，t 1⋅t 2=−6， |MA|+|MB =|t 1+t 2|=3√3．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的参数方程和直角坐标方程，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】①【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1=23，所以a 3=a 1a 2， ∴23q 2=(23)2q ，解得q =23． ∴a n =(23)n ．①S n =2b n −1，则S n−1=2b n−1−1(n ≥2)， 两式相减整理得b nbn−1=2(n ≥2)，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n =2n−1， 所以a n b n =(23)n ⋅2n−1=12×(43)n ，由指数函数的性质知，数列{a n b n }单调递增，没有最大值， 所以不存在n ∈N ∗，使得对任意a n b n ≤a k b k 恒成立．②由−4b n =b n−1(n ≥2)，b 1=1，知数列{b n }是首项为1，公比为−14的等比数列， 所以b n =(−14)n−1，所以a n b n =(23)n ⋅(−14)n−1=(−4)×(−16)n ，因为a n b n =(−4)×(−16)n ≤4×(16)n ≤4×16=23，当且仅当n =1时取得最大值23， 所以存在k =1，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立． ③由b n =b n−1+2(n ≥2)知数列{b n }是公差为2的等差数列， 数列{b n }的首项b 1=1，公差d =2． ∴b n =1+2(n −1)=2n −1． a n b n =(2n −1)⋅(23)n >0．a n+1b n+1a n b n=(2n+1)(23)n+1(2n−1)(23)n=4n+26n−3=23(1+22n−1)=f(n)，f(1)=2，f(2)=109，f(3)=1415，n ≥3时，f(n)<1． 因此存在正整数k =3，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立．选择①S n =2b n −1，则S n−1=2b n−1−1(n ≥2)，整理可得b n =2n−1，则a n b n =12×(43)n ，由指数函数的性质知，数列{a n b n }单调递增，没有最大值，所以不存在n ∈N ∗，使得对任意a n b n ≤a k b k 恒成立．选择②由−4b n =b n−1(n ≥2)，可得b n =(−14)n−1，a n b n =(−4)×(−16)n ≤4×(16)n ≤4×16=23，所以存在k =1，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立．选择③b n =b n−1+2(n ≥2).数列{b n }的首项b 1=1，公差d =2.利用通项公式可得b n .设等比数列{a n }的公比为q ≠0，a 1=23，a 3=a 1a 2，解得q ，可得a n .a n b n =(2n −1)⋅(23)n >0.作商可得a n+1b n+1a n b n=(2n+1)(23)n+1(2n−1)(23)n=4n+26n−3=23(1−22n−1)=f(n)，f(1)=2，f(2)=109，f(3)=1415，n ≥3时，f(n)<1.即可得出结论． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2，当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．25.【答案】①②【解析】解：选择条件：①2c −√3b =2acosB ， (Ⅰ)∵由余弦定理可得2c −√3b =2acosB =2a ⋅a 2+c 2−b 22ac，∴整理可得c 2+b 2−a 2=√3bc ，可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， ∵A ∈(0,π)， ∴A =π6．(Ⅱ)∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得(√3−1)2=b 2+c 2−2bc ⋅√32，∴4−2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， ∴S △ABC =12bcsinA ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 选择条件：②(2b −√3c)cosA =√3acosC ． (Ⅰ)∵由题意可得2bcosA =√3acosC +√3ccosA ，∴2sinBcosA =√3(sinAcosC +sinCcosA)=√3sin(A +C)=√3sinB ， ∵sinB ≠0， ∴可得cosA =√32，∵A∈(0,π)，∴A=π6．(Ⅱ)∵a=√3−1，A=π6，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得(√3−1)2=b2+c2−2bc⋅√32，∴4−2√3=b2+c2−√3bc≥2bc−√3bc，可得bc≤2，∴S△ABC=12bcsinA≤12×2×12=12，即△ABC面积的最大值为12．若选择条件①，(Ⅰ)由余弦定理可得cosA的值，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②.(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sinB≠0，可求cosA=√32，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．26.【答案】①△ABC面积S△ABC=2【解析】解：选择①△ABC面积S△ABC=2，CD=2AB=4，∠ABC=3π4，所以AB=2．故12×AB×BC×sin3π4=2，解得BC=2√2则：AC2=BC2+AB2−2BC⋅AB⋅cos3π4，解得：AC=2√5．故答案为：①△ABC面积S△ABC=2.AC=2√5选择②设∠BAC=∠CAD=θ，则0<θ<π4，∠BCA=π4−θ，在△ABC中ACsin∠ABC =ABsin∠BCA，即ACsin3π4=2sin(π4−θ)，所以AC=√2sin(π4−θ)在△ACD中，ACsin∠ADC =CDsin∠CAD，即ACsinπ6=4sinθ，所以AC=2sinθ．所以2sinθ=√2sin(π4−θ)，解得2sinθ=cosθ，又0<θ<π4，所以sinθ=√55，所以AC =2sinθ=2√5．条件①，利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．条件②，设∠BAC =∠CAD =θ，在△ABC 和△ACD 中利用正弦定理求出AC ，可得到2sinθ=cosθ，进而可得AC =2sinθ=2√5．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．27.【答案】解：因为在等比数列{b n }中，b 2=3，b 5=−81，所以其公比q =−3，从而b n =b 2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a 5=b 1=−1． 若存在k ，使得S k >S k+1，即S k >S k +a k+1，从而a k+1<0； 同理，若使S k+1<S k+2，即S k+1<S k+1+a k+2，从而a k+2>0． 若选①：由b 1+b 3=a 2，得a 2=−1−9=−10，所以a n =3n −16， 当k =4时满足a 5<0，且a 6>0成立；若选②：由a 4=b 4=27，且a 5=−1，所以数列{a n }为递减数列， 故不存在a k+1<0，且a k+2>0； 若选③：由S 5=−25=5(a 1+a 5)2=5a 3，解得a 3=−5，从而a n =2n −11，所以当n =4时，能使a 5<0，a 6>0成立．【解析】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及等差数列的性质，是中档题．利用等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式，先求出等比数列{b n }的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n }的通项公式，并判断是否存在符合条件的k ．28.【答案】解：方案一：选条件①，(1)∵a 3=5,a 2+a 5=6b 2,a 1=b 1,d =q,d >1，∴{a 1+2d =52a 1+5d =6a 1d, 解得{a 1=1d =2或{a 1=256d =512(舍去)， ∴{b 1=1q =2, ∴a n =a 1+(n −1)d =2n −1，b n =b 1q n−1=2n−1． (2)∵c n =a n b n ，∴c n =2n−12n−1=(2n −1)×(12)n−1，∴T n =1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n −3)×(12)n−2+(2n −1)×(12)n−1，∴12T n =12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n −3)×(12)n−1+(2n −1)×(12)n，两式相减得12T n =1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n −1)×(12)n =1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n −1)×(12)n =3−(2n +3)×(12)n∴T n =6−(2n +3)×(12)n−1．方案二：选条件②，(1)∵b 2=2,a 3+a 4=3b 3,a 1=b 1,d =q,d >1，∴{a 1d =22a 1+5d =3a 1d 2, ∴{a 1d =22a 1+5d =6d， 解得{a 1=1d =2或{a 1=−1d =−2(舍去)， ∴{b 1=1q =2, ∴a n =a 1+(n −1)d =2n −1， b n =b 1q n−1=2n−1 ． (2)∵c n =an b n，∴c n =2n−12n−1=(2n −1)×(12)n−1，∴T n =1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n −3)×(12)n−2+(2n −1)×(12)n−1，∴12T n =12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n −3)×(12)n−1+(2n −1)×(12)n，两式相减得12T n =1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n −1)×(12)n=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n −1)×(12)n =3−(2n +3)×(12)n∴T n =6−(2n +3)×(12)n−1．方案三：选条件③(1)∴S 3=9,a 4+a 5=8b 2,a 1=b 1,d =q,d >1，∴{a 1+d =32a 1+7d =8a 1d, 解得{a 1=1d =2或{a 1=218d =38(舍去)， {b 1=1q =2, ∴a n =a 1+(n −1)d =2n −1， b n =b 1q n−1=2n−1． (2)∵c n =an b n，∴c n =2n−12n−1=(2n −1)×(12)n−1，∴T n =1+3×12+5×(12)2+⋯+(2n −3)×(12)n−2+(2n −1)×(12)n−1，∴12T n =12+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n −3)×(12)n−1+(2n −1)×(12)n，两式相减得12T n =1+2[12+(12)2+⋯+(12)n−1]−(2n −1)×(12)n =1+2×12[1−(12)n−1]1−12−(2n −1)×(12)n =3−(2n +3)×(12)n∴T n =6−(2n +3)×(12)n−1．【解析】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于中档题．(1)三个条件均运用等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，求出首项，公差，公比即可；(2)数列{c n}是一个等差数列乘以等比数列的式子，用错位相减法即可解决．29.【答案】解：若选①：由正弦定理得(a+b)(a−b)=(c−b)c，即b2+c2−a2=bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3，由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bcsinA=12×4×sinπ3=√3．若选②：由正弦定理得：sinAsinB=sinBcos(A+π6).因为0<B<π，所以sinB≠0，sinA=cos(A+π6)，化简得sinA=√32cosA−12sinA，即tanA=√33，因为0<A<π，所以A=π6．又因为a2=b2+c2−2bccosπ6，所以bc=222+√3=2√6)22+√3，即bc=24−12√3，所以S△ABC=12bcsinA=12×(24−12√3)×12=6−3√3．若选③：由正弦定理得sinBsin B+C2=sinAsinB，因为0<B<π，所以sinB≠0，所以sin B+C2=sinA，又因为B+C=π−A，所以cos A2=2sin A2cos A2，因为0<A<π，0<A2<π2，所以cos A2≠0，∴sin A2=12，A2=π6，所以A=π3．又a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，a=2√6，b+c=6，所以bc=4，所以S△ABC=12bcsinA=12×4×sinπ3=√3．【解析】若选①：由正弦定理，余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈(0,π)，可求A=π3，由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可得解；若选②：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得tanA=√33，结合范围0<A<π，可得A=π6.由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解；若选③：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sin A2=12，进而可求A=π3.利用余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．30.【答案】解：①若在横线上填写“√3(bcosC−a)=csinB”，则由正弦定理，得√3(sinBcosC−sinA)=sinCsinB．由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得−√3cosBsinC=sinCsinB，由0<C<π，得sinC≠0．所以−√3cosB=sinB．又cosB≠0(若cosB=0，则sinB=0，sin2B+cos2B=0这与sin2B+cos2B=1矛盾)，所以tanB=−√3．又0<B<π，得B=2π3．由余弦定理及b=2√3，得(2√3)2=a2+c2−2accos2π3，即12=(a+c)2−ac.将a+c=4代入，解得ac=4，所以S△ABC=12acsinB=12×4×√32=√3；②若在横线上填写“2a+c=2bcosC”，则由正弦定理，得2sinA+sinC=2sinBcosC，由2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC，得2cosBsinC+sinC=0，由0<C<π，得sinC≠0，所以cosB =−12，又B ∈(0,π)，所以B =2π3，由余弦定理及b =2√3，得(2√3)2=a 2+c 2−2accos2π3，即12=(a +c)2−ac.将a +c =4代入，解得ac =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×4×√32=√3；③若在横线上填写“bsinA =√3asinA+C 2”，则由正弦定理，得sinBsinA =√3sinAsin A+C 2，又A ∈(0,π)，所以sinA ≠0， 所以sinB =√3sinπ−B 2=√3cos B2，所以2sin B2cos B2=√3cos B2， 又0<B <π，所以0<B 2<π2，所以cos B2≠0，所以sin B 2=√32，所以B2=π3，即B =2π3，由余弦定理及b =2√3，得(2√3)2=a 2+c 2−2accos2π3，即12=(a +c)2−ac.将a +c =4代入，解得ac =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×4×√32=√3．【解析】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，涉及两角和与差的正弦公式，二倍角公式，三角形面积公式，属于中档题．选①√3(bcosC −a)=csinB ，利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简可得B =2π3，利用余弦定理求出ac ，从而求出三角形的面积；选②2a +c =2bcosC ，利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简可得B =2π3，利用余弦定理求出ac ，从而求出三角形的面积； 选③bsinA =√3asinA+C 2，利用正弦定理，诱导公式及二倍角公式化简可得B =2π3，利用余弦定理求出ac ，从而求出三角形的面积．31.【答案】解：(1)选择①离心率e =12，可得e =ca =12，2b =2√3，即b =√a 2−c 2=√3， 解得a =2，c =1，即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；选②椭圆C 过点(1,32)，即有1a 2+94b 2=1，又2b =2√3，即b =√3，解得a =2， 即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；选③△PF 1F 2面积的最大值为√3，可得P 位于短轴的端点时，△PF 1F 2面积取得最大值， 且为12⋅2c ⋅b =√3，即为bc =√3，又2b =2√3，即b =√3，c =1，a =√b 2+c 2=2， 即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：当直线l 的斜率为0时，易得|PQ |=4,|NF 1|=1，即|PQ||NF 1|=4； 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 联立椭圆方程可得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然Δ>0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，可得|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 4(3+4k 2)2−16k 2−483+4k 2=12(1+k 2)3+4k 2，设PQ 的中点为H(t,s)，可得t =x 1+x 22=−4k 23+4k 2，s =3k3+4k 2，由题意可得k HN =3k3+4k 2−4k 23+4k 2−x N =−1k ，解得x N =−k 23+4k 2，可得|NF 1|=|−1+k 23+4k 2|=3(1+k 2)3+4k 2，可得|PQ||NF 1|=4，即为定值．综上，|PQ||NF 1|=4，即为定值．【解析】(1)可选①，由题意可得b ，运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，c ，即可得到椭圆方程；若选②，由题意可得b ，将已知点代入椭圆方程求得a ，即可得到椭圆方程； 选③，可得P 位于短轴的端点时，取得最大值，结合条件可得b ，c 的值，由a ，b ，c 的关系可得a 的值，进而得到所求方程．(2)分类讨论，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；由中点坐标公式可得PQ的中点H，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得N的坐标，求得|NF1|，即可得到定值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查线段的垂直平分线的定义，以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．32.【答案】解：选择①a4=b4，又b1=a5，b3=−9，b6=243．则b1−d=−9q，−9q3=243，b1q2=−9，a1+3d=b1−d．解得q=−3，b1=−1，d=−28，a1=111．∴a n=111−28(n−1)=139−28n．假设存在k使得S k>S k−1且S k+1<S k．则139−28k>0，139−28(k+1)<0，化为：11128<k<13928，解得k=4．选择②a2+b2=8，又b1=a5，b3=−9，b6=243．则a1+d+b1q=8，b1q2=−9，b1q5=243，a1+4d=b1，解得q=−3，b1=−1，d=−2，a1=7，∴a n=7−2(n−1)=9−2n．假设存在k使得S k>S k−1且S k+1<S k．则9−2k>0，9−2(k+1)<0，化为：72<k<92，解得k=4．选择③S6=−24，又b1=a5，b3=−9，b6=243．则6a1+15d=−24，a1+4d=b1，b1q2=−9，b1q5=243，解得q=−3，b1=−1，d=2，a1=−9，∴a n=−9+2(n−1)=2n−11．假设存在k使得S k>S k−1且S k+1<S k．则2k−11>0，2(k+1)−11<0，无解．【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若选择①a4=b4，又b1=a5，b3=−9，b6=243，可解出q=−3，b1=−1，d=−28，第31页，共33页第32页，共33页 a 1=111，即可得到a n =139−28n ，若满足S k >S k−1且S k+1<S k ，即a k >0，a k +1<0，代入求解即可，选择②，③同理可解．33.【答案】①【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tanB ，(2)结合(1)可求cosB ，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】解：选①3c 2=16S +3(b 2−a 2)，(1)∵3c 2=16S +3(b 2−a 2)，∴3(c 2+a 2−b 2)=16s 即3×2accosB =16×12acsinB ，所以3cosB =4sinB 即tanB =34；(2)由(1)可得sinB =35，cosB =45，∴S =12acsinB =12×10c ×35=3c =42，即c =14，由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b =6√2．故答案为：①．34.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为T =2×π2=π，所以ω=2πT =2，此时f(x)=2sin(2x +φ)+1．若选①，则−2π3+φ=π2+kπ，k ∈Z ，得φ=7π6+kπ,k ∈Z ， 因为|φ|<π2，所以令k =−1，φ=π6，即f(x)=2sin(2x +π6)+1；。
2020年高中数学开放题专项练习(2)(含答案解析)
2020年高中数学开放题专项练习（2）一、解答题（本大题共13小题，共156.0分）1.已知是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为，满足，___是否存在正整数k，使得？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从，，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．2.给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”设数列的前n项和为．请写出一个数列的通项公式______，此时数列是“H数列”；设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；3.在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，，______，求注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4.在函数为奇函数当时，是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______．求函数的解析式；求函数在上的单调递增区间．5.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．6.在；，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知______．求tan B的值；若，，求b的值．7.在，，，这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出a的值；若无解，请说明理由．在中，已知道a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，．8.在，，在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中存在正整数m，求出m的值；若m不存在，说明理由．已知数列中，其中前n项和为，且_____是否存在正整数m，使得，，构成等差数列？9.现给出两个条件：，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，______，Ⅰ求A；Ⅱ若，求面积的最大值．10.现在给出三个条件：；；试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定，并以此为依据，求的面积．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，______，______，且满足，求的面积选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分11.在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．已知数列为等比数列，，，数列的首项，其前n项和为，______，是否存在k，使得对任意，恒成立？12.在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．设为等差数列的前n项和，是等比数列，______，，，是否存在k，使得且？13.在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______，．求sin A；如图，M为边AC上一点，求的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：选择，，解得．，，解得．存在正整数k，使得，k的最小值为10．选择，，解得．，，无解．不存在正整数k，使得．选择，，解得．，，解得．存在正整数k，使得，k的最小值为11．解析：选择由，，解得再利用求和公式即可得出．选择由，，解得再利用求和公式即可得出．选择由，，解得再利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：解析：解：．由题，等差数列中，且，，，可得：且．又因为数列又是“H数列”，所以是中的项，设，即：，整理得：，时，成立；时，成立；时，成立；时，不成立；时，不成立；时，成立．综上所述，公差d所有可能的值为：1，2，3，6．根据“H数列”定义即可得；根据已知且，得出公差d的范围，再根据“H数列”定义，由是该数列的其中一项求解即可．本题属于在数列概念的基础上新定义类题目，依然考查学生对等差数列基本通项公式的考查，属于中档题目，解题过程中注意把握新定义的概念．3.答案：解析：解：方案一：选条件解法一：因为，所以．由平方关系，解得或因为，所以．因为，由平方关系，解得．因为，所以，所以，所以．解法二：因为，所以点在角的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件因为，所以，因为，所以，所以．由平方关系，解得因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件因为，所以．由平方关系，得因为，所以．以下同方案一的解法一．故答案为：选条件由，结合同角基本关系可求，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．选条件由，求出，可得，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．选条件由，结合同角基本关系可求，，然后结合，利用差角余弦公式展开可求．本题主要考查了和差角公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于中档试题．4.答案：解析：解：函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，．方案一：选条件为奇函数，，，，，．由，，得，，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，，方案二：选条件，，，，或，，，，，由，，得，，令，得，令，得，函数在上的单调递增区间为，，方案三：选条件是函数的一个零点，，，，，，，由，，得，，令，得，令，得．函数在上的单调递增区间为，．故答案为：．方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求，选条件由题意可得，，结合范围，可求，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间；方案二：选条件，由题意可得，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间；方案三：选条件，由题意可得，求得，，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在上的单调递增区间．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的单调性，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．5.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．6.答案：解析：解：选，，即，所以即；由可得，，，即，由余弦定理可得，，整理可得，．故答案为：．先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tan B，结合可求cos B，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．7.答案：解：若选择，则或，因为，所以或，显然矛盾，此时三角形无解．若选择，由正弦定理可知．又．所以，．由余弦定理，可得，解得或，若则由知，又因为，所以得，这与矛盾，舍去．经检验知，当时适合题意，故若选择，因为，所以，即，得，此时，所以，此时矛盾，此时三角形无解．解析：根据题意依次选，进一步利用正弦定理余弦定理和三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．8.答案：解：若选择条件，则，两式相除得到，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列，由于，所以，又因为，，成等比数列，故数列是等比数列，公比为2，所以，故，所以，，，若，，构成等差数列，则，整理得到无解，所以不存在正整数m，使得，，构成等差数列；若选择，，由于，所以，则，于是，当时，，两式相减得，于是，所以数列是公比为3的等比数列，因此，所以，所以，若，，构成等差数列，则，整理得到无解，所以不存在正整数m，使得，，构成等差数列；若选择条件，由于，所以，则，因此，当时，，两式相减得，于是，所以，于是数列是等差数列，且，所以，，，由，，，所以不存在正整数m，使得，，构成等差数列，．解析：分别选择，，，运用数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式，以及等差数列的中项性质，解方程即可判断存在性．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题解法，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．9.答案：解析：解：选择条件：，Ⅰ由余弦定理可得，整理可得，可得，，．Ⅱ，，由余弦定理，可得，，可得，，即面积的最大值为．选择条件：．Ⅰ由题意可得，，，可得，，．Ⅱ，，由余弦定理，可得，，可得，，即面积的最大值为．若选择条件，Ⅰ由余弦定理可得cos A的值，结合范围，可求A的值．Ⅱ利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合，可求，结合范围，可求A的值．Ⅱ利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：解析：解：选因为，由正弦定理可得，，因为，所以，又因为，，由余弦定理可得，，解可得，，，故．若选，因为，，，由正弦定理可得，，因为，所以，，因为，，，由正弦定理可得，，，若选，，，由正弦定理可得，，因为，所以，，，，，此时，符合题意．故答案为：或由已知结合正弦定理进行化简可求A，然后结合选项及余弦定理和三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式的应用，属于中档试题．11.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，因为，所以，，解得．．，则，两式相减整理得，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，所以不存在，使得对任意恒成立．由，，知数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以，因为，当且仅当时取得最大值，所以存在，使得对任意，恒成立．由知数列是公差为2的等差数列，数列的首项，公差．．．，，，，时，．因此存在正整数，使得对任意，恒成立．选择，则，整理可得，则，由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，所以不存在，使得对任意恒成立．选择由，可得，，所以存在，使得对任意，恒成立．选择数列的首项，公差利用通项公式可得设等比数列的公比为，，，解得q，可得作商可得，，，，时，即可得出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：4解析：解：选择，又，，．则，，，．解得，，．．假设存在k使得且．则，，化为：，解得．故答案为：4．选择，又，，可得，，，解出，利用等差数列的系统公司求和公式即可得出．本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：若选择条件，则：在中，由正弦定理可得，因为，所以，可得，所以，因为，所以．设，易知，在中，由余弦定理可得，解得，所以，在中，，，，所以，所以，所以．若选择，则：因为，所以，由正弦定理可得，因为，所以，，因为，可得，则，所以．同选择．若选择条件，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值；设，易知，在中，由余弦定理可解得m的值，利用三角形的面积公式即可求解．若选择由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，，进而可求sin A的值；同选择．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习65---开放性问题
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题65 开放性问题1．(2021·江西宜春市模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且△P F 1F 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴交于A ，B 两点，直线AP 和BP 与直线l ：x ＝－4分别交于点M ，N ，试探究以MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由．2．(2021·福建龙岩市质检)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，已知椭圆Γ上一异于A ，B 的点P ，PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，满足k 1k 2＝－12. (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若过椭圆Γ的左顶点A 作两条互相垂直的直线AM 和AN ，分别交椭圆Γ于M ，N 两点，问x 轴上是否存在一定点Q ，使得∠MQA ＝∠NQA 成立，若存在，则求出该定点Q ，否则说明理由．3．(2021·安徽定远模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →·QB→＝－716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2021·哈尔滨高三模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．如图，已知椭圆E ：x216＋y212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．5．(2021·衡水市联考)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝14相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA→＝λAF →，DB →＝μBF →，试探究：λ＋μ是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．参考答案1．思路 (1)根据△PF 1F 2的一边F 1F 2为定值，可知当P 为C 的短轴顶点时，面积最大，再结合题目条件，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2即可解出a ，b ，c ，得到椭圆C 的方程；(2)由(1)中方程，不妨设A(－2，0)，B(2，0)，根据k AP k BP ＝－34，设直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)，即可得直线BP 的方程为y ＝－34k (x －2)，与直线x ＝－4联立，可得到点M ，N 的坐标，由此得到以MN 为直径的圆的方程，即可求出所有定点的坐标． 答案 (1)x24＋y23＝1 (2)过定点，(－1，0)和(－7，0)解析 (1)∵椭圆C 的离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值3，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2＝b2＋c2，12×2c×b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.(2)不妨设A(－2，0)，B(2，0)，P(x ，y)，则k AP k BP ＝y2x2－4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x24x2－4＝－34，设AP ：y ＝k(x ＋2)，∴BP ：y ＝－34k (x －2)，∴M(－4，－2k)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，92k ， 以MN 为直径的圆是(x ＋4)2＋(y ＋2k)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －92k ＝0，即(x ＋4)2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －92k y －9＝0.令y ＝0，得x 2＋8x ＋7＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－7， 故以MN 为直径的圆恒过(－1，0)和(－7，0)．2．思路 (1)设P(x 0，y 0)，根据题意可得k PA ·k PB ＝y0x0＋a ·y0x0－a，结合椭圆的方程化简可得－b2a2＝－12，再由a 2＝b 2＋c 2即可求解；(2)根据(1)设直线AM 和AN 的方程分别为y ＝k(x ＋2)和y ＝－1k (x ＋2)，将直线方程与椭圆方程联立求出M ，N ，设x 轴上存在一定点Q(t ，0)，使得∠MQA ＝∠NQA 成立，则k QM ＋k QN ＝0，利用两点求斜率化简即可求得．答案 (1)x24＋y22＝1 (2)存在，定点Q(－6，0)解析 (1)设P(x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y0x0＋a ·y0x0－a ＝y02x02－a2＝b2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x02a2x02－a2＝－b2a2＝－12，又c ＝2，则b ＝2，a ＝2.∴椭圆Γ的标准方程为x24＋y22＝1.(2)由(1)可知左顶点A(－2，0)，过点A 的直线AM 和AN 的斜率存在，且不为0， 设直线AM 和AN 的方程分别为y ＝k(x ＋2)和y ＝－1k (x ＋2)，M(x M ，y M )，N(x N ，y N )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x24＋y22＝1，⇒(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－4)＝16>0，∵直线AM 和椭圆Γ交于A ，M 两点，∴(－2)＋x M ＝－8k21＋2k2，－2x M ＝8k2－41＋2k2，∴x M ＝2－4k21＋2k2，y M ＝k(x M ＋2)＝4k1＋2k2，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2－4k21＋2k2，4k 1＋2k2.同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2－4k2＋2，－4k k2＋2. 假设x 轴上存在一定点Q(t ，0)，使得∠MQA ＝∠NQA 成立，则k QM ＋k QN ＝0，即yM xM －t ＋yNxN －t＝0，则y M ·x N ＋y N ·x M ＝(y M ＋y N )·t 又y M ·x N ＋y N ·x M ＝4k1＋2k2·2k2－4k2＋2＋－4k k2＋2·2－4k21＋2k2＝24k （k2－1）（2k2＋1）（2＋k2），y M ＋y N ＝4k 1＋2k2＋－4k k2＋2＝－4k （k2－1）（2k2＋1）（2＋k2）， 则24k （k2－1）（2k2＋1）（2＋k2）＝－4k （k2－1）（2k2＋1）（2＋k2）·t ，当k 2≠1时，解得t ＝－6.当k 2＝1时，Q(－6，0)满足题意．因此x 轴上存在一定点Q(－6，0)，使得∠MQA ＝∠NQA 成立．讲评 本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查转化化归能力，此题要求有较高的计算能力，须知：x 轴上存在一定点Q(t ，0)，使得∠MQA ＝∠NQA 成立，则k QM ＋k QN ＝0.3．答案 (1)x22＋y 2＝1 (2)存在，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0解析 (1)由题意知，c ＝1，根据椭圆的定义得：2a ＝（－1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋22＝2 2.即a ＝2，∴b 2＝2－1＝1，∴椭圆C 的标准方程为x22＋y 2＝1. (2)假设在x 轴上存在点Q(m ，0)，使得QA→·QB →＝－716恒成立．①当直线l 的斜率为0时，不妨设A(2，0)，B(－2，0)． 则(2－m ，0)·(－2－m ，0)＝－716，解得m ＝±54.②当直线l 的斜率不存在时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22.则⎝⎛⎭⎪⎫1－m ，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m ，－22＝－716，解得m ＝54或m ＝34.③由①②可知当直线l 的斜率为0或不存在时，m ＝54使得QA→·QB →＝－716成立．下面证明当m ＝54，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0时，QA→·QB →＝－716恒成立．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x22＋y2＝1，可得(2k 2＋1)·x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，则Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(k 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1.∵y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，∴y 1y 2＝k(x 1－1)k(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2－22k2＋1－4k22k2＋1＋1＝－k22k2＋1，∴QA →·QB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－54，y1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－54，y2＝x 1x 2－54(x 1＋x 2)＋2516＋y 1y 2＝2k2－22k2＋1－54·4k22k2＋1＋2516＋－k22k2＋1＝－716.综上所述：在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得QA→·QB →＝－716恒成立．4．思路 (1)由相似椭圆的定义可得，椭圆M 的离心率e ＝12，由长轴的端点为(－2，0)，(2，0)，可得a ＝2，b ＝3，从而可得椭圆M 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋b(b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，利用判别式为零可得b 2＝3＋4k 2，联立y ＝kx ＋b 与x216＋y212＝1，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得．答案 (1)x24＋y23＝1 (2)是，定值为6解析 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的端点为(－2，0)，(2，0)， ∴椭圆M 的方程为x24＋y23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b(b ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0得，b 2＝3＋4k 2.联立y ＝kx ＋b 与x216＋y212＝1，化简得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.则Δ＝(8kb)2－4(3＋4k 2)(4b 2－48)＝48(16k 2－b 2＋12)>0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－8kb3＋4k2＝－8k b ，x1·x2＝4b2－483＋4k2＝4b2－48b2. ∴|AB|＝1＋k2|x 1－x 2|＝121＋k2|b|，而原点O 到直线l 的距离d ＝|b|1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB|·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2，则|AB|＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2，∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.讲评 本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线．5．答案 (1)y ＝±3x ＋1 (2)λ＋μ为定值－1解析 (1)由已知得F(0，1)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时，直线l 与圆O 相交，不合乎题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，由直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝14相切，得11＋k2＝12，解得k ＝±3. 综上所述，直线l 的方程为y ＝±3x ＋1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 若k ＝0，则直线l 与x 轴平行，不合乎题意，所以k ≠0.联立⎩⎨⎧x2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0，Δ＝(－4k)2－4×(－4)＝16(k 2＋1)>0，由韦达定理得⎩⎨⎧x1＋x2＝4k ，x1x2＝－4，易知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0，由DA →＝λAF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋1k ，y1＝λ(－x 1，1－y 1)，则x 1＋1k ＝－λx 1，所以λ＝－1－1kx1，同理可得μ＝－1－1kx2，所以λ＋μ＝－2－1kx1－1kx2＝－2－x1＋x2kx1x2＝－2－4k－4k＝－1，所以λ＋μ为定值－1.。
高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课
探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习（二） 题一：⑴下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n (n >1)盆花，每个图案花盆总数为S ，按此规律推断，S 与n 的关系式是________。
n =2 n =3 n =4S =3 S =6 S =9⑵观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.题二：定义：称np p p n +++Λ21为n 个正数n p p p ,,,21Λ的“均倒数”.数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121+n ，求{}n a 的通项公式.题三：对于给定的自然数n ，如果数列12,,...,()m a a a m n >满足：1,2,3,...,n 的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称12,,...,()m a a a m n >是“n 的覆盖数列”.如1,2,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是 “3的覆盖数列” 为（ ）（A ）1,2,3,3,1,2,3 （B ）1,2,3,2,1,3,1 （C ）1,2,3,1,2,1,3 （D ）1,2,3,2,2,1,3题四：向高为H 的水瓶中注水,注满为止.试分别画出注水量V 与水深h 的函数关系的图象。
题五：现代社会信息瞬息万变，国际间对破译密码的难度要求越来越高.原文称为明文，密码称为密文，有一种密码把英文的明文按字母分解，其中英文的a,b,c,…,z 这26个字母依次对应阿拉伯数字1，2，3，…，26，给出如下一个变换公式：n=1 n=2 n=3 n=4 n=51,(,126,)'213,(,126,)2x x N x x x x N x x x +∈≤≤+∈≤≤⎧=⎨⎩为奇数为偶数,然后将明文转换成密文，如8→82+13=17，即h 变成q; 5→512+=3, 即e 变成c. (1)按此规定，将明文good 翻译成密文；(2) 按此规定，将密文shxc 破译成明文；题六：已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足（ ）A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >题七：已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标．题八：请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．P探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习参考答案题一： 答案：S=3n —3；2232++n n 详解：⑴题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n ，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。
数学高中开放性试题及答案
数学高中开放性试题及答案试题一：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求证该函数是奇函数，并找出其单调区间。
解答：首先，我们需要证明函数 \( f(x) \) 是奇函数。
根据奇函数的定义，如果对于函数定义域内的任意 \( x \)，都有 \( f(-x) = -f(x) \)，则该函数是奇函数。
证明：\[ f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + (-x) - 5 = -2x^3 - 3x^2 - x -5 = -(2x^3 - 3x^2 + x - 5) = -f(x) \]由于 \( f(-x) = -f(x) \)，所以 \( f(x) \) 是奇函数。
接下来，我们找出函数的单调区间。
首先求导数：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x + 1 \]令 \( f'(x) = 0 \) 求解 \( x \)：\[ 6x^2 - 6x + 1 = 0 \]这是一个二次方程，可以通过求根公式求解：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm\sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} \]由于 \( f'(x) \) 的判别式 \( \Delta = 36 - 24 > 0 \)，我们知道 \( f'(x) \) 有两个实根。
这两个实根将 \( x \) 轴分为三个区间，我们可以分别代入 \( f'(x) \) 来确定函数的单调性。
由于 \( f'(x) \) 在 \( x < \frac{3 - \sqrt{3}}{6} \) 和 \( x > \frac{3 + \sqrt{3}}{6} \) 时为正，所以 \( f(x) \) 在这些区间内是单调递增的。
函数开放性试题及答案高中
函数开放性试题及答案高中函数是高中数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的依赖关系。
以下是一份针对高中学生的函数开放性试题及答案。
试题一：给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求：1. 函数的对称轴；2. 函数的顶点坐标；3. 函数的值域。
答案一：1. 对称轴为 \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 \)；2. 顶点坐标为 \( (2, f(2)) = (2, 4 - 8 + 4) = (2, 0) \)；3. 函数的值域为 \( [0, +\infty) \)，因为这是一个开口向上的二次函数，最小值为顶点处的函数值。
试题二：已知函数 \( g(x) = 3x - 2 \)，求：1. 函数的斜率；2. 函数的截距；3. 函数的图像在 \( x = 1 \) 时的值。
答案二：1. 斜率为 \( 3 \)；2. 截距为 \( -2 \)；3. 当 \( x = 1 \) 时，\( g(1) = 3 \times 1 - 2 = 1 \)。
试题三：考虑函数 \( h(x) = \frac{1}{x} \)，讨论其定义域，并说明其图像的渐近线。
答案三：1. 函数 \( h(x) \) 的定义域为 \( x \neq 0 \) 的所有实数，因为分母不能为零；2. 函数的图像有两条渐近线，分别是 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)。
当 \( x \) 接近零时，\( h(x) \) 的值会无限增大或减小，而 \( y = 0 \) 是水平渐近线，因为 \( h(x) \) 永远不会等于零。
试题四：对于函数 \( k(x) = 2^x \)，求：1. 函数的值域；2. 函数是否具有奇偶性；3. 函数的图像在 \( x = -1 \) 时的值。
答案四：1. 函数 \( k(x) \) 的值域为 \( (0, +\infty) \)；2. 函数 \( k(x) \) 是非奇非偶函数，因为它不满足奇偶性的定义；3. 当 \( x = -1 \) 时，\( k(-1) = 2^{-1} = 0.5 \)。
高考数学新题型训练-开放型题型
高考数学新题型训练-开放型题型1．已知等比数列{}n a 满足25320a a +=，则数列{}n a 的通项公式可能是n a =_________.（写出满足条件的一个通项公式即可）2．若周期为2的函数()y f x =，在其定义域内是偶函数，则函数()y f x =的一个解析式为()f x =________．3．满足直线l ：0x y m ++=与圆C ：222x y +=有公共点的一个整数m =______．4．写出一个与1130-︒终边相同的正角：α=______．（用弧度数表示）5．写出一个满足下列两个条件的复数：z =______.①2z 的实部为5；②z 的虚部不为0.6．请写出一个模长为2的虚数：z =______.7．能说明“若()()2f x f ≤对任意的[]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上单调递增”为假命题的一个函数是_________．8．若抛物线C ：22y px =存在以点()3,3为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.9．已知[]3π,3πα∈-，且πcos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭α的值：_________．10．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{n a }的通项公式n a ＝___．①10n n a a +<；②1n n a a +>11．若nx⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.12．写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π；②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③,()2x f x ∀∈≤R 成立．13．已知函数()()23(2)f x a x x =--，当2x =时，()f x 有极小值，则满足条件的一个a的值为__________.14．写出一个11x>的充分条件________．15．已知函数()sin()(02π)f x x ϕϕ=+≤<．若()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ϕ的一个取值可以为_________．16．写出使“不等式2x x a a -<对一切实数x 都成立”的a 的一个取值______．17．请写出一个幂函数()f x ，满足：0x ∀≥，()()()1f x f x f x =-<+.此函数可以是()f x =______.18．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥= .19．写出一条与圆221x y +=和曲线25y x =+都相切的直线的方程：___________.20．已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA∥，且m 与OB 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为______．21．如图，圆1C 和圆2C 的圆心分别为()12,3C 、()24,3C ，半径都为1，写出一条与圆1C 和圆2C 都相切的直线的方程：_________22．若曲线||y x a =-上恰有四个不同的点(1,2,3,4)i A i =到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等，则实数a 的一个值可以是______．23．已知点()3,4P ，直线l 与圆：2225x y +=交于AB 两点，若PAB 为等腰直角三角形，则直线l 的方程为______.(写出一条即可)24．写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=的一条直线的方程___________.25．写出过抛物线24y x =上的点()1,P t 且与圆()2221x y -+=相切的一条．．直线的方程________．26．写出一个使等式)tan10cos 1α︒=成立的角α的值为___________.27．若定义在R 上的函数()f x 满足：,x y ∀∈R ，()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()01f =，则满足上述条件的函数()f x 可以为___________.（写出一个即可）28．写出同时满足下面两个条件的数列{n a }的一个通项公式n a =________.①{n a }是递减数列；②对任意m ，*n ∈N ，都有n n m n a a a +=+.29．已知()f x 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数()f x ：___________.①定义域为R ；②()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③()21(2)2f x x f +=；④14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.30．在函数()()()sin 20f x x ϕϕ=->图象与x 轴的所有交点中，点,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭离原点最近，则ϕ可以等于__________（写出一个值即可）．参考答案：1．2n -（答案不为一，满足首项为2-的等比数列即可）【分析】根据等比数列基本量的计算可得12a =-，进而即可由等比数列的通项即可求解.【详解】由25320a a +=，得4241120a q a q +=，所以12a =-，所以1112n n n a a q q --==-，取2q =，则2nn a =-（写出一个首项为2-的等比数列即可）.故答案为：2nn a =-2．cos πx （答案不唯一）【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.【详解】()cos 0y x ωω=> 为偶函数，若其最小正周期为2，则πω=，∴一个满足题意的解析式为()cos πf x x =.故答案为：cos πx （答案不唯一）.3．2（或2-，1-，0，1，只需填写一个答案即可）.【分析】利用直线与圆的位置关系求解即可.22m -≤≤．故答案为：2（或2-，1-，0，1，只需填写一个答案即可）.4．31π18，(31π2π,18k k α=+∈N 写出一个即可)【分析】终边相同的角之间相差360,k k ∈Z 或2π,k k ∈Z 可得答案.【详解】因为31π1130360431018-︒+︒⨯=︒=，所以与1130-︒终边相同的正角为31π2π,18k k +∈N ,写出一个即可为31π18.故答案为：31π18.5．32i +（答案不唯一）【分析】根据复数运算、实部、虚部的知识写出正确答案.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则2222i z a b ab =-+，依题意可得225a b -=，0b ≠.故可取3,2a b ==，32i z =+.故答案为：32i +（答案不唯一）6．2i (答案不唯一)【分析】根据题意直接写即可.【详解】模长为2的虚数：如2i z =.故答案为：2i .7．()2()1f x x =-（答案不唯一）【分析】举例2()(1)f x x =-，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】令2()(1)f x x =-，则()(2)≤f x f 对任意的[0,2]x ∈都成立，但()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以函数()f x 在[0,2]上不是增函数.故答案为：2()(1)f x x =-.8．24y x =（答案不唯一）【分析】抛物线存在以点()3,3为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.【详解】抛物线存在以点()3,3为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当3x =时，332y p =>⇒>.可取2p =，则满足条件的抛物线方程为24y x =.故答案为：24y x =（答案不唯一）9．π（答案不唯一）【分析】解三角方程求得正确答案.【详解】由于πcos 62α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1π5π2π66k α-=+或2π5π2π66k α-=-，所以12ππk α=+或22π2π3k α=-，其中12,Z k k ∈，由于[]3π,3πα∈-，所以一个满足条件的α的值为π.故答案为：π（答案不唯一）10．112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意，{}n a 是等比数列，设其公比为q ，由于①10n n a a +<，所以0q <，由于②1n n n n a a a q a q +>=⋅=⋅，所以01q <<，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭符合题意.故答案为：112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）11．3（只要是3正整数倍即可）【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.【详解】nx⎛ ⎝的展开式的通项为()()321C C kn k n k kk k n n T x x --+=⋅⋅=⋅，nx⎛⎝的展开式中含有常数项需要满足302n k -=，即23n k =，所以n 只要是3正整数倍即可.故答案为：3（只要是3正整数倍即可）.12．π2sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】设()sin()f x A x ωϕ=+，0ω>，根据,()2x f x ∀∈≤R ，则可设2A =，根据最小正周期为π，可得2ω=，通过整体换元法则可得到π02ϕ-≤≤，取π4ϕ=-即可.【详解】设()sin()f x A x ωϕ=+，0ω>，因为,()2x f x ∀∈≤R ，所以max min ()2,()2f x f x ≤≥-所以||2A ≤，不妨设2A =因为()f x 最小正周期为π，所以2π,2T πωω===()()ππ2sin 2,0,,2,42f x x x x ϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤=+∈+∈+⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以000πππ,,2π,2π222k k k ϕϕ⎡⎤⎡⎤∃∈+⊆-++⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z所以00π2π2π2k k ϕ-+≤≤，当00k =时，π02ϕ-≤≤，不妨设π4ϕ=-所以满足条件之一的()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故答案为：π2sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．7（答案不唯一，满足6a >即可）【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.【详解】由题意得，()()()()()()()()232322236262926f x x a x x x x a x x x a '=--+-⨯-=--++-=----，令()0f x '=,解得2x =或269a x +=，当2629a +>，即6a >时，()f x 在(),2-∞上单调递减，在262,9a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在2x =处取极小值，所以a 的一个取值可取7a =，故答案为：7（答案不唯一，满足6a >即可）.14．10,2⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】解不等式11x>得01x <<，只要找01x <<的一个子集即可.【详解】11x>等价于110x ->，即10x x ->，则(1)0x x -<，解得01x <<，所以01x <<的一个充分条件是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）.15．π2（不唯一）【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由ππ,π,π33x x ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且0πϕ≤<2，所以有ππππ323π62π2ϕϕϕ⎧+≥⎪⎪⇒≤≤⎨⎪+≤⎪⎩，因此ϕ的一个取值可以为π2，故答案为：π216．12（答案不唯一）【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值．【详解】解：当1a >时，x y a =在R 上单调递增，由2x x >-，可得2x x a a ->；当01a <<时，x y a =在R 上单调递减，由2x x >-，可得2x x a a -<．因为不等式2x x a a -<对一切实数x 都成立，所以01a <<，所以a 的取值可为12．故答案为：12（答案不唯一）．17．2x （答案不唯一）【分析】根据给定条件，确定函数()f x 的定义域，及函数()f x 的有关性质，再写出符合的函数解析式作答.【详解】令幂函数()f x x α=（α为常数），由0x ∀≥，()()=f x f x -知，函数()f x 的定义域为R ，()f x 是偶函数，又0x ∀≥，()()1f x f x <+，则函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，因此α可以为正偶数，所以此函数可以是2()f x x =.故答案为：2x 18．8,9,10或11.（答案不唯一）【分析】令1x t +=，得到1C ,0,1,2,,2ii i na i n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由3,0,1,2,,i a a i n ≥= 求解.【详解】解：令1x t +=，得01112nn n t a a t a t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，1C ,0,1,2,,2ii i na i n ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，由条件②知32323234343411C C ,,22811,11C C ,22n n n n a a n a a ⎧⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪ ⎪ ≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⇒≤≤⎨⎨≥⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.又*,n n ∈∴N 的值可以为8,9,10或11.（答案不唯一）故答案为：8,9,10或11.（答案不唯一）19．30y +-=（答案不唯一）【分析】设切线l 与圆221x y +=相切于点()()000,0x y y ≠，得到切线l 的方程，与25y x =+联立，由判别式为零求解.【详解】解：设切线l 与圆221x y +=相切于点()()000,0x y y ≠，则22001x y +=，切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--，即001xx yy +=，将001xx yy +=与25y x =+联立，可得2000510y x xx y ++-=，令()2000Δ4510x y y =--=，联立解得0013x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00,313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或001,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以切线l的方程为30y +-=或30y -+=或70y --=或70y ++=.故答案为：30y +-=（答案不唯一）20．()1,2--【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.【详解】根据题意可得：()1,2OA =，()3,1OB =- ，设(),m x y =，因为向量m OA∥，且m 与OB 的夹角为钝角，所以123(1)03(1)y x x y y x ⋅=⋅⎧⎪⋅+-⋅<⎨⎪⋅≠-⋅⎩所以0x <，不妨令1,x =-所以2,y =-()1,2m =--，故答案为：()1,2--.21．2y =（或4y =或3x =）(答案不唯一)【分析】分析可知两圆外切，根据圆的几何性质以及图形可得出圆1C 、圆2C 的三条公切线的方程.【详解】如下图所示：因为圆1C 和圆2C 的圆心分别为()12,3C 、()24,3C ，半径都为1，且12211C C ==+，所以，圆1C 和圆2C 外切，易知这两个圆的切点为()3,3C ，且12//C C x 轴，所以，这两个圆的公切线共3条，设这三条切线分别为1l 、2l 、3l ，其中，切线1l 过点C ，且1l x ⊥轴，则直线1l 的方程为3x =，设切线2l 分别切圆1C 、圆2C 于点A 、B ，连接1AC 、2BC ，因为121AC BC ==，且12AC l ⊥，22BC l ⊥，所以，12//AC BC ，故四边形21ABC C 为矩形，故212//l C C ，易知直线12C C 的方程为3y =，且直线2l 与直线12C C 间的距离为1，结合图形可知，直线2l 的方程为2y =，同理可知，直线3l 的方程为4y =.故答案为：2y =（或4y =或3x =）.(答案不唯一)22．15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）【分析】先求到直线14x =-和点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线||y x a =-有四个交点求出a 的范围，由此可得结论.【详解】到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等的点的轨迹为以14x =-为准线以1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点的抛物线，设其方程为22y px =，则12p =，所以2y x =．由||y x a =-，得()y x a x a =-≥或()y a x x a =-≥．由已知曲线2y x =与曲线||y x a =-有四个交点，因为()y x a x a =-≥与()y a x x a =-≥关于x 轴对称，抛物线2y x =关于x 轴对称，所以曲线2y x =与射线()y x a x a =-≥有两个位于x 轴上方的交点，由2,,y x a y x =-⎧⎨=⎩得20y y a --=，所以20y y a --=有两个正根，所以140a ∆=+>，且0a ->故满足题意的实数a 的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）23．340x y +=（或7250x y --=或7250x y ++=）【分析】分90APB ∠=︒、90PBA ∠=︒和90PAB ∠=︒讨论即可得解.【详解】由圆：2225x y +=，得圆心()0,0O ，半径=5r ，223425+= ，P ∴在圆O 上，若90APB ∠=︒，可得AB 过圆心且AB OP ⊥，又404303OP k -==-，34AB k ∴=-，∴直线l 的方程为34y x =-，即340x y +=；若90PBA ∠=︒，可得AP 过圆心且OB AP ⊥，则13443OB k -==-,可得OB 的直线的方程为340x y +=，联立圆方程2225x y +=，解得43x y =-⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩，可得B 的坐标为()4,3-或()4,3-，根据圆的对称性易知()3,4A --，∴直线AB 的方程为()()()343443y x ---+=---或()()()343443y x ---=+---，即7250x y --=或7250x y ++=；若90PAB ∠=︒，由,A B 的等价性可知该情况与90PBA ∠=︒一致；综上：直线l 方程为：340x y +=或7250x y --=或7250x y ++=．故答案为：340x y +=（或7250x y --=或7250x y ++=）.24．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离2d =.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，2d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离12d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.25．10x -=或34110x y +-=或34110x y --=（写出其中一个即可）【分析】由已知求出点()1,2P 或()1,2P -.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.【详解】由题意可知，24t =，解得2t =±，所以，点()1,2P 或()1,2P -.又圆()2221x y -+=的圆心()2,0C ，半径1r =.①当点()1,2P 时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为1k ，此时直线l 方程为()121y k x -=-，即1120k x y k --+=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离1d r =，1==，整理可得，1430k +=，解得134k =-，代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y +-=.②当点()1,2P -时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为2k ，此时直线l 方程为()221y k x +=-，即2220k x y k ---=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离2d r =，1=，整理可得，2430k -=，解得234k =，代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y --=.综上所述，直线方程为1x =或34110x y +-=或34110x y --=.故答案为：1x =.26．50︒（答案不唯一）【分析】利用tan 60︒=及二倍角公式公式得到cos cos50α=︒，再根据余弦函数的性质计算可得.【详解】因为)()tan10cos tan 60tan10cos αα-︒=︒-︒sin 60sin10cos cos 60cos10α︒︒⎛⎫=- ⎪︒︒⎝⎭sin 60cos10sin10cos 60cos cos 60cos10α︒︒-︒︒=⋅︒︒()sin 6010cos cos 60cos10α︒-︒=⋅︒︒2sin 50cos cos10α︒=⋅︒sin100cos50cos cos10α︒︒=⋅︒()sin 9010cos50cos cos10α︒+︒︒=⋅︒cos10cos50cos cos10α︒︒=⋅︒cos 1cos50α==︒，所以cos cos50α=︒，则50360k α=︒+⨯︒或50360k α=-︒+⨯︒，Z k ∈，故答案为：50︒（答案不唯一）27．()1f x =（答案不唯一()cos f x x ω=也可）【分析】根据题意可得函数()f x 为偶函数，可取()1f x =，在证明这个函数符合题意即可.【详解】令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，所以()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，可取()1f x =，则()()()()1f x y f x y f x f y +=-===，所以,x y ∀∈R ，()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，所以函数()1f x =符合题意.故答案为：()1f x =.（答案不唯一()cos f x x ω=也可）28．n -（答案不唯一）【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质②得到首项与公差的关系，然后根据性质①得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d ，由性质②可得：()()()111111a m n d a m d a n d ++-=+-++-，所以1a d =，再根据①{n a }是递减数列，可知0d <，取1d =-，则11a d ==-，此时1(1)n a a n d n =+-=-，满足题意.故答案为：n -.（答案不唯一）29．()cos8f x x =（答案不唯一）【分析】根据21(2)2()x f f x +=，可得2(2)2()1f x f x =-，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得函数的周期，然后根据14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭得到答案.【详解】由21(2)2()x f f x +=，得2(2)2()1f x f x =-，联想到2cos 22cos 1x x =-，可推测()cos f x x ω=，由()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得()*2N 2||k k ππω=⋅∈，则()*||4N k k ω=∈，又14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭，所以()()cos 4f x kx =（Z k ∈，k 为偶数，且||1k >），则当k =2时，()cos8f x x =.故答案为：()cos8f x x =（答案不唯一）.30．π3（答案不唯一）【分析】先求出()f x 与x 轴的所有交点，再结合题意得到π222k ϕϕ≤+恒成立，整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论1k ≥，1k ≤-与11k -<<三种情况，结合恒成立可得到π02ϕ<≤，从而得解.【详解】因为()()()sin 20f x x ϕϕ=->，令()0f x =，即()sin 20x ϕ-=，得2π,Z x k k ϕ-=∈，即π,Z 22k x k ϕ=+∈，则()f x 图象与x 轴的所有交点为π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为其中点,02ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭离原点最近，所以π,Z 222k k ϕϕ≤+∈恒成立，不等式两边平方整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当1k ≥时，π02k ϕ+≥，因为0ϕ>，故π02k ϕ+≥恒成立；当1k ≤-时，π02k ϕ+≤，即π2k ϕ≤-恒成立，因为ππ22k -≥，则π2ϕ≤，故π02ϕ<≤；当11k -<<，即0k =时，显然上述不等式恒成立，综上，由于上述分类情况要同时成立，故π02ϕ<≤，所以ϕ可以等于π3.故答案为：π3（答案不唯一）.。
山东省高二下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知是关于x 的方程的根，则实数（ ） 2i +250x ax ++==a A ． B ． C ．2 D ．42i -4-【答案】B【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果. 【详解】因为是关于x 的方程的根，则另一根为 2i +250x ax ++=2i -由韦达定理得，所以 ()()22i i a ++-=-4a =-故选：B2．直线的斜率为（ ） 10x +=A B ．C D ．【答案】C【解析】可化为. 10x +=y x =+【详解】可化为10x +=y x =+k =故选：C【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.3．已知动点在直线上运动，动点在直线上运动，且，则P 1:3410l x y -+=Q 2:640l x my ++=12l l //的最小值为（ ）PQ A ．B ．C ．D ．3531015110【答案】C【解析】根据两平线上任意两点距离的最小值即为平行线间的距离求解. 【详解】因为， 12l l //所以，解得， 64341m =≠-8m =-化简得 2:3420l x y -+=设间的距离为，则，12,l l d 15d ==由平行线的性质知的最小值为，PQ 15故选：C4．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且A B AC BD都垂直于棱，，，， ） AB 5AB =3AC =4BD =CD =A ． B ．C ．D ．30︒45︒90︒150︒【答案】C【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结αCD CA AB BD =++cos α果.【详解】解：设这个二面角的度数为，α由题意得，CD CA AB BD =++， 22222||||cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-，292516234cos α∴=++-⨯⨯⨯解得， cos 0α=∴，90α=︒∴这个二面角的度数为， 90︒故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题. 5．如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是OABC D OA BD OCA ．BCD 12【答案】B【分析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得AC E DE BE BDE ∠BD OC OA a =,,利用余弦定理可得的值,可得答案.BD BE ==12DE a =cos BDE ∠【详解】解:如图: ,取的中点,连接,,可得就是与所成的角, AC E DE BE BDE ∠BD OC设,则,,OA a =BD BE ==12DE a =222cos 2BD DE BE BDE BD DE +-∠==⋅故选: B.【点睛】本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.6．若关于的方程的取值范围是（ ） x 3kx k =+-k A ．B ．C ．D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭43,32⎛⎤⎥⎝⎦40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】转化为函数与函数(1)3y k x =-+y =的斜率可求得结果.,MA MB【详解】因为关于的方程恰有两个实数根，x 3kx k =+-所以函数与函数与半圆(1)3y k x =-+y =(1)3y k x =-+y =如图：直线经过定点，(1)3y k x =-+(1,3)M 当直线与半圆时，(1)3y k x =-+y =A ，解得， 1=43k =当直线经过点时，，(1)3y k x =-+(1,0)B -32k=所以满足函数与函数的范围为.(1)3y k x =-+y =k 43,32⎛⎤⎥⎝⎦故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求.7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成{}n a n n S 10a >202020210a a +>202020210a a ⋅<0n S >立的最大正整数是（ ） n A ． B ．C ．D ．4039404040414042【答案】B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，10a >202020210a a ⋅<202020210,0a a ><然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负． n n S 【详解】∵，∴和异号，202020210a a ⋅<2020a 2021a 又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，， {}n a 10a >{}n a 202020210,0a a ><由，所以，202020210a a +>140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<∴满足的最大自然数为4040． 0n S >n 故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成0n S >n 100n n S S +><，立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题. n 8．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为{}n a 12a =114n n n n a a a a ++-=+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n5，则（ ） n =A ．119 B ．121 C ．120 D ．122【答案】C【解析】根据题设条件化简得到，结合等差数列的通项公式，求得2214n n a a +-=n a=，结合裂项法，求得数列的前项和，列出方程，即可求解.1112n n a a +=+n 【详解】由题意，数列的各项均为正数，，，{}n a 12a =114n n n na a a a ++-=+可得，所以数列是以4首项，公差为4的等差数列，2214n n a a +-={}2n a 所以，可得24n a n =n a=又由，111122n n a a +==+前项和，n )111122n S ==令，解得.)1152=120n =故选：C.【点睛】裂项求和的方法与注意点：1、裂项相消法求和：把数列的通项公式拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得数列的前项和；n 2、使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，且不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.二、多选题9．已知数列，下列结论正确的有（ ） {}n a A ．若，，则. 12a ＝11n n a a n +++＝20211a ＝B ．若则11132n n a a a ++＝，＝，71457a =C ．若，则数列是等比数列12n n S =3+{}n a D ．若，则 11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈15215a ＝【答案】AB【解析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由，即 11n n a a n +=++11n n a a n +-=+则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 20191822211=+++++= 故A 正确.选项B. 由得 132n n a a +=+，()1311n n a a +=++，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列. {}1n a +112a +=则，即，所以，故B 正确.1123n n a -+=⨯1231n n a -=⨯-672311457a =⨯-=选项C. 由，可得当时，12n n S =3+1n =11722a =+=3当时，得，2n =2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，得，3n =332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，所以数列不是等比数列，故C 错误.2213a a a ≠{}n a 选项D. 由，可得122n n n a a a +=+11112n n a a +-=所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，则，即，故D 错误. ()1111122n n n a +=+-=1511826a ==1518a =故选：AB【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得，利用构造新()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ 数列解决问题，属于中档题.()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=10．关于双曲线与双曲线下列说法正确的是（ ）221:132x y C -=222:123y x C -=A ．它们的实轴长相等 B ．它们的渐近线相同 C ．它们的离心率相等 D ．它们的焦距相等【答案】BD【解析】根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.【详解】双曲线，，，实轴长，渐近线方程221:132x y C -=223,2a b ==2225c a b =+=2a =，离心率y x ==c e a ===2c =双曲线，，，实轴长222:123y x C -=222,3a b ==2225c a b =+=2a =y x ==，离心率 c e a ===2c =综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等. 故选：BD11．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）221:1C x y +=222:40C x y x +-=A B A ． B ．直线的方程是 12||2C C =AB 14x =C ．D ．12AC AC ⊥||AB =【答案】ABD【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求. AB AB 【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，1C ()0,011r =()222:24C x y -+=()2,022r =，故A 正确；122C C ∴=两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B 正确； AB 1414x x =⇒=，，，，所以不正确，故C 不正确；11AC =22AC =122C C =2221212AC AC C C +≠12AC AC ⊥圆心到直线的距离，D 正确. ()0,014x =14d =AB ===故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.12．已知正方体的棱长为，点，在平面内，若1111ABCD A B C D -2E F 1111D C B A ||AE =，则（ ）AC DF ⊥A ．点的轨迹是一个圆 EB ．点的轨迹是一个圆 FC ．的最小值为EF 1D ．与平面AE 1A BD 【答案】ACD【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证.选项A ：由，分析得E 的轨迹为圆； ||AE ==1||1A E =选项B ：由，而点F 在上，即F 的轨迹为线段，； AC DBF ⊥11B D 11B D 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段，可分析得； 11B D min ||EF d r =-选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.【详解】对于A:，即点E 为在面||AE ===1||1A E =内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；1111D C B A 1A 对于B: 正方体中，AC ⊥BD ，又，且BD ∩DF=D ，所以，所1111ABCD A B C D -AC DF ⊥AC DBF ⊥以点F 在上，即F 的轨迹为线段，故B 错误； 11B D 11B D 对于C:在平面内，1111D C B A到直线的距离为当点，落在上时，；故C 正确；1A 11BD d =EF 11AC min ||1EF =对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D 因为点E 为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上，可设1111D C B A 1A ()cos ,sin ,2E θθ所以 ()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面的法向量，则有 1A BD (),,n x y z = 1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则，()1,1,1n =设与平面所成角为α，则：AE 1A BD||sin |cos ,|||||n AE n AE n AE α====⨯ A 当且仅当时，4πθ=sin α=故D 正确 故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．三、填空题13．若直线与直线互相垂直，则实数的值为__________． 10x y -+=310mx y +-=m 【答案】3【解析】直接利用两直线垂直，求出m .【详解】因为直线与直线互相垂直， 10x y -+=310mx y +-=所以，解得： 30m -=3m =故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直.14．已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为____.()1,1,0a =r ()1,0,2b =-r ka b + 2a b -k 【答案】()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且夹角不为平角.【详解】，与的夹角为钝角，则()()1,,2,23,2,2ka b k k a b +=--=-ka b + 2a b -，即.()()2570ka b a b k +⋅-=-<75k <又当与的夹角为平角时，有，得. ka b + 2a b - 12322k k -==-2k =-故实数的取值范围为且. k 75k <2k =-故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭15．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =______.2313【答案】；1(2)n n a -=-【详解】试题分析：解：当n=1时，a 1=S 1=a 1+，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=（）-23132133n a +（）=-整理可得a n ＝−a n−1，即=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公12133n a -+23n a 123n a -13231n n a a -比的等比数列，故a n =1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式．16．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切P 40x y -+=P 2240y x C x +-=：PM PN点为，），则的最小值是________.M N MN【解析】根据题意得当的长度最小时，取最小值，进而根据几何关系求解即可.||MN ||PC 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为，半径．(2,0)C 2r =要使的长度最小，即要最小，则最小．||MN MCN ∠MCP ∠因为， ||||tan 2PM PM MCP r ∠==所以当最小时，最小因为，||PM ||MN PM =∣所以当最小时，最小．||PC ||MN因为 min ||PC ==所以 cos MCP ∠==所以 sin MCP ∠=由于 1in 2s 2MCP MN ∠=所以． min ||MN =【点睛】本题解题的关键是根据已知当的长度最小，即要最小，进而得当最小||MN MCN ∠||PC时，最小．由于的最小值为点到直线，故考查化归转化思||MN ||PC C 40x y -+=min ||PC =想和运算能力，是中档题.四、解答题17．在①圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为C y x ②圆经过点和;C ()4,1A ()2,3B ③圆与直线相切，且与圆相外切这三个条件中任选一个，补充在C 210x y --=22:(2)1Q x y +-=下面的问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程;若问题中的圆不存在，说明理由． C C C 问题:是否存在圆，______，且圆心在直线上． C C 12y x =注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；E 【详解】选择条件①：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =12b a =因为圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为C y x 所以，，且0a >0b >2r a b ==由垂径定理得解得，223r b =+1b =所以，2a =2r =所以圆的方程为C 22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =12b a =因为圆经过点和，的中点C ()4,1A ()2,3B AB ()3,2M 所以的中垂线方程为AB 1y x =-联立直线 12y x =解得 21x y =⎧⎨=⎩即，，2a =1b =2r =所以圆的方程为C 22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心的坐标为，圆的半径为C (),a b C r 因为圆心在直线上，所以 C 12y x =2a b =， r =所以与圆相外切， r =C Q所以||1CQ r =+1r =+可得：，因为该方程，所以方程无解 2540b b -=∆<0故不存在满足题意的圆．C 【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.18．已知数列满足，．{}n a 11a =13(1)n n na n a +=+（1）设，求证:数列是等比数列; n n a b n={}n b （2）求数列的前项和．{}n a n n S 【答案】（1）证明见解析；（2）. (21)3144n n n S -=+【解析】（1）将变形为，得到为等比数列， 13(1)n n na n a +=+131n n a a n n+=+{}n b （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得{}n a n S 【详解】（1）由，，可得， 11a =13(1)n n na n a +=+131n n a a n n +=+因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列， n n a b n=13n n b b +=11b ={}n b 13（2）由（1），由，可得， 13n n b -=13n n a n-=13n n a n -=⋅，01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ 上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅ ， 13313nn n -=-⋅-则． (21)3144n n n S -=+【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.19．正项数列的前n 项和Sn 满足：{}n a 222(1)()0n n S n n S n n -+--+= (1)求数列的通项公式；{}n a n a (2)令，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜ . 221(2)n n n b n a +=+564【答案】（1）（2）见解析2;n a n =【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，， 即解得或， 因为数列都是正项， 所以， 因为， 所以， 解得或， 因为数列都是正项， 所以， 当时，有， 所以， 解得，当时，，符合所以数列的通项公式，; （2）因为，所以， 所以数列的前项和为：， 当时， 有， 所以， 所以对于任意，数列的前项和.20．如图，在四棱锥中，为矩形，，平面P ABCD -ABCD AD PA PB ===PA PB ⊥平面．PAB ⊥ABCD（1）证明:平面平面;PAD ⊥PBC （2）若为中点，求平面与平面的夹角的余弦值．M PC AMD BMD【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）利用平面，得到，又有，，得到平面DA ⊥PAB DA PB ⊥PA PB ⊥DA PA A = PB ⊥，从而平面平面；PAD PAD ⊥PBC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值．AMD BMD 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =矩形中，，所以平面ABCD DA AB ⊥DA ⊥PAB 因为平面，所以PB ⊂PAB DA PB ⊥又因为，，平面，PA PB ⊥DA PA A = DA ⊂PAD 平面PA ⊂PAD 所以平面．PB ⊥PAD 因为平面，所以，平面平面．PB ⊂PBC PAD ⊥PBC （2）解：由（1）知平面，取中点，连结，则，DA ⊥PAB AB O PO PO AB ⊥以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，O O xyz-则，，，，(2,0,0,)P (0,2,0)A -(0,2,0)B (0,2,D-M 则，，，(0,0,DA =-(1,3,DM =(0,4,DB =- 设平面的一个法向量为，AMD (,,)n x y z = 则即 00n DA n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩030z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令，则，，所以1y =-3x =0z =(3,1,0)n =- 同理易得，平面的一个法向量为BMD (m =- 所以．cos ,||||m n m n m n ⋅<>===⋅ 由图示，平面与平面所成夹角为锐角，AMD BMD所以平面与平面 AMD BMD 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．21．如图，在三棱锥中，，为的中点．P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC（1）证明：平面；PO ⊥ABC （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．M BC M PA C --30°PC PAM【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO 垂直AC ，再通过计算，根据勾股定理得PO 垂直OB ，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M 坐标，再利用向量数量积求得向量PC 与平面PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =连结．OB因为，所以为等腰直角三角形， AB BC ==ABC A 且 ，由知． 1,22OB AC OB AC ⊥==222OP OB PB +=PO OB ⊥由知，平面．,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC （2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．O OB x O xyz -由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,(0,2,O B A C P AP -= 取平面的法向量．PAC (2,0,0)OB = 设，则．(,2,0)(02)M a a a -<≤(,4,0)AM a a =- 设平面的法向量为．PAM (,,)n x y z =由得 ， 0,0AP n AM n ⋅=⋅= 2=0+(4)=0y ax a y -⎧⎪⎨⎪⎩可取2,)n a a =--所以．由已知得 ． cos OB n 〈⋅〉= cos OB n 〈⋅〉=．解得(舍去)， ． =4a =-43a =所以 ． 43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又 ，所以 ． (0,2,PC =- cos ,PC n 〈〉=所以与平面． PC PAM ［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂PO ⊥ABC PAC ⊥ABC ABC MN AC ⊥足为N ，则平面．在平面内作，垂足为F ，联结，则，故MN ⊥PAC PAC NF AP ⊥MF MF AP ⊥为二面角的平面角，即． MFN ∠M PA C --30MFN ∠=︒设，则，在中，．在中，由MN a =,4NC a AN a ==-Rt AFN△)FN a =-Rt MFN △，得，则．设点C 到平面的距离为h，由(4)a a =-43a =823FM a ==PAM ，得，解得与平面所成角的正弦值M APC C APM V V --=2141184433323h ⋅=⋅⋅⋅⋅h =PC PAM ［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂PO ⊥ABC PAC ⊥ABC ABCMN AC ⊥足为N ，则平面．在平面内作，垂足为F ，联结，则，故MN ⊥PAC PAC NF AP ⊥MF MF AP ⊥为二面角的平面角，即．同解法1可得． MFN ∠M PA C--30MFN ∠=︒43MN a ==在中，过N 作，在中，过N 作，垂足为G ，联结．在APC △NE PC ∥FNM △NG FM ⊥EG 中，．因为，所以． Rt NGM △43NG NM ===NE PC ∥843NE NA a ==-=由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，PA ⊥FMN PAM ⊥FMN FM FMN NG FM ⊥可得平面，则为直线与平面所成的角．NG ⊥PAM NEG ∠NE PAM 设，则，所以直线与平面所成角的正弦NEG α∠=sin NG NE α===NE PC ∥PC PAM ［方法四］：【最优解】定义法如图7，取的中点H ，联结，则C 作平面的垂线，垂足记为T （垂足T PA CH CH =PAM 在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得PAM HT CHT ∠M PA C --30CHT ∠=︒CT =联结，则为直线与平面所成的角．在中，PT CPT ∠PC PAM Rt PCT △4,PC CT ==sin CPT ∠=【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．22．已知椭圆的左右顶点分别为，2222:1(0)x y E a b a b +=>>A B D ．（1）求椭圆的标准方程;E （2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直()4,0P x l E M N N P M 线与直线的交点的横坐标是定值．MB NA 【答案】（1）；（2）证明见解析. 2214x y +=【解析】（1）待定系数法求椭圆标准方程； （2）用“设而不求法”表示出M 、N ，，从而表示出直线MB ，NA , 证明直线与直线的交点的MB NA 横坐标是定值．【详解】（1）因为 c e a ==12b a =椭圆过点，D 所以， 2221142b b +=所以，，2a =1b =所以椭圆的方程为 E 2214x y +=（2）设直线，设，:4l x my =+()11,M x y ()22,N x y 联立得： 22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2248120m y my +++=，或2161920m ∆=->m >m <-由韦达定理得：， 12284m y y m -+=+122124y y m =+由题意得：直线，直线 11:(2)2y MB y x x =--22:(2)2y NA y x x =++所以()()12212(2)2(2)y x x y x x +-=-+即 ()()12112212121262262x my y y my y y my y y y my y +--=+++整理得，()()121221622226x y y my y y y -=++即()()121221622326x y y y y y y -=-+++⎡⎤⎣⎦即()()12126262x y y y y -=-若，则，此时，213y y =1m =±2161920m ∆=-<所以12620y y -≠所以1x =【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
2020 新高考 数学 开放性试题题型专练(原卷版)
ln
n n +1
( ) 4．对于二项式
1 x
+
x3
n
n∈ N*
，以下判断正确的有
A．存在 n ∈ N * ，展开式中有常数项；
1 读万卷书 行万里路
B．对任意 n ∈ N * ，展开式中没有常数项；
旗开得胜
C．对任意 n ∈ N * ，展开式中没有 x 的一次项；
D．存在 n ∈ N * ，展开式中有 x 的一次项．
方案一：每满 800 元可立减 100 元；
4 读万卷书 行万里路
旗开得胜 方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为1，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次
2 打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折．
若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优 惠方案．
12．某市需对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对100 辆车
的速度进行取样，根据测量的车速制成如图所示的条形图：
4 读万卷书 行万里路
旗开得胜
经计算，样本的平均值 µ = 85 ，标准差σ ≈ 2.2 ，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与 过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于 µ − 3σ 或车 速大于 µ + 2σ 需矫正速度．[来源:Z+xx+k]
（1）在下列条件中选择一 个________使数列{an} 是等比数列，说明理由；
{ } ①数列 f (an ) 是首项为 2，公比为 2 的等比数列； { } ②数列 f (an ) 是首项为 4，公差为 2 的等差数列； { } ③数列 f (an ) 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列．
高中数学开放题练习卷
高中数学开放题练习卷1. 过双曲线12222=-by a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y轴于P 点，点M 、N 分→PF 所成定比分别为1λ、2λ，则有21λλ+为定值.222ba 类比双曲线这一结论，在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，21λλ+为定值是（ ）A ．222baB ．222b a -C ．222abD ．222ab -2. 设A 、B 、C 是ΔABC 的三个内角，表达式①sin(A+B)+sinC,②cos(A+B)+cosC,③tan 2B A +tan 2C ,④cos 2B A +2cos1C 中，其中一定是常数的是A ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④3. 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种数分别为m 、n （m 、n 为整数），则m +n 的最小值为 （ ）．A ．10B ．11C ．12D ．134. 对于定义在D 上的函数y =f (x )，如同时满足①f (x )在D 内单调；②存在区间[a ,b ]⊆D ，使得f (x )在[a ,b ]上的值域为[a ,b ]，则函数y =f (x ) (x ∈D)称闭函数。
则定义在x ≥1上的闭函数11-+=x y 符合条件②的区间[a ,b ]是__________．5. 设函数)(x f 的定义域为D ，如果对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使C x f x f =+2)()(21（C 为常数）成立，则称函数)(x f 在D 上均值为C.给出下列四个函数： ①3x y =②x y sin 4=③x y lg =④y=2x则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 . 6．（全国高考）如图, 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件__________时, 有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上一种你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形.)7．（上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为A 1 D 1B 1C 1A DB C()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ∉⋂的一个充分条件为_____________________． 8．（2002年上海高考）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．9．（全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=BCD ∠= 60．（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD=2，C C 1=23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；（III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． 10．（全国高考) α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ； ②α⊥β； ③n ⊥β； ④m ⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________．11．（2000年全国高考）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都填上）12．（上海春季高考）若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2ba b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a、b 、c 都能成立的一个等式可以是__________________．13．（上海春季高考）如下图．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点12M M 、与点12N 、N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=⋅．若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点12P P 、，点12Q Q 、和点12R R 、，则类似的结论为：______________________________．。
高三数学知识点精析精练36开放性问题
高三数学知识点精析精练36 开放性问题数学开放性问题是最近几年来高考命题的一个新方向, 其解法灵巧且拥有必定的研究性, 这种题型按解题目标的操作模式分为: 规律研究型, 问题研究型, 数学建模型, 操作设计型, 情形研究型 . 假如未知的是解题假定, 那么就称为条件开放题; 假如未知的是解题目标, 那么就称为结论开放题 ; 假如未知的是解题推理, 那么就称为策略开放题. 自然 , 作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的, 怎样解答这种问题, 仍是经过若干典范加以解说.【例1】设等比数列a n的公比为q，前 n 项和为 S n，能否存在常数 c ，使数列 S n c 也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请明原因.解存在型开放题的求解一般是从假定存在下手, 逐渐深入解题进度的 .设存在常数 c ，使数列 S n c 成等比数列.( S n c)( S n 2 c) (S n 1 c)2S n S n 2 S2n 1 c 2S n 1 S n S n 2(i) 当 q 1 时， S n na1 代入上式得a12n(n 2) a12 n 1 2 ca1 (a(n 1) n ( n 2) 即 a12=0但 a1 0,于是不存在常数 c ，使 S n c 成等比数列.(ii) 当 q 1 时， S n a(1 qn)，代入上式得1 qa 2 q n ca q n a(1 1 2(1 q 2 ) 1 (1 q) 2 , c 1 . q) (1 q) q 1综上可知, 存在常数ca1，使 S n c 成等比数列.q 1注意：等比数列n 项乞降公式中公比的分类, 极易忘掉公比 q 1 的情形 , 可不要忽略【例 2】某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立刻投入生产使用，计划第一年维修、养护花费 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、养护花费比上一年增添 4 万元，该机床使用后，每年的总收入为50 万元，设使用x年后数控机床的盈余额为y 万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈余（盈余额为正当）；(3 )使用若干年后，对机床的办理方案有两种：(i )当年均匀盈余额达到最大值时，以 30 万元价钱办理该机床；(ii )当盈余额达到最大值时，以 12 万元价钱办理该机床，问用哪一种方案办理较为合算？请说明你的原因 .解：（ 1） yx(x 1)4] 9850x [12 x2=2 x 240x98 .（ 2）解不等式2x 2 40x 98 ＞0,得 1051 ＜ x ＜ 1051 .∵ x ∈ N ， ∴3 ≤ x ≤ 17.故从第 3 年工厂开始盈余 .（ 3） (i) ∵y2x 98 40 (2 x98）2298 12x40≤ 4098 xx当且仅当 2x时，即 x =7 时，等号建立 .x∴ 到 2008 年，年均匀盈余额达到最大值，工厂共赢利 12×7+30=114 万元 .(ii)y =－2x 2+40x －98=－2（ x －10） 2 +102 ，当 x =10 时， y max =102.故到 2011 年，盈余额达到最大值，工厂共赢利102+12=114 万元 .解答函数型最优化实质应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.1 ( x <－2)【例 3】 已知函数 f ( x )=x 2 4(1) 求 f ( x ) 的反函数 f －1( x );(2) 设 a =1, 1 =－f －1 ( a )( n ∈ N ), 求 a ;1a nn n1(3) 设 S n =a 1 2+a 2 2+ +a n 2, b n =S n+1 －S n 能否存在最小正整数 m , 使得对随意 n ∈ N , 有 b n <m成25立？若存在，求出 的值；若不存在说明原因 .m解： (1)y =1,x 24∵ x <－2，∴ x= － 41 ,y 2即 = －1( x )=－ 4 1 ( x >0).y fx 2(2)∵14 1,1 1an 1a n 2∴an 12a n 2 =4.∴1 是公差为 4 的等差数列 .a n2∵ a 1=1, ∴ 1 = 1+4( n －1)=4 n －3.a 2n a 12∵ n >0 , ∴ n =1 . aa4n 3(3)b =S － S =a 2 = 1, 由 b < m , 得 m > 25 对于 n ∈ N 建立 .n+1 nn+1n4n 1 n254n 125 ∵≤5 ,4n 1∴ m >5, 存在最小正数 m =6, 使得对随意 n ∈ N 有 b<m 建立 .n25【例 4】 已知数列 { }中, 1,且点 ( , )() 在直线 x －y +1=0 上 .a n a 1 P a n a n 1 n N（ 1） 求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）若函数 f (n)1 1 1 1(n N, 且n2),n a 1 n a 2n a 3n a n求函数 f ( n ) 的最小值；(3) 设 b n1 , S n 表示数列 {b n } 的前 n 项和 . 试问 : 能否存在对于n 的整式 g( n ), 使得a nS 1 S 2 S 3Sn 1(S n 1) g (n) 对于全部不小于 2 的自然数 n 恒建立 ?若存在 , 写出g( n ) 的分析式 , 并加以证明 ; 若不存在 , 说明原因 .解 ：（1） a na n 1 1 0a 1 a 2 1 0, a 2 a 3 1 0,an 1a n 1 0,以上各式相加 ,得a 1 a n n 10,a n a 1n 1 n.（2）f (n)11 2 1 ,n 1 n 2nf (n1)11 1 1 1 ,2 n 32n 2n1 2nn 21111 1 1f (n)是单一递加的 ,故 f (n) 最小值是7f (2)12（3） b n1s n 1 11 ,n2ns n s n 11(n 2),即 ns n (n 1)s n 1 s n 1 1,n(n 1)s n 1 ( n 2)s n 2sn 21.2s 2 s 1 s 1 1, ns n s 1s 1 s 2sn 1n 1, s 1 s 2sn 1ns n n ( s n 1) n(n2),g(n) n.故存在对于n 的整式 g(n) n, 使等式对于全部不小 2 的自然数 n 恒建立 .事实上 , 数列 { a n } 是等差数列 ,你知道吗？【例 5】 深夜，一辆出租车被波及进一同交通事故，该市有两家出租车企业——红色出租车企业和蓝色出租车企业，此中蓝色出租车企业和红色出租车企业分别占整个城市出租车的 85%和 15%。
高三数学一轮复习——定点、定值、开放问题课时训练
高三数学一轮复习——定点、定值、开放问题课时训练基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C.4 D.5解析 由OM →·PM→＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.答案 B2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A.2B.3C. 3D. 6解析 由题意知，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x 0，y 0)(x 0≠±m )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y 0－n x 0－m ·y 0＋n x 0＋m ＝y 20－n 2x 20－m 2＝3x 20－3a 2－3m 2＋3a 2x 20－m 2＝3.答案 B3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A.(－3，0)B.(0，－3)C.(3，0)D.(0，3)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.设直线l ：x ＝my ＋b ，代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点为(－3，0).答案 A4.(2019·北京通州区模拟)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解析 设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk －1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t .又k 0＝－t 2，故k 1＋k 2＝2k 0.答案 D5.(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A.1B.2C.4D.12解析 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，。
甘肃省高二下学期开校检测数学试题(解析版)
数学试卷时间120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分）1. 等比数列中，，，则等于（）{}n a 42a =64a =2aA.B.C. 1D.1232【答案】C 【解析】【分析】利用等比中项直接计算即可. 【详解】因为数列是等比数列，{}n a 所以即，解得，2426a a a =244a =21a =故选：C2. 经过点，倾斜角为的直线方程是（） (1,0)150︒A.B. C. D.1y =+1y x =+y x =+y x =【答案】C 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为150︒tan150== k由直线的点斜式方程得直线方程为； 01)y x -=-即. y x =+故选：C.3. 抛物线的准线方程是（） 216x y =A. B. 116x =116y =-C. D.4x =-4y =-【答案】D【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，， 216x y =8p =所以抛物线的准线方程是：． 4y =-故选：．D 4. 已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，3a 2＝a 5，则a 5＝（） A. 3 B. 6C. 9D. 11【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】∵等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，3a 2＝a 5， ∴a 2+a 5＝a 3+a 4＝12，3a 2＝a 5， 联立消去a 2可得a 5＝9 故选：C5. 设，，则以线段为直径的圆的方程为（） (2,1)A -(4,1)B AB A.B.C.D.22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B 【解析】【分析】由题知圆心为，再求方程即可. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，，AB ()3,0AB ==所以，以线段为直径的圆的圆心为，其方程为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（） 53y A. B. C. D.43y x =±43y x =43y x =-34y x =±【答案】D 【解析】【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.22221y x a b-=43b a =【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.22221y x a b-=()0,0a b >>由已知可得，所以，则，所以. 53c e a ==53c a =2222169b c a a =-=43b a =所以，双曲线的渐近线方程为. 34a y x xb =±=±故选：D.7. 党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（） A. 480种 B. 240种 C. 120种 D. 60种【答案】B 【解析】【分析】先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，根据分步计数25C 44A 原理，即可求出结果.【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2， 先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有， 25C 10=44A 24=所以不同的分配方案共有. 1024240⨯=故选：B.8. 已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则22240+-++=x y x y m 34100x y +-=实数m 的取值可以是（） A. 0 B. 1 C. 5 D. 7【答案】B 【解析】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.1r d ≤-【详解】解：圆，即，圆心为22240+-++=x y x y m ()()22125x y m -++=-，半径()1,2-r =则圆心到直线的距离，()1,2-34100x y +-=3d 因为圆上至多有一点到直线的距离为， 34100x y +-=1所以，解得，1r d ≤-2≤0>15m ≤<故符合条件的只有B. 故选：B二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分）9. 在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（） A. “其中恰有2件次品”的抽法有8种 B. “其中恰有1件次品”的抽法有28种 C. “其中没有次品”的抽法有56种 D. “其中至少有1件次品”的抽法有56种 【答案】BD 【解析】【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A 选项正确； 8212C C 8=抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B 选项错误； 2182C C 56=抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C 选项正确；38C 56=抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D 选项错误．21128282C C C C 64+=故选：BD10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且22:18y C x -=1F 2F P C ，则（）17PF =A. 的虚轴长为2 B. 的值可能为5 C 2PF C. 的离心率为3 D. 的值可能为9C 2PF 【答案】BCD 【解析】【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断,,a b c B ，D 正确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=，所以BD 正确.52,92≥≥故选：BCD11. 设等差数列的前n 项和为，其公差，且，则（）． {}n a n S 1d >7916+=a a A. B. 88a =15120S =C. D.11a <22a >【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为，所以，解得：.故A 正确； 7916+=a a 978216a a a +==88a =对于B ：故B 正确；()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=对于C ：因为，所以，所以. 88a =178a d +=187a d =-因为，所以.故C 正确；1d >11a <对于D ：因为，所以，所以. 88a =268a d +=286a d =-因为，所以.故D 错误. 1d >22a <故选：ABC12. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，22195x y +=F (0y m m =<<A B 则（）A. 为定值B. 的周长的取值范围是AF BF +ABF △()6,12C. 当为直角三角形D. 当时，的面积为m =ABF △1m =ABF △【答案】AB 【解析】【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的||||AF BF +||AB 范围判断B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形,A B ·0FA FB <ABF △判断C ；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.,A B ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确；||AB (0,6)ABF △(6,12)将与椭圆方程联立，可解得，，又因为，y=A ⎛ ⎝B (2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=-+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误； ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以1y=,A B ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭D 错误. 112ABF S ==A 故选：AB【点睛】三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 数列，满足，，，则的前10项之和为{}n a {}n b 1n n a b =256n a n n =++*N n ∈{}n b ___________. 【答案】1039【解析】【分析】由题意得到，利用裂项相消法()()21111562323n b n n n n n n ===-++++++求解.【详解】因为，满足，，，{}n a {}n b 1n n a b =256n a n n =++*N n ∈所以，()()21111562323n b n n n n n n ===-++++++所以， 10111111111110...344556121331339S =-+-+-++-=-=故答案为：103914. 杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目,,A B C 的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、A B C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案. 【答案】10 【解析】【分析】由题意可得乙一定参加项目，再分项目只有一个人和项目有2人两种情况A A A 讨论，再根据分组分配问题即可得出答案按. 【详解】解：由题意可得乙一定参加项目， A 若项目只有一个人时，即为乙， A 则先将甲、丙、丁分为两组，有种， 23C 再将两组分配到两个项目，有种， ,B C 22A 则有种不同的志愿者选拔方案， 2232C A 6⋅=若项目有2人时，又甲不能参加项目，A A 则只能从丙、丁中选1人和乙组队到项目，有种， A 12C 再将剩下的2人分配到两个项目，有种， ,B C 22A 则有种不同的志愿者选拔方案， 1222C A 4⋅=综上，共有种不同的志愿者选拔方案. 6410+=故答案为：10.15. 已知椭圆：和双曲线：，若的一条渐近1C ()222210x y a b a b +=>>2C 22221x ya b-=2C线被圆截得的弦长为，则椭圆的离心率e 为______． ()2224x y -+=1C【解析】【分析】先求出圆心到渐近线的距离，确定的a ，b 之间的关系，再求出离心率. ()2,01C 【详解】的渐近线方程为，不妨设为， 2C by x a =±b y x a=圆的圆心，到渐近线的距离=()2224x y -+=()2,0，2213a b ==对于：；1C 222222222,,3c c a b b e e a =-=∴===故答案为. 16. M 为抛物线上任意一点，F 是抛物线的焦点，E 是抛物线的准线与()2404y x x =≤≤x 轴的交点，点P 为线段OM 的中点，则的取值范围是_________． PE PF ⋅【答案】 []1,7-【解析】 【分析】设出，，表达出，2,4m M m ⎛⎫⎪⎝⎭[]4,4m ∈-2,82m m P ⎛⎫⎪⎝⎭，结合，求出最值，得到取值范围.()2218264PE PF m ⋅=+- []4,4m ∈-【详解】如图，，设，， ()()1,0,1,0E F -2,4m M m ⎛⎫⎪⎝⎭[]4,4m ∈-则， 2,82m m P ⎛⎫⎪⎝⎭故， ()22422211,1,182828264464m m m m m m PE PF m ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为，所以，[]4,4m ∈-[]20,16m ∈故当时，取得最小值，最小值为， 0m =PE PF ⋅1-当时，取得最大值，最大值为7， 216m =PE PF ⋅则的取值范围为.PE PF ⋅[]1,7-故答案为：.[]1,7-四、解答题（本题共6个小题，共70分．）17. 已知的三个顶点分别为，，． ABC A ()2,4A ()1,1B ()7,3C （1）求边的垂直平分线的方程； BC （2）求的面积． ABC A 【答案】（1） 3140x y +-=（2） 8【解析】【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，13BC k =BC ()4,2BC 3k =-得到直线方程.（2）计算，到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【小问1详解】，故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=【小问2详解】BC ==所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为，. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18. 在二项式的展开式中，______.12nx ⎛+ ⎝给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项.【答案】（1），；（2）. 356316T x -=326638T x -=7212T =【解析】【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可； 01246n n n C C C ++=选择②：转化为，计算即可12256n -=（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可； （2）写出展开式的通项，令，即得解 31892192k kk k T C x--+=31802k -=【详解】选择①.，即， 01246n n n C C C ++=()11462n n n -++=即，即， 2900n n +-=()()1090n n +-=解得或（舍去）. 9n =10n =-选择②.，即，解得.024...256n n n C C C +++=12256n -=9n =（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.45354226916328T C x x x--⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）展开式的通项为，()93189922199122k kk k kkk k T C x x C x -----+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，得， 31802k -=6k =所以展开式中常数项为第7项， 常数项为. 63792122T C -=⨯=19. 已知数列满足且. {}n a 194a =-134n n a a +=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设数列满足，求的前项和为.{}n b ()340+-=n n b n a {}n b n n T 【答案】（1） 334n n a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）.1344+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭n n T n 【解析】【分析】（1）利用等比数列定义判断为等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案. {}n a （2）由（1）可求得的通项公式，利用错位相减法即可求得答案.{}n b 【小问1详解】 由题意知数列满足且， {}n a 194a =-134n n a a +=是首项为，公比为的等比数列， {}n a ∴94-34； 19333444n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】 由，得， ()340+-=n n b n a ()43434-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n n n n b a n 所以， ()234333333210444444n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 则()()234133333332154,444444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得 ()23411333333344444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-， ()111993334444444+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n 所以. 1344+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭n n T n 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆及点.22:40C x y x +-=,(1,0)(1,2)A B -（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l 的方程； l B C M N、||MN =（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存C P 22||12||PA PB +=P 在，请说明理由.【答案】（1）或1x =34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求l 解；(2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满C P (,)P x y 22(2)4x y -+=P 足，根据两圆的位置关系即可得出结果.22(1)4x y +-=【小问1详解】圆可化为，圆心为，22:40C x y x +-=22(2)4x y -+=(2,0),2r =若的斜率不存在时，，此时.l 1l x =：||MN =当的斜率存在时，设的斜率为，则令，l l k :2(1)ly k x -=-因为||MN =1d ==，314k ⇒=-34110x y ∴+-=所以直线的方程为或.l 1x =34110x y +-=【小问2详解】假设圆上存在点，设，则，C P (,)P x y 22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=即，即，22230x y y +--=22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ 与相交，则点有两个.22(2)4x y ∴-+=22(1)4x y +-=P 21. 已知直角三角形ABC 的顶点，直角顶点B 的坐标为，顶点C 在x ()2,0A-(0,-轴上．（1）求直角三角形ABC 的外接圆的一般方程；（2）设OA 的中点为M ，动点P 满足，G 为OP 的中点，其中O 为坐标原1PM PE -=点，E 为三角形ABC 的外接圆的圆心，求点G 的轨迹方程．【答案】（1） 22280x y x +--=（2） 2216116134y x x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)根据题意求出直线BC 的方程并求出点的坐标，根据直角三角项外接圆的圆C 心为斜边的中点，半径为斜边长的一半即可求解； (2)结合（1）的结论和双曲线的定义，求出点P 的轨迹方程为，设224141()32x y x -=≥，根据题意进行等量代换即可求解.(),G x y 【小问1详解】由题意知：直线AB 的斜率为，∵，AB k =AB BC ⊥∴直线BC 的斜率为， BC k =直线BC 的方程为：y x =-令，则，∴C （4，0）0y =4x =由于三角形是以B 为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为AC ，从而外接圆的圆心为（1，0），半径为3∴三角形ABC 外接圆的方程为：，()2219x y -+=其一般方程为：22280x y x +--=【小问2详解】由（1）知：三角形ABC 的外接圆的圆心E （1，0），∵M 为OA 的中点，∴()1,0M -∵，12PM PE ME -=<=∴P 的轨迹是以M ，E 为焦点的双曲线的右支， 设其方程为： ()222210,0,x y a b x a a b-=>>≥则，，从而，， 21a =22c =12a =1c =22234b c a =-=∴点P 的轨迹方程为：① 224141(32x y x -=≥设，， (),G x y 00(,)P x y ∵G 为OP 的中点，则有，从而，∴ 0022x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0022x x y y =⎧⎨=⎩()2,2P x y 代入①得点G 的轨迹方程为：． 22161161()34y x x -=≥22. 已知点在椭圆（.直线(2,1)A 22221x y a b +=0a b >>l 交椭圆于P ，Q 两点，直线，的斜率之和为零，AP AQ （1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积. 1cos 3PAQ ∠=PAQ △【答案】（1） 22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据条件立方程组求解a ，b ，c ；（2）设直线AP 的倾斜角，由条件计算出AP 和AQ 的斜率，再求出点P 和Q 的坐标，运用三角形面积公式计算的面积.PAQ △【小问1详解】设椭圆的焦距为，由题意可得，解得， 2c 22222411a b c c aa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为； 22163x y +=【小问2详解】由题意作下图：不妨设直线的倾斜角为锐角且为，则直线的倾斜角为，所以AP θAQ πθ-，π2PAQ θ∠=-因，，解得 ， 1cos 3PAQ ∠=222211tan cos 2cos sin 31tan θθθθθ-=-=-=+tan θ=又为锐角，所以，于是得直线：，：θt an θ=AP 12)y x -=-AQ ，12)y x -=-联立方程组消去y 得：，2216312)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩2516)120x x +-+-=因为方程有一根为2，所以，，P x =P y=同理可得，，Q x =Q y =所以：，，点A 到直线的距离， PQ 905x y --=16||5PQ =PQ d所以的面积为； PAQ △11625⨯=综上，椭圆方程为；的面积为. 22163x y +=PAQ △11625⨯=。
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2020年高中数学开放题专项练习（2）一、解答题（本大题共13小题，共156.0分）=√5asinB这两个条件中任选一个，补充在下1.在①3asinC=4ccosA，②2bsin B+C2面问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______，a=3√2．(1)求sin A；(2)如图，M为边AC上一点MC=MB.∠ABM=π，求△ABC的面积．2注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．2.已知{a n}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S n，满足a3=12，___.是否存在正整数k，使得S k>2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从①q=2，②q=1，③q=−2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作2答．3.给定数列{A n}，若对任意m，n∈N∗且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为“H数列”.设数列{a n}的前n项和为S n．(1)请写出一个数列{a n}的通项公式______，此时数列{a n}是“H数列”；(2)设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a2∈N∗，a2>6，求公差d的所有可能值；4.在①tanα=4√3，②7sin2α=2sinα，③cosα2=2√77这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，cos(α+β)=−13，______，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.在①函数f(x−π3)为奇函数②当x=π3时，f(x)=√3③2π3是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．6.已知函数f(x)=log k x(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中选择一个______使数列{a n}是等比数列，说明理由；①数列{f(a n)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k=√2时，设a n b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．4n2−17.在①3c2=16S+3(b2−a2)；②5bcosC+4c=5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．(1)求tan B的值；(2)若S=42，a=10，求b的值．8. 在①sinB =√32，②cosB =34，③cosC =−79，这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出a 的值；若无解，请说明理由． 在△ABC 中，已知道a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足C =2B ，b +c =10．9. 在①a n a n+1=22n−1，②S n =ka n −12，③S n =a n +n 2−2n +k.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中存在正整数m ，求出m 的值；若m 不存在，说明理由．已知数列{a n }中a 1=1，其中前n 项和为S n ，且_____.是否存在正整数m ，使得S m ，S m+1，S m+2构成等差数列？10. 现给出两个条件：①2c −√3b =2acosB ，②(2b −√3c)cosA =√3acosC.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题： 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，______， (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．11.现在给出三个条件：①a=2；②B=π；③c=√3b.试从中选出两个条件，补充4在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，______，______，且满足(2b−√3c)cosA=√3acosC，求△ABC的面积(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)12.在①S n=2b n−1，②−4b n=b n−1(n≥2)，③b n=b n−1+2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．，a3=a1a2，数列{b n}的首项b1=1，其前n项已知数列{a n}为等比数列，a1=23和为S n，______，是否存在k，使得对任意n∈N∗，a n b n≤a k b k恒成立？13.在①a4=b4，②a2+b2=8，③S6=−24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．设S n为等差数列{a n}的前n项和，{b n}是等比数列，______，b1=a5，b3=−9，b6=243.是否存在k，使得S k>S k−1且S k+1<S k？答案和解析1.【答案】①②【解析】解：若选择条件①，则：(1)在△ABC中，由正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA，因为sinC≠0，所以3sinA=4cosA，可得9sin2A=16cos2A，所以25sin2A=16，因为sinA>0，所以sinA=45．(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=−cos∠BMA=−sinA=−45，在△BMC中，由余弦定理可得18=2m2−2m2⋅(−45)，解得m=√5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，sinA=45，BM=√5，∠ABM=π2，所以AB=3√54，所以S△ABM=158，所以S△ABC=S△BMC+S△ABM=32+158=278．若选择②，则：(1)因为2bsin B+C2=√5asinB，所以2bsinπ−A2=√5asinB，由正弦定理可得2sinBcos A2=√5sinAsinB，因为sinB≠0，所以2cos A2=√5sinA，2cos A2=√5×2sin A2×cos A2，因为cos A2≠0，可得sin A2=1√5，则cos A2=2√5，所以sinA=2sin A2cos A2=45．(2)同选择①．若选择条件①，(1)在△ABC 中，由正弦定理可得3sinA =4cosA ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值；(2)设BM =MC =m ，易知cos∠BMC =−45，在△BMC 中，由余弦定理可解得m 的值，利用三角形的面积公式即可求解．若选择②(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用sin A2，cos A2，进而可求sin A 的值；(2)同选择①．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．2.【答案】解：选择①.∵a 3=12，∴a 1×22=12，解得a 1=3．∴S n =3(2n −1)2−1=3(2n −1)，∴3(2k −1)>2020，解得k >9．∴存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10． 选择②.∵a 3=12，∴a 1×(12)2=12，解得a 1=48． ∴S n =48[1−(12)n ]1−12，∴96(1−12k )>2020，无解．∴不存在正整数k ，使得S k >2020．选择③.∵a 3=12，∴a 1×(−2)2=12，解得a 1=3． ∴S n =3[1−(−2)n ]1−(−2)=1−(−2)n ，∴1−(−2)k >2020，解得k ≥11．∴存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11．【解析】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选择①.由a 3=12，a 1×22=12，解得a 1.再利用求和公式即可得出． 选择②.由a 3=12，a 1×(−12)2=12，解得a 1.再利用求和公式即可得出． 选择③.由a 3=12，a 1×(−2)2=12，解得a 1.再利用求和公式即可得出．3.【答案】a n =2n【解析】解：(1).a n =2n ．(2)由题，等差数列{a n }中，且a 1=6，a 2∈N ∗，a 2>6， 可得：d >0且d ∈N ∗．又因为数列{a n }又是“H 数列”，所以a 1+a 2是{a n }中的项， 设a 1+a 2=a k ，即：2a 1+d =a 1+(k −1)d ， 整理得：d =6k−2，k =3时，d =6成立； k =4时，d =3成立； k =5时，d =2成立； k =6时，d =32不成立； k =7时，d =65不成立； k =8时，d =1成立．综上所述，公差d 所有可能的值为：1，2，3，6． (1)根据“H 数列”定义即可得；(2)根据已知a 2>a 1且a 2∈N ∗，得出公差d 的范围，再根据“H 数列”定义，由a 1+a 2是该数列的其中一项求解即可．本题属于在数列概念的基础上新定义类题目，依然考查学生对等差数列基本通项公式的考查，属于中档题目，解题过程中注意把握新定义的概念．4.【答案】①【解析】解：方案一：选条件①解法一：因为tanα=4√3，所以sinαcosα=4√3．由平方关系sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=4√37cosα=17或 {sinα=−4√37cosα=−17因为α∈(0,π2)，所以{sinα=4√37cosα=17． 因为cos(α+β)=−13，由平方关系sin 2(α+β)+cos 2(α+β)=1，解得sin 2(α+β)=89．因为α∈(0,π2),β∈(0,π2)，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=2√23，所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−13×17+2√23×4√37=8√6−121． 解法二：因为α∈(0,π2),tanα=4√3，所以点P(1,4√3)在角α的终边上， 所以cosα=√1+(4√3)2=17，sinα=√3√1+(4√3)2=4√37．以下同解法一． 方案二：选条件②因为7sin2α=2sinα，所以14sinαcosα=2sinα，因为α∈(0,π2)，所以sinα≠0，所以cosα=17．由平方关系sin 2α+cos 2α=1，解得sin 2α=4849.因为α∈(0,π2)，所以sinα=4√37． 以下同方案一的解法一． 方案三：选条件③ 因为cos α2=2√77，所以cosα=2cos 2α2−1=17．由平方关系sin 2α+cos 2α=1，得sin 2α=4849.因为α∈(0,π2)，所以sinα=4√37．以下同方案一的解法一． 故答案为：①选条件①由tanα=4√3，结合同角基本关系可求sinα，cosα，然后结合cosβ=cos[(α+β)−α]，利用差角余弦公式展开可求．选条件②由7sin2α=2sinα，求出14sinαcosα=2sinα，可得sinα，cosα，然后结合cosβ=cos[(α+β)−α]，利用差角余弦公式展开可求． 选条件③由cos α2=2√77，结合同角基本关系可求sinα，cosα，然后结合cosβ=cos[(α+β)−α]，利用差角余弦公式展开可求．本题主要考查了和差角公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于中档试题．5.【答案】f(x)=2sin(x +π3)【解析】解：∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π， ∴T =2πω=2π，∴ω=1，∴f(x)=2sin(x +φ)．方案一：选条件①∵f(x −π3)=2sin(x +φ−π3)为奇函数， ∴φ=π3+kπ，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x +π3)．(2)由−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，∴令k=0，得−5π6≤x≤π6，令k=1，得7π6≤x≤13π6，∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6]，[76π,2π]，方案二：选条件②f(π3)=2sin(π3+φ)=√3，∴sin(π3+φ)=√32，∴φ=2kπ，k∈Z，或φ=π3+2kπ，k∈Z，(1)∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3)，(2)由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，∴令k=0，得−5π6≤x≤π6，令k=1，得7π6≤x≤13π6，∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6]，[76π,2π]，方案三：选条件③∵23π是函数f(x)的一个零点，∴f(23π)=2sin(23π+φ)=0，∴φ=kπ−2π3，k∈Z，(1)∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3)，(2)由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，∴令k=0，得−5π6≤x≤π6，令k =1，得7π6≤x ≤13π6．∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0,π6]，[76π,2π]． 故答案为：f(x)=2sin(x +π3)．方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω，选条件①由题意可得φ=π3+kπ，k ∈Z ，结合范围0<φ<π2，可求φ=π3，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；方案二：选条件②，由题意可得sin(π3+φ)=√32，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间；方案三：选条件③，由题意可得f(23π)=2sin(23π+φ)=0，求得φ=kπ−2π3，k ∈Z ，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的单调性，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．6.【答案】②【解析】解：(1)①③不能使数列{a n }是等比数列，②可以．由题意f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log k a n =2n +2，可得a n =k 2n+2，且a 1=k 4≠0，a n+1a n=k 2n+4k 2n+2=k 2，由常数k >0且k ≠1，可得k 2为非零常数，则{a n }是k 4为首项、k 2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n =k 4⋅(k 2)n−1=k 2n+2，当k =√2时，a n =2n+1，a n b n =2n+14n 2−1，可得b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． (1)选②，由f(x)和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； (2)运用等比数列的通项公式可得a n ，进而得到b n =14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．7.【答案】①【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)先对选项结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求tan B ， (2)结合(1)可求cos B ，然后利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：选①3c 2=16S +3(b 2−a 2)， (1)∵3c 2=16S +3(b 2−a 2)，∴3(c 2+a 2−b 2)=16s 即3×2accosB =16×12acsinB ， 所以3cosB =4sinB 即tanB =34； (2)由(1)可得sinB =35，cosB =45，∴S =12acsinB =12×10c ×35=3c =42，即c =14，由余弦定理可得，45=100+196−b 22×10×14，整理可得，b =6√2． 故答案为：①．8.【答案】解：若选择①sinB =√32，则B =60°或120°， 因为C =2B ，所以C =120°或240°，显然矛盾，此时三角形无解． 若选择②cosB =34，由正弦定理可知cb =sinCsinB =sin2B sinB=2sinBcosB sinB=2cosB =32．又b +c =10． 所以c =6，b =4．由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得16=a 2+36−9a ，解得a =4或a =5，若a =4则由b =4知A =B ，又因为C =2B ， 所以B +B +2B =180°得B =45°，这与cosB =34矛盾，舍去． 经检验知，当a =5时适合题意，故a =5 若选择③cosC =−79，因为C =2B ， 所以cosB =−79，即2cos 2B −1=−79，得cosB =13， 此时cb =sinCsinB =sin2B sinB=2cosB =23<1，所以c <b ，此时C =2B 矛盾，此时三角形无解．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．根据题意依次选①②③，进一步利用正弦定理余弦定理和三角形的面积的应用求出结果．9.【答案】解：若选择条件①a n a n+1=22n−1，则a n+1a n+2=22n+1，两式相除得到a n+2a n=4，所以{a n }的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列， 由于a 1=1，所以a 2=2，a 3=4， 又因为a 1，a 2，a 3成等比数列， 故数列{a n }是等比数列，公比为2， 所以a n =2n−1，故S n =2n −1，所以S m =2m −1，S m+1=2m+1−1，S m+2=2m+2−1， 若S m ，S m+1，S m+2构成等差数列， 则2(2m+1−1)=(2m −1)+(2m+2−1)， 整理得到2m =0，无解，所以不存在正整数m ，使得S m ，S m+1，S m+2构成等差数列； 若选择②，S n =ka n −12，由于a 1=1，所以1=k −12，则k =32，于是S n =32a n −12， 当n ≥2时，S n−1=32a n−1−12，两式相减得a n =32a n −32a n−1， 于是a na n−1=3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，因此a n =3n−1，所以S n =12(3n −1)，所以S m =12(3m −1),S m+1=12(3m+1−1),S m+2=12(3m+2−1)， 若S m ，S m+1，S m+2构成等差数列，则2⋅12(3m+1−1)=12(3m −1)+12(3m+2−1)， 整理得到4×3m =0无解，所以不存在正整数m ，使得S m ，S m+1，S m+2构成等差数列； 若选择条件③S n =a n +n 2−2n +k ， 由于a 1=1，所以1=1+k −1，则k =1， 因此S n =a n +n 2−2n +1，当n ≥2时，S n−1=a n−1+(n −1)2−2(n −1)+1， 两式相减得a n =a n −a n−1+2n −3， 于是a n−1=2n −3，n ≥2， 所以a n =2n −1，n ∈N ∗，于是数列{a n }是等差数列，且S n =n 2，所以S m =m 2，S m+1=(m +1)2，S m+2=(m +2)2，由S m +S m+2=m 2+(m +2)2=2m 2+4m +4，2S m+1=2(m 2+2m +1)， S m +S m+2−2S m+1=2≠0，所以不存在正整数m ，使得S m ，S m+1，S m+2构成等差数列．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题． 选择①，根据条件可得a n+2a n=4，再求得a 2，a 3，可判断数列{a n }是等比数列，公比为2，从而求得S n ，再根据等差数列的性质进行判断即可；选择②，先根据a 1=1求出k ，再根据a n 与S n 的关系求得ana n−1=3，可判断数列{a n }是公比为3的等比数列，从而求得S n ，再根据等差数列的性质进行判断即可；选择③，先根据a 1=1求出k ，再根据a n 与S n 的关系求得a n−1=2n −3，n ≥2，即可求得a n 的通项公式，从而得到S n ，再根据等差数列的性质进行判断即可．10.【答案】①②【解析】解：选择条件：①2c−√3b=2acosB，(Ⅰ)∵由余弦定理可得2c−√3b=2acosB=2a⋅a2+c2−b22ac，∴整理可得c2+b2−a2=√3bc，可得cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，∵A∈(0,π)，∴A=π6．(Ⅱ)∵a=√3−1，A=π6，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得(√3−1)2=b2+c2−2bc⋅√32，∴4−2√3=b2+c2−√3bc≥2bc−√3bc，可得bc≤2，∴S△ABC=12bcsinA≤12×2×12=12，即△ABC面积的最大值为12．选择条件：②(2b−√3c)cosA=√3acosC．(Ⅰ)∵由题意可得2bcosA=√3acosC+√3ccosA，∴2sinBcosA=√3(sinAcosC+sinCcosA)=√3sin(A+C)=√3sinB，∵sinB≠0，∴可得cosA=√32，∵A∈(0,π)，∴A=π6．(Ⅱ)∵a=√3−1，A=π6，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得(√3−1)2=b2+c2−2bc⋅√32，∴4−2√3=b2+c2−√3bc≥2bc−√3bc，可得bc≤2，∴S△ABC=12bcsinA≤12×2×12=12，即△ABC面积的最大值为12．若选择条件①，(Ⅰ)由余弦定理可得cos A的值，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②.(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sinB≠0，可求cosA=√32，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(Ⅱ)利用余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】① ③【解析】解：选①③因为(2b −√3c)cosA =√3acosC ，由正弦定理可得，2sinBcosA =√3(sinCcosA +sinAcosC)=√3sinB ， 因为sinB ≠0， 所以cosA =√32，又因为a =2，c =√3b ， 由余弦定理可得，√32=22√3b 2，解可得，b =2，c =2√3，故S △ABC =12bcsinA =12×2×2√3×12=√3．若选①②，因为(2b −√3c)cosA =√3acosC ，a =2，B =π4， 由正弦定理可得，2sinBcosA =√3(sinCcosA +sinAcosC)=√3sinB ， 因为sinB ≠0， 所以cosA =√32，A =π6，因为a =2，B =π4，C =7π12，由正弦定理可得，2sin π6=bsinπ4，∴b =2√2，S △ABC =12absinC =12×2×2√2×sin 7π12=2√2×√2+√64=1+√3若选②③∵(2b −√3c)cosA =√3acosC ，B =π4，c =√3b ，由正弦定理可得，2sinBcosA =√3(sinCcosA +sinAcosC)=√3sinB ， 因为sinB ≠0， 所以cosA =√32，A =π6，∵B =π4，c =√3b ， ∴C =7π12，此时b sinB ≠csinC ，符合题意． 故答案为：①③或②③由已知结合正弦定理进行化简可求A ，然后结合选项及余弦定理和三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式的应用，属于中档试题．12.【答案】①【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1=23，所以a 3=a 1a 2， ∴23q 2=(23)2q ，解得q =23． ∴a n =(23)n ．①S n =2b n −1，则S n−1=2b n−1−1(n ≥2)， 两式相减整理得b nbn−1=2(n ≥2)，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n =2n−1， 所以a n b n =(23)n ⋅2n−1=12×(43)n ，由指数函数的性质知，数列{a n b n }单调递增，没有最大值， 所以不存在n ∈N ∗，使得对任意a n b n ≤a k b k 恒成立．②由−4b n =b n−1(n ≥2)，b 1=1，知数列{b n }是首项为1，公比为−14的等比数列， 所以b n =(−14)n−1，所以a n b n =(23)n ⋅(−14)n−1=(−4)×(−16)n ，因为a n b n =(−4)×(−16)n ≤4×(16)n ≤4×16=23，当且仅当n =1时取得最大值23， 所以存在k =1，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立． ③由b n =b n−1+2(n ≥2)知数列{b n }是公差为2的等差数列， 数列{b n }的首项b 1=1，公差d =2． ∴b n =1+2(n −1)=2n −1． a n b n =(2n −1)⋅(23)n >0．a n+1b n+1a n b n=(2n+1)(23)n+1(2n−1)(23)n=4n+26n−3=23(1+22n−1)=f(n)，f(1)=2，f(2)=109，f(3)=1415，n ≥3时，f(n)<1． 因此存在正整数k =3，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立．选择①S n =2b n −1，则S n−1=2b n−1−1(n ≥2)，整理可得b n =2n−1，则a n b n =12×(43)n ，由指数函数的性质知，数列{a n b n }单调递增，没有最大值，所以不存在n ∈N ∗，使得对任意a n b n ≤a k b k 恒成立．选择②由−4b n =b n−1(n ≥2)，可得b n =(−14)n−1，a nb n =(−4)×(−16)n ≤4×(16)n ≤4×16=23，所以存在k =1，使得对任意n ∈N ∗，a n b n ≤a k b k 恒成立．选择③b n =b n−1+2(n ≥2).数列{b n }的首项b 1=1，公差d =2.利用通项公式可得b n .设等比数列{a n }的公比为q ≠0，a 1=23，a 3=a 1a 2，解得q ，可得a n .a n b n =(2n −1)⋅(23)n >0.作商可得a n+1b n+1a n b n=(2n+1)(23)n+1(2n−1)(23)n=4n+26n−3=23(1−22n−1)=f(n)，f(1)=2，f(2)=109，f(3)=1415，n ≥3时，f(n)<1.即可得出结论． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】解：选择①a 4=b 4，又b 1=a 5，b 3=−9，b 6=243．则b 1−d =−9q ，−9q 3=243，b 1q 2=−9，a 1+3d =b 1−d ． 解得q =−3，b 1=−1，d =−28，a 1=111． ∴a n =111−28(n −1)=139−28n ． 假设存在k 使得S k >S k−1且S k+1<S k ． 则139−28k >0，139−28(k +1)<0， 化为：11128<k <13928，解得k =4．选择②a 2+b 2=8，又b 1=a 5，b 3=−9，b 6=243． 则a 1+d +b 1q =8，b 1q 2=−9，b 1q 5=243，a 1+4d =b 1， 解得q =−3，b 1=−1，d =−2，a 1=7， ∴a n =7−2(n −1)=9−2n ． 假设存在k 使得S k >S k−1且S k+1<S k ． 则9−2k >0，9−2(k +1)<0， 化为：72<k <92，解得k =4．选择③S 6=−24，又b 1=a 5，b 3=−9，b 6=243．则6a 1+15d =−24，a 1+4d =b 1，b 1q 2=−9，b 1q 5=243， 解得q =−3，b 1=−1，d =2，a 1=−9， ∴a n =−9+2(n −1)=2n −11． 假设存在k 使得S k >S k−1且S k+1<S k ． 则2k −11>0，2(k +1)−11<0， 无解．【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若选择①a4=b4，又b1=a5，b3=−9，b6=243，可解出q=−3，b1=−1，d=−28，<0，a1=111，即可得到a n=139−28n，若满足S k>S k−1且S k+1<S k，即a k>0，a k+1代入求解即可，选择②，③同理可解．。