北师大版反比例函数知识点总结及例题
北师大初三反比例函数知识点归纳和典型例题
新人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B． C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B． C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个 B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC 面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．① 求B点坐标和k的值；② 当时，求点P的坐标；③ 写出S关于m的函数关系式．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。
九年级数学北师大版(上册)6.3 反比例函数的应用
(2)当S＝2时，y＝100 ＝50， 2
所以当面条粗2 mm2时，面条的总长度为50 m.
4.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识： 一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细 (横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出y(m)与S(mm2)的函数关系式； (2)求当面条粗2 mm2时，面条的总长度是多少米？
∴y＝ 240 x
(2)
根据题意，若x＝10，则y＝
240 10
＝24，
∴长为24 m
(3) 根据题意可得 240 ≤20，解得x≥12， x
∴宽至少为12 m
2．打字员要完成一篇4 200字的文章录入工作．
(1)若平均每分钟录入60个字，则完成工作需要多少分钟？
(2)写出录入时间y(分)与录入速度x(字/分)之间的函数关系式；
油0.1升的耗油速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析
式,(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
解：(1)把 a＝0.1，S＝700 代入
S＝ k 中，得 k＝70，∴S＝ 70
a
a
(2) 把a＝0.08代入 S＝ 70 得
(2) 不能
理由：晚上20：00到第二天早上
7：00共有11小时，
把x＝11 代入 y＝ 225 ， 得 y＝ 225 ＞20
x
11
∴不能
二、过关检测
第1关
7．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S(单位：千米)与
平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系S＝k (k是常
a
数，k≠0)．若某轿车油箱注满油后，以平均耗 油量为每千米耗
北师大版九年级上册第六章《反比例函数》复习资料：知识点+例题
反比例函数一、知识要点反比例函数 一般形式：)0(≠=k xky 或1-=kx y k 的符号k>0 k<0图象yO xyO x性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
2、反比例函数解析式的确定3、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P （x,y ）作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别是M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=_______；△POM 或△PON 的面积S=______.二、典型例题例1. 已知y 与x 成反比例关系，x=1时y=2，求该反比例函数解析式。
已知与成反比例，与成正比例，并且当=3时，=5，当=1时，=-1；求与之间的函数关系式.121,y y y y -=x 2y )2(-x x y x y y x例2．如图已知一次函数8+-=xy和反比例函数xky=图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．（1）求实数的取值范围；（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线xky=与直线)1(+--=kxy在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=23（1）求这两个函数的解析式（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。
例3.反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（-2，1），求它们的另一个交点的坐标。
xky=mkxy+=。
反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。
一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
其一般形式为y = k/x，其中k为常数。
反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。
2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。
3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。
二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。
对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。
例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。
解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。
代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。
因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。
例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。
已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。
北师大版九年级数学上册第六章 反比例函数(复习小结)
x
a
1 b
的值为______．
【答案】
6 5
【分析】把图象的交点（a，b）分别代入反比例函数 y 5 与一次函数 y x 6，得到a 和b 的两个关 x
系式，就可以求出答案．
【详解】解：把（a，b）分别代入反比例函数 y 5 与一次函数 y x 6，得 x
， ，Байду номын сангаасab 5 a b 6
∵四边形 ABCD， ∴ ， DAB 90 ∵ ， ， DAF FDA 90 DAF OAB 90 ∴ ， FDA OAB 又∵ DFA BOA 90 ∴△ABO∽△DAF， ∴ ， AO AB OB
DF AD AF
设 D(x，y)，
即45 3 x y y4
解得：x=8，y=10，
将点 Am,n 代入反比例函数 y a 得： a mn 2， x
故选：C．
6．如图，A
是反比例函数 y
4 x＞0的图像上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y 6 的图像于点
x
x
B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则平行四边形 ABCD 的面
积为（ ）
y
BD A
C
Ox
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把A(－4，1 )，B(－1，2)代入 y = kx + b中
2
，得 －4k + b = 1 ，
k= 1 ，
2 －k + b =2，
解得
2
b= 5，
2
所以一次函数的解析式为 y = 1 x + 5 . 22
把 B (－1，2)代入y m x
原点
【答案】B
2020北师大版九年级数学上册 反比例函数知识点总结
【文库独家】北师大版九年级上册第六章 反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
(完整版)北师大版反比例函数知识点总结及例题
反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y =xk （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。
（2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ）①y=21x -；③ y= y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x+；⑦ y=32x -；⑧ -2xy=1A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 （3）关于函数y=12x -，以下说法正确的是（ ） A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 （4）函数22)2(--=ax a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．2D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）A ．反比例函数B ．正比例函数C ．一次函数D ．反比例或正比例函数 （6）若函数11-=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．（7）（2013安顺）若y=(a+1)22ax-是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
北师大版九年级数学上册《反比例函数》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《反比例函数》
知识点归纳
北师大版九年级数学上册《反比例函数》知识点归纳反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的对
应关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那
么称y是x的反比例函数。
（x为自变量，y为因变量，
其中x不能为零）
判断：判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：按照反比例函数的定义判断；看两个变量的乘积是否为
定值/span即xy=k。
（通常第二种方法更适用）
反比例函数的图象：由两条曲线组成，叫做双曲线。
当
k0,两条曲线分别位于第一、三象限内；当k0时，两条
曲线分别位于第二、四象限内。
画反比例函数时的注意事项：
比例函数的图象不是直线，所以“两点法”是不能画的；选取的点越多画的图越准确；
画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
反比例函数性质：
当k0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k0时，在每个象限内，y随x的增大而增大；
反比例函数的曲线会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但
不会与坐标轴相交。
反比例函数图象的几何特征:(如图所示)
1、反比例函数是一个中心对称图形，对称中心是坐标原点。
2、反比例函数是一个轴对称图形，当k0时，对称轴是y=x;当 k0时,对称轴是y=-x；
3、点P(x,y)在双曲线上都有初中数学北师大版九年级上册《第六章反比例函数》知识点归纳
反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→
=kx(x≠0) ←→y=kx-1(k≠0) ←→ xy=k(k≠0) ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为。
北师大版九年级数学第六章反比例函数的图像和性质
反比例函数【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx= (k为常数，0k≠)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.要点进阶：（1）在kyx=中，自变量x是分式kx的分母，当0x=时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点.（2）kyx= ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx=中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x y、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx= (0k≠)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx=中.要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点进阶：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点进阶：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k . 要点进阶：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义例1、当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？类型二、确定反比例函数解析式例2、正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （2，m ）．（1）求出点A 的坐标；（2）求反比例函数关系式．举一反三：【变式】已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝7；当x ＝2时，y＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当x ＝4时，y 的值．类型三、反比例函数的图象和性质例3、正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2举一反三：【变式】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（）个．A.4B. 3C. 2D. 1类型四、反比例函数综合=+的图象交于M(2，m)，N(－1，－4)两点.4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数y ax b(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围．【变式】如图所示，已知正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x=的图象交于点A(3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M(m n ，)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．一.选择题1. 在反比例函数12m y x -=的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．12m <D ．12m >2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ．A. y x =B. 1y x= C. 21y x =+ D. 1||y x =3. 已知0ab <，点P(a b ，)在反比例函数a y x =的图像上，则直线y ax b =+不经过的象限是( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 在函数21a y x --=（a 为常数）的图象上有三个点1(1)y -，，21()4y -，，31()2y ，，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）.A ．2y <3y <1yB ．3y <2y <1yC ．1y <2y <3yD ．3y <1y <2y5.如图，直线x=t （t ＞0）与反比例函数y=（x ＞0）、y=（x ＞0）的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上任意一点，△ABC 的面积为3，则k 的值为（ ）A.2B.3C.4D.56. 如图，点A 、C 为反比例函数y=图象上的点，过点A 、C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，连接OA 、AC 、OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为时，k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．﹣4D ．﹣6二.填空题7. 如图所示是三个反比例函数x k y 1=、x k y 2=、xk y 3=的图象，由此观察得到1k 、2k 、3k 的大小关系是____________________（用“＜”连接）.8. 如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为（1，2），点B 与点D 在反比例函数6y x=（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为 _________ ．9. 已知y 1与x 成正比例（比例系数为k 1），y 2与x 成反比例（比例系数为k 2），若函数y=y 1+y 2的图象经过点（1，2），（2，），则8k 1+5k 2的值为 ．10.已知A （11,x y ），B （22,x y ）都在6y x =图象上．若123x x =-，则12y y 的值为 _________ ． 11. 如图，正比例函数3y x =的图象与反比例函数k y x =（k ＞0）的图象交于点A ，若k 取1，2，3…20，对应的Rt △AOB 的面积分别为12320,,....,S S S S ，则1220....S S S +++＝ ________.12. 如图所示，点1A ，2A ，3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A ，2A ，3A 作y 轴的平行线，与反比例函数y ＝8x（x ＞0）的图象分别交于点1B ，2B ，3B ,分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别于y 轴交于点1C ，2C ，3C ,连接1OB ，2OB ，3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为____________.三.解答题13. 已知反比例函数的图象经过点P （2，﹣3）．（1）求该函数的解析式；（2）若将点P 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴方向平移n （n ＞0）个单位得到点P ′，使点P ′恰好在该函数的图象上，求n 的值和点P 沿y 轴平移的方向．14. 如图所示，已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点．第一象限上的点M(m，n)(在A点左侧)是双曲线kyx=上的动点．过点B作BD∥y轴交于x轴于点D．过N(0，－n)作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD于点C．(1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及k的值．(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．15.如图，已知点A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数myx=图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积，（3）求方程kx+b﹣mx=0的解（请直接写出答案）；（4）求不等式kx+b﹣mx＞0的解集（请直接写出答案）．。
专题20反比例函数(3个知识点4种题型1种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。
北师大版九年级数学上册反比例函数小结与复习
（2）判断一个函数是否是反比例函数，关 键是看两个变量的乘积是否是一个常数. （3）只要k确定，则反比例函数 关系式就确定.
知识点2 确定反比例函数的关系式
1.确定实际问题中的反比例函数关系式
关键：认真审题，弄清题意，找出等量关系
2.用待定系数法确定反比例函数关系式 反比例函数的三种表达形式：
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
类型一 反比例函数的概念
1. 若函数 y(m1)xm22 是反比例函数， 则m2+3m+1= 5 .
ykx1(k是常数 k0， ）
m2 2 1
m 1 0
得m=1
类型二确定反比例函数的关系式
1.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比
例，已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米，
∴ 1OD•AE4
E
A
2
∴AE=4
O
CB
x
∵ A BO B ， C 为的OB中点， D
∴ ∠ D O C ∠ A B C 9 0 ， O C B C ， ∠ O C D ∠ B C A
∴ R t△ D O C ≌ R t△ A B C
∴ ABO D2
将A(4,2)代入
y1
k x
∴ A(4,2) 中，得k=8
解：（1）设函数关系式为
y
k x
∵函数图象经过（10，2）
∴k=20， ∴
（2）∵ y
20 x
y
20 x
∴xy=20，
∴
2
k 10
∴ S E S 正 2 x y 12 6 2 2 0 216
北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数知识点解析含习题练习
第01讲_反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念知识精讲一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三点剖析一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三．易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数反比例函数例题1、下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（）A.y=12x B.y=11x - C.y=2xD.【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可．y=12x 表示y 是x 的反比例函数，A 正确；y=11x -不能表示y 是x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；不能表示y 是x 的反比例函数，D 错误，故选：A ．例题2、若2(1)zay a x -=+是反比例函数，则a 的取值为（）A.1B.﹣1C.±lD.任意实数【答案】A【解析】∵此函数是反比例函数，∴21021a a +≠⎧⎨-=-⎩，解得a=1．随练1、已知函数y 与1x +成反比例，且当2x =-时，3y =-．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =时，求y 的值．【答案】（1）31y x =+（2）2【解析】该题考查的是反比例函数．（1）设1k y x =+，把()2,3--代入得，3k =，∴31y x =+．（2）把12x =，代入解析式得：2y =．随练2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31y x =+B.22y x x=+ C.2xy = D.2y x=【答案】D 【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．随练3、若函数11m y x -=(m 是常数)是反比例函数，则m =____________，解析式为_____________．【答案】2；1y x=【解析】由反比例函数的定义可知11m -=，所以2m =，1y x=．随练4、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】wy x=；反比例【解析】由题意可得wy x=，是反比例函数．成反比例关系例题1、已知y 与x 成反比例，当3x =时，4y =，那么3y =时，x 的值等于（）A.4B.4- C.3D.3-【答案】A【解析】因为y 与x 成反比例，所以可设k y x =（0k ≠），因为当3x =时，4y =，所以43k =，即12k =，所以12y x =，当3y =时，4x =，故答案为A 选项．例题2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与他跑步的平均速度v （m ／s ）之间的关系B.菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系C.一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N 时，压强P 与受力面积S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质知识精讲一．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．反比例函数的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于y x =±这两条直线轴对称．二．反比例函数k 的几何意义反比例函数k y x =(k 为常数，0k ≠)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线ky x=上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k ．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k 的几何意义．二．重难点：反比例函数k 的几何意义．三．易错点：1．k 的几何意义求出面积时注意k 的正负；2．反比例函数图像隐藏的对称性．反比例函数的图象和性质例题1、关于反比例函数y=﹣2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A 、B 、C 错误．例题2、己知k ＞0，则函数y ＝kx ，ky x=-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】暂无解析例题3、已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 3＜y 2＜y 1【解析】∵反比例函数y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，12＞0，∴点A （﹣2，y 2），B （﹣1，y 1）在第二象限，点C （12，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 2＜y 1．例题4、点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________．【答案】﹣1＜a ＜1【解析】∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a+1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜1．随练1、对于反比例函数y=kx（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k＞0时，y随x增大而增大B.当k＜0时，y随x增大而减小C.当k＞0时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当k＞0时，在每个单调区间内，y随x增大而减小，∴A不正确；B、当k＜0时，在每个单调区间内，y随x增大而增大，∴B不正确；C、当k＞0时，该函数图象在第一、三象限，∴C不正确；D、∵1×2=2=2×1，∴若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即D正确．随练2、反比例函数y=1mx-的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=12m-；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A.①②③B.①③④C.①②③④D.①④【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx-=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数1myx-=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；求不出三角形的面积，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．反比例函数k的几何意义例题1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.﹣3C.32D.﹣32【答案】A【解析】∵点P 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，∴矩形OAPB 的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．例题2、如图，已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB的面积为1，则k ＝________．【答案】－2【解析】依据比例系数k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1||12k =，解得k ＝－2．例题3、如图，点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】∵点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=2+2﹣1×2=2．随练1、如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=．【答案】．【解析】由题意，可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1=1×（2﹣1）=1，S 2=1×（1﹣）=，S 3=1×（﹣）=，∴S 1+S 2+S 3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．随练2、如图，点A 、B 在反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为_________．【答案】4【解析】设OM=a ，∵点A 在反比例函数y=k x，∴AM=k a，∵OM=MN=NC ，∴OC=3a ，∴S △AOC =12•OC •AM=12×3a ×k a =32k=6，解得k=4．随练3、如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】（1）4;y x yx=-=-；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=×BO×x C=×3×4=6．反比例函数的应用知识精讲一．利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析一．考点：反比例函数的应用．二．重难点：反比例函数的应用．三．易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义．利用反比例函数解决实际生活问题例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，∴C错误，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确．例题2、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____．【答案】R≥3.6【解析】设反比例函数关系式为：I=k R，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=36 R，当I≤10时，则36R≤10，R≥3.6．例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg/L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？【答案】（1）当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．【解析】（1）分情况讨论：①当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y=kx +b ；把A （0，10），B （3，4）代入得b=103k+b=4⎧⎨⎩，解得：k=-2b=10⎧⎨⎩，∴y=﹣2x +10；②当x ＞3时，设y=m x，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=12x；综上所述：当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．随练1、某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为（）A.100y x =B.100y x=C.100100y x=-D.100y x=-【答案】B【解析】由题意可得100y x =，故答案为B 选项．随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R （k Ω）随温度t （℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω．（1）求当10≤t ≤30时，R 和t 之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R 的值；并求出t ≥30时，R 和t 之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k Ω？【答案】（1）10≤t≤30时，R=；（2）当温度为30℃时，R=2；R=t ﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ【解析】（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R 和t 之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，k=60．故当10≤t ≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（k Ω）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω，∴当t ≥30时，R=2+（t ﹣30）=t ﹣6；（3）把R=6（k Ω），代入R=t ﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．拓展1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）A.32+2y x = B.27y x=-+ C.1k y x += D.2y x =-【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数的概念．只有形如()0k y k x=≠的才是反比例函数，故答案选D ．2、函数y=k x的图象经过点（2，3），则k=（）A.2B.3C.6D.﹣6【答案】C【解析】∵函数y=k x 的图象经过点（2，3），∴2k =3，解得k=6．3、当m ＝________时，函数y ＝（m －2）x |m|－3是反比例函数．【答案】－2【解析】暂无解析4、若函数25(2)k y k x -=-（k 为常数）是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______________．【答案】2-；14y x -=-【解析】由反比例函数定义可知251k -=-且20k -≠，所以2k =-，14y x -=-．5、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】w y x =；反比例【解析】由题意可得w y x=，是反比例函数．6、如图，已知直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是（） A.（－1，－2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－2，－1）【答案】A【解析】∵直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点，∴M ，N 两点关于原点对称，∵点M 的坐标是（1，2），∴点N 的坐标是（－1，－2）．7、函数y=k x 与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【解析】由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．8、函数y=ax（a≠0）与y=ax在同一坐标系中的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．9、如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=6x（x＞0）的图像上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为______．【解析】∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴S 矩形APBO =|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，90PBC COD BC OC PCB OCD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD =S 矩形APBO =6．10、如图，点A 是反比例函数图象上y=K X一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则k=__________．【答案】﹣3【解析】设点A 的坐标为（m ，n ），∵AB ⊥y 轴，CD ⊥y 轴，∴AB ∥CD ，又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．S 平行四边形ABCD =AB •OB=﹣m •n=3，∴k=mn=﹣3．11、如图，点A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=k x（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为___________．【答案】5【解析】延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB ∥x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2=k x （x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC =12，S △BOC =2k ，∵S △AOB =2，即2k ﹣12=2，解得：k=5．12、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．【答案】3【解析】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，∴k=313、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数myx的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【答案】（1）y=x+1；y=6x；（2）OP=1．【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=6 x，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=6x的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴23 32k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=12PC×2+12PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．14、甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为(/)v km h，到达时所用的时间为()t h，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为_____________．【答案】反比例；300 tv =【解析】由题意得300tv=，是反比例函数．15、如图，点A在反比例函数6yx=图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（）B.2 D.【答案】A【解析】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：由反比例的性质可知，A 、B 两点关于中心O 对称，即OA ＝OB ，又∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CO ⊥AB ，且OC ＝OA ．设直线AB 的解析式为y ＝ax （a ＞0），则OC 的解析式为1y x a=-，设点A （m ，am ），点C （an ，﹣n ），∵OA ＝OC ，即m 2＋（am ）2＝（an ）2＋n 2，解得n ＝±m ，∵A 在第一象限，C 在第三象限，∴n ＝m ＞0，即C （am ，﹣m ）．∵AE ∥x 轴，CE ∥y 轴，∴∠CDF ＝∠CAE ，∠CFD ＝∠CEA ＝90°，∴△CDF ∽△CAE ，∴CF CD CE CA=，又∵△OAD 与△BCD 的面积相等，△OAD 与△BOD 的面积相等，∴S △ABD ＝2S △BCD ，∴2AD CD=，∵AC ＝AD ＋CD ，∴13CF CD CE CA ==，∵点A （m ，am ），点C （am ，﹣m ），∴点E （am ，am ），点F （am ，0），∴0()11()13CF m CE am m a --===--+即a ＝2．∵点A （m ，am ）在反比例函数6y x=的图象上，且a ＝2，∴2m 2＝6，解得m =，∵m ＞0，∴m =，∴点A 所以选A ．16、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（05x ≤≤），y=（x≥5）；（2）对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x ≤5），设加热停止后反比例函数表达式为y=（a ≠0），∵该函数图象经过点（5，60），∴=60，解得：a=300，∴反比例函数表达式为y=（x ≥5）；（2）∵y=9x+15，∴当y=30时，9x+15=30，解得x=，∵y=，∴当y=30时，=30，解得x=10，10﹣=，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12k k x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况；3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A （2，1），∴B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．故选D ．例题2、已知直线y=x ﹣3与函数2y x =的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（）A.13B.11C.7D.5【答案】A【解析】根据题意得b=a ﹣3，b=2a，所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13．故选A ．例题3、求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∴可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、小兰画了一个函数y=1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1a x -=2的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】A【解析】由图可知当x=3时，y=0，即13a -=0，解得a=3，当31x-=2时，解得x=1．随练2、如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.（12，0） B.（1，0） C.（32，0） D.（52，0）【答案】D 【解析】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（）A.t＜B ．t＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、已知反比例函数k y x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值；（2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点．【答案】（1）m ＝－4；k ＝－8（2）k ＜－9【解析】（1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数k y x =，得k ＝－8；（2）根据,6,k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-，∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线n y x =相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ，过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ，∴P 2Q ∥B 1C ，∴1212AB AC AP AQ ==，∴1122m =--，∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x b k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +>A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】暂无解析随练3、如图，双曲线x m y =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程x m ＝b kx +的解为（）A.1=x B.1=x 或3-=x C.3=x D.1-=x 或3=x 【答案】B【解析】暂无解析随练4、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）y=2x-；y=﹣x ﹣1（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】（1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=m x的图象上，∴1=2m -，解得m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=2x-，∵B （1，n ）在反比例函数h 上，∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=m x的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1（2）E （﹣2，1）【解析】（1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=m x 的图象过点B ，∴1m =﹣2，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵y=kx+b 的图象过B 、D 点，∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1k x，结合图象，直接写出x 的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】（1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．【解析】（1）3}=3．故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ，∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A.2个B.4个C.5个D.6个【答案】D。
北师大新版反比例函数知识点总结及例题
反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y =xk （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。
（2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ）①y=21x -；③ y= y=13x -；⑤ y=23x +；⑦ y=32x -；⑧ -2xy=1A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 （3）关于函数y=12x -，以下说法正确的是（ ） A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 （4）函数22)2(--=ax a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．2D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）A ．反比例函数B ．正比例函数C ．一次函数D ．反比例或正比例函数 （6）若函数11-=m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．（7）（2013安顺）若y=(a+1)22a x-是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
(北师大版数学九上)第六章 反比例函数讲义
第六章 反比例函数第5讲 反比例函数图象、性质及应用一．知识梳理知识点1 反比例函数的定义与表达式： （1）一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数 （2）反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠） ②1kx y -=（0k ≠） ③k y x =⋅（定值）（0k ≠） 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.知识点4 反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x. ☆反比例函数（y=xk）的图像与正比例函数（y=ax ）的图像交于A(11y x ，),B(22y x ，)两点，那么这两点关于原点对称，即21-x x =，21-y y =.【补充】 中点坐标公式： 三点共线，且中间的点是中点，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22两个端点的纵坐标相加中间点的纵坐标两个端点的横坐标相加中间点的横坐标即若A(1x ，1y )，B(2x ，2y ),M(x ，y)在一条直线上，且M 为线段AB 的中点，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 2121知识点5 反比例函数的应用（略）二.实战演练考点一反比例函数的概念及函数关系式的确定下列是反比例函数的有_____（填序号）①2xy-=；②xy21-=；③11-=xy；④21xy=⑤ xy=-3；⑥1--=xy考点二反比例函数的图像和性质1.反比例函数y=xa-1-2(a是常数)的图像分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝x3上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____y2．3.反比例函数y=xk的图像如右图所示，则k的值可能是（）A.-1B.1C.2D.34.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．典例分析考点三 反比例函数的应用 1.已知点P(a ，b)在反比例函数xy 2=的图像上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．（1）确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；（2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？考点四 一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与xky -=在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）.3.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式．4.如图所示，直线xy 34=与双曲线x k y =（x ＞0）交于点A ，将直线x y 34=向右平移29个单位后，与双曲线x k y =（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若BCAO=2，则k=____.1.已知函数|m |1xm y -=是y 关于x 的反比例函数，则m 的值是____. 2.在反比例函数xmy 21-=的图像上有A(11y x ，)，B(22y x ，)两点，当021＜＜x x 时，21y y ＜，则m 的取值范围是（ ）A.m ＜0 B.m ＞21 C.m ＜21D.m ＞03.反比例函数的自变量x 满足-2≤x ≤-21时，函数值-1≤y ≤-41，则它的解析式是（ ）A.x y 21=B.xy 21-= C.x y 8= D.x y 81-=4.如图所示，等边三角形OAB 的边OA 在x 轴上，双曲线y=x3在第一象限内的图像经过边OB 的中点C,则点B 的坐标是( , ).5.双曲线y=xk经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y ＜时，x 的取值范围是（ ）课堂训练A.x ＜-1或0＜x ＜3B.-1＜x ＜0或x ＞3C.-1＜x ＜0D.x ＞37.如图，直线y=33-x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且AB.AC=8，则k=_____.8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？9.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6） (1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标.1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P(yx，)在这个反比例函数图像上，且yx＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可）2.若点（-2，）1y，（-1，2y），（1，3y）在反比例函数)0(＜kxky=图象上，则下列结论中，正确的是（）A.3y＞1y＞2y B.2y＞1y＞3y C.1y＞2y＞3y D.3y＞2y＞1y3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数xky=的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜04.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且211112+=yy，则这个反比例函数的表达式为______.5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=xkk122++的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____.6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___.7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=x6的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____.8.如图，直线y=2x与双曲线y=x2在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO 绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( )A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0）C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）课后作业※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间（min ）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ） A ．7：20 B ．7：30 C ．7：45 D ．7：5010.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a （单位：千米）与每千米平均耗油量b （单位：升）之间有怎样的函数关系？（2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？11.如图，已知反比例函数y=x2k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A 、B 两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB 的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x ＞76x 2k+-的解为_______；(3)在反比例函数图象上存在_____个点P ，使得OAB PAB S S △△2=．12.已知反比例函数x2ky =和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k ）两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；(3)利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第6讲 |k|的几何意义一．知识归纳☆反比例函数xky =（0k ≠）中k 的几何意义： 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，连接OP ， 则:OEPF S PE PF y x 矩形=⋅=⋅=k【补充】|k|的几何意义常见模型： 模型一：一点一垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于21|k|.特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x 轴作垂线构成的梯形面积.模型二：一点两垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.模型三：原点一垂线模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|.模型四：两点两垂线模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|.模型五：两点和一点模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型六：两曲一平行模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.模型七：与四边形组合模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等.二.实战演练例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（）例2：如图所示，反比例函数y=xk(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3：如图，A、B两点分别在反比例函数xy1-=和xky=的图像上，连接OA、OB，若OA ⊥OB，OB=2OA，则k的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4例4:如图，反比例函数y=xk（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=xk的表达式为_____．典例分析例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=xk1(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=xk2(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若BEFS∆=7，21k3k+=0，则1k等于_______.例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数xky=（k＞0）的图象与AC边交于点E.（1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____.（2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.1.如图所示是反比例函数xky1=和xky2=（k1＜k2）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若2=AOBS△,则k2-k1的值是（）A.1B.2C.4D.8课堂训练2.如图，P(x ，y)是反比例函数xy 3的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ， PB ⊥y 轴于点B ， 随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（ ） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A 、B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C 、D 两点在反比例函数y=xk(k ＜0)的图象上，则k=_____.4.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，反比例函数y ＝xk（x ＞0）在第一象限内的图象经过点D ，且与AB 、BC 分别交于E 、F 两点，若四边形BEDF 的面积为1，则k 的值为_____．5.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____.6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线xk y=一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______.1.如图所示，直线l和双曲线y=xk（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则有（）A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3C.S1＝S2＜S3D.S1＝S2＞S32.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______.3.某反比例函数xky=的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____.课后作业4.(1)如左下图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OAD 的面积为1，则k 的值为_______．(2)如右上图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数y ＝xk的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO=4，tan ∠BAO=2，则k 的值为______.5.如图，A 、B 两点分别在反比例函数x y 1-=和xky =的图像上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2OA ，则k 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.46.如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=xk2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则k 1﹣k 2的值是________.7.如图，在□OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数y=kx （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为______．8.如图所示，双曲线y=x2(x ＜0)经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .9.如图矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （-320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.10.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，4）关于y 轴的对称点为点B ，连接AB ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P 是该反比例函数图象上任意一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，点Q 是线段AB 上任意一点，连接OQ 、CQ ． （1）求k 的值；（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．。
北师版九年级反比例函数知识点及经典例题
北师版九年级反比例函数知识点及经典例题知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地；如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数；0k ≠）的形式；那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数；且k 不为零；（2）x k中分母x 的指数为1；如22y x=不是反比例函数。
（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。
知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky =的图象是双曲线；它有两个分支；这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点；即双曲线的两个分支无限接近坐标轴；但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠；因此不能把两个分支连接起来。
（3）由于在反比例函数中；x 和y 的值都不能为0；所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴；但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。
反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：当0k >时；x 、y 同号；图象在第一、三象限； 当0k <时；x 、y 异号；图象在第二、四象限。
（2）若点(m ；n)在反比例函数xky =的图象上；则点（-m ；-n ）也在此图象上；故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当0k >时；在每个象限内；y 随x 的增大而减小； 当0k <时；在每个象限内；y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法；由于在反比例函数关系式xky =中；只有一个待定系数k ；确定了k 的值；也就确定了反比例函数；因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标；代入xky =中即可求出k 的值；从而确定反比例函数的关系式。
新北师大版九年级数学反比例函数知识点总结复习专题
反比例函数知识点总结复习知识点1： 反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为_________函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式：①xk y =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；知识点2：用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值， 从而确定反比例函数的表达式。
知识点3：反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是________，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴__________；⑵____________；⑶______________。
知识点4：反比例函数的性质★关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号K___0 K___0图像性质①x 的取值范围是___________， y 的取值范围是___________.②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第__________象限，在每个象限内，y 随x 的增大而_________。
①x 的取值范围是___________，y 的取值范围是___________. ②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第__________象限，在每个象限内，y 随x 的增大而____________。
注意：1、描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时， y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。
北师版初中九年级教学反比例函数知识总结点总结以及经典例题
北师版九年级反比率函数知识点及经典例题反比率函数知识梳理知识点l. 反比率函数的观点要点：掌握反比率函数的观点难点：理解反比率函数的观点一般地，假如两个变量x、y之间的关系能够表示成y k x或y=kx-1（k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比率函数。
反比率函数的观点需注意以下几点：（1）k是常数，且k不为零；（2）k中分母x的指数为1，x如y x22不是反比率函数。
（3）自变量x的取值范围是x0一确实数.（4）自变量y的取值范围是y0一确实数。
知识点2. 反比率函数的图象及性质要点：掌握反比率函数的图象及性质难点：反比率函数的图象及性质的运用反比率函数y k x的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们对于原点对称、反比率函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷靠近坐标轴，但永久不与坐标轴订交。
画反比率函数的图象时要注意的问题：应值或图象上点的坐标，代入y k x中即可求出k的值，进而确立反比率函数的关系式。
（2）用待定系数法求反比率函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比率函数为：y k（k0）；②依据已知条件，x列出含k的方程；③解出待定系数k的值；k④把k值代入函数关系式yx 中。
知识点4.用反比率函数解决实质问题反比率函数的应用须注意以下几点：①反比率函数在现实世界中广泛存在，在应用反比率函数知识解决实质问题时，要注意将实质问题转变为数学识题。
②针对一系列有关数据研究函数自变量与因变量近似知足的函数关系。
③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
知识点5.反比率函数综合最新考题综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比率函数的命题放在各个地点都有，突出考察学生的数形联合思想、学科内综合、学科间综合、实质应用题、新课程下出现的新题等方面，在考察学生的基础知识和基本技术等基本的数学修养的同时，增强对学生数学能力的考察，突出数学的思想价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念： 知识要点：1、一般地，形如 y = xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0）例题讲解：有关反比例函数的解析式（1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。
（2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ）①② y=21x -；③ y=x -；④ y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x +；⑦ y=32x -；⑧ -2xy=1A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 （3）关于函数y=12x -，以下说法正确的是（ ）A ．y 是x 的反比例函数B ．y 是x 的正比例函数C ．y 是x-2的反比例函数D ．以上都不对（4）函数22)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．2D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数（6）若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．（7）（2013安顺）若y=(a+1)22a x -是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
例题讲解：（1）（2013邵阳）下列四个点中，在反比例函数y=6x-的图象上的是（ ） A ．（3，-2） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（-2，-3） （2）反比例函数y=1kx-的图象经过点（﹣2，3），则该图象经过 象限 （3）已知函数25(1)m y m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．12-（4）反比例函数y=k x在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（5）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．（6）若反比例函数22)12(--=m xm y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A 、 －1或1;B 、小于12的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。
例题讲解：（1）已知点（－1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数21k y x--=的图像上， 下列结论中正确的是( )A ．321y y y >>B ．231y y y >>C ．213y y y >>D ． 132y y y >>（2）在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>（3）已知（x 1, y 1）,（x 2, y 2）,（x 3, y 3）是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点,且x 1＜x 2＜0，x 3＞0,则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 3＜y 1＜y 2B. y 2＜y 1＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3＜y 2＜y 1 （4）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4y x=- D ．12y x=． （5）已知反比例函数2y x-=的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（6）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2y x=- 的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y <<4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交（1）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（ ） A ．B ．y=2x+1C ．y=﹣xD ．y=﹣x 2+15、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6和y = x6-）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。
（三）反比例函数与面积结合题型。
知识要点：1、反比例函数与矩形面积：若P (x ，y )为反比例函数xk y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积. 分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅ ∵xk y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .（1）如图，点B 在反比例函数图象上，矩形ABCO 面积为8，则反比例函数的表达式为（ ）.（A ）x y 8=（B ）xy 8-= （C ）x y 8= （D ）x y 8-=（2）如图，点A 在双曲线y=x1上，点B 在双曲线y=x3上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x轴上，若矩形ABCD 的面积为2、反比例函数与三角形面积：（1）、如图，反比例函数()0>=k xk y 在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是 .（2）、在xy 1=的图象中，阴影部分面积不为1的是（ ）．（3）在反比例函数xy 6-=（x ＜0）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ．第（4）题 第（5）题 第（6）题 （4） 反比例函数xk y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，这个反比例函数的解析式为______________(5)如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变．（6）如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）yxO A CBA ．2S =B ．4S =C ．24S <<D ．4S >(四)一次函数与反比例函数例题讲解：(1)一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（ ）A 、B 、C 、D 、(2)一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象大致是( )（3）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=xk2（k 1∙k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ） A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1 B 、﹣2＜x ＜1C 、x ＜﹣2或x ＞1D 、x ＜﹣2或0＜x ＜1（4）正比例函数2x y =和反比例函数2y x=的图象有 个交点．（5）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2k x(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.（6）平面直角坐标系中，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B 且与反比例函数图象分别交于C 、D 两点，过点C 作CM⊥x 轴于M ，AO=6，BO=3，CM=5．求直线AB 的解析式和反比例函数解析式．（五）反比例函数的应用： 例题讲解：1．一个水池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x 立方米的水，经过y 小时可以把水放完，那么y 与x 的函数关系式是________，自变量x 的取值范围是________．2．三角形的面积为6cm 2，如果它的一边为y cm ，这边上的高为x cm ，那么y 与x 之间是________函数关系，以x 为自变量的函数解析式为________．3．长方体的体积为40cm 3，此长方体的底面积y (cm 2)与其对应高x (cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的( )．4．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )．(A)小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系(C)压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系(D)一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系5．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积x(ml)10080604020压强6075100150300y(kpa)则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．(A)y ＝3000x (B)y ＝6000x (C)x y 3000= (D)xy 6000= 6．甲、乙两地间的公路长为300km ，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为V (km/h)，到达时所用的时间为t (h )，那么t 是V ________的函数， V 关于t 的函数关系式为________．7．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布y (m 2)与半径R (m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)________．8．有一面积为60的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x ，高为y ，则y 关于x 的函数关系式是( )．(A))0(45>=x x y (B))0(30>=x x y (C))0(90>=x x y (D))0(15>=x xy 9．一个长方体的体积是100cm 3，它的长是y (cm)，宽是5cm ，高是x (cm)．(1)写出长y (cm)关于高x (cm)的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm 时，求长．10．一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少。