二次根式知识梳理
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳 定义：一般的;式子a a ≥0叫做二次根式..其中“”叫做二次根号;二次根号下的a 叫做被开方数..性质：1、a a ≥0是一个非负数．即a ≥02、2a ＝│a │即a ≥0;等于a;a<0;等于-a3、4、a ·b ＝ab ．a ≥0;b ≥0反过来:ab =a ·b a ≥0;b ≥05、a b =a b a ≥0;b>0 反过来;a b =a ba ≥0;b>0 6、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式;叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同;这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2;算术平方根为2；②4=2;二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项 二次根式中考试题精选一.选择题：1.05宜昌化简20的结果是 .A.25B.52C.10542.05南京9的算术平方根是 .A.-3B.3C.±3D.813.05南通已知2x <;244x x -+ .A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.05泰州下列运算正确的是 .A ．a 2＋a 3=a 5B ．－2x 3=－2x 3C ．a －b －a ＋b=－a 2－2ab －b 2D 2832=5.05无锡下列各式中;与y x 2是同类项的是a 2＝aa ≥0A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.05武汉若a ≤1;则化简后为 . A.B. C. D. 7.05绵阳52-时;52-3(52)(52)(52)+-+52乙的解法是：52-(52)(52)52+--52;以下判断正确的是 .A.甲的解法正确;乙的解法不正确B.甲的解法不正确;乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.05杭州设32,23,52a b c ==-=;则,,a b c 的大小关系是: .A a b c >>B a c b >>C c b a >>D b c a >>9.05丰台4的平方根是 .A.8B.2C.±2D.±210.05北京下列根式中;与3是同类二次根式的是 . A.24 B.12 C.32 D.1811.05南平下列各组数中;相等的是 .A.-13和1B.-12和-1C.|-1|和-1D.2(1)-和112.05宁德下列计算正确的是.A 、x 2·x 3＝x 6B 、2a 32＝4a 6C 、a －12＝a 2－1D 、＝±213.05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.05黄岗已知y x ,为实数;且()02312=-+-y x ;则y x -的值为. A ．3 B ．–3 C ．1 D ．–115.05湘潭下列算式中;你认为错误的是.A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C 21-2．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.05连云港计算：)13)(13(-+=．2.05南京10在两个连续整数a 和b 之间;a<10<b;那么a;b 的值分别是..3.05上海计算：)2121＝ 4.05嘉兴a ab b 5.05丽水当a ≥0时;23a =．6.05南平=.7.05漳州观察分析数据;…;第n 个数.8.05曲靖在实数-2;31;0;-1.2;2中;无理数是． 9.05黄石若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式;则ab =．10.05太原将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化;制成一个大正方体铝块;这个大正方体的棱长为．不计损耗11.05黄岗立方等于–64的数是..12.05梅山2＝． 13.05湘潭计算：+―=．三、解答题 1、05连云港2(2+．2、05青岛计算：2251220+⎪⎭⎫ ⎝⎛--． 3.05苏州不使用计算器;)11212-÷+ 4.05温州计算：;5.05丰台计算：1218-- 6.05曲靖计算：1-+3.14-π0-；7.05玉林18)21(1221+--- 8.05泉州先化简下面的代数式;再求值：)1(2)2)(2(++-+x x x ;其中2=x9.05梅山已知：y ＜3;化简：13y +－110.05黄石计算：0232)17()2(27)21(|5|-----++-- 11.计算：210(2)(1---12.计算：13-0+31-1-2)5(--|-1| 13.05台州我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”;即已知三角形的三边长;求它的面积．用现代式子表示即为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241c b a b a s ……①其中a 、b 、c 为三角形的三边长;s 为面积.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②其中2c b a p ++=. ⑴若已知三角形的三边长分别为5、7、8;试分别运用公式①和公式②;计算该三角形的面积s ；⑵你能否由公式①推导出公式② 请试试.练习：一、选择题1、下列判断⑴和不是同类二次根式；⑵和不是同类二次根式；⑶与不是同类二次根式;其中错误的个数是A 、3B 、2C 、1D 、02、如果a 是任意实数;下列各式中一定有意义的是A 、B 、C 、D 、3、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是A 、5和3B 、和C 、和D 、和4、下列二次根式中;是最简二次根式的是A 、B 、C 、D 、5、在、、中与是同类二次根式的个数是A 、0B 、1C 、2D 、36、计算： ⑴)36)(16(3--⋅-；⑵521312321⨯÷；⑶；4375-12532272-+ 5)21218(3+-⨯6xx x x 1246932-+ 7.你见过像324-;625-等这样的根式吗 这一类根式叫做复合二次根式;有一些复合二次根式可以化简..如()1313113233242-=-=+⨯-=- ⑴、请用上述方法化简625+；⑵、请自已编一道有上述特点的复合二次根式并化简； ⑶、思考：你会化简154+吗 请试一试..练习1..1．下列各式属于最简二次根式的是 A 、12+x B 、32y x C 、12D 、5.02、下列各组二次根式中;是同类二次根式的是 A 、122与B 、183与C 、182与D 、93与3、式子21+-x x 的取值范围是A 、x ≥1；B 、x>1且x ≠-2；C 、x ≠-2；D 、x ≥1且X ≠-2 4、10的整数部分是x;小数部分是y;则yx+10的值是A 、1B 、2C 、3D 、45、把-33a 根号外的因式移到根号内;所得的结果正确的是A 、-aB 、-a -C 、-a 3D 、a 36、若a<0;则|－a|的值是A 、0B 、2aC 、2a 或－2aD 、－2a7、把a －1根号外的因式移入根号内;其结果是A 、B 、－C 、D 、－8、若与是同类二次根式;则a 、b 的值为A 、a=2、b=2B 、a=2、b=0C 、a=1、b=1D 、a=0、b=2或a=1、b=19、下列说法错误的是A 、－22的算术平方根是2B 、－的倒数是+C 、当2<x<3时;;=D 、方程+2=0无解10、若+与－互为倒数;则A 、a=b －1B 、a=b+1C 、a+b=1D 、a+b=－111、若0<a<1;则－2÷1+×可化简为A 、B 、C 、1－a 2D 、a 2－1二、填空题1、要使;x+3+－x 0有意义;则x 的取值范围是..2、若=2;则a 的取值范围是..3、若=－x;则x 的取值范围是..4、观察下列各式：=2;=3;=4;……请你将猜想到的规律用含自然数nn≥1的代数式表示出来是..5、若a>0;化简=..6、若o<x<1;化简2+4－2－4=.7、化简：||－1|－2|=..8、在实数范围内分解因式：x 4+x 2－6=.四、化简求值1、已知x=+1;－1;y=－1;+1;求x 2－y 2的值..2、已知x=2+;y=2－;求+;－－－;＋的值..五、已知x ＋=4;求x －的值..练习2..认真填一填3*12=361、3的同类二次根式是写出一个即可2、当x 时;根式1-x 有意义..3、在实数范围内;因式分解a 2–3=4、化简：=8;=971; 5、如果化简后的二次根式—7535321-+x x 与是同类二次根式;则x= 6、12)12(-=;2若a >b;则2)(a b -=7、如果5-a +2-b =0;那么以a;b 为边长的等腰三角形的周长是8、在ΔABC 中;a;b;c 为三角形的三边;则b a c c b a ---+-2)(2=9、计算：20072007)154()415-⋅+=10、小明和小芳在解答题目：“先化简下式;再求值：a+221a a +-;其中a=9”时;得出了不同答案;小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+1-a=1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17..则的解答错误;错误的原因是..11、观察思考下列计算过程：∵112=121;∴121=11;∵1112=12321; ∴12321=111..猜想：11234565432=12、观察下列各式：514513;413412;312311=+=+=+……;请你将猜想到的规律用含有自然数aa ≥1的代数式表达出来..一、选择题每小题3分;共39分1．若m -3为二次根式;则m 的取值为A ．m≤3B ．m ＜3C ．m≥3D ．m ＞32．下列式子中二次根式的个数有 ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(-；⑹)1(1>-x x ；⑺322++x x . A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．当22-+a a 有意义时;a 的取值范围是A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－24．下列计算正确的是 ①694)9)(4(=-⋅-=--；②694)9)(4(=⋅=--； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．化简二次根式3)5(2⨯-得A ．35-B ．35C ．35±D ．306．对于二次根式92+x ;以下说法不正确的是A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是37．把ab a123化去分母中的根号后得A ．b 4B ．b 2C ．b 21D ．b b 28;则正整数n 的最小值是A ．4；B ．5；C ．6；D ．79．下列二次根式中;最简二次根式是A ．23aB ．31C ．5.2D ．22b a - 10．计算：ab ab b a 1⋅÷等于 A ．ab ab 21B ．ab ab 1C ．ab b1D ．ab b 11．计算(231⎛++ ⎝2)12(23b a b b a ÷⋅。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式知识归纳
二次根式知识归纳一、知识结构图二、重点梳理（一）二次根式的有关概念1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．事实上a（a≥0）表示非负数a的算术平方根（正数a的正的平方根叫做正数a的算术平方根。
零的算术平方根是零）2．满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如2.等不是最简二次根式. 3．几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式..4．把分母中的根号化去叫做分母有理化．常用的有理化因式：（1（2）a+a-（3）a+a-1+；2+2-.（二）二次根式的主要性质（1）a（a≥0）是一个非负数，即a≥0（a≥0）；（2）(a)2=a (a≥0)；（3a==(0)(0)a aa a≥-<；（4）二次根式的乘法法则：(0,0)a b ⇔≥≥（5）(0,0)a b⇔≥>（三）二次根式的运算（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）。
（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变。
三、特别关注1. 注意二次根式a 的双重非负性，a 它表示非负数a 的算术平方根.：(1)被开方数a 必须是非负数. (2) a 的结果是非负数. 即a ≥0（a ≥0）.2．注意二次根式的乘除法则的使用条件，及会逆用乘除法法则对二次根式进行化简即0,0.a b ⇔≥≥，0,0,a b ⇔≥>中，因为分母为零时，分式无意义。
3．二次根式的加减的关键就是合并同类二次根式.为判断同类二次根式应先将二次根式化简，二次根式运算的结果也应尽可能化简.4．在进行二次根式的混合运算时，要注意充分运用有理数（或式）的运算律、运算法则、乘法公式及借助有理式运算中的分解因式、通分、约分等方法，简化运算过程，提高运算速度。
二次根式知识点归纳
第十六章二次根式知识点归纳
一、形如 Ja （a 三0）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、 分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a 三0是
a 为二次根式的前提条件，
二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“ "”；
第二，被开方数是正数或0。
二、取值范围:
三、二次根 J a （a 三0）的双重非负性:
1、 被开方数a 三0非负。
2、 x a 的值非负。
四、二次根式的化简
1、 二次根式 \ a 有意义的条件：a 三0.
2、 二次根式 Ja 无意义的条件：a < 0.
3、 二次根式 \ a 值为0的条件：a=0 .
4、 式子 有意义的条件：a > 0.
5、 式子
有意义的条件：b >0,且0 .
6、 式子
、•、b 爲 有意义的条件：b > 0,且a > 0 .
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.
「a （a是正数）
Va2= 1 a 1=斗0 （a 是0）
--a （a是负数）
2、廿：0）.
3、被开方数是乘积用
4、被开方数是商的形式用
5、分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘
以分母根号本身。
构成a2化去分母中的根号。
五、最简二次根式应满足的条件：
（1 ）被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如仁.）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以匚二丨是仁为二次根式的前提条件，如门，∖i ' ，等是二次根式，而辰，y∣-x-l等都不是二次根知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，二；有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时，仁没有意义。
知识点三：二次根式化I）的非负性仁（匚二I）表示a的算术平方根，也就是说，仁（匚二I ）是一个非负数，即仁二O （ = _ I ）。
注：因为二次根式仁（「：_ .∣）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，O的算术平方根是0,所以非负数（「：_.）的算术平方根是非负数，即■'-：上0^|），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若丄V ,则a=0,b=0 ;若S L' '■;" r,贝Ua=0,b=0 ;若-Jl-■- ÷∙-' ：J I,则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（仁）*的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
知识点五：二次根式的性质知识点六：V：'1与「的异同点1、不同点:与= 表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方，而二表示一个实数a的平方的算术平方根；在'x-1''中匸二1，而中a可以是正实数，0,负实数。
但\-.：|；'与都是非负数，即J"；」，" H。
因而它的运算的结果是有差别的■山，2、相同点：当被开方数都是非负数，即一丨时，■」£「；时，A「无意义，而=-■.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面•（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算•【例题精选】二次根式有意义的条件：例1:求下列各式有意义的所有X的取值范围O 3 - 2x；2)x T；⑶____ 3解：（1）要使∙∙3-2X有意义，必须3-2x_ 0,由3-2x_0得x_?， .当X空？时，,ab =、. a ∙ b (a≥0 b≥0 ；式子..、3-2X在实数范围内有意义。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1.二次根式的概念二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义.2. 二次根式的性质1. 非负性：心心-。
）是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2 （掐）2 =a（a H0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0）—:a(a^0)v a = a = *I—a(a<0)3.注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算分母有理化1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a.b 与 a - - b , a • b 与• a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
、ab = . a .. b(a _0, b _ 0)2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质1。
非负性:)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意:（1）字母不一定是正数． (2）能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算--分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定,如：与，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -,b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。
二次根式的知识点的总结
二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。
在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。
下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。
简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。
2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。
（3）非负实数a的平方根的平方等于a。
即$(\sqrt{a})^2=a$。
（4）非负实数的平方根存在且非负。
即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。
即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。
（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。
2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。
如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。
三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。
二次根式数学知识点(8篇)
二次根式数学知识点(8篇)二次根式数学知识点1知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1)(x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。
知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。
注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式(a)的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a(a若a是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a(a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结一、定义二次根式是指形如 $a\sqrt{x}$ 的数，其中 $a$ 为实数，$x\geq 0$ 为非负实数。
二、化简方法1.去掉根号下的完全平方因式。
如$\sqrt{16x^2}=4x\sqrt{x}$。
2.去掉根号下的分数。
如$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。
3.化简分数。
如$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt {2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}}{8}$。
4.乘法公式。
如 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$。
5.加法公式。
如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 不能化简，但可以化简 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$，即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
6.配方法。
（1）平方配方法：如 $a+b\sqrt{c}$ 和$d+e\sqrt{c}$ 相乘，则$(a+b\sqrt{c})(d+e\sqrt{c})=(ad+2be\sqrt{c}+ce\sqrt{c} )$。
（2）凑平方法：如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$，则$a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$。
三、运算方法1.加减法。
只有当两个二次根式的根号下相同时才能进行加减法，如 $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
2.乘法。
二次根式的乘法可以直接使用乘法公式进行计算。
3.除法。
二次根式的除法不能直接计算，需要使用有理化分母的方法。
具体做法是，将被除二次根式的分母有理化，使其变为整数，然后分子和分母同除以变形后分母的根号下的值。
四、解二次根式的应用1.求两个数之间的距离。
2.计算房屋面积和体积。
3.计算几何形体的周长和面积。
4.解某些数学问题的过程中。
二次根式知识点总结
二次根式【知识点回顾】 一、概念：1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
“”叫二次根号，根指数为2，a叫被开方数。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含小数或分数线； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
问:同类二次根式被开方数一定相同吗？二、二次根式的性质：（1）双重非负性 a ≥0，a ≥0（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2三、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，找同类二次根式，合并同类a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）二次根式。
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。
ab =a ·b （a≥0，b≥0）；b ba a=（b≥0，a>0）． 二次根式的乘法公式和除法公式返过来可以对二次根式进行化简。
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）42-x （2）m1 （3）421-x （4）21-+x x （5）21++x x（6）x x --+21例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的;式子a a ≥ 0 叫做二次根式..其中“”叫做二次根号;二次根号下的a 叫做被开方数.. 性质：1、a a ≥0是一个非负数．即a ≥02、2a ＝│a │即a ≥0;等于a;a<0;等于-a3、 4a ·b＝ab ．a ≥0;b ≥0反过来: ab =a ·b a ≥0;b ≥05、ab=a b a ≥0;b>0 反过来;a b =a ba ≥0;b>0 6、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式;叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同;这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2;算术平方根为2；②4=2;二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.05宜昌化简20的结果是 .A. 25B.52C. 210.D.54 2.05南京9的算术平方根是 .A.-3B.3C.± 3D.81 3.05南通已知2x <;244x x -+ .A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.05泰州下列运算正确的是 .A ．a 2＋a 3=a 5B ．－2x 3=－2x 3C ．a －b －a ＋b=－a 2－2ab －b 2D 2832=5.05无锡下列各式中;与y x 2是同类项的是a 2＝aa ≥0A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.05武汉若a ≤1;则化简后为 .A.B. C.D.7.05绵阳化简52-时;甲的解法是：52-=3(52)(52)(52)+-+=52;乙的解法是：52-(52)(52)52+--52;以下判断正确的是 .A. 甲的解法正确;乙的解法不正确B. 甲的解法不正确;乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.05杭州设32,23,52a b c ===;则,,a b c 的大小关系是: .A a b c >>B a c b >>C c b a >>D b c a >> 9.05丰台4的平方根是 . A. 8B. 2C. ±2D. ±210.05北京下列根式中;与3是同类二次根式的是 .A.24B.12C.32D.1811.05南平下列各组数中;相等的是 .A.-13和1B.-12和-1C.|-1|和-1 2(1)- 1 12.05宁德下列计算正确的是 .A 、x 2·x 3＝x 6B 、2a 32＝4a 6C 、a －12＝a 2－1D 、错误!＝±2 13.05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有 .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.05黄岗已知y x ,为实数;且()02312=-+-y x ;则y x -的值为 .A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.05湘潭下列算式中;你认为错误的是 . A ．aa b++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C 21-2 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.05连云港计算：)13)(13(-+= ．2.05南京10在两个连续整数a 和b 之间;a<10<b; 那么a ; b 的值分别是 ..3.05上海计算：)2121＝4.05嘉兴a ab b5.05丽水当a ≥0时;23a = ．6.05南平= .7.05漳州观察分析数据;…; 第n 个数. 8.05曲靖在实数-2;31;0;-1.2;2中;无理数是 ． 9.05黄石若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式;则ab = ． 10.05太原将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化;制成一个大正方体铝 块;这个大正方体的棱长为 ．不计损耗 11.05黄岗立方等于– 64的数是 .. 12.05梅山2＝ ． 13.05湘潭计算：+―= ．三、解答题 1、05连云港计算2(2． 2、05青岛计算：2251220+⎪⎭⎫⎝⎛--． 3.05苏州不使用计算器;)11212-÷+-4.05温州计算：错误!;5.05丰台计算：1218-- 6.05曲靖计算：错误!1-+3.14-π0- 错误!；7.05玉林18)21(1221+--- 8.05泉州先化简下面的代数式;再求值：)1(2)2)(2(++-+x x x ;其中2=x9.05梅山已知：y ＜3;化简：13y +－110.05黄石计算：0232)17()2(27)21(|5|-----++--11.计算：210(2)(1--- 12.计算：13-0+31-1-2)5(--|-1| 13.05台州我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”;即已知三角形的三边长;求它的面积．用现代式子表示即为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=222222241c b a b a s ……①其中a 、b 、c 为三角形的三边长;s 为面积.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---= ……②其中2cb a p ++=. ⑴ 若已知三角形的三边长分别为5、7、8;试分别运用公式①和公式②; 计算该三角形的面积s ； ⑵ 你能否由公式①推导出公式② 请试试.练习： 一、选择题1、下列判断⑴错误!和错误!不是同类二次根式；⑵错误!和错误!不是同类二次根式；⑶错误!与错误!不是同类二次根式;其中错误的个数是 A 、3 B 、2 C 、1 D 、02、如果a 是任意实数;下列各式中一定有意义的是 A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误!3、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是A 、5错误!和3错误!B 、错误!和错误!C 、错误!和错误!D 、错误!和错误! 4、下列二次根式中;是最简二次根式的是 A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误!5、在错误!、错误!、错误!中与错误!是同类二次根式的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、计算：⑴)36)(16(3--⋅-； ⑵521312321⨯÷；⑶； 4375-12532272-+ 5)21218(3+-⨯ 6xx x x 1246932-+ 7. 你见过像324-;625-等这样的根式吗 这一类根式叫做复合二次根式;有一些复合二次根式可以化简.. 如()1313113233242-=-=+⨯-=-⑴、请用上述方法化简625+；⑵、请自已编一道有上述特点的复合二次根式并化简； ⑶、思考：你会化简154+吗 请试一试..练习1..1．下列各式属于最简二次根式的是A 、12+xB 、32y xC 、12D 、5.0 2、下列各组二次根式中;是同类二次根式的是A 、122与B 、183与C 、182与D 、93与 3、式子21+-x x 的取值范围是A 、x ≥1 ；B 、x>1且x ≠-2；C 、x ≠-2；D 、x ≥1 且 X ≠-2 4、10的整数部分是x;小数部分是y;则yx+10的值是A 、1B 、2C 、3D 、4 5、把-33a根号外的因式移到根号内;所得的结果正确的是 A 、-aB 、-a -C 、-a 3D 、a 36、若a<0;则|错误!－a|的值是A 、0B 、2aC 、2a 或－2aD 、－2a7、把a －1 错误!根号外的因式移入根号内;其结果是 A 、错误! B 、－错误! C 、错误! D 、－错误!8、若错误!与错误!是同类二次根式;则a 、b 的值为A 、a=2、b=2B 、a=2、b=0C 、a=1、b=1D 、a=0、b=2 或a=1、b=1 9、下列说法错误的是A 、－22的算术平方根是2B 、错误!－错误!的倒数是错误!+错误!C 、当2<x<3时;错误!= 错误!D 、方程错误!+2=0无解 10、若错误!+错误!与错误!－错误!互为倒数;则 A 、a=b －1 B 、a=b+1 C 、a+b=1 D 、a+b=－1 11、若0<a<1;则错误!÷1+错误!×错误!可化简为 A 、错误! B 、错误! C 、1－a 2 D 、a 2－1 二、填空题1、要使错误!+－x 0有意义;则x 的取值范围是 ..2、若错误!=错误!2;则a 的取值范围是 ..3、若错误!=－x 错误!;则x 的取值范围是 ..4、观察下列各式：错误!=2错误!;错误!=3错误!;错误!=4错误!;……请你将猜想到的规律用含自然数nn≥1的代数式表示出来是 ..5、若a>0;化简错误!= ..6、若o<x<1;化简错误!－错误!= .7、化简：||错误!－1|－2|= ..8、在实数范围内分解因式：x 4+x 2－6= . 四、化简求值1、已知x= 错误!;y= 错误!;求x 2－y 2的值..2、已知x=2+错误!;y=2－错误!;求错误!－ 错误!的值.. 五、已知x ＋错误!=4;求x －错误!的值.. 练习2..认真填一填3*12=361、3的同类二次根式是 写出一个即可2、当x 时;根式1-x 有意义..3、在实数范围内;因式分解a 2 – 3 =4、化简：=8 ;=971;5、如果化简后的二次根式 —7535321-+x x 与 是同类二次根式;则x= 6、12)12(-= ;2若a >b;则 2)(a b - = 7、如果5-a +2-b = 0;那么以a;b 为边长的等腰三角形的周长是 8、在ΔABC 中;a;b;c 为三角形的三边;则b a c c b a ---+-2)(2= 9、计算：20072007)154()415-⋅+=10、小明和小芳在解答题目：“先化简下式;再求值：a+221a a +-;其中a=9”时;得出了不同答案;小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+1-a= 1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17..则 的解答错误;错误的原因是 .. 11、观察思考下列计算过程：∵112=121;∴121=11;∵1112=12321;∴12321=111.. 猜想：11234565432= 12、观察下列各式：514513;413412;312311=+=+=+……;请你将猜想到的规律用含有自然数aa ≥1的代数式表达出来 ..一、选择题每小题3分;共39分1．若m -3为二次根式;则m 的取值为A ．m≤3B ．m ＜3C ．m≥3D ．m ＞32．下列式子中二次根式的个数有 ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(-；⑹)1(1>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．当22-+a a 有意义时;a 的取值范围是A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－24．下列计算正确的是①694)9)(4(=-⋅-=--；②694)9)(4(=⋅=--； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．化简二次根式3)5(2⨯-得A ．35-B ．35C ．35±D ．306．对于二次根式92+x ;以下说法不正确的是A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是37．把aba 123化去分母中的根号后得A ．b 4B ．b 2C ．b 21D ． b b 28;则正整数n 的最小值是A ．4；B ．5；C ．6；D ．79．下列二次根式中;最简二次根式是A ．23aB ．31C ．5.2D ．22b a - 10．计算：abab b a 1⋅÷等于 A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b1D ．ab b 11．计算(231⎛++ ⎝2)12(23b a b b a ÷⋅。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。
下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。
2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。
3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。
即√a ± √b = √a ±√b。
- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。
- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。
4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。
例如：3√2 + 2√2 = 5√2。
- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。
5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。
- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。
- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。
7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。
- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。
以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。
二次根式知识点整理
二次根式知识点整理
二次根式是高中数学中重要的内容之一。
下面是二次根式的一些知识点整理：
1. 二次根式的定义：形如√a的表示形式，其中a是一个非负实数，被称为二次根式的被开方数。
2. 约束条件：被开方数a必须是非负实数，即a ≥ 0，否则二次根式无意义。
3. 二次根式的化简：当被开方数具备某些特殊性质时，可以对二次根式进行化简。
√4 = 2，√(a^2) = |a|，其中a是任意实数。
4. 二次根式的运算：二次根式可以进行加减乘除的运算。
√a + √b = √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)，(√a) * (√b) = √(a * b)，√a / √b = √(a / b) (当b ≠ 0时)。
6. 二次根式的乘法公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。
这个公式在二次根式的乘法中非常有用。
7. 二次根式的分母有理化：当二次根式出现在分母中时，需要进行有理化处理。
分
母为√a的有理化形式是√a / (√a * (√a)) =√a / a = 1 / √a。
8. 利用二次根式进行方程求解：二次根式可以用来解决一些特殊的方程，特别是含
有根号的一元二次方程。
9. 二次根式的应用：二次根式在物理学、几何学、工程学等领域中有广泛的应用，
如计算物体的体积、计算三角形的面积等。
以上是关于二次根式的一些基本知识点整理，希望对您有帮助。
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《二次根式》知识梳理
本章的知识结构框图：
一、二次根式的概念
1．代数式)0(≥a a 叫二次根式，a m 也是。
2．二次根式有意义的条件：0≥a 3．训练题型
设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）
x 231- （2）x 2
- （3）122+-x x （4）4
1--x x 二、二次根式的性质
1．性质
性质1
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==).0(),0(0),0(2a ＜a a a ＞a a
性质2
()
()02
≥=a a a
性质3 ()0,0≥≥⋅=
b a b a ab
性质4
()0,0〉≥=
b a b
a
b a 2．训练题型
利用二次根式的性质进行计算或化简，例：
（1）72，41 （2）()0182
≥x x （3）3a （4）()092〉b a
b
（5）
()23π- （6）
()
3,122-=+-x x x
3、常见问题和解决技巧
（1）重要公式不理解
被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。
口诀化方法解决：去帽子，套棍子。
（2）化简二次根式不熟练
在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。
强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。
化简顺序：从数字到字母。
（3）化去根号内的分母时结果错位
解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用
再分母有理化
三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义
（1）被开方数中各因式的指数都为1；
（2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。
“因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
3．训练题型
()⎩⎨
⎧≤-≥==)0(02a a a a a a x x x x 222=x x x
x x 22=x x x x x x 22222⋅=⋅=x x x =2=
⋅=x 2
x x 2x
例题1 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
;
)4(24)3(42)2(;3
5)
1(23
b a x a a +
（5）)1()12(32-≥++a a a
例题2 将下列二次根式化成最简二次根式：
);
0()2();
0(4)1(23〉〉-+〉n m n m n
m y y x )0b a ()b a )(b a ()3(22≥≥+-
例题3 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
)
0(),0(2,,27
1,
24,12334〉-〉a ab a b a b a
例题4 合并下列各式中的同类二次根式：
;323
1
32122)1(++-
xy b xy a xy +-3)2(
4．常见问题和解决技巧
解系数是无理数的方程或不等式时不会合并同类项 强化训练找系数，如
解系数是无理数不等式，系数化成1时，忘记判断系数是正数还是负数，不等号该不该变号。
四、二次根式的计算
1．二次根式的加法和减法
二次根式相加减的一般过程是：先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。
训练题型
022)23(=--x x x 5323=-x x 5323≥-
例题1 计算：
例题2 计算：
例题3 解不等式：2x+
9
5445-〉x 2． 二次根式的乘法和除法
利用上述性质,可进行二次根式的乘除.
二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.
两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变
注：一般情况下，先将被开方数相乘、除，然后再化简。
训练题型 例题1 计算:
例题2 计算:
3．分母有理化
（1）定义 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。
（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的） 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。
有理化因式不唯一
（2）有理化因式
①形如 a 的有理化因式 是它本身及它的倍数，不唯一； ②形如b n a m +的有理化因式 构造平方差公式结构； 分母有理化
类似b a b a +
+,的有理化因式分别为b a b a -+,，注意它们的区别。
（3）有理化方法
①分子分母同乘以有理化因式 。
强调：分子不要急于运用乘法分配律，先观察分子分母能否约分。
如：
②利用因式分解的知识将m-n 写成(
)
n m )n m (+- 的形式,绝对不能讲成将
m-n 分解因式。
如
4．二次根式的计算可操作化的问题
（1）纯加减法：先化简，再加减（再合并）。
例
（2）纯乘除法：先乘除，再化简 选取课外例题
对于全乘除法在新教材中有两种计算法：
33
13241354233222)758
1
()3125.0(+=+--=
+--b
ab
b a b a b b a 363232)0(32==
÷=>÷66
3
1232122122=
⨯⨯==
÷()
x
y x x xy x y x x x
y x y xy x x
y x y xy x
322322
32
232
2·22·31283
128===⨯
÷⨯÷=⨯÷n m n m n m n m n m n m n m n m n m -+-=+-+-=--)
)(()
)(())((n
m n m n m n
m n m --+=
--))((
前一种方法是先利用公式，再用分数与除法的关系，最后化简根式。
而后一种方法先利用分数与除法的关系，再分母有理化，往往第二种方法正确率更高。
（3）混合运算：
①仅乘法与加减法的混合运算：
乘法分配率
②除以类单项式的二次根式：
乘法分配率 ③除以类多项式的二次根式： 化为分式形式，再分母有理化
④除以类分式的二次根式的和：
通常先通分，算括号内的，再转化为乘法，写成分式形式，然后通过分母有理化进行运算。
以上方法仅是常用方法，并非绝对方法。
计算时主导思想仍是化繁为简，合理运用运算率与分母有理化。
5．典型例题训练
例题1 把下列各式分母有理化：
（1）
1
33+； （2）
2
3341+；
（3）).(n m n
m n m ≠+-
例题2 计算：
......
6·356·278
6·35278=-=⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-......321·3253·32321·3553·35321533235=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-......5535155553155=÷+÷=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+()()
(6)
62
332662332=-+=-÷+ =+÷=+÷=+÷6
323)6362(3)2131(3
.
1111
)
2(;1
545
10)1(2
2
x
x x
x +-+
++--
例题3 已知2
231
+=x ，求32
62-+-x x x 的值.
例题4 解不等式：x 33x 2〈-
例题5 将下列各式分母有理化：
例题6 讨论：如何将下列各式分母有理化：。