加法原理与乘法原理

加法原理与乘法原理

教学内容: 思维训练内容《加法原理与乘法原理》。

教学目标：

（1）知识教学目标：理解和掌握加法原理和乘法原理。

（2）能力训练目标：通过分析、探究将现实情景问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决。

（3）情感、态度、价值观目标：通过对问题的解决激发学生的学习兴趣，感受数学与生活的密切联系

教学过程：

（一）加法原理

如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。

例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法

（二）乘法原理

如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。

例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？

解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。

选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法

选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法

选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法

单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数

二、加法原理和乘法原理的区别

什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。

三、加乘法原理的综合应用

有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。

例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3

条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？

解析：从甲地到丙地共有两大类不同的走法：可以直接从甲地到丙地，也可以从甲地先到乙地再到丙地，选择任何一类方法，都可以从甲地到丙地，符合加法原理；而在第二类方法中（即从甲地先到乙地再到丙地），又分两步完成：第一步从甲地先到乙地，有4种走法，第二步再从乙地到丙地，有2种走法，这里的任何一种方法都不能完成从甲地到丙地这件事，符合乘法原理，这时共有4×2=8种走法。

所以从甲地到丙地总的走法=第一类方法+第二类方法

=3+4×2=11（种）

四、加法原理和乘法原理的应用

例1．（数字排列问题）用数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解析：组成一个三位数，要分三个步骤，先选百位数，再选十位数，最后选个位数，使用乘法原理

5×4×3=60（个）

例2．（数字排列问题）一种电子表6点24分30秒时，显示数字是：6:2430，那么从8点到9点这段时间里，此表5个数字都不相同的情况一共有多少种？

解析：在8点到9点间，电子表的第一位数字肯定8，在这段时间内是固定不变的，可以不考虑；第2位和第4位的取值范围只能是0、1、2、3、4、5，第3位和第5位只能从0、1、2、3、4、5、6、7、9。题中要求5个数字各不相同。所以我们要分开来考虑：

①第2位到第5位只取0----5中的数，有6×5×4×3=360种情况

②第2位和第4位只取0---5中的数，而第3位和第5位只取6、7、9中的数，有6×5×3×2=180种情况

③第2位、第3位和第4位只取0---5中的数，第5位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况

④第2位、第4位和第5位只取0---5中的数，第3位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况

所以，此表在8到9点间5个数字不同的情况共有：360+180+360+360=1260种

例3．（数字排列问题）从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？

解析：在一位数前面添两个零，如把2写成002；在两位数前面添一个零，如把12写成012，这样，1—400中的数全成了“三位数”了，除去数字400外，考虑不含数字“3”的这样的“三位数”的个数，分三步考虑：百位、十位、个位上不含数字“3”，符合乘法原理。百位上可取0、1、2，有三种取法；十位上都可取0、1、2、4、5、6、7、8、9，有9种取法；个位与十位情况一样，也有9种取法。根据乘法原理，这样的数有：3×9×9=243（个）。数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数“400”，所以不含数字“3”的自然数有：243-1+1=243（个）；（提示：这243个数中，有首位是“0”的，把“0”删掉，就成了一位数和两位数，不影响最后的个数。）

例4．（站队排列问题）有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？

解析：6人中任何一位的位置换了，就是一种站法。把这6个位置用字母表示为：A、B、C、D、E、F。要排成一排，要分六步，依次排A、B、C、D、E、F这六个位置，使用乘法原理；A位置中有6种站法，B位置中就只剩5种站法、、、、、如此下去，F位置上就只剩1种站法，根据乘法原理，总的站法是：6×5×4×3×2×1=720种不同的站法

思考：看看下题与例4有何区别，又如何解答