勾股定理培优讲义

讲义五：《勾股定理》专题讲义

老师寄语：我们很平凡，但我们永不平庸，我们要作永远的进步者，我们会用

行动证明一切，只要有蓝天的呼吸，我们就不能放弃奋飞的翅膀！考点·方法：

1．会用勾股定理解决简单问题.

2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.

经典·考题：

【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.

若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )

A ．13

B ．26

C ．47

D ．94

【解法指导】观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．

【变式练习】

01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋

S 3＋S 4＝______.

03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠

ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点

勾股定理及其逆定理培优辅导

2014.3.8

一、勾股定理及其逆定理的推广：

1、直角三角形△ABC 三边a,b,c 为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，探究1s 、2s 、3s 之间的关系。

2、如上题图，△ABC 三边a,b,c 为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若1s =2s +3s 成立，判断△ABC 的形状。

二、两个特殊的三角形：

1、直角三角形△ABC 中，οο30,90=∠=∠A C

（1）如果求它的两条直角边长；,32=AB

（2）如果求它的另外两条边长；,2=BC

（3）如果求它的另外两条边长；,2=AB

2、直角三角形△ABC 中，οο45,90=∠=∠A C

（1）如果求它的两条直角边长；,32=AB

（2）如果求它的另外两条边长；,2=BC

（3）如果求它的另外两条边长；,2=AB

1s 2s 2s 1s 3s 3s

专题：折叠问题

例1 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？

例2．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．

练习： 1、（2010年江西南昌中考）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处；

（1）求证：B E BF '=；

（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并给予证明．

勾股定理培优

<勾股定理 >复习培优

1．勾股定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .

即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为 c ，那么一定有 .

勾股定理表达式的常见变形：a 2＝c 2－b 2, b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.

勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a 、b(且a ＞b)，那么，当第三边c 是斜边时，c ＝；当a 是斜边时，第三边c ＝

2．勾股定理的验证

据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：

如图14－1，以a 、b 为直角边(b>a)、以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .

把这四个直角三角形拼成如图14－1所示的正方形ABCD ，它是一个边长为c 的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH 是一个边长为的正方形，它的面积等于 .

∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，

∴4×12

ab ＋(b －a)2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝c 2.

3．勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：a 2＋b 2＝，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：

(1)确定最大边；

(2)算出最大边的平方与另两边的；

(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是三角形．

到目前为止判定直角三角形的方法有：

初中数学几何培优第十讲：勾股定理有关的计算

知识解读

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边.

典例示范

一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想

例1直角三角形的两直角边长的比是3:4，斜边长是25，则它的两直角边长分别是_______

【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为3k和4k，然后根据勾股定理列出关于k的方程。

【技巧点评】

根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。

二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解

例2在△ABC中,AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求BC 的长.

【提示】本题已知条件的三条线段AB，AC和AD，都是从点A出发的，需要分两种情况讨论。

【解答】

【技巧点评】

几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。

三、等腰三角形底边上的高

例3 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD是BC边上的中线，求AD的长.

【提示】由于AD是BC边上的中线，可知AD⊥BC，于是由AB=AC=10，BC=8，利用勾股定理即求.

【解答】

【技巧点评】

等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。

（完整版）第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.doc

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第三讲勾股定理及其应用培优辅导

一、

点击一：勾股定理

勾股定理：．

则 c2=, a2=, b 2 =．

勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3 ，4，5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 勾

股定理的逆定理：．

点击二：学会用拼图法验证勾股定理

如，利用四个如图 1 所示的直角三角形，拼出如图 2 所示的三个图形并证明．

b c

a

（图 1）

图 3

图 2

证明图 2或3．

点击三：在数轴上表示无理数

例在数轴上作出表示10 的点．

点击四：直角三角形边与面积的关系及应用

例已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+ 6，求这个三角形的面积．

点击五：勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；

（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；

（3）用于推导线段平方关系的问题

等．二、【精典题型】

考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中, 若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________ ，斜边的高为

__________．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________ ．

3．已知，如图在ABC中， AB=BC=CA=2cm， AD是边 BC上的高．则① AD的长 _____；

②Δ ABC的面积 _________．

考点二、利用列方程求线段的长

如图，某学校（ A 点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与

勾股定理培优

学科：数学

教学内容：勾股定理

知识精点

1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．勾股定理表达形式：

条件：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．

结论：2

22222222,,a b c b a c c b a =-=-=+． 3．勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．重、难、疑点重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理；（2）会利用勾股定理解决一些实际问题．难点：勾股定理的灵活应用，

疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用．

典例精讲

例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长．

方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边．

解：设第三边长为xcm ，

当x 为斜边长时，由勾股定理得：25432

2

=+=x ，∴x=5cm ．

当4为斜边长时，由勾股定理得：2

2

34+=x ，72

=x ，∴cm x 7=．

方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解．

举一反三以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为

225cm 和212cm ，求第三个正方形的面积．

解：213cm 或2

37cm ．

例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．不变

方法指导：可设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律．

【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理(解析版)

【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理（解析版）

一、知识点

1、历史

三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”

最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出

相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传

2、概念

直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方

例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²

3、勾股数组

概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数

常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）

变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组

4、勾股定理的逆定理

如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形

二、学习目标

1.我能够了解勾股定理的概念。

2.我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。

3.我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。

三、课前练习

1.计算下列各题，并牢牢记住答案。

11²＝12²＝13²＝14²＝

15²＝16²＝17²＝18²＝

19²＝20²＝21²＝22²＝

23²＝24²＝25²＝

【解答】

121144169196

225256289324

361400441484

529576625

2.画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？

【解答】略

四、典型例题

思路点拨

如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三

角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

八年级下期数学培优思维训练勾股定理

八年级下期数学培优思维训练(勾股定理)

八年级下期数学培优思维训练

二、勾股定理

（一）知识梳理：

（二）方法归纳：

（三）范例精讲：

1.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形.

A

2.已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，判断△ABC的形状.

（1）3222230

-=-.

a c

b

c a b

-+-+-=. （2）222244

a a

b ab a

c bc b

（3）222338102426

a b c a b c

+++=++.

3.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D.

求证：AD2 =AC2 +BD2.

D

C

M

4.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD 的面积.

5.已知：如图，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余. 求BD 2+CD 2 的值.

6.如图，有一块矩形塑料模板ABCD ，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合）并在AD 上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.

(精品)暑期培优辅导专题四勾股定理及逆定理的综合

专题四勾股定理及逆定理的综合

【知识概要】

1．勾股定理与逆定理

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法．综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题．

2.直角三角形的性质

(1)角的关系：两锐角互余．

(2)边的关系：勾股定理．

(3)边角关系：

30角所对的直角边等于斜边的一半．

这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用．

3．勾股定理及逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

掌握一些常见的基本图形：

4．折叠的常见基本图形

本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用

【典例探析】

一.勾股定理中方程思想的运用

例1如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。

变式1 如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若AB=3，BC=4,求EC的长。

二、勾股定理中类比思想的运用

例2如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S

1、S

2

、S

3

表示，则不难证明S

1=S

2

+S

3

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S

勾股定理的培优专题

勾股定理培优专题

一、本节基础知识

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

巩固练习：

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)

4．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝_________；

5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．

6．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为________．

7．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

(完整版)八年级数学培优专题讲解《勾股定理》

八年级数学培优专题讲解《勾股定理》

【培优图解】

【技法透析】

勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．

1．勾股定理反逆定理的应用

主要用于计算和证明等．

2．勾股数的推算公式

①若任取两个正整数m、n(m>n)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一组勾股数．

②如果k是大于1的奇数，那么k，

21

2

k-

，

21

2

k+

是一组勾股数．

③如果k是大于2的偶数，那么k，

2

1

2

k⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，

2

1

2

k⎛⎫

+

⎪

⎝⎭

是一组勾股数，

④如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc(n是正整数)也是勾股数．

3．创设勾股定理运用条件

当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．

【名题精讲】

考点1运用勾股定理解有关＂折叠＂问题

例1 如图，折叠长方形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC ＝10 cm，求EC的长．

【切题技巧】由图形易知△ADF≌△AFE，从而AD＝AF，DE＝EF．

先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，

再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的长．

【规范解答】

【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用．

勾股定理培优讲义全

勾股定理知识点汇总

一、基础知识点：

1.

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ―I ;

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为

a ，

b ，斜边为

c ，那么a 2

亠b 2

=c 2

2. 勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 积的和为S =4 -ab c 2

=2ab c 2

大正方形面积为 S =(a - b)^a 2

2ab - b 2

2

所以 a 2

b 2

=c 2

3. 勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系， |它只适用于直角三角形|，对于锐角三角形

和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

4. 勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中，乙C =90，则c f ；a 2

b 2

, b = ；c 2

-a 2

, B

a = c -b

② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题

5. 勾股定理的逆定理

如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2

b 2

c 2

，那么这个三角形是直角三角形，其中

c 为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三

角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2

勾股定理培优

第一章回顾与思考（勾股定理培优）

【课前预习】按自学提纲阅读教材。【学习目标】

1、复习巩固勾股定理及其逆定理的内容；

2、能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。【自学过程】

1、回顾完成以下知识点：

（1）勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方，即：a2+b2=c2。

公式变形：a2 = ； b2= 。（a=22b c - ；22b c b -=；

22b a c +=）

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

（3）满足2

22c b a =+的三个，称为勾股数。

【例题讲解】

1. 已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的周长。

2．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AM 是中线MN ⊥AB ，垂足为N ，试证明：

222AN BN AC -=。

3．一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两连续整数，求这个直角三角形的周长。

4．如果一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，求这个三角形的周长。 5．如图，某同学将一直角三角形纸片折叠，A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？

6．已知：如图，将正方形纸片ABCD

D 落在F 处，若正方形边长为1，求D

E 。

7．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上的任意一点（不与B ，C 重合）。求证：（1）2

2

AB AP BP PC -= （2）2

2

2BP PC AP +=

8．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存？若存在，确定它的三边长，若不存在，说明理由。

培优篇勾股定理

勾股定理和直角三角形全等的判定

知识导引

本讲主要是掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理是直角三角形的性质定理，直角三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，则有2

22c b a =+。勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图形缺乏执教条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造出直角三角形，为勾股定理创造条件。

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判断三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法，利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了一种代数方法解几何问题的思想，即数形结合思想。

勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长度、角的大小；线段与线段。角与角，线段与角间的关系等问题，常常用勾股定理或其逆定理来解决，因此，勾股定理及其应用是中考中考查的重要内容。

典例分析

例1：如图，已知△ABC 三条边AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，AB ＝25cm ，CD ⊥AB ，则 CD ＝。

例2：如图，直角三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开的折痕DE ，求BD 的长。

例2—1：如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求CE 的长。

例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的值。

第一节勾股定理-学而思培优

第一节勾股定理

二、核心纲要

1.勾股定理

如果直角三角形两直角边长分别为a 、b,斜边长为c ，那么.222C b a =+即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

注：(1)如右图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦．

(2)勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形．

(3)为方便应用勾股定理进行计算，常将2

22c b a =+进行如下变形： ;222b c a -=①;222a c b -=②;22b c a -=③;22a c b -=④.2b a c +=⑤

(4)勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： ①已知直角三角形的两边求第三边；

②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的边；

③证明三角形中的某些线段的平方关系；

④作长为n 的线段．

2．勾股定理的证明

勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想．

(1)证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）

右图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b(b>a)，斜边为c ，中间是正方形，且边长为b-a ．

∵ 以c 为边的大正方形的面积为,2c 而4个直角三角形的面积和为,2

14ab ⨯

中间的小正方形的面积为,)(2

a b - .)(2

1422a b ab c -+⨯=∴即.222c b a =+ (2)证法二：邹元治的证明

右图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c ．

讲义五：《勾股定理》专题讲义

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