勾股定理培优讲义
《勾股定理》教师讲义
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
第4课时：勾股定理培优讲义
勾股定理单元复习课教学目标：1、利用面积法分割与重新拼接证明勾股定理；2、勾股定理中的基本图形，以及构造基本图形解决斜三角形、四边形（含特殊角）中的计算问题；3、利用旋转、平移、翻折探究三条或两条线段之间的数量关系；4、勾股定理逆定理与勾股定理结合解题；5、数形结合思想理解2、3；6、如何利用通性通法解决和勾股定理有关的几何探究题；7、勾股定理与方程思想、最短图问题。
教学过程：一、勾股定理的理解运用：1、已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB =3，则图中阴影部分的面积为___________．角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ） A ．13 B ．26 C ．47 D ．943、如图2，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为16，则BE 的长度是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．84、如图，所示，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于( )A.65 B. 95 C. 125 D. 1655、如图所示，在长方形ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF （点A 、B 、E 在同一直线上），连接CF ，则CF 的长度是________.6、已知三角形两边长为6、8，第三边上的中线长为5，则该三角形的面积为_______.A B CF HEEBA B C M N A B C D E F7、点A （1,1）点B （4，-3）则AB=_________.8、直角三角形的两直角边位5,12，则斜边上的高为_________.9、如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=10，将边AD 折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，则折痕AF 的长为_________.10、如图，将△ADF 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90度，得到△ABE ，连结EF ，则下列结论正确的是_______(只填序号)．①△ADF ≌△ABE ②AE ⊥AF ③∠AEF=45° ④四边形AECF 的周长等于ABCD 的周长11、如下图，P 是正三角形ABC 内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得△P ’AB ，则点P 与点P ’之间的距离为 ，∠APB= 。
著名机构初中数学培优讲义勾股定理.第03讲(B级).学生版
内容 基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。
1． 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba2．勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形DCB A（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：知识点睛中考要求勾股定理()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGHGFEH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形 222.a b c ∴+=cb a cba ED CBA如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
例题精讲【例1】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例2】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．【例3】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例4】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例5】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例6】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为CBA【例7】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例8】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例9】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例10】 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ED CBA【例11】 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=o ，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m1.732≈）.DC BAEDCBA【例12】 已知钝角三角形的三边为2、3、4，求该三角形的面积．432ACBD432ACB【例13】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP与BQ 的数量关系并证明你的结论．QPMCBA【例14】 如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．F E C B ADF E CB A【例15】 在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==o 为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=.C BA D'CBA【例16】 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA【例17】 已知Rt ABC ∆斜边AB 的长为5cm 2，两直角边的差为1cm 2，求三角形的周长及斜边上的高.【例18】 如图，ON 是垂直于地面OM 的前面，AB 是一根斜靠在墙面上长为a 的木条，当木条端点A 沿墙面下滑时，B 沿地面向右滑行⑴设木条AB 的中点为P ，试判断木条滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离怎样变化？说明理由 ⑵木条在什么位置时，ABO ∆的面积最大？最大面积为多少？HP N MOBA【例19】 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．GFED CB A【例20】 如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234.....n a a a a ，，，，请求出234a a a ，，的值； （2）根据以上规律写出n a 的表达式．【例21】 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图1n +）的一条腰长为_______________________．【习题1】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.【习题2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．课后作业【习题3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【习题4】如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==o ,则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODC B A EP ODC BA【习题5】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【习题6】在三角形ABC中，已知2AB AC BC ==，边上的高AD ，求边BC 的长【习题7】如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证：222AD AE DE += EDC BA。
第一讲：勾股定理培优
第一讲：勾股定理上课时间：姓名：1,勾股数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
2,观察研究：在直角三角形中，斜边长为c，两条直角边长分别为a、b，那么a2+b2=c2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a2+b2=c2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有的数的规律，把b、c用a 的代数式表示出来，并写出①当a=2n（n为大于等于1的整数）时，b、c的值；②当n=20时，b、c的值．6，8，10 62+82=1028，15，17 82+152=17210，24，26 102+242=26212，35，37 122+352=372… …2n，b，c2n2+b2=c2观察得出表中已有数的规律为：规律：当a奇数2n+1（n为大于1的整数）时，勾股数的规律．例1：给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有那几组？例2：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。
此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。
如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
例3：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？练习：传递老师们在一次“教学研究讨论”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a =b =c =（2）猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？并说明你的猜想。
勾股定理培优讲义
c ba HG FEDC B A b a c b a c ca b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识面汇总之阳早格格创做 一、前提知识面：１．勾股定理：曲角三角形二曲角边的仄圆战等于斜边的仄圆； 表示要领：如果曲角三角形的二曲角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的道明要领很多，罕睹的是拼图的要领 用拼图的要领考证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只消不沉叠，不清闲，里积不会改变②根据共一种图形的里积分歧的表示要领，列出等式，推导出勾股定理罕睹要领如下：要领一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 要领二：四个曲角三角形的里积与小正圆形里积的战等于大正圆形的里积．四个曲角三角形的里积与小正圆形里积的战为221422S ab cab c =⨯+=+ 大正圆形里积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=要领三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c += ３.勾股定理的适用范畴勾股定理掀穿了曲角三角形三条边之间所存留的数量闭系，它只适用于曲角三角形，对付于钝角三角形战钝角三角形的三边便不具备那一特性. ４.勾股定理的应用①已知曲角三角形的任性二边少，供第三边正在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b，a②知讲曲角三角形一边，可得其余二边之间的数量闭系③可使用勾股定理办理一些本质问题如果三角形三边少a ，b ，c 谦脚222ab c +=，那么那个三角形是曲角三角形，其中c 为斜边.① 勾股定理的顺定理是判决一个三角形是可是曲角三角形的一种要害要领，它通过“数转移为形”去决定三角形的大概形状，正在使用那一定理时，可用二小边的仄圆战22a b +与较少边的仄圆2c 做比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是曲角三角形；② 222，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若222，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=不过一种表示形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边少a ，b ，c 谦脚222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是曲角三角形，然而是b 为斜边该定理正在应用时，共教们要注意处理佳如下几个重心：① 已知的条件：某三角形的三条边的少度.②谦脚的条件：最大边的仄圆=最小边的仄圆+中间边的仄圆.③得到的论断：那个三角形是曲角三角形，而且最大边的对付角是曲角. ④如果不谦脚条件，便道明那个三角形不是曲角三角形.谦脚a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数.注意：①勾股数必须是正整数，不克不迭是分数或者小数.②一组勾股数夸大相共的正整数倍后，仍是勾股数.罕睹勾股数有： （3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用勾股定理不妨帮闲咱们办理曲角三角形中的边少的估计或者曲角三角形中线段之间的闭系的道明问题．正在使用勾股定理时，必须掌控曲角三角形的前提条件，相识曲角三角形中，斜边战曲角边各是什么，以便使用勾股定理举止估计，应设法增加辅帮线（常常做垂线），构制曲角三角形，以便精确使用勾股定理举止供解．８.勾股定理顺定理的应用勾股定理的顺定理能帮闲咱们通过三角形三边之间的数量闭系推断一个三角形是可是曲角三角形，正在简曲推算历程中，应用二短边的仄圆战与最少边的仄圆举止比较，切不可不加思索的用二边的仄圆战与第三边的仄圆比较而得到过失的论断．９.勾股定理及其顺定理的应用勾股定理及其顺定理正在办理一些本质问题或者简曲的几许问题中，是稀不可分的一个完齐．常常既要通过顺定理判决一个三角形是曲角三角形，又要用勾股定理供出边的少度，二者相辅相成，完毕对付问题的办理．罕睹图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互顺命题的观念如果一个命题的题设战论断分别是另一个命题的论断战题设，那样的二个命题喊搞互顺命题.如果把其中一个喊搞本命题，那么另一个喊搞它的顺命题.通过道明被确认精确的命题喊搞定理如果一个定理的的顺命题通过道明是精确的，它也是一个定理，称那二个定理互为顺定理考面领会考面一：利用勾股定理供里积1、供阳影部分里积：（1）阳影部分是正圆形；（2）阳影部分是少圆形；（3）阳影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为曲径分别背中做三个半圆，探索索三个半圆的里积之间的闭系．3、如图所示，分别以曲角三角形的三边背中做三个正三角形，其里积分别是S1、S2、S3，则它们之间的闭系是（ ）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，供四边形ABCD 的里积.5、正在曲线上依次晃搁着七个正圆形（如图4所示）.已知斜搁置的三个正圆形的里积分别是1、2、3，正搁置的四个正圆形的里积依次是、=_____________.考面二：正在曲角三角形中，已知二边供第三边1．正在曲角三角形中,若二曲角边的少分别为1cm ，2cm ，则斜边少为 ．2．（易错题）已知曲角三角形的二边少为3、2，则另一条边少的仄圆是3、已知曲角三角形二曲角边少分别为5战12， 供斜边上的下．4、把曲角三角形的二条曲角边共时夸大到本去的2倍，则斜边夸大到本去的（ ）A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍5、正在Rt △ABC 中，∠C=90° S 3S 2S 1①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC 的里积是=________.6、如果曲角三角形的二曲角边少分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边少是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、正在Rt△ABC中，a,b,c为三边少，则下列闭系中精确的是（）A. 222c b a+=+= C. 222a c b+= B. 222a b c8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的里积是（）A、242c mc m D、602c m B、36 2c m C、4829、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的少为曲角边做一个曲角三角形，那么以那个曲角三角形的斜边为边少的正圆形的里积为（）A、5B、25C、7D、15考面三：应用勾股定理正在等腰三角形中供底边上的下例、如图1所示，等腰中，，是底边上的下，若.供①AD的少；②ΔABC的里积．考面四：勾股数的应用、利用勾股定理顺定理推断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可动做三边少形成曲角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成曲角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、底下的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边少分别为8，15，17．其中是曲角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个，则那个三角形一定是（）4、若三角形的三边之比为2::1225、已知a，b，c为△ABC三边，且谦脚(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）6、将曲角三角形的三条边少共时夸大共一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 钝角三角形 C. 曲角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边少a,b,c谦脚222+++=++，试推断△ABC的a b c20012a16b20c形状.8、△ABC的二边分别为5,12，另一边为偶数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为 .例3：供（1）若三角形三条边的少分别是7,24,25，则那个三角形的最大内角是度.（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为.考面五:应用勾股定理办理楼梯上铺天毯问题某楼梯的正里视图如图3所示，其中米，，，果某种活动央供铺设白色天毯，则正在AB段楼梯所铺天毯的少度应为 ,里积为考面六、利用列圆程供线段的少（圆程思维）8米2米8米 第6题图１、小强念知讲书院旗杆的下，他创制旗杆顶端的绳子垂到大天还多1米，当他把绳子的下端推启5米后，创制下端刚刚佳交战大天，您能帮他算出去吗？m m m ，那么梯子底端将背左滑动米 3、如图，一个少为10米的梯子，斜靠正在墙里上，梯子的顶端距大天的笔曲距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（挖“大于”，“等于”，或者“小于”）4、正在一棵树10 m 下的B 处，有二只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；•其余一只爬到树顶D 处后间接跃到A 中，距离以曲线估计，如果二只猴子所通过的距离相等，试问那棵树有多下？5、如图，是一个中表面为矩形的呆板整件仄里示企图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）估计二圆孔核心A 战B 的距离为.6、如图：有二棵树，一棵下8米，另一棵下2米，二树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，起码飞了米．7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，正在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，逢到障碍后又往西走3km ，再合背北圆走到5km 处往东一拐，仅1km•便找到了宝躲，问：登陆面（A 处）到宝躲埋躲面（B 处）的曲线距离是几？ CA DB A BC 60120 140B60AC考面七：合叠问题 1、如图，有一弛曲角三角形纸片，二曲角边AC=6，BC=8，将△ABC 合叠，使面C 降正在A 边上上的面E ，合痕为AD ，对接DE ，则CD 等于（ ） A. 425B. 322C. 47 D.3 2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的笔曲仄分线接BC•于M ，接AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，供AB 的少．3、合叠矩形ABCD 的一边AD,面D 降正在BC 边上的面F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,供CF 战EC.4、如图，正在少圆形ABCD 中，DC=5，正在DC 边上存留一面E ，沿曲线AE 把△ABC 合叠，使面D 恰佳正在BC 边上，设此面为F ，若△ABF 的里积为30，供合叠的△AED 的里积5、如图，矩形纸片ABCD 的少AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其合叠，使面D 与面F 沉合，那么合叠后DE 的少是几？6、如图，正在少圆形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对付合至∆AEC 位子，CE 与AD 接于面F.（1）试道明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，供AF 的少7、如图2所示，将少圆形ABCD 沿曲线AE 合叠，顶面D 正佳降正在BC 边上F 面处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阳影部分里积为_______．8、如图，把矩形ABCD 沿曲线BD 进与合叠，使面C 降正在C′的位子上，已知AB=•3，BC=7，沉合部分△EBD 的里积为________．B CE F D9、如图5，将正圆形ABCD合叠，使顶面A与CD边上的面M沉合，合痕接AD于E，接BC于F，边AB合叠后与BC边接于面G.如果M为CD边的中面，供证：DE：DM：EM=3：4：5.10、如图2-5，少圆形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形合叠，使C 面与A面沉合，•则合叠后痕迹EF的少为（）2-511、如图1-3-11，有一齐塑料矩形模板ABCD，少为10cm，宽为4cm，将您脚中脚够大的曲角三角板PHF 的曲角顶面P降正在AD边上（不与A、D沉合），正在AD上适合移动三角板顶面P：①是可使您的三角板二曲角边分别通过面B与面C？若能，请您供出那时AP 的少；若不克不迭，请道明缘由.②再次移动三角板位子，使三角板顶面P正在AD上移动，曲角边PH 末究通过面B，另背去角边PF与DC 的延少线接于面Q ，与BC接于面E，是可使CE=2cm？若能，请您供出那时AP的少；若不克不迭，请您道明缘由.12、如图所示，△ABC是等腰曲角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中面，E、F分别是AB、AC边上的面，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．供线段EF的少.13、如图，公路MN战公路PQ正在面P处接汇，且∠QPN＝30°，面A 处有一所中教，AP＝160m.假设干脆机止驶时，周围100m以内会受到噪音的做用，那么干脆机正在公路MN上沿PN目标止驶时，书院是可会受到噪431213B C D A 声做用？请道明缘由，如果受做用，已知干脆机的速度为18km/h ，那么书院受做用的时间为几秒？考面八：应用勾股定理办理勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形皆是正圆形，所有的三角形皆是曲角三角形，其中最大的正圆形的边少为5，则正圆形A ，B ，C ，D 的里积的战为2、已知△ABC 是边少为1的等腰曲角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为曲角边，绘第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为曲角边，绘第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰曲角三角形的斜边少是．考面九、图形问题1、如图1，供该四边形的里积2、如图2，已知，正在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的少为．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是少圆形,上部是以ＡＤ为曲径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆拆谦货品的卡车,下为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问那辆卡车是可通过公司的大门?并道明您的缘由 .4、将一根少24㎝的筷子置于大天曲径为5㎝，下为12㎝的圆柱形火杯中，设筷子露正在杯子表里的少为h ㎝，则h 的与值范畴.5、如图，铁路上A 、B 二面相距25km ，C 、D 为二乡村，DA•笔曲AB 于A ，CB 笔曲AB 于B ，已知AD=15km ，BC=10km ，当前要正在铁路AB 上修一个土特产品支买站E ，使得C 、D 二村到E 站的距离相等，则E 站修正在距A 站几千米处？考面十：其余图形与曲角三角形如图是一齐天，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，供那块天的里积.考面十一：与展启图有闭的估计1、如图，正在棱少为1的正圆体ABCD —A’B’C’D’的表面上，供从顶面A 到顶面C’的最短距离．2、 如图一个圆柱，底圆周少6cm ，下4cm ，一只蚂蚁沿中壁爬止，要从A 面爬到B 面，则最少要爬止cm3、国家电力总公司为了革新农村用电电费过下的现状，暂时正正在世界各天农村举止电网变革，某天有四个乡村A 、B 、C 、D ，且正佳位于一个正圆形的四个顶面，现计划正在四个乡村共同架设一条线路，他们安排了四种架设规划，如图真线部分．请您帮闲估计一下，哪种架设规划最省电线．考面十二、航海问题 1、一轮船以16海里/时的速度从A 港背东北目标航止，另一艘船共时以12海里/时的速度从A 港背西北目标航止，通过1.5小时后，它们相距________海里．2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批要害物资从A 处运往正东目标的M 处，正在面D B CA 东北30︒60︒B A C M DA处测得某岛C正在北偏偏东60°的目标上.该货船航止30分钟到达B处，此时又测得该岛正在北偏偏东30°的目标上，已知正在C岛周围9海里的天区内有暗礁，若继承背正东目标航止，该货船有无暗礁伤害？试道明缘由.3、如图，某内天启搁皆会A接到台风警报，正在该市正北目标260km的B处有一台风核心，沿BC目标以15km/h的速度背D移动，已知皆会A 到BC的距离AD=100km，那么台风核心通过多万古间从B面移到D面？如果正在距台风核心30km的圆形天区内皆将有受到台风的损害的伤害，正正在D面戚闲的游人正在接到台风警报后的几小时内撤离才可摆脱伤害？考面十三、网格问题1、如图，正圆形网格中，每个小正圆形的边少为1，则网格上的三角形ABC中，边少为无理数的边数是（）A．0 B．1 C．2 D．32、如图，正圆形网格中的△ABC，若小圆格边少为1，则△ABC是（）3、如图，小圆格皆是边少为1的正圆形,则四边形ABCD的里积是( )（图1）（图2）（图3）4、如图，正圆形网格中的每个小正圆形边少皆是1，每个小格的顶面喊格面，以格面为顶面分别按下列央供绘三角形：；①使三角形的三边少分别为3②使三角形为钝角三角形且里积为4（正在图乙中绘一个即可）．培劣题一、采用题1.一等腰三角形底边少为10cm，腰少为13cm，则腰上的下为( )A. 12cmB.C.D.2．已知曲角三角形一个钝角60°，斜边少为1，那么此曲角三角形的周少是（）A.5B.3C.3+2D.3323、下列条件中，不克不迭推断一个三角形是曲角三角形的是（）A、三个角的比为1:2:3B、三条边谦脚2a=2b－2cC、三条边的比为1:2:3D、三个角谦脚闭系∠B=∠C＋∠A4、下列各组数中能动做曲角三角形三边少的是（）①、9,12,15 ②、13,12,6 ③、9,12,14 ④12,16,20A、①④B、①②C、③④D、②④5、将一根24cm的筷子，置于底里曲径为15cm，下8cm的圆柱形火杯中，如图所示，设筷子露正在杯子表里的少度为hcm，则h的与值范畴是（）．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、△ABC中，AB=13,AC=15，下AD=12,则BC的少为（）A. 14B. 14或者4C. 8D. 4战87、△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则2AB+2BC=（）AC+28、曲角三角形有一条曲角边的少为11，其余二边的少也是正整数，则此三角形的周少（）1 A、120 B、121 C、132 D、1239、一个三角形的三边分别是m2+1,2m,m2-1,则此三角形是（）A.钝角三角形B.曲角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形10、已知一个Rt △的二边少分别为3战4，则第三边少的仄圆是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或者25 二、解问题 1、如图（8），火池中离岸边D 面1.5米的C 处，曲坐少着一根芦苇，出火部分BC 的少是0.5米，把芦苇推到岸边，它的顶端B 恰佳降到D 面，供火池的深度AC.2、如图3，正圆形ABCD 中，E 是BC 边上的中面，F 是AB 上一面，且AB FB 41 ，那么△DEF 是曲角三角形吗？为什么？3、如图4，已知少圆形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,正在边CD 上与一面E ，将△ADE 合叠使面D 恰佳降正在BC 边上的面F.①供CE 的少；②供合痕AE 的少战沉叠部分△AEF 的里积4、有一个传感器统制的灯，拆置正在门上圆，离天下4.5米的墙上，所有物品只消移至5米以内，灯便自动挨启，一个身下1.5米的教死，要走到离门多近的场合灯刚刚佳挨启？5、如图，P 是等边三角形ABC 内一面，PA=2,PB=23,PC=4,供△ABC 的边少.6、变式2、如图，△ABC 为等腰曲角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的面，且∠EAF=45°，试商量222BE CF EF 、、间的闭系，并道明缘由.7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一面，将矩形纸片沿AE 合叠，面B 恰佳降正在CD 边上的面G 处，供BE 的少.8、变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿曲线AD 翻合，面C 降正在面C’的位子，BC=4,供BC’的少.9、如左图1－19，壁虎正在一座底里半径为2米，下为4米的油罐的下底边沿A 处，它收当前自己的正上圆油罐上边沿的B 处有一只害虫，便决断捕获那只害虫，为了不引起害虫的注意，它蓄意不走曲线，而是绕着油罐，沿一条螺旋门路，从里前对付害虫举止突然袭打．截止，壁虎的偷袭得到乐成，赢得了一顿好餐．请问壁虎起码要爬止几路途才搞捕到害虫?（π与3.14，截止死存1位小数，不妨用估计器估计）10、变式：如图为一棱少为3cm 的正圆体，把所有里皆分为9个小正圆形，其边少皆是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬止2cm ，则它从下大天A 面沿表面爬止至左正里的B 面，最少要花几秒钟？11.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.供BC 边上的下.12.如下图，一个牧童正在小河的北4km 的A 处牧马，而他的小屋位于他的北7km 东8km 处，他念把他的马牵到小河边去饮火，而后回家.他要完毕那件事务所走的最短路途是几？ 13、如图，正在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 上任性一面，供证：PC PB AP AB •=-2214、正在正圆形ABCD 中，E 是AD 的三仄分面，FC DF =72，BE 与EF 笔曲吗？请道明缘由. A B 小河北 牧童 小屋A BCP M B C A 15、有一齐曲角三角形的绿天，量得二曲角边分别为BC=6m,AC=8m,当前要将绿天扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为曲角边的曲角三角形，供扩充后等腰三角形绿天的周少.．（图2，图3备用）16、请阅读下列资料：问题：现有5个边少为1的正圆形，排列形式如图①，请把它们分隔后拼接成一个新的正圆形，央供：绘出分隔线并正在正圆形网格图（图中每个小正圆形的边少均为1）中用真线绘出拼接成的新正圆形．小东共教的搞法是：设新正圆形的边少为x （x ＞0），依题意，割补前后图形的里积相等，有x2=5，解得x= 5.由此可知新正圆形得边少等于二个小正圆形组成得矩形对付角线得少，于是，绘出如图②所示的分隔线，拼出如图③所示的新正圆形．请您参照小东共教的搞法，办理如下问题：现有10个边少为1的正圆形，排列形式如图④，请把它们分隔后拼接成一个新的正圆形，央供：正在图④中绘出分隔线，并正在图⑤的正圆形网格图（图中每个小正圆形的边少均为1）中用真线绘出拼接成的新正圆形．（道明：间接绘出图形，不央供写分解历程．）17、如图，把少圆形纸片ABCD 合叠，使顶面A 与顶面C 沉合正在所有，EF 为合痕.若AB=9，BC=3,.（1）供BF 的少 （2）供EF 的少18、如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AN=AC ，BM=BC ，供MN的少度19、如图所示，正在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB ，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，供DE 的少20、如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．供证： 222BC AP BP +=．21、探索与钻研 （要领1）如图：对付任性的切合条件的曲角三角形绕其钝角顶面转动90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正圆形，它的里积战四边形ABFE 里积相等，而四边形ABFE 里积等于Rt △BAE 战Rt △BFE 的里积之战．根据图示写出道明勾股定理的历程；（要领2）如图是任性的切合条件的二个齐等的Rt △BEA 战Rt △ACD 拼成的，您能根据图示再写一种道明勾股定理的要领吗？22、已知△ABC 中，a2＋b2＋c2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判决△ABC的形状，并道明您的缘由． 23．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试推断三角形的形状．24、如图，A 市局里站测得台风核心正在A 市正东目标300千米的B 处，以710千米/时的速度背北偏偏西60°的BF 目标移动，距台风核心200•千米范畴内是受台风做用的天区．（1）A 市是可会受到台风的做用？写出您的论断并赋予道明；（2）如果A 市受那次台风做用，那么受台风做用的时间有多少？25、如图所示，△ABC 是等腰曲角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中面，E 、F 分别是AB 、AC 边上的面，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．供线段EF 的少.26、已知：正圆形ABCD 的边少为1，正圆形ABCD 的边少为1，正圆形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且32=EFGH S 正方形.供：a b -的值. 27、正在等腰曲角三角形中，AB=AC ，面D 是斜边BC 的中面，面E 、F 分别为AB 、AC边上的面，且DE ⊥DF.（1）道明：222EF CF BE =+ )若BE=12,CF=5，试供DEF ∆的里积.28、如图，少圆形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.⑴若面P 是边AD 上的一个动面,当P 正在什么位子时PA=PC?⑵正在⑴中,当面P 正在面P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动面,若415AQ =时,QP' 与C P '笔曲吗？为什么？ 29、已知：如图，DE=m,BC=n,ÐEBC 与ÐDCB 互余，供BD2+CE2的值30、如图，正在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一面，且PB=1，PC=2，PA=3，供∠BPC 的度数．31、台风是一种自然灾害，它以台风核心为圆心正在周围数十千米范畴内产死气旋风暴，有极强的损害力，如图，据局里瞅测，距内天某皆会A 的正北目标220千米B 处有一台风核心，其核心最大风力为12级，每近离台风核心20千米，风力便会减强一级，该台风核心现正以15千米/时的速度沿北偏偏东30º目标往C 移动，且台风核心风力稳定，若皆会所受风力达到或者走过四级，则称为受台风做用.（1）该皆会是可会受到那接台风的做用？请道明缘由.（2）若会受到台风做用，那么台风做用该皆会持绝时间有几？（3）该皆会受到台风做用的最大风力为几级？ H G F E DC B A F E B A DC A B BE C D。
第 1 讲(学生) 勾股定理 讲义
第1讲勾股定理知识点回顾（一）勾股定理１．定理：直角三角形两条直角边ａ、ｂ的平方和等于斜边ｃ的平方：ａ２＋ｂ２＝ｃ２２．逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ有下面关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２，那么这个三角形是直角三角形．３．勾股数：能构成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．（二）直角三角形１．定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．２．性质：（１）直角三角形的两个锐角互余．（２）直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（３）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于３０°．（４）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（５）勾股定理．说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。
勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
３．判定：（１）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形（２）一个三角形，若有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．（３）如果一个三角形中的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（４）勾股定理的逆定理专题讲解【例１】如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＡＣ＝１５，求ＢＣ边上的高ＡＤ．说明高ＡＤ虽然是两个直角三角形的边，但哪个直角三角形的边都有未知数，要想求这未知数，必须利用两直角三角形的公共边ＡＤ列出方程，才能求得结果．这在几何的计算问题中是经常应用的．变式训练1、已知：如图，△ABC中，AB=17，BC=21，AC=10，求△ABC的面积.2、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a<b<c)，求a+b+c例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．变式训练1、△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ。
第一讲 勾股定理讲义北 培优讲义
直角三角形性质应用（讲义）一、精讲精练1. 如图，已知DE =m ，BC =n ，∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=______________（用含m ，n 的式子表示）．2. 在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是______________．3. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若PA :PB :PC =3:4:5，试判断△PQC 的形状，并说明理由．4. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．QBCPA ABC DE FED C B A第4题图 第5题图 第6题图5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°6. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10B． C ．10或D ．10或432432Q HR D E P F G C KB A7. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是_______．8. 勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图案，它可以验证勾股定理．在下面的勾股图中，已知∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =4．作△PQR 使得∠R =90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么△PQR 的周长为_______．9. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ，∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________．CB A EDFODBACEOABC DE第9题图 第10题图 第11题图 10. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB =4，AO=AC 的长为（ ） A ．12B ．8C．D．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为__________．直角三角形性质应用（随堂测试）1. 如图，在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE的中点，连接DM ．若AD =2，CD =1，则DM 的长为__________．2. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ） A．B． C． D ．7M ED CB Al 3l 2l 1AB C直角三角形性质应用（作业）例1：如图，直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于点D ，则BD 的长为______．Dl 3l 2l 1ABCl 3l 21例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，∠CBE =12∠ABE ，点F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为______．2ααA B CDE F2ααα411541. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______．S 4l 321S 3S 2S 12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x > y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x -y =2；③2xy +4=49；④x +y =9．其中正确的是（ ） A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④xy FAC EB第2题图 第3题图3. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为（） A ．6B．C ．8D ．FE DCBAM FEB C A4. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若EF =7，BC =10，则△EFM 的周长是（ ） A ．17B ．21C ．24D ．275. 如图，△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为_______．45°EDCB APDBCA第5题图 第6题图6. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，点P 是BD 的中点．若AD =6，则CP 的长为（ ） A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形的桌布．铺成图1时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm ；铺成图2时，四周垂下的部分都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是_______．图1 图28. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠BDA =90°，∠CBE =30°，∠CEB =45°，AE =4EC ，BC =2，则BE =__________，CD =__________． 9. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．若AD =5，BD =12，求DE 的长．EDCABADBEC【参考答案】一、知识点睛①互余；斜边长②平方和；平方；a2+b2=c2；直角③斜边的一半；一边上的中线等于这边的一半④斜边的一半；30°二、精讲精练1.22+m n2.42或323.直角三角形，理由略4.125. B6. C7.248.27+9.12-10.B11.7【参考答案】1．32．A【参考答案】1. 42. B3. B4. A5.6. A7.(80+8.19.13。
勾股定理(讲义)
勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
勾股定理培优讲义
c ba H G F E D C B Ab ac b a c ca b c a b ab c cb a ED C BA 勾股定理知识点汇总之巴公井开创作二、基础知识点：１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和即是斜边的平方； 暗示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,罕见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积分歧的暗示方法,列出等式,推导出勾股定理罕见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和即是年夜正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 年夜正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证222a b c +=３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征.４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c ,b ,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边.① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比力,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形；② 222,时,,,为三边的三角形是钝角三角形；若222,时,以,,为三边的三角形是锐角三角形；③ 定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种暗示形式,不成认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,可是b 为斜边该定理在应用时,同学们要注意处置好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最年夜边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③获得的结论：这个三角形是直角三角形,而且最年夜边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形.６.勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数.注意：①勾股数必需是正整数,不能是分数或小数.②一组勾股数扩年夜相同的正整数倍后,仍是勾股数.罕见勾股数有：（3,4,5 ）(5,12,13 )( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 ) ③用含字母的代数式暗示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ,n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮手我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必需掌控直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮手我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比力,切不成不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比力而获得毛病的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不成份的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决．罕见图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.经过证明被确认正确的命题叫做定理如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部份面积：（1）阴影部份是正方形；（2）阴影部份是长方形；（3）阴影部份是半圆．2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________.考点二：在直角三角形中,已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为．2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩年夜到原来的2倍,则斜边扩S3 S2S1年夜到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中,∠C=90°①若a=5,b=12,则c=___________；②若a=15,c=25,则b=___________；③若c=61,b=60,则a=__________；④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________.6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-,2n（n>1）,那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是（）A. 222+= C. 222+= D.以c b aa c b+= B. 222a b c上都有可能8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是（）A、242c m D、602c mc m C、482c m B、36 29、已知x、y为正数,且│x2-4│+（y2-3）2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若.求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最年夜、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4,5,6B. 2,3,4C. 11,12,13D. 8,15,172、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中,∠C=∠A－∠B；②△ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中,a：b：c=3：4：5；④△ABC中,三边长分别为8,15,17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个,则这个三角形一定是（）4、2:12A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0,则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩年夜同一倍数, 获得的三角形是( )A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222a b c20012a16b20c+++=++，试判断△ABC的形状.8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为 .例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最年夜内角是度.（2）已知三角形三边的比为1：3：2,则其最小角为.考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的正面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为,面积为考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶真个绳子垂到空中还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触空中,你能帮他算出来吗？2、一架长2.5m的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子B C8米2米 8米第6题图底端距离墙底0.7m （如图）,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯子底端将向左滑动米3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距空中的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底真个滑动距离1米,（填“年夜于”,“即是”,或“小于”）4、在一棵树10 m 高的B 处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m 处的水池A 处；•另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高？5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸（单元：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为.6、如图：有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了米．7、如图所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A 处登岸后,往东走8km,C ADB又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向南方走到5km 处往东一拐,仅1km•就找到了宝藏,问：登岸点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是几多？考点七：折叠问题 1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点C 落在A 边上上的点E,折痕为AD,连接DE,则CD 即是（ ） A. 425 B. 322 C. 47D.3 2、如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交BC•于M,交AB 于N,若AC=4,MB=2MC,求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC.4、如图,在长方形ABCD 中,DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线AE 把△ABC 折叠,使点D 恰好在BC 边上,设此点为F,若△ABF 的面积为30,求折叠的△AED 的面积5、如图,矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D 与点F 重合,那么折叠后DE 的长是几多？6、如图,在长方形ABCD 中,将∆ABC 沿AC 半数至∆AEC 位置,CE 与AD 交于点F.（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3,BC=4,求AF 的长7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE 折叠,极点D 正好落A B CE D在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部份面积为_______．8、如图,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=•3,BC=7,重合部份△EBD的面积为________．9、如图5,将正方形ABCD折叠,使极点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.如果M为CD 边的中点,求证：DE：DM：EM=3：4：5.10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-511、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够年夜的直角三角板 PHF 的直角极点P落在AD边上（不与A、D重合）,在AD上适当移动三角板极点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能,请你求出这时 AP 的长；若不能,请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板极点P在AD上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm？若能,请你求出这时AP的长；若不能,请你说明理由.12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.13、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为几多秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最年夜的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是．考点九、图形问题1、如图1,求该四边形的面积2、如图2,已知,在△ABC中,∠A = 45°,AC = 2,AB = 3+1,则边BC的长为．431213B C D A3、某公司的年夜门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ,ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为 1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的年夜门?并说明你的理由.4、将一根长24㎝的筷子置于空中直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h ㎝,则h 的取值范围.5、如图,铁路上A 、B 两点相距25km,C 、D 为两村落,DA•垂直AB 于A,CB 垂直AB 于B,已知AD=15km,BC=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产物收购站E,使得C 、D 两村到E 站的距离相等,则E 站建在距A 站几多千米处？ 考点十：其他图形与直角三角形 如图是一块地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求这块地的面积.考点十一：与展开图有关的计算1、如图,在棱长为1的正方体ABCD —A’B’C’D’的概况上,求从极点A 到极点C’的最短距离．2、 如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A 点爬到B 点,则最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村落A 、B 、C 、D,且正好位于一个正方形的四个极点,现计划在四个村落联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部份．请你帮手计算一下,哪种架设方案最省电线．考点十二、航海问题1、一轮船以16海里/时的速度从A 港向西北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西南方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里．2、如图,某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正西方向的M 处,在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟达到B 处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正西方向航行,该货船有无暗礁危险？试说明理由.3、如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向260km的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到BC 的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题1、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是（ ） A ．0 B ．1 C ．D BC AD．32、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上谜底都分歧毛病3、如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是( )A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5（图1）（图2）（图3）4、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的极点叫格点,以格点为极点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）；②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．培优题一、选择题1.一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为( )A. 12cmB.C.D.2．已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是（）A.52 B.3 C.3+2 D.3323、下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A、三个角的比为1:2:3B、三条边满足2a=2b－2cC、三条边的比为1:2:3D、三个角满足关系∠B=∠C＋∠A4、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）①、9,12,15 ②、13,12,6 ③、9,12,14④12,16,20A、①④B、①②C、③④D、②④5、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长为（）A. 14B. 14或4C. 8D. 4和87、△ABC中,∠C=90°,若AB＝5,则2AB+2AC+2BC=（）A．10 B.15 C.30 D.508、直角三角形有一条直角边的长为11,另外两边的长也是正整数,则此三角形的周长（）1 A、120 B、121 C、132 D、1239、一个三角形的三边分别是m2+1,2m,m2-1,则此三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形10、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或25 二、解答题 1、如图（8）,水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部份BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,求水池的深度AC.2、如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 41 ,那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？3、如图4,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E,将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F.①求CE 的长；②求折痕AE 的长和重叠部份△AEF 的面积4、有一个传感器控制的灯,装置在门上方,离地高4.5米的墙上,任何工具只要移至5米以内,灯就自动翻开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的处所灯刚好翻开？5、如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.6、变式2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°,试探究222BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.7、如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求BE 的长.8、变式：如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ADC 沿直线AD 翻折,点C 落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.9、如右图1－19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边缘A 处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从面前对害虫进行突然袭击．结果,壁虎的偷袭获得胜利,获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行几多路程才华捕到害虫?（π取3.14,结果保管1位小数,可以用计算器计算）10、变式：如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下空中A 点沿概况爬行至右正面的B 点,最少要花几秒钟？11.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC 边上的高.12.如下图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他的小屋位于他的南7km 东8km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是几多？ 13、如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 上任意一点,求证：PC PB AP AB •=-2214、在正方形ABCD 中,E 是AD 的三等分点,FC DF =72,BE 与EF 垂直吗？请说明理由. A B小河 北 牧童 小屋 A B CP M BC A15、有一块直角三角形的绿地,量得两直角边分别为BC=6m,AC=8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部份是以8m 为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.．（图2,图3备用）16、请阅读下列资料：问题：现有5个边长为1的正方形,排列形式如图①,请把它们分割后拼接成一个新的正方形,要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x ＞0）,依题意,割补前后图形的面积相等,有x2=5,解得x= 5.由此可知新正方形得边长即是两个小正方形组成得矩形对角线得长,于是,画出如图②所示的分割线,拼出如图③所示的新正方形．请你参考小东同学的做法,解决如下问题：现有10个边长为1的正方形,排列形式如图④,请把它们分割后拼接成一个新的正方形,要求：在图④中画出分割线,并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形,不要求写分析过程．）17、如图,把长方形纸片ABCD 折叠,使极点A 与极点C 重合在一起,EF 为折痕.若AB=9,BC=3,.（1）求BF 的长 （2）求EF 的长18、如图△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC,求MN 的长度19、如图所示,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=AB,∠DAE=45°,且BD=3,CE=4,求DE 的长20、如图,已知：︒=∠90C ,CM AM =,AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP +=．21、探索与研究 （方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角极点旋转90°所得,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD 是一个正方形,它的面积和四边形ABFE 面积相等,而四边形ABFE 面积即是Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？22、已知△ABC 中,a2＋b2＋c2＝10a ＋24b ＋26c －338,试判定△ABC 的形状,并说明你的理由．23．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且a2c2－b2c2＝a4－b4,试判断三角形的形状．24、如图,A 市气象站测得台风中心在A 市正西方向300千米的B 处,以710千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动,距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长？25、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF 的长.26、已知：正方形ABCD 的边长为1,正方形ABCD 的边长为1,正方形EFGH 内接于ABCD,AE=a,AF=b,且32=EFGH S 正方形.求：a b -的值. 27、在等腰直角三角形中,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF.（1）说明：222EF CF BE =+ )若BE=12,CF=5,试求DEF ∆的面积.28、如图,长方形ABCD 中,AD=8cm,CD=4cm.⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时,有C P A P ''=,Q 是AB 边上的一个动点,若415AQ =时,QP' 与C P '垂直吗？为什么？ 29、已知：如图,DE=m,BC=n,ÐEBC 与ÐDCB 互余,求BD2+CE2的值 30、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC 的度数．31、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最年夜风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响,那么台风影响该城市继续时间有几多？（3）该城市受到台风影响的最年夜风力为几级？时间：二O 二一年七月二十九日H G F E DC B A F ED CB A DC A B BE CD。
初二勾股定理讲义
c b a D C A B第一讲 勾股定理复习讲义知识点一、勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,，则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=.2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数.常见勾股数如下（必须熟记）：3、常见平方数（必须熟记）：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=； 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=； 529232=； 576242=； 625252=4、勾股定理证明（等面积法）（1）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：222c b a =+。
（2）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：222c b a =+。
例题1.例题1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或变式练习：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则以AB 为边的正方形的面积为（ ）A ．9B ．16C ．25D ．53, 4, 56, 8, 10 9, 12, 15 12, 16, 20 15, 20, 25 5, 12, 1310, 24, 26 7, 24, 25 8 ,15 , 17 9, 40, 41例题2.两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）A ．（a +b ）2＝c 2B ．（a ﹣b ）2＝c 2C ．a 2﹣b 2＝c 2D ．a 2+b 2＝c 2 变式练习：“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若ab ＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．5D ．4例题3.如图1-1-1，在Rt ABC ∆中，ACB B A ABC ∠∠∠︒=∠,,,90所对的边分别为a,b,c.（1）若;,15,4:3:b c b a 求==（2）若.8,6的长及斜边上的高，求c b a ==变式练习：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD ⊥AB 于D ．（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．知识点二、勾股定理的逆定理勾股定理的概念(1)语言表述：在一个直角三角形中，的平方和等于的平方．(2)公式表述：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．则有.2．勾股定理的应用在直角三角形中，知道其中任意的都可以求出第三边．即：c＝，a＝，b＝.例题1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算变式练习：1.若直角三角形的两边为3和4，则第三边的长为2.若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为cm．例题2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a、b、c、d的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形e的面积是()A．13 B．26C．47 D．94图1 图2变式练习：1.在直线上依次摆着7个正方形(如图6)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．2.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的面积是．知识点三、折叠问题【例题】1．如图7，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A．53B．52C．4 D．5 图7 图82．某同学在制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，请你根据①②步骤计算EC的长为．变式练习：1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4 B．3 2 C．4.5 D．52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．知识点四、勾股定理中最短路径问题例题1.如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.例题2.如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5，如果一直蚂蚁要从圆柱体的底面的A点，沿圆柱体表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长越为_______(л取3)例题3.如图①，一只蚂蚁在长方体的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少米？例题4.如图，︒AOB,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、=∠30Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_________变式练习：1.如图，长方体的底面边长分别为1cm,3cm,高为6cm。
勾股定理讲义
勾股定理复习课教学目标：1. 回顾熟知勾股定理，理解勾股定理的探究，掌握勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题.2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题.3，经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明体会数形结合思想以及转化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题 重点：勾股定理的简单计算证明，用勾股定理解三角形以及勾股定理的综合运用。
难点：勾股定理解三角形以及勾股定理的灵活运用。
知识梳理1勾股定理的概念：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a2 +b2 ＝c2 ）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识梳理2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）知识梳理3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
八年级勾股定理讲义
勾股定理一．知识点拨勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9，40,41；9,12,15；3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二．题型精析题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
初二数学勾股定理讲义经典
第一章勾股定理【知识点概括】1、直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、考证勾股定理建立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题1、求长度问题2、最短距离问题勾股定理的应用3、航海问题4、网格问题5、图形问题6考点一：勾股定理〔 1〕关于随意的直角三角形，假如它的两条直角边分别为a、b，斜边为 c，那么必定有a2 b 2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
〔2〕结论：①有一个角是 30°的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
〔3〕勾股定理的考证b aaabc b b cc bb ca aa b a a b例题：例1：直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
〔1〕在 Rt△ ABC中，∠ C=90°①假定 a=5，b=12，那么 c=___________；②假定 a=15， c=25，那么 b=___________；③假定c=61，b=60，那么a=__________；④假定 a∶ b=3∶4，c=10 那么 Rt △ABC的面积是 =________。
〔2〕假如直角三角形的两直角边长分别为n21，〔〕，那么它的斜边长是〔〕2n n>1A 、2n B、n+1C、 n2－1D、n21〔3〕在 Rt△ ABC中， a,b,c 为三边长，那么以下关系中正确的选项是〔〕A. a2b2c2B.a2c2b2C. c2b2a2D.以上都有可能〔4〕一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，那么第三边长的平方是〔〕A、25B、14C、7D、7 或 25例2：直角三角形的一边以及此外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
〔1〕直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，那么它斜边上的高为 __________。