可降阶的微分方程
5-4可降阶的微分方程
依此类推……
高等数学
05-04-06
例 求微分方程 y xex 的通解。
高等数学
05-04-07
例 质量为 m 的质点受力 F 作用沿 Ox 轴作直线运动。设力 F 仅是时间 t 的函数：F=F(t)。在开始时刻 t=0 时 F(0)=F0，随着时间 t 的增大，此 力 F 均匀地减小，直到 t=T 时 F(T)=0。如果开始时，质点位于原
高等数学
05-04-14
例若
x
x
f(x)0tf(t)d tx0f(t)d t3
求 f(x)。
高等数学
05-04-15
课堂讨论题 求微分方程 y 3 y 满 足初值条件 y |x0 1 ，y |x0 2 的特解。
高等数学
05-04-16
小结：高阶微分方程 可降阶的微分方程
作业：P122 习题五 5(1)(4)(7)
高等数学
一、y(n)=f(x) 型的微分方程 二、y=f(x, y) 型的微分方程 三、y=f(y, y) 型的微分方程
05-04-04
高等数学
05-04-05
微分方程
y(n) f (x)
两边积分
பைடு நூலகம்
y(n1) f(x)d xC1
两边再积分
y (n 2 )[f(x )d C x1 ]d C x2
点，且初速度为零，求此质点的运 动规律。
高等数学
课堂讨论题 解。
05-04-08
求下列微分方程的通
yxsinx
高等数学
微分方程
05-04-09
yf(x,y)
设 y p，则
y dp p dx
原微分方程变为一阶微分方程
pf(x,p)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
高数可降阶的高阶微分方程
高数可降阶的高阶微分方程
高数中可降阶的高阶微分方程，是指可以通过变量代换或其他方法将高阶微分方程转化为更低阶的微分方程的方程。
以二阶线性非齐次微分方程为例，可以通过提取其中的齐次解，得到其对应的齐次方程，之后再运用待定系数法求出非齐次方程的特解，将齐次解与特解相加即可得到方程的通解。
例如，对于形如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的二阶线性非齐次微分方程，我们可以先求出其对应的齐次方程
$y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解 $y_c(x)$，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解 $y_p(x)$，通解就可以表示为
$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ 的形式。
这样，原方程就被降阶为了一阶微分方程。
类似的，对于其他类型的高阶微分方程，也可以通过一些变量代换或其他方法将其降阶为更低阶的微分方程，方程的解法也可以根据具体情况采用待定系数法、变量分离、变换变量等方法进行求解。
一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
考研数学-一阶微分方程,可降阶方程
cos t
2
求微分方程
(1
x2 )2
d2y dx2
y
满足初始条件 y(0) 0 , y(0) 1的特解 .
解：dy ucos t u sin t, dx
d2y dx2
(u
u) cos3
t
代入原方程 , 有u 0 , u(t) C1t C2
当x 0时,有t 0
代入初始条件 , u |t0 0 , u |t0 1.
]
定解问题
1 y(0)
( y)2 v2 v1
b, y(0)
yy ( y)2 b
a
备例2
若F ( x)是f ( x)的一个原函数,G( x)是 1 的 f (x)
一个原函数,且F ( x)G( x) 1, f (0) 1,求f ( x).
解：F( x)G( x) 1等号两边对 x 求导 ,
2 xy
所求曲线族满足方程y
2 xy x2 y2
,
此为齐次型方程，可解得y C( x2 y2 )
例4
若函数 y y(x) 在任意一点x 处 ,当自变量有
增量
Δx
时
, 函 数的 增量 为Δy
yΔx 1 x2
o(Δx)
.
已知 y(0) π , 则 y(1) ____ .
分析：
Δy Δx
1
y x2
解：令 y p(x) , 则 y dp , dx
( dp )2 p2 1 dx
dp 1 p2 dx
1 dp dx, 1 p2
1 dp dx, 1 p2
arcsin p x C1, arccos p x C1
p sin( x C1), p cos(x C1) y p sin( x C1) y cos(x C1) C2
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
4-2可降阶的二阶微分方程
微积分
例5、悬链线方程
如下图所示 张力大小为 , 绳索仅受重力作用
4.5
微分方程
, 其线密度为 , A 处 .
H , 沿水平方向 . 试建立悬链线方程
y
T A
a
M ( x, y)
Hox来自返回微积分例6、目标追踪问题
如图 , A 点有一目标沿平行于 从 O 点发射一导弹 若要击中目标 时的位置 .
返回
微积分
四、应用
4.5
微分方程
例4、交通事故勘察
如图 : 若在事故现场测得拖痕 刹车前的车速 长度为 10 m , 试判定
.( 车轮与地面摩擦系数为
)
10 m O
若 1 . 02 , g 9 . 81 m / s
2
x
则 v 0 14 . 15 m / s 50 . 9 km / h
4.5
微分方程
y 轴方向以速度
v 0 前进 ,
, 始终以对准目标
5 v 0 速度飞行 . 目标被击中
, 求导弹运行曲线方程及
y
y y( x )
P( x, y)
Q (1 , v 0 t )
o
y 5 8
4
A (1 ,0 )
x
5 24
返回
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
.
问题： 若 y ( n ) f ( x ), 怎么解 ?
返回
微积分
二、 y f ( x , y ) 型 特点：不显含 y . 解法： （1）换元
令 y p ( x ), 则 y dp dx .
4.5
一阶线性微分方程可降阶的二阶微分方程
积分得
C(x) Q(x)e P(x)dxdx C
所以一阶线性非齐次微分方程的通解为
y [ Q(x)e P(x)dxdx C]e P(x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
常数变易法
把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数 的方法.
第二节 一阶微分方程
二、一阶线性微分方程
形如
的方程为一
dy P( x) y Q( x) dx
阶线性微分 方程
当Q( x) 0, dy P(x) y 0 称为齐次的. dx
当Q( x) 0, dy P( x) y Q( x) 称为非齐次的. dx
一阶线性微分方程 y P(x) y Q(x)
例5-7 求微分方程 y 1 y x2的通解．
解法一 dy y dx x
x
(1) 求出对应齐次方程
y y 0的通解 x
dy dx
y Cx
yx
(2) 设 y C(x)x ,则 y C(x)x C(x)
(3) 将 y 、 y 代入原方程后,得
C(x) x
积分后得
C(x) 1 x2 C 2
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x
sin
2
y
e
tan
ydy
dy
C
e
tan
ydy
sin
2
y
e ln
cos
y
dy
C
eln
cos
y
2sin y cos cos y
y
dy
C
可降阶的微分方程
可降阶的微分方程是指，对于一个n 阶微分方程，通过某种方法将其转化为n-1 阶或更低阶的微分方程。
常见的可降阶的微分方程包括：
高斯消元法
高斯消元法是一种数域分析方法，可以将n 阶线性微分方程组转化为一个n-1 阶的线性微分方程组。
积分变换
积分变换是一种常用的将微分方程降阶的方法，通常通过将原微分方程的积分因式表示法转化为一个低阶的微分方程来实现。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学变换方法，可以将n 阶微分方程转化为一个n-2 阶的微分方程。
通常，可降阶的微分方程的求解要比不可降阶的微分方程容易，因为可降阶的微分方程的阶数较低，可以使用更多的数学工具来解决。
但是，要想将一个微分方程降阶，必须先理解该微分方程的性质，才能选择合适的方法来解决。
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
x e x , e 2 x 线性无关; 例如 当x ( , )时， e ，
1， cos2 x , sin2 x 线性相关.
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) ( 2) 的 一 个
*
特解 , Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解 , 那么
y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
《可降阶微分方程》课件
非线性微分方程在自然现象和社会现象中广泛存在，如生态学、化学反应 、经济学和气象学等。
微分方程的解与通解
微分方程的解是指满足方程的函数表达式。对于线性微分方程，解的形式通常是多项式函数、三角函 数和指数函数等。
通解是指满足微分方程的任意常数都可以代入得到的解，也称为一般解或全解。对于非线性微分方程， 通解通常很难找到，需要通过数值计算等方法求解。
01
线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的项都 是一次的，没有高次项、指数项和幂次项。
02
线性微分方程的解法通常包括分离变量法、变量代 换法、常数变易法和特征根法等。
03
线性微分方程在物理、工程和经济等领域有广泛的 应用，如电路分析、控制系统和人口动态等。
非线性微分方程
非线性微分方程是指方程中含有未知函数的非线性项，如高次项、指数项 和幂次项等。
连续时间投资组合优化
描述投资者在连续时间内调整投资组合的微分方程，以实现最优 收益和风险控制。通过求解该方程，可以得到最优的投资策略。
供需关系模型
描述市场供需关系的微分方程，如商品价格和需求量的变化。 通过求解该方程，可以预测市场价格的走势和供需平衡状态。
生物问题中的应用
要点一
种群动态模型
描述生物种群数量变化的微分方程，如种群的增长率、出 生率和死亡率等。通过求解该方程，可以预测种群数量的 变化趋势和生态平衡状态。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法来求解微分方程，并考虑初始条件和边界条件等因素 。
03
可降阶微分方程的求解方法
变量分离法
总结词
通过将方程转化为易于求解的形式，简化求解过程。
高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程
再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1
x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后，将初始条件代入，解得关系式：
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h
设
t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时
考研复习 可降阶的二阶微分方程
y=∫
(∫ f (x)dx) dx + C x + C .
1 2
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
解
′ = ∫ ( xe x + cos x )dx y
= xe x − e x − sin x + C1 y = ∫ ( xe x − e x − sin x + C1 )dx = xe x − 2e x + cos x + C1 x + C 2
即 y′ = C1 x,
1 y = C1 x2 + C2 , 2
2
即 y = Cx + C0 ,
例2 解
求方程 x2 y′′ + xy′ = 1的通解.
设 y′ = P(x),
则 y′′ = P′(x)
代入原方程 x 2 P ′ + xP = 1 , 即P′ + 1 P = 1 , x x2 1 解线性方程, 解线性方程 得 P = (ln x + C1 ) x 1 即 y′ = (ln x + C1 ) x 两端积分,得原方程通解为 两端积分 得原方程通解为 1 2 y = ln x + C1 ln x + C2 , 2
解
yy′′ = 2( y′ 2 − y′) 即求初值问题 y(0) = 0 , y′(0) = 2
dP , 设 y′ = P( y), 则 y′′ = P dy dy dP 2( P − 1) 代入原方程得 = dy y dP dy =∫ ln( P − 1) = ln y 2 + C ∫ P −1 y ∴ y′ = P = y 2 + 1 , 将 y = 1 , P = 2 代入 , 得 C = 0 ,
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
可降阶的二阶微分方程
yy 2( y 2 y) 即求初值问题 y(0) 1 , y(0) 2
dp 设 y p( y ), 则 y p , dy dp 2( p 1) 代入原方程得 , dy y dp 2dy , ln( p 1) ln y 2 C , p1 y 2 将 y 1 , p 2 代入 , 得 C 0 , y p y 1 ,
设 y p( x ),
解
则 y p( x ),
代入原方程, 得 x 2 p xp 1 , 即 p 1 p 1 , x x2 1 解线性方程, 得 p (ln x C1 ), x 1 即 y (ln x C1 ), x 两端积分,得原方程通解为 1 2 y ln x C1 ln x C 2 , 2
由 y ( 0) 0 , 得 C 2 0 ,
故所求原方程的解为: y arcsin x .
三、y f ( y, y) 型的微分方程
特点： 右端不显含自变量 x . 解法： 设 y p( y ), 则 y
dp d p d y dp Hale Waihona Puke p , dx d y d x dy
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y ,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
p f ( x , p).
关于 p(x) 的一阶方程
设其通解为
p ( x , C1 ), 即 y ( x , C1 ) ,
二阶微分方程
这就是说， 是方程(6)的解 的解， 这就是说，如果函数 y = e rx 是方程 的解，那么 r 必须满 足方程(8)． 足方程 ． 反之， 是方程 的一个根， 是方程(8)的一个根 则 反之，若r是方程 的一个根， 是方程(6)的一个特解 的一个特解． e rx是方程 的一个特解． 方程(8)是以 为未知数的二次方程 为未知数的二次方程， 方程 是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分 2 的系数， 方程(6)的特征方程， 方程 的特征方程，其中 r 和 r 的系数，以及常数项恰好 依次是微分方程(6)中 的系数． 依次是微分方程 中 y′′ 、y ′ 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根． 特征方程的根称为特征根． 特征根
y = (C1 + C 2 x )e r2 x
（10）
(3)特征根是一对共轭复根 1,2=α±βi ， 这时y1 = e (α + βi ) x 特征根是一对共轭复根r 特征根是一对共轭复根 ±
y 2 = e (α − βi ) x 是方程 的两个特解，但这两个解含有复数， 是方程(6)的两个特解 但这两个解含有复数， 的两个特解， 和
11
1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
C x ln y = C1 x + ln C 2 或 y = C 2 e 1
显然它也满足原方程． 如果P 显然它也满足原方程．但 y =C 如果 = 0，那么立刻可得 y = C， 那么立刻可得 Cx 已被包含在解 y = C 2 e 1 中了 (令 C1 = 0 就可得到它 ).
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知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
7
例 解方程 y(5) 1 y(4) 0. xC31 27e3x
sin
x
C1
x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
3
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法 设 y p, y dp p. 将p作为新的 dx
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).
这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1). 分离变量并积分,
得通解为
dy
( y,C1) x C2
9
例 求方程 yy y2 0 的通解. 属y f ( y, y)型
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
例
解方程
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
p
3x2 p 1 x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p
dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1
y
原方程通解为 y C2eC1x
10
作业
习题6.3 (24页） 1.(1)(2)
11
解 令 p y(4) , 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
8
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x sin x
C1
y
1 9
e
3
x
cos
x
C1
x
C2
y 1 e3x sin x C1
27
2
x2 C2x
dx
ln
p
ln 1
x3
ln
C1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程 5
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
dy 4(1 x3 )dx y x4 4 x C2
再由初始条件
y x0
1,
第三节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程
1
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1