可降阶的微分方程
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可降解的高阶微分方程
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
二、 y(n) f ( x, y(k) , , y(n1) )型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
例 1 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
1 2
C1
x
2
C2,
3、 y 3
y
,
y
x0
1,
y
x
0
2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
可降阶的微分方程
高等数学
可降阶的微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程． 求解高阶微分方程的方法之一就是降阶，若高阶微分方程可降为一阶微分方程，那 么就可以应用前面所介绍的方法去求解． 设二阶微分方程
y f (x ，y ，y) ， 其中 f 为含有 x ，y ，y 三个变量的函数．
本节中主要介绍三类可降阶的二阶微分方程的解法．
解．设其求得的通解为 P(x) (x ，C1) ，
即
dy dx
(x ，C1)
，
等式两边积分一次，即可求得原方程的通解
y (x ，C1)dx C2 ，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f (x ，y) 型
例 2 求微分方程 y y ． 1 2x
解 原方程中不显含 y ，故设 y P(x) ，则 y P 代入原方程，得
yP dP P2 0 ． dy
当 y 0 ， P 0 时，变量分离可得 dP dy ， Py
两边积分得
ln | P | ln | y | C0 ，
整理得 即
P C1y (C1 eC0 ) ，
dy dx
可降阶的微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程． 求解高阶微分方程的方法之一就是降阶，若高阶微分方程可降为一阶微分方程，那 么就可以应用前面所介绍的方法去求解． 设二阶微分方程
y f (x ，y ，y) ， 其中 f 为含有 x ，y ，y 三个变量的函数．
本节中主要介绍三类可降阶的二阶微分方程的解法．
解．设其求得的通解为 P(x) (x ，C1) ，
即
dy dx
(x ，C1)
，
等式两边积分一次，即可求得原方程的通解
y (x ，C1)dx C2 ，
其中 C1 ，C2 为任意常数．
5.3.2 y f (x ，y) 型
例 2 求微分方程 y y ． 1 2x
解 原方程中不显含 y ，故设 y P(x) ，则 y P 代入原方程，得
yP dP P2 0 ． dy
当 y 0 ， P 0 时，变量分离可得 dP dy ， Py
两边积分得
ln | P | ln | y | C0 ，
整理得 即
P C1y (C1 eC0 ) ，
dy dx
可降阶的高阶微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
解方程y″=ex+6x． 解 连续二次积分，得
y′=ex+3x2+C1， y=ex+x3+C1x+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
方程 y″=f(x,y′) （6-18）
的右端不显含y． 令y′=p(x)，则y″=dp ，代入方程（6-18）中，得
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如果以y′为未知数，就是一阶微分方
程，两端积分得
再次积分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
பைடு நூலகம்
有n个任意常数的通解．
这是一阶方程，设其通解为
可降价的高阶微分方程
原理
由微分方程
= （1）
设 =
则方程（1）化为一阶微分方程，两边同时积分，得
= =
同理可得
=
例题
求微分方程 的通解
解：所给方程为二阶微分方程，因此只需对其连续积分两次即可求得其通解
即为通解
当题目中限定了任意常数时，可将题目中的常数代入，求出原方程的特解
如：例题中假如给定 的时候，带入求解
得c1=
得c2=
例题1
求解微分方程 的通解
得 即
在这里我们运用学习过的常数变易法来求通解
此处在解答时用到分部积分法
两边微分得通解
例题2
微分方程
求 满足条件 的解
同理可以设
得
两边微分
带入得c2=2
结论
做形如 型的微分方程时，通过换元，降低方程的阶数简化，再求积分。而且，做题时需Leabharlann Baidu不时的运用以前学过的知识来帮助解题，如例题1
即可得该方程的特解
结论
首先观察方程右侧只含有自变量x，且左侧提示我们求解一个高阶的微分方程，那么在这种情况下我们可以使用逐次积分的方法求解
二． 型的微分方程
原理
微分方程
右端不显含有未知数y，则设 可得
于是方程降阶为
方程（3）是一个关于变量x，p的一阶微分方程，设其通解为 ，则有 对其积分，得原始方程
由微分方程
= （1）
设 =
则方程（1）化为一阶微分方程，两边同时积分，得
= =
同理可得
=
例题
求微分方程 的通解
解：所给方程为二阶微分方程，因此只需对其连续积分两次即可求得其通解
即为通解
当题目中限定了任意常数时，可将题目中的常数代入，求出原方程的特解
如：例题中假如给定 的时候，带入求解
得c1=
得c2=
例题1
求解微分方程 的通解
得 即
在这里我们运用学习过的常数变易法来求通解
此处在解答时用到分部积分法
两边微分得通解
例题2
微分方程
求 满足条件 的解
同理可以设
得
两边微分
带入得c2=2
结论
做形如 型的微分方程时，通过换元，降低方程的阶数简化，再求积分。而且，做题时需Leabharlann Baidu不时的运用以前学过的知识来帮助解题，如例题1
即可得该方程的特解
结论
首先观察方程右侧只含有自变量x，且左侧提示我们求解一个高阶的微分方程，那么在这种情况下我们可以使用逐次积分的方法求解
二． 型的微分方程
原理
微分方程
右端不显含有未知数y，则设 可得
于是方程降阶为
方程（3）是一个关于变量x，p的一阶微分方程，设其通解为 ，则有 对其积分，得原始方程
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程
对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.
内容分布图示
★ ())(x f y n =型
★ 例1
★ 例2 ★ 例3
★ ),(y x f y '=''型
★ 例4 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型
★ 例8
★ 例9 ★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题12—5
★ 返回
内容要点：
一、 )(x f y =''型
在方程)(x f y =''两端积分，得
1)(C dx x f y +=
'⎰ 再次积分，得
[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰
注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程
)()(x f y n =，
只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.
二、),(y x f y '=''型
这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：
令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，
).,(p x f p ='
设其通解为
),,(1C x p ϕ=
然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程
).,(1C x dx
dy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解
.),(21⎰+=C dx C x y ϕ
三、),(y y f y '=''型
这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有
可降阶的高阶微分方程
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
e 3ln x [
2 x2
e3ln xdx
C1 ]
ln 1
e [ x3
2 x2
eln x3 dx C1]
1[ x3
2 x2
x3dx
C1 ]
1 x3
[x2
C1]
而u
p1,得 y
p
x3 x2 C1 .
由于y x 1
y xy f ( y)
(1) 若 d p 0，则 y p(x) C ，代入原方程，得 dx
y Cx f (C)。 ( 通解 )
(2) 若 x f ( p) 0，则可联立方程组求出方程的奇解： x f ( p) 0
y xp f ( p)
例
又由(1) 得
1 p2
x，故
p
1 ，代入上式，得 x
y 2 x ，
故原方程有奇解
y2 4x。
综上所述，原方程的通解为
且方程还有奇解
y Cx 1 ， C
y2 4x。
ln x 6
d
(
x3
)
3 4
x
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
e 3ln x [
2 x2
e3ln xdx
C1 ]
ln 1
e [ x3
2 x2
eln x3 dx C1]
1[ x3
2 x2
x3dx
C1 ]
1 x3
[x2
C1]
而u
p1,得 y
p
x3 x2 C1 .
由于y x 1
y xy f ( y)
(1) 若 d p 0，则 y p(x) C ，代入原方程，得 dx
y Cx f (C)。 ( 通解 )
(2) 若 x f ( p) 0，则可联立方程组求出方程的奇解： x f ( p) 0
y xp f ( p)
例
又由(1) 得
1 p2
x，故
p
1 ，代入上式，得 x
y 2 x ，
故原方程有奇解
y2 4x。
综上所述，原方程的通解为
且方程还有奇解
y Cx 1 ， C
y2 4x。
ln x 6
d
(
x3
)
3 4
x
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法 36页
注 一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
30.09.2019
常微分方程
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x', ,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
x(t,c1, ,cn),这c1里 , ,cn为任常
30.09.2019
常微分方程
例1 求方dd程 55xt 1t dd44xt 0的通. 解
解 令 d 4 x y , 则方程化为 dt 4 dy1 y 0 dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
即
30.09.2019
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0 常微分方程
引入新的未知函数 z y ' , x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
方程变为 x1ddzt[2x1' p(t)x1]z0
是一阶线性方程,解之得
z
c x12
e p(t)dt ,
则 因而
第五节可降阶的高阶微分方程
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
1.C1 y2 1 (C1x C2 )2.
2. y y x.
2.
y
C1e x
7
1 2
x2
x
C2.
3. [( x 1)2 2 y]dx ( x 1)dy.
3.
y
C(
x
1)2
2
(
x
1)
7 2
;
3
4. dy xy x3 y3 0. 4. y2 Ce x2 x2 1; dx
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
Biblioteka Baidu
1 2
C1
x
2
C2
,
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
练习答案
1. y3 y 1 0 .
1.C1 y2 1 (C1x C2 )2.
2. y y x.
2.
y
C1e x
7
1 2
x2
x
C2.
3. [( x 1)2 2 y]dx ( x 1)dy.
3.
y
C(
x
1)2
2
(
x
1)
7 2
;
3
4. dy xy x3 y3 0. 4. y2 Ce x2 x2 1; dx
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
Biblioteka Baidu
1 2
C1
x
2
C2
,
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
故原方程通解为 y C 2e
C1 x
由p 0得y为常 数，也是 方程的 解
可降阶的高阶微分方程
微分方程 yy y 2 0 满足条件 y x0 1, 1 2 或 y x 1 y x 1 y x 0 的特解是 2 解 d ( yy) 0 故 有 yy C1 dx 1 1 由y x 0 1, y x 0 C1 即 2 2 2 y x 1 C2 yy 可分离变量方程 2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 2
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
最后得到的就是方程的通解.
可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
dp p.将p作为新的 解法 设y p( x ), y dx 则方程变为 p f ( x , p ) 未知函数，
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x, C1 ),则由 y p( x, C1 )
可降阶的高阶微分方程
1 y 2 例 求方程 y 的通解. 2y dp 解 设 y p( y ), 则 y p , 代入原方程 dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程 dy 2y 2 pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p
C1 x
由p 0得y为常 数，也是 方程的 解
可降阶的高阶微分方程
微分方程 yy y 2 0 满足条件 y x0 1, 1 2 或 y x 1 y x 1 y x 0 的特解是 2 解 d ( yy) 0 故 有 yy C1 dx 1 1 由y x 0 1, y x 0 C1 即 2 2 2 y x 1 C2 yy 可分离变量方程 2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 2
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
最后得到的就是方程的通解.
可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
dp p.将p作为新的 解法 设y p( x ), y dx 则方程变为 p f ( x , p ) 未知函数，
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x, C1 ),则由 y p( x, C1 )
可降阶的高阶微分方程
1 y 2 例 求方程 y 的通解. 2y dp 解 设 y p( y ), 则 y p , 代入原方程 dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程 dy 2y 2 pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p
可降阶的高阶微分方程
…… 接连积分n次 得到含有n个任意常数的通解. 接连积分 次, 得到含有 个任意常数的通解. 个任意常数的通解
2
5.5 可降阶的高阶微分方程
y′′′ = e 3 x − cos x 例 求解方程
解 将方程积分三次 得 将方程积分三次,
1 3x y′′ = e − sin x + C1 3
1 3x y′ = e + cos x + C1 x + C 2 9 1 3x ′ 2 C x y = e + sin x+ C1 x + 2 + C 3
0
13
5.5 可降阶的高阶微分方程
1 x 的切线在 y轴上的截距等于 ∫ f ( t )dt , x 0 求f ( x )的一般表达式 .
对x > 0, 过曲线 y = f ( x )上点( x , f ( x ))处
∫0
x
f ( t )dt = x[ f ( x ) − xf ′( x )]
积分方程
分离变量并积分, 设它的通解为 y′ = p = ϕ( y, C1 ). 分离变量并积分 dy 得通解为 ∫ ϕ ( y , C1 ) = x + C 2 .
9
5.5 可降阶的高阶微分方程
1 + y′2 的通解 属y′′ = f ( y , y′ )型 . 例 求方程 y′′ = 2y dp 解 设 y′ = p, 则 y′′ = p , 代入原方程 dy 2 dp 1 + p p = 可分离变量方程 dy 2y 2 pd p d y 2 = ⇒ ⇒ ln(1 + p ) = ln y + ln C1 y 1 + p2 ⇒ 1 + p 2 = C1 y ⇒ p = ± C1 y − 1 dy 即 = ± C1 y − 1 可分离变量方程 dx dy 2 ⇒ = ± dx ⇒ C1 y − 1 = ± x + C 2 . C1 y − 1 C1
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
程称为二阶线性微分方程.
当 f ( x) 0时，称为二阶线性齐次微分方程. 当 f ( x) 称为二阶线性非齐次微分方程. / 0时，
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
2．二阶线性齐次微分方程解的结构
y P( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个解，那么 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的 解． （C1 , C 2 是任意常数）
2． y 1 y2 的通解是
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程 [引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具
有一个初始速度 v 0 0, 物体便离开平衡位置 ,并在 平衡位置附近作上下振动 .试确定物体的振动规律
a 将 C 2 0 代入②式， 解得曲线方程为 y (e e ). 2
x a
x a
此曲线为悬链线．
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
(n)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
f ( x)
考研复习 可降阶的二阶微分方程
五、小结
解法 通过代换将二阶微分方程化成一阶微 分方程来求解. 分方程来求解
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y ′′′ = xe x ； 2、 y ′′ = 1 + y ′ 2 ； 2 3 y′ 2 = 0 . 4、 3、 y ′′ = ( y ′ ) + y ′ ； 4、 y ′′ + 1− y 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y ′′ + 1 = 0 , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 0 ； 2、 y ′′ − ay ′ 2 = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = −1； 3、 y ′′ = 3 y , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 2 . 三、试 求 y ′′ = x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2
y = C 2 e C1 x . 原方程通解为
′′ + y′2 = 0的通解 例 2 求方程 yy .
解
设 y′ = P( y),
则 y′′ = P dP , dy
dP + P 2 = 0, 代入原方程得 y ⋅ P dy dP 即 P( y ⋅ − P ) = 0, dy dy dP 由 y⋅ + P = 0， = C1 , 可得 yP = C1 , ∴ y dx dy 即 ydy = C1dx ,
二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程
摘要：
一、引言
1.二阶可降阶微分方程的定义
2.研究二阶可降阶微分方程的意义
二、二阶可降阶微分方程的基本概念
1.什么是二阶可降阶微分方程
2.二阶可降阶微分方程的一般形式
三、二阶可降阶微分方程的解法
1.常数变易法
2.线性无关法
3.特征方程法
四、二阶可降阶微分方程的应用
1.物理中的应用
2.工程中的应用
五、总结
1.二阶可降阶微分方程的重要性
2.未来研究方向
正文：
一、引言
二阶可降阶微分方程，作为微分方程的一个重要分支，广泛应用于各个领
域。理解并研究二阶可降阶微分方程，不仅有助于深化对微分方程的认识，还能为解决实际问题提供有力的理论支持。
二、二阶可降阶微分方程的基本概念
1.什么是二阶可降阶微分方程
二阶可降阶微分方程是指形如y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) 的微分方程，其中p(x)、q(x) 和f(x) 都是已知函数。它的一阶导数和二阶导数分别表示了质点在某一点的加速度和速度。
2.二阶可降阶微分方程的一般形式
二阶可降阶微分方程可以写成标准形式y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x)，也可以写成其他形式，如齐次形式y"" + p(x)y" + q(x)y = 0，非齐次形式y"" + p(x)y" + q(x)y - f(x) = 0 等。
三、二阶可降阶微分方程的解法
1.常数变易法
常数变易法是一种求解二阶可降阶微分方程的方法，其基本思想是将方程的解表示为常数与x 的函数的乘积。通过这种方法，可以求得许多特殊情况下二阶可降阶微分方程的解。
2.线性无关法
可降阶的二阶微分方程
两边再积分得
x
F0 m
(
t2 2
t3 6T
)
C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t 3 ). 2m 3T
二、y f ( x, y) 型的微分方程
特点： 不显含未知函数 y . 解法： 令 y p( x) , 则 y p . 代入原方程, 化为关于变量 x , P 的一阶微分方程
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
例 1 求方程 xy y 0 的通解.
解 设 y p( x), 则 y p( x) , 代入原方程,得 xp p 0,（p 0）
可降阶高阶微分方程
00 0 则 y=c1 y1(x)+c2 y2(x) 也是(2)的解.
注意: y=c1 y1(x)+c2 y2(x) 不一定是通解. 例如: y1是(2)的解, 则y2=2y1也是(2)的解. 此时y=c1 y1+c2 y2 =(c1+2c2) y1=cy1 函数的线性相关和线性无关: 设y1, y2,…, yn 为定义在 I 上的 n 个函数,
的特解, 则 y1(x)+y2(x)是方程
y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f 2 ( x) (4)
的特解.
证明:
将 y1(x)+y2(x) 代入(4)的左端:
[ y1 y2 ] P( x)[ y1 y2 ] Q( x)[ y1 y2 ]
2
线性无关
要使 k1 k2 x k3 x2 0 ,必须 k1 k2 k3 0. 对于两个函数: 如果它们之比为常数, 则线性相关;否则,线性无关
定理2. 如果y1(x), y2(x)是(2)的两个线性无关的特解,则
y=c1 y1(x)+c2 y2(x) 是(2)的通解, 其中c1, c2为任意常数.
第三节 第四节
可降阶的高阶微分方程 高阶线性微分方程解 的结构
第三节 可降阶的高阶微分方程
高阶微分方程: 二阶及二阶以上的微分方程.
降阶法求解微分方程
降阶法求解微分方程
微分方程是数学中的重要概念，用来描述变量之间的关系和变化规律。在求解微分方程的过程中，降阶法是一种常用且有效的方法。本文将介绍降阶法的基本原理，并通过一个具体的例子来演示该方法的应用。
首先，降阶法是一种将高阶微分方程转化为一系列低阶微分方程的方法。通过逐步降低微分方程的阶数，我们可以简化问题的复杂性，并更容易找到方程的解。
考虑一个简单的二阶线性微分方程：
a(d^2y/dx^2)+b(dy/dx)+cy=0
其中，a、b和c是常数，y是未知函数。我们的目标是找到y关于x的解析表达式。
为了使用降阶法，我们引入一个新的变量v，令v=dy/dx。这样，原始的二阶微分方程可以转化为一个一阶方程组：
dv/dx=-b/a*v-c/a*y
dy/dx=v
现在，我们有两个关于v和y的一阶微分方程。接下来，我们将对这个方程组进行求解。
首先，我们求解第一个微分方程dv/dx=-b/a*v-c/a*y。可以将该方程转化为标准的一阶线性齐次微分方程形式：
dv/dx+(b/a)*v+(c/a)*y=0
该方程的解可以通过积分因子法求得。假设积分因子为μ(x)，则乘以积分因子后，可以得到：
(μ(x)*v)'+(b/a)*μ(x)*v+(c/a)*μ(x)*y=0
通过选择适当的积分因子，使得方程中(b/a)*μ(x)等于μ'(x)，则上式可以化简为：
(d/dx)(μ(x)*v)+(c/a)*μ(x)*y=0
现在，我们可以通过积分的方式求解上式，得到：
μ(x)*v+(c/a)*∫(μ(x)*y)dx=C1
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解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p
dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1
y
原方程通解为 y C2eC1x
10
作业
习题6.3 (24页） 1.(1)(2)
11
解 令 p y(4) , 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
积分4次
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
8
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
对于不含有 y、y、、y(k1)的n阶方程 F( x, y(k), y(n) ) 0
只须作变换,令 p y(k) .
方程就可化为 n k 阶方程 F ( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
7
例 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
dx
ln
p
lnLeabharlann Baidu1
x3
ln
C1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程 5
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
dy 4(1 x3 )dx y x4 4 x C2
再由初始条件
y x0
1,
C3
1 27
e3x
sin
x
C1
x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
3
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法 设 y p, y dp p. 将p作为新的 dx
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x sin x
C1
y
1 9
e
3
x
cos
x
C1
x
C2
y 1 e3x sin x C1
27
2
x2 C2x
第三节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程
1
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
例
解方程
y
3x2 y 1 x3
y 1, y 4
x0
x0
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
p
3x2 p 1 x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).
这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1). 分离变量并积分,
得通解为
dy
( y,C1) x C2
9
例 求方程 yy y2 0 的通解. 属y f ( y, y)型