八年级下册二次根式的计算专题
八年级数学下册《二次根式》知识点+解题技巧+章节测试(含答案)
五、求值：（每小题 7 分，共 14 分）
3 2
3 2
x3 xy2
25．已知 x＝
，y＝
，求
的值．
3 2
3 2
x4 y 2x3y2 x2 y3
x
2x x2 a2
1
26．当 x＝1－ 2 时， 求
＋
＋
的值．
x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
六、解答题：（共 20 分）
＝______．
ab c2d 2
1
1
12．比较大小：－ _________－ ．
27
43
13．化简：(7－5
2
2018
) ·(－7－5
2
2017
) ＝______________．
14．若
x 1＋
y
3
2
2
＝0，则(x－1) ＋(y＋3) ＝____________．
15．x，y 分别为 8－ 11 的整数部分和小数部分，则 2xy－y2＝____________．
四、巧配方，独占鳌头
例 4. 计算 分析：因为
都有意义，所以
所以
所以
解：原式
五、整体代入，别开生面
例 5. 已知
，求下列各式的值。
（1）
（2）
分析：根据 x、y 值的特点，可以求得
，如果能将所求的值的
式子变形为关于
或 xy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解：因为 所以 （1）
（2） （也可以将
1
32
2、【提示】
＝
＝－（ 3 ＋2）．【答案】×．
32 34
3、【提示】 (x 1)2 ＝|x－1|， ( x 1)2 ＝x－1（x≥1）．两式相等，必须 x≥1．但等式左边 x 可取任
八年级-人教版-数学-下册-第1课时-二次根式的乘法
（2） 1 27；
3
解：（1） 3 5 3 5 15 ；
（2） 1 27 1 27 9 3；
3
3
（3） 3 2 (2 3) 3 (2) 2 3 6 6 ．
m a n b mn ab (a≥0，b≥0)
二次根式相乘时，把被开方数和各个根号外面的乘数分 别相乘，将乘数相乘的积作为积的乘数，把被开方数相乘的 积作为积的被开方数．
下面先探究二次根式的乘法法则．
探究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1） 4 9 ＝___6___， 4 9 ＝___6___；
4 9 ＝ 49
（2） 16 25 ＝___2_0__ ， 16 25 ＝___2_0__ ； 16 25 ＝ 16 25
（3） 25 36 ＝__3_0___ ， 25 36＝ __3_0___ ． 25 36 ＝ 25 36
“ a b a b”这样的错误．
例3 计算： （1） 14 7 ； 解：（1） 14 7 14 7 72 2 72 2 7 2 ；
被开方数中开得尽方的因数或因式，可以开方后移 到根号的外面
例3 计算： （2）3 5 2 10 ；
化简时，根号外的乘数可先相乘
解：（2）3 5 2 10 3 2 5 10 6 52 2
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
新知 一般地，二次根式的乘法法则是 a b ab (a≥0，b≥0)．
（1） a b c abc (a≥0，b≥0，c≥0)． （2）m a n b mn ab (a≥0，b≥0)．
例1 计算： （1） 3 5 ； （3）3 2 (2 3) ．
逆用二次根式乘法法则
把 a b ab 反过来，就得到 ab a 行二次根式的化简．
八年级二次根式混合运算计算题
八年级二次根式混合运算计算题一、计算题。
1. √(8) + √(18) - √(32)2. √(12) - √(27) + √(48)3. (√(5) + √(3))(√(5) - √(3))4. (√(6) + √(2))^25. √(2)(√(8) - √(18))6. (√(3) - √(2))(√(3) + √(2)) - (√(6))^27. √(48)÷√(3)-√(frac{1){2}}×√(12)+√(24)8. (√(5)+√(2))(√(5)-√(2))+√((-3)^2)9. √(18)-√(frac{9){2}}-(√(3)+√(6))/(√(3))+(√(3) - 2)^010. √(27)-√(12)+√(frac{4){3}}11. (2√(3)-3√(2))(2√(3)+3√(2))12. (√(3)+√(5))^2-(√(3)-√(5))^213. √(27)×√(frac{1){3}}+(√(5)+ √(3))(√(5)-√(3))14. √(12)-√(0.5)-2√(frac{1){3}}-√(frac{1){8}}+√(18)15. (√(6)-√(3))(√(6)+√(3))+√(27)÷√(3)16. √(8)+√(frac{1){2}} - √(2)17. √(45)÷√(frac{1){5}}×√(2frac{2){3}}18. √(12)+(√(2)-√(3))(√(2)+√(3))-√(frac{1){2}}×√(18)19. (√(3)+2)^2020(√(3)-2)^202020. (√(3)+√(2))/(√(3)-√(2))-(√(3)-√(2))/(√(3)+√(2))二、解析。
1.- 解：- 先将各项化为最简二次根式，√(8)=2√(2)，√(18)=3√(2)，√(32)=4√(2)。
八年级数学下册第十六章二次根式总结(重点)超详细(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式总结(重点)超详细单选题1、若a ＝√2﹣1，则a +1a 的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C分析：把a 的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a =√2−1，∴a +1a =√2−1+√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9， ∴2<2√2<3，∴a +1a 的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．2、下列计算正确的是（ ）A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4D ．√3+2√3＝3√3答案：D分析：由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案．解：32=9，故A 不符合题意；(−25)3=−8125, 故B 不符合题意；(−2a 2)2=4a 4, 故C 不符合题意；√3+2√3=3√3, 故D 符合题意；故选D小提示：本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．3、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4、当x >2时，√(2−x )2= （ ）A ．2−xB ．x −2C ．2+xD ．±(x −2)答案：B分析：根据√a 2=|a |的进行计算即可．∵x ＞2，∴√(2−x )2=|2−x |=x −2，故B 正确．故选：B ．小提示：本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握√a 2=|a |是解题的关键．5、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．A ．2√3−3√2B ．√3+√3C ．(√3)3D ．0×√3答案：D分析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A ．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B ．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C ．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D ．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D ．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．6、若式子√m+2(m−1)2有意义，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1答案：D分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．由题意可知：{m +2≥0m −1≠0， ∴m≥﹣2且m≠1，故选D ．小提示：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.7、下列计算：(1)(√2)2=2;(2)√(−2)2=2;(3)(−2√3)2=12;(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，其中结果正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D分析：根据二次根式的运算法则即可进行判断．(1)(√2)2=2，正确；(2)√(−2)2=2正确；(3)(−2√3)2=12正确；(4)(√2+√3)(√2−√3)=−1，正确，故选D．小提示：此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：(√a)2=a；√a2=|a|．8、下列二次根式中，最简二次根式是（）D．√a2A．−√2B．√12C．√15答案：A分析：根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．小提示：本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、化简2√5−√5×(2−√5)的结果是（）A．5B．−5C．√5D．−√5答案：A分析：先进行二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．解: 2√5−√5×(2−√5)，=2√5−2√5+5，=5．故选择A．小提示：本题考查二次根式乘除加减混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题关键．10、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±3答案：B试题分析：“√a”表示的是a的算术平方根，“±√a”表示的是a的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B．填空题11、实数2﹣√3的倒数是_____．答案：2+√3分析：先根据倒数的定义写出2﹣√3的倒数，再分母有理化即可．解：2−√3的倒数是2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√34−3=2+√3,所以答案是：2+√3．小提示：本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．12、我们知道√5是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（√5+a）·b的值是_________．答案：1分析：先根据2＜√5＜3，确定a=2，b=√5-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．∵2＜√5＜3，∴a=2，b=√5-2，∴（√5+a）·b=（√5+2）（√5-2）=5-4=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．13、若a>√2a+1，化简|a+√2|−√(a+√2+1)2=_____．答案：1分析：先根据a>√2a+1，判断出a<−1−√2，据此可得a+√2<−1,a+√2+1<0，再依据绝对值性质和二次根式的性质化简可得．解：∵a＞√2a+1,∴(1−√2)a>1，则a<1−√2，即a<−1−√2，∴a+√2<−1,a+√2+1<0，原式=−a−√2+a+√2+1=1，所以答案是：1 ．小提示：本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质和解一元一次不等式的步骤．14、计算√(−2)2的结果是_________．答案：2分析：根据二次根式的性质进行化简即可．解：√(−2)2=2．所以答案是：2．小提示：此题主要考查了二次根式的化简，注意：√a2=|a|={a(a＞0）0(a=0)−a(a＜0)．15、计算√5×√15−√12的结果是_______．答案：3√3分析：根据二次根式的运算法则计算即可得出答案．原式=√5×15−2√3=5√3−2√3=3√3，故答案为3√3.小提示：本题考查的是二次根式，比较简单，需要熟练掌握二次根式的运算法则．解答题16、计算：(1)√32−√18−√18；(2)(7+4√3)(7−4√3)−(√3−1)2．答案：(1)34√2 (2)√3−3分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项；（2）利用平方差和完全平方公式计算．（1）原式=4√2−3√2−√24=3√24 （2）原式=49−48−(3−2√3+1)=2√3−3小提示：本题考察了二次根式的混合运算和乘法公式．先把二次根式化为最近二次根式，然后再合并同类项，平方差公式(a −b)(a +b)=a 2−b 2，完全平方公式(a ±b)2=a 2±2ab +b 2，正确化简二次根式和使用乘法公式是解题的关键．17、计算：(1)√100+√−273−2×√14(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|答案：(1)6(2)0分析：（1）先计算算术平方根与立方根，再合并即可；（2）先求解算术平方根与绝对值，再合并即可．(1)解：√100+√−273−2×√14=10−3−2×12=10−3−1=6；(2)−√(−3)2+√6+|√6−3|=−3+√6+3−√6=0小提示：本题考查的是化简绝对值，算术平方根与立方根的含义，二次根式的加减运算，掌握以上运算是解本题的关键．18、在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）√45，（2）√13，（3）√52，（4）√0.5，（5）√145．答案：（1）不是，3√5；（2）不是，√33；（3）是；（4）不是，√22；（5）不是，3√55. 分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．（1）√45=3√5，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）√13=√33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3）√52，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；（4）√0.5=√12=√22，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5）√145=√95=3√55，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 小提示：本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．。
八年级下册二次根式的计算专题
八年级下册二次根式的计算专题八年级下册二次根式的计算专题一．解答题（共30小题）1.（2016·太仓市模拟）计算：√(3-2√2) + √(3+2√2)2.（2016·丹东模拟）计算：√(7+4√3) - √(7-4√3)3.（2016·海南校级一模）1）计算：√(2-√3) - √(5-2√3) + 32）化简：(2+√3)×(3-√3)4.（2016·崇明县二模）计算：√(5+2√6) + √(7+2√6)5.（2016春·罗定市期中）计算：√(10+4√6) - √(10-4√6)6.（2016春·津南区校级期中）计算：(√5-√3)/(√5+√3)7.（2016春·萧山区期中）1）计算：(√3+1)/(√2-1) - 2√22）化简：(2√6+√2)/(√6-√2)8.（2016春·台安县期中）计算：√(3+2√2) + √(7-4√3)9.（2016春·封开县期中）计算：√(2+√3)×√(3-√2)10.（2016春·中山市期中）计算：√(5+√24) - √(3+√8)11.（2016春·江门校级期中）计算：5/√8 + 3/√3212.（2016春·浦东新区期中）计算：2√5 + √45 - 3√213.（2016春·临沭县期中）1）计算：(√5+√2)/(√5-√2) + (√5-√2)/(√5+√2)2）化简：√(3+2√2) + √(3-2√2) - √(7+4√2)14.（2016春·新昌县校级期中）1）计算：2√(2+√3) - √(2-√3)2）化简：(√2+√3)/(√2-√3) - (√2-√3)/(√2+√3)15.（2016春·蓟县期中）1）计算：(√3+√2)/(√3-√2)+ (√3-√2)/(√3+√2) 2）化简：√(5+2√6) + 2√(5-2√6)16.（2016春·定州市期中）1）计算：4+√(7+4√3)/(2+√3) + √(7-4√3)/(2-√3) 2）化简：(√2-1)/(√3-2) - (√2+1)/(√3+2)17.（2016春·固始县期中）1）计算：4√2/(√6-√2)2）计算：(√5-1)/(√5+1)÷(√2-1)×(√2+1)18.（2016春·蚌埠期中）1）计算：(√5+1)/(√5-1) - (√3+1)/(√3-1)2）化简：√(2+√3) + √(6-2√3) - √(4-√3)19.（2016春·泰兴市期中）1）计算：√(5+2√6) - √(5-2√6) + √(7+4√3)2）化简：(√2+√3)/(√2-√3) + (√3+1)/(√3-1)20.（2016春·浦东新区期中）计算：(√3+√2)² - (√3-√2)²21.（2016春·东湖区期中）1）计算：(√2+√3)² - 3(√2-√3)²2）计算：√(3+2√2)×√(3-2√2) + √(7+4√2)22.（2016春·邹城市校级期中）1）计算：(√2+√3)/(√2-√3) - (√3-√2)/(√3+√2)2）化简：(√5+√3)/(√5-√3) - (√5-√3)/(√5+√3)23.（2016春·安陆市期中）1）计算：√(3+√2)×√(2-√2)2）化简：√(5+2√3) + 2√(5-2√3) - √(7+4√6)24.（2016春·微山县期中）1）计算：2√2×(√2+√3) - √2×(√2-√3)2）化简：√(7+4√2) - √(5+2√6) + 2√(3-2√2)25.（2016春·天津校级期中）1）计算：√(7+4√3) - √(7-4√3)÷√(5+2√3)2）化简：(√3+√2)×(√3-√2) + (√5+√2)×(√5-√2)26.（2016春·杭州期中）1）计算：√(7+4√3) + √(7-4√3) - 2√32）化简：(√3+√2)×(√3-√2) - (√5-√2)×(√5+√2)27.（2016春·召陵区期中）1）计算：√(a²+2a+1) - √(a²-2a+1)2）化简：(√a-√b)²28.计算与化简：1)2)3) ÷ - ÷ 3 - + × × +4) ÷ (x+2).改写：计算并化简以下式子：1)2)3) ÷ - ÷ 3 - + × × +4) ÷ (x+2).29.计算：1) 32) (23)4) ( - +3 ×6 + ) (2 ÷ )+(-1 2-3 ÷ 2 )2 ÷）×5) 2-3+2×+(1)-(2).改写：计算以下式子：1) 32) (23)4) ( - +3 ×6 + ) (2 ÷ )+(-1 2-3 ÷ 2 )2 ÷）×5) 2-3+2×+(1)-(2).30.计算1)3)1|-π+() (2) (1- ×(4)+2-1）（ -（ +1）+（ -）-1）2. 改写：计算以下式子：1)3)1|-π+() (2) (1- ×(4)+2-1）（ -（ +1）+（ -）-1）2.分析】（1）先合并同类二次根式，再进行分数运算；（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后进行分数运算．解答】解：（1）原式=2+13；2）原式=2﹣+1+23+14．点评】此题综合考查了二次根式的加减和分数的加减乘除运算，需要正确掌握运算法则和化简方法．注意分母中含有二次根式时需要进行有理化处理．14.计算：$2\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
专题 二次根式的乘除(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练
专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列实数中是无理数是（ ）A. B. C. D. ()03π-3. A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间4. 若0,0mn m n >+<=（ ）A. m B. -m C. n D. -n5. （ ）A.B. C. D.6. 已知1a b ==+，则,a b 的关系是（ ）A. a b = B. 1ab =- C. 1a b = D. a b=-7. 设a ，b ，用含a ，b （ ）A. 0.3abB. 0.6abC. 2abD. 22a b 8. 已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ）A. C. 2D. 2±9. 下列说法中正确的是（ ）A. 有意义的是x ＞﹣3B. 是正整数的最小整数n 是3C. 若正方形的边长为cm ，则面积为30cm 2D. 计算的结果是310. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例称为黄金分割数．设a =b =11111S a b =+++，2221111S a b =+++，3331111S a b=+++，…，1001001001111S a b =+++，则123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. B. C. 100 D. 5050二、填空题11. 的倒数是______．12. 已知实数1a =，则a 的倒数为________．13. 都是最简二次根式，则m +n ＝_____．14. 已知最简二次根式与0b ≠，则=a ________.15. 不等式0< 的解集是_________．16. 已知m ___________．17.米为单位长度建立数轴，线段AB =17米，点A 在原点，点B 在数轴的正半轴，估计点B 位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．18. 将1按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.三、解答题19. （1）计算：()2023 1-+（220. 比较下列各数的大小（1）（2）3π-21. 计算：（1）)2+-；（22 --；（3）((1 20212022221-+--22. 先化简，再求值：2222a b ab baa a⎛⎫--÷-⎪⎝⎭，其中3,3a b=+=．23. ===，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数()1n n ≥的等式表示出来，并给出证明．24. 的大小过程：因为211=，224=，所以12<<；因为21.4 1.96=，21.5 2.25=，所以1.4 1.5<<；因为21.41 1.9881=，21.42 2.0164=，所以1.41 1.42<<；因为21.414 1.999396=，21.415 2.002225=，所以1.414 1.415<<；……的更加精确的近似值．（1的大致范围？（精确到0.01）（2）填空：①比较大小：“>、<或=”）②若a 、b 均为正整数，a >b <a b +的最小值是______．（3）现有一块长4.1dm ，宽为3dm 的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为22dm 和25dm 的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A ==合题意；B =，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C 是最简二次根式，本选项符合题意；D 、==选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．【2题答案】【答案】B【解析】32===4=，()031π-=，是无理数，其余的都是有理数，是无理数．故选：B ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．【3题答案】【解析】=4+∵3＜4，∴7＜2+8+7和8之间．故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式=|m|=-m，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键． 【答案】C【解析】【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h ）的乘=，∴h ==．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据a 和b 的值去计算各式是否正确即可．【详解】A. 1a b -=-==B. 1ab =≠-，错误；C. 1ab =≠，错误；D. 10a b +=++==，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据已知求出ab 的值，即可求出答案．【详解】∵a =b =∴ab ，==2×0.13⨯==0.6ab ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，键，是一道基础题．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴a b +=a b -=，∴a b a b +==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；B 是正整数的最小整数n 是3，故此选项正确；C 、若正方形的边长为cm ，则面积为90cm 2，故此选项错误；D 、的结果是1，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；【10题答案】【答案】C【解析】【分析】先计算1S ，2S ，3S 的值，找出规律，然后求解即可．【详解】解：a = ，b =，1ab ∴=，11111S a b=+++ (111)1)(b a a b =+++++21a ba b ab++=+++22a b a b++=++1=，2221111S a b =+++222211(1)(1)b a a b +++=++22222221a b a b a b ++=+++2222211a b a b ++=+++222222a b a b ++=++1=，3331111S a b =+++333311(1)(1)b a a b +++=++33333321a b a b a b ++=+++33333321a b a b a b ++=+++3333211a b a b ++=+++333322a b a b ++=++1=，⋯⋯1111n n nS a b =+++1(1)(1)n nn n b a a b ++=++21n nn n n na b a b a b ++=+++211n nn n a b a b ++=+++22n nn na b a b ++=++1=，1001S ∴=，123100S S S S ∴+++⋯+111100=++⋯⋯+=，故选：C【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．二、填空题【11题答案】【解析】【分析】根据倒数的定义解答即可．【详解】∵1=，【点睛】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．【12题答案】【解析】【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：∵实数1a=-，∴a=．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【13题答案】【答案】﹣6．【解析】【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．【详解】由题意可得：31 211mm n+=⎧⎨-+=⎩解得：24 mn=-⎧⎨=-⎩∴m +n ＝﹣6故答案：﹣6．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．【14题答案】【答案】3【解析】【分析】确定与.【详解】解：由题意得3b ab =，解得3a =，故答案为3.【点睛】本题考查了二次根式的概念，明确最简二次根式的被开方数是解题的关键.【15题答案】【答案】>1x 【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法及二次根式的除法即可求得．【详解】解：由原不等式得： 解得>1x 故答案为：>1x ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法，熟练掌握和运用一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法是解决本题的关键．【16题答案】【答案】2【解析】【分析】根据题意知m -1，将所求式子进行通分化简，再将m 的值代入即可求解．【详解】解：由题意，知m -1，当m -1时，原式=2．故答案为2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．【17题答案】【答案】9和10【解析】【分析】先计算17【详解】17=∵9=10=∴910<<∴这两个相邻整数是9和10．故答案为：9和10．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出17÷的大小是解题的关键．【18题答案】【答案】【解析】【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)．故答案为三、解答题【19题答案】【答案】（1）8；（2）0【解析】【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．【详解】解：（1）计算：()20231-=1-+=19-+=8；（2-+-=0．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．【20题答案】【答案】（1）<（2）3π<-【解析】【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可；（2）根据实数比较大小的方法求解即可．【小问1详解】解：∵((221218=<=，∴<；【小问2详解】解：∵222254544363936πππ⎛⎛⎫==>-== ⎪⎝⎭⎝，∴3π<-．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【21题答案】【答案】（1）5-；（2）1-；（3【解析】【分析】（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．【详解】（1）原式155552=⨯-=-=-；（2）原式(423451=-+-=--+=-；（3）原式((202122221⎛⎡⎤=-+--- ⎣⎦⎝22=+=【点睛】本题重点考查的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．【22题答案】【答案】a b a b +-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()()222a b a b a ab b aa+--+÷()()()2a b a b aa ab +-⨯-=a ba b+-，∴当33a b ==-，时，原式=【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键 ．【23题答案】【答案】=，=，=(答案不唯一)；(2)(1n =+，证明见解析.【解析】【分析】（1）此题应先观察列举出的式子，再根据式子的特点书写.（2）先找出它们的一般规律，用含有n 的式子表示出来即可．【详解】(1)===.(2)(1n =+.==(1n =+【点睛】本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．【24题答案】【答案】（1）2.23 2.24<<；（2）①>；②4；（3）他的方法可行，理由见解析．【解析】【分析】（1可；（2）①将两个数进行平方，平方后再进行比较即可；②要使得a b + 有最小值，只需要求得a 和b 的最小值，再进行计算即可得到答案；（3 4.13的大小即可得到答案.【详解】解：（1）∵224=，239=，∴23<<；∵22.2 4.84=，22.3 5.29=，∴2.2 2.3<<；∵22.23 4.9729=，22.24 5.0176=，∴2.23 2.24<<，（2）①∵(218=，(212=∴((22>∴>故答案为：＞.②∵224=，239=，∴23<<；∵a >a 为正整数∴a 的最小值为3∵311=，328=，∴12<<∵b <b 为正整数∴b 的最小值为1∴a b +的最小值为4；（3）∵两个正方形的面积分别为2dm 、5dm<<< 2.2431.42+<+=<2.24 1.423.664.1∴这个方法可行【点睛】本题主要考查了无理数的估值和比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。
(完整版)八年级下册二次根式的计算专题
(完整版)八年级下册二次根式的计算专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN八年级下册二次根式的计算专题一．解答题（共30小题）1．（2016?太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||．2．（2016?丹东模拟）计算：．3．（2016?海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×；（2）化简：?．4．（2016?崇明县二模）计算：．5．（2016春?罗定市期中）计算：（）﹣||6．（2016春?津南区校级期中）+3﹣5．7．（2016春?萧山区期中）计算：（1）；（2）．8．（2016春?台安县期中）（+）﹣2﹣．9．（2016春?封开县期中）计算：．10．（2016春?中山市期中）计算：．11．（2016春?江门校级期中）计算：5+2．12．（2016春?浦东新区期中）计算：2﹣+．13．（2016春?临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+．14．（2016春?新昌县校级期中）计算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．15．（2016春?蓟县期中）计算：（1）（2）16．（2016春?定州市期中）计算：（1）4+﹣+4（2）（﹣2）2÷（+3﹣）17．（2016春?固始县期中）（1）计算：4+﹣+4；（2）计算：÷2×．18．（2016春?蚌埠期中）计算：（1）（2）．19．（2016春?泰兴市期中）计算：（1）+|﹣3|﹣（）2；（2）（﹣2）﹣．20．（2016春?浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．21．（2016春?东湖区期中）计算：（1）（）﹣（3﹣）（2）﹣3+．22．（2016春?邹城市校级期中）计算（1）（2）（+1）2（2﹣3）23．（2016春?安陆市期中）计算：（1）；（2）（）2．24．（2016春?微山县期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2．25．（2016春?天津校级期中）计算：（1）（）（）﹣（）2（2）﹣．26．（2016春?杭州期中）计算（1）+﹣（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．27．（2016春?召陵区期中）计算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）28．（2016春?张家港市期中）计算与化简：（1）﹣+（2）÷3×（3）÷﹣×+（4）÷（x+2）?．29．（2016春?闸北区期中）计算：（1）3﹣+（2）（2+3）2（2﹣3）2（3）×6÷÷（4）（）﹣1+（）2×÷（5）2﹣3+2×+（1）﹣（2）．30．（2016春?庆云县期中）计算（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（1﹣）（+1）+（﹣1）2（3）÷×（4）+2﹣（﹣）八年级下册二次根式的计算专题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016?太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||．【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而求出答案．【解答】解：原式=﹣1+2﹣（﹣1）=．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．2．（2016?丹东模拟）计算：．【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算．【解答】解：原式=3﹣1﹣4+2=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用．3．（2016?海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×；（2）化简：?．【分析】（1）先进行乘方运算和二次根式的乘法运算，然后进行加减运算；（2）先把分子分母因式分解，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1+3+=﹣1+3+4=6；（2）原式=?=．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的乘除法．4．（2016?崇明县二模）计算：．【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键．5．（2016春?罗定市期中）计算：（）﹣||【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简进而利用绝对值的性质化简，再合并求出答案．【解答】解：原式=3﹣﹣（2﹣）=3﹣﹣2+，=1．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及绝对值的性质，正确掌握运算法则是解题关键．6．（2016春?津南区校级期中）+3﹣5．【分析】根据二次根式的加减运算法则求解，即可求得答案．【解答】解：+3﹣5==﹣．【点评】此题考查了二次根式的加减运算．此题比较简单，注意法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．7．（2016春?萧山区期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先乘方、化简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：（1）原式=4=；（2）原式=6﹣2=6．【点评】二次根式的加减实际就是合并同类二次根式，一般需要先化为最简二次根式，再合并．8．（2016春?台安县期中）（+）﹣2﹣．【分析】先把二次根式为最简二次根式，再计算即可．【解答】解：原式=2+﹣﹣=．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．9．（2016春?封开县期中）计算：．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：原式=2+3﹣3+=3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．10．（2016春?中山市期中）计算：．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：原式=4+﹣2+2=3+2．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．11．（2016春?江门校级期中）计算：5+2．【分析】直接合并同类二次根式，进而得出答案．【解答】解：5+2=7．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．12．（2016春?浦东新区期中）计算：2﹣+．【分析】直接利用分数加减运算法则合并求出答案．【解答】解：原式=2﹣+=．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确进行通分运算是解题关键．13．（2016春?临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+．【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=7﹣5﹣（3++18）=2﹣21﹣6=﹣19﹣6；（2）原式=﹣﹣+2=4﹣+2=4+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．14．（2016春?新昌县校级期中）计算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=4﹣+=；（2）原式=2+2+3﹣（2﹣3）=2+2+3+1=6+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．15．（2016春?蓟县期中）计算：（1）（2）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．（2）观察，可以首先把括号内的化简，合并同类项，然后相乘．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7；（2）原式=（8）=﹣．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．16．（2016春?定州市期中）计算：（1）4+﹣+4（2）（﹣2）2÷（+3﹣）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=4×12÷（5+﹣4）=48÷（2）=8．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．17．（2016春?固始县期中）（1）计算：4+﹣+4；（2）计算：÷2×．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=1××=1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（2016春?蚌埠期中）计算：（1）（2）．【分析】（1）先对式子进行化简，再合并同类项即可解答本题；（2）根据平方差公式对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．【解答】解：（1）==5；（2）==5﹣4﹣3+2=0．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．19．（2016春?泰兴市期中）计算：（1）+|﹣3|﹣（）2；（2）（﹣2）﹣．【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再利用绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=4+3﹣﹣3=3；（2）原式=﹣2﹣5=5﹣10﹣5=﹣10．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2016春?浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并．【解答】解：原式=3﹣2+2﹣3﹣2﹣2=﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并．21．（2016春?东湖区期中）计算：（1）（）﹣（3﹣）（2）﹣3+．【分析】（1）先化简二次根式、同时去括号，再合并同类二次根式可得；（2）先计算二次根式的乘法，再化简即可．【解答】解：（1）原式=2+2﹣3+=2+3﹣3；（2）原式=﹣3+=4﹣3+．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．22．（2016春?邹城市校级期中）计算（1）（2）（+1）2（2﹣3）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=4﹣2+6=4+4；（2）原式=（2﹣3）（2﹣3）=（2）2﹣32=8﹣9=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（2016春?安陆市期中）计算：（1）；（2）（）2．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式=2+3=4；（2）原式=×﹣2××+=﹣+=5﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（2016春?微山县期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2．【分析】（1）首先化简二次根式进而合并求出答案；（2）直接利用乘法公式进而化简求出答案．【解答】解：（1）2﹣6+3=4﹣6×+3×4=2+12=14；（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2=6﹣5+12+18﹣12=31﹣12．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．25．（2016春?天津校级期中）计算：（1）（）（）﹣（）2（2）﹣．【分析】（1）直接利用乘法公式化简二次根式，进而合并求出答案；（2）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：（1）（）（）﹣（）2=3﹣5﹣（10+2﹣4）=﹣2﹣12+4=﹣14+4；（2）﹣=9﹣1﹣+1+﹣1=8．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．26．（2016春?杭州期中）计算（1）+﹣（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式把原式展开，合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=2+4=5；（2）原式=32﹣（）2+1+2+2=9﹣2+3+2=10+2．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确把二次根式化简、掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．（2016春?召陵区期中）计算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=5﹣+4=；（2）原式=a2﹣=9a3﹣=a3．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28．（2016春?张家港市期中）计算与化简：（1）﹣+（2）÷3×（3）÷﹣×+（4）÷（x+2）?．【分析】（1）先对原式化简，再合并同类项即可解答本题；（2）根据二次根式乘除法的计算方法进行计算即可；（3）先对原式化简，再合并同类项即可解答本题；（4）根据分式的乘除法的计算方法进行计算即可解答本题．【解答】解：（1）﹣+==；（2）÷3×==；（3）÷﹣×+===；（4）÷（x+2）?==．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法．29．（2016春?闸北区期中）计算：（1）3﹣+（2）（2+3）2（2﹣3）2（3）×6÷÷（4）（）﹣1+（）2×÷（5）2﹣3+2×+（1）﹣（2）．【分析】（1）直接合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）根据负整数指数的意义和二次根式的除法法则运算；（5）先把分数指数的形式化为二次根式的形式，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=[（2+3）（2﹣3）]2=（12﹣18）2=36；（3）原式=×6×××=×7=；（4）原式=﹣1+2=﹣1+2=3﹣1；（5）原式=2﹣3+×+﹣=﹣+4﹣=﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30．（2016春?庆云县期中）计算（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（1﹣）（+1）+（﹣1）2（3）÷×（4）+2﹣（﹣）【分析】（1）先根据二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（3）先根据二次根式的乘除法则进行计算，最后化成最简即可；（4）先去括号，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=2+﹣1﹣1+2=3；（2）原式=1﹣5+5﹣2+1=2﹣2；（3）原式===；（4）原式=2+2﹣3+=3﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．。
八年级数学下册-专题. 二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
【题型 8
二次根式混合运算的实际应用】 ...........................................................................................................19
【题型 9
二次根式的新定义类问题】 ...................................................................................................................23
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型 1
判断同类二次根式】
【例 1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
∵ �2 > 0，则 5� + 8 > 0，
∴当� = 1 时，5� + 8 = 7，解得� =− 0.2，不是正整数，舍去；
当� = 2 时，5� + 8 = 28，解得� = 4，符合题意，
即�的最小正整数为 4．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出
1
3
+ 48 ÷ 2 3
(2) 2 6 + 3 × 2 6 − 3 − (3 3 − 2)2 +
【答案】(1)
14
4
6− 2
3
(2)−8 + 7 6 + 2
八年级数学二次根式32道典型题(含答案和解析)
八年级数学二次根式32道典型题（含答案和解析）1.如果式子√x+1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．答案：x≥－1.解析：二次根式有意义的条件是根号内的式子不小于零，所以x＋1≥0，即x≥－1. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.2.当x 时，√3x+2有意义．.答案：x≥−23解析：由题意得：3x＋2≥0.解得：x≥−2.3考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.3.已知化简√12−n的结果是正整数，则实数n的最大值为（）．A.12B.11C.8D.3答案：B.解析：当√12−n等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．考点：式——二次根式.4.如果式子√x+3有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）．答案：C.解析：如果式子√x+3有意义，则x＋3≥0，即x≥－3，数轴表示为C图．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.5.二次根式√3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．答案：x≤3.解析：二次根式√3−x在实数范围内有意义，则需满足3－x≥0，即x≤3. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.6.下列等式成立的是（）．A.√32=±3B.√172−82=9C.(√−7)2=7D.√(−7)2=7答案：D.解析：√32=3，故A选项错误.√172−82=√225=15，故B选项错误.√−7无意义，故C选项错误.√(−7)2=7，故D选项正确．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.7.若x＜2，则化简√(x−2)2的结果是（）．A.2－xB.x－2C.x＋2D.x-2√x+2答案：A.解析：∵x＜2.∴x-2＜0．∴√(x−2)2=|x−2|=2−x．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.8.计算√(−2)2的结果是．答案：2.解析：√(−2)2=|−2|=2．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.9.若a＜1，化简√(a−1)2−1等于．答案：－a.解析：当a＜1时，a－1＜0.∴√(a−1)2−1＝1－a－1＝－a．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.10.已知x＜1，那么化简√x2−2x+1的结果是（）．A.x－1B.1－xC.－x－1D.x＋1 答案：B.解析：∵x＜1.∴x－1＜0.∴√x2−2x+1=√(x−1)2=|x−1|=1−x．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.11.结合数轴上的两点a、b，化简√a2−√(a−b)2的结果是．答案：b.解析：由数轴可知，b＜0＜a.∴a－b＞0.∴√a2−√(a−b)2=a−a+b=b．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.12.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．A.√5abB.√4a2C.√8aD.√a2答案：A.解析：√5ab是最简二次根式，故选项A正确.√4a2=2|a|，不是最简二次根式，故选项B错误.√8a=2√2a，不是最简二次根式，故选项C错误.√a中含有分母，即不是最简二次根式，故选项D错误．2考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.13.下列各式中，最简二次根式是（）．A.√0.2B.√18C.√x2+1D.√x2答案：C.，不是最简二次根式，故选项A错误.解析：√0.2=√55√18=3√2，不是最简二次根式，故选项B错误.√x2=|x|，不是最简二次根式，故选项D错误.√x2+1是最简二次根式，故选项C正确.考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.14. 若m =√13，估计m 的值所在的范围是（ ）．A.0＜m ＜1B.1＜m ＜2C.2＜m ＜3D.3＜m ＜4 答案：D.解析：3=√9<√13<√16=4.所以3＜m ＜4．考点：数——实数——估算无理数的大小.15. 已知a 、b 为两个连续的整数，且a <√28<b ，则a +b = ． 答案：11.解析：∵52=25，62=36.∴a ＝5，b ＝6.∴a ＋b ＝11．考点：数——实数——估算无理数的大小.16. 已知：x 2−3x +1=0，求√x √x 的值．答案：√5.解析：∵x 2−3x +1=0. ∴x +1x =3.∴(√x √x )2=x +1x +2=5.∴√x √x =√5．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.17. 若实数a ，b 满足(a +√2)2+√b −4=0，则a 2b = ．答案：12. 解析：(a +√2)2+√b −4=0.又(a +√2)2≥0，√b −4≥0.∴{a +√2=0√b −4=0. 即a =−√2，b =4.∴a 2b =12. 考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.18. 若实数x ，y 满足√x −2+(y +√2)2=0，则代数式y x 的值是 ． 答案：2.解析：由题意得，x −2=0，y +√2=0.解得x =2，y =−√2.则y x =2．考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.19. 下列各式计算正确的是（ ）．A.√2+√3=√5B.4√3−3√3=1C.2√2×3√3=6√3D.√27÷√3=3 答案：D.解析：√2+√3无法计算，故A 错误.4√3−3√3=√3，故B 错误.2√2×3√3=6×3=18，故C 错误.√27÷√3=√273=√9=3，D 正确．考点：式——二次根式——二次根式的乘除法——二次根式的加减法.20. 下列计算正确的是（ ）．A.√a 2=aB.√a +√b =√a +bC.(√a)2=aD.√ab =√a ×√b 答案：C.解析：√a 2=±a ，所以A 错误.√a +√b 中a 和b 的值未知，故不能进行加减运算，所以B 错误. (√a)2=a ，所以C 正确.√ab =√|a |×√|b |，所以D 错误．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.21. 计算：13√27−√6×√8+√12．答案：−√3.解析：原式=13×3√3−4√3+2√3=−√3．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.22. 计算：(√2−√3)2−(√2+√3)(√2−√3)． 答案：6−2√6．解析：原式=2−2√6+3−2+3=6−2√6． 考点：数——实数——实数的运算.23. 计算：√18−4√18−2(√2−1)．答案：2.解析：原式=3√2−4×√24−2√2+2=3√2−√2−2√2+2＝2.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.24. 计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4×√32．答案：5+√3.解析：原式=4−1+2−√3+2√3=5+√3. 考点：数——实数——实数的运算.25. 计算：|2−√5|−√83+(−12)−2．答案：√5.解析：原式=(√5−2)−2+1(−12)2=√5−2−2+4=√5.考点：数——实数——实数的运算.26. 计算：(√3−√2)2−√3(√2−√3)． 答案：8−3√6.解析：原式=3−2√6+2−(√6−3)=5−2√6−√6+3=8−3√6.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.27. 计算：√4−(π−3)0−(12)−1+|−3|．答案：2.解析：原式=2−1−2+3=2.考点：数——实数——实数的运算.28. 计算：(1−√3)0+|2−√3|−√12+√643．答案：7−3√3.解析：原式=1+2−√3−2√3+4=7−3√3.考点：数——实数——实数的运算.29.计算：(√2+1)×(√6−√3)．答案：√3.解析：原式=√12−√6+√6−√3=√12−√3=2√3−√3=√3.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.30.计算：√27+√6×√8−6√13．答案：5√3.解析：原式=3√3+4√3−2√3=5√3.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.31.计算：√9−√83+|−√2|−(√3−√2)0．答案：√2.解析：原式=3−2+√2−1=√2.考点：数——实数——实数的运算.32.计算：(π−3.14)0+|√3−2|−√48+(13)−2．答案：12−5√3.解析：原式=1+2−√3−4√3+9=12−5√3. 考点：数——实数——实数的运算.。
80道二次根式计算题
8
2
天津市第九十八中学 2013-2014 年第二学期八年级练习试题
21、 12 27 18
22、 2 2 3 3 2 3 3 2
23、 2 5 3 3 5 3
24、 2 75 3 27 3
25、
2
3 1
2
3 1
26、
15
1 3
1
5
27、 5 1 8 1 3 1
35、2错误!－3错误!＋5错误!－2b错误! , 错误! ,
36、 2a错误!－错误!错误!+错误!
37、 x 1 4y x y 1 ,
x
2
y
38、 2 x 9x (x2 1 6x x )
3
x
4
39、 6 2 3 3 3 22
40、 2 18 4 1
2 1
2
二、二次根式加减
4
天津市第九十八中学 2013-2014 年第二学期八年级练习试题
70、 ( 5 2)2 ( 5 1)( 5 3)
71、（ 3 2 12） 3 6 1 2
72、 1
2
2 1
2
3 1
2
2 1
2
3
73、
7
天津市第九十八中学 2013-2014 年第二学期八年级练习试题
74、已知 x=2+错误!，y=2－错误!，求 x2-xy+y2 的值。
2
18 2 2
28、 12 75 48 27
29、 9 3 7 12 5 48
30、 24 12 6
3
天津市第九十八中学 2013-2014 年第二学期八年级练习试题
31、 2 6 2 3
32、 a 3 9a 3 a
二次根式的50道混合运算(5大题型)—2023-2024学年八年级数学下册重难点(浙教版)(解析版)
二次根式的50道混合运算专训（5大题型）【题型目录】题型一 利用二次根式的性质化简题型二 二次根式的乘除法题型三 二次根式的加减法题型四 已知字母的值化简求值题型五 分母有理化【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（2023下·湖北随州·八年级校联考期中）计算： (1)18422−+； (2)2(23)(2335)(2335)+−+−．【答案】(1)2(2)3826+【分析】（1）先化简根式，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先根据完全平方公式及平方差公式展开，再合并即可得到答案；【详解】（1）解：原式22222=−+；2=；（2）解：原式()22631245=++−−22631245=++−+3826=+；【点睛】本题考查化简二次根式及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握222()2a b a b ab +=++， 22()()a b a b a b +−=−．2．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）计算：(1)201939327(1)+−+−−−(2)23(6)128−+−−【答案】(1)4 (2)32+【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【详解】（1）解：201939327(1)33314+−+−−−=+−+=； （2）解：23(6)128621232−+−−=+−−=+．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 3．（2019上·福建宁德·九年级开学考试）先化简，再求值：211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭，其中31m =−． 【答案】11m +，33 【分析】原始第二项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后将m 的值代入即可【详解】211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭ ()211m m m m =÷++ ()211m m m m +=⋅+11m =+，将31m =−代入得原式133311==−+．【点睛】此题考查分式的化简求值，二次根式的性质，关键在于正确化简计算．4．（2023下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）先化简后求值：222122111a a a a a a a a−+−+−−−−，其中2a =−． 【答案】1a −，3−【分析】由2a =−得130a −=−<，再根据提公因式法和公式法因式分解及二次根式的性质化简原式即可得出答案．【详解】解：∵2a =−，∴130a −=−<，∴原式()()211111a a a a a a −−=−−−− ()()1111a a a a a −−=−−−−111a a a =−+−1a =−3=−【点睛】本题主要考查分式的化简求值，涉及到二次根式的性质，完全平方公式、提公因式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）填空： (1)9±= ________； (2)124= ________；(3)364=________ ；(4)48= ________；(5)43= ________； (6)63= ________； (7)()22−= ________；(8)()331−= ________；(9)23−= ________；【答案】(1)3±(2)32(3)4(4)43(5)23 3(6)2(7)2(8)1−(9)32−【分析】（1）直接化简即可；（2）将带分数化为假分数，即可化简；（3）根据立方根的定义，即可化简；（4）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（5）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（6）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（7）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（8）根据立方根的性质进行化简即可；（9）根据负数的绝对值是它的相反数，即可化简．【详解】（1）解：93±=±；故答案为：3±．（2）解：1932442==；故答案为：3 2．（3）解：3644=；故答案为：4．（4）解：4816316343=⨯=⨯=；故答案为：43．（5）解：442323 33333===⨯；故答案为：233．（6）解：66323=÷=； 故答案为：2．（7）解：()()22222−==；故答案为：2．（8）解：()3311−=−；故答案为：1−．（9）解：()232332−=−−=−； 故答案为：32−．【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法和步骤． 6．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）根据所给数轴解决以下问题：(1)计算：2b =___________．(2)化简：()323c b a a b b c −−++−+【答案】(1)b −；(2)2a b −．【分析】（1）由数轴确定b 的符号，再根据二次根式的化简公式可得到答案；（2）由数轴可确定a 、b 、c 的大小，0a b c <<<，a b >，c b >，再根据二次根式的化简公式，去绝对值符合法则，立方根的定义计算即可．【详解】（1）由数轴可知0b <，∴2b b b ==−，故答案为：b −；（2）由数轴可得：0a b c <<<，c b >， ∴0b a −>，0b c +>，∴原式()()()c b a a b b c =−−++−+，c b a a b b c =−+++−−，2a b =−．【点睛】此题考查了数轴、二次根式的化简与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 7．（2023上·四川内江·八年级校考阶段练习）计算：23= ，20.5= ，()26−= ，234⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ，213⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，20= ， (1)根据计算结果，回答：当0a >时，2a = ；当0a =时，2a = ；当a<0时，2a = ；(2)利用以上的规律，计算：①若2x <，则()22x −= ；②()23.14−π= ；(3)若a ，b ，c 为三角形的三边，化简：()()()222a b c b c a b c a +−+−−++−【答案】(1)3，0．5，6，34，13，0；,0,a a −(2)2x −， 3.14π−(3)a b c ++【分析】（1）根据算术平方根的定义，逐个进行计算即可；（2）根据（1）中得出的结论，进行计算即可；（3）根据三角形三边之间的关系，得出0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，再根据算术平方根的性质，进行化简，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：2393==，20.50.250.5==，()26366−==，23934164⎛⎫−== ⎪⎝⎭，2111393⎛⎫== ⎪⎝⎭，2000== 故答案为：3，0.5，6，34，13，0；当0a >时，2a a =； 当0a =时，20a =；当a<0时，2a a =−；故答案为：,0,a a −；（2）解：①∵2x <，∴20x −<， ∴()()2222x x x −=−−=− ；②∵3.14π<，∴3.140π−<， ∴()()23.14 3.14 3.14ππ−π=−−=−，故答案为：2x −， 3.14π−；（3）解：∵a ，b ，c 为三角形的三边∴0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，()()()222a b c b c a b c a +−+−−++− a b c b c a b c a=+−+−−++− a b c a c b b c a =+−++−++−a b c =++． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握2a a =． 8．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质：()()20a a a =≥()()200a a a a a a ⎧≥⎪==⎨−<⎪⎩（a 为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题．(1)化简()21x −，当______时，()21x −=______；当______时，()21x −=______． (2)解方程()213x −=； (3)方程()()22214x x −+−=的解是______； (4)方程()()221231x x −−+=−的解是______．【答案】(1)1x ≥，1x −；1x <，1x −；(2)4x =或2x =−(3)72x =(4)8x =−或43x =−【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）结合（1）分类讨论求解即可；（3）由二次根式有意义的条件可求出2x ≥，从而得出11x −≤−，即可将原方程化简，再求解即可；（4）根据二次根式的性质分类讨论求解即可，注意舍去不合题意的解．【详解】（1）解：化简()21x −，当10x −≥，即1x ≥时，()211x x −=−； 当10x −<，即1x <时，()211x x −=−．故答案为：1x ≥，1x −；1x <，1x −；（2）解：()213x −=，由（1）可知当1x ≥时，原方程可化为13x −=，解得：4x =；当1x <时，原方程可化为13x −=，解得：2x =−．∴原方程的解为4x =或2x =−；（3）解：∵方程()()22214x x −+−=成立，∴20x −≥，∴2x ≥，∴11x −≤−， ∴原方程可化为214x x −+−=，解得：72x =； （4）解：()()221231x x −−+=−分类讨论：当3x <−时，即10x −<，30x +<，∴原方程可化为()1231x x −−−−=−，解得：8x =−；当31x −≤<时，即10x −<，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−， 解得：43x =−；当1x ≥时，即10x −>，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−，解得：6x =−（舍）．综上可知该方程的解为8x =−或43x =−．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质解方程．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 9．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：若设()22222222a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b +的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若()277a b m n +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a _____，b =_____； (2)若()2633a m n +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；(3)化简下列各式：①526+； ②4102541025−++++．【答案】(1)227m n +，2mn (2)a 的值为12或28(3)①32+；②51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用含m 、n 表示a 、b ；（2）利用（1）中的结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，再代入进行计算即可得到答案；（3）①将原式变形为()232+即可得到答案；②设4102541025t −++++=，两边平方得到2625t =+，再把625+写成完全平方式，即可得到t 的值，从而得到答案．【详解】（1）解：()22277727a b m n m n mn +=+=++，227a m n ∴=+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）解：∵62mn =，∴3mn =，∵a m n 、、均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）解：①()2526322323232+=++⨯=+=+，②设4102541025t −++++=， 则()241025410252161025t =−+++++−+82625=+− ()28251=+− ()8251=+−625=+()251=+， ∴51t =+．【点睛】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键． 10．（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）求代数式()21a a +−，1007a =，如图是小亮和小芳的解答过程：解：原式()21a a =+− 1a a =+− 1= 解：原式()21a a =+−=+−1a a2013=(1)________的解法是正确的；(2)化简代数式269a a a +−+，（其中a<0）；(3)若()()225813a a −++=，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)小芳(2)3(3)85a −≤≤【分析】（1）根据题意，利用二次根式性质化简后求值即可验证；（2）由a<0得到30a −<，利用二次根式性质化简后求值即可得到答案；（3）利用二次根式性质化简后，利用绝对值的代数意义，分三类讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：1007a =，10a ∴−<，∴()2111a a a −=−=−，即()21a a +−=+−1a a 21a =−当1007a =时，原式2013=，∴小芳的解法是正确的，故答案为：小芳； （2）解：0a <，∴30a −<，∴269a a a +−+ ()23a a =+− 3a a =+− 3a a =−+3=；（3）解：()()225858a a a a −++=−+−， 当8a ≤−时，58582313a a a a a −++=−−−=−−=，解得8a =−； 当85a −<<时，585813a a a a −++=−++=； 当5a ≥时，58582313a a a a a −++=−++=+=，解得5a =；综上，a 的取值范围是85a −≤≤．【点睛】本题考查代数式化简求值，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．【经典计算题二 二次根式的乘除法】 11．（2023上·江苏南通·八年级校考期中）计算： (1)20318*******−⎛⎫+−−−− ⎪⎝⎭ (2)()215432733÷−⨯ 【答案】(1)31−− (2)26−【分析】（1）本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）本题考查二次根式的乘除混合运算，根据乘除运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：原式2231431=+−−−=−−；（2）原式213633326332633=−⨯÷⨯⨯=−÷⨯=−． 12．（2023上·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）化简：(1)364(2)()22640,09b a b a >≥ (3)()290,064x x y y ≥> (4)()250,0169x x y y ≥> (5)212121335÷⨯ (6)53232ab a b b ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭【答案】(1)38(2)83ba(3)36xy (4)513xy(5)1(6)223a b −【分析】（1）根据二次根式的性质，进行化简即可；（2）根据二次根式的性质，进行化简即可；（3）根据二次根式的性质，进行化简即可；（4）根据二次根式的性质，进行化简即可；（5）利用二次根式的乘除法则，进行计算即可；（6）根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．【详解】（1）解：33648=； （2）2264893b b a a =； （3）293646x x y y =； （4）25516913x x yy =； （5）2125371211335375÷⨯=⨯⨯=；（6）23535322233332a b ab a b ab a b a b b b b ⎛⎫⋅−=−⋅=−=− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 13．（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）计算：(1)()()122035++−；(2)()0423622(8)π−÷−+． 【答案】(1)335+；(2)3312−． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【详解】（1）原式()()232535=++−，232535=++−，335=+；（2）原式()14236122=−⨯−，33212=−−，3312=−．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 14．（2023下·山东德州·八年级统考期中）计算：(1)()()0212221201916π−+−−−−； (2)()1223285227⎛⎫÷⨯− ⎪ ⎪⎝⎭． 【答案】(1)12−(2)51021−【分析】对于（1），由2124−=，0(2019)1π−=，11164=，再计算即可；对于（2），根据二次根式的乘除法法则计算即可．【详解】（1）原式1122144=+−−−12=−；（2）原式5116(5)27328=⨯⨯−5516132728=−⨯⨯510349=−⨯ 511037=−⨯⨯ 51021=−．【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握运算法则，理解零指数次幂和负整数指数次幂是解题的关键． 15．（2023下·山东济宁·八年级统考阶段练习）计算． (1)148312242÷+⨯− (2)()()()()22313223132−++−−+ 【答案】(1)46−(2)9【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则计算乘除，再合并同类二次根式即可；（2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−16626=+−46=−；（2）()()()()22313223132−++−−+()31233443232332=+−+++−+−−1123223=+−− 9=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算；熟练运用二次根式的运算法则和公式法是解题的关键． 16．（2022上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）计算：(1)()252(52)(52)+−++ (2)380151215−++− 【答案】(1)1045+(2)33+【分析】（1）先利用乘法公式进行二次根式的计算，然后合并即可；（2）先进行平方差公式的运算，然后合并．【详解】（1）解：()252(52)(52)+−++545454=−+++1045=+； （2）解：380151215−++−801523155=−+−43231=−+−33=+．【点睛】此题考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则．17．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）计算：(1)()()2236125−−+； (2)()33123⨯−+−． 【答案】(1)10(2)33+【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则，去绝对值，再合并即可；【详解】（1）解：()()2236125−−+615=−+10=（2）解：()33123⨯−+−3323=−+33=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质等知识点，主要考查学生的计算和化简能力． 18．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）计算： (1)()18123−⨯； (2)()()()2311551+−−+． 【答案】(1)366−(2)823+【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可．（2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可．【详解】（1）解：原式5436=−366=−（2）解：原式323115=++−+823=+【点睛】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．19．（2023下·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：()()()2252522−+−−（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 212243932⎛⎫−⨯+ =⎪ ⎪⎝⎭……第一步 322232623323=−⨯+⨯……第二步 32122622=−+……第三步 922=……第四步 ①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；③该运算正确结果应是______.【答案】（1）742−+；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或a a b b =（a b ≥，0b >）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③3322−. 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．（2）①根据二次根式的性质：a a b b =（a b ≥，0b >），即可得到答案；②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．【详解】（1）()()()()()22525224544221642742−+−−=−−−+=−−+=−+； （2）①化简步骤中第一化简的依据为a ab b =（a b ≥，0b >）， 故答案为：a a b b =（a b ≥，0b >）；②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 921224332⎛⎫=−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭322232623323=−⨯−⨯32122622=−−3322=−. 该运算正确结果应是3322−. 故答案为：3322−. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键． 20．（2023下·江苏·八年级期末）观察下列各式及其验算过程： 222233+=，验证：3223222223333⨯++===； 333388+=，验证：3338333338888⨯++===． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415+的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【答案】(1)481541515+=，验证见解析(2)2211n n n n n n +=−−，验证见解析【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．44441515+=，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；（2）由（1）中的式子可得规律：2211n nn n n n +=−−．【详解】（1）解：∵222233+=，333388+=，∴44281544415151515+==⋅=， 验证：4648154151515+==，正确；（2）解：由（1）中的规律可知2223218311541=−=−=−，，， ∴2211n nn n n n +=−−，验证：3222111n n n n n n n n +==−−−，正确． 【点睛】本题考查二次根式的乘除以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．【经典计算题三 二次根式的加减法】 21．（2023上·四川成都·八年级校考期中）计算： (1)1823122++⨯； (2)()212327|13|2π−⎝−⎛⎫−++−− ⎪⎭．【答案】(1)326+ (2)623+【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，实数的混合运算； （1）先进行二次根式的乘法运算，化简，再算加减即可； （2）先算绝对值，零指数幂，负整指数幂，化简，再算加减即可． 掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】（1）解：原式2226=++326=+； （2）解：原式133431=++−+623=+．22．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）化简求值：224(1)244a a a a a −−÷+++，其中5a =． 【答案】22a −，254+【分析】本题考查分式的化简求值，先化简分式，再代入计算即可．【详解】原式()()()222222a a a a a a +−+−=÷++()()()222222a a a a +=⋅++−22a =−，当5a =时，原式()()()252222542525252a +====+−−−+．23．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）计算： (1)2(32)(32)(2)+−+−；(2)3231381642−⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】(1)3 (2)12【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的性质展开，然后计算即可；（2）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂的性质化简，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式322=−+3=； （2）解：原式()9948=−++−−9948=−+++12=．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 24．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）计算： (1)计算：()2221216+−⨯．(2)先化简，再求值：2221111x x x x x −+⎛⎫−÷⎪+−⎝⎭，其中31x =+． 【答案】(1)9 (2)11x −；33【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分式的化简求值及分母有理化： （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再将31x =+代入原式即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式842142=++−94242=+−9=（2）原式()()()2111111x x x x x x x +−+⎛⎫=−⨯ ⎪++⎝⎭−()()()211111x x x x =+-´+-11x =−， 当31x =+时，原式11333113===+−． 25．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应问题： ()()()()4624624624626262++===+−−+．应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)116576+++； (2)若k 是31−，求28k 的值． 【答案】(1)75− (2)843+【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化．（1）先利用分母有理化化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘方运算，再进行分母有理化即可． 掌握分母有理化的方法，是解题的关键．【详解】（1）解：原式()()()()657665657676−−=++−+−6576=−+−75=−；（2）由题意可得：()()()()22842388884342342342331k +====+−−+−．26．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）计算： (1)148312242÷+⨯−； (2)()()32233223+−． 【答案】(1)46− (2)6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】（1）148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−4626=+− 46=−；（2）()()32233223+−()()223223=−1812=− 6=．27．（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）计算：(1)635082⨯⨯−(2)()()()21232323−−−+ 【答案】(1)17 (2)1243−【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．（1）先运用二次根式乘除法则进行计算，再进行相减即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）原式40033=−⨯203=−17= （2）原式()()1431243=−+−−31314=−−1243=−28．（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算 (1)11233−+； (2)()()25353(31)+−−−；(3)36427122−−−+；(4)01227( 3.14)3π+−−． 【答案】(1)433；(2)823−+； (3)6； (4)4．【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则． （1）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差和完全平方公式进行计算即可；（3）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可； （2）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可；【详解】（1）原式32333=−+433=；（2）原式4423=−−+823=−+； （3）原式()83212=−−−+6=；（4）原式491=+−231=+−4=．29．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：()()()()2213113131231313131⨯−−−===++−−． 153253−=+，175275−=+．(1)用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．(2)利用上面的结论，求下列式子的值：()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭．【答案】(1)1222n nn n +−=++(2)1011【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点， （1）数字找规律，进行计算即可解答； （2）利用前边的规律，进行计算即可解答；注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键． 【详解】（1）总结规律可知：12n n++()()222n n n nn n +−=+++−22n n+−=，故答案为：1222n nn n +−=++；（2）()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭()31537520232021202312222⎛⎫−−−−=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪⎝⎭()()20231202312−=⨯+1011=．30．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：2的有理化因式是2；211a ++的有理化因式是211a −+．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：11333333⋅==⋅；()()()221222212121⋅−==−++−．【知识运用】（1）填空：25的有理化因式是______（写出一个即可）；3a +的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①6226+−； ②12x +． （3）化简：111213298++++++． 【答案】（1）5；3a −；（2）①23−−；②222x x −−；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】（1）25的有理化因式是5（答案不唯一）；3a +的有理化因式是3a −. 故答案为：5（答案不唯一）；3a −；（2）①()()()()2622662(26)2326262626++++===−−−−−+.②()()21222222x x x x x x −−==−++−.（3）111213298++++++()()()()()()213298212132329898−−−=++++−+−+−213298=−+−++−19=−+ 13=−+ 2=.【经典计算题四 已知字母的值化简求值】31．（2024上·湖南长沙·九年级明德华兴中学校联考期末）先化简，后求值：625222x x x x −⎛⎫÷−+ ⎪++⎝⎭，其中4x =−． 【答案】23x +，2−【分析】题考查分式的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的顺序和相关运算法则．先计算括号内的部分，化简后代入计算即可；【详解】解：原式()625222x x x x −⎡⎤=÷−−⎢⎥++⎣⎦26254222x x x x x ⎛⎫−−=÷− ⎪+++⎝⎭()2546222x x x x −−−=÷++262922x x x x −−=÷++()()()232233x x x x x −+=⋅+−+23x =+，当4x =−时，原式222431===−−+−．32．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）先化简，再求值：()()()()2222328x y x y x y x xy x ⎡⎤+−+−+−÷⎣⎦，其中121x =−，121y =+． 【答案】x y −，2 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式()2222242368x y x xy y x xy x=−+−++−÷()2888x xy x=−÷x y =−．当12121x ==+−，12121y ==−+时，原式()21212=+−−=33．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）若52,52a b =+=−． (1)求22a b −． (2)求33a b ab +． 【答案】(1)85 (2)18【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键． （1）根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；（2）先利用平方差公式计算出1ab =，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：52,52a b =+=−，原式()()a b a b =+−254=⨯85=； （2）解：52,52a b =+=−，(52)(52)25,(52)(52)1a b ab ∴+=++−==+−=，则33a b ab+()22ab a b =+2()2ab a b ab ⎡⎤=+−⎣⎦21(25)2⎡⎤=⨯−⎣⎦18=． 34．（2023上·湖北武汉·八年级期末）设-x =+2121，2121y +=−，求223x xy y −+值. 【答案】31【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把2121x −=+，2121y +=−化简，再把223x xy y −+变形为()2x y xy−−代入计算即可．【详解】解：∵()()()22121322212121x −−===−++−，()()()22121322212121y ++===+−−+，∴223x xy y −+222x xy y xy =−+− ()2=−−x y xy()()()()2322322322322⎡⎤=−−+−−+⎣⎦()()24298=−−−=321−31=．35．（2020下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）已知72a =+，72b =−，求下列各式的值． (1)222a ab b −+． (2)22a b −． 【答案】(1)16 (2)87【分析】（1）直接利用已知得出a b +，a b −的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【详解】（1）解：∵72a =+，72b =−， ∴727227a b +=++−=，()()72724a b −=+−−=，∴222a ab b −+()2a b =−24=16=；（2）22a b −()()a b a b =+−274=⨯87=． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．36．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知57x =+，57y =−，求下列代数式的值： (1)22x y +； (2)22x xy y −+． 【答案】(1)24 (2)26【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值： （1）先求出25x y +=，2xy =−，再根据()2222x y x y xy +=+−进行求解即可；（2）根据（1）所求代值计算即可．【详解】（1）解：∵57x =+，57y =−，∴575725x y +=++−=，()()5757572xy =+−=−=−，∴()()()22222252220424x y x y xy +=+−=−⨯−=+=；（2）解：()2224224226x xy y −+=−−=+=．37．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）阅读材料：在解决问题“已知123a =−，求23124a a −+的值”时，小红是这样分析与解答的： ()()12323232323a +===+−−+， 23a ∴−=()223a ∴−=，即2244341a a a a −+=∴−=−．()223124344341a a a a −+=−+=−+=．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：(1)化简：2414+(2)若336a =−，求22121a a −+的值．【答案】(1)414− (2)5−【分析】本题考查了分母有理化以及利用整体思想求代数式的值，正确的化简是解题关键． （1）分子、分母同时乘以()414−，可实现分母有理化；（2）分母有理化可得36a =+，根据材料可得263a a −=−；结合()222121261a a a a −+=−+，利用整体思想即可求解．【详解】（1）解：()()()24142414414414−=++−()24142−=414=−；（2）解：()()()()3363363363363636a ++====+−−+，∴36a −=，∴()236a −=，即2696a a −+=，263a a ∴−=−，()222121261615a a a a −+=−+=−+=−38．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读理解：已知32x =−，求代数式245x x +−的值．佳佳的做法是：根据32x =−得2(2)3x +=，2443x x ∴++=，得241x x +=−．把24x x +作为整体代入，得245156x x +−=−−=−．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下列问题：(1)已知61x =+，求代数式223x x −+的值； (2)已知512x −=，求代数式321x x ++的值． 【答案】(1)8 (2)512+【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键．（1）根据61x =+，得到()216x −=，进而得到225x x −=，整体代入求值即可；（2）根据512x −=，推出21x x +=，利用整体代入求值即可．【详解】（1）解：∵61x =+，∴()216x −=，∴2216x x −+=，∴225x x −=，∴223538x x −+=+=；（2）∵512x −=，∴251x =−， ∴215x +=，∴()2215x +=，∴24415x x ++=，∴2444x x +=，∴21x x +=，∴321x x ++()21x x x =++1x =+512+=．39．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料： 问题：已知53x =−，求代数式269x x +−的值． 小敏的做法是：根据53x =−得()235x +=， ∴2695x x ++=，得：264x x +=−.把26x x +作为整体代入：得26913x x =−+−即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)己知x 53=+，求代数式2612x x −+的值； (2)已知 512x −=，求代数式3221x x x +++的值． 【答案】(1)8(2)532+【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出264x x −=−，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；（2）根据完全平方公式计算可得21x x +=，然后利用()()3222211x x x x x x x x +++=++++整体代入计算即可．【详解】（1）解：∵x 53=+，∴()235x −=，∴2695x x −+=，∴264x x −=−，∴212612x x +=−4+−=8．（2）解：∵512x −=，∴2215115=2224x ⎛⎫−⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21544++=x x ， ∴21x x +=，∴3221x x x +++()()221x x x x x =++++11x =++5122−=+ 532+=．40．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）我们知道()()32321+−=，因此将132+分子、分母同时乘“32−”，分母就变成了1，原式可以化简为 32−，所以有13232=−+．请仿照上面的方法，解决下列各题．(1)化简：152=+ ，165=− ；(2)若1322x =+，1322y =−，求()2x y xy −−的值；(3)根据以上规律计算下列式子的值：111121324320222021++++++++．【答案】(1)52−，65+ (2)31 (3)20221−【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键．（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；（2）先利用分母有理化化简x 、y ，再代值求解即可；（3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可．【详解】（1）解：()()15252525252−==−++−，()()16565656565+==+−−+，故答案为：52−，65+；（2）解：∵()()1322322322322322x −===−++−，()()1322322322322322y +===+−−+，∴()32232242x y −=−−+=−，()()3223221xy =+−=，∴()2x y xy −−()2421=−−=321−31=；（3）解：∵()()111111n n n nn nn nn n+−==+−+++++−∴111121324320222021++++++++21324320222021=−+−+−++−20221=−．【经典计算题五 分母有理化】41．（2023上·上海松江·八年级统考期末）计算：1123233322−+++．【答案】62【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式()423232=−−++423232=−+++62=．42．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算：2041(23)9(32)332−++−−+．【答案】1453−．【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：原式()()()()224321243339133232−=−+++⨯−+−，4433438331=−+−++−， 1453=−．43．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）计算：261822623⨯+−−． 【答案】4−【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：261822623⨯+−− ()()()2231218262323+=+−+−()33223=+−+23423=−−4=−．44．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知121m =−，n 是m 的小数部分． (1)求1n n+的值； (2)求322213m m m n n −−++． 【答案】(1)22 (2)7【分析】本题主要考查了二次根式的估算，二次根式的混合运算，求代数式的值， （1），先求出m ，n 的值，再代入计算；（2），先求出m ，整理22211()2n n n n +=+−，再代入计算即可．【详解】（1）121==−m ()()212121+−+21=+.∵122<<， ∴2213<+<， 则21221=+−=−n ，112121212221+=−+=−++=−n n ； （2）322213m m m n n −−++221=(3)()2−−++−m m m n n221(21)[(21)(21)3](21)221=+⋅+−+−+−+−−2(21)(2122213)(2121)2=+⋅++−−−+−++−2(21)(21)(22)2=+⋅−+−2182=−+−7=．45．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）计算：(1)0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭； (2)12633221⨯+−−−； (3)a b a b b a a −⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭；(4)2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷ ⎪++⎝⎭．【答案】(1)11214+(2)5231−+(3)a b b +(4)22a a +−−【分析】（1）先根据二次根式的性质和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法法则，绝对值进行计算，同时进行分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先根据分式的减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）先根据分式的加减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）解：（1）0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭ 132214=−+11214=+；（2）1263|32|21⨯+−−−216223(21)(21)+=+−−−⨯+622321=+−−− 5231=−+；（3）a b a bb a a −⎛⎫−÷⎪⎝⎭22a b aab a b −=⋅− ()()a b a b a ab a b +−=⋅− a b b +=；（4）2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷⎪++⎝⎭ 23(1)(1)11(2)a a a a a −−++=⋅+− 22411(2)a a a a −++=⋅+−2(2)(2)11(2)a a a a a −+−+=⋅+−22a a +=−−．【点睛】本题考查了分式的混合运算，零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据分式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 46．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知23a b ab +==−，，求22a b +我们可以把a b +和ab 看成是一个整体，令x a b y ab =+=，，则()2222224610a b a b ab x y +=+−=−=+=这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果． (1)计算：32323232________32323232+−+−⋅=+=−+−+， (2)m 是正整数，11,,11m m m ma b m m m m+−++==+++−且222195522023a ab b ++=，求m ．(3)已知2215192x x +−−=，求221519x x ++−的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简,a b ，从而求出a b +=42,1m ab +=，然后根据已知可得()2219512023a b ab ++=，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：32323232+−⋅−+22(32)(32)(32)(32)(32)(32)+−=⋅+−+− ()()223232=+⋅−。
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八年级下册二次根式的计算专题一．解答题（共30小题）1．（2016•太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||．2．（2016•丹东模拟）计算：．3．（2016•海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×；（2）化简：•．4．（2016•崇明县二模）计算：．5．（2016春•罗定市期中）计算：（）﹣||6．（2016春•津南区校级期中）+3﹣5．7．（2016春•萧山区期中）计算：（1）；（2）．8．（2016春•台安县期中）（+）﹣2﹣．9．（2016春•封开县期中）计算：．10．（2016春•中山市期中）计算：．11．（2016春•江门校级期中）计算：5+2．12．（2016春•浦东新区期中）计算：2﹣+．13．（2016春•临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+．14．（2016春•新昌县校级期中）计算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．15．（2016春•蓟县期中）计算：（1）（2）16．（2016春•定州市期中）计算：（1）4+﹣+4（2）（﹣2）2÷（+3﹣）17．（2016春•固始县期中）（1）计算：4+﹣+4；（2）计算：÷2×．18．（2016春•蚌埠期中）计算：（1）（2）．19．（2016春•泰兴市期中）计算：（1）+|﹣3|﹣（）2；（2）（﹣2）﹣．20．（2016春•浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．21．（2016春•东湖区期中）计算：（1）（）﹣（3﹣）（2）﹣3+．22．（2016春•邹城市校级期中）计算（1）（2）（+1）2（2﹣3）23．（2016春•安陆市期中）计算：（1）；（2）（）2．24．（2016春•微山县期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2．25．（2016春•天津校级期中）计算：（1）（）（）﹣（）2（2）﹣．26．（2016春•杭州期中）计算（1）+﹣（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．27．（2016春•召陵区期中）计算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）28．（2016春•张家港市期中）计算与化简：（1）﹣+（2）÷3×（3）÷﹣×+（4）÷（x+2）•．29．（2016春•闸北区期中）计算：（1）3﹣+（2）（2+3）2（2﹣3）2（3）×6÷÷（4）（）﹣1+（）2×÷（5）2﹣3+2×+（1）﹣（2）．30．（2016春•庆云县期中）计算（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（1﹣）（+1）+（﹣1）2（3）÷×（4）+2﹣（﹣）八年级下册二次根式的计算专题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||．【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而求出答案．【解答】解：原式=﹣1+2﹣（﹣1）=．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．2．（2016•丹东模拟）计算：．【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算．【解答】解：原式=3﹣1﹣4+2=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用．3．（2016•海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×；（2）化简：•．【分析】（1）先进行乘方运算和二次根式的乘法运算，然后进行加减运算；（2）先把分子分母因式分解，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1+3+=﹣1+3+4=6；（2）原式=•=．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的乘除法．4．（2016•崇明县二模）计算：．【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2+1﹣2+=4﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键．5．（2016春•罗定市期中）计算：（）﹣||【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简进而利用绝对值的性质化简，再合并求出答案．【解答】解：原式=3﹣﹣（2﹣）=3﹣﹣2+，=1．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及绝对值的性质，正确掌握运算法则是解题关键．6．（2016春•津南区校级期中）+3﹣5．【分析】根据二次根式的加减运算法则求解，即可求得答案．【解答】解：+3﹣5==﹣．【点评】此题考查了二次根式的加减运算．此题比较简单，注意法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．7．（2016春•萧山区期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先乘方、化简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：（1）原式=4=；（2）原式=6﹣2=6．【点评】二次根式的加减实际就是合并同类二次根式，一般需要先化为最简二次根式，再合并．8．（2016春•台安县期中）（+）﹣2﹣．【分析】先把二次根式为最简二次根式，再计算即可．【解答】解：原式=2+﹣﹣=．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．9．（2016春•封开县期中）计算：．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：原式=2+3﹣3+=3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．10．（2016春•中山市期中）计算：．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：原式=4+﹣2+2=3+2．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．11．（2016春•江门校级期中）计算：5+2．【分析】直接合并同类二次根式，进而得出答案．【解答】解：5+2=7．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．12．（2016春•浦东新区期中）计算：2﹣+．【分析】直接利用分数加减运算法则合并求出答案．【解答】解：原式=2﹣+=．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确进行通分运算是解题关键．13．（2016春•临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+．【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=7﹣5﹣（3++18）=2﹣21﹣6=﹣19﹣6；（2）原式=﹣﹣+2=4﹣+2=4+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．14．（2016春•新昌县校级期中）计算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=4﹣+=；（2）原式=2+2+3﹣（2﹣3）=2+2+3+1=6+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．15．（2016春•蓟县期中）计算：（1）（2）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．（2）观察，可以首先把括号内的化简，合并同类项，然后相乘．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7；（2）原式=（8）=﹣．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．16．（2016春•定州市期中）计算：（1）4+﹣+4（2）（﹣2）2÷（+3﹣）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=4×12÷（5+﹣4）=48÷（2）=8．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．17．（2016春•固始县期中）（1）计算：4+﹣+4；（2）计算：÷2×．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=1××=1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（2016春•蚌埠期中）计算：（1）（2）．【分析】（1）先对式子进行化简，再合并同类项即可解答本题；（2）根据平方差公式对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．【解答】解：（1）==5；（2）==5﹣4﹣3+2=0．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．19．（2016春•泰兴市期中）计算：（1）+|﹣3|﹣（）2；（2）（﹣2）﹣．【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再利用绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=4+3﹣﹣3=3；（2）原式=﹣2﹣5=5﹣10﹣5=﹣10．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2016春•浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并．【解答】解：原式=3﹣2+2﹣3﹣2﹣2=﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式以及二次根式的合并．21．（2016春•东湖区期中）计算：（1）（）﹣（3﹣）（2）﹣3+．【分析】（1）先化简二次根式、同时去括号，再合并同类二次根式可得；（2）先计算二次根式的乘法，再化简即可．【解答】解：（1）原式=2+2﹣3+=2+3﹣3；（2）原式=﹣3+=4﹣3+．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．22．（2016春•邹城市校级期中）计算（1）（2）（+1）2（2﹣3）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=4﹣2+6=4+4；（2）原式=（2﹣3）（2﹣3）=（2）2﹣32=8﹣9=﹣1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（2016春•安陆市期中）计算：（1）；（2）（）2．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式=2+3=4；（2）原式=×﹣2××+=﹣+=5﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（2016春•微山县期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2．【分析】（1）首先化简二次根式进而合并求出答案；（2）直接利用乘法公式进而化简求出答案．【解答】解：（1）2﹣6+3=4﹣6×+3×4=2+12=14；（2）（﹣）（+）+（2﹣3）2=6﹣5+12+18﹣12=31﹣12．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．25．（2016春•天津校级期中）计算：（1）（）（）﹣（）2（2）﹣．【分析】（1）直接利用乘法公式化简二次根式，进而合并求出答案；（2）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式求出答案．【解答】解：（1）（）（）﹣（）2=3﹣5﹣（10+2﹣4）=﹣2﹣12+4=﹣14+4；（2）﹣=9﹣1﹣+1+﹣1=8．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．26．（2016春•杭州期中）计算（1）+﹣（2）（3+）（3﹣）+（1+）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式把原式展开，合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=2+4=5；（2）原式=32﹣（）2+1+2+2=9﹣2+3+2=10+2．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确把二次根式化简、掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．（2016春•召陵区期中）计算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=5﹣+4=；（2）原式=a2﹣=9a3﹣=a3．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28．（2016春•张家港市期中）计算与化简：（1）﹣+（2）÷3×（3）÷﹣×+（4）÷（x+2）•．【分析】（1）先对原式化简，再合并同类项即可解答本题；（2）根据二次根式乘除法的计算方法进行计算即可；（3）先对原式化简，再合并同类项即可解答本题；（4）根据分式的乘除法的计算方法进行计算即可解答本题．【解答】解：（1）﹣+==；（2）÷3×==；（3）÷﹣×+===；（4）÷（x+2）•==．【点评】本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算，解题的关键是明确它们各自的计算方法．29．（2016春•闸北区期中）计算：（1）3﹣+（2）（2+3）2（2﹣3）2（3）×6÷÷（4）（）﹣1+（）2×÷（5）2﹣3+2×+（1）﹣（2）．【分析】（1）直接合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）根据负整数指数的意义和二次根式的除法法则运算；（5）先把分数指数的形式化为二次根式的形式，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=[（2+3）（2﹣3）]2=（12﹣18）2=36；（3）原式=×6×××=×7=；（4）原式=﹣1+2=﹣1+2=3﹣1；（5）原式=2﹣3+×+﹣=﹣+4﹣=﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30．（2016春•庆云县期中）计算（1）+|﹣1|﹣π0+（）﹣1（2）（1﹣）（+1）+（﹣1）2（3）÷×（4）+2﹣（﹣）【分析】（1）先根据二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类二次根式即可；（3）先根据二次根式的乘除法则进行计算，最后化成最简即可；（4）先去括号，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=2+﹣1﹣1+2=3；（2）原式=1﹣5+5﹣2+1=2﹣2；（3）原式===；（4）原式=2+2﹣3+=3﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．。