2021届河南郑州一中网校高三入学测试数学(文)试卷

2021年河南郑州一中网校高三入学测试数学（文）试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U R =，集合{}2|ln 1,|sin tan ,0,4P x x Q y y x x x π⎧⎫⎡⎤=≤==+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则P Q ⋃为（ ）A．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C．20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D．(2．复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ）A ．13iB ．13i -C ．1312i +D ．1213i +3．已知向量,a b 满足()2,1,0a b a b b ==+=，那么向量,a b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 4．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．35．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2 B ．1.6 C ．1.8 D ．2.46．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．13C ．12D ．33 7．函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ）A ．24πB ．12πC ．8π D ．1124π 8．按下图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（ ）A ．45B ．47C ．49D ．519．已知函数())220162016log 120162x x f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞10．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,311．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1912．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为f x ，满足()()f x f x '>，且()03f =，则不等式()3x f x e <的解集为（ ）A ．,0B ．(),2-∞C ．0, D ．2,二、填空题13．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,3,cosC 3a b ===，则sin A =____． 14．12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()()1211,22OB OA OF OC OA OF =+=+，则OB OC +=__________． 15．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB AC AD 、、，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，求弦AB 的长度___________．16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.三、解答题17．已知()2cos cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b c ab++的取值范围． 18．三棱锥D ABC -中，08,120,,AB BC CD DA ADC ABC M O ====∠=∠=分别为棱,BC AC 的中点，DM =（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ；（2）求点M 到平面ABD 的距离．19．郑州一中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,,F H O 是坐标原点，且3445OF OH ≤≤时，求k 的取值范围． 21．已知()221()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 22．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆Ο是ΔΑΒC 的外接圆，ΑΒ=ΒC ，ΑD 是ΒC 边上的高，ΑΕ是圆Ο的直径．过点C 作圆Ο的切线交ΒΑ的延长线于点F ．（1）求证：ΑC ⋅ΒC =ΑD ⋅ΑΕ；（2）若ΑF =2，CF =2√2，求ΑΕ的长．23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且AB =l 的斜率．24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()()()2,2,f x x g x m x m R =-=-∈．（1）解关于x 的不等式()3f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案1．B【解析】试题分析：集合()(P =⋃，集合1Q ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，故P Q ⎛⋃= ⎝⎦． 考点：1.集合并集；2.三角函数值域.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2．A【解析】试题分析：123z i =+，()()12233213z z i i i ⋅=++=.考点：复数概念及运算.3．D【解析】试题分析：()212cos 2cos 20,cos ,23a b b a b b πθθθθ+⋅=+=+==-=. 考点：向量运算.4．C【解析】【分析】由题意可得：a 3＝a 1+2d ，a 4＝a 1+3d ．结合a 1、a 3、a 4成等比数列，得到a 1＝﹣4d ，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【详解】设等差数列的公差为d ，首项为a 1，所以a 3＝a 1+2d ，a 4＝a 1+3d ．因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ），解得：a 1＝﹣4d ．所以321531227S S a d S S a d-+==-+2， 故选：C ．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题． 5．B【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：()215.43112.62x x π⎛⎫-⨯⨯+⋅= ⎪⎝⎭， 1.6x =，故选B.6．D【分析】 把x c =-代入椭圆方程求得P 的坐标，进而根据1230F F P ∠=，推断出223b ac =，整理220e +=，解得e 即可．【详解】 已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得把x c =-代入椭圆方程， 解得P 的坐标为（﹣c ，2b a ）或（﹣c ，﹣2b a ），∵1230F F P ∠=，∴23tan 302b ac ==，即)2222aca c==-220e+=，∴ee （舍去）． 故选D ．【点睛】 本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．7．A【解析】试题分析：图象关于直线x a =对称，则有()(),2f x f a x -关于直线x a =对称，()2sin 423f a x a x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，22cos 2sin 2sin 23326x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即4,3624a a πππ-=-=.考点：三角函数图象变换.8．D【解析】试题分析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即5410110011222251=+++=.考点：算法与程序框图.9．A【解析】试题分析：()()31220f x f x +-+->，设()())2016220162016log x x F x f x x -=-=-+，()()F x F x -=-，所以()F x 为奇函数，图象关于原点对称，要()()310F x F x ++>，只需1310,4x x x ++>>-. 考点：函数的单调性.10．C【解析】 试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.11．B【解析】 试题分析：如图所示，根据切线，可有22221241PM PN PO PO -=--+()()()121212323PO PO PO PO PO PO =+--=+-，12128PO PO OO +≥=，所以22PM PN -最小值为15.考点：圆与双曲线的位置关系.【思路点晴】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的,PM PN 转化为12,PO PO ，这样，再结合图象，可以知道，12,,P O O 三点共线时12PO PO +取得最小值为8. 12．C 【分析】由已知条件构造函数()()()()(),0xxf x f x f x F x F x e e -=='<'，可得()F x 在R 上单调递减，从而得()()0F x F <，解之可得选项. 【详解】 构造函数()()()()(),0xxf x f x f x F x F x e e -=='<'，所以()F x 在R 上单调递减，又因为()03f =，所以()3xf x e <等价于()()003xf x f ee<=，即()()0F x F <，解得0x <.故选：C. 【点晴】无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是较好的思路，属于中档题.13．9【解析】试题分析：2222cos 1349,3c a b ab C c =+-=-==，9947cos ,sin 1899A A +-====. 考点：解三角形、正余弦定理. 14．6 【解析】试题分析：依题意有2111//,//22OB AF OC AF ，故6OB OC a +==. 考点：向量运算.15．a R =【解析】试题分析：依题意可知，这是一个正四面体的外接球. 若一个正四面体边长为a ,其外接球半径公式为:238a ，即23,83a R a R ==. 考点：球的内接几何体.【思路点晴】对棱相等的三棱锥,设三对棱长分别为,,a b c ,如下图所示三棱锥''A B CD -,请同学们推导其外接球半径R 公式22228a b c R ++=,特别地,若一个正四面体边长为a ,其外接球半径公式为:238a . 设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.2.若长方体长宽高分别为,,a b c 长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.16．()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.17．（1）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）；（2）[)3,4. 【解析】试题分析：（1）先用降次公式和辅助角公式，化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入单调递增区间，求出相应自变量的取值范围为36k x k ππππ-≤≤+；（2）由（1）知()2sin 216f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3C π=.由余弦定理得：222c a b ab =+-，化简22221a b c b a ab a b ++⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由正弦定理和基本不等式可求得取值范围.试题解析：（1）()2cos cos f x x x x =+，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 222262k x k πππππ-≤+≤+，∴36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）()1f C =，∴()2sin 216f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴52222,6666C k C k k Z ππππππ+=++=+∈或， ∴3C π=，由余弦定理得：222c a b ab =+-，∴()222222121a b a b c b a ab ab a b +++⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62A ππ<<， 由正弦定理得：2sin sin 113,2sin sin 2tan 22A bB a A A A π⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===+∈ ⎪⎝⎭， ∴[)2223,4a b c ab++∈． 考点：1.三角函数图象与性质；2.解三角形. 18．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】试题分析：（1）利用勾股定理有OD OM ⊥，利用等腰三角形中点，有OD AC ⊥，故OD ⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面MDO ；（2）利用等体积法，M ABD D MAB V V --=，即11··33ABD MAB S h S OD ∆=，所以·MAB ABD S OD h S ∆∆==试题解析：（1）由题意：4OM OD ==，∵DM =，∴090DOM ∠=，即OD OM ⊥． 又∵在ACD ∆中，,AD CD O =为AC 的中点，∴OD AC ⊥． ∵OM AC O ⋂=，∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ． （2）由（1）知OD ⊥平面,4ABC OD =，ABM ∆的面积为011sin1208422ABM S BA BM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 又∵在Rt BOD ∆中，4OB OD ==，得8BD AB AD ===，∴12ABD S ∆=⨯=． ∵M ABD D MAB V V --=，即11··33ABD MAB S h S OD ∆=，∴·7MAB ABD S OD h S ∆∆==，∴点M 到平面ABD的距离为7．考点：1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法. 19．（1）中位数为81；（2）P =815【解析】试题分析：（1）中位数是使频率分布直方图左右两边面积等于0.5的地方，由此列出方程求得中位数为81；（2）分数在[110,130)有4人，分数在[130,150)有2人，利用列出法求出基本事件的总数和符合题意点的事件数，由此求得概率为P =815.试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为x ，则:(0.001×0.004+0.009)×20+0.02×(x −70)=0.5解得x =81，所以初赛成绩的中位数为81.（2）该校学生的初赛分数在[110,130)有4人，分别记为A,B,C,D ，分数在[130,150)有2人，分别记为a,b ，在这6人中随机选取2人，总的事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a), (C,b),(D,a),(D,b),(a,b)共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个.故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P =815.考点：频率分布直方图，古典概型.20．（1）2212x y +=；（2）2332k k -≤≤-≤≤.【解析】试题分析：（1）由题意知MQ 中线段AP的垂直平分线，所以CP QC QP QC QA =+=+=，所以Q 的轨迹是椭圆，即方程为2212x y +=；（2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可得221b k =+.联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入OF OH ⋅，有223144125k k +≤≤+，由此解得2332k k -≤≤-≤≤.试题解析：（1）由题意知MQ 中线段AP的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，221,12x b y ==+=； （2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+，直线l 与圆221x y +=相切2211b k ⇒=⇒=+， ()2222211242202x y k x kbx b y kx b⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，()()()22222221641221821800k b k b k b k k ∆=-+-=-+=>⇒≠，2121222422,1212kb b x x x x k k -+=-=++，()()()()()()()221212121222222222222222112212414111212121212OF OH x x y y k x x kb x x b k bk k k k kb k kb b k k k k k k =+=+++++-++-+=++=-++=+++++所以22231411412532k k k +≤≤⇔≤≤+k k k ⇒≤≤⇒≤≤≤≤为所求．考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】求轨迹方程的常用方法有定义法和向观点法.本题是定义法.根据题意，动点满足椭圆的定义，也即动点到两个定点的距离之和等于常数，并且这个常数大于这两个定点的距离.在求解出椭圆方程后，要验证是否椭圆方程的每个点是否都在图象上，因为有时候有些点是不符合题意的，比如有时候斜率不存在的点可能要舍去. 21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=，设，则在x∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3 ()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立．【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.22．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）证明两边乘积相等，一般转化成边成比例，一般通过判断三角形相似．判断三角形相似方法有：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．试题解析：（1）证明：连结BE，由题意知ΔABE为直角三角形．因为∠ABE=∠ADC=900，∠AEB=∠ACB，ΔABE∽ΔADC，所以ABAD=AE AC，即AB ⋅AC =AD ⋅AE ．又AB =BC ，所以AC ⋅BC =AD ⋅AE ． 5分（2）因为FC 是圆O 的切线，所以FC 2=FA ⋅FB ， 又，所以，因为∠ACF =∠FBC ，又∠CFB =∠AFC ，所以ΔAFC ∽ΔCFB ．所以AF FC=AC BC，得10分考点：（1）三角形相似，（2）切割线定理．23．（1）相交；（2）1±. 【解析】试题分析：（1）圆两边乘以ρ，化简得()()22125x y -++=，直线过顶点()1,1-，该点在圆内，故直线与圆相交；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心，AB =≠，则直线l 必有斜率，设其方程为()11y k x +=-，利用圆心到直线的距离等于2，可求得1k =±.试题解析：（1）∵2cos 4sin ρθθ=-，∴22cos 4sin ρρθρθ=-，∴曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-，即()()22125x y -++=，直线l 过点()1,1-，且该点到圆心的距离为<l 与曲线C 相交．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心，AB =≠l 必有斜率，设其方程为()11y k x +=-，即10kx y k ---=，圆心到直线l 的距离2d===，解得1k=±，∴直线l的斜率为1±．考点：坐标系与参数方程.24．（1）{}|15x x x<->或；（2）(],1-∞.【解析】试题分析：（1）23x->，即2323x x-<-->或，即15x x<->或；（2）()()f xg x≥，得22x m x-≥-对任意x R∈恒成立，当0x≠时，问题等价于22xmx-+≤对任意非零实数恒成立，22221x xx x-+-+≥=，故1m≤.试题解析：（1）由()3f x>，得23x->，即2323x x-<-->或，∴15x x<->或故原不等式的解集为{}|15x x x<->或；（2）由()()f xg x≥，得22x m x-≥-对任意x R∈恒成立，当0x=时，不等式22x m x-≥-成立当0x≠时，问题等价于22xmx-+≤对任意非零实数恒成立，∵22221x xx x-+-+≥=，∴1m≤，即m的取值范围是(],1-∞．考点：不等式选讲.。