误差理论与测量平差基础

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第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区

Z K X K0
t ,1 t ,n n ,1 t ,1
DZZ KDXX K
Y F X F0
r ,1 r ,n n ,1 r ,1
T
DZF KDXX F ( DFZ )
T
T
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。
例4：设有函数求 DZZ
Z F1 X F1 Y 已知 DXX t ,1 n ,1 r ,1
t ,n t ,r
DYY
DXY
DZXБайду номын сангаас
DZY
四、非线性函数的情况
设有观测值X的非线性函数：
Z f ( X ) f ( X 1 , X 2 , X n )
已知：
X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX 求：DZZ n ,1 X 0 [ X 10 , X 20 ,... X n0 ]T
二、权阵
1 PLL QLL
PLL QLL E
第五节协因数传播律
Y FX F 0 0 Z KX K
QYY FQXX F T T QZZ KQXX K QYZ FQXX K T
权倒数传播律
1 f 1 f 2 1 f 2 1 ( )2 ( ) ( ) pZ L1 p1 L2 p2 Ln pn

误差理论与测量平差基础(武测)

第二章误差分布与精度指标
二、随机变量的数字Leabharlann Baidu征
（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望
（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----方差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协方差
第二章误差分布与精度指标
1、数学期望（expected value)
(a) 定义
∞
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差
设观测向量L及其期望和方差为：
L
，
1
... L
n
E ( L1 )...E ( Ln )
⎡ σ 12 ... σ i ,n ⎤ ⎢ ⎥ T D L = E{[ L − E ( L)][ L − E ( L)] = ⎢ ... ⎥ 2 ⎢σ n ,1 ... σ n ⎥ ⎣ ⎦
四、非线性函数的情况
第三章
协方差传播律
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ ，设有观测向量L，已知其协方差阵为 D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ 求下列函数的协方差。 ⎣ ⎦
例：
，，
F1 = L1 + 2 L2 − 3L3
F2 = L1 + 3L3
第三章
协方差传播律
五、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵

《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲

一、基本信息

二、教学目的与任务

误差理论与测量平差基础是一门专业基础课，以培养学生掌握测量数据处理的基本方法和原理为目的。课程内容包括误差理论和测量平差基础两部分。

误差理论主要讲授误差来源、分类、性质、分布、数字特征、传播及主要应用，以误差分布、数字特征及传播律为重点。测量平差基础主要讲授条件平差、间接平差等经典测量平差基本理论、方法、估计理论及精度评定。

通过本课程的学习，学生应掌握误差理论和测量数据处理的基本原理和方法，了解测量平差的发展过程和近代测量平差方法，能够应用测量平差基本理论和方法进行测绘数据处理和精度分析，培养学生解决工程控制网的数据处理和测绘工程实践能力，为进一步学习测量数据处理理论和后续课程的学习打下坚实的理论基础。

三、教学内容与要求

（一）绪论2学时

1、观测误差

2、测量平差学科的研究对象

3、测量平差的简史和发展

4、本课程的任务和内容

要求：明确观测误差产生的原因，掌握误差分类和特点、观测误差的处理方法，了解测量平差的发展历史和本课程的主要任务和特点，明确平差理论研究的对象和所要解决的问题，提出本科程的学习方法。

（二）误差分布与精度指标2学时

1、偶然误差的特性

2、衡量精度的指标

3、精度、准确度和精确度

要求：熟悉随机变量的数字特征，掌握偶然误差的规律性，理解方差、协方差阵的概念和涵义；掌握精度、准确度、精确度等概念的区别和联系。

（三）协方差传播律及权8学时

1、协方差的传播

2、协方差传播律的应用

3、权与定权的常用方法

误差理论与测量平差基础

错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据

的可信性以及求解测量平差参数。测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消

除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测

量平差有利也是非常有必要的。

误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其

影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设

计误差的叠加效应。若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应

该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。

因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。为

复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测

量数据优化方案。

误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量

过程也应精确，意义重大。正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。

《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)

一、名词解释（每题2分，共10分）

1、偶然误差

——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。

2、函数模型线性化

——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。3、点位误差椭圆

——以点位差的极大值方向为横轴轴方向，以位差的极值分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。4、协方差传播律

——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如

，若观测向量的协方差阵为，则按协方差传播律，应有。

5、权

——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，。

二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分）

参考答案：X √X √X X X √√X

三、选择题（每题3分，共15分）

参考答案：CCDCC

四．填空题（每空3分，共15分）

参考答案：1. 6个

2. 13个

3.1/n

4. 0.4

5. ,其中

五、问答题（每题4分，共12分）

1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？

答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分）

⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，

误差理论与测量平差基础1

由协方差传播律可知：
F D F F (3, 0, 2 ) D L L (3, 0, 2 )
2 T
3 22, 0, 10 0 2
86
side4
在测站A上， BAC 例2：
的中误差的中误差。解：
1

2
1 . 4
T
1 3 L3 3L 2
2 2 4 1 8 L3 2 7 L 2
side12
例7：已知
1( ),
2 2
2

4 ( ),
2
2 s
0 . 5 ( cm )
2
s 600 . 00 m , 求
c
?
side13
问题：观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间，存在着怎样的关系？
一、协方差传播律
1、观测值线性函数的方差
已知： X [ X 1 , X 2 ,... X n ] , DXX , Z K X K 0
T n ,1 1,1 1, n n ,1
那么：
DZZ KDXX K
n ,1
T
证明：设： X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , E ( X ) 1 , 2 ,... n X
side5

测量误差基本知识和平差基础

f ()
1 e 2

标准差：
[] lim n n
观测条件
误差分布
精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。
§2 衡量精度的标准
测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度。如何正确理解“精度”的含义以
及怎样衡量精度的高低？
中误差相对误差极限误差
精度(precision) 和准确度(accuracy)
测量误差基本知识
主要内容
观测误差的分类衡量精度的标准观测误差理论
测量平差基础
§1 观测误差的分类
测量误差产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性
一、测量误差产生的原因
测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如： (1) 对同一量多次观测，其观测值不相同。
m
S1的丈量精度高于S2的丈量精度
三、极限误差
2 1 e 2 概率密度函数： f ( ) 2 2
P( )

1 f ()d 2
2
e

2 2 2
d 0.683
2 2 2
P(2 2 ) P(3 3 )
0.126 0.112 0.092
个数
46 41 33
频率
0.128 0.115 0.092

误差理论与测量平差基础

E(L) L~
当
，即观测值中不存在系统误差和粗差时，
亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，
此时精确度就是精度。
30
2.3精度及其衡量精度指标
精度、准确度和精确度的形象描述
准确度
31
精度
精确度
2.3精度及其衡量精度指标
4、衡量精度的指标
精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描
述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡
对正态随机变量求数学期望：
E()

f ()d

1
2
exp
1
2
2
(

)2
d
26
2.2正态分布
作变量代换，令 t
得

E() 1

(t

) exp
1
t
2
dt
2
2
t exp 1 t 2 dt exp 1 t 2 dt
10
1.1 观测误差
二、误差分类 • 偶然误差
在相同误差在大小和符号上表现出偶然性
• 系统误差
误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化
• 粗差
即错误
11
1.1 观测误差

误差理论与测量平差基础

引言

在现代工程领域中，测量技术扮演了重要的角色。从航空航天、机电制造、地质探矿、土建工程到工业品质检验，无不需要借助科学的测量方法和仪器设备实现质量控制。然而，由于各种各样的误差影响测量结果，以及不同种类的测量值必须得到平差处理，所以测量技术的水平不但与测量精度直接相关，而且涉及数据处理的准确性和可靠性，这就必须依赖误差理论、测量平差等基础理论与技术。

一、误差的分类

一般地，误差指测量结果与真值之间的差值。在实际测量中会受到多种误差的影响，可以从不同的角度对误差进行分类。

1. 按照产生原因分类

ⅰ.人为误差

如主观猜度、读数信号模糊、操作错误等。

ⅱ.仪器误差

如仪器精度规定、系统灵敏度、温度、湿度、机械磨损、杂散

噪声等。

ⅲ.环境影响

如电磁辐射、磁场干扰、大气折射率、风吹雨打、光照变化等。

2.从系统设备模型分类

ⅰ.常规误差

该类误差是由于测量设备的设计或框架固定导致的。如仪器设备误差、辅助公差、环量仪误差、补偿和漂移误差等。常规误差可以在测量前后校正和补偿，通过校准手段，消除了常规误差的影响。

ⅱ.偶然误差

偶然误差，是由于测量操作或非控制因素引起的。如个人读数误差、抖动、瞬时环境修正等。因为这种误差的出现不能事先预测，也无法校准和补偿，主要采取多次测量和配对测量方法，来降低其影响。

二、测量值的平差原理

平差（Adjustment）即按照特定条件对各个测量结果进行修正，使其满足特定准则的过程。该过程可以消除任何类别的误差，不同平差方法所制定的平差原则在基本假设和方法运作上存在不同。

误差理论与平差基础-第2章误差分布与精度指标

中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。
三、精度估计的标准
举例2
有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m、15mm，试估计这个观测值的实际可能范围？并求出该观测值得相对中误差。
三、精度估计的标准
5、相对误差
[例1] 已知：D1=100m, m1=±0.01m，D2=200m, m2=±0.01m ，求： K1, K2
第二章误差分布与精度指标
一．偶然误差的特性
二．精度、准确度和精确度
三．衡量精度的指标
四．测量的不确定性
五．练习
测量平差的基本任务
处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估计，并评定测量成果的精度。
基本数学概念
数学期望：随机变量取值的概率平均值 E ( X ) 方差：
D( X ) E[ X E( X )]2
三、精度估计的标准
[例4] 设对某量进行两组观测，其真误差分别为：第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1
求两组观测值得平均误差和中误差，并比较两组观测值的精度
三、精度估计的标准
[例5] 已知导线测量中，距离观测值是 500 m ，
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
误差分布表
误差区间 0"~3" 3"~6" 6"~9" 9"~12" 12"~15" 15"~18" 18"~21" 21"~24" >24" 正误差负误差合计

《误差理论与测量平差基础》学习指南

学习指南

本课程是基础理论课，概念多、公式多、符号多、计算多。要学好这门课，希望注意以下几点：

1、按照教材内容，循序渐进；

2、课前预习，课后复习；

3、每一章做好小结，课后应按要求完成习题；

4、对于五种平差方法，要理解原理，不要孤立地看，要联系起来，找它们的共同点。所研究的“抓住一个字母，掌握两个步骤”的学习方法可供大家研究。所谓“一个字母”指的是参数的个数“u”，正因为它的变化，才产生了不同的平差函数模型。“两个步骤”指的是每种平差方法都分两步进行，一步是求参数、观测值的估值，一步是精度评定。几种平差方法都是这样，思路一致，方法一致。这样思考，使平差方法之间的联系非常清楚。

第一章绪论

§1-1 观测误差

内容：观测误差来源、分类、观测条件

重点：观测误差的性质及分类

主要掌握一些概念。

§1-2 测量平差学科的研究对象

内容：测量平差的研究对象

主要对测量平差的研究对象—偶然误差有清楚的认识。

§1-3 测量平差的简史和发展

内容：测量平差理论、计算方法、计算工具的历史与发展

重点：测量平差理论的发展

主要对测量平差的发展有个概括的认识。

§1-4 本课程的任务和内容

内容：本课程的研究对象和主要内容

重点：主要内容

主要对所学习的内容有个简洁的了解。

第二章误差分布与精度指标

§2-1 随机变量的数字特征

内容：随机变量的数学期望、方差、协方差及相关系数的定义随机向量的数学期望、方差-协方差阵

重点：数学期望、方差的定义与运算规则

要求熟知数学期望和方差的运算规则。

§2-2 正态分布

内容：一维、多维正态分布

重点：一维正态分布、正态随机变量的期望与方差

误差理论与平差基础

名词解释

1、测量平差：依据某种最优准则（最小二乘法），对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知数的最估计值与精度的理论方法。

2、偶然误差：即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。

3、系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。

4、粗差：明显歪曲测量结果的误差，是指比在正常观测条件所可能出现的最大误差还要大的误差。

5、平均误差：在一定观测条件下一组独立的偶然误差的绝对值的数学期望称为平均误差。

6、或然误差：当观测误差出现在（—，+）之间的概率等于1/2时，称为或然误差。

7、条件平差：一个几何模型中有r个多余观测，就产生r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差。

8、附有参数的条件平差：在平差问题中多选择了u个独立量为参数（而0

10、附有限制条件的间接平差：在平差问题中，多余观测数r=n-t，所选参数u>t个，其中包含t个独立参数，则参数间存在s=u-t个限制条件。平差时列出n个观测方程和s个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法称为附有限制条件的间接平差。

11、秩亏自由网平差：如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。

12、精度：误差分布的密集或离散程度。

第6章误差理论与测量平差基础

准确度(Accuracy):描述测量成果中系统误差与随机误差大小,体现观测结果与真值的偏差。精密度(Precision):描述测量成果中随机误差大小,体现观测结果在其平均值周围的分布状况。果在其平均值周围的分布状况可靠度(Reliability):描述测量成果中系统误差与粗差大小,体现观测结果均值与真值偏离程度。
2013年5月15日星期三5 时17分36秒
16/60
第六章测量误差及数据处理的基本知识结论：
1）误差是不可避免存在的； 2）偶然误差不能用计算来改正、或用一定的观测方法 2）偶然误差不能用计算来改或用定的观测方法简单的加以消除，只能根据其特性来合理地处理观测数据以提高观测成果质量。数据，以提高观测成果质量。如何合理地处理偶然误差以得到观测值的最佳估值，就是测量平差研究的范畴。
3/60
第六章测量误差及数据处理的基本知识
知识点一知识点
测量误差的基本概念及特性
一、测量误差的分类测量误差的分类（一）观测类型（二）测量误差的定义（三）测量误差的来源（四）测量误差的种类二、偶然误差的特性偶然误差的特性
2013年5月15日星期三5 时17分36秒
4/60
第六章测量误差及数据处理的基本知识
（二）衡量观测精度的指标
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。 1、中误差

误差理论与测量平差基础CH03

C
ˆ2 = 50◦ 05 20 L
L3
ˆ1 = 89◦ 44 10 L Sa Sb 6 −3 −3 2 DL L2 6 −3 (mm ) ˆL ˆ = −3 L1 S0 A B −3 −3 6 已知边长S0 = 1500.00mm(无误差)，试求Sa , Sb 的长度和它们的协方差阵DSS 。
3、非线性函数的情况
非线性函数应用协方差传播律的计算规则：
1 2 3 4
按要求写出函数式; 对函数求全wk.baidu.com分; 将微分关系写成矩阵形式; 应用协方差传播律求方差或协方差阵。
协方差传播律是计算观测值函数中误差和协方差的基本公式，是平差计算中精度评定的基础。
误差理论与测量平差基础第三章协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
误差理论与测量平差基础第三章协防差传播律及权
概述
讲授内容:
1 2
协方差传播律——绝对精度指标的传递协方差传播律的应用——应用算例权与定权方法——标量的相对精度指标协因数阵与权阵——观测向量的相对精度指标协因数阵传播律——相对精度指标的传递由真误差计算中误差——相对精度指标应用系统误差的传播——系统误差的传递
α0 A S0 L1 B
观测值中误差对最终的计算结果会有什么样的影响？
误差理论与测量平差基础第三章协防差传播律及权 3-1 协防差传播律

误差理论与测量平差基础CH01

误差理论与测量平差基础第一章绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
多余观测
思考问题： ˜ = 10.000m，测量一段距离，真实值为L
A
1 2
L
B
ˆ如何取值？若观测一次，数据为L1 = 10.003，最终结果L 若观测三次，数据为L1 = 10.003, L2 = 9.998, L3 = 10.001，如何处理？ ˆ = L1 L
误差理论与测量平差基础第一章绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
多余观测
题；测。一条边长，测量1次，其误差不可知，不存在数据处理问测量n次，数据有差异，需要处理，多测的n-1次称为多余观
多余观测的好处：
1 2
可以提高成果质量；检查发现错误。
多余观测带来的问题：
误差理论与测量平差基础第一章绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
多余观测
题；测。一条边长，测量1次，其误差不可知，不存在数据处理问测量n次，数据有差异，需要处理，多测的n-1次称为多余观
多余观测的好处：
1 2
可以提高成果质量；检查发现错误。
多余观测带来的问题：
误差理论与测量平差基础第一章绪论 1-2 测量平差学科研究的对象
多余观测
题；测。一条边长，测量1次，其误差不可知，不存在数据处理问测量n次，数据有差异，需要处理，多测的n-1次称为多余观

测量平差(误差理论基础知识)

精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m
2

2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1）（5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也称为极限误差或限差。以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32

误差理论与测量平差基础

第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区

误差理论与测量平差基础(武测)

《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲

误差理论与测量平差基础

《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

误差理论与测量平差基础1

测量误差基本知识和平差基础

误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

《误差理论与测量平差基础》学习指南

误差理论与平差基础

第6章 误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础CH03

误差理论与测量平差基础CH01

测量平差(误差理论基础知识)

误差理论与平差基础-第2章误差分布与精度指标

第6章误差理论与测量平差基础