初高中数学衔接之数学思想方法

初高中数学衔接

——数学思想方法目录

一、方程与函数思想

1.1方程思想

1.2函数思想

二、数形结合思想

2.1数形结合思想

三、分类讨论思想

1.1 方程思想

方程知识是初中数学的核心容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。

（1）高中体现

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关

系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决

举例：

例1已知函数f (x )=log m

3

3

+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的

增减性，并加以说明；

(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由

解 （1）

⇔>+-03

3

x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有

0)

3)(3()

(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数

（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数

∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-=+-=-=+-=)

1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m

即3,0

)1(3)12(0)1(3)12(2

2

>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根

∴⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧>>-->+-=∆<<0

)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-

故当0＜m ＜

4

3

2-时，满足题意条件的m 存在 例2.对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)

（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +

1

212

+a 对称，求b 的最小值

解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2

–x –3，

由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3

故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3

（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点， ∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，

即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立

于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1

故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1

（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +

1

212

+a 对称

∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)

∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根

∴x ′=y ′=a

b

x x 2221-

=+， 又点M 在直线1

212++-=a x y 上有121

222

++=-a a b a b ， 即a a a a b 121

122+-

=+-= ∵a ＞0，∴2a +

a 1≥22当且仅当2a =a

1

即a =22∈(0,1)时取等号，

故b ≥–2

21，得b

(2)初中体现

所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。方程型综合题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值围、与方程有关的代数式的证明。

举例

例3、如图，抛物线ｙ＝－x 2＋px ＋q 与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于Ｃ点，若

∠ACB ＝90O ，且tan ∠CAO －tan ∠ABO=2。(1)求Q 的值，(2)求此抛物线的解析式。(3)设平行于x 轴的直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点。若以ＭＮ为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。

例4、如图，D 、E 分别是三角形ABC 的AC 、AB

边上的点，BD 、CE 相交于点O ，若三角形OCD 的面积是2，三角形OBE 的面积是3，三角形OBC 的面积是4，求四边形ADOE 的面积。