3.7函数的单调性优质课件PPT
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函数的单调性(PPT课件)
3.7 函数的单调性
• 问题: 1.说出函数f(x)在某区间上是增(减) 函数的意义( 从代数及几何图像两方面说 明); • 2.函数f(x)的导数的几何意义是什么?
• 例子:函数的图像如图所示. • 考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导 数, • 从图像可以看到: • 在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正， 即f′(x) > 0，f(x)为增函数； • 在区间（－ ∞ ， 2 ）内，切线的斜率为 负，即f′(x) < 0,f(x)为减函数.
• 练习：已知函数f(x)=x4+(2－a)x2+2－a,问
• 是否存在实数a,使f(x)在(－∞,－
• 是减函数,且在(－
)上
,0)上是增函数?
练习
• 1函数y=x-ex的增区间为 ,减区间 • • 2.函数y=x+ (k>0)的减区间 • • 3.确定下列函数的单调区间: • （1）y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 • 4.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间. • 5判断y=ex+e－x在(0,+∞)上
• 结论：一般地，设函数y=f(x)在某个区间 内可导， • 如果f′(x) > 0 ，则f(x)为增函数； • 如果f′(x) < 0 ，则f(x)为减函数。 • 如果在某个区间内恒有f′(x)=0 ，则f(x)为 常数函数。
2．应用：
• 例1．确定下列函数在哪个区间内是增函 数，哪个区间内是减函数。 • (1)y= x+ x ∈ (0,+∞) • • (2)y=2x3－6x2+7
小结:用导数判定函数单调性的 步骤(特别适合高次函数和复合 函数的单调性)
• 问题: 1.说出函数f(x)在某区间上是增(减) 函数的意义( 从代数及几何图像两方面说 明); • 2.函数f(x)的导数的几何意义是什么?
• 例子:函数的图像如图所示. • 考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导 数, • 从图像可以看到: • 在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正， 即f′(x) > 0，f(x)为增函数； • 在区间（－ ∞ ， 2 ）内，切线的斜率为 负，即f′(x) < 0,f(x)为减函数.
• 练习：已知函数f(x)=x4+(2－a)x2+2－a,问
• 是否存在实数a,使f(x)在(－∞,－
• 是减函数,且在(－
)上
,0)上是增函数?
练习
• 1函数y=x-ex的增区间为 ,减区间 • • 2.函数y=x+ (k>0)的减区间 • • 3.确定下列函数的单调区间: • （1）y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 • 4.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间. • 5判断y=ex+e－x在(0,+∞)上
• 结论：一般地，设函数y=f(x)在某个区间 内可导， • 如果f′(x) > 0 ，则f(x)为增函数； • 如果f′(x) < 0 ，则f(x)为减函数。 • 如果在某个区间内恒有f′(x)=0 ，则f(x)为 常数函数。
2．应用：
• 例1．确定下列函数在哪个区间内是增函 数，哪个区间内是减函数。 • (1)y= x+ x ∈ (0,+∞) • • (2)y=2x3－6x2+7
小结:用导数判定函数单调性的 步骤(特别适合高次函数和复合 函数的单调性)
函数的单调性-PPT课件可修改文字
温故而知新
f (x) x
f (1) __ f (1)
f (x) 1 x
f (x) x2
f (3) __ f (2) f (2011) __ f (2012)
挑战自我
对于函数 f (x) x 2 (x 0) x
若1 a ,则比较 f (1) __？__ f (a)
体会生活
体会生活
新课探究
课堂小结
1、函数 y f (x)的单调性。
2、如何判断函数的单调性。
1.取数:任取x1，x2∈A，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性.
3、思想方法：数形结合
时 少 直 观
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ，那么， 就说函数在区间A上是减少的，有时也称函数 在区间A上是递减的。
大显身手
函数 y f (x)的图像如下图所示，能否说： 函数在 [1, 0) (0,1] 是递增的？
y
-1
O
1
x
在函数 y f (x)的定义域内的一个区子间集 A上,如果对于 任意两数 x1, x2 A，当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ， 那么，就说函数在区数间集 A上是增加的。
课外探究
1、根据函数的单调性，我们能够求出函数的值域吗？
2、我们有没有办法找到函数 y x 2 (x 0) 的单调
区间的分界点？
x
作业
A组：练习2，练习5
永切隔数形数焉数
远莫离形少缺能与
f (x) x
f (1) __ f (1)
f (x) 1 x
f (x) x2
f (3) __ f (2) f (2011) __ f (2012)
挑战自我
对于函数 f (x) x 2 (x 0) x
若1 a ,则比较 f (1) __？__ f (a)
体会生活
体会生活
新课探究
课堂小结
1、函数 y f (x)的单调性。
2、如何判断函数的单调性。
1.取数:任取x1，x2∈A，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性.
3、思想方法：数形结合
时 少 直 观
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ，那么， 就说函数在区间A上是减少的，有时也称函数 在区间A上是递减的。
大显身手
函数 y f (x)的图像如下图所示，能否说： 函数在 [1, 0) (0,1] 是递增的？
y
-1
O
1
x
在函数 y f (x)的定义域内的一个区子间集 A上,如果对于 任意两数 x1, x2 A，当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ， 那么，就说函数在区数间集 A上是增加的。
课外探究
1、根据函数的单调性，我们能够求出函数的值域吗？
2、我们有没有办法找到函数 y x 2 (x 0) 的单调
区间的分界点？
x
作业
A组：练习2，练习5
永切隔数形数焉数
远莫离形少缺能与
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
精选 《函数的单调性》完整版教学课件PPT
么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数的单调性(公开课课件)
详细描述
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
§3.7函数的单调性PPT优选课件
应用巩固
2020/10/18
11
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
y ′= 1 - x , 2x - x2
解不等式y ′>0得:0<x<1,则函数的 单增区间为(0,1). 解不等式y ′<0得:1<x<2,则函数的 单减区间为(1,2).
2020/10/18
14
归纳总结: 1.函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用.
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于 属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2时，
(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 2．由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号，从而得函数的单调性.
2020/10/18
1
学习目的：
1.会从几何角度直观了解函数单 调性与其导数的关系，并会灵活 应用。
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
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2021/01/31
7
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
2021/01/31
8
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2021/01/31
12
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
2021/01/31
13
例6 讨论函数y= 2x - x2 的单调性.
解:函数的定义域为(0,2).
应用巩固
2021/01/31
11
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
图象 2021/01/31
4
函数y=x2－4x＋3的图象： y
2
0
x
2021/01/31
5
例2
讨论函数y=x+
1
x
的单调性。
y
2021/01/31
2
-1
01
x
-2
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）.
单减区间：(-1，0）和
（0，1）.
6
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察一下：
2021/01/31
15
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2021/01/31
16
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
结论应用：由以上结论可知，函数的单 调性与其导数有关，即我们可以利用导 数法去探讨函数的单调性。现举例说明：
应用举例
2021/01/31
9
例3 求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于 属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1<x2时，
(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 2．由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号，从而得函数的单调性.
y ′= 1 - x , 2x - x2
解不等式y ′>0得:0<x<1,则函数的 单增区间为(0,1). 解不等式y ′<0得:1<x<2,则函数的 单减区间为(1,2).
2021/01/31
14
归纳总结: 1.函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用.
举例2021/01/31
3
例1 讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
2021/01/31
学习目的：
1.会从几何角度直观了解函数单 调性与其导数的关系，并会灵活 应用。
2.通过对函数单调性的研究，加 深对函数导数的理解，提高用导 数解决实际问题的能力，增强数 形结合的思维意识。
2021/01/31
2
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
2021/01/31
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总结：根据导数确定函数的单调性一般需两步： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.