2015-2016学年高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4

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高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件

6
思考3：一个平面内的两个不共线的向量 e 1 、 e 2 与该平
面内的任一向量 a 之间的关系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有且只有一个实数，使得 b a .
当 0 时，b 与a 同向，且| b | 是| a | 的倍; 当 0 时，b 与a 反向，且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点：平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？

高中数学必修四人教版2.3.1平面向量基本定理10ppt课件

1．平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不 __共 __线 ___向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_基 __底 ____．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0.
与
→ CA
的夹角，
→ AC
与
→ CB
的起点不同，
则∠ACB不是夹角．
[思路分析]
当且仅当a与b的起点相同，且a＝
→ OA
，b＝
O→B时，∠AOB才是向量a与b的夹角．
谢谢观看！
[正解]
如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则
→ AC
＝
C→D，∠BCD是A→C与C→B的夹角，
由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.
试指出图中向量的夹角． [解析] ①∠AOB＝θ为两向量O→A与O→B的夹角； ②O→A与O→B的夹角为0°，两向量同向； ③O→A与O→B的夹角为180°，两向量反向； ④两向量O→A与A→B的夹角为θ.
名师辨误作答
1.忽略两个向量作为基底的条件
已知 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则 a 与 b 共线的条
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：

高中数学必修四 2.3.1 平面向量基本定理人教课标版40精品公开PPT课件

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e1,e2一定都是非零向量.( ) (2)在平面向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=0.( ) (3)在平面向量基本定理中,若a∥e1,则λ2=0;若a∥e2,则 λ1=0.( ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.( )
【解析】1.如图所示，作
u u u r u u u r O A a， O B b ,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则
u u u r u u u r B A a b ， O C a b ,
所以∠AOC是a与a+b的夹角,
因为|a|=|b|=|a-b|，
所以△OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形,
(3)体现的数学思想这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基底化归，使问题得以解决.
2.正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点
移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角.如图①，
u u ur B E；
向量 BuuD在ur b方向上的分向量是
uur B F.
(2)因为 A D 所3 以,
DC 4
A所D 以 3 ,
AC 7
uuur AD
3
uuur AC,
7
所以 B uuD urB uuA urA uuD urB uuA ur3A uuC ur
7
B uuA ur3A uuB urB uuC ur a3ab4a3b.
因为 O uuP u 与r O u共uM uu r线，故可设 O uuP ur＝ tO uuM uur＝ta＋2tb.

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．解：设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________．答案：12(a＋b)
探究点一对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)

⑴向量的加法：
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a

平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b

B

b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O

的夹角．注意:两向量必须是同起点的 0

B
a
A B b
b

0
b B

180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量，问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.

2016高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4

A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝A→B＋23B→C
＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
研一研·问题探究、课堂更高效
例3 与
在△OAB BC 交于点
中M，，设O→CO→＝A＝14O→aA，，O→O→BD＝＝b12，O→以B，a，ADb
＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选
开本择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个
关课平面内所有向量的一组基底的条件．
时 (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
栏
目量基本定理解决．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的
中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F.
开本关课
时栏目
解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b；
开本解设A→B＝a，A→D＝b，
关课时
则A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋12A→B＝12a＋b，
①
栏目
A→N＝A→B＋B→N＝A→B＋12A→D＝a＋12b
②
由①②得12aa＋＋12bb＝＝cd
，解得ab＝＝43－c－23c＋ 23d43d
，
即A→B＝－23c＋43d，A→D＝43c－23d.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．如图，已知A→B＝a，A→C＝b，B→D＝3D→C，用 a， b 表示A→D，则A→D＝__14_a_＋__34_b_.

课件平面向量基本定理学年人教A版高中数学必修四PPT课件_优秀版

分层
究
作
释疑
D [A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.]
业
难
返首页
9
2．给出下列三种说法：
课
自
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有堂
主
小
预
习向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面
结提
探
新知
内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
已知两个非零向量a和b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 探平面向量基本定理的唯一性及其应用
＝θ，叫新3平面平向面量向基量本的定基理本的定唯理一及性坐及标其表应示用
做向量a与b的夹角．知平面向量基本定理的唯一性及其应用
平面向量基本定理的唯一性及其应用
结提素养
平面向量基本定理的唯一性及其应用
养课
合
时
作探
B→F＝B→A＋A→D＋D→F
分层
究
作
释疑难
＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
业
返首页
17
课
自
堂
主
预习
1．若本例(2)中条件不变，试用 a，b 表示A→G.
小结提
探
新
素
知
[解] 由平面几何的知识可知B→G＝23B→F，
养
课
合作探
故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→F
素养
其中，说法正确的为( )
课
合
时
作探
A．①②
B．②③
分层
究
作
释疑
C．①③
D．①②③

人教A版高中数学必修二第二册《平面向量的基本定理》课件

eA1
平移共同起点
a OA OB
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
人教A版高中数学必修二第二册《平面向量的基本定理》课件
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
人教A版（高2中01数9）学高必中修数二学第必二修册《二平（第面二向册量）的第基六本章定第理3》节课《件平面向量的基本定理》课件(共16 张PPT)
一、知识梳理
（2）若 AP=t AB ，则OP
分析：OP = OA + AP
解： AP t AB
O
OP OA AP OA t AB
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，
若OA＝a，OB＝b，则OM 1（a b）
2
变式探究：
O
（1）若P是AB靠近A的三等分点，
则OP 2 a＋1 b 33
A PM
B
（2）若 AP=t AB ，
则OP （1－t）a＋tb
人教A版（高2中01数9）学高必中修数二学第必二修册《二平（第面二向册量）的第基六本章定第理3》节课《件平面向量的基本定理》课件(共16 张PPT)
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
人教A版高中数学必修二第二册《平面向量的基本定理》课件
人教A版高中数学必修二第二册《平面向量的基本定理》课件
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；（2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

高中数学 2.32.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必

第二章平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.1 平面向量基本定理
栏目链接
1．准确理解平面向量的基本定理．
2．理解能成为向量基底的条件是不共线．
3．理解向量的夹角前提条件是共起点．
栏目
链
4．理解平面向量的正交分解．
接
栏目链接
基础梳理
一、平面向量的基本定理
1．如果e1，e2是同一平面内的两个不__共__线____向量，
量组：①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.其中
可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是
栏
()
目链
接
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
答案：B
自测自评
3．设 e1，e2 为两个不共线的向量，若 a＝2e1－e2 与 b＝
e1＋λe2(λ∈R)共线，则( )
＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正
栏
确的是( )
目链
接
A．λ1＝1
B．λ1＝2
C．λ1＝3
D．λ1＝4
解析：a，b共线，则存在实数k，使得a＝kb即可求
解．但作为选择题，看到a ＝λ1e1＋e2中e2的系数为1，而b＝
4e1＋2e2中e2的系数为2，所以λ1＝2.
栏目
链
面内所有向量的基底；
接
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量 a 和一组基底 e1，e2，使 a ＝λ1e1＋λ2e2 成立的实数对一定是唯一的．
自测自评
A．②④
B．②③④
C．①③
D．①③④
栏目链接

2015-2016学年人教A版必修四平面向量的基本定理课件(28张)

解
M b AC AB AD a b a A B DB DA AB AD AB b a 1 1 1 1 MA AC ( a b ) a b 2 2 2 2 1 1 1 1 MB DB (a b) a b 2 2 2 2 1 1 1 MC AC a b 2 2 2 1 1 1 MD MB DB a b 2 2 2
a b
向量b 与非零向量a共线, 当且仅当有唯一一个实数，使b a .
观察如图三个不共线向量e1、 a、 e2 , 它们之间会有怎样的关系呢？
e1
aБайду номын сангаас
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1
a
M O
e1
A
B
a
C
e2
e2
N
显然：a OM ON
本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。从“如何求导弹竖直和水平方向速度？” 导入新课。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。然后分组讨论合作探究并提出问题，进入探究阶段。小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形．所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形．所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33，所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必

3.设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.
【解题策略】对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.
复习课件
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
必备知识·自主学习
导思
(1)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任意向量a能否用e1,e2表示?根据是什么?
(2)对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.
【补偿训练】已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2, 则x-y=________.
4.在等腰Rt△ABC中,AB⊥AC,则 AB与 BC的夹角是________.
结束语
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修
【思考】定理中的“不共线”能否去掉? 提示:不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.
2.向量的夹角定义:已知两个非零向量a和b,作 O A =a, O B =b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图所示). (1)范围:向量a与b的夹角的范围是__0_°__≤__θ__≤__1_8_0_°_. (2)当_θ__=_0_°__时,a与b同向;当_θ__=_1_8_0_°__时,a与b反向. (3)如果a与b的夹角是__9_0_°_,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

人教A版高中数学必修四课件：2.3.1平面向量基本定理.pptx

两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故不能作为基底中的向量.
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D典例透析 IANLI TOUXI
2.理解向量的夹角剖析:(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向量平行,因此不讨论与零向量有关的夹角问题.
(2)垂直:如果向量 a 和 b 的夹角是 90°,我们就说向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.
12
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【做一做 2】如图,在等边三角形 ABC 中, ��与��的夹角等于 ()
可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
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题型一题型二题型三题型四
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解析:(1)选项 A,B,C 中的两个向量都共线,所以不能作为基底,D 中的两个向量不共线,故可作为基底.
作为平面内所有向量的一组基底的是
.(写出所有满足条
件的序号)
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题型一题型二题型三题型四
解析:①设 e1+e2=λe1,则

人教A版必修平面向量基本定理PPT课件

AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.
知识点一平面向量基本定理
讨论探究
探究1 向量 a与向e量 1， e2共起点，a是向同量一平面内任 e1与e2不共线，探a究与e向 1， e2量之间的.关系
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胜利彼岸
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平面向量基本定理的应用
典例3.已知A点，B是直l上线任意两o点是，直l外点线一点
例
精求证：直线上 P,存任在意实一 t,，数点使O得 P关于基
典
基底的概念
例【例1】若a 向， b 不量共 c 线 2ab,， d3a且 2b,试判断
精向量c与d 能否作为基. 底
析
思路分析：要判断c ，d 能否作为基底，只需看c ，d 是否典共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
例跟踪.练若e1习， e2是表示平所面有量内向的一组基底
λ1，λ2，使得a1e12e2 .
(2)基底：不共线的向量e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2. 定理说明
（1）基底e1、e不2 共线，零向量不能做基底.
（2）定理中向量a 是任一向量，实数1与唯2 一.
（3）1e1 叫2e做2 向量关于a 基底的e分1 , 解e2 式. (4)基底给定时,分解形式唯一.

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课堂达标新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理1.设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1，e2一定平行B.e1，e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(μ，λ∈R)D.若e1，e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(μ，λ∈R)【解析】选D.只有e1，e2不共线，才可以作为一组基底，表示平面内的任意向量，故D正确.2.已知e1，e2不共线，则不可以作为一组基底的是( )A.e1+e2和e1-e2B.e1-2e2和6e2-3e1C.2e1-e2和e2D.e1-e2和2e1-e2【解析】选B.因为6e2-3e1=-3(e1-2e2)，所以e1-2e2与6e2-3e1共线，故e1-2e2和6e2-3e1不可以作为一组基底.由e1，e2不共线，可知A，C，D中三组向量均不共线，可以作为基底.3.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1，e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系为( )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定【解析】选B.因为a+b=(e1-2e2)+(2e1+e2)=3e1-e2，所以c=6e1-2e2=2(a+b)，故a+b与c=6e1-2e2共线.4.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，∠BAC=80°，则向量与向量的夹角为.【解析】由题意，∠BAD=40°，所以向量与向量的夹角为140°. 答案：140°5.设，不共线，P点在AB上.求证：=λ+μ，且λ+μ=1(λ，μ∈R).【证明】因为P点在AB上，所以，共线，所以=t(t∈R)，故=+=+t=+t(-)=(1-t)+t，令λ=1-t，μ=t ，则有=λ+μ，且λ+μ=1(λ，μ∈R).- 1 -。