东北大学数值分析考试题解析

1 (k ) 1 (k ) 1 ( k +1) = x1( k ) + ω (− x1( k ) + x 2 − x3 + ) x1 4 2 4 1 ( k +1) 1 (k ) 2 ( k +1) (k ) (k ) + x2 − x3 + ) x 2 = x 2 − ω ( x1 5 5 5 1 1 ( k +1) 1 ( k +1) (k ) (k ) x 3 = x3 − ω ( x1( k +1) + x 2 + x3 − ) 3 6 2
x + x 7.设S(x)= 3 2 2 x + bx + cx − 1
3 2
可
1 a a 1 a 1 1 2 = 1 − a > 0, a 1 0 = 1 − 2a 2 > 0, 得： − <a< a 1 2 2 a 0 1
风
j =0
制
0 ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 2
为GGT,其中G为下三角矩阵.
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于
故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1). 三、(14分)设线性方程组 4 x1 − x 2 + 2 x 3 = 1 − x1 − 5 x 2 + x 3 = 2 2 x1 + x 2 + 6 x 3 = 3 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差||x*-x(10)||∞ (取三位有效数字).
于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 –0.5x(x-1)(x-2) =x3-2.5x2 +2.5x+2
可
四、(13分)已知ƒ(0)=2,ƒ(1)=3,ƒ(2)=5,ƒ′(1)=0.5, (1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件:
风
制
作
∞
得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是||x(1)-x(0)||∞=1/2,所以有
x k3 − a 2 a 或x k +1 = x k + x k− 2 2 3x k 3 3 的Newton迭代格式为_______________________. x k +1 = x k −
6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点 3 (x-2)3 的三次插值基函数,则 ∑ l j ( x)( x j − 2) 3=____________.
所以有
y ( x n +1 ) − y n +1 = O (h 3 )
当h=0.25时,有
所以,所得数值解是不稳定的. 七、(6分)设n阶矩阵A=(aij)n×n,试证实数
A = n max a ij
可
所以此单步方法为二阶方法. (2)此单步方法用于方程y′=-10y,则有
h 20 yn +1 = yn + [−10 yn − 30( yn − hyn )] = [1 − 10h + 50h 2 ] yn 4 3
R( x) = f
( 4)
五、(12分)试确定参数A,B,C及α,使数值积分公式
(ξ x ) x ( x − 1) 2 ( x − 2) 4!
∫− 2 f ( x)dx ≈ Af (α ) + Bf (0) + Cf (−α ) 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
Gauss公式? 解 令公式对ƒ(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=Aα-Cα, 16/3=Aα2+Cα2, 0=Aα3-Cα3 64/5=Aα4+Cα4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,α=(12/5)1/2
于是有
∂f ∂f 1 yn +1 = yn + hf n + h 2 ( n + n f n ) 2 ∂x ∂y 2 ∂2 fn ∂2 fn 2 1 3 ∂ fn + h [ 2 +2 f n + 2 f n ] + O(h 4 ) 6 ∂x ∂x∂y ∂y
而
1 1 y ( x n +1 ) = y ( x n ) + hy ′( x n ) + h 2 y ′′( x n ) + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 6 ∂f ∂f 1 1 = y n + hf n + h 2 [ n + n f n ] + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 ∂x ∂y 6
0.7510 = × 0.5 = 0.113 1 − 0.75
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由于,R(0)=R(1)=R(2)=R′(1)=0, 故可设 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2) 构造函数ϕ(t)=ƒ(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是,存在ξx,使ϕ(4)(ξx)=0,即ƒ(4)(ξx)-4!C(x)=0
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考试题解析
一、填空题（每空3分,共30分) 1.设矩阵A= 解
1 2 7 25 / 7 ,则ρ(A)=_______,Cond(A) 1=_______. − 2 3 1− λ −2 2 3−λ
由于
A − λE =
= λ 2 − 4λ + 7 = 0
得特征值: λ1 = 2 + 3i, λ 2 = 2 − 3i
1≤ i , j ≤ n 1≤ i , j ≤ n
A + B = n max a ij + bij ≤ n max[ a ij | + | bij ] = A + B
1≤ i , j ≤ n
n
1≤ i , j ≤ n
AB = n max ∑ a ik bkj ≤ n max a ij ( max ∑ a ik ) 1≤ i , j ≤ n 1≤ i , j ≤ n 1≤ i ≤ n
可
|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取根的近似值α≈x2=1.40983. (3)因为0<α<π/2,所以ϕ(α)= cos α / 2 1 + sin α ≠0
风
制
由于|ϕ′(x)|=| cos x / 2 1 + sin x |<1,故此迭代法收敛.
作
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解
(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为
2
容易验证公式对ƒ(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y ′ = f ( x, y ) y (a ) = α
(1)试证单步法
K 2 = f ( xn + 2 h, y n + 2 hK 1 ) K1 = f ( xn , y n ) , 3 3 h n = 0,1,2,... y n +1 = y n + 4 ( K 1 + 3K 2 ) y =α 0
(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故 Jacobi法收敛,SOR法当0<ω≤1时收敛. (3)由(1)可见||B||∞=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可
B
k ∞ ∞
x −x
*
(10 ) ∞
≤
1− B
x
(1)
−x
(0)
H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3′(1)=0.5; (2)设y=ƒ(x)在[0,2]上四次连续可微,试确定插值余项 R(x)=ƒ(x)-H3(x). 解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1′=0.5,得 H3(x)=2ϕ0(x)+3ϕ1(x)+5ϕ2(x)+0.5ψ1(x) 令ϕ0(x)=c(x-1)2(x-2),可得ϕ0(x)=-0.5(x-1)2(x-2), 令ϕ1(x)=x(x-2)(ax+b),可得ϕ1(x)=-x(x-2), 令ϕ2(x)=cx(x-1)2,可得ϕ2(x)=0.5x(x-1)2; 令ψ1(x)=cx(x-1)(x-2),可得ψ1(x)=-x(x-1)(x-2),
作
是以0,1,2为节
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-2 3 点的三次样条函数,则b=________c=_________. 解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得 二、(13分)设函数ƒ(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程ƒ(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=ϕ(xk),k=0,1,2,…计 算精度为ε=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. 解 (1)因为0<x≤1时,ƒ(x)<0,x≥2时,ƒ(x)>0,所以ƒ(x) 仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2时,ƒ′(x)>0,故ƒ(x)单调. 因此方程ƒ(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x k +1 = 1 + sin x k k = 0,1,2,...
( k +1) 1 ( k ) 1 ( k ) 1 = x 2 − x3 + x1 4 2 4 1 (k ) 1 (k ) 2 ( k +1) x 2 = − x1 + x 3 − 5 5 5 1 1 (k ) 1 ( k +1) x 3 = − x1( k ) − x 2 + 3 6 2
k =1 k =1
n
≤ n max a ij n max bik = A B
1≤ i , j ≤ n 1≤ i , k ≤ n
所以,实数‖A‖是矩阵A的范数.
可
风
制
作
6
1 3 − 2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1
又A-1=
解
令
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向 是 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 量范数______, _____. 4.求 3 a 解 只要取ƒ(x)=x3-a ,或ƒ(x)=1-x3/a. 1 5.设ƒ(x)=x3+x2-3,则差商ƒ[3,32,33,34]=_______.
是二阶方法. (2)以此法求解y′=-10y, y(0)=1时,取步长h=0.25,所得 数值解{yn}是否稳定?为什么? 解 (1)由于
风
a≤ x≤b
制
作
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2 K 2 = f ( xn + 2 3 h, y n + 3 hK 1 ) ∂f 2 ∂f 2 = f n + n h + n hf n ∂x 3 ∂y 3 2 1 ∂ f 4 ∂ 2 fn 8 2 ∂2 f 4 h f n + 2n h 2 f n2 + O(h 3 ) + [ 2n h 2 + 2 ∂x 9 ∂x∂y 9 ∂y 9
1 − 10h + 50h 2 = 1 − 2.5 + 3.125 = 1.625 > 1
为矩阵A的一种范数. 证明
对任意n阶方阵A,B和常数λ,有
风
制
1≤ i , j ≤ n
作
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A = n max a ij ≥ 0, 且仅当A = 0时 A = 0。
1≤ i , j ≤ n
λA = n max λa ij = λ n max a ij = λ A