东北大学数值分析考试题解析
东北大学12年数值分析(研)答案
x2 3/ 5
）.
1 0 1 2 5 的拟合曲线 y x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ). 2 1 1 3 6
9． 设求积公式 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式， 则积分系 数 A0
求此差分公式的阶。 解：由于
f h h f y n1 y n [ f n f n ( n n f n ) O(h 2 )] 2 2 x y
容易验证此公式具有 3 次代数精度，即对次数不大于 3 次的多项式精确成立， 记 H 3 ( x) 为 f (x) 在区间 [ x0 , x1 ] 的 3 次 Hermite 插值多项式，则有：
xi yi
2 1
(M ) M
max |
1i n
| a
j 1
n
ij
| | 1 ，所以，迭代格式收敛.
.
2aii
三、 （12 分）说明方程 x cos x 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使 对任意初值 x0 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 解：记 f ( x) x cosx ，则 f (x) 连续,且 f (0) 1 0, f (1) 1 cos1 0 ，而且，
0 2
由于 f ( x) cos x 的 4 阶导数在 [0,2] 上的最大值为： M 4 1,所以 误差为： | I S 2 |
25 M 4 0.000694444 2880 2 4
I f ( x)dx A0 f (1
0
东北大学10数值分析B(研)答案
为什么？ 解 由于 f ( x, y ) xye y 关于 y 满足 Lipschitz 条件， 2分 5分 的差分公式：
所以，改进 Euler 法收敛。
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
1 3 1 3 ， x2 2 6 2 6
4分
1 1 1 3 1 3 ) f( )] 积分公式为： f ( x)dx [ f ( 0 2 2 6 2 6
6分
解得： a 1 / 3, b 13 / 18 0.7222 ， 拟合曲线为: y
13 2 1 x 18 3
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ( x n )h
y n hf n
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
5分
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y
2 fn 2 f n 2 f n f n f h3 2 f n [ 2 2 fn fn ( n ) 2 f h ] O(h 4 ) 2 6 x xy x y y y
。
解
3 2 4.(6 分)设 xk 1 xk axk bxk c, k 0,1,2,... 是求方程根 1 的迭代法，试确定
1/ 3 1/ 3 0 0 1 / 3 ,所以 B 由于 B 13 1/ 2 1/ 4 0
1 1 9 所以， H 3 ( x) ( x 2)( x 2 4 x 1) x 3 3x 2 x 1 2 2 2 9． 分）给定离散数据 （7
2012数值分析试题及答案
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I
S2
1 [cos0 6
cos2
东北大学09数值分析(研)答案
。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε
东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、 （12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T
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模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
东北大学数值分析答案
第一周解答：π=0.31415926×10M=1|π-3.141|=0.0005926<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−2所以n=3|π-3.142|=0.0004074<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−3所以n=4即3.141作为π的近似值具有3位有效数字3.142 有4位解答：√3=1.73205081…=0.173205081…M=1|√3−x|≤0.5×101−n|n=2时0.5×101−n=0.051.73205-x≤0.05x≥1.68205x=1.68205|√3−x|≤0.5×101−n|n=3时0.5×101−n=0.0051.73205-x≤0.005x≥1.72705x=1.72705解答：2256=2128×2128=264×264×2128=232×232×264×2128=216×216×232×264×2128=2×2×22×24×28×216×232×264×2128共计算8次乘法第二周解答：因为在n取一定位数时，1/n过于小导致系统计算为0.因此计算机求和在一定位数以后其余的数字都是0，结果为一常数解答：由于y0=28没有误差，可见误差是由√783引起的，设x=27.982σ=x-√783利用已知的递推算法，y n=y n−1−√783100和实际计算中的递推公式Y n=Y n−1−x/100(Y0=y0)两公式相减，e(Y n)=Y n−y n=Y n−1−y n−1−x−√783100e(Y n)= e(Y n−1)- σ/100此为绝对误差因为σ=x-√783数值恒定不变，因此该递推过程稳定解答：(1)原式=2x2(1−2x)(1−x)(2)e x 在x=0处的泰勒展开式可得： e x =1+x +12!x 2+⋯1n!x 2+R n (x) 所以1−e x x=x+12!x 2+⋯1n!x2x=1+12!x 2+⋯1n!x n−1第三周解答：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡61-12001-101-1131-11-301-101-11101112-2-211-11消元消元回代得解，;3,2,2321===x x x解答：1. 使用条件：当系数矩阵 A 的各阶顺序主子式非零时，顺序高斯消去法可以顺利进行；而一般只要系数矩阵 A 的行列式非零，列主元高斯消去法就可以顺利进行。
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
东北大学数值分析-总复习+习题
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(1) xkp阶收敛于是指: (2) 若()0,则迭代法线性收敛.
lim xk1 C k xk p
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差 限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并 且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近 似x*时具有n位有效数字。
是不是一种向量范数_____. 是
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析试题库与答案解析
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
东北大学-数值分析-课后习题详细解析
1.01
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899
b.用Gauss消元法
7
10 2 x y 1
x
y
2
回代得解: y=1, x=0.
再用列主元Gauss消元法
10 2 x y 1
100 y 100
10 2 x y 1
x
y
2
回代得解: y=1, x=1.
x(k 1
x(k 2
1) 1)
3
2
x(k 2
)
2 1.5x1(k1)
G-S法x1(k)
1.01 0.98 1.94 4.82 13.46 39.38 117.14
G-S法x2(k)
1.01 0.53 -0.91 -5.23 -18.19 -57.07 17 -173.71
可见,J迭代法和G-S迭代法均不收敛. 实际上, (B)=31/2>1 ,(G)=3>1.
10
2-11.设•为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp= Px, 证明xp 也是一种向量范数.
证明 (1)xp=Px0,而且Px=0Px=0x=0 (2)xp=P(x)=Px=||Px=||xp (3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp 所以xp是一种向量范数. 2-12.设A为对称正定矩,阵证,明定义•Ax是A一= 种向x量T A范x数.
数值分析考试卷及详细答案解答汇总
姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。
2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。
3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。
4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。
6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。
* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
(汇总)东北大学-数值分析--考试题解析.ppt
构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0
R(x) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=1精0品/文9档,B=16/9,=(12/5)1/2 7
令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;
令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),
于是
H3(x)==-x(3x--21.)5x2(2x+-22.)5-x3+x2(精x品-2文)档+2.5x(x-1)2
–0.5x(x-1)(x-2) 6
由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)
(3)因为0<</2,所以() cos / 2 1 sin 0
故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);
(2)讨论这两种迭代法的收敛性.
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可
四、(13分)已知ƒ(0)=2,ƒ(1)=3,ƒ(2)=5,ƒ′(1)=0.5, (1)试建立一个三次插值多项式H3(x),
得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是||x(1)-x(0)||∞=1/2,所以有
1≤ i , j ≤ n 1≤ i , j ≤ n
A + B = n max a ij + bij ≤ n max[ a ij | + | bij ] = A + B
1≤ i , j ≤ n
n
1≤ i , j ≤ n
AB = n max ∑ a ik bkj ≤ n max a ij ( max ∑ a ik ) 1≤ i , j ≤ n 1≤ i , j ≤ n 1≤ i ≤ n
作
是以0,1,2为节
1
2015/3/23
-2 3 点的三次样条函数,则b=________c=_________. 解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得 二、(13分)设函数ƒ(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程ƒ(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=ϕ(xk),k=0,1,2,…计 算精度为ε=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. 解 (1)因为0<x≤1时,ƒ(x)<0,x≥2时,ƒ(x)>0,所以ƒ(x) 仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2时,ƒ′(x)>0,故ƒ(x)单调. 因此方程ƒ(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x k +1 = 1 + sin x k k = 0,1,2,...
x + x 7.设S(x)= 3 2 2 x + bx + cx − 1
3 2
可
1 a a 1 a 1 1 2 = 1 − a > 0, a 1 0 = 1 − 2a 2 > 0, 得： − <a< a 1 2 2 a 0 1
风
j =0
制
0 ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 2
为GGT,其中G为下三角矩阵.
x k3 − a 2 a 或x k +1 = x k + x k− 2 2 3x k 3 3 的Newton迭代格式为_______________________. x k +1 = x k −
6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点 3 (x-2)3 的三次插值基函数,则 ∑ l j ( x)( x j − 2) 3=____________.
k =1 k =1
n
≤ n max a ij n max bik = A B
1≤ i , j ≤ n 1≤ i , k ≤ n
所以,实数‖A‖是矩阵A的范数.
可
风
制
作
6
(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故 Jacobi法收敛,SOR法当0<ω≤1时收敛. (3)由(1)可见||B||∞=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可
B
k ∞ ∞
x −x
*
(10 ) ∞
≤
1− B
x
(1)
−x
(0)
H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3′(1)=0.5; (2)设y=ƒ(x)在[0,2]上四次连续可微,试确定插值余项 R(x)=ƒ(x)-H3(x). 解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1′=0.5,得 H3(x)=2ϕ0(x)+3ϕ1(x)+5ϕ2(x)+0.5ψ1(x) 令ϕ0(x)=c(x-1)2(x-2),可得ϕ0(x)=-0.5(x-1)2(x-2), 令ϕ1(x)=x(x-2)(ax+b),可得ϕ1(x)=-x(x-2), 令ϕ2(x)=cx(x-1)2,可得ϕ2(x)=0.5x(x-1)2; 令ψ1(x)=cx(x-1)(x-2),可得ψ1(x)=-x(x-1)(x-2),
于是有
∂f ∂f 1 yn +1 = yn + hf n + h 2 ( n + n f n ) 2 ∂x ∂y 2 ∂2 fn ∂2 fn 2 1 3 ∂ fn + h [ 2 +2 f n + 2 f n ] + O(h 4 ) 6 ∂x ∂x∂y ∂y
而
1 1 y ( x n +1 ) = y ( x n ) + hy ′( x n ) + h 2 y ′′( x n ) + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 6 ∂f ∂f 1 1 = y n + hf n + h 2 [ n + n f n ] + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 ∂x ∂y 6
1 − 10h + 50h 2 = 1 − 2.5 + 3.125 = 1.625 > 1
为矩阵A的一种范数. 证明
对任意n阶方阵A,B和常数λ,有
风
制
1≤ i , j ≤ n
作
5
2015/3/23
A = n max a ij ≥ 0, 且仅当A = 0时 A = 0。
1≤ i , j ≤ n
λA = n max λa ij = λ n max a ij = λ A
可
|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取根的近似值α≈x2=1.40983. (3)因为0<α<π/2,所以ϕ(α)= cos α / 2 1 + sin α ≠0
风
制
由于|ϕ′(x)|=| cos x / 2 1 + sin x |<1,故此迭代法收敛.
作
2
2015/3/23
解
(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为
是二阶方法. (2)以此法求解y′=-10y, y(0)=1时,取步长h=0.25,所得 数值解{yn}是否稳定?为什么? 解 (1)由于
风
a≤ x≤b
制
作
4
2015/3/23
2 K 2 = f ( xn + 2 3 h, y n + 3 hK 1 ) ∂f 2 ∂f 2 = f n + n h + n hf n ∂x 3 ∂y 3 2 1 ∂ f 4 ∂ 2 fn 8 2 ∂2 f 4 h f n + 2n h 2 f n2 + O(h 3 ) + [ 2n h 2 + 2 ∂x 9 ∂x∂y 9 ∂y 9
1 3 − 2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1
又A-1=
解
令
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向 是 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 量范数______, _____. 4.求 3 a 解 只要取ƒ(x)=x3-a ,或ƒ(x)=1-x3/a. 1 5.设ƒ(x)=x3+x2-3,则差商ƒ[3,32,33,34]=_______.
2015/3/23
考试题解析
一、填空题（每空3分,共30分) 1.设矩阵A= 解
1 2 7 25 / 7 ,则ρ(A)=_______,Cond(A) 1=_______. − 2 3 1− λ −2 2 3−λ
由于
A − λE =
= λ 2 − 4λ + 7 = 0
得特征值: λ1 = 2 + 3i, λ 2 = 2 − 3i
2
容易验证公式对ƒ(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，
可
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y ′ = f ( x, y ) y (a ) = α
(1)试证单步法
K 2 = f ( xn + 2 h, y n + 2 hK 1 ) K1 = f ( xn , y n ) , 3 3 h n = 0,1,2,... y n +1 = y n + 4 ( K 1 + 3K 2 ) y =α 0
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于
故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1). 三、(14分)设线性方程组 4 x1 − x 2 + 2 x 3 = 1 − x1 − 5 x 2 + x 3 = 2 2 x1 + x 2 + 6 x 3 = 3 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差||x*-x(10)||∞ (取三位有效数字).
所以有
y ( x n +1 ) − y n +1 = O (h 3 )
当h=0.25时,有
所以,所得数值解是不稳定的. 七、(6分)设n阶矩阵A=(aij)n×n,试证实数
A = n max a ij
可
所以此单步方法为二阶方法. (2)此单步方法用于方程y′=-10y,则有
h 20 yn +1 = yn + [−10 yn − 30( yn − hyn )] = [1 − 10h + 50h 2 ] yn 4 3