度量空间解析

x(t)
|
lim
n
d
(
xn
,
x)
0
{xn}在[a,
b]上一致收敛于
x
（4）可测函数空间 M (X )
设 { fn} 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，
lim d(
n
fn,
f
)
0
fn (t) f(t)
3、有界集
设M是度量空间(X , d) 中点集，定义 (M ) sup d (x, y) x, yM
xm
(1(
m)
,
(m 2
)
,
...,
( n
m)
),
m
1, 2,...,
为 Rn 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ) Rn
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i ,
(m
)
1
i
n
即：{xm} 按欧式距离收敛于 x 的充要条件是 xm 依坐标收敛于 x
（2）序列空间S中：
xm
(1(
m)
,
对任一 x E ，有M中的点列{xn}，使得 xn x(n ) （2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。
（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间C[a,b] 的子集，则P在C[a,b] 中是稠密的。其中，以有理数为系数 的多项式全体是一个可数集，所以 C[a,b] 是可分空间。
间。X 中的元素称为点。
U P0, P | d P, P0
称为点P0 的 邻域，P0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
2、常见的度量空间
（1）n维欧式度量空间 （2）离散的度量空间 设 X 是任意的非空集合，对 X 中的任意两点x, y X ，令
d
(
x,
y)
1, 0,
if x y if x y
（6）l p 空间
l p {x {xk } | xkp } k 1
设 x {xk } l p , y {yk } l p ，定义
1
d ( x,
y)
k 1
( yk
xk
)p
p
§2 度量空间中的极限、稠密集、 可分空间
1、收敛点列
设{xn}是(X , d)中点列，如果存在
x X，使
lim
n
d
(
xn
,
x)
0
则称点列{xn} 是(X , d) 中的收敛点列， x 是点列{xn}的极限。
收敛点列性质：
（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收
敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义
（1）n 维欧式空间中：
（2）n 维欧式空间Rn 是可分空间，因为坐标为有理数的全 体是一个可数集，是 Rn 中的稠密子集。
(3)l p 为可分空间。 (4)l 为不可分空间。
l p 表示有界实（或复）数列全体，对l p 中任意两点
泛函分析部分
第七章 度量空间和赋范线性空间 第八章 有界线性算子和连续线性泛函
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子 §2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间 §3 连续映射 §4 柯西点列和完备度量空间 §6 压缩映射原理及其应用 §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
引言：
泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利—美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。
1 | f (t) g(t) |
d
(
f
,Hale Waihona Puke g)X| 1
f |
(t) g(t) | f (t) g(t)
dt |
（6）C[a,b] 空间 令 C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，
对 C[a,b]中任意两点 x, y，定义
d(x, y) max | x(t) y(t) | at b
2(
m
)
,
...,
( n
m
)
,
...),
m
1, 2,...,
为 S 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ,...) S
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i
(m
)
,
（3）C[a,b] 空间
设
{xn }
及
x
分别为C[a, b]
中的点列及点，d ( xn ,
x)
max
a t b
|
xn (t)
函数全体，对B(A)中任意两点 x, y ，定义
d(x, y) sup | x(t) y(t) |
tA
（5）可测函数空间M (X )
设 M (X ) 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m
为勒贝格测度，若m(X ) ，对任意两个可测函数 f (t)及 g(t)
由于 | f (t) g(t) | 1 ，所以这是X上的可积函数。令
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量 空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。
1、度量空间
设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素 x, y,都有唯一确 定的实数d (x, y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° d(x, y) 0, d(x, y) 0 的充要条件为 x y 2° d(x, y) d(x, z) d( y, z) 对任意的 z 都成立， 则称 d (x, y)是 x, y之间的距离，称 (X , d)为度量空间或距离空
称(X , d) 为离散的度量空间。
（3）序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x (1,2,...,n ,...), y (1,2,...,n,...), 令
d (x, y)
i 1
1 2i
| i i | 1 | i i
|
称 (S, d) 为序列空间。
（4）有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）
泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。
§1 度量空间的进一步例子
度量空间（距离空间）：
把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距 离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有 效步骤。 泛函分析中的度量空间（距离空间）：
为点集M的直径，若 (M ) ，则称M为(X , d) 中的有界集。
常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。
4、稠密集，可分空间 （1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令M 表示M 的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义：
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称 M在E中稠密。