初等数学与解题研究解析
初中数学中重要解题方法的分析与探究
初中数学中重要解题方法的分析与探究
初中数学作为学生在学习数学过程中的一门基础课程，涉及的解题方法是数学学习中
的重要一环。
通过解题方法的理解与掌握，可以帮助学生更好地解决数学问题，提高数学
成绩，培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将分析和探究初中数学中的重要解题方法，
包括代数解题法、几何解题法和方程解题法等，希望能为初中生们在学习数学中提供一些
帮助。
一、代数解题法
代数解题法是初中数学中常见的解题方法之一，它主要运用代数式和方程式来解决数
学问题。
代数解题的基本步骤是：设未知数，列方程，解方程，求解未知数。
通过代数解
题法，学生可以将实际问题用代数式和方程式进行抽象和简化，从而更容易地进行求解。
二、几何解题法
几何解题法是初中数学中较为实用的解题方法之一，它主要针对几何图形和几何关系
进行解题。
通过几何解题法，可以帮助学生更好地理解和掌握几何知识，并解决与几何相
关的实际问题。
几何解题的基本步骤是：分析问题，建立几何模型，应用几何定理，求解问题。
在解
决关于三角形、四边形和圆等几何图形的问题时，可以利用几何定理和几何关系进行分析
和求解。
通过几何解题法的学习，学生可以培养对几何图形和空间的直观感受和理解能力，提高解决实际问题的几何思维。
三、方程解题法
在解决与速度、时间和距离有关的实际问题时，可以通过列方程和解方程的方法求解
未知数，得出问题的答案。
方程解题法的应用范围非常广泛，学生在学习和掌握方程解题
方法后，可以更灵活地应用到不同的实际问题中去解决。
初等数学教育中的问题解决与探究培训课件
创新性：鼓励学生提出新颖观点
创新思维
引导学生打破思维定势，敢于提 出新颖、独特的观点和想法。
探索未知
鼓励学生勇于探索未知领域，培 养他们的好奇心和求知欲。
多元评价
采用多元评价方式，尊重学生的 个性和差异，激发他们的创新潜
能。
04
案例分析：成功解决问题与探究案例分享
案例一：巧妙运用数学知识解决实际问题
01
02
03
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问题描述
一个学校需要铺设一块矩形操 场，已知操场的长和宽的比例 为3:2，且操场的周长为250米 。求操场的面积。
解决方案
通过周长和长宽比例设立方程 ，解出长和宽的具体数值，进 而计算面积。
数学知识应用
周长计算、比例计算、面积计 算。
启示
数学知识在实际问题中的应用 需要灵活多变，要善于从问题 中抽象出数学模型。
问题解决与探究培训背景及意义
数学教育改革与发展趋势
国际化趋势
随着全球化进程加速，数学教育逐渐走向国际化， 强调跨文化交流和合作。
信息化发展
信息技术在数学教育中广泛应用，为问题解决和探 究提供了更多可能性。
个性化学习
尊重学生的个性差异，提倡个性化学习方式和教学 策略。
问题解决与探究能力培养重要性
80%
加强教师培训和专业发展，提高教师的教育教学 能力和专业素养，为学员提供更优质的教学服务 。
THANK YOU
感谢聆听
创新能力培养
问题解决和探究是创新的基础， 通过培训可以提高学生的创新意 识和能力。
100%
自主学习能力提升
通过问题解决和探究，学生可以 学会自主学习和独立思考，为终 身学习打下基础。
80%
最新《初等数学研究习题解答》说课讲解
因为误差不能超过5mm3，它是10mm3的半个单位，所以体积的精确度应该是十位（单位mm3），即V应该有5个有效数字，从而测量时，底面半径、高都要有6个有效数字
而底面半径、高本身的整数部分是两位整数，所以要达到6个有效数字，测量精确度必须达到 （ 的半个单位），常数 应取近似值为3.14159。
对于
用 除方程两边得：
令 ，则 ，
于是得：
分解因式得：
所以有
即
所以原方程的根为 ， ，
7.用 除方程两边得：
令 ，则 ，
于是得： ，显然 是一个根，所以可以分解为
即
所以原方程的根为：
8．由于 是原方程的根，所以原方程可以分解为
对于
用 除方程两边得：
配方得：
所以 ，即 ，
所以原方程的根为：
，
9．用 除方程两边得：
4．已知函数 ，先将此函数分别沿x轴向左右两边拉伸为原来的两倍，再分别向左、向上平移3个单位，求所得函数的解析式。
解：函数的变化过程如下：
4.3初等周期函数的周期
习题4.3
1．求下列各组实数的最小公倍数：
（1） （2）
解：（1） ， ，所以 的最小公倍数为 。
（2） ，而 ，所以 的最小公倍数为
2．讨论函数 的周期性。
其次：对于 ，由于 ，
那么若 ，于是 ；
若 ，于是 ，
所以总有
即
反过来： ，那么 或者
于是有 或者 ，即 ，所以
即
所以
6．在基数理论定义的乘法下，证明 。
证明：设 ，则 ， 是任意有限集，并且 。
作集合： ，显然
作对应 ，而这个对应是从 到 的一一对应，所以 与 对等，从而有： ，即 。
初等代数研究答案
初等代数研究答案初等代数是数学中重要的分支之一，它主要探讨的是一元和多元代数方程的解法和性质。
在初等代数中，求解方程的答案是一项基本的任务。
本文将从这个角度出发，介绍一些关于初等代数研究答案的方法和技巧。
一、合法性检查在进行求解代数方程的过程中，我们需要检查答案的合法性。
这也是学习初等代数的重要目标之一。
检查答案的方法包括代入法和反向代入法。
代入法是指将求得的答案代入原方程，验证是否成立。
反向代入法则是将原方程的答案代入求解过程中的每个步骤，来确认是否有错误。
这些方法可以有效地帮助我们找到并避免常见的代数运算错误。
二、结合简化另一个解决初等代数方程的有效方法是结合简化。
结合是指将多项式相加或相乘并合并同类项。
简化则是通过消元或约分来简化代数表达式。
这些方法可以使计算更简单，避免出现冗余的操作。
例如，通过结合简化，我们可以将4x + 2y + 3x + 5y简化为7x + 7y。
三、多元方程多元代数方程是初等代数中一个比较复杂的主题。
要解决多元方程，我们需要运用一些特殊的技巧和方法。
例如，我们可以使用消元法、代入法、类比法和等价代换法等方法。
消元法是一种基本的求解技巧，它可以将多元方程化简为一元方程。
代入法则是将一个变量用另一个变量表示出来，进而将多元方程转换为一元方程。
类比法是将一个复杂的方程转换为一个简单的方程，从而使求解更为容易。
等价代换法是将多元方程转换为几个等价的一元方程，然后使用一元方程求解的方法进行求解。
四、解方程的基本方法在初等代数中，我们需要掌握基本的解方程方法。
这些方法包括等式法、因式分解法、配方法、移项法和求根公式法等。
等式法是将方程两边相等的原则，通过运用代数恒等式或等式的性质来解决方程。
因式分解法是将多项式分解成一些更简单的形式，进而解决方程。
配方法是将方程乘以一个适当的因式，使方程的某一部分成为一个完全平方公式，从而解决方程。
移项法则是将方程中某个项移到另一边，从而转化为等式的形式求解。
初等数学解题研究
初等数学解题研究近年来，在初等数学教育中，培养学生解决实际问题的能力变得越来越重要。
尤其是在审视数学问题和解决数学问题的过程，以及如何将知识应用于实际应用中，一直是学术界、教育界和社会密切关注的焦点。
为此，对初等数学解题研究，尤其是从解题行为分析的角度进行研究越来越重要。
以解题为例，以往的初等数学教育研究一般采用任务本体性研究方法，这种方法在确定教学行为目标之后，以客观、实用的方式提供初等数学解题的理论和实践指导，从而探讨解题行为知识体系的结构特点和解决过程的过程特点。
从认知角度看，初等数学解题行为可以概括为两个步骤：解决问题的过程步骤和结果步骤。
前者指的是学生根据问题的要求，将其组织起来，找出有效的策略，给出正确的结果；后者指的是学生能够审查结果，确定解题过程中是否存在错误，并及时纠正错误。
从认知解释的角度看，初等数学解题行为可以被解释为学生有能力去理解和控制复杂的问题及其解决过程。
在解决问题的过程中，学生要控制自己的情绪，把握思考过程，理解问题的本质，选择有效的解题策略，正确分析复杂问题，并根据解题结果进行检验。
从发展角度看，初等数学解题行为也有一定的发展规律。
首先，小学阶段，学生对于数学解题行为具有较强的操作性，可以按照步骤操作，指导老师介绍的方法来解决问题；中学阶段，学生对于数学解题行为的理解能力可能增强，可以把握解题过程的规律性，自主判断问题的类型，根据不同的解题策略进行解决；与此同时，随着年龄增长，学生可以自己控制自己的情绪，提高解题速度和效率，在更复杂的解题过程中保持良好的思维活动。
另外，社会环境也会影响初等数学解题行为的发展，学校的管理和考试制度，家庭环境和学习氛围，领导老师和家长的教育方式，以及师生之间的交流等，都是影响学生解决实际问题的能力的重要因素。
总之，初等数学解题研究会对学校教育有重要的意义，可以加强学生解决实际问题的能力，增强学生自主性学习和独立性思考的能力，加深学生对数学的激发以及理解，帮助学生发展良好的数学概念，加深和拓展其解决问题的过程。
初等数学与解题研究解析
5．有理数集是可数集．
一切能与正整数集建立一一对应关系的集合叫做可数集．把一切正 有理数写成既约分数m/n的形式，按以下的方法来排列所有的有理数：
(1)0排在最前边；
(2)对于正分数，按照它的分子与分母的和的大小排列，较小的和排在 前边，较大的和排在后边．如果和相等，分子大的排在前边；
(3)对于负分数，把它紧排在与它的绝对值相等的正分数的后边；
1．有理数集是一个数域(记为Q)，且是最小数域． 2．有理数域是有序域． 3．有理数域具有阿基米德性质．
“阿基米德性质”——即设a，b为任意两个自然数，则存 在自然数n，使得nb＞a 有理数域具有阿基米德性质，即对于任意的正有理数a，b， 必存在n∈N，使na＞b．
4．有理数域具有稠密性．
有理数域具有稠密性，即任意两个有理数a，b(设a＜b)之 间总存在无限多个有理数．
备选内容
• 华罗庚金杯试题分析（小学、初中） • 希望杯试题分析（初中） • 五羊杯试题分析（初中）
要求
• 选取全国各地典型题目 • 分析命题特征 • 解答分析 • 解读试题的解答方法策略、难点突破 • 编制模拟试题（不能使用已有题目）
五一前中期检查（典型题目确定，并有相关的解 答）
期末考试前汇报，并提交ppt和word文档。
• 因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教 学目的的必不可少的手段。
解题教学是模仿教学，还是思维教学
• 解题教学是模仿教学？？？？
• 模仿教学，简单地说，就是解题教学以教 师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习 为主，把教学建立在学生的模仿性、被动 性和依赖性上，实质是一种接受学习。
• 17 世纪捷克教育家夸美纽斯
• 解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维 过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及 “怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法， 教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就 是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到 自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思 维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对 学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应 该是一种思维教学。
初等数学解题研究
初等数学解题研究西南师大附中戴宇时间：二○○九年四月初等数学解题研究前言恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”这就是说，数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的“问题”为主要目的．在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的．通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义．数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化．要解决好一个数学问题，我认为首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法．其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题．解决问题有“通法”和“巧技”，但我们一定要知道“巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的．只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到．要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的“通性”，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律．每一种典型的基本结构在数学形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识．解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现．它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用．只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的“大道”．这里还有一个数学能力的问题，具体点说，还有人通过对数学问题的研究和学习得到处理数学问题的有效程度的大小和解题能力．能力是一种稳定的个性心理特征，它影响人们的数学学习活动能否顺利完成；影响数学学习活动的效果．正如瑞典心理学家魏德林（I·Werdelin）指出的“数学能力是理解数学的问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它，在记忆中保持和再现它们，在解数学（或类似的）课题时运用它们的能力．”总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用“结构”的观点来进行分析研究，就是本文的目的。
初中数学题型解析方法(含示范课课程设计、学科学习情况总结)
通过对学生的日常表现、课堂参与、作业完成情况以及阶段测试成绩等多方面的综合分析，我们对学生的学习情况有了基本的了解。在数学学科方面，大部分学生能够跟上教学进度，但对部分概念和题型的理解仍存在一定的困难。特别是在空间想象能力和逻辑思维方面，部分学生表现较为薄弱。
2.
本学期，我们学习了平面几何、立体几何、函数、方程等模块。从学生的学习情况来看，大部分学生能够掌握基本概念和定理，但在应用这些知识解决实际问题时，部分学生表现出了一定的困难。例如，在几何题型中，学生对于如何运用几何性质和定理解决复杂问题还需加强练习。而在函数和方程部分，学生对于如何建立数学模型并运用相应的解题策略还需进一步指导。
初中数学题型解析方法
第一篇范文：初中数学题型解析方法
在初中数学的教学过程中，题型解析方法是帮助学生理解和掌握知识的重要手段。本文将详细解析初中数学中常见的题型，并提供相应的解题策略和方法。
1.
算术题是初中数学中最基础的题型，包括加减乘除、幂的运算等。解题关键是熟悉算术运算的规则和性质。例如，对于一个多项式运算题目，可以先进行因式分解，然后根据运算法则进行化简，最后得出答案。
4.
方程题是初中数学中的常见题型，包括一元一次方程、一元二次方程和分式方程等。解题关键是掌握方程的解法和解的性质。例如，对于一个一元二次方程，可以根据判别式来判断方程的解的情况，然后运用求根公式或配方法求解。
5.
应用题是初中数学中的实际题型，要求学生将数学知识应用到实际问题中。解题关键是理解题意和建立数学模型。例如，对于一个利润问题，可以建立成本、售价和利润之间的数学关系，然后运用代数方法求解。
5.
8.学生对勾股定理的理解程度。
9.学生运用勾股定理解决问题的能力。
初等数学研究课后答案
初等数学研究课后答案引言：初等数学作为学习数学的基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
为了让学生更好地掌握所学知识，教师在教学过程中往往会布置一些课后作业，以便学生巩固和练习所学内容。
然而，学生在完成课后作业时可能会遇到一些疑惑和困惑，尤其是对于一些复杂的问题。
因此，提供一份初等数学研究课后答案对于学生来说是很有必要的。
本文将为学生提供一份初等数学研究课后答案，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
一、代数学1. 解方程：题目：求解方程2x + 5 = 17.答案：首先，将方程转化为x的形式，得到2x = 17 - 5，即2x = 12. 然后，将方程两边同时除以2，得到x = 6.2. 因式分解：题目：将多项式x² - 5x + 6因式分解.答案：首先对多项式进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3).3. 求解不等式：题目：求解不等式2x - 3 < 5.答案：将不等式转化为x的形式，得到2x < 8. 然后将不等式两边同时除以2，得到x < 4.二、几何学1. 直角三角形的性质：题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度.答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为√(3² + 4²)，即√(9 + 16)，即√25，所以斜边的长度为5.2. 圆的面积计算：题目：已知一个圆的半径为5，求其面积.答案：根据圆的面积公式S = πr²，将半径r替换为5，得到面积S = π(5)²，即S = 25π.三、概率论1. 事件的概率计算：题目：一个箱子中有4个红球和6个蓝球，从箱子中随机取出一个球，求取到红球的概率.答案：共有10个球，其中4个是红球，所以取到红球的概率为4/10，即2/5.2. 排列组合问题：题目：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，求有多少种不同的选法.答案：根据排列组合的公式C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，将n替换为10，k替换为3，得到C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.四、数列与级数1. 等差数列的通项计算：题目：已知等差数列的首项为2，公差为3，求第n项的表达式.答案：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
考研数学教育备考初等数学题的解题技巧
考研数学教育备考初等数学题的解题技巧备考考研数学教育专业，初等数学部分是必考内容之一。
掌握一些解题技巧可以帮助考生更高效地解答初等数学题目。
本文将为大家介绍几种常见的解题技巧，希望对考研数学教育备考有所帮助。
一、代入法代入法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。
在解题过程中，我们可以先将问题中的变量设为某个具体的值，然后代入到等式或者不等式中进行计算，最后得出结果。
这种方法通常适用于一元方程、一次不等式等题型。
例如，假设需要解答以下方程：2x + 3 = 7我们可以选择将变量 x 设为 2，然后代入到方程中进行计算。
代入后的等式为：2 × 2 +3 = 74 + 3 = 77 = 7通过代入法，我们得出 x = 2 这个方程的解。
二、化简法化简法是解答初等数学题目中常用的另一种解题技巧。
在解题过程中，我们可以通过将复杂的表达式进行化简，将其转化为简单的形式，从而更容易解答问题。
例如，假设需要解答以下方程：3(x + 2) - 4(x - 1) = 5我们可以通过化简法将方程转化为简单的形式。
按照分配律计算出括号中的项，化简后的方程为：3x + 6 - 4x + 4 = 5-x + 10 = 5通过化简法，我们将问题简化为求解一个一元一次方程。
三、利用图像法图像法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。
在解题过程中，我们可以通过绘制图像来辅助解答题目。
这种方法通常适用于几何题或者图形题。
例如，假设需要解答一个几何题，如求两直线的夹角。
我们可以通过绘制两条直线的图像，利用几何知识求解两直线的夹角。
四、套用公式法套用公式法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。
在解答题目过程中，我们可以根据问题的特点，套用相应的公式或者定理进行求解。
例如，假设需要解答一个面积求解题目。
我们可以根据题目的形状和已知条件，套用面积公式进行计算。
总结：在备考考研数学教育专业的初等数学部分时，解题技巧的掌握尤为重要。
初等数学研究pdf
初等数学研究初等数学，作为数学学科的基础部分，涵盖了从基本的算术、代数到几何的初步内容。
它不仅是学生学习数学的起点，也是培养逻辑思维、解决问题能力的重要途径。
本文将深入探讨初等数学的重要性、主要内容、教学方法以及其对学生发展的影响。
一、初等数学的重要性初等数学是数学学科的基石。
它为学生提供了数学的基本概念、原理和方法，为后续学习高级数学打下了坚实的基础。
此外，初等数学在日常生活和工作中也有广泛应用，如计算、测量、数据处理等。
掌握初等数学知识，对于学生适应社会发展、提高个人素质具有重要意义。
二、初等数学的主要内容1.算术：算术是初等数学的基础部分，包括自然数、整数、分数、小数的四则运算，以及百分数、比例、利率等应用。
通过算术的学习，学生可以掌握基本的计算技能，培养数感和运算能力。
2.代数：代数是初等数学的重要组成部分，主要研究未知数、方程式、函数等概念。
学生通过学习代数，可以掌握代数式的基本运算、方程的解法以及函数的基本性质，培养抽象思维和逻辑推理能力。
3.几何：几何主要研究图形的性质、变换和度量。
初等几何主要涉及平面图形的认识、性质探索以及面积、周长等的计算。
通过学习几何，学生可以培养空间观念和几何直觉，提高解决问题的能力。
三、初等数学的教学方法1.启发式教学：启发式教学强调通过问题引导、情境创设等方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
教师在教学过程中，应关注学生的思维过程，引导学生主动发现问题、提出问题并解决问题。
2.直观教学：直观教学利用实物、模型、图表等直观手段，帮助学生形成正确的数学表象，降低理解难度。
例如，在几何教学中，教师可以利用几何画板、实物模型等辅助工具，帮助学生直观地理解几何概念。
3.练习与反馈：练习是巩固数学知识、提高解题能力的重要手段。
教师应根据学生的实际情况，设计有针对性的练习题，并及时给予反馈和指导。
通过练习与反馈，学生可以及时发现自己的不足，并加以改进。
四、初等数学对学生发展的影响1.培养逻辑思维能力：初等数学的学习过程需要学生不断运用逻辑推理、归纳演绎等思维方法。
高中数学中的初等数学问题综合分析
高中数学中的初等数学问题综合分析数学作为一门抽象的科学，是人类理解和掌握自然界规律的重要工具。
在高中阶段，初等数学作为数学学科的基石，承担着培养学生逻辑思维和分析问题的能力的任务。
本文将综合分析高中数学中的初等数学问题，探讨其重要性和应用。
一、代数问题代数是高中数学的一大重要内容，它包括各种代数运算、方程和不等式等。
在代数问题中，学生需要运用代数的知识进行变量的表示和求解。
通过代数问题的练习，学生可以培养逻辑思维和解决实际问题的能力。
例如，解方程问题能够提高学生的解决实际问题的能力。
当学生从实际问题中抽象出方程式后，通过解方程可以得到问题的解。
这样的训练使学生有能力用数学分析解决实际问题。
二、几何问题几何是高中数学的另一门重要内容，它包括平面几何和空间几何两个方面。
几何问题注重图形的性质和空间的关系，通过几何问题的练习，学生可以培养观察和推理的能力。
例如，证明几何问题能够培养学生的逻辑思维和严密推理的能力。
学生需要根据已知条件运用几何知识进行推导，通过合理的推理得到结论。
这样的训练对于培养学生的思维能力和解决问题的能力非常有帮助。
三、概率与统计问题概率与统计是高中数学中的一门重要内容，它包括概率和统计两个方面。
概率问题注重事件发生的可能性，统计问题注重数据的收集和分析。
通过概率与统计问题的练习，学生可以培养分析数据和判断事件发生可能性的能力。
例如，概率问题能够培养学生的判断和估计的能力。
通过对事件发生可能性的分析，学生可以估计事件的结果，并作出相应的决策。
这样的训练对于培养学生的数据分析能力和决策能力非常重要。
综上所述，高中数学中的初等数学问题在培养学生的逻辑思维、解决问题和应用数学的能力方面起着重要作用。
代数问题、几何问题以及概率与统计问题等都能够提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。
因此，在高中数学教学中，我们应该重视初等数学问题的综合分析和理解，为学生提供更好的数学学习环境和培养学生综合素质的机会。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x AB C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x AB AC x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x BC ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x AB C A B C A B A C ∈⇒⊇所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C有2个元素，那么()BA C -有几个元素？解：集合()BA C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()BA C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
图1CBA{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
研究生数学题型解析与解题技巧
研究生数学题型解析与解题技巧数学作为一门学科，对于研究生来说具有重要意义。
在研究生数学学习中，掌握各种数学题型的解析与解题技巧是至关重要的。
本文将为您详细介绍研究生数学题型的解析，并提供有效的解题技巧。
一、代数题型解析与解题技巧代数是研究生数学中必不可少的一部分。
在代数题型中，常见的有方程求解、不等式、函数和序列等。
以下是一些解析与解题技巧的具体细节：1. 方程求解：方程求解是代数中较为基础也是重要的一部分。
对于一般的一元高次方程或者多元方程，可以通过因式分解、配方法、消元法等来求解。
在一元高次方程中，根据给定的条件和问题，可以通过分类讨论、配方法等来解决。
2. 不等式：不等式在研究生数学中也占有重要的地位。
解不等式时，需要注意不等号的反转与不等式两边的乘法和除法。
对于复杂的不等式，可以通过图像法、代数法和数线法来解决。
3. 函数：函数是代数中最重要的概念之一。
在函数题型中，需要研究函数的性质、图像、极值、单调性等。
了解函数的基本性质与定理，对于解题至关重要。
在解函数题时，可以通过寻找函数的零点、极值点、图像变化等来解决问题。
4. 序列：序列是代数中的一种数列。
解题时，可以通过找规律、计算通项公式以及递推关系等方法来解决。
了解常见数列的性质与定理，对于解决序列题也非常有帮助。
二、微积分题型解析与解题技巧微积分是研究生数学中的重要分支，涉及到极限、导数、积分等概念。
在微积分题型中，以下是解析与解题技巧的具体细节：1. 极限：极限是微积分的基础。
在解析中，可以通过直接代入、夹逼定理、洛必达法则等方法来计算极限。
理解和运用这些方法，能够更加准确地求解极限问题。
2. 导数：导数是微积分中的重要概念之一。
在解析中，需要理解导数的定义、性质和应用。
通过求导法则、链式法则等方法，可以计算给定函数的导数。
3. 积分：积分是微积分的另一个重要概念。
在解析中，需要理解不定积分和定积分的定义和性质。
熟练掌握积分的计算法则，如换元法、分部积分法等，可以更好地解决积分题。
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• “数学学习中真正发生数学的地方都一无 例外地充满着数学解题活动。
• “数学教育应该以解题为中心” • “解题教学正是达到教学目的的最好手段”
• 解题对原有知识和技能的应用 • 可保持并巩固相应知识的记忆 • 提高相应技能的熟练程度
• 通过解题教学还可使学生提高和发展推理能力、 化归能力、形式化处理问题的能力、分析和解决 问题的能力
数学解题的基础
一、知识结构
二、思维能力
三、经验题感
四、情感态度
初等数学研究
有理数——有理数的概念 定理1 有理数集是一个有序集，即 (1)对于任意两个有理数a，b，有且仅有下列情况之一成立： a＞b，b＞a，a=b． (2)对于任意三个有理数 a，b和c，若a＞b，b＞c，则a＞c． 有理数集的性质
(4)分数值相等的分数，只保留最前边的一个．
学习的范围
bm b
bm b
证明 2：（分析法） 等价变形 1 交叉相乘，原不等式等价于
b(a+m)>a(b+m)<=>ab+bm>ab+am<=>bm>am<=>b>a 由条件知显然成立，得证。 等价变形 2 ∵a＜b，m＞0，∴am＜bm ∴am＋ab＜bm＋ab ∴a(b＋m)＜b(a＋m)，即 b(a＋m)＞a(b＋m)， ∴(a＋m)/(b＋m)＞a/b
1．有理数集是一个数域(记为Q)，且是最小数域． 2．有理数域是有序域． 3．有理数域具有阿基米德性质．
“阿基米德性质”——即设a，b为任意两个自然数，则存 在自然数n，使得nb＞a 有理数域具有阿基米德性质，即对于任意的正有理数a，b， 必存在n∈N，使na＞b．
4．有理数域具有稠密性．
有理数域具有稠密性，即任意两个有理数a，b(设a＜b)之 间总存在无限多个有理数．
2
2
由于三线 OA、OB,OC 的斜率满足 KOA＜KOC＜KOB，
故得 1 a m a
bm b
• 学生的解题是为什么？ • 教师的解题又是为什么？
数学解题的目的
• 美国数学家哈尔莫斯（P.P.Halmos） 说： “数学的真正组成部分应该是问题和解， 解题才是数学的心脏。”
• 美籍匈牙利数学家、数学教育家G·波利亚 （George Polya）称：“掌握数学就意味 着善于解题。”
• 解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维 过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及 “怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法， 教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就 是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到 自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思 维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对 学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应 该是一种思维教学。
初等数学与解题研究
第一讲 解题研究和初等数学概论
为什么要解题
证明 1（比较法）
作差法
原式 = (am)b a(bm) m（b-a） (bm)b (bm)b （bm）b
因为 m＞0,且 b＞a，所以 m(b-a)＞
0 ，所以（mb（mb）-a）b m(b-a)＞0
所以 a m a ＞0，即 a m a
证明 4：定比分点法
由am bm
a bBiblioteka m b1，可知
a
m
1 m
bm
分a b
与
1
为定比
b
λ= m ＞0， b
所以，a b
m m
在
a b
与
1
之间（内分点），所以1
a b
m m
a b
证明 5：数形结合法
在直角坐标系中，设 A（b，a）、B（m,m），
则 AB 的中点 C（ b m ， a m ），
5．有理数集是可数集．
一切能与正整数集建立一一对应关系的集合叫做可数集．把一切正 有理数写成既约分数m/n的形式，按以下的方法来排列所有的有理数：
(1)0排在最前边；
(2)对于正分数，按照它的分子与分母的和的大小排列，较小的和排在 前边，较大的和排在后边．如果和相等，分子大的排在前边；
(3)对于负分数，把它紧排在与它的绝对值相等的正分数的后边；
• 第一，解题教学是解题活动的教学，而活动的本质属性是 解题思维的活动。因此，解题教学就其本质来说，是对解 题思路的分析活动，是对解题方法的感悟与思考，是对学 生解题思维活动的调动与展开，从而达到对学生理解及概 括水平的培养。
• 第二，解题教学是学生解题思维认知结构建构的过程教学。 奥加涅相在《中小学数学教学法》中曾指出：“思维和解 题过程的密切联系是公认的。著名心理学家O.K.吉霍米诺 夫也具体地阐述过这种联系：‘在心理中，思维被看作是 解题活动。’虽然思维并非总等同于解题过程，但是有理 由断言，思维形成最有效的办法是通过解题来实现。
• 因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教 学目的的必不可少的手段。
解题教学是模仿教学，还是思维教学
• 解题教学是模仿教学？？？？
• 模仿教学，简单地说，就是解题教学以教 师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习 为主，把教学建立在学生的模仿性、被动 性和依赖性上，实质是一种接受学习。
• 17 世纪捷克教育家夸美纽斯
解题教学是思维教学
• 思维教学，是指解题教学不仅在于解题基本活动 形式本身，更重要的是解题认知活动思维的产生， 实质上是一种发现式学习。思维教学最早可以追 溯到苏格拉底的“产婆术”，18世纪法国启蒙运 动思想家、教育家卢梭曾倡导发现教学，现代美 国教育心理学家布鲁纳则对发现学习有过精辟的 论述。思维教学是建立在以建构主义为基础的认 知心理学的基础之上的，认为解题教学就是解题 思维认知结构的变化。
• 美国心理学家奥苏贝尔对接受学习有系统 论述。
• “模仿教学”以行为主义学习理论为基础， 认为解题教学就是解题教学行为上“刺 激—反应”的变化。
• 模仿教学对数学等学科教学实践有很大影响，许 多教师认为解题教学就是教师例题示范，学生练 习模仿，课堂教学就是给学生讲清解题思路与步 骤，学生解题时模仿效法。持这种观点的人们认 为，中小学生具有较大的可塑性，模仿能力强， 在解题教学中，不需要向学生解释过多的道理， 只要认真做好解题步骤、思路和解法等方面的示 范，让学生进行模仿，就可以巩固数学知识，掌 握解题方法，实现解题教学的目的。