常微分方程复习提纲

常微分方程复习与考试提纲

一、复习与分值结构

总体分三块，解方程部分，包括第2，4，5章，这部分内容分值在60分左右；理论部分，就是，主要是第三章，第四章，第五章等的解的存在唯一性定理以及解的结构定理20分左右；应用部分20分左右； 其次从试题难度上看70左右的基础题、常规题，20分左右的，具有一定灵活性的问题，10左右难题。

二、知识点解析

（一） 解方程部分分一阶、高阶与方程组三部分

1、一阶微分方程：解方程的三个思想：可分离变量类型，全微分（恰当）微分方程，参数方程法

（1）可分离变量类型及其可化为可分离变量类型的方程的类型，这部分习题

主要集中在P42-43，P49-50；

a ．齐次方程 ()y y x

ϕ'=，令 y x μ=即可； b ．111222a x b y c y f a x b y c ⎛⎫++'= ⎪++⎝⎭

；

c ．一些简单的组合变换，如P43，2（1），（2），（5）等；

d ．一阶线性微分方程及其通解公式（含伯努利方程，黎卡提方程），见P44-45，其主要思想是常数变异法，其实质是变量分离；特别提示一阶线性微分方程是目前解决的最为彻底的一类方程，应该好好掌握。

（2）全微分（恰当）微分方程及其可化为全微分微分方程的类型，这部分习题主要集中在P60-61；

a ．全微分（恰当）微分方程的定义及其判定的充要条件；

b ．要求熟记的一些简单二元函数的全微分，见P54及课堂提供；

c ．(,)(,)0M x y dx N x y dy +=分别具有形为()x μ、()y μ、()x y μ+和()x y μ-

的充要条件及其推导，见P52；

d ．方程变换前的积分因子与方程变换前的积分因子之间的关系，P61，5我给大家提供的第二种解法等；

e ．常见用到的结论，如P61，4，5，8，11等；

f ．难点问题：P61 2（11），10等。

(3) 参数方程法，主要习题见P70，与P73 1 （10）（19）（20）等；

a ．(,),y f x y '=或(,)x f y y '=，可设y p '=（参数），然后求解；

b ．(,)0,F x y '=或(,)0F y y '=，视问题而灵活设定。

最后P70-72章节学习要点认真阅读，P72-74 习题认真解答，总结提高。

2、高阶微分方程 主要解法：常数变异法，高阶常系数线性微分方程的待定系数法，Laplas 变化法（Laplac 变化法本次不作考试内容）；

a ．基本解组的定义、判定方法及其在解方程中的作用， P126，132 4；

b ．Wronsky 行列式与刘维尔公式的推导及其应用，P122，P132 5-6；

c ．常数变异法解答二阶微分方程的微分方程，P131-132 3；

d ．解的结构定理与性质定理，见P125，定理6，P126，性质1-2，定理7，P129，定理8-9；

e ．高阶齐次常系数线性微分方程的的解法---待定指数函数法（又名特征根法），欧拉方程的解法，见P164-166；

f ．高阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法，待定系数法；

g ．降阶解方程P166-172，要求掌握基本类型，P182-183 1；

h ．幂级数解法这次不做考试要求。

3、线性微分方程组解法，常数变异法，与特征根法

a ．解的结构定理与性质定理，见P205，定理6，P211，性质1-2，定理7，

P217，7；

b ．基解矩阵的定义、性质及其应用求法，Wronsky 行列式的定义及刘维尔公

式，见P207-2010，定理1*，定理2*，推论1*，推论2*，P217，5，P216，2

c ．常数变异法解方程组，理论上很完善，但实际操作主要针对二阶

d ．常系数一阶线性微分方程组X AX '=的解法，exp At 的与一般基解矩阵的求法，见P221，定理9，P227，定理10，P230，公式（5.52）及P231，例题7等，其次见P244-245的习题，尤其上过作业本的习题。

e．利用方程的解的表达式研究解的性质，见P235，定理11。

（二）理论部分：主要是主要是第三章，第四章，第五章的解的存在唯一性定理以及解的结构定理；

1、第三章解的存在唯一性定理

a．解的存在唯一性定理的内容，应用与证明的主要方法皮卡尔逼近法以及近似解的求法及误差估计等要求掌握，见P77，定理1，P86，定理2，

P87，例题1，P88-89，1-4，9；

b．解的延拓以及解对初值的连续可微性定理要求了解；

c．奇解、包络的定义与求法要求掌握简单类型。

2、高阶线性微分方程与微分方程组的关系，以及解的存在唯一性定理的内

容，解的性质与解的结构性定理及其应用。

（三）应用部分，内容涉及第1-6章；

1、主要见于把未知其他简单问题转化为常微分方程，然后应用常微分方程理

论获得解决，见P43，4-5，P49，1（16），2，P88-89，4，9，P165-166，

6-7，P183，5-6，P218，13

2、几何应用，把几何问题转化为微分方程问题，然后获得求解，见P28，6，

8（1-5）列微分方程并求解微分方程问题，P74，2。

3、简单的物理问题，以我在这里提及的为准，其余暂不涉及，见P74，3，P41，

例题9，P165，6；

4、第六章1-4节中的一些简单的概念问题与奇点、极限环的求解以及稳定性

的判定。

三、复习要求：

重点在解方程（60%左右），理论部分要弄清（20%左右），应用部分不能丢（20%）。

要求：1、看书全面复习，平时的作业要彻底理解清楚；2、依据提纲重点复习，根据各自的情况解决弱点，巩固优势部分；3、对照提纲查漏补缺，复习完成。

提示：不管那一份内容，关键都是解题及解题思想的应用，要注意及时总结提高。最后，祝大家大吉大利！